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九年级上学期期中考试 11 大压轴考法 48 题专练（第 21~24 章）
一．根的判别式
1．（2023春•余杭区校级期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
⑤存在实数 、 ，使得 ；
其中正确的
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
二．根与系数的关系
2．（2023秋•肇源县期中）关于 的一元二次方程 的实数解是 和 ．
（1）求 的取值范围；
（2）如果 且 为整数，求 的值．
三．一元二次方程的应用
3．（2023秋•海州区校级期中）已知： 的两边 ， 的长是关于 的方程
的两个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么 的周长是多少？4．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销售，
售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根
据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商
将对剩余的 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 7 0 40
单价（元
200
销售量（件
（2）如果批发商希望通过销售这批 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
5．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出
500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克．现该
商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
6．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是
和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
面积．
四．二次函数图象与系数的关系7．（2023秋•天门校级期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标 ，与 轴
的交点在 ， 之间（包含端点），则下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ，
总成立；④关于 的方程 有两个不相等的实数根．其中结论正确的
个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
五．待定系数法求二次函数解析式
8．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数的图象以 为顶点，且过点
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时， 、 两点随图象移至 、 ，求△ 的面积．
六．二次函数综合题9．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，抛物线 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一
个交点在2和3之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；
②若点 、点 ， 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点 关于直线 的对称点为 ，点 、 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的最
小值为 ．
其中正确的判断有
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
10．（2023 秋•济宁校级期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，形状相同的抛物线
，2，3，4， 的顶点在直线 上，其对称轴与 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，
，根据上述规律，抛物线 的顶点坐标为 ．
11．（2023秋•文峰区校级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
（1）求 的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求
出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在 轴上方的部分沿 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象
轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公
共点，求 的值．
12．（2023秋•江汉区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， 在的左侧），与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图（1），已知点 为第二象限抛物线上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3） 和 分别是直线 和抛物线上的动点，且点 的横坐标比点 的横坐标大4个单位
长度，分别过 ， 作坐标轴的平行线，得到矩形 ．设该抛物线在矩形 内部（包括边界）
的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 ．
①如图（2），当 时，请直接写出 的值；
②请直接写出 关于 的函数关系式．
13．（2023秋•右玉县期中）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴的交点为， 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，其对称轴与 轴交于点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接 ， ， ，试判断 的形状，并说明理由；
（3）点 为第三象限内抛物线上一点， 的面积记为 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（4）在线段 上，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
14．（2023秋•博山区校级期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与
水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对
称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ， ，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点 的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函
数 的值总大于等于9．求 的取值范围．
15．（2023秋•河东区期中）综合与实践问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在 △ 中， ， 为 上一点， ，动点 以每秒
1个单位的速度从 点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点 时停止，以 为边作正方
形 ．设点 的运动时间为 ，正方形 的面积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
（1）如图1，当点 由点 运动到点 时，
①当 时， ；
② 关于 的函数解析式为 ．
（2）当点 由点 运动到点 时，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根
