文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期期中测试
总分：120分
考生姓名：
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第21-24章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分
别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图
形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，
要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对
称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
2．一元二次方程 的常数项为（ ）A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案．
【详解】解：一元二次方程 的常数项为 ，
故选：D．
3．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据抛物线 的对称轴是直线 即可确
定．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ．
故选：B．
4．已知 的半径为 ，若线段 的长为 ，则 点在 （ ）
A．圆上 B．圆外 C．圆内 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键．
根据点到圆心的距离为 ，圆的半径 ，当 时，点在圆外； 时，点在圆上； 时，点
在圆内，判断即可得到答案．
【详解】解： ， ，即
点在圆外．
故选：B．
5．如图，将 绕点 顺时针旋转，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，当旋转角为
90°， ， ， 三点在同一直线上时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质可知， ，即可得出答案．
【详解】由旋转可知 ， ，
∴ ．
故选：C．
6．点 ， ， 都在二次函数 图象上，则 、 、 大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据函数的增减性解答
即可．
本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 的对称轴为直线 ，开口向上，
点 ， ， 均在二次函数图象上，
且
∵抛物线开口向下，
∴点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∴ ，
故选C．
7．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值等于（ ）
A．2025 B．0 C． D．2023
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程
左右两边相等的未知数的值得到 ，再整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．8．如图， 内接于 ， ， 交交⨀O于点A，连接 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理，连接 ， ，
根据圆周角定理得到 ，根据垂径定理得 ，根据等腰三角
形的性质得出 ．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
9．如图所示，吉林某景区计划在一个长为 ，宽为 的矩形空地上修建一个停车场，停车场
中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为 ，三块停车区域之间以及周边留有宽
度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少 ？设行车通道的宽度是 ，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设行车通道的宽度是 ，则停车区域的总面
积可以看做是一个长为 ，宽为 的矩形面积，据此根据矩形面积计算公式列出
方程即可．
【详解】解：由题意得， ，
故选：D．
10．如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿
的方向运动，当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于 的函数
的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】需要分类讨论：①当 ，即点 在线段 上时，过 作 于点 ，由勾股
定理即可求得 与 的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当 ，，
与 的函数关系式是 ，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当
时，则 ，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次
函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点 的位置进行分类讨论，以防错选．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
则 ， ，
①当点 在 上时， ， ， ，
，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；
由此可排除A，B，C．
②当 时，即点 在线段 上时， ；
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
③当 时，即点 在线段 上，此时， ，
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；
故选：D．第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知：点 与点 关于原点 成中心对称，则 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点
对称点的特点求得 的值，然后代入计算即可．
【详解】解： 点 与点 关于原点对称，
， ，即 ， ，
，
故答案为：2024．
12．已知 是一元二次方程 的一个根，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】此题考查了根与系数关系．设另一个根为 ，根据根与系数关系得到 ，即可求
出另一个根．
【详解】解：设另一个根为 ，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴
解得 ，
故答案为：
13．若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式 （ 是扇形圆心角的
度数， 是扇形的半径），由此即可求解，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得， ，
故答案为： ．
14．如图，已知抛物线 与直线 交于 、 两点，则关于x的不
等式 的解集是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值
范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵抛物线 与直线 交于 、 两点，
∴由函数图象可得，不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
15．若关于x的方程 的解是 ， （a，m，b均为常数， ），则方程
的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是解答的关键．根据方程的解的意义可得到
， ，进而求解即可．
【详解】解：∵方程 的解是 ， ，
∴方程 的解 、 满足 ， ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
16．如图，二次函数 的图象经过点 ，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线
上的动点，当四边形 的周长最小时，则点D的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构
造定点关于 轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点 代入解析式，确定函数的表达式，根
据 的长是定值，想使四边形 的周长最小，只需 的和最小，为此过点 作对
称轴 的对称点 ，作点B关于x轴的对称点F，连接 ，交x轴于点C，交对称轴于点D，此
时四边形 的周长取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：作点A关于对称轴 的对称点E，则 ，作点B关于x轴的对称点F，
连接 交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形 的周长取得最小值，
将点 代入 得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∴点B坐标为(0,1)，
则点 ，
设 所在直线解析式为 ，
将 ， 代入得 ，解得 ，
所以 所在直线解析式为 ．
当 时， ，
．
故答案为： ．
三、解答题：本题共9小题，共72分.
