文档文本内容
专题 01 反比例函数中 k 的几何意义（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)............................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:19)........................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:41)(cid:34)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)k(cid:19).....................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:3)(cid:43)(cid:22)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:45)(cid:46)(cid:19)..................................................................................................................................................12
知识点 比例系数k的几何意义
1. 过y= k (k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|.
x
2. 连接y= k (k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角
x
三角形的面积都等于
|k|.
2
若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的
值，进而确定函数表达式.
【题型1 求三角形面积】
4
(cid:15)(cid:47)1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59) ABC(cid:60)(cid:61)(cid:62)A(cid:63)B(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)O
x
△
(cid:74)(cid:75)(cid:59)(cid:62)C(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)AD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:62)C(cid:65)(cid:62)D(cid:77)(cid:78)(cid:59)(cid:79)OD=2CD(cid:59)(cid:80) BOC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) (cid:82)
⊥ △6
(cid:15)(cid:83)(cid:84)1-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:90)(cid:91)3
x
(cid:39)6(cid:59)(cid:92)(cid:93)OA(cid:59)OB(cid:59)AB(cid:59)(cid:80) AOB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:48) (cid:57)
△
7 9
A(cid:82) B(cid:82)4 C(cid:82) D(cid:82)5
2 2
k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)1-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:28)(cid:94)(cid:95)(cid:96)·(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:97)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:67)(cid:68)y=
x
k x+b(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:105)(cid:106)(cid:72)A(a,6)(cid:63)B(−6,1)(cid:107)(cid:62)(cid:82)
2
(1)(cid:22)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:103)(cid:104)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:84)(cid:110)
(2)(cid:111)x<0(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:59)(cid:101)(cid:93)(cid:116)(cid:117)(cid:3)(cid:72)x(cid:60)(cid:118)(cid:119)(cid:84)k x+b− k 1≥0(cid:60)(cid:120)(cid:121)(cid:110)
2 x
(3)(cid:122)(cid:101)(cid:123)AB(cid:70)(cid:60)(cid:62)C(cid:124)CD x(cid:76)(cid:59)(cid:106)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)D(cid:82)(cid:79)(cid:62)C(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:81)−4(cid:59)(cid:22) BOD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)1-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:127)∥ ·(cid:128)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:129)(cid:25)ABOC(cid:97)(cid:59)O(cid:81)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)x△(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C
(cid:65)y(cid:76)(cid:132)(cid:131)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:133)(cid:134)(cid:123)y=−6 (cid:33)(cid:90)(cid:106)AC(cid:59)AB(cid:72)(cid:62)D(cid:59)E(cid:59)AD=3CD(cid:59)(cid:135)ED(cid:81)(cid:29)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:124) DEFG(cid:59) (cid:139) DEFG
x
▱ ▱
AE
(cid:102)(cid:129)(cid:25)ABOC(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:119)(cid:59)(cid:92)(cid:140)OF(cid:59)OG(cid:59)(cid:80) = (cid:59) OFG(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91) (cid:82)
BE
△【题型2 求四边形面积】
(cid:15)(cid:47)2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:96)(cid:141)(cid:142)(cid:96)·(cid:128)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)xOy(cid:97)(cid:59)(cid:100)(cid:143)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:61)(cid:62)B(cid:65)y(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:61)(cid:62)
