文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期期末模拟卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级数学上册+下册26﹑27章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．下列纹样图是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个
图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图
形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条
直线的位置关系是（ ）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题
可直接根据图形进行求解即可．
【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交；
故选：C．
3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸
出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明
确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得，20×0.75=15（个），
即袋子中红球的个数最有可能是15个．
故选：D．
4．用配方法解一元二次方程x2-8x=9时，原方程可变形为（ ）
A．(x-8) 2=25 B．(x-8) 2=17 C．(x-4) 2=25 D．(x-4) 2=17
【答案】C
【分析】把方程两边加上42即可．
【详解】解：方程两边加上42，得x2-8x+42=9+42，
∴(x-4) 2=25．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
5．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，
∠B=30°，则∠ACE的大小是（ ）A．63° B．58° C．54° D．52°
【答案】C
【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ACD=60∘，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到
△DEC，从而得到△ABC≌△DEC，证明∠ACD=∠BCE，再利用平角为180∘即可．
【详解】解：∵∠A=33∘，∠B=30∘ ，
∴∠ACD=∠A+∠B=63∘，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠BCE=63∘，
∴∠ACE=180∘-∠ACD-∠BCE=54∘
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得
△ABC≌△DEC．
6．如图，已知AB∥CD∥EF，AC:CE=2:3．若BF=15，则DF的长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
BD AC 2 15-DF 2
先根据平行线分线段成比例定理可得 = = ，得到 = ，则可得DF的长，即可解答．
DF CE 3 DF 3
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AC:CE=2:3，BD AC 2
∴ = = ，
DF CE 3
BF-DF 2
即 = ，
DF 3
15-DF 2
∴ = ，
DF 3
解得DF=9．
故选C．
k
7．已知点A(-2,y )，B(-1,y )，C(3,y )在反比例函数y= （k<0）的图象上，则y ，y ，y 的大
1 2 3 x 1 2 3
小关系是（ ）
A．y 3
C．02
【答案】D
【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点(0,3)关于对称轴的对称点，结合函数图
象即可得出ax2+bx+c<3的解集．
【详解】解：由图可知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=1，与y轴的交点坐标为(0,3)，
由二次函数图象的对称性可知，点(2,3)也在函数y=ax2+bx+c的图象上，
由图可知，当x<0或x>2时，对应的y值小于3，
因此ax2+bx+c<3的解集为：x<0或x>2．
故选：D．
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
为h=30t-5t2，其中0≤t≤6．有下列结论：
①当t=2时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s；
③小球运动中的最大高度为46m；
④小球从抛出到落地需要6s；
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质；根据二次函数的图像和性质解答即可；
【详解】
∵h=30t-5t2=-5(t-3) 2+45,
∴当t=3时，小球运动到最大高度，最大高度为45m，故①③错误；
当小球的运动高度为40m时，有40=30t-5t2，解得t=2或t=4，故②正确；
小球从抛出到落地需要6s，故④正确．
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，点(-1,2)关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】(1,-2)
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即
可．
【详解】解：由题意得：点(-1,2)关于原点对称的点的坐标是(1,-2)，
故答案为：(1,-2)
12．某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，
下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的
概率约是 （结果保留小数点后一位）．
排查车辆数n 20 40 100 200 400 1000
能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800
m
m 0.75 0.80 0.82 0.79 0.81 0.80
能礼让的频率
n
【答案】0.8
【分析】根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近，再由频率估计概率，即可求解．
【详解】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在0.80的附近，
∴能主动给行人让路的概率约是0.8．
故答案为：0.8
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定
的近似值就是这个事件的概率．13．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 cm2．
【答案】20π
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20πcm2，
故答案为：20π．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
14．关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是2，则a的值为 ．
【答案】5
【分析】根据一元二次方程根的定义把x=2代入x2-ax+6=0中得到关于a的方程，解方程即可得到
答案．
【详解】解：把x=2代入x2-ax+6=0中得22-2a+6=0，
解得a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未
知的值是解题的关键．
15．如图，点A，B，C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与
x轴的交点分别为点D，E，F，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为S ，S ，其中
1 2
OD:DE:EF=1:2:3，若S =6，则S = ．
2 1
【答案】12
k
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，设反比例函数解析式为y= (k≠0)，由
x
1 1 1
OD:DE:EF=1:2:3，则有b= k，c= k，d= k，通过反比例函数系数k的几何意义可得
6 3 2
1 1
S +a+b=b+c+d=k，S +a+b+c=b+c+d=k，2(b+a)=c+S ，则有6+a+ k+ k=k，
1 2 2 6 31 1
k+2a= k+6，求得a=3，k=18，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关
3 3
键．
k
【详解】解：如图，设反比例函数解析式为y= (k≠0)，
x
∵OD:DE:EF=1:2:3，
1 1 1
∴b= k，c= k，d= k，
6 3 2
∴ ， ， ，
S +a+b=b+c+d=k S +a+b+c=b+c+d=k 2(b+a)=c+S
1 2 2
∴ (1 ) 1 ， 1 1 ，
2 k+a = k+6 6+a+ k+ k=k
6 3 6 3
1 1
∴ k+2a= k+6，
3 3
∴a=3，k=18，
∴b=3，
∴S +3+3=18，
1
∴S =12，
1
故答案为：12．
16．如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当
∠BAC= 度时，AD有最大值 ．
【答案】 120， 7．【分析】如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．只要证明△ACB≌△OCD，推出
OD=AB=3，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的
值最大；
【详解】解：如图，
在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．
∵△BCD，△AOC都是等边三角形，
∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD，
∴∠ACB=∠OCD，
在△ACB和∠OCD中，
¿，
∴△ACB≌△OCD，
∴OD=AB=3，
∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，
∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD=4+3=7．
