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专题 09 反比例函数的定义、图象和性质
根据定义判断是否是反比例函数
1．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据形如 的是反比例函数，逐个判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，不符合题意；
B、当 时， 不是反比例函数，不符合题意；
C、 是反比例函数，符合题意；
D、 不是反比例函数，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概
念形如 为常数， 的函数称为反比例函数进行分析即可．
【详解】解：A、 不是反比例函数，选项A不符合题意；
B、 是反比例函数，选项B符合题意；
C、 不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、 不是反比例函数，选项D不符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义：“ （ 为常数， ）的函数称
为反比例函数”进行判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、 是反比例函数，故本选项符合题意；
C、 不是反比例函数，故C本选项不符合题意；
D、 的次数是2次，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．4．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）下列函数中： ； ； ； ，
是反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查反比例函数定义：形如 的函数称作y是x反比例函数．
根据反比例函数定义直接逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
是反比例函数，
，是正比例函数，
， 不是反比例函数，
故选：A．
判断点是否在反比例函数上
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列各点中，不在反比例函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函
数解析式进行求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式，
∴在反比例函数 图象上的点的横纵坐标的乘积一定为 ，
∴四个选项中，A、B、C三个选项中的点在反比例函数图象上，D选项中的点不在反比例函数图象上，故选：D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）下列选项中的四个点，在函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据“反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等
于比例系数k，”进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级下·重庆·期末）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐
项即可．
【详解】解：A、当 时， ，则反比例函数 的图象一定不经过的点 ，故此选项不符合题
意；
B、当 时， ，则反比例函数 的图象一定不经过的点 ，故此选项不符合题意；
C、当 时， ，则反比例函数 的图象一定不经过的点 ，故此选项不符合题意；
D、当 时， ，则反比例函数 的图象一定经过的点 ，故此选项符合题意，
故选：D．4．（23-24九年级上·重庆南川·期末）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等
于k即可判断该点在函数图象上，据此求解.
【详解】解：∵ ，
∴点 在反比例函数 的图象上，
故选：D.
反比例函数的图象和性质
1．（24-25九年级上·全国·期末）已知反比例函数 ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点 ； B．图象过第一、三象限；
C．若 ，则 ； D．点 是图象上的两点， ，则
；
【答案】D
【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
把点代入计算可判定A选项；根据 ，图象经过的象限可判定B选项；根据函数图象的性质可判定
C、D选项，由此即求解．
【详解】解：A、当 时， ，故原选项正确，不符合题意；
B、∵ ，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，故原选项正确，不符合题意；C、当x=−1时， ，
∵反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小，
∴当 时， ，故原选项正确，不符合题意；
D、∵反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ，则 ，故原选项错误，符合题意；
故选：D ．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）对于反比例函数 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．若点 和点 在该函数图象上，则
D．y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】中心对称图形的识别、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性、求反比
例函数值
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，性质，增减性，图像的对称性，根据解析式熟练计算，灵活运
用性质比较大小是解题的关键．根据解析式，结合反比例函数的性质，计算判断．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴ ，
∵ ，
∴图象不经过点 ，
∴选项A错误；
∵反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴选项B正确；∵反比例函数 ，
∴ ，
∴ ，
∴选项C错误；
∵ ，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴选项D错误；
故选：B．
3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若反比例函数 的图像经过点 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．图像经过点 B．图像在第二、四象限
C．当 时，y随x的增大而减小 D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性、求反比例函数解析式
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
先把点 代入反比例函数 求出 的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数 经过点 ，
，
，
∴图像不经过点 ，故A选项错误；
，
∴它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
∵当 时，函数图象在第一象限， 随 的增大而减小，故C选项正确；
∵当 时， 随 的增大而减小，故D选项错误．
故选：C．
4．（23-24九年级上·四川成都·期末）关于反比例函数 的下列说法正确的是（ ）A．不等式 的解集为 或
B．A(x ,y )、B(x ,y )两点在该函数图象上，若 ，则
1 1 2 2
C．当x<2时，
D．A(x ,y )、B(x ,y )两点在该函数图象上，若 ，则 的值为
1 1 2 2
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、判断反比例函数的增减性
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数与正比例函数的综合问题，先画出图象，可判断 A，
B，C，再求出 ， ，可得 ，进而判断D．
【详解】函数 和 的图象如图所示，
当 时，解得 ， ，
∴交点坐标为 ， ．
当 ， 时， ，
所以A不符合题意；
观察图象可知当 时， ，
所以B不符合题意；
当 时， ，该点 在第四象限，
∴当 时， .所以C不符合题意；
∵点 ， 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
所以D符合题意．
故选：D．
判断反比例函数的增减性
1．（23-24九年级上·广东东莞·期末）对于函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式得出函数图象在第一、三象限，在每个象限
内， 随 的增大而减小，结合 ，计算即可得出答案．
【详解】解：∵函数 ，
∴ ，
∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）反比例函数 的图象，当 时， 随 的增大而 ．
【答案】减小【知识点】判断反比例函数的增减性
【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反
比例函数 中，当 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 随 的增大
而减小是解答此题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的解析式为 ，
