文档文本内容
专题 1.2 三角形一边的平行线（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)....................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:19)........................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:33)(cid:33)(cid:34)(cid:19)..........................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:39)(cid:33)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:19)..................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:19)..................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:19)..................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:57)(cid:58)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:19)..................................................................................................21
知识点1 三角形一边的平行线性质定理
三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线，截得的对应线段成比例.
三角形一边的平行线性质定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边
与原三角形的三边对应成比例.
知识点2 三角形的重心
1.定义：三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的2倍.
知识点3 三角形一边的平行线判定定理
三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行
于三角形的第三边.
三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同
一侧）所以的对应线成例，这条直线平行于三角形的第三边.
知识点4 平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.拓展：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的
线段也相等.
【题型1 三角形一边的平行线性质定理】
(cid:15)(cid:44)1(cid:19)(cid:59)2025·(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:73) = (cid:73) =12(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:76)(cid:59) (cid:70)
𝐷𝐸∥𝐵𝐶,𝐷𝐹∥𝐴𝐶 𝐴𝐵 3𝐵𝐷 𝐷𝐸 𝐵𝐹
A(cid:77)4 B(cid:77)5 C(cid:77)6 D(cid:77)8
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)C
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19) (cid:73) (cid:73)
(cid:82)(cid:26)(cid:24) ∵𝐷𝐸∥(cid:83)𝐵𝐶(cid:28)(cid:29)𝐷(cid:82)𝐹∥(cid:26)𝐴𝐶(cid:24)(cid:73)
∴ = 𝐷𝐸=𝐶𝐹12(cid:73)
∴𝐹𝐶 =𝐷𝐸
∵𝐴𝐵 =3𝐵𝐷
∴𝐴𝐷 12𝐵𝐷
=
2
𝐵𝐷
∴𝐴𝐷
(cid:73)
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐶
= (cid:73)
𝐵𝐷 𝐵𝐹
∴𝐴𝐷 𝐹𝐶
1
(cid:84) = (cid:73)
2 12
𝐵𝐹
=6(cid:77)
∴(cid:85)𝐵(cid:86)𝐹(cid:10)C
(cid:15)(cid:87)(cid:88)1-1(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89)(cid:90)(cid:24) (cid:91)(cid:73)(cid:92)(cid:23)(cid:30) (cid:73) (cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95)O(cid:73) =8(cid:73) (cid:73)(cid:50) (cid:94)(cid:95)E(cid:73)
=2.5(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:76) 𝐴 𝐵𝐶(cid:77)𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝑂𝐸∥𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝑂𝐸 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)6(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:90)(cid:24) (cid:91)(cid:73)(cid:92)(cid:23)(cid:30) (cid:73) (cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73)
= =
1∵
(cid:73)
𝐴𝐵𝐶
=
𝐷1
=4(cid:73)
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:73)
𝑂
2 2
∴𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
(cid:73)
∵𝑂𝐸∥𝐴𝐵
= (cid:73)
𝑂𝐶 𝐶𝐸
∴𝑂𝐴
=
𝐵𝐸
(cid:73)
∴𝐵𝐸(cid:76) 𝐶𝐸 (cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)
∴𝑂 𝐸 =△𝐴𝐵𝐶=5(cid:73)
(cid:89)∴R𝐴t𝐵 2𝑂(cid:91)𝐸(cid:73)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:10) = 5 4 =3(cid:73)
2 2
△=𝐴𝐵𝑂 =6(cid:73) 𝐴𝑂 −
(cid:85)∴(cid:78)𝐴𝐶(cid:79)(cid:76)2(cid:10)𝐴𝑂6(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)1-2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:62)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) (cid:91)(cid:73)D(cid:83) (cid:27)(cid:91)(cid:95)(cid:73)(cid:95)F(cid:89) (cid:104)(cid:73)(cid:110)(cid:111)
(cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:50) (cid:94)(cid:95)E(cid:73)(cid:114) =3:1(cid:73) =8(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:76)△ 𝐴 𝐵 𝐶 (cid:77) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐹
𝐵𝐶 𝐵𝐹:𝐹𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐸
16
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
5
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:115) (cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:10)
𝐷𝐻∥𝐴𝐸
(cid:97)(cid:20)(cid:118)(cid:100)(cid:10) =1,
= 𝐶𝐷:𝐴𝐷= = =3:1(cid:73)
∴𝐶𝐻:𝐻𝐸=3𝐶:𝐷2(cid:73):𝐴𝐷 1,𝐵𝐸:𝐸𝐻 𝐵𝐹:𝐷𝐹
∴𝐵𝐸:=𝐸𝐶8(cid:73)
∵𝐵𝐶= 2 = 16 (cid:73)
5 5
∴𝐶𝐸 𝐵𝐶
16
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10)
5
(cid:15)(cid:87)(cid:88)1-3(cid:19)(cid:59)2025·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:119)·(cid:122)(cid:66)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) (cid:91)(cid:73)(cid:92)(cid:23)(cid:30) (cid:73) (cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73) (cid:76) (cid:27)(cid:91)(cid:95)(cid:73)(cid:110)(cid:111)
(cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:50) (cid:27)(cid:113)(cid:75)(cid:30)(cid:94)(cid:95) (cid:77)(cid:114) =2(cid:73)(cid:74) ▱(cid:27)𝐴(cid:75)𝐵(cid:123)𝐶𝐷(cid:76)(cid:59) (cid:70) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐸 𝑂𝐵 𝐴𝐸
𝐷𝐶 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐹
A(cid:77)4 B(cid:77)5 C(cid:77)6 D(cid:77)8
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)A
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:82)(cid:26)(cid:24) (cid:83)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:73) =2
(cid:73) ∵= (cid:73)𝐴𝐵𝐶=𝐷 =2(cid:77) 𝐴𝐵
∴𝐴 𝐵(cid:76)∥𝐶𝐷 (cid:27)𝑂(cid:91)𝐵(cid:95)(cid:73)𝑂𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
∵ 𝐸 =𝑂𝐵 (cid:73)
∴𝐵𝐸
=
𝑂1𝐸
(cid:73)
2
∴𝐵𝐸 𝐵𝑂
= 1 (cid:77)
3
∴𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:73)
∵ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
= (cid:73)
𝐵𝐸 𝐴𝐵
∴𝐸 1 𝐷 = 2 𝐷 (cid:73) 𝐹
3
∴ = 𝐷𝐹 6(cid:77)
∴𝐷 𝐹 = =2(cid:73)
∵ 𝐴𝐵= 𝐶𝐷 = =4(cid:77)
(cid:85)∴(cid:86)𝐶𝐹(cid:10)A𝐷(cid:77)𝐹−𝐶𝐷 6−2
【题型2 三角形一边的平行线性质定理推论】
(cid:15)(cid:44)2(cid:19)(cid:89) (cid:91)(cid:73)D(cid:76) (cid:104)(cid:27)(cid:25)(cid:95)(cid:73)E(cid:76) (cid:113)(cid:75)(cid:30)(cid:104)(cid:27)(cid:25)(cid:95)(cid:73) = (cid:73) (cid:50) (cid:94)F(cid:77)(cid:124)(cid:125)(cid:10)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐶𝐵 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐵× = ×
𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:126)(cid:81)(cid:127)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:125)(cid:128)(cid:10)(cid:129)D(cid:115) // (cid:50) (cid:94)G(cid:73)(cid:74) (cid:130) (cid:93)(cid:131)(cid:73)
