文档文本内容
专题 23.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:21)....................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 “#”(cid:31)(cid:23)(cid:21)...................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 “X”(cid:31)(cid:23)(cid:21)..................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 “A”(cid:31)(cid:23)(cid:21)..................................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 “8”(cid:31)(cid:23)(cid:21)...................................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:21)................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:21)....................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:54)(cid:21)....................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:55)(cid:56)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:21)......................................................................................................11
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:55)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:57)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:21)..................................................................................................12
知识点 平行线分线段成比例
1. (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:10)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)
2. (cid:76)(cid:11)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:34) (cid:85) (cid:85) (cid:71)(cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:65)(cid:34)m(cid:71)n(cid:88)(cid:89)A(cid:71)B(cid:71)C(cid:71)D(cid:71)E(cid:71)F(cid:71)(cid:90) = (cid:71) =
𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐴𝐶
(cid:71) = (cid:71) (cid:75)
𝐷𝐸 𝐵𝐶 𝐸𝐹
𝐷𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹 ⋯
3. (cid:91)(cid:92)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:67)(cid:93)(cid:42)(cid:65)(cid:34)(cid:70)(cid:94)(cid:95)(cid:63)(cid:93)((cid:96)(cid:63)(cid:93)(cid:97)(cid:98)(cid:34))(cid:69)(cid:72)(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:75)
(cid:81)(cid:82)(cid:99)1(cid:100)(cid:101)(cid:82)(cid:99)2(cid:100)(cid:69)(cid:102)(cid:71) (cid:85) (cid:71)(cid:90)(cid:103) = (cid:71) = (cid:71) (cid:75)
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 ⋯【题型1 判断比例式正误】
(cid:15)(cid:27)1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:117) (cid:42)(cid:93) (cid:101) (cid:101) (cid:118)(cid:71)
(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:101) (cid:71) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41)(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:28)(cid:124)(cid:67)△(cid:125)𝐴(cid:29)𝐵(cid:126)𝐶 (cid:42)(cid:127)𝐴(cid:99)𝐵(cid:128)𝐴(cid:128)𝐶(cid:100)𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐷𝐸 𝐺 𝐵𝐹𝐸𝐷
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:28)1 𝐵 - 𝐷 1(cid:21)(cid:99)𝐶𝐹24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106) 𝐴𝐶 (cid:118)·(cid:130)𝐷𝐸(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81) 𝐴 (cid:82) 𝐸 (cid:71)𝐸𝐺 (cid:38) 𝐹𝐺 (cid:136)𝐵(cid:87)𝐶 (cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:137)
= = =3(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:138)(cid:92)(cid:43)(cid:139)(cid:30)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100)𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹,𝐴𝐹 𝐵𝐸
𝐴𝐺 1,𝐺𝐷 2,𝐷𝐹
1 1 1 1
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
2 5 2 5
𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐺𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:28)1-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:110)(cid:140)(cid:131)(cid:141)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71)(cid:89)D(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:89)E(cid:71)F(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:142)
