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专题 01 比例系数 K 的两种考法
类型一、求K的值
例．如图，A、B两点在反比例函数 的图象上，C，D两点在反比例函数 的图
象上， 轴于点E， 轴于点F， ， ， 的长度为 ，则
的值是（ ）
A．8 B．11 C．15 D．16
【答案】C
【分析】由反比例函数的性质可知 ， ，结合
和 可求得 的值．
【详解】解：连接 、 、 、 ，如图：
由反比例函数的性质可知 ， ，
，
①，，
②，
由①②两式得： ，
解得 ，
则 ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程
组解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练1】．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数
的图象上，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、C、E、F，且
，连接 恰好经过点D，则k的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】通过证明 ，得出 ，则 ，根据反比例函数
k值的几何意义得出 ，则 ，进而得出 ，根据
图象经过第四象限，即可得出 ．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵点A在反比例函数 的图象上， 轴，∴ ，
∴ ，
∵点B在反比例函数 图象上， 轴，
∴ ，
由图可知， 图象经过第四象限，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，解题的
关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k值的几何
意义．
【变式训练2】．如图，在 中，对角线 交于点 ，双曲线 经过
两点，若 的面积为18，则 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】分别过点 、 作 、 垂直于 轴于 、 ，先求出 ，再
由平行四边形面积公式求出即可．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，、 在双曲线上，
三角形 与三角形 的面积相等，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，即 ，
，
，根据三角形的中位线，可得 ，
，
平行四边形的面积 ，
， ，即 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质等
知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线 第一
和第三象限的两支上，连接 ，线段 恰好经过原点O，以 为腰作等腰三角形 ，
，点C落在第四象限中，且 轴，过点C作 交x轴于E点，交双
曲线第一象限一支于D点，若 的面积为 ，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】设 ， ，则 ，根据已知条件，求出
， ， ，根据
，即可求出 ，连接 ，设 与 轴交于 点，根据已知条件证明 ，得出 ，根据已知条件证明
，过点A作 轴于点M，求出 ，即可求出k的值．
【详解】解：设 ， ， ，
∵ ， 轴，
，
设AB的函数关系式为： ，把 代入得： ，
解得： ，
∵ ，
，
设 的关系式为： ，把 代入得： ，
解得： ，
∴ 的关系式为： ，
联立 ，
解得： 或 ，
∵点D在第一象限，
∴ ，
，
连接 ，设 与 轴交于 点，
，
∵ ，
，
为 的中点， ，，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 轴于点M，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性
质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出 ，是解题的关键．【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点D在第二象限，
轴， ，且 ， 于E， ．反比例函数 ，与边
交于点F，连接 ．若 ，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ,根据已知可得 轴;利用
可得 ，得到 ;利用 ，四边
形 是菱形，可得 ．设 ，则 ，由勾股定理可得
， ，可得 点坐标为 ，所以 ．由于 为矩形，
，可得点 的坐标为 ，利用 ，列
出关于 的方程，求得 的值， 的值即可求出．
【详解】延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图：
轴， ，
轴
，
．
，在 和 中，
四边形 是菱形， ，
设 ，则
．
反比例函数 的图象经过点 ，
,
四边形 为矩形．
点 在反比例函数 的图象上，
，
，
,
，解得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点
的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质，利用点的坐
标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键．类型二、根据K求面积
例．如图，过点 作直线与双曲线 交于 ， 两点，过点 作 轴于点
，作 轴于点 ，在 轴、 轴上分别取点 ， ，使点 ， ， 在同一条直线
上，且 ，设图中矩形 的面积为 ， 的面积为 ，则 ， 的数量关
系是 ．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，根据反比例函数图象系数 的几何意义即可得出
， ，再根据中位线的性质可得出 ，由此即
可得出 ， 的数量关系．
【详解】过点 作 轴于点 ，如图所示，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ， ，