据图象信息，求 关于 的函数解析式及线段 的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻 ， ， 对应的正方形 的面积均相等．
① ；
②当 时，求正方形 的面积．16．（2023秋•东莞市校级期中）已知二次函数 ，图象记为 ．
（1）如图， 时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，将二次函数 的图象向右平移2个单位，与二次函数
的图象组成一个新的函数图象，记为 ．设 上的一点 的坐标为 ．
①当 满足 时， 随 的增大而增大；
②当 时，过点 作 轴垂线，分别交 、 于点 、 ．若 将 的面积分成 两部分，
求点 坐标；
（3）若点 ， ， ， 在二次函数 图象上，直接写出 的取值范围．
17．（2023秋•西市区校级期中）如图，抛物线 经过 ， 两点，并交 轴于另
一点 ，点 是抛物线的顶点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点 是 轴上一动点，分别连接 ， ，求 的最小值；
（3）若点 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023秋•江夏区校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
（3）点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 ， ， ， 为顶点的
四边形是以 为边的矩形，求点 的坐标．19．（2023 秋•龙沙区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点
， ．点 是直线 下方抛物线上的一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
此时点 的坐标；
（3）连接 、 ，是否存在点 ，使得线段 把 的面积分成 两部分，如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（2023秋•姑苏区校级期中）如图1，已知抛物线 的顶点 的纵坐标是4，与 轴交于 、
两点，经过点 的直线 经过点 ，点 为直线 上的一个动点．
（1） ； ；
（2）连接 ，当线段 与直线的 夹角为 时，求点 的坐标；
（3）如图2，连接 ，线段 上是否存在点 ，连接 ，当 时，线段 被 轴截得
线段比为 的两部分？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023秋•双流区校级期中）如图1，经过原点 的抛物线 、 为常数， 与 轴相
交于另一点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）如图2，点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，点 是直线 下方的抛物线上的动点， 与直
线 交于点 ．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
22．（2023秋•滨海新区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于， 两点，与 轴交于点 ．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及点 的坐标；
（Ⅱ）直线 与该抛物线交于点 、 两点，求线段 的长度；
（Ⅲ）直线 与该抛物线的交点为 ， （点 在点 的左侧），点 关于 轴的对称点为
点 ，点 的坐标为 ．若四边形 的面积为 ，求点 到 的距离 的值．
23．（2023秋•福州期中）已知二次函数图象的顶点在原点，且点 在此二次函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式；（2）如图 1，直线 与二次函数的图象交于 、 两点（点 在直线 下方），若
，求 的值；
（3）如图2，直线 与二次函数的图象交于 、 两点，过点 的直线 交二次函数的图
象于点 ，求证：直线 过定点．
24．（2023秋•思明区校级期中）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 ， 两点
在 左边）．（1）若该抛物线的顶点 坐标为 ，求其解析式；
（2）如图（1），已知抛物线的顶点 在直线 上滑动，且与直线 交于另一点 ，若 的
面积为 ，求抛物线顶点 的坐标；
（3）如图（2），在（1）的条件下， ， 为 轴上的两个关于原点对称的动点，射线 ， 分别与
抛物线交于 ， 两点，求 与 满足的数量关系．
25．（2023秋•大武口区校级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线
经过点 、 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由．
26．（2023秋•凉州区校级期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点
，对称轴为直线 ，点 是线段 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴 上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，
求 ， 两点的坐标．
27．（2023秋•铁岭县期中）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值．
（3）点 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，且
为直角？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023秋•恩施市校级期中）如图1，抛物线 交 轴于点 、 ，（点 在点 的
左侧），交 轴于点 ，其对称轴为直线 ，抛物线 经过点 ，与 轴的另一个交点为 ，交
轴于点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2） 为直线 上一动点，连接 、 ，当 时，求点 的坐标；
（3） 为抛物线 上一动点，过点 作直线 轴（如图2所示），交抛物线 于点 ，求点 自
点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值．
29．（2023秋•梁山县期中）已知抛物线 经过 、 、 三点，直线 是抛
物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 是直线 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；
（3）在直线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
30．（2023秋•新会区校级期中）如图， 的两直角边 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半
轴上， 为坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ，抛物线 经过 点，且顶
点在直线 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若 是由 沿 轴向右平移得到的，当四边形 是菱形时，试判断点 和点 是否在
该抛物线上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 点是 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 作 平行于 轴交
于点 ．设点 的横坐标为 ， 的长度为 ，求 与 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范
围，并求 取大值时，点 的坐标．
31．（2023秋•惠城区校级期中）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当四边形 面积最大时，请求出点 的坐标和
四边形 面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
32．（2023秋•丰泽区校级期中）阅读下面材料，回答问题
材料一：若三个非零实数 ， ， 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三
个实数 ， ， 构成“和谐三数组”；
