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期末真题必刷压轴 60 题（25 个考点专练）
一．根与系数的关系（共3小题）
1．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；
若不存在，请说明理由．
2．（2022秋•安顺期末）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不
相等的实数根x 、x ，
1 2
（1）若x 2+x 2＝6，求m值；
1 2
（2）求 的最大值．
3．（2022秋•宿城区期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理
由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
二．一元二次方程的应用（共3小题）4．（2023春•武胜县校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5厘米，AB＝5 厘米，点P从点A
出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度
向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2 厘米？
5．（2022秋•甘井子区校级期末）青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，2012年平均每公顷产
8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
6．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形
花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使
矩形花园的面积为300m2．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）7．（2022秋•阳曲县期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣1，3），B
（3，a）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞ 的解集；
（2）求S△AOB ．
8．（2022秋•莘县校级期末）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限
的交点．AB⊥x轴于B，且 ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（3）直接写出 的解集．9．（2022秋•岳阳县期末）如图已知函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象与一次函数y＝mx+5（m＜0）的图
象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x ，△AOD的面积
0
为2．
（1）求k的值及x ＝4时m的值；
0
（2）记[x]表示为不超过x的最大整数，例如：[1.4]＝1，[2]＝2，设t＝OD•DC，若﹣ ＜m＜﹣ ，求
[m2•t]值．
四．反比例函数的应用（共2小题）
10．（2022秋•沙依巴克区校级期末）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它
的另一边长为3．
（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对
吗？为什么？
11．（2022秋•邯山区校级期末）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（k ）随温
Ω度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到
30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到 30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温
度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加 k ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；Ω
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k ？
Ω
五．抛物线与x轴的交点（共2小题）
12．（2022秋•扶风县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（﹣
1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数的解析式写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个
交点B的坐标．
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3
的范围内有解，则t的取值范围是 ．
13．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6交x轴于A（2，0），B（﹣6，0）两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求QA+QO的最小值；
（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S＝S +S ，当 时，求点P的坐标．
1 2 1 2
六．二次函数的应用（共2小题）
14．（2022秋•大理州期末）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是多少？
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由．
15．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A
在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．
球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大
高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取 ， ）
七．二次函数综合题（共19小题）
16．（2022秋•绵阳期末）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，与y轴交于点C（0， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，矩形DEFG的边DE在x轴上，顶点F，G在x轴上方的抛物线上，设点D的横坐标为d，
当矩形DEFG的周长取最大值时，求d，并求矩形DEFG的周长的最大值；
（3）在（2）的结论下，直线DG上是否存在点M，使得∠GMF＝2∠DEM，若存在，求出M的坐标；
若不存在，请说明理由．
17．（2022秋•德城区期末）如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线
与x轴的另一交点为B．（1）请直接写出该抛物线的函数解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接BD，CD，BC，求△BDC面积的最大值；
②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线AC
于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标．
18．（2022秋•大洼区期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于
点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：y＝x2+2x﹣3的图象关于原点中心对称．（1）求抛物线P的表达式；
（2）连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线P的图象于点E，求线段
DE长度的最大值；
（3）如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符
合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022秋•大冶市期末）抛物线y＝﹣ x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内
抛物线上的一点．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标为A ，B ，C ；
（2）连接AP，CP，AC，若S△APC ＝2，求点P的坐标；（3）连接AP，BC，是否存在点P，使得∠PAB＝ ∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．
20．（2022秋•滕州市期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴
交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是线段BC上的一个动点，平行于y轴的直线EF交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB ＝6的点P？如果存在，请求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022秋•望城区期末）如图①，抛物线y＝ax2+ x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），
与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC ＝S△ACB ，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，
当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
22．（2022秋•雄县期末）已知抛物线G：y＝﹣ +kx+4（k为常数）与x轴交于点A，B（点A在点B
的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）当k＝1时，如图所示：
①抛物线G的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ；
②在x轴正半轴上从左到右有D，E两点，且DE＝1，从点E向上作EF⊥x轴，且EF＝2，在△DEF沿x轴左右平移时，若抛物线G与边DF（包括端点）有交点，求点F横坐标的最大值比最小值大多少？
（2）当抛物线G的顶点P的纵坐标y 取得最小值时，求此时抛物线G的函数解析式；
P
（3）当k＜0，且x≥ k时，抛物线G的最高点到直线l：y＝7的距离为2，直接写出此时k的值．
23．（2022秋•泉州期末）已知抛物线C ：y＝ax2﹣2ax﹣1与x轴只有一个交点．