(cid:71) (cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:138)(cid:92)(cid:43)(cid:71)(cid:139)(cid:30)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐷𝐹∥𝐵𝐸
A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐷 𝐹𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:28) 𝐴 1 𝐸 -3(cid:21)𝐴(cid:81)𝐶 (cid:82)(cid:71)(cid:117) 𝐵𝐶 (cid:43)(cid:71)𝐵𝐸 (cid:101) (cid:35)(cid:86)(cid:122) 𝐴 (cid:101) 𝐵 (cid:93)𝐸𝐶(cid:118)(cid:42)(cid:89) (cid:71) 𝐴 (cid:89) 𝐷 (cid:122)𝐵𝐸 (cid:93)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87)
(cid:88)(cid:89) (cid:75)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:138)(cid:92)(cid:43)(cid:67)△(cid:125)𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:126)(cid:42)(cid:127)𝐷(cid:99)𝐸 (cid:100) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐹 𝐷𝐸
𝐺A(cid:75) = B(cid:75) = C(cid:75) = D(cid:75) =
𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐴𝐺 𝐴𝐶
𝐴𝐵 𝐸𝐶 𝐺𝐹 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐺𝐹 𝐸𝐶
【题型2 “#”字型】
(cid:15)(cid:27)2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:143)(cid:110)(cid:144)(cid:145)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) (cid:71)(cid:89)E(cid:117) (cid:118)(cid:71) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
F(cid:71)(cid:137) =1:3(cid:71) =3(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐸𝐹∥𝐴𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐸:𝐴𝐵 𝐷𝐹 𝐹𝐶
A(cid:75)6 B(cid:75)4 C(cid:75)5 D(cid:75)4.5
(cid:15)(cid:129)(cid:28)2-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:151)(cid:152)(cid:98)(cid:153)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71)(cid:137) =2(cid:71)(cid:90) (cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐴𝐵 𝐷𝐸
𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐹
2 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75)2 D(cid:75)3
3 2
(cid:15)(cid:129)(cid:28)2-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:34)a b c(cid:71)(cid:89)A(cid:71)B(cid:117)(cid:65)(cid:34)a(cid:118)(cid:71)(cid:89)C(cid:71)D(cid:117)(cid:65)(cid:34)c(cid:118)(cid:71)(cid:34)(cid:36)AC(cid:71)BD(cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:65)(cid:34)b
∥ ∥
(cid:88)(cid:89)E(cid:71)F(cid:71)(cid:90)(cid:107)(cid:123)(cid:34)(cid:36)(cid:42)(cid:26)(cid:38) (cid:67)(cid:125)(cid:136)(cid:154)(cid:42)(cid:127)(cid:99) (cid:100)
𝐴𝐸
𝐴𝐶
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
𝐶𝐸 𝐵𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐹𝐷 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:28)2-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:110)(cid:140)(cid:155)(cid:145)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:71)(cid:137) =3(cid:71) =4(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:156)
𝐵𝐷
(cid:127)(cid:99) (cid:100) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐶𝐸 𝐵𝐹4 4 3 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
7 3 7 4
【题型3 “X”字型】
(cid:15)(cid:27)3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:151)(cid:152)(cid:98)(cid:153)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:101) (cid:88)(cid:89) (cid:101) (cid:101) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:101)
(cid:88)(cid:89) (cid:101) (cid:101) (cid:71)(cid:137) =6(cid:71) =4(cid:71) =3(cid:71)(cid:90)(cid:34)𝑎(cid:36)∥𝑏∥𝑐 (cid:42)𝑚(cid:98)(cid:122)(cid:99) 𝑎 (cid:100)𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐
𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐷𝐸
A(cid:75)1.5 B(cid:75)4.5 C(cid:75)7.5 D(cid:75)10.5
(cid:15)(cid:129)(cid:28)3-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:47)(cid:157)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:71) (cid:38) (cid:136)(cid:87)(cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:137) = =3(cid:71)