𝐷𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐵 △𝐷𝐹𝐺 △𝐸𝐹𝐵
= (cid:73)
𝐷𝐺 𝐷𝐹
∴𝐵𝐸
=
𝐸𝐹
(cid:73)
∵𝐵𝐸 𝐴𝐷
= (cid:73)
𝐷𝐺 𝐷𝐹
∴ (cid:97)𝐴𝐷 // 𝐸𝐹 (cid:132)(cid:100) (cid:130) (cid:93)(cid:131)(cid:73)
𝐷𝐺 𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐺 △𝐴𝐵𝐶
= (cid:84) = (cid:73)
𝐷𝐺 𝐴𝐷 𝐷𝐺 𝐵𝐶
∴𝐵𝐶
×
𝐴𝐶
=
𝐴𝐷
×
𝐴𝐶
∴𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:87)(cid:88)2-1(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) ABC (cid:91)(cid:73)(cid:95) D(cid:73)E (cid:40)(cid:133)(cid:89)(cid:26) AB(cid:73)AC(cid:104)(cid:73)(cid:114) DE BC(cid:73)AD=2BD(cid:73)(cid:74) DE(cid:10)BC
(cid:134)(cid:94) (cid:77) △ ∥
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)2(cid:10)3
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) DE BC(cid:73)
∵ ∥
= (cid:73)
𝐷𝐸 𝐴𝐷
∴ A𝐵𝐶D=2 𝐴 B 𝐵 D(cid:73)
∵2
= (cid:73)
3
𝐴𝐷
∴ D𝐴𝐵E(cid:10)BC=2(cid:10)3(cid:73)
∴(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10)2(cid:10)3(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)2-2(cid:19)(cid:59)22-23(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)·(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:89)(cid:139)(cid:23)(cid:140)(cid:141)(cid:28)(cid:142)(cid:143)(cid:73)(cid:25)(cid:95)(cid:144)(cid:145)(cid:96)(cid:94) (cid:73)5)(cid:146)(cid:73)(cid:30)(cid:41) (cid:147)(cid:139)
(cid:94)x(cid:148)(cid:73)D(cid:76)(cid:147)(cid:149)(cid:73) (cid:73)1)(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:76)(cid:59) (cid:70)(cid:77) 𝐴(0 𝐶𝐷
𝐶(3 𝐷𝐸
3 4
A(cid:77) B(cid:77)3 C(cid:77)4 D(cid:77)
4 3
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)A
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19) (cid:148)(cid:73)
∵(cid:73)𝐶𝐷⊥𝑥
∴𝐶𝐷∥𝑂𝐴= (cid:73)
∴𝐷𝐸:(cid:73)𝑂𝐸5)(cid:73)𝐶𝐷:𝑂𝐴
C∵𝐴(cid:95)(0(cid:140)(cid:141)(cid:76)(3(cid:73)1)(cid:73)
+3)=1:5(cid:73)
∴𝐷𝐸:(𝐷𝐸3
= (cid:73)
4
(cid:85)∴𝐷(cid:86)𝐸 A(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)2-3(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:91)(cid:73) < (cid:73)(cid:89) (cid:150) (cid:104)(cid:40)(cid:133)(cid:151)(cid:152) = (cid:73) (cid:73) (cid:27)(cid:113)(cid:75)(cid:30)(cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95)F(cid:73)
(cid:125)(cid:128)(cid:10) = △𝐴𝐵(cid:77)𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐵𝐶
𝐴𝐵⋅𝐷𝐹 𝐴𝐶⋅𝐸𝐹
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:126)(cid:81)(cid:127)(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:129)(cid:95)E(cid:115) // (cid:50)BC(cid:94)(cid:95)M(cid:73)
𝐸𝑀 𝐴𝐵
// (cid:73)
∵𝐸𝑀 𝐴𝐵
= (cid:73) =
𝐸𝑀 𝐶𝐸 𝐸𝑀 𝐸𝐹
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶
=
𝐷𝐵 𝐷𝐹
,
∴𝐴𝐵⋅𝐶𝐸 𝐸𝑀⋅𝐴𝐶
(cid:84) = (cid:73)
𝐴𝐵 𝐸𝑀
𝐴𝐶 𝐶𝐸
=
∵𝐵𝐷 𝐶𝐸
= (cid:73)
𝐸𝑀 𝐸𝑀
∴𝐶𝐸 𝐷𝐵
= (cid:73)
𝐴𝐵 𝐸𝐹
∴𝐴𝐶 𝐷𝐹
=
∴
【
𝐴
题
𝐵
型
⋅𝐷3𝐹
三
𝐴
角
𝐶⋅
形
𝐸
的
𝐹
重心】
(cid:15)(cid:44)3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:104)(cid:153)·(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89)Rt (cid:91)(cid:73) =90°(cid:73) =5(cid:73)(cid:157)(cid:26)(cid:104)(cid:27)(cid:158)
=3(cid:73)(cid:159)(cid:24) (cid:27)(cid:26) (cid:89)(cid:26) (cid:104)(cid:73)(cid:160)(cid:95)G(cid:150)F(cid:40)(cid:133)△(cid:89)(cid:26)𝐴𝐵𝐶 (cid:150) ∠(cid:104)𝐵𝐴(cid:73)𝐶(cid:71)(cid:161) (cid:162)𝐴(cid:163)𝐵(cid:164)(cid:129) (cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:73)
𝐴(cid:165)𝐻(cid:166) (cid:27)(cid:75)(cid:76)𝐷(cid:59)𝐸 𝐹 𝐺(cid:70) 𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐺𝐹 △𝐴𝐵𝐶
𝐵𝐷
3 4
A(cid:77)1 B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)2
2 3
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)C
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:167) (cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:83) (cid:73)(cid:110)(cid:111) (cid:73)(cid:113)(cid:75) (cid:50) (cid:94) (cid:73)
△𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝐴𝑂 𝐴𝑂 𝐵𝐶 𝑀= (cid:73)
(cid:82)(cid:26)(cid:24) (cid:83)(cid:159)(cid:24)(cid:73) ∴𝐴𝑂 2𝑂𝑀
∵ 𝐷(cid:73)𝐸𝐹𝐺 = =90°(cid:73)
∴𝐺𝐹∥𝐷𝐸= ∠𝐺𝐷𝐸 =∠𝐹𝐸𝐷 (cid:73)
∴𝐴𝐾:𝐾=𝐻 𝐴(cid:73)𝑂:𝑂𝑀= 𝐴𝐺:𝐵𝐺
∴𝐴𝐾 =23𝐾(cid:73)𝐻 𝐴=𝐺5 2𝐵𝐺
∵𝐴𝐻 = 1 𝐴 = 𝐵 1(cid:73) = 1 = 5
3 3 3
∴𝐾𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐺 𝐴𝐵
∵𝐺𝐷⊥𝐵𝐷 4
= = (cid:77)
3
2 2
∴(cid:85)𝐵(cid:86)𝐷(cid:10)C(cid:77)𝐵𝐺 −𝐺𝐷
(cid:15)(cid:87)(cid:88)3-1(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) (cid:91)(cid:73) (cid:83)(cid:91)(cid:30)(cid:73) (cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:129)(cid:95) (cid:115) // (cid:73)(cid:40)(cid:133)(cid:50) (cid:150) (cid:94)(cid:95) (cid:150) (cid:73)(cid:114)
=18(cid:73)(cid:74) = △ 𝐴 𝐵𝐶(cid:77) 𝐴𝐷 𝐺 𝐺 𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸 𝐹
𝐴𝐶 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)12
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) G(cid:83) ABC(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:73)
AG=2DG(cid:73)A∵D=3D△G(cid:168)
∴EF BC(cid:73)
∵ ∥ 2
= = = (cid:73)
3
𝐴𝐹 𝐴𝐺 2𝐷𝐺
∴ A𝐴𝐶C=1 𝐴 8 𝐷(cid:73) 3𝐷𝐺
∵AF=12(cid:77)
∴(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)12(cid:77)(cid:15)(cid:87)(cid:88)3-2(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) ABC(cid:91)(cid:73)(cid:95)G(cid:76)ABC(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:129)(cid:95)G(cid:115)DE AC(cid:40)(cid:133)(cid:50)(cid:26)AB(cid:150)BC(cid:94)(cid:95)D(cid:150)E(cid:73)(cid:129)
(cid:95)D(cid:115)DF BC(cid:50)AC(cid:94)△(cid:95)F(cid:73)(cid:71)(cid:161)DF(cid:169)4(cid:73)(cid:165)(cid:166)BE(cid:27)(cid:75)(cid:76) (cid:77) ∥
∥
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)8
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:110)(cid:111)BG(cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:50)AC(cid:94)H(cid:73)
G(cid:76)ABC(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:73)
∵
=2(cid:73)
𝐵𝐺
∴ D 𝐻𝐺 E AC(cid:73)DF BC(cid:73)
∵(cid:82)(cid:26)∥(cid:24)DECF∥(cid:83)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:73)
∴CE(cid:169)DF(cid:169)4(cid:73)
∴GE CH(cid:73)
∵ ∥
= =2(cid:73)
𝐵𝐸 𝐵𝐺
∴ B 𝐶𝐸 E(cid:169)8 𝐺(cid:73)𝐻
(cid:85)∴ (cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10)8(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)3-3(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89) (cid:91)(cid:73) (cid:45) (cid:50)(cid:94)(cid:95)G(cid:73)(cid:95)G(cid:76) (cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:73)(cid:95)M(cid:150)N(cid:40)(cid:133)(cid:89)(cid:26) (cid:150) (cid:104)(cid:73)
