文档内容
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第 3 课时 勾股定理的逆定理
已知a，b，c为△ABC的三边，且
满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个 △ABC的形状．
三角形是否为直角三角形；(重点) 解析：可先确定a，b，c的值，然后再结
2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决 合勾股定理的逆定理进行判断．
问题．(难点) 解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b
－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又
∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，
一、情境导入 ∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
方法总结：此题主要依据“若几个非负
数的和为0，则这几个非负数同时为0”这
一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题
时会经常用到，应注意掌握．
【类型三】 利用勾股定理逆定理解决与
角有关的问题
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将 在如图的方格中，△ABC的顶点
一根长绳打上等距离的13个结，然后如图 A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC
那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中 的外角∠ACD的度数等于( )
一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】 勾股数 A．130° B．135°
判断下列几组数中，一定是勾股 C．140° D．145°
数的是( ) 解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22
＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是
A．1，， B．8，15，17 △ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°
C．7，14，15 D.，，1 ＋90°＝135°.故选B.
解析：选项A不是，因为和不是正整数； 方法总结：在网格图中求三角形的角度
选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17 时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角
是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152； 关系来解答，比如在直角三角形中30°所对
选项D不是，因为与不是正整数．故选B. 的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形
方法总结：勾股数必须满足：①三个数 中两直角边相等．
必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2 【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决
＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不 面积问题
是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍 如图，在四边形ABCD中，∠B＝
得到三个数仍是一组勾股数． 90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四
【类型二】 判断三角形的形状 边形ABCD的面积．
www.youyi100.com
第 1 页 共 2 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的
问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即
为走私艇所走的路程，可知，△ABE 和
△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直
角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝
90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股 于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的
定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角 最短距离是 CE，由 S ＝AB·BC＝
△ABC
三角形，然后代入三角形面积公式将两直角 AC·BE，得BE＝(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，
三角形的面积求出来，两者面积相加即为四 即CE2＋()2＝122，得CE＝(海里)，∴÷13＝
边形ABCD的面积． ≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为 时41分．
直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝ 答：走私艇C最早在10时41分进入我
102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝ 国领海．
100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋ 方法总结：本题考查了对题意的准确把
CD2＝AD2，∴△ACD 为直角三角形，且 握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关
∠ACD＝90°，∴S ＝S ＋S ＝ 键是从实际问题中整理出几何图形．
四边形ABCD △ABC △ACD
×6×8＋×10×24＝144. 三、板书设计
方法总结：将求四边形面积的问题转化 1．勾股定理的逆定理
为求两个直角三角形面积和的问题，解题时 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2
要利用题目信息构造出直角三角形，如角度， ＝c2，那么这个三角形是直角三角形
三边长度等． 2．利用勾股定理逆定理求角和线段的
探究点二：勾股定理逆定理的实际应用 长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
学生在练习的过程中很容易受到固定思维
模式的限制，往往不找最长边而总是按照先
后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就
如图，南北向MN为我国领海线， 是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明
即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9 不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提
时50分，我国反走私A艇发现正东方有一 高.
走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开
来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反
走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C
的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海
里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇
C的速度不变，最早会在什么时候进入我国
领海．
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇
的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得
www.youyi100.com
第 2 页 共 2 页