材料二：一元二次方程 两根 ， 有如下关系： ， ．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．
（2）若直线 与 轴交于点 ， ，与抛物线 交于 ， ，
， 两点．
①求证： ， ， 三点的横坐标 ， ， 构成“和谐三组数”；
②若 ， ，求点 ， 与原点 的距离 的取值范围．
33．（2023秋•宣恩县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为 ，与
轴交于点 ，与 交于点 ， ．（1）求二次函数 的表达式；
（2）过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的一点（点 在 上方），作 平
行于 轴交 于点 ，当点 在何位置时，四边形 的面积最大？求出最大面积；
（3）若点 在抛物线上，点 在其对称轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，且
为其一边，求点 的坐标．
34．（2023秋•齐齐哈尔期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，连接 ， ，点 是直线 下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ， ，设 点的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）试探究：过点 作 的平行线1，交线段 于点 ，在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ，
， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
35．（2023秋•金安区校级期中）定义：如果二次函数 ， ， ， 是常数）与
， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为“ ”函数．
（1）写出 的“ ”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“ ”函数与正比例函数 的图象只有两个交点，求 的值；
（3）如图，二次函数 与 互为“ ”函数， 、 分别是“ ”函数 与 图象的顶点， 是“
”函数 与 轴正半轴的交点，连接 、 、 ，若点 且 为直角三角形，求点 的坐
标．
36．（2023秋•宁阳县期中）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，
， ，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ， ， ，
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ， ，
， 为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，抛物线 与 轴分别交于 ， 两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点 ，作 垂直 轴于点 ，连接 ，且 ， ，将 沿 轴
向右平移 个单位，当点 落在抛物线上时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，当点 第一次落在抛物线上记为点 ，点 是抛物线对称轴上一点．试探究：在
抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2023秋•驿城区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交
于点
（1）求点 ， ， 的坐标；
（2）点 是此抛物线上的点，点 是其对称轴上的点，求以 ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
39．（2023秋•庄浪县期中）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 ， ， ，其对称轴与 轴相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）连接 ，在直线 的下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023秋•钟祥市期中）如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上一点，将
沿直线 折叠，使点 恰好落在边 上的点 处，分别以 ， 所在的直线为 轴， 轴建立平面
直角坐标系．
（1）求 的长及经过 ， ， 三点抛物线的解析式；
（2）一动点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动，同时动点 从 点出发，沿
以每秒1个单位长度的速度向点 运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，设运动时间为 秒，
当 为何值时， ；
（3）若点 在（1）中抛物线的对称轴上，点 在抛物线上，是否存在这样的点 与点 ，使 ， ，
， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
七．圆内接四边形的性质41．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ．
（1）判断 的形状并证明你的结论；
（2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由．
（3）求证： ．
八．三角形的外接圆与外心
42．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在 中， 在边 上，圆 为锐角 的外接圆，连结
并延长交 于点 ．
（1）若 ，请用含 的代数式表示 ；
（2）如图2，作 ，垂足为 ， 与 交于点 ，已知 ．
①求证： ；
②若 ， ，求 的值．
九．切线的判定43．（2023秋•洪泽区校级期中）如图， 是 的弦， 交 于点 ，过 的直线交 的延
长线于点 ，当 时，直线 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
44．（2023秋•常州期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作
于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 ， 时，求 的长．
十．圆的综合题45．（2023秋•东台市期中）如图， 为 的外接圆， ， 为 与 的交点， 为线
段 延长线上一点，且 ．
（1）求证：直线 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）在（2）的基础上，点 在 上，且 ， 的内心点 在 边上，求 的长．
十一．旋转的性质
46．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转，若点 ，
在直线 的异侧， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ．
（1）延长 交 于点 （如图 ．
①求证： ；
②求证： ；
（2）若直线 绕点 旋转到图3的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 还
成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线 绕点 旋转到与 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 的形状及此
时 还成立吗？不必说明理由．
47．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角 中， ，点 在 上，将 绕顶点 沿顺时针方向旋转 后得到 ．
（1）求 的度数；
（2）当 ， 时，求 的大小；
（3）当点 在线段 上运动时 不与 重合），请写出一个反映 ， ， 之间关系的等式，
并加以证明．
48．（2023春•乌鲁木齐期中）在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段
， 与 延长线相交于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