(cid:114) =3:4(cid:73)(cid:74) △𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:170)(cid:76)𝐴 𝐷 𝑀(cid:77)𝑁 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴𝑀:𝐴𝐵 𝐴𝑁:𝐴𝐶3
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19) /0.6
5
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:129)(cid:95)B(cid:115) (cid:40)(cid:133)(cid:50) (cid:73) (cid:94)(cid:95)E(cid:73)F(cid:95)(cid:73)(cid:129)(cid:95)D(cid:115) (cid:50) (cid:94)P(cid:95)(cid:73)
𝐵𝐹∥𝑀𝑁 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝑃∥𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:76) (cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)
∴(cid:95)𝐷𝑃P(cid:76)△𝐵𝐹(cid:27)𝐶(cid:91)(cid:95)(cid:73)
∴ 𝐶=𝐹3:4(cid:73)(cid:171) (cid:73)
∵𝐴𝑀:𝐴𝐵= =𝐵3𝐹:∥1𝑀(cid:73)𝑁
∴(cid:95)𝐴𝐺G:𝐺𝐸(cid:76) 𝐴𝑁:𝑁(cid:27)𝐹 (cid:37)(cid:38)(cid:73)
∵ =△2𝐴:1𝐵(cid:73)𝐶
∴𝐴𝐺:𝐺𝐷 =6:2:1(cid:73)
∴𝐴𝐺:𝐺𝐸:𝐸=𝐷8:1(cid:73)
∴𝐴𝐸:𝐸𝐷 (cid:73)
∵𝐷𝑃∥𝐵𝐹=∥𝑀8𝑁:1(cid:73)
∴𝐴𝐹:𝐹𝑃 =6:2:1:1(cid:73)
∴𝐴𝑁:𝑁𝐹:𝐹𝑃:𝑃𝐶 3
=6:10= (cid:77)
5
∴𝐴𝑁:𝐴𝐶
3
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:77)
5
【题型4 三角形一边的平行线判定定理】
(cid:15)(cid:44)4(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:83) (cid:27)(cid:91)(cid:30)(cid:73) (cid:76) (cid:104)(cid:172)(cid:118)(cid:25)(cid:95)(cid:73)(cid:110)(cid:111) (cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:73)(cid:50) (cid:94) (cid:73)(cid:110)(cid:111) (cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:73)(cid:50)
(cid:94) (cid:73)(cid:110)(cid:111) (cid:124)𝐴(cid:125)𝐷(cid:10)△/𝐴/𝐵𝐶 (cid:77) 𝑃 𝐴𝐷 𝐵𝑃 𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝑃 𝐴𝐵
𝐸 𝐸𝐹. 𝐸𝐹 𝐵𝐶(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:125)(cid:128)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:113)(cid:75)PD(cid:173)M(cid:73)(cid:174)DM=PD(cid:73)(cid:110)(cid:111)BM(cid:150)CM(cid:77)
AD(cid:83) ABC(cid:27)(cid:91)(cid:30)(cid:73)
∵BD=△CD(cid:73)
∴DM=PD(cid:73)
∵(cid:82)(cid:26)(cid:24)BPCM(cid:83)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:73)
∴BP//MC(cid:73)(cid:84)PF//MC(cid:73)
∴AF(cid:10)AC=AP(cid:10)AM(cid:73)
(cid:175)∴(cid:34)AE(cid:10)AB=AP(cid:10)AM(cid:73)
AE(cid:10)AB=AF(cid:10)AC(cid:73)
∴EF//BC(cid:77)
(cid:15)∴(cid:87)(cid:88)4-1(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:176)(cid:48) (cid:91)(cid:73)(cid:95) (cid:150) (cid:83)(cid:26) (cid:104)(cid:27)(cid:177)(cid:95)(cid:73)(cid:95) (cid:89)(cid:26) (cid:104)(cid:73) // (cid:73) = (cid:73)
2
(cid:124)(cid:125)(cid:10) // (cid:77) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐹 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐹⋅𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:125)(cid:128)(cid:10) AD =AF AB(cid:73)
2
AF = AD (cid:73) ∵ ⋅
AD AB
∴ EF//CD(cid:73)
∵AE
=
AF
(cid:77)
AC AD
∴
AE = AD (cid:77)
AC AB
∴DE//BC(cid:77)
(cid:15)∴(cid:87)(cid:88)4-2(cid:19)(cid:114) (cid:150) (cid:40)(cid:133)(cid:83) (cid:27)(cid:26) (cid:150) (cid:104)(cid:27)(cid:95)(cid:73)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:91)(cid:182)(cid:183)(cid:39)(cid:33) // (cid:27)(cid:83)( )
𝐷 𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐶
A. = B. = C. = D. =
𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:78)𝐷𝐵(cid:79)(cid:19)𝐸D𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐵 𝐵𝐶
AD AE
(cid:15)(cid:81)(cid:127)(cid:19)(cid:81)(cid:10)A(cid:150)(cid:97) = (cid:73)(cid:132)(cid:184)(cid:35)(cid:185)DE//BC(cid:73)(cid:186)(cid:86)(cid:187)(cid:182)(cid:188)(cid:189)(cid:20)(cid:118)(cid:168)
DB EC
AD AE
B(cid:150)(cid:97) = (cid:73)(cid:132)(cid:184)(cid:35)(cid:185)DE//BC(cid:73)(cid:186)(cid:86)(cid:187)(cid:182)(cid:188)(cid:189)(cid:20)(cid:118)(cid:168)
AB AC
DB AB
C(cid:150)(cid:97) = (cid:73)(cid:132)(cid:184)(cid:35)(cid:185)DE//BC(cid:73)(cid:186)(cid:86)(cid:187)(cid:182)(cid:188)(cid:189)(cid:20)(cid:118)(cid:168)
EC AC
AD DE
D(cid:150)(cid:97) = (cid:73)(cid:182)(cid:183)(cid:39)(cid:33)DE//BC(cid:73)(cid:186)(cid:86)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:20)(cid:118)(cid:77)
DB BC
(cid:85)(cid:86)(cid:10)D(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)4-3(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:190)(cid:24) (cid:91)(cid:73) // (cid:73) (cid:76) (cid:91)(cid:95)(cid:73)(cid:40)(cid:133)(cid:110)(cid:191) (cid:150) (cid:150) (cid:150) (cid:73)(cid:171) (cid:45) (cid:50)(cid:94)
(cid:73) (cid:45) (cid:50)(cid:94) (cid:73)(cid:124)(cid:125)𝐴𝐵𝐶/𝐷/ (cid:77)𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑀 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑀𝐷 𝑀𝐶 𝐴𝐶 𝑀𝐷
𝐸 𝐵𝐷 𝑀𝐶 𝐹 𝐸𝐹 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:125)(cid:128)(cid:10)(cid:77) AB//CD(cid:73)
CE = CD (cid:73) CF = CD∵ (cid:73)
AE AM FM BM
(cid:192)∴ AM=BM(cid:73)
C∵E
=
CF
(cid:73)
AE FM
∴ EF//AB(cid:77)
【 ∴ 题型5 三角形一边的平行线判定定理推论】
(cid:15)(cid:44)5(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73) // (cid:73) // (cid:124)(cid:125)(cid:10) // (cid:77)
𝐵𝐶 𝐵′𝐶′ 𝐴𝐶 𝐴′𝐶′. 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:81)(cid:10) BC//BC(cid:73)
OB OC ∵ ′ ′
=
∴ AC//AC(cid:73)
OB′ OC′
∵OA ′OC′
=
∴ OA OB
OA′ = OC′
∴
AB//AB
OA′ OB′
∴ ′ ′ 1
(cid:15)(cid:87)(cid:88)5-1(cid:19)(cid:176)(cid:48) (cid:91)(cid:73)(cid:95) (cid:150) (cid:40)(cid:133)(cid:89)(cid:26) (cid:130) (cid:27)(cid:193)(cid:194)(cid:113)(cid:75)(cid:30)(cid:104)(cid:73)(cid:114) = (cid:73)(cid:74)(cid:195) (cid:27)(cid:170)(cid:83)______(cid:196)(cid:73)
3
𝐴𝐷 𝐴𝐸
// (cid:77) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐸𝐶
𝐷𝐸 𝐵𝐶 1
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
4
AE AD AD 1
(cid:15)(cid:81)(cid:127)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:197)(cid:174)DE//BC(cid:73)(cid:74)(cid:198) = (cid:73)(cid:192) = (cid:73)
EC BD AB 3
∵
AE = AE = AD = 1 (cid:77)
EC AE AC AD AB 4
∴ + +
1
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:77)
4
(cid:15)(cid:87)(cid:88)5-2(cid:19)(cid:176)(cid:48)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:73)(cid:139)(cid:30) (cid:150) (cid:150) (cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73) // (cid:73) // (cid:73)(cid:124)(cid:125)(cid:10) // (cid:77)
𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐹 𝑂 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(cid:125)(cid:128)(cid:10) AC//EF(cid:73)
