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专题 26.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）
【学习目标】
1. 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；．
2. 掌握并运用K值的几何意义解决问题；．
3. 充分利用数形结合思想解决问题。
【要点梳理】
反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
过双曲线 ( ) 上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
过双曲线 ( ) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角
形的面积为 .
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴
的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、已知比例系数求特殊四边形面积
1． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y＝ （x
1
＞0）的图象上，边AB与函数y＝ （x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．
2【答案】3
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积
为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵点D是函数y＝ （x＞0）图象上的一点，
2
∴△AOD的面积为 ，
∵点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，
1
∴矩形ABCO的面积为4，
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．
举一反三：
【变式1】如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝ 的图象相交于A，C两点，
过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则 的面积等于多少？
【答案】4
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S =S ，再
OBA OBC
根据反比例函数系数k的几何意义作答即可． △ △
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S= |k|．
所以△ABC的面积等于2× |k|=|k|=4．
【点拨】主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，
做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标
轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|．
【变式2】已知，反比例函数 和 的部分图象如图所示，点P在 上，
PC垂直x轴于点C，交 于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交 于点B，连接
OA，OB．
（1）求B点和P点的坐标；
（2）求四边形AOBP的面积．
【答案】（1）B点的坐标为（ ，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4
【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别
代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；
（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．
解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，
∵P点在 上，把 代入得 ，
∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．又∵B点在 上，把 代入得 ，
∴B点的坐标为（ ，3），P点的坐标为（2，3）．
（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD= ，
用S表示图形的面积，由题意得：
，
，
，
=4．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边
形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．
类型二、已知面积求比例系数或解析式
2． 如图所示，已知双曲线 ，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与
直角边AB交于点C，DE⊥OA， ，求反比例函数的解析式．
【答案】【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用三角形中位线定理可得 ，
，然后证明△BDM≌△DOE，从而得到 ， ，
最后设D( )，则B( )，利用反比例函数的几何意义可得 ，从
而得到 ，即可求解．
解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵AB⊥OA，
∴ DM∥OA，
∴ ∠BDM＝∠BOA， ，
∵D是斜边OB的中点，DE⊥OA，
∴OD=DB， ，
在△BDM和△EOD中
∴△BDM≌△DOE(AAS)，
∴ ， ．
设D( )，则B( )．
∵ ，
∴ ．即 ，解得： ．
∴反比例函数的解析式为 ．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形
的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点A，B关于y轴对称，S AOB＝8，点A在双曲线y＝ ，求k的
△
值．
【答案】k＝﹣4．
【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系
数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k
符号．求得2k的值，再除以2可得k值．
解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，
∴S△AOC＝ S△AOB＝ ，
∵S△AOC＝ |2k|，∴ |2k|＝4，
∴
∵在第二象限，
∴2k＝﹣8
∴k＝﹣4．
【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数
系数的几何意义求出k值是解题的关键．
【变式2】如图，直线x=t(t>0)与双曲线y= (k>0)交于点A，与双曲线y= (k<0)交
1 2
于点B，连接OA，OB．
(1)当k、k 分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB的面积_______(填增大、不
1 2
变、或减小)
(2)当k+k=0，S =8时，求k、k 的值.
1 2 AOB 1 2
△
【答案】（1）不变；（2）k＝8，k＝﹣8．
1 2
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出答案；
（2）由题意可知S AOB＝ k﹣ k，然后与k+k＝0构成方程组，解之即可．
1 2 1 2
△
解：（1）不变.
∵S AOC＝ |k|，S BOC＝ |k|，
1 2
△ △
∴S AOB＝S AOC+S BOC＝ （|k|+|k|），
1 2
△ △ △
∵k，k 分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.
1 2
故答案为：不变；
（2）由题意知：k＞0，k＜0，∴S AOB＝ k﹣ k＝8，
1 2 1 2
△∵k+k＝0，∴k＝8，k＝﹣8．
1 2 1 2
【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函
数系数k的几何意义是解题的关键．
类型三、反比例函数和面积问题常考题
3．如图，点A（﹣2，y）、B（﹣6，y）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，
1 2
AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y、y 的大小关系，并通过计算加以验证；
1 2
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选
一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1） ，见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，
把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐
标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得
BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可
求得k．
解：（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；
当x=-6时， ；当x=-2时，
∵ ，k＜0
∴
即（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴ODOC=2
∵OC=∙2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝ 中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练
掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y＝﹣ 的图象上，点B在
1
第一象限y＝ 的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ ，S OCBE
2 矩形＝ S ODAE．
矩形
（1）求点B的坐标．
（2）若点P在x轴上，S BPE＝3，求直线BP的解析式．
△
【答案】（1）B（ ，2）；（2）直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3．
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出 ，由题意可知
B的横坐标为 ，代入即可求得B的坐标；
（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直
线BP的解析式．
解：（1）∵S ＝ S ，点B在第一象限y＝ 的图象上，
矩形OCBE 矩形ODAE 2
∵点A在第四象限y＝﹣ 的图象上，
1
∴S ＝2
矩形ODEA
∴S ＝ ×2＝3，
矩形OCBE
∴k＝3，
∴y＝ ，
2
∵OE＝AD＝ ，
∴B的横坐标为 ，
代入y＝ 得，y＝ ＝2，
2∴B（ ，2）；
（2）设P（a，0），
∵S ＝ PE•BE＝ ，
BPE
△
解得a＝﹣ 或 ，
∴点P（﹣ ，0）或（ ，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（ ，2），（﹣ ，0），
则 ，
解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝ x+1；
②若直线过（ ，2），（ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，
待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．
【变式2】反比例函数 与一次函数 交于点A（1，2k－1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
【答案】（1）y= ；（2）y=－ 或y= .
【分析】首先根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；根据点A的坐标和
三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.
解：（1）由已知可得： =2k－1，k=2k－1
解得：k=1
∴反比例函数的解析式为：y=
（2）点A（1,1），点A到x轴的距离为1，
由已知可得： ×1=3
∴ =6 ∴点B的坐标为（6,0）或（－6,0）
①当一次函数过A（1,1）和B（6,0）时，
得：
解得：
∴一次函数的解析式为y=－
②当一次函数过A（1,1）和B（－6,0）时，得：
解得：
∴一次函数的解析式为y=
综上所述，符合条件的一次函数解析式为y=－ 或y= .
考点：一次函数与反比例函数.