∴ ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 随 的增大而减小，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故答案为：减小．
3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数 的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，
则n的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，直接利用反比例函数的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：∵反比例函数 的图象，在同一象限内，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
4．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点 ，那么当 ，这个函数中
的函数值 随自变量 值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】判断反比例函数的增减性
【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据 值的正负
确定函数值的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
【详解】设反比例函数的图象解析式为 ，
∵反比例函数的图象经过点 ，
∴ ，∴当 时， 随 的增大而增大，
故答案为：增大．
已知双曲线发布的象限求参数范围
1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数 的图像，写出一个符合要求的整数
的值是 ．
【答案】1（或2或3）
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1） 时，图像是位于一、三象限；（2） 时，
图像是位于二、四象限．
反比例函数 是常数， 的图像在第一象限，则 ，再根据反比例函数 的图像经过点
，找出符合上述条件的 的一个值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限，
，
又∵反比例函数 的图像经过点 时， ．
，
∴ 的值可以是1．故答案为：1．
2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数 （ 是常数， ）的图像位于第二、四象限，
那么 ．（只需写一个数值）
【答案】
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数
，当 时，函数过一、三象限，当 时，函数过二、四象限”，即可解答．
【详解】解： 反比例函数 （ 是常数， ）的图像位于第二、四象限，
，
，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·河南·期末）若反比例函数 的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的
的整数值 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】此题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数 的图象经过第二、四象限，则有
，求出 即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用．
【详解】∵反比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴ ，解得： ，则只要满足条件即可，
故答案为： （答案不唯一）．
4．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围
是 ．
【答案】
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数 ，当 时，图象经过一、三象限；当 时，图象经过二、四象限；据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴
故答案为：
5．（23-24九年级上·山东济宁·期末）若反比例函数 的图象分布在第一、三象限，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查反比例函数的图象性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数
大于0．
根据反比例函数 的图象分布在第一、三象限，则反比例函数的比例系数大于0列式求值即可．
【详解】解： 反比例函数 的图象分布在第一、三象限，
∴
解得： ，
故答案为： ．
比较反比例函数值或自变量的大小
1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若点 ， ， 在该反比例函数 的图象上，则a，
b，c的大小关系是 （用“ ”连接）．
【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点 ，
， 代入反比例函数的解析式分别求出 的值，由此即可得．
【详解】解：∵点 ， ， 在该反比例函数 ，∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系 中，若点 在反比例函数
的图象上，则 （填“ ”“<”或“ ”）．
【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴双曲线过二，四象限，
∵ ，
∴点 在第二象限，点 在第四象限，
∴ ；
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知反比例函数 的图象位于二、四象限，点
在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据 ，反比例函数的图象位于二、四象限且在每一个象限内，
y随x的增大而增大进行比较即可．
【详解】 反比例函数 的图象位于二、四象限，
，且在每一个象限内， 随 的增大而增大．
．
故答案为： ．4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若点 ， ， 都在反比例函数 （
为常数）的图象上，则 ， ， 的大小关系为 （用“ ”连接）
【答案】
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先证明 ，则反比例函数图象经过第一、三
象限，在每个象限内y随x增大而减小，再由 ，即可得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
一次函数与反比例函数图象综合判断
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 (k
为常数，且 )的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐
一分析即可．
【详解】解：A． 由反比例函数的图象在二、四象限可知， ，一次函数 的图象应该经过二、
三、四象限，故本选项不符合题意；
B． 由反比例函数的图象在一、三象限可知， ，一次函数 的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项符合题意；
C． 由反比例函数的图象在一、三象限可知， ，一次函数 的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项不符合题意；
D． 由反比例函数的图象在一、三象限可知， ，一次函数 的图象应该经过一、三、四象限，
故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级上·上海·期末）已知函数 中，在每个象限内， 的值随 的值增大而增大，
那么它和函数 在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，首先根据反比例函数图象的性
质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【详解】解：∵函数 中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数 的图象经过第一、三象限，
故选：A．3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知函数 ，y随x的增大而减小，另有函数 ，两个函数
在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质．
先由函数 中y随x的增大而减小得到 ，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数
的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果．
【详解】解： 函数 中y随x的增大而减小，
，且函数的图象经过第二、四象限，
函数 的反比例系数大于零，
反比例函数图象经过第一、三象限，
故选：B．
4．（23-24八年级下·山东青岛·期末）一次函数 和反比例函数 在同一平面直角系中的图象可
能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数的图象，逐一进行
判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴当 时，一次函数的图象过一，三，四象限，反比例函数过一，三象限；
当 时，一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数过二，四象限；
故满足题意，只有选项D；
故选D．