OA = OC (cid:73) ∵
OE OF
∴ BC//DF(cid:73)
∵OB
=
OC
(cid:73)
OD OF
∴
OA = OB (cid:73)
OE OD
∴AB//DE(cid:77)
(cid:15)∴(cid:87)(cid:88)5-3(cid:19)(cid:176)(cid:48)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:83) (cid:27)(cid:23)(cid:28)(cid:40)(cid:30)(cid:73)(cid:129)(cid:95) (cid:150) (cid:40)(cid:133)(cid:115) (cid:27)(cid:147)(cid:30)(cid:73)(cid:147)(cid:149)(cid:40)(cid:133)(cid:76) (cid:150) (cid:73)(cid:171)(cid:199)(cid:149)
𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐷 𝐹 𝐸
= ， (cid:130) (cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73)(cid:110)(cid:111) (cid:77)
𝐴𝐹 𝐵𝐹
𝐴𝐸 𝐸𝐶 𝐶𝐹 𝐸𝐵 𝑃 𝐴𝑃
(cid:124)(cid:125)(cid:10) // (cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79) 𝐸 (cid:19) 𝐶 (cid:125)(cid:128) 𝐴𝑃 (cid:10) AF = BF (cid:73)
AE EC
BF AD(cid:73)CE ∵ AD(cid:73)
∵BF/⊥/EC(cid:73) ⊥
∴PF
=
BF
(cid:73)
PC EC
∴
AF = PF (cid:73)
AE PC
∴ AP//EC(cid:77)
【 ∴ 题型6 平行线分线段成比例定理】
(cid:15)(cid:44)6(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:135)(cid:136)(cid:200)(cid:201)·(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:73)(cid:177)(cid:180)(cid:139)(cid:30)(cid:45)(cid:202)(cid:22)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:133)(cid:50)(cid:94)(cid:95)A(cid:73)
3 𝑙𝐼∥𝑙2∥𝑙3
B(cid:73)C(cid:130)D(cid:73)E(cid:73)F(cid:73)(cid:176)(cid:48) = (cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:170)(cid:76)(cid:59) (cid:70)
2
𝐴𝐵 𝐷𝐸
𝐵𝐶 𝐷𝐹
3 2 2 3
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
2 3 5 5
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)D
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:206)(cid:94)(cid:207)(cid:208)(cid:20)(cid:73)(cid:209)(cid:155)(cid:210)(cid:211)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:81)(cid:78)(cid:186)(cid:20)(cid:27)(cid:3)
(cid:212)(cid:77)(cid:139)(cid:111)(cid:213)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:185) = (cid:73)(cid:214)(cid:215)(cid:176)(cid:48)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:124)(cid:185)(cid:84)(cid:132)(cid:77)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:73)(cid:177)(cid:180)(cid:139)(cid:30)(cid:45)(cid:202)(cid:22)(cid:180)𝐷𝐹(cid:28)(cid:29)𝐴(cid:30)𝐶 (cid:40)(cid:133)(cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73) (cid:73) (cid:130) (cid:73) (cid:73) (cid:73)
∵𝑙𝐼∥𝑙2∥𝑙3 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹= (cid:73)
𝐷𝐸 𝐴𝐵
∴𝐷𝐹 𝐴𝐶
3
(cid:192) = (cid:73)
2
𝐴𝐵
∵𝐵𝐶
3
= = (cid:73)
5
𝐷𝐸 𝐴𝐵
(cid:85)∴(cid:86)𝐷𝐹(cid:10)D 𝐴(cid:77)𝐶
(cid:15)(cid:87)(cid:88)6-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:220)(cid:136)(cid:221)(cid:135)·(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:27)(cid:225)(cid:226)(cid:132)(cid:227)(cid:228)(cid:42)(cid:71)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:27)(cid:72)(cid:24)(cid:73)(cid:46)(cid:91)
(cid:73) =30(cid:73) =40(cid:73) =50(cid:73)(cid:59)(cid:229)(cid:96)(cid:10)cm(cid:70)(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:123)(cid:83)(cid:59) (cid:70)
𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹∥𝐺𝐻 𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐵𝐷
200
A(cid:77)37cm B(cid:77)37.5cm C(cid:77) cm D(cid:77)38.5cm
3
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)B
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:230)(cid:197)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:134)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:134)(cid:40)(cid:33)(cid:34)(cid:179)(cid:43)(cid:44)(cid:88)(cid:42)(cid:76)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)
(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:134)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:179)(cid:43)(cid:44)(cid:88)(cid:124)(cid:81)(cid:84)(cid:132)(cid:77)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:73)
∵3𝐴0𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹∥𝐺𝐻
= (cid:73)(cid:84) = (cid:73)
40 50
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷
(cid:81)∴(cid:100)𝐶𝐸(cid:10) 𝐷𝐹 =37.5cm(cid:77)
(cid:85)(cid:86)B(cid:77)𝐵𝐷
(cid:15)(cid:87)(cid:88)6-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:119)(cid:120)(cid:232)(cid:233)·(cid:108)(cid:91)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:139)(cid:30) (cid:73)(cid:40)(cid:133)(cid:50)(cid:139)(cid:30) (cid:73) (cid:94)(cid:95) (cid:73) (cid:73) (cid:73) (cid:73)
(cid:73) (cid:77)(cid:114) =2(cid:73) = =3(cid:73)(cid:74) = (cid:77) 𝑎 ∥𝑏 ∥𝑐 𝑚 𝑛 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐸𝐹
9
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:73)(cid:209)(cid:155)(cid:210)(cid:211)(cid:184)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:95)(cid:83)(cid:81)(cid:78)(cid:77)
(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:173) = (cid:73)(cid:234)(cid:235)(cid:218)(cid:219)(cid:216)(cid:217)(cid:84)(cid:132)(cid:124)(cid:185) (cid:27)(cid:170)(cid:77)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐹(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:139)(cid:30) (cid:73)
∵2 3 𝑎 ∥𝑏 ∥𝑐
= (cid:73)(cid:84) = (cid:73)
3
𝐴𝐵 𝐷𝐸
∴𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐹
9
= (cid:73)
2
∴𝐸𝐹
9
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:77)
2
(cid:15)(cid:87)(cid:88)6-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:119)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:239)·(cid:108)(cid:91)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89)6×6(cid:27)(cid:90)(cid:24)(cid:240)(cid:241)(cid:91)(cid:73)(cid:110)(cid:111)(cid:177)(cid:240)(cid:241)(cid:30)(cid:104)(cid:27)(cid:95) (cid:73) (cid:73)
(cid:30)(cid:41) (cid:45)(cid:240)(cid:241)(cid:30)(cid:27)(cid:50)(cid:95)(cid:76) (cid:73) (cid:73)(cid:74) (cid:76) (cid:77) 𝐴 𝐵
𝐴𝐵 𝑀 𝑁 𝐴𝑀:𝑀𝑁:𝑁𝐵
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)1:3:2
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:213)(cid:53)(cid:240)(cid:241)(cid:57)(cid:242) (cid:73)(cid:213)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:100)(cid:173) = =1:3:2(cid:73)
(cid:97)(cid:243)(cid:132)(cid:81)(cid:77)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:28)𝐴(cid:29)𝐹(cid:30)∥(cid:40)𝑀𝐶(cid:30)∥(cid:41)𝑁𝐷(cid:42)∥𝐵(cid:43)𝐸(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:213)(cid:53)(cid:241)(cid:95)(cid:57)(cid:58)(cid:134)(cid:43)(cid:44)(cid:30)(cid:41)𝐴𝑀(cid:83):𝑀(cid:81)𝑁(cid:20):𝑁(cid:27)𝐵(cid:3)(cid:212)𝐹(cid:77)𝐶:𝐶𝐷:𝐷𝐸