∵ ， 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查了反比例函数图象系数 的几何意义以及三角形的中位线，根据反比例
函数图象系数 的几何意义找出 、 是解题的关键．
【变式训练1】．如图， 、 两点在双曲线 上， 、 两点在双曲线
上，若 轴，且 ，则 的面积为
．
【答案】 /
【分析】如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，过点 作 轴于点
，则四边形 是矩形，设 ， ，得到点 和点 的坐标，得到 和
的长，然后由 列出方程，化简得到 与 的关系，最后用割补法求得
的面积即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，过点 作 轴
于点 ，则四边形 是矩形，
设 ， ，
点 ， ， ， ，
， ， ， ， ，，
，
化简得， ，
，
点 和点 在反比例函数 上，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关
键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
【变式训练2】．如图，已知直线 交 轴于点 ，分别与函数 和
的图象相交于点 ， ，过点 作 轴交函数 的图象于
点 ，过点 作 轴交函数 的图象于点 ，连接 ， ，若 ，
，则 ．
【答案】
【分析】根据同底等高的三角形面积相等以及反比例函数系数 的几何意义得出，然后根据 ， ，即可求得 的面积．
【详解】解：连接 ， ， ，延长 交 轴于 ，
∵同底等高的三角形面积相等
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，三角形的面积以及不同底等高是三角
形面积的关系，证得 是解题的关键．
【变式训练3】．如图，点 和 在反比例函数 的图象上，其中
．过点A作 轴于点C，则 的面积为 ；若 的面积为
，则 ．【答案】 2
【分析】根据 ，得出 ，根据三角形面积公式，即可求出 的面
积；过点B作 轴于点D， 交 于点E，根据 ，
，得出 ，进而得出 ，根据梯形
面积公式，列出方程，化简得 ，令 ，则 ，求出x的值，根据
，得出 ，即 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点B作 轴于点D， 交 于点E，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
令 ，则 ，解得： （舍）， ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，
故答案为： ，2．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是是掌握反比例函数图象
上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
课后训练
1．如图，在反比例函数 的图象上有一动点 ，连接 ， 的图象经
过 的中点 ，过点 作 轴交函数 的图象于点 ，连接 ，则 的面
积为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 的中点 为 即可求得 表示出 的坐标， 即
可表示出 ，利用三角形面积公式求得
【详解】∵动点 在反比例函数 的图象上,
∴设 ，则 的中点 为 ，
的图象经过点 ， ， ，
∵过点 作 轴交函数 的图象于点 ,∴ 的纵坐标把 代入 得, ，
，
，
故选: .
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数 的几何意义，解
题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标.
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形 （ ）交反比例函
数 的图象于点D，E．点D的坐标为 ．连接 ．若
，则 的值为
【答案】
【分析】根据四边形 为矩形， 证明 ，得出点E
坐标，再根据点E和点D都在反比例函数图像上列关于k的等式即可求解；
【详解】∵四边形 为矩形，
又
，
点D的坐标为
故
∴ 点坐标为 ，
∵ 两点都在反比例函数图像上，∴ ，
解得： 或 ，
∵反比例函数在第一象限，
故答案为： ．
【点睛】该题主要考查了反比例函数的图像和性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判
定等知识点，解题的关键是数形结合．
3．如图，点 、 、 、 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标依次为
1、2、3、4……，过这些点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为
、 、 ……，则 ．
【答案】 /
【分析】根据反比例函数 的几何意义，求出 的坐标，再用平移法和反比例函数 的
几何意义进行求解即可．
【详解】解：当 ， ，
∴ ，
由图象可知：
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的面积问题．熟练掌握反比例函数 的几何意义，利
用平移法解决面积问题是解题的关键．
4．如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方形 ， ．
反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M，
轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为
．
【答案】24
【分析】设 ，则 ，从而可得 、 ，由正方形的性质可得
，由 轴，点P在 上，可得 ，由于Q为 的中点，
轴，可得 ，则 ，由于点Q在反比例函数 的图象上可得
，根据阴影部分为矩形，且长为 ，宽为a，面积为6，从而可得 ，
即可求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∵Q为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵Q在反比例函数 的图象上，