17．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
解得 ， ；
（2）
或
解得 ， ．
18．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)请画出 关于原点对称的 ；
(2)请画出 绕O顺时针旋转 后的 并写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转 的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是
解本题的关键．
（1）分别确定 关于原点的对称点 ，再顺次连接 ，可得答案；
（2）分别确定 绕原点 顺时针旋转 后的对应点 ，再顺次连接 ，再根
据 的位置可得答案；
【详解】（1）解：如图所示： ，即为所求；
（2）解：如图所示： ，即为所求； ．
19．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等
的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，将 变
形为 ，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于 的一元二次方程 的两个实数根为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ， ．
20．如图，在 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋转到 的位置，使得
，连接 ， 与 交于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键．
（1）利用边角边原理证明即可 ．
（2）利用三角形全等的性质计算即可 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵线段 绕A点旋转到 的位置，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
21．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可
售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价
1元，那么商场每天就可以多售出5盒．
(1)设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）；
(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？
【答案】(1)
(2)166元
【分析】本题考查了二次函数的应用、列代数式．
（1）根据每盒月饼降价1元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可；
（2）设月饼每盒售价下降 元，则每天能售出 盒，单件利润为 元，列出利润的表达式，求最大值即可；
【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价1元，
那么商场每天就可以多售出5盒，
∴售价每盒下降x元，则每天能售出 盒；
（2）解：设销售利润为y元，由题意可得：
降价前，单件利润为： 元，
降价后，单件利润为 元，每天能售出 盒，
则： ，
整理得：
当 时， 元，此时售价为 元，
答：当月饼每盒售价为166元时，每天的销售利润最大为3380元．
22．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 在 的延长线上，且
．
(1)证明：直线 是 的切线：
(2)若 的半径是4，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等边对等角，勾股定理，
（1）由 是直径得到 ，证得 ，即 ， ，即可
证得 与 相切．
（2）先证明 ，得到 ，求出 ．证得 ，利用勾股定理求
出 ．
【详解】（1）证明： 是直径，
，
，，
，即 ， ．
又 是半径，
是 的切线．
（2）∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
．
23．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线
的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基
准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪
台的起跳台的高度 为 ，基准点K的高度为 ，基准点K到起跳台的水平距离为 （d为
定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为
．
(1)c的值为 ；
(2)若运动员落地点恰好到达K点；且此时 ， ，求基准点K到起跳台的水平距离d；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，
并说明理由．
【答案】(1)
(2)基准点K的水平距离d为(3)他的落地点能超过K点，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学
问题．
（1）根据起跳台的高度OA为 ，即可得 ；
（2）由 ， ，知 ，根据基准点K的高度为 ，即得基准点K到起
跳台的水平距离d；
（3）由题意设抛物线解析式为 ，可得抛物线解析式为 ，当
时， ，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度 为 ，
∴ ，
把 代入 得：
，
故答案为：60；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵基准点K的高度为 ，
∴ ，
解得： ， 舍去
∴基准点K的水平距离d为 ；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，
∴抛物线的顶点为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得： ，
解得 ，∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴他的落地点能超过K点．
24．如图，是由边长为1的小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 经过
、 、 、 四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．（保留必要的作图痕
迹）
(1)如图1， 的半径为______；
(2)在图1中画出 的切线 （ 为格点）；
(3)在图2中画出 的中点 ．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）画出 和 的垂直平分线，确定圆心 的位置，再根据勾股定理求出半径即可；
（2）连接 ，取格点 ，使 即可；
（3）由网格的特征，取 的中点 ，连接并延长 交 于 ，即得 的中点 ．
【详解】（1）解：如图：
圆心 是弦 和 的垂直平分线的交点，
结合网格的特征可得 的半径为 ，故答案为： ．
（2）解：如图：
（3）解：如图：
根据网格的特征，取 的中点 ，连接并延长 交 于 ，即得 的中点 ．
【点睛】本题考查了格点作图，作图—确定圆心，垂径定理的应用，勾股定理，切线的性质，矩
形的性质等．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
25．如图，抛物线 经过 ，与y轴交于点C，过点C作 轴，交抛物线于
点B，连接 交y轴于点D，且 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线 的距离是7时，求m的值；
(3)点P为抛物线对称轴上一点，连接 ，若 是以 为直角边的直角三角形，求点P
的坐标．
【答案】(1)
(2) ，(3) 或
【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，点到直线的距离，解决问题的
关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角
形．
（1）根据 ， ，得到 ， ，对 ，令 ，则 ，得
到 ，则 ，根据 轴，得得到 ，把 ， 代入
，求得 ， 的值，即可求得到抛物线解析式；
（2）由题意得， ，则点Q到直线 的距离为 ，故
，解方程即可；
（3）抛物线解析式并配方为 ，得到抛物线的对称轴是直线 ，设
，写出 ， ， ，根据
是以 为直角边的直角三角形，分两种情况：当 时， ；当
时， ，分别列方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，令 ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ 轴，
∴ ；
把点 ， 代入 ，
得： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：由题意得， ，
则点Q到直线 的距离为 ，
∴ ，则 或
解①得： 或
解②，无解，
∴ 或 ；
（3）解： ∵抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
设 ，
则 ， ， ，
∵ 是以 为直角边的直角三角形，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴
当 时， ,
∴
解得： ，
∴
综上： 或 ．
