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专题35 分式的规律性问题
1．若 （ 不取0和 ）， ， ，…， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过题目给的x 与x ，x 与x ， x 与x ，……等关系分别用含有a的代数式表示x ，
2 1 3 2 4 3 2
x ， x ，……从而找到规律，进而得到结果．
3 4
【详解】解： ，
，
，
由此可知， ，
2020÷3=673……1．
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键．
2．观察下列等式 ， ， ， …根据其中的规律，猜想
_______（用含 的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a 、a 、a 、a ，从而得出数列的循环周期为3，据此即
1 2 3 4
可得解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，，
，
……
∴每3个数为一周期循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．
3．观察下列各式： ， 根据其中的规律可得 ________
（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是
2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是
n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】解：由分析得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找
到规律，并进行推导得出答案．
4．一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ）,则第 个式子是______（
为正整数）.
【答案】 .
【详解】试题分析：观察给出的一列数，发现这一列数的分母a的指数分别是1、2、3、4…，与这
列数的项数相同，故第n个式子的分母是an；这一列数的分子b的指数分别是2、5、8、11，…即第一个数是3×1-1=2，第二个数是3×2-1=5，第三个数是3×3-1=8，第四个数是3×4-1=11，…每个数
都比项数的3倍少1，故第n个式子的分子是b3n-1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们
的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第n个式子的符号为（-1）n．
试题解析：第n个式子是 .
考点：规律型：数字的变化类．
5．观察下列等式：
第1个等式：x = ；
1
第2个等式：x = ；
2
第3个等式：x = ；
3
第4个等式：x = ；
4
则x+x +x +…+x =_______________．
l 2 3 10
【答案】
【详解】因为x = ；
1
x = ；
2
x = ；
3
x = ；
4
…
所以x+x +x +…+x
l 2 3 10
= + + +…+
= （ ）
=
= ．故答案为：
【点睛】考点：分式的计算．
6．观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第 个等式： ______；
（2）计算 结果等于______．
【答案】
【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶
数的倒数的差；
（2）根据（1）的规律即可求解．
【详解】（1）由题意得： ，
故答案为： ；
（2） 观察下列等式：
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；
第 个等式： ；第 个等式为： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
三、解答题
7．观察下列各式：
， ， ， ．
(1)请再写出一个符合上述各式规律的式子：___________；
(2)依照以上各式呈现的规律，写出它们的一般形式，并给出证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）不难看出，两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，
从而可求解；
（2）根据（1）的分析，写出一般形式，再对式子的左边进行运算，从而可求证．
（1）
解：由题意得：两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，
则符合规律的式子有： ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）解：设第一个分数的分子为x，其一般形式为：
，
证明：左边=
=2=右边．
故原式成立．
【点睛】本题主要考查分式的规律性问题，解答的关键是由所给的等式分析清楚各数之间的关系．
8．观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；．．．．．．
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据前 个等式的规律写出第 个等式；
（2）根据前 个等式的规律写出第 个等式，只需证明等式左边等于右边即可．
（1）
解： ；
（2）
解：猜想：
证明如下：左边 右边．
【点睛】本题考查了等式中的找规律问题，解决本题的关键是找出第 项与项数 之间的关系．
9．观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：第1个等式： ，第2个等式： ，第3
个等式： ，第4个等式： ，即可求解；
（2）由（1）发现规律：第n个等式： ，再根据分式的减法运算把左边化简，
即可求解．
(1)
解：（1）根据题意得：
第1个等式： ，即 ，
第2个等式： ，即 ，
第3个等式： ，即 ，第4个等式： ，即 ，
故答案为： ；
(2)
解：由（1）发现规律：第n个等式： ，理由如下：
左边
=右边
【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
10．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
……
按上述规律，回答以下问题：(1)写出第6个等式：_______________________________________________；
(2)写出你猜想的第 个等式：_____________________________________（用含 的等式表示），
并证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：
，按照此规律即可求解；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进
而得到左右相等便可．
(1)
解：第6个等式： ；
故答案为： ．
(2)
解：第 个等式： ；
证明：右边
左边，
∴等式成立．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
11．观察下列各式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
……
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第4个等式为：______．
(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；
（2）结合（1）即可写出第 个等式，然后计算证明即可．
(1)
解：第4个等式为： ，
故答案为： ．
(2)
解： ．
证明：右边 左边，
所以等式成立，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律．12．观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析；
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证
明．
（1）
解：通过观察可得： ；
（2）
．
证明：左边=
= =右边，
∴ ．
【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
13．观察下列等式：1﹣ ＝1× ，2﹣ ＝2× ，3﹣ ＝3× ，…
（1）试写出第5个等式；
（2）写出第n个等式，并证明其正确性．
【答案】（1） ；（2）n﹣ ＝ ，证明见解析．
【分析】（1）根据已知的等式即可写出第5个等式；
（2）根据已知的等式即可写出第n个等式，再根据分式的运算法则即可验证．
【详解】解：（1）∵1﹣ ＝1× ，2﹣ ＝2× ，3﹣ ＝3× ，…，
∴第5个等式是： ；
（2）1﹣ ＝1× ，2﹣ ＝2× ，3﹣ ＝3× ，…，
∴第n个等式是n﹣ ＝ ，
证明：左边＝
＝
＝
＝ ＝右边，
即n﹣ ＝ 成立．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子写出第n个等式．