6 10
A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:61)(cid:62)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:80)(cid:100)(cid:143)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:48) (cid:57)
x x
39
A(cid:82)32 B(cid:82)16 C(cid:82)8 D(cid:82)
4
4
(cid:15)(cid:83)(cid:84)2-1(cid:19)(cid:48)2023·(cid:96)(cid:141)(cid:92)(cid:144)(cid:145)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:97)(cid:59)(cid:62)B(a,b)(cid:91)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:65)(cid:146)(cid:23)(cid:69)(cid:147)
x
(cid:34)(cid:148)(cid:70)(cid:60)(cid:103)(cid:149)(cid:150)(cid:62)(cid:59)(cid:135)B(cid:81)(cid:61)(cid:62)(cid:59)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:97)(cid:151)(cid:124)(cid:129)(cid:25)ABCD(cid:59)AB x(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:122)(cid:62)O(cid:60)(cid:101)(cid:123)MQ(cid:33)(cid:90)(cid:106)AD(cid:63)BC
(cid:29)(cid:72)(cid:62)M(cid:63)Q(cid:59)(cid:135)MQ(cid:81)(cid:103)(cid:29)(cid:124)(cid:129)(cid:25)MNPQ(cid:59)(cid:71)(cid:101)(cid:123)PN(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:122)(cid:62)⊥E(cid:59)(cid:58)(cid:155)(cid:62)B(cid:65)(cid:156)(cid:150)(cid:97)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:157)(cid:158)(cid:83)(cid:38)(cid:59)(cid:159)
(cid:160)(cid:129)(cid:25)MNPQ(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:37)(cid:38)(cid:83)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:91)(cid:48) (cid:57)
A(cid:82)(cid:164)(cid:165)(cid:38)(cid:166)(cid:167)(cid:37) B(cid:82)(cid:164)(cid:167)(cid:37)(cid:166)(cid:165)(cid:38) C(cid:82)(cid:103)(cid:101)(cid:118)(cid:83) D(cid:82)(cid:103)(cid:101)(cid:165)(cid:38)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)2-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:168)(cid:50)(cid:169)(cid:52)·(cid:103)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:102)(cid:132)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=k x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:106)(cid:72)(cid:62)A
x 2k
(2,2)(cid:59)(cid:170)(cid:132)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=k x(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:136)(cid:70)(cid:100)(cid:171)n(cid:149)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:166)(cid:59)(cid:176)(cid:177)(cid:60)(cid:101)(cid:123)(cid:102)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:106)(cid:72)(cid:62)C
2 x
(1,m)(cid:59)(cid:102)y(cid:76)(cid:106)(cid:72)(cid:62)B(0,n)(cid:59)(cid:92)(cid:93)AC(cid:59)(cid:80)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OACB(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:48) (cid:57)
9 7
A(cid:82)5 B(cid:82) C(cid:82) D(cid:82)3
2 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)2-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 6 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:122)(cid:62)B(m,n)(cid:33)(cid:90)(cid:124)x(cid:76)(cid:39)y
x
(cid:76)(cid:60)(cid:100)(cid:143)(cid:123)(cid:106)(cid:67)(cid:68)y= 3 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)A(cid:59)C(cid:82)
x
(1)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,3)(cid:59)(cid:22)(cid:62)A(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:101)(cid:123)OC(cid:120)(cid:182)(cid:84)(cid:110)
(2)(cid:111)(cid:62)B(cid:81)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:150)(cid:62)(cid:59)(cid:183)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:184)(cid:83)(cid:161)(cid:59)(cid:79)(cid:118)(cid:83)(cid:59)(cid:113)(cid:185)(cid:186)(cid:73)(cid:187)(cid:110)(cid:79)(cid:83)(cid:161)(cid:59)(cid:113)(cid:188)m
