专题 1.2 反比例函数的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:19)................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:32)(cid:19)................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:19)................................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:49)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:22)(cid:35)(cid:50)(cid:37)(cid:19)................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:19)....................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:59)(cid:60)(cid:58)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................................10
知识点1 反比例函数的性质
反比例函数 = (cid:61)(cid:62)(cid:37)(cid:63)
𝒌
𝒚 (𝒌 𝒌≠𝟎)
x，y的取值范围 0(cid:63) 𝒙 0（与坐标轴无交点）
𝒙≠ 𝒚≠
k的符号 k(cid:64)0 k(cid:65)0
图像
图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限
在每一象限内，y的值随x值的 在每一象限内，y的值随x值的
性质
增大而减小 增大而增大
知识点2 比例系数k的几何意义
1. 过 = 0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于| |.
𝑘
2. 连𝑦接 𝑥 = (𝑘≠ 0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三𝒌 角形，这两个直
𝑘
角三角形
𝑦
的面
𝑥(𝑘
积
≠
都等于
| |.
𝒌
𝟐3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到| |
的值，进而确定函数表达式. 𝑘
【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】
(cid:15)(cid:35)1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:60) ( )(cid:63) ( )(cid:63)(cid:69)(cid:79)(cid:80)(cid:81)
𝑘
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:40)(cid:86)(cid:28) (cid:32) 𝑦 𝑥 𝐴 𝑚,𝑦1 𝐵 𝑚−1,𝑦2
A(cid:87)(cid:88) >0(cid:63) >0(cid:63)(cid:89) > B(cid:87)(cid:88) >0(cid:63) <0(cid:63)(cid:89) >
C(cid:87)(cid:88)𝑘<0(cid:63)𝑚>0(cid:63)(cid:89)𝑦1> 𝑦2 D(cid:87)(cid:88)𝑘 <0(cid:63)𝑚 <0(cid:63)(cid:89)𝑦1 >𝑦2
𝑘 𝑚 𝑦1 𝑦2 𝑘 𝑚 𝑦1 𝑦2
(cid:15)(cid:90)(cid:91)1-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:32)(cid:102)(cid:103)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:60) 2(cid:63) (cid:104)
𝐴 −2023 𝐵
(cid:63) (cid:63) (cid:63) (cid:63)(cid:105) < <0(cid:63)(cid:106)(cid:107) (cid:108)(cid:40) (cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
𝑥1 A(cid:87)𝑦1 <𝐶 𝑥2 𝑦2 B(cid:87)𝑥1 >𝑥2 𝑦C 1 (cid:87) =𝑦2 D(cid:87)(cid:109)(cid:110)(cid:22)(cid:23)
𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2
5
(cid:15)(cid:90)(cid:91)1-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:111)(cid:95)(cid:112)(cid:113)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:32)(cid:88)(cid:60) )(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)
(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:89) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86) (cid:87) 𝐴(−7,𝑦1),𝐵(−4,𝑦2),𝐶(5,𝑦3 𝑦 𝑥
𝑦1𝑦2𝑦3
(cid:15)(cid:90)(cid:91)1-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:118)(cid:29) ( +3,2)(cid:63) 3, (cid:63) , )(cid:63) , )(cid:119)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)
3
𝑚
𝐴 𝑚 𝐵 𝐶(𝑥1𝑦1 𝐷(𝑥2𝑦2
(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:120)(cid:38) < <0(cid:63)(cid:89) (cid:121) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
𝑘
A 𝑦(cid:87) 𝑥 < <0 B(cid:87)𝑥 0 1 < 𝑥2 < 𝑦1 C(cid:87)𝑦2 0< < D(cid:87) <0<
【题型
𝑦2 2
比
𝑦
较
1
坐标大小（知纵
𝑦
坐
2
标比
𝑦1
横坐标）】
𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2
2
(cid:15)(cid:35)2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:122)(cid:123)(cid:123)(cid:124)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:118)(cid:29)(cid:60) ( , )(cid:63) ( , )(cid:63) ( , )(cid:119)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)
(cid:105) < <0< (cid:63)(cid:89) (cid:63) (cid:63) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)𝐴(cid:50)𝑥(cid:61) 1𝑦 1 𝐵(cid:87)𝑥(cid:28) 2 (cid:129)𝑦2 “< 𝐶 ”(cid:130)𝑥3 (cid:131)𝑦3 (cid:32) 𝑦 −𝑥