𝐴𝐵∥𝐶𝐷∥𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐵𝐸 𝐺 𝐴𝐺 𝐷𝐹
=1(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:156)(cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐵𝐶
𝐺𝐷 𝐵𝐸
3 2 3 4
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
4 3 7 7
(cid:15)(cid:129)(cid:28)3-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:65)(cid:34) (cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:38)(cid:65)(cid:34) (cid:101) (cid:101)
(cid:87)(cid:88)A(cid:101)B(cid:101)C(cid:39)(cid:89)(cid:71)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:38)(cid:65)(cid:34) (cid:101) (cid:101) (cid:87)(cid:88)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:39)𝑙(cid:89) 1 ∥(cid:71)𝑙2∥(cid:38)𝑙3 (cid:87)(cid:88)𝐴𝐶(cid:89)O(cid:71)(cid:137) =𝑙1 𝑙2 (cid:71)𝑙3
=3(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127) 𝐷(cid:75)𝐹 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:28)3-3(cid:21)(cid:83)(cid:84)(cid:39)(cid:64)(cid:158)(cid:136)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:65)(cid:34) (cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:70)(cid:65)(cid:34)l (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:70)(cid:65)(cid:34) (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:71)(cid:65)(cid:34)
4
(cid:38) (cid:136)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)(cid:142) =3 2(cid:71) =𝑙1 50𝑙2(cid:71) 𝑙3 =8(cid:71) =2(cid:75) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑙5 𝐷 𝐸 𝐹 𝑙4
𝑙5 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝑂(1)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:159)
(2)(cid:53)𝐷𝐸(cid:42)(cid:98)(cid:75)
【题型 𝑂𝐵4 “A”字型】
(cid:15)(cid:27)4(cid:21)(cid:99)2025·(cid:130)(cid:131)(cid:131)(cid:160)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:161) (cid:93)(cid:162)(cid:163)(cid:32)(cid:164)(cid:72)(cid:165) (cid:71)(cid:137) = =6(cid:71)
=4(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐸𝐶 2𝐵𝐸
𝐶𝐺 𝐷𝐹
A(cid:75)6 B(cid:75)8 C(cid:75)9 D(cid:75)10
(cid:15)(cid:129)(cid:28)4-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:166)(cid:17)(cid:167)(cid:168)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:127)(cid:93) (cid:71) (cid:118)(cid:42)(cid:89)(cid:71)(cid:142)
(cid:75)(cid:137) =2(cid:71) =4(cid:71) =1(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127)(cid:99) (cid:100) △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐸𝐹∥
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐹 𝐹𝐶
1
A(cid:75) B(cid:75)1 C(cid:75)2 D(cid:75)3
2
(cid:15)(cid:129)(cid:28)4-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:130)(cid:131)·(cid:43)(cid:169)(cid:170)(cid:22)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:69)(cid:102)(cid:42)(cid:171)(cid:172)(cid:43)(cid:71)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:29)(cid:176)(cid:41)(cid:42)(cid:93)(cid:98)(cid:177)(cid:122)1(cid:71) (cid:42)(cid:39)(cid:174)(cid:178)(cid:89)(cid:177)
(cid:117)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:42)(cid:87)(cid:89)(cid:118)(cid:71)(cid:89)D(cid:101)E(cid:35)(cid:86)(cid:127)(cid:93) (cid:101) (cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:42)(cid:87)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:122)△(cid:99)𝐴 𝐵 (cid:100)𝐶
𝐵𝐴 𝐶𝐴 𝐷𝐸 𝐷𝐸
1
A(cid:75) B(cid:75)1 C(cid:75) 2 D(cid:75) 3
2
(cid:15)(cid:129)(cid:28)4-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:166)(cid:17)(cid:167)(cid:168)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)3×4(cid:42)(cid:29)(cid:176)(cid:41)(cid:171)(cid:172)(cid:43)(cid:71) (cid:101) (cid:101) (cid:122)(cid:172)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)
𝐴 𝐵 𝐶 𝐶𝐷(cid:87)(cid:179)(cid:89) (cid:42)(cid:180)(cid:32)(cid:172)(cid:34)(cid:88)(cid:89) (cid:75)(cid:137)(cid:175)(cid:29)(cid:176)(cid:41)(cid:93)(cid:98)(cid:122)1(cid:71)(cid:90) = (cid:75)
𝐴 𝐸 𝐶𝐸
【题型5 “8”字型】