(cid:60)(cid:189)(cid:68)(cid:84)(cid:108)(cid:190)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:110)
(3)(cid:111)OC(cid:100)(cid:33)OA(cid:102)x(cid:76)(cid:132)(cid:131)(cid:76)(cid:60)(cid:191)(cid:24)(cid:59)(cid:22)(cid:192)(cid:193)(cid:112)AC(cid:91) OAB(cid:60)(cid:24)(cid:100)(cid:33)(cid:123)(cid:82)
∠
【题型3 求阴影部分图形面积】
8 2
(cid:15)(cid:47)3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:85)(cid:86)(cid:194)(cid:195)(cid:178)·(cid:23)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:146)(cid:103)(cid:69)(cid:147)(cid:95)(cid:62)A(cid:59)B(cid:33)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:39)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:33)(cid:90)(cid:122)
x x
A(cid:59)B(cid:107)(cid:62)(cid:136)x(cid:76)(cid:59)y(cid:76)(cid:124)(cid:196)(cid:123)(cid:59)(cid:197)(cid:198)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)(cid:48) (cid:57)A(cid:82)4 B(cid:82)6 C(cid:82)8 D(cid:82)10
(cid:15)(cid:83)(cid:84)3-1(cid:19)(cid:48)2024·(cid:85)(cid:86)(cid:199)(cid:85)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:97)(cid:59)(cid:129)(cid:25)OCPD(cid:60)(cid:29)OC,OD(cid:33)(cid:90)(cid:65)x(cid:76)(cid:63)y
(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)P(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(3,4)(cid:59)(cid:133)(cid:134)(cid:123)y= 5 (x>0)(cid:33)(cid:90)(cid:102)(cid:29)PC,PD(cid:106)(cid:72)(cid:62)A,B(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91) (cid:82)
x
4
(cid:15)(cid:83)(cid:84)3-2(cid:19)(cid:48)2024(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:203)(cid:204)·(cid:205)(cid:206)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:146)(cid:103)(cid:69)(cid:147)(cid:59)(cid:71)(cid:81)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:62)
x
A(cid:63)B(cid:3)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:60)(cid:74)(cid:207)(cid:62)(cid:33)(cid:90)(cid:81)(cid:62)C(cid:63)D(cid:59)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:91)(cid:62)A(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:60)4(cid:208)(cid:59)(cid:80)(cid:34)(cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)
(cid:81) (cid:82)
8
(cid:15)(cid:83)(cid:84)3-3(cid:19)(cid:48)2023·(cid:88)(cid:209)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)xOy(cid:97)(cid:59)(cid:210)(cid:211)(cid:62)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:65)(cid:133)(cid:134)(cid:123)y= (cid:70)(cid:59)
x
BD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)CE y(cid:76)(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:62)F(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:71)AO=AF(cid:59)(cid:80)(cid:34)(cid:97)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:39)(cid:81) (cid:82)
⊥ ⊥【题型4 比较面积大小】
(cid:15)(cid:47)4(cid:19)(cid:48)24-25(cid:213)(cid:201)(cid:202)(cid:137)·(cid:203)(cid:204)·(cid:172)(cid:214)(cid:56)(cid:215)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:63)C(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:148)(cid:70)(cid:59)(cid:122)(cid:216)(cid:23)(cid:62)
x
(cid:33)(cid:90)(cid:136)x(cid:76)(cid:124)(cid:196)(cid:123)(cid:59)(cid:196)(cid:217)(cid:33)(cid:90)(cid:81)A (cid:63)B (cid:63)C (cid:59)(cid:80) AOA (cid:63) BOB (cid:63) COC (cid:60)(cid:26)(cid:27)S (cid:63)S (cid:63)S (cid:212)(cid:42)(cid:60)(cid:3)(cid:43)(cid:81)
1 1 1 1 1 1 1 2 3
(cid:48) (cid:57) △ △ △
A(cid:82)S =S =S B(cid:82)S <S <S C(cid:82)S <S <S D(cid:82)S >S >S
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3
(cid:15)(cid:83)(cid:84)4-1(cid:19)(cid:137)(cid:218)(cid:34)(cid:25)(cid:97)(cid:59)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)(cid:219)(cid:37)(cid:60)(cid:91)( )
A(cid:82) B(cid:82)C(cid:82) D(cid:82)