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵P在 上，
∴P点纵坐标为 ，
∵P点在反比例函数 的图象上，
∴P点横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，
灵活运用所学知识是解题的关键．
5．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，且点
的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线 对称后的图象经过直线 上的
点 ，则线段 的长度为 ．
【答案】 或 / 或
【分析】根据题意求得反比例函数解析式为 ，得到 和 ，根据反比例函
数的对称轴的平移规律得到反比例函数上的点的平移规律，即可根据勾股定理求得两点间
距离，【详解】解：∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，且
点 的横坐标为1，
故将 代入一次函数 得 ，故点 ，
将 代入反比例函数 ，得 ，故反比例函数的解析式为 ；
令 ，整理得 ，解得 ， ，
将 代入一次函数 得 ，故点 ；
故点 与点 关于直线 对称，
∵反比例函数 关于直线 对称，
则直线 关于直线 对称后的图像为直线 ；
令反比例函数 的图像关于直线 对称后的图象为 ， 的图象关于直线
对称
故 的图象可以看做是由反比例函数 进行平移得到，
原点 关于直线 的对称点 ，如图：
故直线 可以看做直线 每一个点先向右平移1个单位，向下平移1个单位得到
（或向右下45度防线平移 个单位），
则 的图象可以看做是由反比例函数 图象上每一个点先向右平移1个单位，向下平
移1个单位得到（或向右下45度防线平移 个单位），
则点 平移之后的坐标为 ，
点 平移之后的坐标为 ，
即反比例函数 的图像关于直线 对称后的图象经过直线 上的点 的坐标为 或 ，
线段 的长度为 ，或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数
的平移，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．如图， ，反比例函数 ，在直角坐标系中
A点坐标为 ，若反比例函数与直角三角形的边有公共点，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由 中的关系式 可求得点B、点C的坐标，由此可求得直线
AC的解析式． 的边与反比例函数 有公共点，则先可求出点B与反比例函数
图像有公共点时的最小k值， 再设反比例函数与线段 相交于点 时k值最
大，则 ，由 知当 时，
k值最大，最大值为 ．由此确定了k的取值范围．
【详解】如图．
解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 为 ，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点B相交时， 最小，
设反比例函数与线段 相交于点 时k值最大，
则 ，
∵ ，
∴当 时，k值最大，
因此，k的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数等知识点，解题的关键是熟练运用
这些函数的性质．
7．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 在 轴负半轴上， 轴，点
在反比例函数 的图象上， ，若 ，
，则 的值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，设 ， ，证明 为等边三角形，利
用含30度角的直角三角形的性质和三线合一，得到 ，根据
，以及反比例函数图象上的点的坐标特点，进行求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，设 ， ，∵ 轴， ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，主要考查了等边三角形的判定和性质，
矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，以及反比例函数图象上的点的特征，
熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想解题是关键．
8．如图平面直角坐标系中放置 绕点 转动，、 所在直线分别交 轴、 轴正半轴于点 ，点 在
上．当 均为正整数时，则 ．
【答案】 或
【分析】如图，将线段 绕点P逆时针旋转90°得到线段 ．连接 ，点N是 的
中点．求出直线 的解析式，求出a,b的关系，根据整数解解决问题．
【详解】解：如图，将线段 绕点P逆时针旋转90°得到线段 ．连接 ，点N是
的中点．过点M作 垂直 交于点H,过点A作 垂直于 于点J;
又
，
又
， ，
，点M的横坐标为：
纵坐标为：
直线 的解析式为： ,
点B在射线 上，
，
∵ 均为正整数，
或 ，
点
或 ，
点C在 上，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会有添加常用辅助
线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．如图，反比例函数 的图象分别交正方形 的边 于点 、 ，若
点坐标为 ，若 是等边三角形，求 的值．【答案】
【分析】证明 ，可得 ，从而得到 ，设 ，则
，根据勾股定理可得 ，从而得到点D的坐标为
，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 点坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， ， 舍去，
∴ ，
即点D的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方
形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，
与坐标轴围成的矩形面积就等于 ．本知识点是中考的重要考点．