14．观察下列等式：
，① ，②
，③ ，④ ，⑤……
（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；
（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空： ________；（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）2，6，12，20，30，42，
56，8
【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为
连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可；
（2）根据（1）中的结论计算即可；
（3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
（3）∵
∴
∴
∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8．
【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关
键．15．观察下列方程，回答问题
① 的解为x=0
② 的解为x=1
③ 的解为x=2
④ 的解为 x=3
（1）请直接写出第⑤个方程及它的解；
（2）请你写出第 n（n为正整数）个方程，并求出它的解．（写出解答过程）
【答案】（1） ，x=4；（2） ；x=n-1
【分析】（1）根据题意，找到规律即可；
（2）根据（1）的规律写出第n（n为正整数）个方程，并解方程即可．
【详解】（1）观察前4个方程及方程的解，规律为：
方程左边的分式是分母不变，分子分别为1,2,3,4故第5个方程左边分式的分子为5分母不变；方
程的右边分母不变，分子为左边的2倍，故第5个方程的右边分式的分子为10；
所以方程为：
方程的解为：x=4；
（2）根据（1）中的结论得到第n（n为正整数）个方程为:
即：
去分母得：
化系数为1得：x=n-1
当 时，
是原方程的解．
【点睛】本题考查了找规律问题，分式方程的解法，根据题意找到规律是解题的关键．
16．观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出第n个等式，并证明；
（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3） ．
【分析】（1）根据已知4个等式的数字规律解题；
（2）列式计算，找到等式的规律，写出第n个等式，再结合平方差公式即可解题；
（3）根据（2）的结论即可计算解题．
【详解】解：（1）根据已知等式可知：
第1个等式 ，即 ，
第2个等式 ，即 ，
第3个等式 ，即 ，
第4个等式 ，即
第5个等式： ，即 ；
（2）根据已知等式可知：
第1个等式 ，即 ，第2个等式 ，即 ，
第3个等式 ，即 ，
第4个等式 ，即
第5个等式： ，即 ；
……
第n个等式： ；
证明：左边＝
＝右边,
故等式成立；
（3）
．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．请先阅读下列内容，然后解答问题：
因为： ， ， ，…，
所以： + +…+
＝ + + +…+
＝
＝
（1）猜想并写出： ＝ ；（ 为正整数）
（2）直接写出下面式子计算结果： + +…+ ＝ ；
（3）探究并计算： + +…+
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据给出的具体例子，归纳式子特征为：分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，
等于这两个连续自然数的倒数差，因此猜想第n项可转化为 ；
（2）按照（1）得出的规律，进行计算即可；
（3）观察式子的每一项，归纳出：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项可转化为
，依次抵消即可求解
【详解】解：（1） ，
故答案为：
（2） + +…+
==
= ，
故答案为：
（3）原式＝ + +…+
＝ …+
＝
＝
＝
【点睛】考查了与分式混合运算有关的规律性问题，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，
只剩首末两项，使运算变得简单
18．探究规律：
(1)填空：① _________
② _________
③ _________
(2)根据（1）中的填空猜想 _________（ 为整数），并说明理由；
(3)受上述规律的启发，计算：
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)【分析】（1）用分式减法法则计算即可；
（2）根据（1）进行猜想即可得到答案，然后用分式减法法则计算即可说明理由；
（3）运用（2）得到的规律解答即可．
（1）
解：①
②
③ ．
（2）
解： ，理由如下：
．
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的减法运算、归纳规律以及运用规律，根据分式的加减过程、归纳
出规律是解答本题的关键．
19．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： …
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第 个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第 个等式为 ，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
（1）
解：根据已知规律，第5个等式为 ，
故答案为： ；
（2）
解：根据题意，第 个等式为 ，
证明：右边=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳
问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
20．观察以下等式：第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；……；
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明过程见详解
【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进
而得到左右相等便可．
(1)
第五个等式为： ，
故答案为： ；
(2)
根据（1）所得到的规律，猜想： ；
证明：，
即：右边=左边，
故猜想成立，
故答案为：
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应
的等式，并证明猜想的正确性．
21．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的乘除法，以及平方差公式因式分
解，可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：由题意可得，
第6个等式： ，故答案为： ；
（2）解：猜想：第n个等式是： ，
证明：
，
∴ 成立．
【点睛】本题考查数字的变化类规律探究，分式乘除法，掌握发现数字的变化特点，写出相应的
式子．分式乘除法法则，平方差公式，规律探究的方法是解题关键．
22．观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1) ；(2) ，证明见解析．
【分析】（1）通过观察发现：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第
二个分数的分母是2×12-1，2×22-1，2×32-1，…，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，由此
可得一般规律；
（2）根据（1）发现的规律，写出含n的等式并证明即可．
(1)
解：左边的分数中分子是1，第一个分数的分母是从1开始的整数，第二个分数的分母是2×12-1，
2×22-1，2×32-1，…，右边分数分子是1，分母是从1开始的奇数，
据此可得第7个等式是： ，
故答案为： ；
(2)
由（1）总结出第n个等式： ，
证明： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式中数字的变化规律和分式的加减法，通过观察所给的式子，找到式子的特
点，得出一般规律是解题的关键．
23．观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)
(2) ，验证见解析
【分析】（1）根据所给等式写出第5个等式即可；
（2）由所给等式可知，第n个等式的等号左边第一个加数的分母为n，分子是1，第二个加数的分
母是n+2，分子是2，然后再加上这两个数积的2倍，等号右边的分母是n，分子是3；然后利用分
式的运算法则进行计算，得出相等即可．
(1)
解：由题意得，第5个等式为： ；
(2)
解：第n个等式为： ，
左边：
右边，
∵左边=右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查了分式的规律问题，分式的化简，找出变化规律是解题的关键．