(cid:15)𝑦(cid:90)1(cid:91)2𝑦-21(cid:19)(cid:28)24𝑦-235(cid:66)(cid:67)𝑥1(cid:68)(cid:69)𝑥2·(cid:71)(cid:132)𝑥3(cid:133)(cid:134)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:118)(cid:29)(cid:60) ( , )(cid:63) ( , )(cid:63) ( , )(cid:119)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
1 𝐴 𝑥1𝑦1 𝐵 𝑥2𝑦2 𝐶 𝑥3𝑦3
= (cid:28)a(cid:86)(cid:62)(cid:37)(cid:32)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:105) <0< < (cid:63)(cid:89) (cid:63) (cid:63) (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86) (cid:87)
2
𝑎 +
𝑦 − 𝑥 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑥1 𝑥2 𝑥3
6
(cid:15)(cid:90)(cid:91)2-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:111)(cid:95)(cid:135)(cid:111)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:88)(cid:60) ( , ), ( ,3), ( ,6)(cid:119)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)
𝐴 𝑥1 −2 𝐵 𝑥2 𝐶 𝑥3 𝑦 −𝑥(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:89) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
A(cid:87) 𝑥<1 𝑥2 <𝑥3 B(cid:87) < < C(cid:87) < < D(cid:87) < <
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥3 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥1
(cid:15)(cid:90)(cid:91)2-3(cid:19)(cid:28)2025·(cid:136)(cid:137)(cid:111)(cid:123)·(cid:82)(cid:125)(cid:32)(cid:88)(cid:60) ( ) ( ,1) ( ,2)(cid:119)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = >0)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)
𝑘
(cid:89) , , (cid:40)(cid:26)(cid:27)(cid:3)(cid:50)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
𝐴 𝑥1,−2 ,𝐵 𝑥2 ,𝐶 𝑥3 𝑦 𝑥(𝑘
𝑥A1(cid:87)𝑥2𝑥3< < B(cid:87) < <
C(cid:87)𝑥3< 𝑥2< 𝑥1 D(cid:87)𝑥2 <𝑥3 <𝑥1
【题型
𝑥3 1
求
𝑥
反
3
比
𝑥
例
2
函数中参数的取值范围】
𝑥1 𝑥2 𝑥3
(cid:15)(cid:35)3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:111)(cid:138)(cid:139)(cid:140)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:141)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( >0)(cid:40)(cid:45)(cid:76) (cid:142)(cid:143)(cid:46) (cid:40)(cid:144)(cid:145)
𝑘
(cid:28)(cid:109)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:32)(cid:40)(cid:30)(cid:104)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:119)(cid:61)(cid:149)(cid:37)(cid:40)(cid:60)(cid:150)(cid:151)(cid:37)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:40)(cid:155)(cid:145)(cid:150)
𝑦
(cid:63)(cid:89)
𝑥
(cid:40)
𝑥
(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:61)
𝐿
(cid:28) (cid:32)
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑘
A(cid:87)12< <15 B(cid:87)10< <14 C(cid:87)4< <10 D(cid:87)15< <16
(cid:15)(cid:90)(cid:91)3-1(cid:19)𝑘(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:156)𝑘(cid:157)(cid:158)(cid:159)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:86)𝑘4(cid:160)(cid:161)(cid:98)(cid:40)(cid:162)(cid:163)(cid:45)(cid:63)(cid:164)𝑘(cid:160)(cid:161)(cid:98)(cid:40)(cid:165)(cid:108)(cid:166)(cid:150)(cid:167)(cid:86)1(cid:108)
2(cid:63)(cid:164)(cid:160)(cid:161)(cid:98)(cid:168)(cid:169)(cid:40)(cid:170)(cid:40)(cid:171)(cid:60)(cid:172)(cid:173) (cid:28)m(cid:61)1(cid:174)4(cid:40)(cid:149)(cid:37)(cid:32)(cid:63)(cid:36)(cid:37) = ( >0)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:61)(cid:175)(cid:176)L(cid:63)(cid:88)(cid:175)(cid:176)L(cid:177)
𝑘
(cid:178) (cid:63)(cid:179)(cid:180)(cid:60)(cid:150)(cid:181)(cid:56)(cid:182)(cid:40)(cid:155)(cid:183)
𝑇𝑚
(cid:63)(cid:164)(cid:183)(cid:184)2(cid:160)(cid:60)(cid:63)(cid:89)k(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)
𝑦
(cid:44)
𝑥
(cid:86)
𝑥
(cid:28) (cid:32)
𝑇1∼𝑇4
A(cid:87)8 12 B(cid:87)8 <12 C(cid:87)8< 12 D(cid:87)8< <12