1
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线C 向上平移4个单位长度得到抛物线C .抛物线C 与x轴交于A、B两点（其中A点在左
1 2 2
侧，B点在右侧），与y轴交于点C，连结BC．D为第一象限内抛物线C 上的一个动点．
2
①若△BOC的面积是△BDC面积的 倍，求D的坐标；
②抛物线C 的对称轴交x轴于点G，过D作DE⊥BC交BC于E，交x轴于F．当点F在线段OG上时，
2求 的取值范围．
24．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ +bx+c的图象与y轴交
于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是（﹣8，0），点P（m，n）为该二次函数
在第二象限内图象上的动点，点D为（0，4），连接BD．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）依题补图1：连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q；当△OPQ和△OBD相似时，求m的值；
（3）如图2，过点P作直线PQ∥BD，和x轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，
当PQ与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标．25．（2023春•福清市校级期末）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴的
交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．26．（2022秋•丰都县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+4经过A（﹣1，3），与
y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点E（6，m），点M为抛物线的顶点，抛物线的对称
轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求点P的
坐标以及△PCE面积的最大值．
（3）如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线
y′，y′经过点N，y′的顶点为点G，在新抛物线y′的对称轴上是否存在点H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴
于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值
和P的坐标；
（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、
N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2022秋•兴县期末）综合与探究如图1，已知抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点
B左边），与y轴交于点C．点D（m，n）是线段BC上的动点，过点D作DE⊥x轴垂足为E．
（1）请直接写出点A，B，C坐标以及直线BC的解析式；
（2）若△ADE的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？
最大值为多少？
（3）如图2，将△ADE以点D为中心，顺时针旋转90°得到△A'DE'（点A与点A′对应），则当A′恰
好落在抛物线上时，求出此时点D的坐标．29．（2022秋•延边州期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于
点C，点D在射线CO上运动，过点D作直线EF∥x轴，交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）求该抛物线的解析式和对称轴；
（2）若EF＝2OC，求点E的坐标；
（3）若抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件
的线段EF的长；
（4）以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转90°得到点B′，直接写出点B′落在抛物线上时点
D的坐标．30．（2023春•青秀区校级期末）如图1，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
与y轴交于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的—个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的 ，求点P的坐标；
（3）过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，
得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线 y＝﹣ x+d与新图象只有一个公共点 Q
（m，n），且n≥﹣8时，求d的取值范围．31．（2023 春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2
（a≠0）．
（1）当a＝﹣ 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是
．
（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；
（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值
范围．32．（2023春•长沙期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于
点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面
积为S ，△BCM的面积为S ，当S ﹣S ＝1时，求点D的坐标；
1 2 1 2
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在
点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明
理由．
33．（2023春•渝中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于A、B两点，与y轴交于C点，其中 A（﹣3，0），∠ACB＝90°．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC 于M点，在射线MA上取一点N，使得
2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点
P时停止平移，平移后点C的对应点为 C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、
C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．34．（2023春•仓山区校级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A
（1﹣m，0），B（m﹣3，0）两点，其中点B在原点左侧，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线顶点为P，点M在第三象限的抛物线上，
①若直线CM与直线BP关于直线y＝x对称，求点M的坐标；
②如图2，若直线y＝2x+n与抛物线交于点D，E，﹣1＜x ＜x ，与抛物线的对称轴l交于点H，若
D E
DM⊥l，连接ME，MH，求S△MEH 的取值范围．八．等边三角形的性质（共1小题）
35．（2023春•渠县校级期末）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角
尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直
角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证
明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角
边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想
并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与
点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．
九．圆内接四边形的性质（共1小题）
36．（2022秋•新城区期末）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝
75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求 的长．一十．直线与圆的位置关系（共1小题）
37．（2022秋•亭湖区期末）数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°，得到△A′B′C，连接
BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到
△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：直线BB′与 A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段⊙A′B的长度．
一十一．切线的性质（共1小题）
38．（2022秋•河西区校级期末）已知 O中，AC为直径，MA、MB分别切 O于点A、B．
⊙ ⊙
（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交 O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．
⊙一十二．切线的判定（共1小题）
39．（2022秋•莘县校级期末）已知，如图，直线MN交 O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM
交 O于D，过D作DE⊥MN于E． ⊙
（⊙1）求证：DE是 O的切线；
（2）若DE＝6cm，⊙AE＝3cm，求 O的半径．
⊙
一十三．切线的判定与性质（共1小题）
40．（2023春•北林区期末）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝
∠A． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为3，CD＝4，求BD的长．
⊙一十四．圆的综合题（共2小题）
41．（2022秋•江门校级期末）如图， O为△ABC的外接圆，AC＝BC，D为OC与AB的交点，E为线段
OC延长线上一点，且∠EAC＝∠AB⊙C．
（1）求证：直线AE是 O的切线．
（2）若CD＝6，AB＝1⊙6，求 O的半径；
⊙
