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第 3 课时 反比例函数图象与性质的综合应用
1．归纳总结反比例函数的图象和性质．
(重点)
2．理解并掌握反比例函数的比例系数k
的几何意义．(重点，难点) 如图所示，点A在反比例函数y＝
的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的
面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A的坐标，然后用A的坐
标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
一、情境导入 解：S ＝y ·x ，∵A在反比例函数y＝
△AOC A A
如图所示，对于反比例函数，在其图象 的解析式上，∴x ·y ＝k，∴S ＝·k＝2，
A A △AOC
上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点并 ∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.
连接OP. 方法总结：过双曲线上任意一点与原点
所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围
成的直角三角形的面积等于|k|值的一半．
探究点三：反比例函数的图象与性质的
综合应用
若A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)都是
1 1 2 2 3 3
反 比 例 函 数 y ＝ 的 图 象 上 的 点 ， 且
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数 x<0<x<x，则y，y，y 由小到大的顺序是
1 2 3 1 2 3
的关系，并探讨反比例函数y＝(k≠0)中k值 __________________．
的几何意义． 解析：∵k＝1>0，∴y＝的图象位于第一、
二、合作探究 三象限，且在每一个象限内y随x的增大而
探究点一：用待定系数法确定反比例函 减小，∵x<0<x<x，∴y<0<y<y，故y<y<y.
1 2 3 1 3 2 1 3 2
数的解析式 方法总结：解决这类问题时应该从反比
已知点P(－1，4)在反比例函数y 例函数图象性质入手，通过图象在不同象限
＝(k≠0)的图象上，则k的值是( ) 中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题
A．－ B. C．4 D．－4 时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．
解析：∵点P(－1，4)在反比例函数y＝ 探究点四：反比例函数与一次函数的综
(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝(－1)×4＝－4， 合
故选D. 【类型一】反比例函数与一次函数图象
方法总结：本题考查待定系数法确定反 的综合
比例函数的解析式，已知反比例函数上一点 在同一直角坐标系中，函数y＝kx
的坐标，要求函数解析式，只要把这点的坐 －k与y＝(k≠0)的图象大致是( )
标代入就可求得．
探究点二：反比例函数解析式中k的几
何意义
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解析：在同一直角坐标系中，函数y＝kx
－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当
k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx 本次教学过程重在归纳总结，通过引导
－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分 学生主动参与来加深其对知识的理解，在结
布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、 合基本题型教学的同时，通过发散思维的引
二、四象限，故选D. 导，进一步提升学生的创新思维和实际动手
方法总结：判断函数图象分布是否正确， 能力，全面提升学生的认知水平．
主要通过假设条件，根据函数的图象及性质
判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错
误．
【类型二】反比例函数与一次函数图象
与性质的综合
如图所示，一次函数y＝ax＋b的
图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两
点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大
于一次函数的值的x的取值范围．
解析：(1)把点N(－1，－4)代入y＝即可
求出反比例函数解析式，进而求出点M，再
把M、N代入一次函数即可求出一次函数的
解析式．
(2)由图象可知当反比例函数大于一次
函数时x的取值范围是x<－1或0<x<2.
解：(1)由反比例函数定义可知k＝(－
1)×(－4)＝4.
∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．
∴m＝＝2，∴M(2，2)．
即在一次函数图象上有
∴a＝2，b＝－2，∴y＝2x－2.
(2)由图中观察可知，满足题设x的取值
范围为x<－1或0<x<2.
方法总结：分别利用反比例函数和一次
函数的定义求出其解析式，根据图象和性质
判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．
三、板书设计
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