(cid:15)(cid:90)(cid:91)3-≤2(cid:19)𝑘(cid:28)≤24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)≤·𝑘(cid:111)(cid:138)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)𝑘(cid:63)≤(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)𝑘(cid:63)(cid:60) (3,4)(cid:63)(cid:60) ( )(cid:63)(cid:60)
( )(cid:63)(cid:130)(cid:131) (cid:63)(cid:78)A(cid:60)(cid:173)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = ( >0)(cid:191)(cid:176)(cid:99) (cid:192)(cid:60)D(cid:28)(cid:109)(cid:121)(cid:60)B(cid:104)C(cid:193)(cid:194)𝐴(cid:32)(cid:63)(cid:118)(cid:29) 𝐵 > 0 0 ,𝑎(cid:63)(cid:88) 𝐶
𝑚
6,𝑎 𝐵𝐶 𝑦 𝑥 𝑥 𝐵𝐶 𝑎
> (cid:63)(cid:89)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:86) (cid:87)
𝐵𝐷 𝐷𝐶(cid:15)(cid:90)(cid:91)3-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:71)(cid:132)(cid:132)(cid:159)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63) (cid:195)(cid:192)(cid:196)(cid:197)(cid:76)(cid:198)(cid:63) =3, =3(cid:63)(cid:189)(cid:170)(cid:171)(cid:60)
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶
(cid:56)(cid:189)(cid:176) = (cid:93)(cid:63)(cid:105)(cid:60) (cid:40)(cid:30)(cid:24)(cid:25)(cid:61) (cid:63)(cid:147) (cid:104) (cid:150)(cid:167)(cid:188)(cid:199)(cid:192) (cid:200)(cid:104) (cid:200)(cid:87)(cid:88)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = (cid:121) (cid:40)(cid:147)
𝑘
(cid:201)2(cid:160)(cid:7)𝑦(cid:202)(cid:60)−(cid:63)𝑥 (cid:89) (cid:40)(cid:41)(cid:42)𝐶 (cid:43)(cid:44)(cid:61) − 4 (cid:87) 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝑘
【题型4 求反比例函数中的图形面积】
(cid:15)(cid:35)4(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:203)(cid:159)(cid:204)(cid:205)(cid:206)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63) (cid:108) (cid:119)(cid:86)(cid:154)(cid:207)(cid:189)(cid:170)(cid:208)(cid:170)(cid:46)(cid:63)
7 △𝑂𝐴𝐶 △𝐵𝐴𝐷
= =90 (cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:56)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:60) (cid:63)(cid:89) (cid:121) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:209)(cid:210)(cid:61)
∘
∠(cid:28)𝐴 𝐶 𝑂(cid:32) ∠𝐴𝐷𝐵 𝑦 𝑥 𝐵 △𝑂𝐴𝐶 △𝐵𝐴𝐷
7 7 7
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) 7 D(cid:87)
3 2 2
2 4
(cid:15)(cid:90)(cid:91)4-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:156)(cid:157)(cid:211)(cid:97)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:61)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:121) = (cid:56)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:38)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:63)(cid:60)P
(cid:61)(cid:120)(cid:38)(cid:82)(cid:160)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:60)(cid:63)(cid:78)(cid:60)P(cid:173)y(cid:200)(cid:40)(cid:212)(cid:176)(cid:121)(cid:213)(cid:82)(cid:160)(cid:34)𝑦(cid:22)(cid:35)𝑥(cid:36)(cid:37)𝑦 (cid:45)𝑥(cid:76)(cid:191)(cid:192)(cid:60)A(cid:63)(cid:78)(cid:60)P(cid:173)x(cid:200)
(cid:40)(cid:212)(cid:176)(cid:121)(cid:213)(cid:82)(cid:160)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:76)(cid:191)(cid:192)(cid:60)B(cid:63)(cid:89) (cid:47)(cid:48)(cid:214)(cid:86)(cid:28)(cid:215)(cid:215)(cid:32)
△𝐴𝐵𝑃3 1 1
A(cid:87)1 B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
4 2 4
9 7
(cid:15)(cid:90)(cid:91)4-2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:94)(cid:138)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = (cid:93)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = (cid:93)(cid:63)(cid:105) (cid:200)(cid:63)(cid:89)
(cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:154)(cid:192) (cid:87) 𝐴 𝑦 𝑥 𝐵 𝑦 𝑥 𝐴𝐵∥𝑦 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:90)(cid:91)4-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:71)(cid:132)(cid:95)(cid:216)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:60) (cid:61)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = 6 ( <0)(cid:93)(cid:217)
𝑃 𝑦 −𝑥 𝑥
(cid:163)(cid:82)(cid:60)(cid:63)(cid:142)(cid:60) (cid:218)(cid:219)(cid:60) (cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)60°(cid:225)(cid:178)(cid:226)(cid:60) (cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:189)(cid:176) = 3 (cid:93)(cid:87)(cid:88) = (cid:63)(cid:89) (cid:40)
′ ′ ′ ′
(cid:47)(cid:48)(cid:61)(cid:28) (cid:32)𝑃 𝑂 𝑃 𝑄 𝑦 − 𝑥 𝑃 𝑄 𝑃 𝑂 △𝑃 𝑂𝑄
A(cid:87)3 B(cid:87)6 C(cid:87)9 D(cid:87)12
【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】
(cid:15)(cid:35)5(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:219)(cid:60)(cid:63)(cid:60) (cid:61) (cid:200)(cid:93)(cid:40)(cid:82)(cid:60)(cid:63)
𝑂 𝐴 𝑥
(cid:142) (cid:218)(cid:60) (cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)60°(cid:231) (cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = ( 0)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:60) (cid:63)(cid:78) (cid:173) (cid:191)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)
𝑘
(cid:45)
𝑂
(cid:76)
𝐴
(cid:192)(cid:60)
𝑂
(cid:63)(cid:88) (cid:40)(cid:47)(cid:48)
𝑂
(cid:61)
𝐵
3 2(cid:63)(cid:89) (cid:40)(cid:42)
𝑦
(cid:61)(cid:28)
𝑥 𝑘
(cid:32)
≠ 𝐵 𝐴 𝐴𝐶∥𝑂𝐵
𝐶 △𝑂𝐵𝐶 𝑘
A(cid:87) 2 B(cid:87) 3 2 C(cid:87) 3 2 D(cid:87) 2
2 2
(cid:15)(cid:90)(cid:91)− 5- 6 1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)−(cid:69)·(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)−(cid:38)3(cid:63) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:219)(cid:60)(cid:63) (cid:40)(cid:171)(cid:60)
𝑂 △𝐴𝐵𝐶(cid:56) (cid:200)(cid:93)(cid:63) (cid:212)(cid:189)(cid:192) (cid:200)(cid:104)(cid:60) (cid:104) (cid:150)(cid:167)(cid:56)(cid:36)(cid:37) = >0(cid:63) >0 (cid:108) = (cid:65)0(cid:63) (cid:64)0 (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:87)(cid:88)
𝑘1 𝑘2
𝐶 𝑦 (cid:40)(cid:47)𝐴(cid:48)𝐵(cid:61)5(cid:63)(cid:105)𝑥 + 𝐴=6𝐵(cid:63)(cid:89) (cid:40)(cid:42)(cid:61)𝑦 𝑥 𝑘 1 (cid:87) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑘2 𝑥
△𝐴𝐵𝐶 𝑘1 𝑘2 𝑘2
(cid:15)(cid:90)(cid:91)5-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:193)(cid:232)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:38)(cid:63)(cid:189)(cid:176) = 1 (cid:150)(cid:167)(cid:191)
2
𝑥𝑂𝑦 𝑦 𝑥−1
(cid:200)(cid:63) (cid:200)(cid:192)(cid:60) (cid:108)(cid:60) (cid:63)(cid:150)(cid:167)(cid:191)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = 2 ( > >0)(cid:63) = ( <0)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:192)(cid:60) (cid:108)(cid:60) (cid:63)(cid:78)(cid:60) (cid:173)
𝑘
𝑥 𝑦
(cid:200)(cid:192)(cid:60)
𝐴
(cid:63)(cid:130)(cid:233)
𝐵
(cid:63) (cid:63)(cid:88)
𝑦
(cid:40)
1
(cid:47)(cid:48)
𝑥
(cid:121)
𝑘 0,𝑥
(cid:40)(cid:47)(cid:48)
𝑦2
(cid:153)(cid:154)
𝑥
(cid:63)
𝑥
(cid:89) (cid:40)(cid:42)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
𝐶 𝐷 𝐶
𝐶𝐸⊥𝑥 𝐸 𝑂𝐶 𝑂𝐷 △𝐶𝑂𝐸 △𝐷𝑂𝐵 𝑘
3
A(cid:87)2 B(cid:87) C(cid:87)1 D(cid:87)4
2
(cid:15)(cid:90)(cid:91)5-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:117)(cid:123)(cid:234)(cid:235)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:188)(cid:199)(cid:156)(cid:147)(cid:46) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:61)4(cid:63)(cid:171)(cid:60)A(cid:121)(cid:219)(cid:60)O(cid:193)(cid:194)(cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 5
(cid:171)(cid:60)B(cid:56)x(cid:200)(cid:40)(cid:236)(cid:237)(cid:200)(cid:93)(cid:63)(cid:171)(cid:60)C(cid:63)D(cid:150)(cid:167)(cid:238)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:108) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:89)k(cid:40)(cid:42)(cid:154)