k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)4-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:125)(cid:96)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)(cid:220)(cid:68)k>0(cid:57)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:124)AC x(cid:76)(cid:72)(cid:62)
x
⊥
C(cid:59)AD y(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:122)B(cid:124)BE AC(cid:72)(cid:62)E(cid:59)(cid:92)(cid:93)OA(cid:59)OE(cid:59)BC(cid:82)(cid:80)(cid:137)(cid:218)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:97)(cid:59)(cid:102) OAE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:103)(cid:221)(cid:105)(cid:119)
(cid:60)(cid:91)(cid:48)⊥ (cid:57) ⊥ △
A(cid:82) OAD B(cid:82) OCE C(cid:82) ABE D(cid:82) BCE
(cid:15)(cid:83)(cid:84)△4-3(cid:19)(cid:48)24-25(cid:200)(cid:201)(cid:202)△(cid:70)·(cid:222)(cid:88)(cid:223)(cid:178)·(cid:224)(cid:225)(cid:57)(cid:58)△(cid:34)(cid:59)(cid:226)(cid:81)2cm(cid:60)(cid:227)(cid:175)(cid:228)△(cid:60)(cid:103)(cid:29)AB(cid:102)y(cid:76)(cid:229)(cid:230)(cid:59)(cid:231)(cid:103)(cid:29)(cid:154)(cid:122)
(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:103)(cid:62)C(cid:59)(cid:102)x(cid:76)(cid:106)(cid:72)(cid:62)D,C(cid:59)D(cid:107)(cid:62)(cid:33)(cid:90)(cid:74)(cid:207)(cid:227)(cid:175)(cid:228)(cid:70)(cid:60)(cid:232)(cid:68)(cid:81)4cm(cid:39)
x
1cm(cid:82)(cid:48)(cid:233)(cid:97)(cid:227)(cid:175)(cid:228)(cid:70)(cid:60)1cm(cid:74)(cid:207)(cid:68)(cid:76)(cid:70)(cid:60)1(cid:149)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:57)
(1)(cid:22)(cid:234)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:84)(cid:82)
(2)E(cid:81)(cid:234)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:235)(cid:72)(cid:62)C(cid:60)(cid:103)(cid:62)(cid:82)
(cid:79)(cid:62)E(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(4,m)(cid:59)(cid:22)m(cid:60)(cid:44)(cid:82)
①(cid:92)(cid:93)OE(cid:59)(cid:122)(cid:62)E(cid:124)EF x(cid:76)(cid:72)(cid:62)F(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:26)(cid:27)S (cid:59)S (cid:60)(cid:37)(cid:38)(cid:3)(cid:43)(cid:81)S ______S (cid:82)(cid:48)(cid:236)“<”“=”(cid:237)“>”(cid:57)
1 2 1 2
② ⊥【题型5 求面积和差】
(cid:15)(cid:47)5(cid:19)(cid:48)23-24(cid:213)(cid:201)(cid:202)(cid:137)·(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:127)·(cid:224)(cid:225)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59) OAC (cid:39) BAD (cid:238)(cid:91)(cid:119)(cid:239)(cid:101)(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59) ACO= ADB
4 △ △ ∠ ∠
=90 (cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68) y= (cid:65)(cid:146)(cid:103)(cid:69)(cid:147)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:154)(cid:122)(cid:62) B (cid:59)(cid:80) OAC (cid:102) BAD (cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:40)(cid:81) (cid:82)
x
∘
△ △
k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)5-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:178)(cid:179)(cid:240)(cid:241)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:242)P (cid:59)P (cid:59)P (cid:59)…(cid:59)P (cid:119)(cid:62)(cid:59)
x 1 2 3 2020
(cid:243)(cid:244)(cid:60)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:245)(cid:104)(cid:81)1(cid:59)2(cid:59)3(cid:59)…(cid:59)2026(cid:82)(cid:33)(cid:90)(cid:122)(cid:216)(cid:246)(cid:62)(cid:124)x(cid:76)(cid:102)y(cid:76)(cid:60)(cid:196)(cid:123)(cid:59)(cid:34)(cid:97)(cid:247)(cid:248)(cid:198)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)
(cid:249)(cid:250)(cid:177)(cid:77)(cid:245)(cid:104)(cid:81)S (cid:59)S (cid:59)S (cid:59)…(cid:59)S (cid:59)S (cid:82)
1 2 3 2024 2025
(1)(cid:111)k=1(cid:112)(cid:59)S +S +S + +S +S =______(cid:110)
1 2 3 2024 2025
(2)(cid:111)k=2(cid:112)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:110)