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:213)(cid:53)(cid:240)(cid:241)(cid:57)(cid:242) (cid:73)
𝐴𝐹∥𝑀𝐶∥𝑁𝐷∥𝐵𝐸
= =1:3:2(cid:73)
∴(cid:85)(cid:78)𝐴𝑀(cid:79):𝑀(cid:76)𝑁(cid:10):𝑁1𝐵:3:2(cid:77)𝐹𝐶:𝐶𝐷:𝐷𝐸
【题型7 平行线分线段成比例与其他知识的交互运用】
(cid:15)(cid:44)7(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:119)(cid:120)(cid:223)(cid:244)·(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:190)(cid:24) (cid:91)(cid:73) (cid:73) = (cid:73) = (cid:73) (cid:50)(cid:177)
(cid:245)(cid:94) (cid:150) (cid:77)(cid:74)(cid:178)(cid:179)(cid:191)(cid:36)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐻𝐶 𝐷𝐺 𝐺𝐵 𝐺𝐻
(cid:59)1(cid:70)𝐸 𝐹= (cid:73) = (cid:77)
(cid:59)2(cid:70)𝐴𝐸 𝐸𝐵 𝐷𝐹(cid:77) 𝐹𝐶
(cid:59)3(cid:70) 𝐴𝐷∥ = 𝐸𝐹∥ = 𝐵𝐶1 (cid:73) = = 1 (cid:77)
2 2
𝐸𝐻 𝐺𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐺 𝐻𝐹 𝐴𝐷(cid:59)4(cid:70) = 1 (cid:77)
2
𝐺𝐻 (𝐵𝐶−𝐴𝐷)
(cid:46)(cid:91)(cid:246)(cid:247)(cid:27)(cid:248)(cid:59)(cid:249)(cid:249)(cid:70)
A(cid:77)1(cid:250) B(cid:77)2(cid:250) C(cid:77)3(cid:250) D(cid:77)4(cid:250)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)D
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:39)(cid:33)(cid:45)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:73)(cid:93)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:39)(cid:33)(cid:45)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)
(cid:209)(cid:155)(cid:210)(cid:211)(cid:184)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:95)(cid:83)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)(cid:110)(cid:111) (cid:73)(cid:113)(cid:75) (cid:50) (cid:94) (cid:73)(cid:100)(cid:173) = =1(cid:73)(cid:251)(cid:252)(cid:39)(cid:33) (cid:83)
𝐴𝐻 𝐷𝐻
𝐷𝐻 𝐷𝐻 𝐵𝐶 𝑀 𝐶𝐻 𝐻𝑀 𝐺𝐻 △𝐷𝐵𝑀
(cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)(cid:251)(cid:252)(cid:35)(cid:185) (cid:73)(cid:251)(cid:252)(cid:48)(cid:253) (cid:246)(cid:247)(cid:168)(cid:111)(cid:254)(cid:213)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:73)(cid:132)(cid:48) = =1(cid:73) =
𝐴𝐸 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝐷𝐹
=1(cid:73)(cid:251)(cid:252)(cid:48)(cid:253) (cid:246)𝐸(cid:247)𝐹(cid:73)∥𝐵𝐶(cid:83) (cid:27)②(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73) (cid:83) (cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)(cid:111)(cid:254)(cid:213)(cid:53)(cid:22) 𝐵 (cid:23) 𝐸 (cid:24)𝐶(cid:91)𝐻(cid:96)(cid:30)(cid:27) 𝐵 (cid:31) 𝐺 (cid:32)(cid:73)𝐶𝐹
(cid:132)(cid:100)(cid:173) (cid:246)(cid:247)(cid:73)①(cid:255)(cid:235)(cid:213)(cid:53)𝐸𝐻 =△𝐴𝐵𝐶 (cid:100)(cid:173) (cid:246)(cid:247)𝐺𝐹(cid:77) △𝐷𝐵𝐶
(cid:15)(cid:80)(cid:81)③(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:73)(cid:113)𝐺(cid:75)𝐻 (cid:50)𝐸𝐻−𝐸(cid:94)𝐺 (cid:73)(cid:71)④(cid:72)(cid:116)(cid:117):
𝐷𝐻 𝐷𝐻 𝐵𝐶 𝑀
(cid:73)
= (cid:73) ∵=𝐴𝐷∥𝐵𝐶 (cid:73)
∴∠𝐴𝐷𝐻 ∠𝐻𝑀𝐶 ∠𝐷𝐴𝐻 ∠𝑀𝐶𝐻
= (cid:73)
𝐴𝐻 𝐷𝐻
∴𝐶𝐻 = 𝐻𝑀 (cid:73)
∵𝐴𝐻 𝐻𝐶
=1(cid:73)
𝐷𝐻
∴𝐻𝑀
= (cid:73)
∴𝐷𝐻= 𝐻𝑀(cid:73)
∵𝐷𝐺(cid:83)𝐵𝐺 (cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)
∴𝐺𝐻 △𝐷(cid:73)𝐵𝑀
∴𝐺𝐻∥𝐵𝑀(cid:73)
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶(cid:73)(cid:85) (cid:246)(cid:247)(cid:168)
∴𝐴𝐷∥𝐸𝐹∥𝐵𝐶 ②
= =1(cid:73) = =1
𝐴𝐸 𝐴𝐻 𝐷𝐺 𝐷𝐹
∴𝐵𝐸 (cid:83)𝐶𝐻 (cid:27) 𝐵 (cid:91) 𝐺 (cid:96)(cid:30)𝐶𝐹(cid:73) (cid:83) (cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73) = (cid:73) = (cid:73)(cid:85) (cid:246)(cid:247)(cid:168)
∴𝐸 𝐻 = △1𝐴𝐵 (cid:73) 𝐶 = 1 𝐺𝐹 △𝐷𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐸𝐵 𝐷𝐹 𝐹𝐶 ①
2 2
∴ 𝐸𝐻 𝐵𝐶1𝐺𝐹 𝐵𝐶
= =
2
∴𝐸𝐻 𝐺𝐹 𝐵𝐶
(cid:175)(cid:34)(cid:132)(cid:125) = = 1 (cid:73)(cid:85) (cid:246)(cid:247)(cid:168)
2
𝐸𝐺 𝐻𝐹 𝐴𝐷 ③
= (cid:73) = 1 (cid:73) = 1
2 2
∵𝐺𝐻 𝐸𝐻−𝐸𝐺 𝐸𝐻 𝐵𝐶 𝐸𝐺 𝐴𝐷
= 1 (cid:73)(cid:85) (cid:246)(cid:247)(cid:168)
2
∴𝐺𝐻 (𝐵𝐶−𝐴𝐷) ④
(cid:256)(cid:104)(cid:40)(cid:127)(cid:132)(cid:48)(cid:10)(cid:246)(cid:247)(cid:27)(cid:248)4(cid:250)(cid:77)
(cid:85)(cid:86)(cid:10)D(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)7-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:257)(cid:258)(cid:257)(cid:259)·(cid:108)(cid:91)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:176)(cid:48) (cid:150) (cid:73) (cid:45) (cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95) (cid:73)(cid:115)
(cid:94)(cid:95) (cid:73)(cid:95) (cid:83) (cid:27)(cid:91)(cid:95)(cid:73) (cid:94)(cid:95) (cid:73)(cid:50) (cid:94)(cid:95) (cid:73)(cid:114)𝐴𝐵⊥=𝐵3𝐶(cid:73) 𝐷𝐶=⊥7𝐵(cid:73)𝐶(cid:74)𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:170)(cid:76)(cid:59) 𝑂 (cid:70) 𝑂𝑀⊥𝐵𝐶
𝑀 𝐸 𝐵𝐷 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 𝐺 𝐴𝐶 𝐹 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑂𝑀−𝐸𝐹
1 1 3 2
A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
10 5 10 5
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)A
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:134)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:209)(cid:155)(cid:210)(cid:211)(cid:93)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:39)(cid:33)(cid:130)(cid:31)(cid:32)(cid:83)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)
21
(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:27)(cid:39)(cid:33)(cid:260)(cid:261)(cid:100)(cid:173) (cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:93)(cid:131)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:100)(cid:173) = (cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:173)
10
=
=2(cid:73)(cid:94)(cid:83)(cid:100)(cid:173)𝑂(cid:191)𝑀∥(cid:36)𝐴𝐵(cid:77)∥𝐶𝐷 𝑂𝑀
(cid:15)𝐸𝐹(cid:80)(cid:81)𝐸(cid:19)𝐺−(cid:81)𝐹(cid:10)𝐺 (cid:150) (cid:73) (cid:73)
(cid:73)∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐷𝐶⊥𝐵𝐶 𝑂𝑀⊥𝐵𝐶
∴𝑂𝑀∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷
= (cid:73) = (cid:73)
𝑂𝑀 𝐶𝑀 𝑂𝑀 𝐵𝑀
∴ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐵𝐶
= (cid:73) = (cid:73)
3 7
𝑂𝑀 𝐶𝑀 𝑂𝑀 𝐵𝑀
∴ 𝐵𝐶 𝐵𝐶
+ = =1(cid:73)
3 7
𝑂𝑀 𝑂𝑀 𝐶𝑀+𝐵𝑀
∴ 𝐵𝐶21
= (cid:73)
10
∴𝑂𝑀 (cid:73)
∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 (cid:73)
∴𝐸(cid:95)𝐺∥(cid:83)𝐴𝐵∥𝐶(cid:27)𝐷(cid:91)(cid:95)(cid:73)
∵ 𝐸= 𝐵𝐷(cid:73)
∴𝐵𝐸=𝐷𝐸(cid:73)
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐺(cid:73)
∴𝐶𝐹 = 𝐴1𝐹 =3.5(cid:73) = 1 =1.5(cid:73)
2 2
∴𝐸𝐺 𝐶𝐷 𝐹𝐺 𝐴𝐵