𝑘
(cid:192) (cid:87) 𝑦1 𝑥 𝑦2 −𝑥
【题型6 反比例函数中的规律探究】
2
(cid:15)(cid:35)6(cid:19)(cid:28)2025·(cid:117)(cid:115)(cid:239)(cid:240)·(cid:82)(cid:125)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = (cid:121)(cid:189)(cid:176) = (cid:153)(cid:191)(cid:192)(cid:60)A(cid:63)B(cid:63)(cid:56)(cid:189)(cid:176) = (cid:93)(cid:41)(cid:60) (2, )
𝑦 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 2𝑥 𝐴1 𝑎1, ( )(cid:63) (3, ), ( ), (4, ), ( )(cid:63)…(cid:63)(cid:241)(cid:242)(cid:243) , , (cid:63)…(cid:61)(cid:244)(cid:170)(cid:176)(cid:150)(cid:167)(cid:245)(cid:246)(cid:173)
(cid:247)𝐵1(cid:104)−(cid:248)2(cid:82),𝑏1(cid:249)(cid:244)𝐴(cid:147)2 (cid:212)𝑎(cid:189)2(cid:192)𝐵2x(cid:200)−3(cid:40),𝑏(cid:143)2 (cid:46)𝐴3 ,𝑎3 ,𝐵3(cid:63)−…4,𝑏(cid:87)3(cid:143)(cid:46) (cid:40)(cid:156)(cid:250)𝐴(cid:147)1𝐵(cid:121)1(cid:251)𝐴2(cid:190)𝐵2(cid:175)𝐴(cid:176)3𝐵(cid:40)3(cid:191)(cid:60)(cid:49)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:252)(cid:221)(cid:222)(cid:241)
(cid:242)(cid:172)(cid:61)(cid:10) , , , (cid:253)(cid:143)(cid:46) (cid:40)(cid:156)(cid:250)𝑀(cid:147)1𝑀(cid:121)2(cid:251)𝑀(cid:190)3 (cid:175)(cid:176)(cid:40)(cid:191)(cid:60)𝑀(cid:49)1(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:252)(cid:221)(cid:222)(cid:241)(cid:242)(cid:172)(cid:61)(cid:10) , , , (cid:253)(cid:143)(cid:46)
(cid:40)(cid:156)(cid:250)(cid:147)𝐶(cid:121)1(cid:251)𝐶2(cid:190)𝐶3(cid:175)𝐶(cid:176)4 (cid:40)(cid:191)(cid:60)𝑀(cid:49)2 (cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:252)(cid:221)(cid:222)(cid:241)(cid:242)(cid:172)(cid:61)(cid:10) , , (cid:63) …(cid:87)(cid:254)(cid:255)(cid:51)(cid:52)𝐶(cid:63)5𝐶(cid:89)6(cid:60)𝐶7𝐶8 (cid:40)(cid:24)𝑀(cid:25)3
(cid:61) (cid:87) 𝐶9𝐶10𝐶11 𝐶12 𝐶2025
(cid:15)(cid:90)(cid:91)6-1(cid:19)(cid:28)2025·(cid:111)(cid:138)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:197)(cid:125)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:147)(cid:229)(cid:61)1(cid:40)(cid:84)(cid:256)(cid:46) (cid:40)(cid:171)(cid:60) (cid:104) (cid:150)
𝑂𝐴𝑃1𝐵 𝐴 𝐵
(cid:167)(cid:56) (cid:200)(cid:104) (cid:200)(cid:93)(cid:63)(cid:60) (cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = >0)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63)(cid:78) (cid:40)(cid:38)(cid:60) (cid:173)(cid:143)(cid:46) (cid:63)(cid:177)(cid:171)(cid:60) (cid:238)
𝑘
(cid:56)(cid:34)(cid:22)
𝑥
(cid:35)(cid:36)
𝑦
(cid:37)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)
𝑃1
(cid:63)(cid:257)(cid:78) (cid:40)
𝑦 (cid:38)(cid:60)𝑥(𝑥
(cid:173)(cid:143)(cid:46) (cid:63)
𝑃
(cid:177)
1𝐴
(cid:171)(cid:60) (cid:238)
𝐵
(cid:56)
1
(cid:34)(cid:22)(cid:35)
𝐵
(cid:36)
1𝐴
(cid:37)
𝐴
(cid:40)
1𝑃
(cid:45)
2
(cid:76)(cid:93)(cid:63)…
𝑃
(cid:63)
2
(cid:241)
(cid:255)(cid:51)(cid:52)(cid:63)(cid:173)(cid:169)(cid:143)(cid:46) 𝑃2(cid:221)𝐴1(cid:63)(cid:238)(cid:56)(cid:34)𝐵2(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)𝐵2(cid:45)𝐴(cid:76)1𝐴(cid:93)2𝑃(cid:40)3 (cid:171)(cid:60) (cid:40)𝑃3(cid:24)(cid:25)(cid:61)(cid:28) (cid:32)
𝐵18𝐴17𝐴18𝑃19 𝑃19
A(cid:87)(2 , 1 ) B(cid:87)( 1 ,2 ) C(cid:87)(2 , 1 ) D(cid:87)( 1 ,2 )
2 2 2 2
18 18 15 15
18 18 15 15
4 8
(cid:15)(cid:90)(cid:91)6-2(cid:19)(cid:28)2025·(cid:122)(cid:123)(cid:258)(cid:95)·(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:40)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:38)(cid:63) = (cid:108) = (cid:63)(cid:60) ( )
𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 𝐴 1,𝑎
4 8 4 8