1 2 3 2024 2025
(3)(cid:111)k=3(cid:112)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:110)
1 2 3 2024 2025
(4)(cid:111)k=n(cid:112)(cid:59)S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =______(cid:82)
1 2 3 2024 2025
(cid:15)(cid:83)(cid:84)5-2(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:28)(cid:29)⋅⋅(cid:25)⋅ AOBC(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:25)CDEF(cid:238)(cid:91)(cid:132)(cid:138)(cid:25)(cid:59)(cid:29)OA(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:29)OB(cid:65)y(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)D
8
(cid:65)(cid:29)CB(cid:70)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= − (cid:65)(cid:146)(cid:128)(cid:69)(cid:147)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:154)(cid:122)(cid:62)E(cid:59)(cid:80)(cid:132)(cid:138)(cid:25)AOBC(cid:39)(cid:132)(cid:138)(cid:25)CDEF(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:40)
x
(cid:81)(cid:48) (cid:57)A(cid:82)12 B(cid:82)10
C(cid:82)8 D(cid:82)6
(cid:15)(cid:83)(cid:84)5-3(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:251)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:103)(cid:29)OA(cid:65)x(cid:76)(cid:130)(cid:131)(cid:76)(cid:70)(cid:82)O(cid:91)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)A(﹣13(cid:59)0)(cid:59)(cid:74)(cid:24)(cid:123)AC
k
(cid:102)OB(cid:105)(cid:106)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:71)AC•OB(cid:252)130(cid:59)(cid:79)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:252) (cid:48)x(cid:253)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:154)(cid:122)(cid:62)D(cid:59)(cid:254)(cid:102)BC(cid:60)(cid:255)(cid:174)(cid:123)(cid:106)(cid:72)
x
(cid:62)E(cid:82)
k
(cid:48)1(cid:57)(cid:22)(cid:133)(cid:134)(cid:123)y(cid:252) (cid:60)(cid:120)(cid:182)(cid:84)(cid:110)
x
(cid:48)2(cid:57)(cid:22)S (cid:10)S (cid:212)(cid:44)(cid:82)
AOB OCE
△ △
【题型6 由图形面积求k】
(cid:15)(cid:47)6(cid:19)(cid:48)2025·(cid:222)(cid:256)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:122)(cid:62)A(cid:33)(cid:90)(cid:124)x(cid:76)(cid:63)y(cid:76)(cid:60)
x
1
(cid:196)(cid:123)(cid:59)(cid:106)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y=− (cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)B(cid:59)C(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:135)AB,AC(cid:81)(cid:29)(cid:60)(cid:129)(cid:25)ABDC(cid:257)(cid:45)(cid:46)(cid:76)(cid:33)(cid:258)(cid:198)(cid:28)(cid:149)(cid:38)(cid:129)(cid:25)(cid:59)(cid:129)
x
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:90)(cid:259)(cid:81)S ,S ,S ,S (cid:59)(cid:210)(cid:211)S =3(cid:82)
1 2 3 4 1(1)(cid:101)(cid:93)(cid:116)(cid:117)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (x>0)(cid:60)(cid:108)(cid:109)(cid:84)(cid:110)
x
(2)(cid:22)(cid:129)(cid:25)ABDC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:82)
k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)6-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:260)(cid:126)(cid:261)(cid:262)·(cid:128)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:91)(cid:146)(cid:103)(cid:69)(cid:147)(cid:95)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:60)(cid:103)(cid:62)(cid:59)AB y(cid:76)(cid:59)(cid:196)(cid:217)
x
⊥
(cid:81)(cid:62)B(cid:59)(cid:62)C(cid:65)x(cid:76)(cid:70)(cid:59) ABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:91)1(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
△
k k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)6-2(cid:19)(cid:48)23-24(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:70)·(cid:96)(cid:50)(cid:263)(cid:264)·(cid:224)(cid:225)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:33)(cid:90)(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1(cid:39)y= 2(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:33)(cid:90)(cid:122)