一次函数与反比例函数的交点问题
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系 中，点 是直线 与双曲线
的其中一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题
的关键．
根据正比例函数图象上点的坐标特征得到 ，再结合反比例函数图象上点的坐标特征求解，即可解题．
【详解】解：∵点 是直线 与双曲线 的其中一个交点，
∴将点 代入 中，可得 ，解得 ，
∴点 坐标为 ，
将点 代入 中，可得 ，
解得 ，
故选：A．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线 与直线 交于点M，N，并且点M坐标为
，点N坐标为 ，根据图象信息可得关于 不等式 的解为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知：不等式 的解集为： 或 ；
故选D．
3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知正比例函数 的图象与反比例函数 的
图象的一个交点坐标为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】B【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数 ，反比例函数 ，画
出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点坐标为
，
∴ ， ，
∴正比例函数 ，反比例函数 ，
画出函数图象如图所示：
由图象可得：不等式 的解集为 或 ，
故选：B．
4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数 的图像与反比例函数 在第一象
限的图像交于 和 两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式 ；②根据
图像，当 时，x的取值范围为 或 ；③若点P在x轴上，且 ，点P的
坐标 ．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点
问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点 代入 中求出a得到 ，然后利用
待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得 ，
进而得出 ，设 ，则 ，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可．
【详解】解：把点点 代入 ，得 ，
∴ ，
把 代入反比例函数 ，
∴ ；
∴反比例函数的表达式为 ，故结论①正确；
把 代入 ，得： ，
∴B(2,1)，
根据图象可知，当 时，x的取值范围为 或 ，故结论②正确；
如图，连接 ，对于 ，
当 时， ，
∴点 ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，故结论③错误．
故选：A．
待定系数法求反比例函数的表达式
1．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，点 在第一象限， 轴，垂足为 ， ，
，反比例函数 的图象经过 的中点 ，与 交于点 ．(1)求 值；
(2)求 的面积．
【答案】(1)2
(2)1.5
【知识点】用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数
法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
（1）先根据 ，可得 ，根据 ，由此可得 的坐标，由 是 的中点，可得
点 的坐标，从而得 的值；
（2）先求点 的坐标，根据面积差可得结论．
【详解】（1） ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
， ，
，
是 的中点，
，
；
（2）当 时， ，
，，
．
2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B
两点，且与反比例函数 的图象在第一象限相交于C点，作 轴于D点，若 ，
， ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2) 的面积为________．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）根据题意求出 ， ，及 ，代入 ，即可求解，
（2）将A(−2,0)， ，代入一次函数 ，求出一次函数解析式，当 时，求出 的长度，
即可求解，
本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是：熟练掌握反比例函数．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点C在反比例函数 的图象上，∴ ，
∴反比例函数为： ；
（2）解：将A(−2,0)， ，代入一次函数 ，
，解得： ，
∴一次函数的解析式为： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数
的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为 ，连接 ， ，过点B作 轴于点D，交
于点C，且 ．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ；一次函数的表达式为(2)
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出
一次函数解析式；
（2）先求出 的解析式，进而求出 ，用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点A作 轴交 于E，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数 图象上，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：如图，过点A作 轴于F交 于G，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行线分线段成比例，解本题的关键是用待定
系数法求出直线 的解析式．
4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点 在第一象限，且在反比例函数 的图象上，点
是点 关于 轴的对称点， 的面积是4．(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点 的横坐标为1，延长 交反比例函数的图象于点 ，连接 ，点 在反比例函数
图象上，满足 的面积等于 的面积，求直线 的解析式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与
几何综合
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识．
（1）设 与 轴交于点 ． 是点 关于 轴的对称点， 的面积是4，则 ．得到
．又 ．则 ．即可得到反比例函数的解析式；
（2）依次求出 、 、 ，过 点作 ，直线 与反比例函数在第一象限的图
象的交点为所求点 ，则 ．求出直线 解析式为 ．由 可设直线 的解析
式为 ，将 代入上式，得到 ，解得 ．即可求出直线 的解析式．
【详解】（1）解：如图，设 与 轴交于点 ．
∵ 是点 关于 轴的对称点， 的面积是4，∴ ．
∴ ，即 ．
又 ．
∴ ．
∴反比例函数的解析式 ．
（2）∵点 的横坐标为1，
当 时， ，
∴ ．
由点 与点 关于 轴对称得 ．
由题可得，点 与点 关于原点 对称，
∴ ，
过 点作 ，直线 与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点 ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ．
将 代入上式，得 ，
∴直线 解析式为 ．
∵ ，
∴可设直线 的解析式为 ，
将 代入上式，得到 ，
解得 ．
∴直线 的解析式为 ．
5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数 的图象与反比例函数 在第二象限的图象交于点 ，与x轴交于点B，连结 并延长交这个反比例
函数第四象限的图象于点C．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)求 的面积．
(3)当直线 对应的函数值大于反比例函数 的函数值时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问
题
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图
象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合；
（1）先求出点 的坐标 ，然后代入反比例函数解析式，求出 的值即可；
（2）由一次函数的解析式求得点 的坐标，利用反比例函数的对称性求得点 的坐标，然后根据
即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解： 在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，，
反比例函数的对应的函数关系为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 ，
点 的坐标为 ．
点 在反比例函数 的图象上，
，根据对称性，
点 的坐标为 ，
；
（3）解：由图象可得，
当 或 时，直线 的图象在反比例函数 的图象的上面
∴当直线 对应的函数值大于反比例函数 的函数值时， 或 ．