(cid:56) = (cid:93)(cid:63) (cid:200)(cid:191) = (cid:192)(cid:60) (cid:63) (cid:200)(cid:191) = (cid:192)(cid:60) (cid:63) (cid:200)(cid:191) = (cid:192)(cid:60) (cid:63)…(cid:63)(cid:254)(cid:259)(cid:255)
(cid:51)𝑦(cid:52) 1 (cid:173)(cid:45)𝑥(cid:63)(cid:89)𝐴𝐵(cid:40)∥𝑥(cid:60)(cid:24)(cid:25)𝑦2 (cid:61) 𝑥 (cid:87)𝐵 𝐵𝐴1∥𝑦 𝑦1 𝑥 𝐴1 𝐴1𝐵1∥𝑥 𝑦2 𝑥 𝐵2
𝐵24
(cid:15)(cid:90)(cid:91)6-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:94)(cid:95)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:201) ( )(cid:104)B(cid:155)(cid:60)(cid:63)(cid:130)
𝑦 𝑥 𝐴 2,𝑚
(cid:131) (cid:63)(cid:78)(cid:179)(cid:155)(cid:60)(cid:150)(cid:167)(cid:173)x(cid:200)(cid:40)(cid:212)(cid:176)(cid:191)x(cid:200)(cid:192)(cid:60)C(cid:104)D(cid:63)(cid:118)(cid:29) = 1 (cid:63)(cid:60) (cid:86) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:63)(cid:130)(cid:131) (cid:104) (cid:63)
2
𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐹1 𝐶𝐷 𝐴𝐹1 𝐵𝐹1
(cid:178)(cid:226) (cid:253)(cid:60) (cid:86) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:63)(cid:130)(cid:131) (cid:104) (cid:63)(cid:178)(cid:226) (cid:253)……(cid:254)(cid:259)(cid:255)(cid:51)(cid:52)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:199)(cid:69)(cid:263)(cid:63)(cid:89)
△𝐴(cid:40)𝐹1(cid:47)𝐵(cid:48)(cid:61)𝐹 2 𝐷 𝐹1 (cid:87)(cid:28)(cid:129)(cid:146)(cid:84)(cid:149)𝐴(cid:37)𝐹2n(cid:40)𝐵𝐹(cid:91)2(cid:264)(cid:265)(cid:162)(cid:32)△𝐴𝐹2𝐵
△𝐴𝐹𝑛𝐵
【题型7 反比例函数中的存在性问题】
(cid:15)(cid:35)7(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:93)(cid:266)(cid:267)(cid:268)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:118)(cid:29)(cid:84)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = 3 (cid:77)(cid:78)(cid:60) ( 3)( >0)(cid:63)(cid:78)(cid:60)
(cid:173) (cid:200)(cid:63)(cid:191)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:192)(cid:60) (cid:28)(cid:60) (cid:56)(cid:60) (cid:69)(cid:256)(cid:32)(cid:63)(cid:130)(cid:131) (cid:178) 𝑦 (cid:40)𝑥(cid:47)(cid:48)(cid:61)𝐴12𝑚3,6(cid:87) 𝑚 𝐴
𝐴𝐵∥𝑦 𝐵 𝐵 𝐴 𝑂𝐵 △𝐴𝑂𝐵
(1)(cid:33) (cid:40)(cid:42)(cid:253)
(2)(cid:33)𝑚(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:269)(cid:270)(cid:91)(cid:253)
(3)(cid:56)(cid:189)(cid:176) (cid:93)(cid:86)(cid:271)(cid:55)(cid:56)(cid:82)(cid:60) (cid:63)(cid:177)(cid:178) (cid:86)(cid:189)(cid:170)(cid:208)(cid:170)(cid:46)(cid:272)(cid:88)(cid:201)(cid:63)(cid:273)(cid:33)(cid:169)(cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:253)(cid:88)(cid:274)(cid:201)(cid:63)(cid:273)(cid:80)(cid:275)(cid:276)(cid:49)(cid:87)
(cid:15)(cid:90)(cid:91)7-1 𝑂 (cid:19) 𝐴 (cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93) 𝐶 ·(cid:156)(cid:157)(cid:151) △ (cid:119) 𝐴 · 𝐵 (cid:74) 𝐶 (cid:75)(cid:32)(cid:82)(cid:242)(cid:36)(cid:37) = 1 +2(cid:121)x(cid:200)(cid:191) 𝐶 (cid:192)C(cid:60)(cid:63)(cid:121)y(cid:200)(cid:191)(cid:192)B(cid:60)(cid:63)(cid:60)
2
𝑦 𝑥( )(cid:56)(cid:189)(cid:176) (cid:93)(cid:63)(cid:78)(cid:60)A(cid:173)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:45)(cid:76)(cid:87)
𝑘
𝐴 2,𝑎 𝐵𝐶 𝑦 𝑥
(1)(cid:33)(cid:169)a(cid:63)k(cid:40)(cid:42)(cid:253)
(2)(cid:56)x(cid:200)(cid:93)(cid:86)(cid:271)(cid:55)(cid:56)(cid:60)D(cid:63)(cid:177)(cid:178) = (cid:63)(cid:88)(cid:55)(cid:56)(cid:273)(cid:189)(cid:131)(cid:277)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:63)(cid:88)(cid:109)(cid:55)(cid:56)(cid:273)(cid:80)(cid:275)(cid:276)(cid:49)(cid:87)
∠𝐵𝑂𝐴 ∠𝑂𝐴𝐷
(cid:15)(cid:90)(cid:91)7-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:117)(cid:115)(cid:278)(cid:124)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:279)(cid:194)(cid:121)(cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:82)(cid:242)(cid:36)(cid:37) = +1(cid:121)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) =