x x
A(cid:59)B(cid:107)(cid:62)(cid:136)x(cid:76)(cid:63)y(cid:76)(cid:124)(cid:196)(cid:123)(cid:59)(cid:25)(cid:198)(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)12(cid:59)(cid:80)k −k = (cid:82)
1 2
k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)6-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:265)(cid:266)(cid:96)(cid:267)(cid:161)·(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= (cid:154)(cid:122)A(cid:63)C(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:122)(cid:62)A(cid:124)AB y(cid:76)(cid:72)(cid:62)B(cid:59)
x
⊥
(cid:122)(cid:62)C(cid:124)CD x(cid:76)(cid:72)(cid:62)D(cid:59)(cid:92)(cid:93)OA(cid:63)OC(cid:63)AC(cid:82)(cid:79)S =4(cid:59)CD:OB=1:3(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:91)(cid:48) (cid:57)
ACO
⊥ △
A(cid:82)−12 B(cid:82)−9 C(cid:82)−6 D(cid:82)−3【题型7 由面积间关系求值】
(cid:15)(cid:47)7(cid:19)(cid:48)24-25(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:70)·(cid:85)(cid:86)(cid:230)(cid:268)·(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (k>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:102)(cid:129)(cid:25)OABC(cid:65)(cid:146)(cid:103)(cid:273)(cid:147)
x
(cid:105)(cid:106)(cid:72)D,E(cid:20)(cid:34)(cid:62)(cid:59)OA=2(cid:59)OC=4(cid:59)(cid:92)(cid:93)OD,OE,DE(cid:82)(cid:259) OAD(cid:63) OCE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:90)(cid:81)S (cid:63)S (cid:82)
1 2
△ △
(cid:48)1(cid:57)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:10)S S (cid:48)(cid:236)“>”(cid:63)“<”(cid:63)“=”(cid:57)(cid:110)
1 2
(cid:48)2(cid:57)(cid:79)S +S =2(cid:59)(cid:80) ODE(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81) (cid:82)
1 2
(cid:15)(cid:83)(cid:84)7-1(cid:19)(cid:48)23-24 △ (cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:70)·(cid:49)(cid:50)(cid:50)(cid:85)·(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= 1 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C(cid:59)
x
D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k (k>0,x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AC BD y(cid:76)(cid:59)(cid:210)(cid:211)(cid:62)A(cid:59)B(cid:60)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:90)(cid:81)2(cid:59)4(cid:59) OAC(cid:102) ABD
x
∥ ∥ △ △
(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:40)(cid:81)1(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)7-2(cid:19)(cid:48)23-24(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:70)·(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:127)·(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:59)B(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 2 (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:122)(cid:62)A(cid:59)B
x
k
(cid:124)x(cid:76)(cid:60)(cid:196)(cid:123)(cid:33)(cid:90)(cid:106)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)x>0(cid:59)k>2(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:72)(cid:62)C(cid:59)D(cid:59)(cid:92)(cid:140)OB(cid:59)OD(cid:59)AD(cid:59)CD(cid:82)(cid:79)AC=3BD(cid:59)(cid:71) ACD
x
△
(cid:102) OBD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:39)(cid:81)4(cid:59)(cid:80)k= (cid:82)
△1 k
(cid:15)(cid:83)(cid:84)7-3(cid:19)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:252) (cid:48)x(cid:274)0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)C(cid:59)D(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y(cid:252) (cid:48)k(cid:274)0(cid:57)(cid:60)
x x
(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AC BD y(cid:76)(cid:82)(cid:210)(cid:211)(cid:62)A(cid:63)B(cid:60)(cid:89)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:90)(cid:81)1(cid:63)2(cid:59) OAC(cid:102) ABD(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:212)(cid:27)(cid:81)2(cid:59)(cid:80)k(cid:60)(cid:44)(cid:81)