(cid:15)(cid:27)5(cid:21)(cid:99)2025·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:145)·(cid:39)(cid:146)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:43)(cid:71)E(cid:122)(cid:73)(cid:40)(cid:34) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:179)(cid:89)E(cid:42)(cid:65)(cid:34) (cid:35)(cid:86)(cid:87)(cid:93) (cid:71)
(cid:88)(cid:89)F(cid:71)G(cid:71)(cid:87)(cid:184)(cid:34) (cid:71) (cid:88)(cid:89)M(cid:71)▱N(cid:75)𝐴𝐵(cid:137)𝐶𝐷 =3(cid:71) =2(cid:71)𝐵𝐷(cid:90) (cid:42)(cid:156)(cid:122)(cid:99) (cid:100)𝑀𝑁 𝐴𝐵
𝐵𝐶 𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝑀𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐺⋅𝐸𝑁
A(cid:75)6 B(cid:75)8 C(cid:75)10 D(cid:75)15
(cid:15)(cid:129)(cid:28)5-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) (cid:42)(cid:32)(cid:35)(cid:34)BF(cid:35)(cid:86)(cid:38)AC(cid:101)AD(cid:87)(cid:88)(cid:89)E(cid:101)F(cid:71) =3(cid:71)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵
=2(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:156)(cid:122)(cid:99) (cid:100)
𝐸𝐹
𝐹𝐷 𝐹𝐵
2 3 3 3
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
5 8 7 5
(cid:15)(cid:129)(cid:28)5-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)AB(cid:71)CD(cid:136)(cid:87)(cid:88)(cid:89)E(cid:71)(cid:142)AC EF DB(cid:71)(cid:89)C(cid:71)F(cid:71)B(cid:117)(cid:185)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:118)(cid:71)(cid:83)(cid:84)AC(cid:186)p(cid:71)EF(cid:186)
r(cid:71)DB(cid:186)q(cid:71)(cid:90)p(cid:71)q(cid:71)r(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:42)(cid:76)(cid:191)(cid:3)(cid:192)(cid:28)(cid:127)∥(cid:99)(cid:128)∥(cid:128)(cid:100)A(cid:75) 1 + 1 = 1 B(cid:75) 1 + 1 = 2 C(cid:75) 1 + 1 = 1 D(cid:75) 1 + 1 = 2
𝑟 𝑞 𝑝 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 𝑞 𝑟 𝑞 𝑟 𝑝
(cid:15)(cid:129)(cid:28)5-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71)E(cid:122) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)F(cid:122) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71) (cid:38) (cid:87)(cid:88)(cid:89)H(cid:71) =3cm(cid:71)
=6cm(cid:71) =4cm(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)𝐴𝐵(cid:122)𝐶(cid:99)𝐷(cid:128)(cid:128)(cid:100) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐹𝐻
𝐸𝐻 𝐴𝐻 𝐻𝐶
A(cid:75)22cm B(cid:75)20cm C(cid:75)18cm D(cid:75)16cm
【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】
(cid:15)(cid:27)6(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:193)(cid:145)(cid:194)(cid:195)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:154)(cid:196)Rt (cid:43)(cid:71) = = (cid:127)(cid:34)(cid:36) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)
(cid:119)(cid:120) =15°(cid:71)(cid:197)(cid:34)(cid:36) (cid:198)(cid:89) (cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:203)90°(cid:72)(cid:165) (cid:71)(cid:119)△(cid:120)𝐴𝐵𝐶(cid:87) 𝐴(cid:88)𝐶(cid:89) 𝐵(cid:71)𝐶(cid:90) 3(cid:42),𝐷(cid:98)(cid:204)(cid:122)𝐵 𝐶 (cid:75)
𝐴𝐷,∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:28)6-1(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:205)(cid:131)(cid:206)(cid:145)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:117)(cid:32)(cid:33)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71)(cid:73)(cid:40)(cid:34) (cid:71) (cid:136)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)
(cid:75)(cid:137) =4(cid:71)(cid:90)(cid:34)(cid:36) (cid:42)(cid:98)(cid:122) (cid:75) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝑂𝐸∥𝐶𝐷 𝑂𝐸 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:28)6-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:40)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:71)E(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
F(cid:71)(cid:137) (cid:71) = =8(cid:71)(cid:90)(cid:34)(cid:36) (cid:42)(cid:98)𝐵𝐷(cid:122) △ 𝐴(cid:75)𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐵𝐷
𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 𝐶𝐸 2𝐵𝐷 𝐴𝐵(cid:15)(cid:129)(cid:28)6-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)DE(cid:101)NM(cid:35)(cid:86)(cid:127) ABC(cid:101) ADE(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:34)(cid:71)NM(cid:42)(cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:87)BC(cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:90) (cid:10)S
(cid:121)(cid:93)(cid:41)
(cid:154)(cid:88)(cid:99) (cid:100) △ △ 𝑆△𝐷𝑀𝑁
MFCE
A(cid:75)1(cid:10)5 B(cid:75)1(cid:10)4 C(cid:75)2(cid:10)5 D(cid:75)2(cid:10)7
【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】
(cid:15)(cid:27)7(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:35)(cid:86)(cid:127) (cid:210)
(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71) (cid:98)(cid:122)𝐺12(cid:71)△(cid:90)𝐴𝐵𝐶(cid:42)(cid:98)(cid:122)(cid:99) (cid:100)𝐵𝐺 𝐴𝐶 𝐷 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐸 𝑃 𝑄 △𝐵𝐶𝐸 △𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 𝑃𝑄
A(cid:75)2 B(cid:75)2(cid:75)5 C(cid:75)3 D(cid:75)4
(cid:15)(cid:129)(cid:28)7-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89) (cid:122) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71) =90°(cid:71) =30°(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:211)(cid:97)(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:55) (cid:88)
𝐺 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐵 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐷 𝐷𝐸⊥𝐶𝐵
(cid:89) (cid:71)(cid:179)(cid:89) (cid:55) (cid:87) (cid:88)(cid:89) (cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:156)(cid:122)(cid:99)(cid:128)(cid:128)(cid:100)
𝐺𝐹
𝐸 𝐺 𝐺𝐹∥𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐹 𝐷𝐸
4 3 2 3
A(cid:75)1 B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
3 2 3
(cid:15)(cid:129)(cid:28)7-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:127) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)(cid:89)G(cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:179)(cid:89)G(cid:55) (cid:87) (cid:88)(cid:89)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐺𝐹∥𝐴𝐵 𝐵𝐶F(cid:71)(cid:212)(cid:213) =(cid:99) (cid:100)
𝐸𝐹
𝐸𝐶
1 1 1 1
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
3 2 4 5
(cid:15)(cid:129)(cid:28)7-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:214)(cid:41) (cid:43)(cid:71) =6(cid:71)P(cid:127) (cid:93)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:197) (cid:161) (cid:215)(cid:216)(cid:71)(cid:137)(cid:89)D(cid:42)(cid:73)(cid:74)(cid:89)E
(cid:217)(cid:218)(cid:127) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:90) 𝐴𝐵(cid:42)𝐶𝐷(cid:98)(cid:122) 𝐴 𝐵 (cid:75) 𝐴𝐷 △𝑃𝐶𝐷 𝐶𝑃
△𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐷
【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】
(cid:15)(cid:27)8(cid:21)(cid:99)2025(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:118)·(cid:219)(cid:220)·(cid:221)(cid:22)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:83)(cid:84) (cid:71) (cid:71) (cid:127)(cid:39)(cid:174)(cid:219)(cid:154)(cid:42)(cid:154)(cid:196)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:71)
(cid:222)(cid:93) (cid:71) (cid:71) (cid:117)(cid:185)(cid:67)(cid:64)(cid:65)(cid:34)(cid:118)(cid:71)(cid:142) =3(cid:71) = △3(cid:71)𝐴𝐵𝐶(cid:35)△(cid:86)𝐷(cid:87)𝐶𝐸 (cid:71)△𝐹(cid:71)𝐸𝐺 (cid:88)(cid:89) (cid:71) (cid:71) (cid:75)(cid:54)(cid:223)(cid:107)
(cid:123)(cid:224)𝐵(cid:22)𝐶(cid:10)𝐶𝐸 𝐸𝐺 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐶 𝐷𝐸 𝑀 𝑁 𝐻
(1) (cid:42)(cid:156)(cid:122)__________(cid:159)
𝐹𝐺
𝐵𝐺
3
(2)(cid:53)(cid:225)(cid:10) = = (cid:159)
3
𝐹𝐺 𝐸𝐺
(3)(cid:53)(cid:10) 𝐵𝐺 𝐹𝐺 (cid:42)(cid:156)(cid:75)