𝑘
(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:153)(cid:191)(cid:192) ( )(cid:63)B(cid:155)(cid:60)(cid:63)(cid:150)(cid:167)(cid:130)(cid:131) (cid:87) 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
𝐴 𝑚,2 𝑂𝐴,𝑂𝐵
(1)(cid:33)(cid:179)(cid:160)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:265)(cid:158)(cid:91)(cid:253)
(2)(cid:33)(cid:169)(cid:60)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:280) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:253)
(3)(cid:56)(cid:24)(cid:25)(cid:200)y(cid:200)(cid:93)(cid:86)(cid:271)△(cid:55)𝐴(cid:56)𝑂𝐵(cid:82)(cid:60)P(cid:63)(cid:177)(cid:243)(cid:60)B(cid:63)A(cid:63)P(cid:61)(cid:171)(cid:60)(cid:40)(cid:208)(cid:170)(cid:46)(cid:86)(cid:243) (cid:61)(cid:189)(cid:170)(cid:147)(cid:40)(cid:189)(cid:170)(cid:208)(cid:170)(cid:46)(cid:272)(cid:88)(cid:55)
(cid:56)(cid:63)(cid:273)(cid:189)(cid:131)(cid:277)(cid:169)(cid:60)P(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:253)(cid:88)(cid:109)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:273)(cid:80)(cid:275)(cid:276)(cid:49)(cid:87) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:90)(cid:91)7-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:227)(cid:228)(cid:281)(cid:117)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:38)(cid:63)(cid:189)(cid:176) = + (cid:121)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37)
𝑦 −𝑥 𝑏
= (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:191)(cid:60)(cid:192)(cid:60) ( )(cid:121) (cid:200)(cid:191)(cid:192)(cid:60) (cid:63) (cid:200)(cid:191)(cid:192)(cid:60) (0,4)(cid:87)
𝑘
𝑦 𝑥 𝐴 𝑛,6 𝑥 𝐶 𝑦 𝐵(1)(cid:33) (cid:104)(cid:40)(cid:42)(cid:253)
(2)(cid:130)𝑘(cid:131) 𝑏(cid:63)(cid:33) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:253)
(3)(cid:56)(cid:34)𝐴(cid:22)𝑂(cid:35)(cid:36)(cid:37)△(cid:45)𝐴(cid:76)𝑂𝐶(cid:93)(cid:55)(cid:56)(cid:82)(cid:60) (cid:63)(cid:88)(cid:60) (cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:200)(cid:93)(cid:40)(cid:82)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:141)(cid:243) (cid:104) (cid:104) (cid:104) (cid:61)(cid:171)(cid:60)(cid:40)(cid:156)(cid:147)(cid:46)(cid:86)(cid:188)(cid:199)
(cid:156)(cid:147)(cid:46)(cid:221)(cid:63)(cid:189)(cid:131)(cid:277)(cid:169)(cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:87)𝐷 𝑄 𝐴 𝐵 𝐷 𝑄
【题型8 反比例函数中 𝑄 的动点问题】
(cid:15)(cid:35)8(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:156)(cid:157)(cid:282)(cid:117)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:118)(cid:29)(cid:63)(cid:143)(cid:46)OABC(cid:56)(cid:188)(cid:47)(cid:189)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:144)(cid:40)(cid:195)(cid:283)(cid:102)(cid:45)(cid:284)(cid:162)(cid:63)(cid:60)O
(cid:61)(cid:24)(cid:25)(cid:219)(cid:60)(cid:63)(cid:60)A(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:61)(10,0)(cid:63)(cid:60)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:61)(10,8)(cid:87)
(1)(cid:33)(cid:189)(cid:176) (cid:40)(cid:269)(cid:270)(cid:91)(cid:253)
(2)(cid:118)(cid:29)(cid:189)𝐴(cid:176)𝐶 (cid:121)(cid:190)(cid:175)(cid:176) = 0)(cid:56)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:144)(cid:201)(cid:82)(cid:191)(cid:60)Q(cid:61)( )(cid:253)(cid:88)(cid:59)(cid:60)P(cid:285)A(cid:60)(cid:169)(cid:286)(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:176)
𝑚
𝐴𝐶 𝑦 𝑥(𝑚≠ 5,𝑛
(cid:40)(cid:289)(cid:290)(cid:243)(cid:164)(cid:291)2(cid:160)(cid:292)(cid:195)(cid:229)(cid:293)(cid:40)(cid:294)(cid:293)(cid:295)(cid:59)(cid:63)(cid:226)(cid:158)C(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:63)(cid:33) (cid:40)(cid:47)(cid:48)S(cid:121)(cid:60)P(cid:40)(cid:295)(cid:59)(cid:221)(cid:299)t