= =2(cid:73)
∴𝐸𝐹 𝐸𝐺
=
−𝐹2𝐺1
=
1
(cid:73)
10 10
(cid:85)∴(cid:86)𝑂𝑀(cid:10)−
A
𝐸(cid:77)𝐹 −2
(cid:15)(cid:87)(cid:88)7-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:262)(cid:233)(cid:263)(cid:264)·(cid:108)(cid:91)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:90)(cid:24) (cid:27)(cid:92)(cid:23)(cid:30) (cid:45) (cid:40)(cid:133)(cid:76)8(cid:73)6(cid:73)(cid:129)(cid:95)O(cid:115)
(cid:50) (cid:94)(cid:95)E(cid:150)(cid:110)(cid:111) (cid:73)(cid:50) (cid:94)(cid:95)F(cid:73)(cid:129)(cid:95)(cid:115) 𝐴𝐵(cid:50)𝐶𝐷 (cid:94)(cid:95)G(cid:73)𝐴(cid:74)𝐶 𝐵𝐷= (cid:77)
𝑂𝐸∥𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐹𝐺∥𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐺𝐸
5
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:213)(cid:53)(cid:90)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:184)(cid:265)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:124)(cid:185) =5(cid:73)(cid:214)(cid:125)(cid:128) (cid:10) = (cid:10) = (cid:10) =2(cid:73)(cid:132)(cid:100)(cid:191)(cid:36)(cid:77)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10) (cid:82)(cid:26)(cid:24) (cid:83)(cid:90)(cid:24)(cid:73) 𝐵𝐶 𝐴𝐺 𝐺𝐸 𝐴𝐹 𝑂𝐹 𝐴𝐷 𝑂𝐸
(cid:73) ∵ = = 𝐴𝐵1𝐶𝐷 =4(cid:73) = = 1 =3(cid:73) = = (cid:73)
2 2
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵
= + = 3 +4 =5(cid:73)
2 2 2 2
∴𝐵𝐶 = 𝑂𝐵=5(cid:73)𝑂𝐶
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 (cid:73) = (cid:73)
∵𝑂𝐸∥𝐴𝐷(cid:73),𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝑂 𝑂𝐶
∴𝑂𝐸∥𝐵𝐶
= (cid:73)
𝑂𝐴 𝐴𝐸
∴𝑂𝐶 𝐵𝐸= (cid:73)
∴𝐴𝐸
=
𝐸1𝐵
=
5
(cid:73)
2 2
∴𝑂𝐸 𝐵(cid:73)𝐶
∵𝑂𝐸∥𝐴𝐷 1
= = (cid:73)
2
𝑂𝐹 𝑂𝐸
∴𝐴𝐹 𝐴𝐷(cid:73)
∵𝐹𝐺∥𝑂𝐸
= =2(cid:73)
𝐴𝐺 𝐴𝐹
∴𝐺𝐸 𝐹𝑂
= 1 = 5 (cid:77)
3 3
∴𝐺𝐸 𝐴𝐵
5
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:77)
3
(cid:15)(cid:95)(cid:266)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:90)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:134)(cid:48)(cid:49)(cid:73)(cid:81)(cid:20)(cid:27)
(cid:3)(cid:212)(cid:83)(cid:34)(cid:81)(cid:20)(cid:118)(cid:73)(cid:267)(cid:268)(cid:52)(cid:53)(cid:116)(cid:11)(cid:48)(cid:49)(cid:81)(cid:269)(cid:270)(cid:20)(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)7-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:135)(cid:136)(cid:271)(cid:272)·(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:176)(cid:48) (cid:73) (cid:73) (cid:83)(cid:22)(cid:250)(cid:273)(cid:134)(cid:27)(cid:134)(cid:245)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:73)(cid:274)(cid:26) (cid:73) (cid:73) (cid:89)(cid:175)(cid:25)(cid:180)(cid:139)(cid:30)(cid:104)(cid:73)(cid:171) =3(cid:73) =△3𝐴(cid:73)𝐵𝐶 (cid:40)△(cid:133)𝐷(cid:50)𝐶𝐸 (cid:73)△𝐹𝐸(cid:73)𝐺 (cid:94)(cid:95) (cid:73) (cid:73) (cid:77)(cid:81)
(cid:78)(cid:178)(cid:179)(cid:270)(cid:20)𝐵(cid:10)𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝑀 𝑁 𝐻
(1) (cid:27)(cid:170)(cid:76)__________(cid:168)
𝐹𝐺
𝐵𝐺
3
(2)(cid:124)(cid:125)(cid:10) = = (cid:168)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
(3)(cid:124)(cid:10) 𝐵𝐺 𝐹𝐺 (cid:27)(cid:170)(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
𝐵𝑀
(1
:
)
𝑀3𝑁:𝑁𝐹
3
(2)(cid:125)(cid:128)(cid:126)(cid:81)(cid:127)
(3) =2:1:3
(cid:15)(cid:80)𝐵𝑀(cid:81):𝑀(cid:19)𝑁(cid:59):𝑁1(cid:70)𝐹 (cid:81)(cid:10) (cid:73) (cid:73) (cid:83)(cid:22)(cid:250)(cid:273)(cid:134)(cid:27)(cid:134)(cid:245)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:73) =3(cid:73) = 3(cid:73)
= = = ∵△=𝐴𝐵𝐶=△𝐷=𝐶𝐸3(cid:73)△𝐹=𝐸𝐺 = = 3(cid:73) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶 =𝐷3𝐶 3(cid:73)𝐷𝐸 𝐹𝐸 𝐹𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐺
∴𝐵𝐺 3𝐵𝐶= 3 = 3 (cid:73)
3 3 3
𝐹𝐺
∴𝐵𝐺
3
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:168)
3
(cid:59)2(cid:70)(cid:81)(cid:10) (cid:73) (cid:73) (cid:83)(cid:22)(cid:250)(cid:273)(cid:134)(cid:27)(cid:134)(cid:245)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:73)
= ∵=△𝐴𝐵=𝐶 3△(cid:73)𝐷𝐶𝐸= △𝐹=𝐸𝐺 = = = =3(cid:73)
∴𝐸𝐺 𝐶𝐸 3𝐵𝐶 𝐺𝐹 𝐸𝐹 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵
= = (cid:73)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
(cid:59)∴ 3𝐵(cid:70)𝐺 (cid:81)𝐹(cid:10)𝐺 (cid:73) (cid:73) (cid:83)(cid:22)(cid:250)(cid:273)(cid:134)(cid:27)(cid:134)(cid:245)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:73)
=∵△𝐴𝐵𝐶= △𝐷𝐶(cid:73)𝐸 △𝐹=𝐸𝐺 = (cid:73)
∴∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶(cid:73)𝐸 ∠𝐹𝐸𝐺 ∠𝐴(cid:73)𝐶𝐵 ∠𝐷𝐸𝐶 ∠𝐹𝐺𝐸
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶∥𝐷𝐸∥𝐹𝐺
= (cid:73) = (cid:73)
𝐵𝑁 𝐵𝐶
∴𝑁𝐹
=
𝐶𝐸
=
𝐵𝑀:𝑀
=
𝐻:𝐻
3
𝐹
(cid:73)
𝐵𝐶:𝐶𝐸:𝐸𝐺
∵𝐵𝐶 = 𝐶3𝐸 =1 𝐸(cid:73)𝐺 = 3: 3: 3=1:1:1(cid:73)
3
𝐵𝑁
∴𝑁𝐹 𝐵𝑀:𝑀𝐻:𝐻𝐹
= (cid:73) = = (cid:73)
∴𝐵𝑁 𝑁𝐹 = 𝐵𝑀 𝑀 (cid:73) 𝐻 (cid:84) 𝐻𝐹 = = 1 (cid:73)
2
∴𝐵𝑁−𝐵𝑀 𝑁𝐹−𝐻𝐹 𝑀𝑁 𝑁𝐻 𝑀𝐻
= (cid:73) = (cid:73)
∴𝐵𝑀 2𝑀𝑁 =𝑁2𝐹:1:3(cid:77)3𝑀𝑁
(cid:15)∴(cid:95)𝐵𝑀(cid:266):𝑀(cid:19)𝑁(cid:186):𝑁(cid:20)𝐹(cid:230)(cid:197)(cid:203)(cid:204)(cid:134)(cid:245)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:273)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:52)(cid:53)(cid:73)(cid:210)(cid:211)(cid:134)(cid:245)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:83)(cid:275)(cid:276)(cid:83)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)
【题型8 做辅助线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:44)8(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)·(cid:104)(cid:153)·(cid:108)(cid:91)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:89)(cid:190)(cid:24) (cid:91)(cid:73) (cid:73)(cid:95)E(cid:150)F(cid:40)(cid:133)(cid:89) (cid:150) (cid:104)(cid:73)(cid:171) =
𝐴𝐸
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐸𝐵
= (cid:73)(cid:195) = (cid:73) = (cid:196)(cid:73)(cid:30)(cid:41) (cid:27)(cid:75)(cid:76) (cid:77)(cid:59)(cid:53)(cid:277)m(cid:150)n(cid:27)(cid:218)(cid:216)(cid:88)(cid:278)(cid:117)(cid:70)
2
𝐷𝐹
𝐹𝐶 𝐴𝐷 𝑚 𝐵𝐶 𝑛 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)
3
𝑛+2𝑚
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:73)(cid:112)(cid:113)(cid:75) (cid:50) (cid:27)(cid:113)(cid:75)(cid:30)(cid:94) (cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:116)(cid:117)(cid:10)
𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐻(cid:73)
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶
= = (cid:73)
𝐴𝐹 𝐴𝐷 𝐷𝐹
∴ 𝐹𝐻 𝐶𝐻 1 𝐹𝐶
= = (cid:73)
2
𝐴𝐸 𝐷𝐹
∵ 𝐸𝐵 1𝐹𝐶
= (cid:73)
2
𝐴𝐷
∴ 𝐶𝐻 = (cid:73)