(cid:15)(cid:129)(cid:28)𝐵8-𝑀1(cid:21):𝑀(cid:81)𝑁:(cid:82)𝑁𝐹(cid:71)(cid:117) (cid:210) (cid:43)(cid:71)D(cid:101)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:117)(cid:34)(cid:36) (cid:101) (cid:101) (cid:118)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:101) (cid:71) (cid:71)
(cid:71) = 1 = △ 3(cid:71) 𝐴 (cid:53) 𝐵𝐶 (cid:42) △ (cid:98) 𝐴𝐶 (cid:75) 𝐺 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐺 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐸∥𝐵𝐶
3
𝐴𝐷
𝐸𝐹∥𝐶𝐺 𝐴𝐵 ,𝐴𝐹 𝐴𝐺(cid:15)(cid:129)(cid:28)8-2(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:89)D(cid:127) (cid:93) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:179) (cid:118)(cid:89)E(cid:55) (cid:71)(cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:179)(cid:89)F(cid:55)
△𝐴𝐵𝐶3 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐸𝐹∥𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:87)BC(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:83)(cid:84) = (cid:71) =4(cid:75)
2
𝐴𝐸
𝐹𝐺∥𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐵𝐺
(1)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:159)
(2)(cid:137)𝐶𝐺 =2(cid:71)(cid:117)(cid:118)(cid:80)(cid:64)(cid:226)(cid:210)(cid:138)(cid:92)(cid:107)(cid:71)(cid:53) (cid:42)(cid:98)(cid:75)
(cid:15)(cid:129)(cid:28)𝐶𝐷8-3(cid:21)(cid:99)24-25(cid:150)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:151)(cid:152)(cid:98)(cid:153)𝐸·(cid:134)𝐹(cid:43)(cid:100)(cid:175)(cid:227)(cid:185)(cid:11)(cid:117)(cid:11)(cid:116)(cid:136)(cid:228)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:200)(cid:229)(cid:165)(cid:230)(cid:231)(cid:67)(cid:174)(cid:224)(cid:22)(cid:10)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)
(cid:43)(cid:71)(cid:89)D(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:89)E(cid:127) (cid:43)(cid:89)(cid:75)(cid:119)(cid:138) (cid:71) (cid:87)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:53) (cid:42)(cid:156)(cid:75)
𝐴𝐺
Δ𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐷𝐺
(cid:99)1(cid:100)(cid:175)(cid:227)(cid:232)(cid:233)(cid:71)(cid:179)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)H(cid:71)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:236)(cid:237)(cid:72)(cid:165)(cid:224)(cid:22)(cid:42)(cid:223)(cid:238)(cid:75)(cid:107)(cid:239)(cid:127)(cid:175)(cid:227)
(cid:42)(cid:240)(cid:35)(cid:54)(cid:22)(cid:179)(cid:241)(cid:10) 𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:54)(cid:10)(cid:81)(cid:82)1(cid:71)(cid:179)(cid:89)D(cid:55) (cid:87) (cid:88)H(cid:71)
𝐷𝐻∥𝐵𝐸 𝐴𝐶
(cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)
∵𝐷 𝐵𝐶= (cid:71)
∴𝐵𝐷 𝐶𝐷
= =1(cid:71)
𝐶𝐷 𝐶𝐻
(cid:242)∴(cid:243)𝐵𝐷(cid:244)(cid:219)𝐸𝐻(cid:245)(cid:107)(cid:42)(cid:54)(cid:22)(cid:179)(cid:241)(cid:75)
(cid:15)(cid:246)(cid:247)(cid:74)(cid:52)(cid:21)
(cid:99)2(cid:100)(cid:81)(cid:82)2(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71)E(cid:101)F(cid:35)(cid:86)(cid:127) (cid:101) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:88)M(cid:101)N(cid:71)(cid:90) =_______(cid:75)
𝑀𝑁
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:21)
(cid:99)3(cid:100)(cid:81)(cid:82)3(cid:71)(cid:89)E(cid:127) (cid:93)(cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:71) = (cid:101) (cid:87)(cid:88) =10(cid:71) =6, (cid:71)(cid:65)(cid:120)(cid:252)(cid:253)(cid:121)(cid:93)(cid:41)
(cid:42)(cid:239)(cid:254)(cid:75) 𝐴𝐶 𝐷𝐶 2𝐵𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐹,𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐴𝐷⊥𝐵𝐸
𝐶𝐷𝐹𝐸
【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:27)9(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:166)(cid:17)(cid:255)(cid:256)·(cid:134)(cid:135)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:214)(cid:41) (cid:43)(cid:71) =3(cid:71) =4(cid:71) (cid:136)(cid:87)(cid:88)(cid:89)O(cid:71)
E(cid:122) (cid:97)(cid:98)(cid:34)(cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:137) =1(cid:71)(cid:90)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:42)(cid:98)(cid:204)𝐴𝐵(cid:122)(cid:99) (cid:100)𝐴𝐷 𝐴𝐶,𝐵𝐷