（3）在（2）的基础上，点F在 O上，且 ＝ ，△ACF的内心点G在AB边上，求BG的长．
⊙
42．（2022秋•海珠区校级期末）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点
B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证： AC＝BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的
等量关系，并证明你的结论．一十五．旋转的性质（共2小题）
43．（2023春•遂平县期末）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为 °；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一
边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理
由．
44．（2023春•武冈市期末）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中
点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？
请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？
请写出你的猜想，并加以证明．一十六．作图-旋转变换（共1小题）
45．（2023春•万源市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，且
△A B C 与△ABC关于原点O 成中心对称．
1 1 1
（1）画出△A B C ；
1 1 1
（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对应点P'（a+2，b﹣6），请画出平
移后的△A B C ；
2 2 2
（3）若△A B C 和△A B C 关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
1 1 1 2 2 2
一十七．平行线分线段成比例（共1小题）46．（2022秋•祁阳县期末）阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交
于点P．
（1）小波发现， ，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图2），经
过推理和计算得到 的值为 ．
（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ，点E在AC上，且 ，求 的值；
②如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上， ，点E在AC上，且 ，求出 的值．
一十八．相似三角形的判定（共2小题）
47．（2022秋•城关区校级期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．48．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CD⊥AB．如果以
AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点
P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2？
（2）是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存
在，请说明理由．一十九．相似三角形的判定与性质（共4小题）
49．（2022秋•渠县校级期末）小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道
题：“已知正方形 ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝
FH．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案二：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N．…
（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图（2）），试探究EG、
FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，
FH的长为 （如图（3）），试求EG的长度．50．（2023春•宣汉县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D、E分别在线段
BC、AC上运动，并保持∠ADE＝45°
（1）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（2）当 时，求DE的长．
51．（2022秋•叙州区期末）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，
连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证
明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ，BC＝3，CD＝
x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）52．（2022秋•凤凰县期末）如图，AB是 O的直径， ＝ ，E是OB的中点，连接CE并延长到点
⊙
F，使EF＝CE．连接AF交 O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是 O⊙的切线；
（2）若OB＝2，求BD⊙的长．
二十．解直角三角形的应用（共1小题）
53．（2022秋•新化县期末）每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假
定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D（如图所示），量得
树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树
AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.4）二十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
54．（2022秋•海口期末）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的
方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1），如图所示，
已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
二十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
55．（2022秋•朝阳期末）如图，山坡AB的坡度i＝1： ，AB＝10米，AE＝15米．在高楼的顶端竖立
一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角
是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1米，参考数据：
≈1.414， ≈1.732）56．（2022秋•益阳期末）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰
角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉
冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
二十三．列表法与树状图法（共1小题）
57．（2022秋•桃城区校级期末）“五•一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购
买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：
（1）前往A地的车票有 张，前往C地的车票占全部车票的 %；
（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一
张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B地车票的概率为
；
（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字 1，2，
3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这
个规则对双方是否公平？
二十四．游戏公平性（共2小题）
58．（2022秋•南昌县期末）在一个不透明的口袋中放有4个完全相同的小球，他们分别标有数字﹣1，
2，3，5．小明先随机摸出一个小球，记下数字为x；小强再随机摸出一个小球，记下数字为y．小明小
强共同商议游戏规则为：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
（1）若小明摸出的球不放回，请用列表或画树状图的方法求小明获胜的概率；
（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，请问这个游戏规则是公平的吗？请说明理由．
59．（2023春•通川区校级期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，
6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：
甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相
符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次）．
（1）如果乙猜是“数9”，则乙获胜的概率为 ；
（2）如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是 ；
（3）如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；
（4）如果你是乙，请设计一种猜数方法，使自己获胜的可能性较大．二十五．利用频率估计概率（共1小题）
60．（2023春•莱山区期末）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．
商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可
以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 604
0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
落在“可乐”区域的频率
（1）完成上述表格；（结果全部精确到0.1）
（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率
约是 ；（结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