∴𝐶𝐻=2𝐴(cid:73)𝐷 = (cid:73)
∵𝐴𝐷=𝑚 (cid:73)𝐵𝐶 𝑛
∴𝐶𝐻 =2𝑚+ = + (cid:73)
∴𝐵𝐻 𝐵𝐶 1𝐶𝐻 𝑛 2𝑚
= = (cid:73)
2
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∵ 𝐸𝐵 𝐹𝐻 1
= = (cid:73)
3
𝐴𝐸 𝐴𝐹
∴ 𝐴𝐵 𝐴𝐻(cid:73)
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐻 1
= = (cid:73)
3
𝐸𝐹 𝐴𝐸
∴ 𝐵𝐻 𝐴𝐵
= 1 = (cid:77)
3 3
𝑛+2𝑚
∴𝐸𝐹 𝐵𝐻
(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:10) (cid:77)
3
𝑛+2𝑚
(cid:15)(cid:87)(cid:88)8-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:178)·(cid:119)(cid:120)(cid:279)(cid:280)·(cid:154)(cid:41)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:202)(cid:83)(cid:97)(cid:134)(cid:281)(cid:282)(cid:150)(cid:134)(cid:75)(cid:123)(cid:27)(cid:283)(cid:180)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:285)(cid:42)(cid:27)(cid:72)
(cid:24)(cid:77)(cid:176)(cid:48) (cid:73) (cid:73) (cid:22)(cid:95)(cid:286)(cid:30)(cid:73)(cid:114) =3.2cm(cid:73)(cid:74) (cid:27)(cid:75)(cid:76)(cid:59) (cid:70)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
A(cid:77)4.8 B(cid:77)6.4cm C(cid:77)9.6cm D(cid:77)12.8
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)C cm cm(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:210)(cid:211)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:287)(cid:53)(cid:83)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)
(cid:129)(cid:95) (cid:115)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:27)(cid:147)(cid:30)(cid:73)(cid:50)(cid:95) (cid:116)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:94) (cid:73)(cid:50)(cid:95) (cid:116)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:94) (cid:73)(cid:234)(cid:235)(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)
𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝐸
(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:33)(cid:34)(cid:100) = (cid:73)(cid:255)(cid:235)(cid:218)(cid:219)(cid:124)(cid:170)(cid:84)(cid:132)(cid:77)
𝐴𝐵 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:71)𝐵𝐶(cid:72)(cid:73)𝐷𝐸(cid:129)(cid:95) (cid:115)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:27)(cid:147)(cid:30)(cid:73)(cid:50)(cid:95) (cid:116)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:94) (cid:73)(cid:50)(cid:95) (cid:116)(cid:89)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:30)(cid:94) (cid:73)
𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝐸
= (cid:73)
𝐴𝐵 𝐴𝐸
∴ 3 𝐵 . 𝐶 2 = 𝐷 1 (cid:73) 𝐸
3
∴𝐵𝐶
=9.6(cid:73)
∴(cid:85)𝐵(cid:86)𝐸(cid:10)C(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)8-2(cid:19)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:215)(cid:159)(cid:24)(cid:288)(cid:289)ABCD(cid:290)(cid:291)(cid:73)(cid:174)(cid:95)A(cid:45)(cid:95)C(cid:37)(cid:189)(cid:73)(cid:290)(cid:292)EF(cid:45)AC(cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95)O(cid:73)(cid:110)(cid:111)BO(cid:77)(cid:114)
AB(cid:169)4(cid:73)CF(cid:169)5(cid:73)(cid:74)OB(cid:27)(cid:75)(cid:76) (cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)2 5
(cid:15)(cid:40)(cid:127)(cid:19)(cid:110)(cid:111)AF(cid:73)(cid:129)O(cid:115)OH BC(cid:94)H(cid:73)(cid:97)(cid:215)(cid:159)(cid:24)(cid:288)(cid:289)ABCD(cid:290)(cid:291)(cid:73)(cid:174)(cid:95)A(cid:45)(cid:95)C(cid:37)(cid:189)(cid:73)(cid:290)(cid:292)EF(cid:45)AC
(cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95)O(cid:73)(cid:132)(cid:100)AF(cid:169)CF(cid:169)5(cid:73)⊥BF(cid:169) (cid:169)3(cid:73)BC(cid:169)BF(cid:293)CF(cid:169)8(cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:290)(cid:291)(cid:125)(cid:128)(cid:185)OH(cid:83) ABC(cid:27)
2 2
(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)(cid:85)BH(cid:169) 1 BC(cid:169)4(cid:73)OH(cid:169) 1 AB(cid:169)2 𝐴(cid:73)𝐹(cid:89)−𝐴 Rt 𝐵 BOH(cid:91)(cid:73)(cid:53)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:84)(cid:100)OB(cid:169)2 5(cid:77) △
2 2
△
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:81)(cid:10)(cid:110)(cid:111)AF(cid:73)(cid:129)O(cid:115)OH BC(cid:94)H(cid:73)(cid:71)(cid:72)(cid:10)
⊥
(cid:215)(cid:159)(cid:24)(cid:288)(cid:289)ABCD(cid:290)(cid:291)(cid:73)(cid:174)(cid:95)A(cid:45)(cid:95)C(cid:37)(cid:189)(cid:73)(cid:290)(cid:292)EF(cid:45)AC(cid:93)(cid:50)(cid:94)(cid:95)O(cid:73)
∵AF(cid:169)CF(cid:169)5(cid:73)OA(cid:169)OC(cid:73)
∴(cid:89)Rt ABF(cid:91)(cid:73)BF(cid:169) (cid:169) 5 4 (cid:169)3(cid:73)
2 2 2 2
BC(cid:169)△BF(cid:293)CF(cid:169)8(cid:73) 𝐴𝐹 −𝐴𝐵 −
∴OA(cid:169)OC(cid:73)OH BC(cid:73)AB BC(cid:73)
∵O(cid:76)AC(cid:91)(cid:95)(cid:73)⊥OH AB(cid:73)⊥
∴ 1 ∥
= = (cid:73)
1
𝐶𝐻 𝐶𝑂
∴ H 𝐵𝐻(cid:76)B 𝐴 C 𝑂 (cid:91)(cid:95)(cid:73)
∴OH(cid:83) ABC(cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:73)
∴ △ 1 1
BH(cid:169)CH(cid:169) BC(cid:169)4(cid:73)OH(cid:169) AB(cid:169)2(cid:73)
2 2
∴
(cid:89)Rt BOH(cid:91)(cid:73)OB(cid:169) + (cid:169) 4 +2 (cid:169)2 5(cid:73)
2 2 2 2
(cid:85)(cid:78)(cid:79)△(cid:76)(cid:10)2 5(cid:77) 𝐵𝐻 𝑂𝐻
(cid:15)(cid:95)(cid:266)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:159)(cid:24)(cid:31)(cid:32)(cid:265)(cid:287)(cid:53)(cid:73)(cid:294)(cid:265)(cid:92)(cid:295)(cid:150)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:150)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:134)(cid:48)(cid:49)(cid:73)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:83)(cid:125)(cid:128)OH
(cid:83)(cid:83) ABC(cid:27)(cid:91)(cid:96)(cid:30)(cid:77)
(cid:15)(cid:87)(cid:88)△ 8-3(cid:19)(cid:71)(cid:72)1(cid:73)(cid:190)(cid:24)ABCD(cid:91)(cid:73) =90°(cid:73) (cid:73) =2(cid:73) =3(cid:73) =3 5(cid:73)(cid:95)P(cid:83)AD(cid:113)(cid:75)
(cid:30)(cid:104)(cid:25)(cid:95)(cid:73)F(cid:76)DC(cid:27)(cid:91)(cid:95)(cid:73)(cid:110)(cid:111)BP(cid:73)∠𝐴(cid:50)(cid:30)(cid:41)DF𝐴(cid:94)𝐷∥(cid:95)𝐵𝐶G(cid:77)𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(1)(cid:195) + = (cid:196)(cid:73)(cid:124)DP(cid:27)(cid:75)(cid:77)
(2)(cid:71)𝐴(cid:72)𝐵2(cid:73)𝐷(cid:95)𝑃E(cid:76)𝑃𝐵BP(cid:91)(cid:95)(cid:73)(cid:110)(cid:111)EF(cid:77)
(cid:114)(cid:167) = (cid:73) = (cid:73)(cid:124)y(cid:45)x(cid:27)(cid:296)(cid:216)(cid:3)(cid:297)(cid:88)(cid:112)(cid:298)(cid:185)(cid:299)(cid:87)(cid:300)x(cid:27)(cid:152)(cid:170)(cid:301)(cid:302)(cid:77)
①(cid:110)(cid:111)𝐷D𝑃E(cid:130)𝑥PF𝐸(cid:73)𝐹(cid:114) 𝑦 = (cid:73)(cid:124)DP(cid:75).