∵△ACB≌△OCD，
∴∠CAB=∠DOC，
∵当D、O、A共线时，∠DOC=180°-60°=120°，
∴当∠BAC=120度时，AD有最大值为7．
故答案为120，7．
【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关
系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
(1)(y-2)(y-3)=12；
(2)2x2+3x-1=0．
【答案】(1)y =6，y =-1
1 2-3+❑√17 -3-❑√17
(2)x = ，x =
1 4 2 4
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）先求出b2-4ac的值，再代入公式求出答案即可．
【详解】（1）解：(y-2)(y-3)=12，
方程整理得：y2-5 y-6=0，
分解因式得：(y-6)(y+1)=0，
所以y-6=0或y+1=0，
解得：y =6，y =-1；
1 2
（2）2x2+3x-1=0，
∴a=2，b=3，c=-1，
∴ ，
Δ=32-4×2×(-1)=17>0
-3±❑√17
∴x= ，
2×2
-3+❑√17 -3-❑√17
解得：x = ，x = ．
1 4 2 4
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
18．（8分）已知，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，CE，DE，EC和BD相交
于点O，且∠ABC=∠ADE．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
AE 9 AC
(2)若 = ，求 的值．
AD 10 AB
【答案】(1)见解析
9
(2)
10
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质：（1）根据∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，即可求得答案．
AC AB
（2）根据 = ，即可求得答案．
AE AD
【详解】（1）∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．
（2）∵△ABC∽△ADE，
AC AB
∴ = ．
AE AD
AC AE
∴ = ．
AB AD
AE 9
∵ = ，
AD 10
AC 9
∴ = ．
AB 10
19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将△CAB绕点O顺时针旋转90°得到△C' A'B'，点B旋
转后的对应点为B'，点C旋转后的对应点为C'，
(1)画出旋转后的△C' A'B'，并写出点A'的坐标；
(2)求点B经过的路径 的长（结果保留π）．
B ´ B'
【答案】(1)见解析，(2，1)3❑√2
(2) π
8
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A'、B'、C'，从而得到
△C'A'B'，然后写出点A'的坐标；
（2）先计算出 的长，然后利用弧长公式计算 的长即可．
OB B ´ B'
【详解】（1）如图，△C' A'B'为所作，点A'的坐标为(2，1)；
（2） ，
∵OB=❑√32+32=3❑√2
90×π×3❑√2 3❑√2
∴点B经过的路径B ´ B'的长为 = π．
180 2
【点睛】本题考查了作图-旋转作图：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也
相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋
转后的图形．
20．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机
抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据
统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有_____人；
(2)请补全条形统计图；
(3)若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识
竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】(1)60
(2)见解析
3
(3)
5
【分析】（1）用C组的频数除以它的频率得到调查的总人数；
（2）先计算出A组的频数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出选出的2人恰好一男一女的结果数，然后根据概率
公式求解．
【详解】（1）解：30÷50%=60，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
（2）“A”组的人数为：60-5-30-10=15（人)，
补全条形图如图所示：
（3）画树状图为：由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
12 3
∴P（选中一男一女）= = ．
20 5
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中
选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（8分）如图，在等腰直角△ACF中，AC=AF，△ABE是由△ACF绕点A按顺时针方向旋转得
到的，连接EF、BC．
(1)求证：EF=BC；
(2)当旋转角为40°时，求∠BCF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)25°
【分析】（1）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，证明△ACB≌△AFE，即可得出结论；
（2）根据旋转角的定义得出∠CAB＝40°，再根据AB=AC，得到∠ACB＝70°，根据△ACF是等腰直角
三角形，得出∠ACF＝45°，通过∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABE是由△ACF绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，AB＝AC；∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝AB＝AC，
∴△ACB≌△AFE（SAS），∴EF＝BC；
（2）解：∵旋转角为40°，
∴∠CAB＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝25°．
【点睛】本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判
定方法是解答本题的关键．
22．（10分）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每
天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销
售价-进价）
【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函
数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解．
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：
100＝60k+b
{ ，
80＝70k+b
k＝-2
解得：{ ，
b＝220
故函数的表达式为：y=-2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得：w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，
∵-2＜0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量
×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
23．（10分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知
∠D=30°，DC=❑√3．
(1)求证：△BOC∽△BCD；
(2)求△BCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)3+2❑√3
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）由切线的性质可得∠OCD=90°，由外角的性质可得∠BOC=120°，由等腰三角形的性质
∠B=∠OCB=30°，可得∠B=∠D=30°，可得结论；
（2）由含30度角的直角三角形的性质可得OC=1=OB，DO=2，进而得出DC=BC=❑√3，即可求解．
【详解】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB=30°，
∴∠D=∠OCB，
∵∠B=∠B，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D=30°，DC=❑√3，∠OCD=90°，∴DC=❑√3OC=❑√3，DO=2OC，
∴OC=1=OB，DO=2，
∵∠B=∠D=30°，
∴DC=BC=❑√3，
∴△BCD的周长=CD+BC+DB=❑√3+❑√3+2+1=3+2❑√3．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点A的坐标为(-5,0)，点C的坐标为(0,5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积
的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一动点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以
A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)y=-x2-4x+5
(2) 面积的最大值：125， ( 5 35)
△ACP P - ,
8 2 4
(3)点M的坐标为：(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16)
【分析】（1）把点A，点C的坐标代入y=-x2+bx+c，求出b，c，即可；
（2）过点P作PF⊥x轴交AC于点H，设AC的解析式为y=kx+5，求出AC的解析式，设点
且 ，则点 ，求出 ，再根据二次函数的性质求解即可；
P(m，-m2-4m+5) -5