(cid:48)(cid:275)(cid:275)(cid:57) ∥ ∥ △ △
A(cid:82)2 B(cid:82)3 C(cid:82)4 D(cid:82)5
【题型8 求坐标】
(cid:15)(cid:47)8(cid:19)(cid:48)2025·(cid:276)(cid:256)(cid:277)(cid:161)·(cid:128)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:28)(cid:29)(cid:25)OABC(cid:91)(cid:100)(cid:143)(cid:28)(cid:29)(cid:25)(cid:59)O(cid:81)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:62)(cid:59)(cid:62)C(cid:65)y(cid:60)(cid:132)(cid:131)(cid:76)(cid:70)(cid:59)(cid:62)
A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= m (x>0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)D(cid:91)(cid:123)(cid:270)BC(cid:102)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:34)(cid:69)(cid:60)(cid:106)(cid:62)(cid:59)(cid:79)(cid:62)B(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(2,4)(cid:59)(cid:100)(cid:143)(cid:28)
x
(cid:29)(cid:25)OABC(cid:60)(cid:26)(cid:27)(cid:81)6(cid:59)(cid:80)(cid:278)(cid:68)m(cid:60)(cid:44)(cid:81) (cid:82)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)8-1(cid:19)(cid:48)2025·(cid:276)(cid:256)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:62)A(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 1(k >0)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:62)B(cid:65)(cid:66)(cid:35)(cid:47)(cid:67)(cid:68)y= k 2(cid:60)
x 1 x
k
(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)k (cid:63)k (cid:279)(cid:81)(cid:105)(cid:66)(cid:68)(cid:59)AB y(cid:76)(cid:59)(cid:79)(cid:135)AB(cid:81)(cid:29)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:81)24(cid:60)(cid:129)(cid:25)ABCD(cid:59)(cid:62)D(cid:280)(cid:153)(cid:281)(cid:65)y= 2(cid:60)(cid:67)(cid:68)(cid:34)
1 2 x
∥
(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:80)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(cid:48) (cid:57)A(cid:82)(3,−2) B(cid:82)(−3,2) C(cid:82)(−2,3) D(cid:82)(2,3)
(cid:15)(cid:83)(cid:84)8-2(cid:19)(cid:48)2025·(cid:168)(cid:179)·(cid:103)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:97)(cid:59)(cid:62)A(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81)(−6, 4)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:72)(cid:62)B(cid:59)(cid:210)(cid:211)(cid:133)
(cid:134)(cid:123)y= k (k<0, x<0)(cid:102)AB, OA(cid:33)(cid:90)(cid:106)(cid:72)C, D(cid:107)(cid:62)(cid:59)(cid:92)(cid:93)OC(cid:82)(cid:79)S =9(cid:59)(cid:80)(cid:62)D(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:81) ⊥ (cid:82)
x OAC
△
(cid:15)(cid:83)(cid:84)8-3(cid:19)(cid:48)2025·(cid:265)(cid:266)(cid:96)(cid:37)(cid:282)·(cid:103)(cid:53)(cid:57)(cid:58)(cid:34)(cid:59)(cid:65)(cid:100)(cid:26)(cid:101)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:43)(cid:97)(cid:59)(cid:62)A(cid:63)B(cid:33)(cid:90)(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= 8 (cid:48)x>0(cid:57)(cid:63)y= k
x x
(cid:48)x>0(cid:59)k(cid:81)(cid:220)(cid:68)(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)AB x(cid:76)(cid:59)(cid:196)(cid:217)(cid:81)C(cid:59)OC=4(cid:59)AB=7(cid:82)
⊥
(1)(cid:22)k(cid:60)(cid:44)(cid:110)
k
(2)(cid:111)(cid:62)P(cid:65)(cid:67)(cid:68)y= (cid:48)x>0(cid:57)(cid:60)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:59)(cid:71)S =8(cid:59)(cid:22)(cid:62)P(cid:60)(cid:45)(cid:46)(cid:110)
x POC
△
(3)(cid:65)(cid:48)2(cid:57)(cid:60)(cid:283)(cid:284)(cid:137)(cid:59)(cid:58)(cid:155)x(cid:76)(cid:70)(cid:242)(cid:103)(cid:62)Q(cid:59)(cid:139)(cid:176) POQ(cid:91)(cid:119)(cid:239)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:59)(cid:113)(cid:101)(cid:93)(cid:116)(cid:117)(cid:247)(cid:242)(cid:285)(cid:217)(cid:283)(cid:284)(cid:60)(cid:62)Q(cid:60)(cid:45)
(cid:46)(cid:82) △