② 𝐷𝐸 𝑃𝐹(cid:15)(cid:78)(cid:79)(cid:19)(1)2
8
(2) = (0< 8)(cid:168) (cid:303)4(cid:77)
2 3
8−𝑥
(cid:15)(cid:40)①(cid:127)𝑦(cid:19)(cid:59)1(cid:70)(cid:167) 𝑥≤ = (cid:73)(cid:98)②(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:124)(cid:100) (cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:176)(cid:48)(cid:134)(cid:88)(cid:242)(cid:304)(cid:260)(cid:305)(cid:73)(cid:81)(cid:260)(cid:305)(cid:124)(cid:81)(cid:84)(cid:132)(cid:168)
(cid:59)2(cid:70) (cid:110)(cid:111)DE𝐷(cid:112)𝑃(cid:113)(cid:75)𝑥(cid:50)BC(cid:94)(cid:95)M(cid:73)(cid:129)𝐵𝑃D(cid:115) (cid:94)(cid:95)H(cid:73)(cid:125)(cid:128) (cid:73)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:124)(cid:100) (cid:73)
=①(cid:73) = (cid:73) = + (cid:73)(cid:218)(cid:219)(cid:306)(cid:307)(cid:308)𝐷(cid:34)𝐻(cid:84)⊥(cid:132)𝐵𝐶(cid:124)(cid:100)(cid:296)(cid:216)(cid:81)(cid:127)(cid:88)△(cid:168)𝐷𝐸𝑃≌△𝑀𝐸𝐵 𝐶𝐻
𝐷𝑃(cid:195) 𝑥 =𝐸𝐹 (cid:196)𝑦(cid:73)(cid:82)𝐵𝐶(cid:26)(cid:24)𝐵D𝑀EFP𝐶(cid:76)𝑀(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:73)(cid:195) (cid:196)(cid:73)(cid:82)(cid:26)(cid:24)DEFP(cid:76)(cid:134)(cid:245)(cid:190)(cid:24)(cid:73)(cid:129)E(cid:115)
② (cid:94)(cid:95) 𝐷 Q 𝑃 (cid:73) 𝐸𝐹 = (cid:73)(cid:97) (cid:73) = (cid:73)(cid:231)(cid:217)(cid:28)(cid:29) 𝐷𝑃 (cid:30) ≠ (cid:40) 𝐸 (cid:30) 𝐹 (cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:132)(cid:100) = 1 ,(cid:74) = 2 (cid:73) 𝐸𝑄 (cid:81) ⊥ (cid:260) 𝐴 (cid:305) 𝑃
2 2 2
𝑥−𝑦 +𝑥
𝐷𝑄 𝐸𝑄∥𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝑃𝐸 𝐴𝑄 𝐴𝑃 𝐷𝑄 −2
(cid:124)(cid:81)(cid:84)(cid:132)(cid:77)
(cid:15)(cid:80)(cid:81)(cid:19)(cid:59)1(cid:70)(cid:167) = (cid:73)
(cid:89)(cid:139)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)AB𝐷P𝑃(cid:91)(cid:73)𝑥 =2(cid:73) =3(cid:73) = (cid:73)
∵ 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝑃 𝑥
= 3 +(2+ ) .
2 2
∴𝐵𝑃 𝑥
= + .
∵𝐵𝑃 𝐴𝐵 𝑃𝐷
3 +(2+ ) =3+ (cid:73)
2 2
∴ 𝑥 𝑥
(cid:81)(cid:100)(cid:10) =2(cid:73)
DP=2(cid:168)𝑥
(cid:59)∴ 2(cid:70) (cid:110)(cid:111)DE(cid:112)(cid:113)(cid:75)(cid:50)BC(cid:94)(cid:95)M(cid:73)
①
F(cid:76)DC(cid:27)(cid:91)(cid:95)(cid:73) (cid:73)
∵ = (cid:73) 𝐸𝐹∥𝐵𝐶
∴𝐷𝐸 =𝐸𝑀 (cid:73)
∴𝐶𝑀 2𝐸𝐹(cid:73)
∵(cid:89)𝐴𝐷∥𝐵𝐶 (cid:130) (cid:91)(cid:73)
△𝐷𝐸=𝑃 △𝑀𝐸𝐵
=
∠𝐷𝐸𝑃 =∠𝑀𝐸𝐵
∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝑀𝐵𝐸
𝐷𝐸 𝑀𝐸 ( )(cid:73)
∴△𝐷=𝐸𝑃≌(cid:73)△𝑀𝐸𝐵 𝐴𝐴𝑆
∴(cid:129)𝐷D𝑃 (cid:115)𝑀𝐵 (cid:94)(cid:95)H(cid:73)(cid:74) = =3(cid:73)
𝐷𝐻⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐻
= 3 5 3 =6(cid:73)
2
2
∴𝐶𝐻= =2(cid:73)−
∵𝐴𝐷=8𝐵(cid:73)𝐻
∴𝐵𝐶 = (cid:73) = (cid:73) = + (cid:73)
∵𝐷𝑃+ 𝑥=8𝐸(cid:73)𝐹 𝑦 𝐵𝐶 𝐵𝑀 𝐶𝑀
∴𝑥 2𝑦
= (0< 8).
2
8−𝑥
∴𝑦 𝑥≤
(cid:73) = (cid:73)
②(cid:195)∵𝐴𝐷=∥𝐸𝐹(cid:196)𝐷(cid:73)𝐸(cid:82)(cid:26)𝑃(cid:24)𝐹 DEFP(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:77)
𝐷=𝑃 (cid:73)𝐸𝐹
∴𝑦 8𝑥
= .
3
∴𝑥
(cid:195) (cid:196)(cid:73)(cid:82)(cid:26)(cid:24)DEFP(cid:76)(cid:134)(cid:245)(cid:190)(cid:24)(cid:73)
(cid:129)𝐷 E 𝑃(cid:115)≠𝐸𝐹 (cid:94)(cid:95)Q(cid:73) = .
2
𝑥−𝑦
𝐸𝑄⊥𝐴𝑃 𝐷𝑄
(cid:73) = (cid:73)
∵𝐸𝑄∥𝐴𝐵2 𝐵𝐸 𝑃𝐸
= (cid:73)
2
+𝑥
∴𝐴𝑄
2
= .
2
+𝑥
∴𝐷𝑄 −2
= 2 (cid:73)
2 2
𝑥−𝑦 +𝑥
∴ −2(cid:81)(cid:100)(cid:10) =4.
𝑥 8
PD(cid:27)(cid:75)(cid:76) (cid:303)4.
3
(cid:15)∴ (cid:95)(cid:266)(cid:19)(cid:186)(cid:20)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:98)(cid:99)(cid:33)(cid:34)(cid:73)(cid:273)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:45)(cid:39)(cid:33)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:82)(cid:26)(cid:24)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:73)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:30)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:73)(cid:210)
(cid:211)(cid:184)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:83)(cid:81)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:212)(cid:77)