𝐵𝐴 𝑂𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝑂𝐸
41 27 26 5
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:129)(cid:28)9-1(cid:21)(cid:99)2025·(cid:143)(cid:110)(cid:257)(cid:258)·(cid:39)(cid:146)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:34)(cid:71)(cid:97)(cid:98) (cid:259)(cid:89) (cid:71)(cid:260)
= (cid:71)(cid:119)(cid:120) (cid:71)(cid:137) = =45°(cid:71)△𝐴𝐵=𝐶6 2𝐶(cid:71)𝐷(cid:90) △(cid:42)𝐴𝐵(cid:98)𝐶(cid:122)(cid:99) (cid:100) 𝐶𝐵 𝐸
𝐵𝐸 3𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶5 2
A(cid:75)2 3 B(cid:75)3 C(cid:75) D(cid:75) 13
2
(cid:15)(cid:129)(cid:28)9-2(cid:21)(cid:99)2025·(cid:261)(cid:17)(cid:262)(cid:263)·(cid:264)(cid:146)(cid:100)(cid:81)(cid:82)1(cid:71)(cid:197)(cid:93)(cid:98)(cid:122)4(cid:42)(cid:154)(cid:93) (cid:161)(cid:94) (cid:93)(cid:118)(cid:42)(cid:251) (cid:265)(cid:266)(cid:71)(cid:267)(cid:268)
(cid:162)(cid:269)(cid:32)(cid:164)(cid:72)(cid:165) (cid:71)(cid:270) (cid:127) (cid:42)(cid:43)(cid:89)(cid:200)(cid:71)(cid:81)(cid:82)2(cid:71)(cid:63)(cid:174)(cid:39)△(cid:40)𝐴(cid:41)𝐵(cid:47)𝐶(cid:216)(cid:240)𝐵(cid:35)𝐶(cid:239)(cid:254)(cid:122) 𝐴 𝐷 (cid:75) △𝐴𝐷𝐶
′ ′ ′ ′
△𝐴 𝐷 𝐶 𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:129)(cid:28)9-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117)(cid:121)(cid:93)(cid:41) (cid:43)(cid:71) = =90°(cid:71)(cid:89)C(cid:127)(cid:93) (cid:118)(cid:67)(cid:89)(cid:71)(cid:142) = (cid:71) (cid:71)(cid:271)
(cid:42)(cid:39)(cid:154)(cid:35)(cid:89)F( < )(cid:71)(cid:119)𝐴(cid:120)𝐵𝐷𝐸(cid:71)(cid:179)(cid:89)∠𝐵C(cid:55)∠𝐷 (cid:87) (cid:88)(cid:89)G(cid:71)𝐵𝐷(cid:97)(cid:98)(cid:87) (cid:88)(cid:89)𝐴𝐶H(cid:71)𝐶(cid:137)𝐸 𝐴𝐶=⊥6(cid:71)𝐶𝐸 𝐶𝐸
=30°(cid:71)𝐶(cid:90)𝐹 (cid:42)𝐸𝐹(cid:98)(cid:122) (cid:75)𝐴𝐹 𝐶𝐺⊥𝐴𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐷𝐸
∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐻
【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】
(cid:15)(cid:27)10(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:219)(cid:220)·(cid:134)(cid:43)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) = (cid:71) (cid:32)(cid:35) (cid:71)(cid:89)E(cid:117) (cid:118)(cid:71)(cid:184)(cid:34)
1 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐷
(cid:87) (cid:88)(cid:89)F(cid:71)(cid:137) = (cid:71) =10(cid:71)(cid:90) (cid:42)(cid:98)(cid:127) (cid:75)
2
𝐴𝐸
𝐵𝐸 𝐴𝐶 𝐸𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:129)(cid:28)10-1(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)AG(cid:10)GD4 1(cid:71) BD (cid:10)DC2 3(cid:71)(cid:90) AE EC(cid:42)(cid:156)(cid:122) (cid:75)
∶ ∶ ∶(cid:15)(cid:129)(cid:28)10-2(cid:21)(cid:99)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:143)(cid:110)(cid:257)(cid:258)·(cid:114)(cid:36)(cid:115)(cid:116)(cid:100)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) =90°(cid:71)(cid:89)D(cid:117)(cid:93) (cid:118)(cid:71)(cid:142)(cid:189)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶
(cid:190) = (cid:71)(cid:119)(cid:138) (cid:75) (cid:55) (cid:42)(cid:32)(cid:35)(cid:34)(cid:35)(cid:86)(cid:87) (cid:101) (cid:88)(cid:89)E(cid:71)(cid:89)F(cid:75)(cid:137) = (cid:71)(cid:90) = (cid:71)
𝐴𝐵
∠𝐴𝐵𝐶 2∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐹 2𝐷𝐹 𝐵𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐸
𝐶𝐸
(cid:15)(cid:129)(cid:28)10-3(cid:21)(cid:81)(cid:82)(cid:71)(cid:117) (cid:43)(cid:71) (cid:38) (cid:87)(cid:88)(cid:89)G(cid:71)(cid:89)G(cid:122) (cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:71)(cid:89)M(cid:101)N(cid:35)(cid:86)(cid:117)(cid:93) (cid:101)
(cid:118)(cid:71)(cid:137) =3:4(cid:71)(cid:90)△𝐴𝐵𝐶 (cid:42)(cid:156)𝐴(cid:122)𝐷 𝑀 𝑁(cid:75) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
𝐴𝑀:𝐴𝐵 𝐴𝑁:𝐴𝐶