(cid:28)𝐴𝑂(cid:291)→(cid:32)𝑂𝐶(cid:40)(cid:36)(cid:37)(cid:3)(cid:50)(cid:91)(cid:300)(cid:301)(cid:169)(cid:36)(cid:37)(cid:45)(cid:76)(cid:253) △𝑂𝑃𝑄
(3)(cid:56)(cid:28)2(cid:32)(cid:40)(cid:250)(cid:302)(cid:69)(cid:63)(cid:141) 10(cid:221)(cid:63)(cid:33)t(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:87)
𝑆≥ 1 1
(cid:15)(cid:90)(cid:91)8-1(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:124)(cid:303)(cid:124)(cid:232)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:284)(cid:162)(cid:63)(cid:118)(cid:29) , (cid:63) (3, )(cid:61)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:45)(cid:76)(cid:93)
3
(cid:40)(cid:155)(cid:60)(cid:63)(cid:59)(cid:60) ( )(cid:56) (cid:200)(cid:84)(cid:237)(cid:200)(cid:93)(cid:295)(cid:59)(cid:63)(cid:141)(cid:176)(cid:99) (cid:121)(cid:176)(cid:99) (cid:209)𝐴(cid:210)(cid:158) 𝑦 (cid:226) 1 (cid:304)(cid:26)𝐵(cid:221)𝑦(cid:63) 2 (cid:60) (cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:86)(cid:28)𝑦 (cid:32)𝑥
𝑃 𝑥,0 𝑥 𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝑃
1 4 2 10
A(cid:87) ,0 B(cid:87) ,0 C(cid:87) ,0 D(cid:87) ,0
3 3 3 3
(cid:15)(cid:90)(cid:91)8-2(cid:19)(cid:28)24-25(cid:92)(cid:67)(cid:68)(cid:93)·(cid:111)(cid:138)(cid:305)(cid:83)·(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:102)(cid:45)(cid:63)(cid:154)(cid:207)(cid:189)(cid:170)(cid:208)(cid:170)(cid:46) (cid:56)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:63)(cid:60)A(cid:63)B(cid:40)(cid:24)(cid:25)(cid:150)
𝐴𝐵𝐶
(cid:167)(cid:61)(1,5),(1,2)(cid:63) =90°(cid:87)(cid:59)(cid:60)D(cid:285)(cid:60)A(cid:169)(cid:286)(cid:63)(cid:287) (cid:295)(cid:59)(cid:226)(cid:60)C(cid:63)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:28) >0(cid:32)(cid:40)(cid:45)(cid:76)
𝑘
∠𝐵 𝐴𝐵−𝐵𝐶 𝑦 𝑥 𝑥L(cid:77)(cid:78)(cid:60)D(cid:63)(cid:89)(cid:56)(cid:60)D(cid:40)(cid:295)(cid:59)(cid:78)(cid:306)(cid:38)(cid:63)(cid:69)(cid:79)(cid:184)(cid:60)(cid:38)(cid:63)(cid:45)(cid:76)L(cid:77)(cid:78)(cid:155)(cid:242)(cid:40)(cid:86)(cid:28) (cid:32)
A(cid:87)(1,2) B(cid:87)(3,2) C(cid:87)(2,2) D(cid:87)(4,2)
1
(cid:15)(cid:90)(cid:91)8-3(cid:19)(cid:28)24-25(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:307)(cid:308)(cid:71)(cid:26)(cid:232)·(cid:74)(cid:38)(cid:32)(cid:155)(cid:160)(cid:34)(cid:22)(cid:35)(cid:36)(cid:37) = (cid:108) = (cid:56)(cid:196)(cid:82)(cid:76)(cid:198)(cid:144)(cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:102)(cid:45)(cid:284)
𝑘
𝑦 𝑥 𝑦 𝑥
1 1
(cid:162)(cid:63)(cid:60)P(cid:56) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:63) (cid:200)(cid:192)(cid:60)C(cid:63)(cid:191) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:192)(cid:60)A(cid:63) (cid:200)(cid:192)(cid:60)D(cid:63)(cid:191) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:192)(cid:60)
𝑘
𝑦 𝑥 𝑃𝐶⊥𝑥 𝑦 𝑥 𝑃𝐷⊥𝑦 𝑦 𝑥
B(cid:63)(cid:141)(cid:60)P(cid:56) = (cid:40)(cid:45)(cid:76)(cid:93)(cid:295)(cid:59)(cid:221)(cid:63)(cid:243)(cid:69)(cid:233)(cid:309)(cid:10) (cid:121) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:153)(cid:154)(cid:253) (cid:156)(cid:147)(cid:46) (cid:40)(cid:47)(cid:48)(cid:109)
𝑘
(cid:310)(cid:286)(cid:311)(cid:90)(cid:312)(cid:253)𝑦 𝑥(cid:121) (cid:313)(cid:314)(cid:153)(cid:154)(cid:253) (cid:141)(cid:60)A(cid:86) ①(cid:40)(cid:38)△(cid:60)𝑂𝐷(cid:221)𝐵(cid:63)(cid:60)△ B 𝑂(cid:82)𝐶𝐴(cid:83)(cid:86) (cid:40)(cid:38)(cid:60)(cid:87)②(cid:120)(cid:38)(cid:82)(cid:83)𝑃(cid:84)𝐴(cid:85)𝑂𝐵(cid:40)(cid:86) (cid:87)
③𝑃𝐴 𝑃𝐵 ④ 𝑃𝐶 𝑃𝐷
