文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第一课时） 分层作业
基础训练
1．已知：在 中，点D为 上一点，过点D作 的平行线交 于点E，过点E作 的平行线交
于点F，连接 ，交 于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；
【详解】A、∵ ，∴ ；选项正确，不符合题意；
B、∵ ，∴ ；选项正确，不符合题意；
C、∵ ，∴ ；选项错误，符合题意；
D、∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ；
∴ ；选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．
2．如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ，则下列式子一定
正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过 ， ，联系起来，得
出结论．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出
比例式，科学推理论证．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解： ，
，即 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴ ， ，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关
键．
5．如图， ， 与 交于点 ，过点 作 ，交线段 于点 ，则下列各式错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，故AB正确，不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
D．∵ ，而 ，
∴ ，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于
中考常考题型．
6．如图，在 中， ， 两边上的中线 ， 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是 ，
，根据 ，可得出 ，即可得出结论．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ ，DE= BC，∴ ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出 ，
是解题的关键．
7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线
上．若线段 ，则线段 的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于 、 ，根据题意得 ，然
后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于 、 ，
根据题意得 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
8．如图，在 中，D是 上一点，连接 是 的中点，连接 并延长交 于点E，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG， ，问题得解．
【详解】解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
∴AE=EG，
∵ ， DG∥BE，
∴ ，∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关
键．
9．如图， ．若 ， ，则 ．
【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ， ，交 于点 ．若，则 的长是 ．
【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，然
后根据平行线分线段成比例定理，可得 ，结合 即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，
理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
11．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：
GF＝FB．【答案】见解析
【分析】利用平行线分线段成比例，求出 ＝ ， ＝ ，通过等量代换得到GF＝FB．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BF CD，
∴ ＝ ，
∵FG BE，
∴GF AD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，且AD＝CD，
∴GF＝BF．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练运用平行线分线段成比例定理列出相关线段比例关系是解
题关键．
12．如图：△ABC中，MD AB，MN AE．求证： ＝ ．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可．
【详解】证明：∵MD AB，∴ ＝ ．
∵MN AE，
∴ ＝ ．
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
13．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证： ；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
【答案】（1）见解析；（2） ，
【分析】（1）由平行线分线段成比例得出 和 ，即推出 ．
（2）设BF＝x，根据题意可求出 ，再根据（1）结论 ，即可求出x的大小，即可求出
BF和CF的长．
【详解】（1）证明：∵DF∥AC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，且AE＝4，EC＝2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中， 为 的 边上一点， ，过 作 交 于点
， 、 两点纵坐标分别为1、3，则 点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据 得出 ，根据 ，得出 ，根据 、 两点纵坐标分别
为1、3，得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 、 两点纵坐标分别为1、3，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出 ，是解
题的关键．
2．如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD＝AB，连接CD，F是AC上一点，连
接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S ABC＝8，则四边形ADEF的面积是（ ）
△
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】过D点作DG∥EF，连接AE， ，GF＝FC，再计算△ADE和△AEF的面积即可．
【详解】过D点作DG∥EF，连接AE，
∵点E恰好是CD的中点，4AD＝AB，
∴ ，GF＝FC，
设AG＝k，则AF＝4k，GF＝3k，FC＝3k，
∴ ，
∵ ，S ABC＝8，
△
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握等高三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点， 交AD于点M，若OM＝3，OB＝4，则BC
的长为（ ）
A．5 B． C．8 D．10
【答案】B
【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出AC，再利用平行线分线段成比例求出
DC=2OM，则利用勾股定理即可求出AD，则答案得解．
【详解】根据矩形的性质可知AD=BC，∠ABC=∠D=90°，
∵O点为AC中点，
∴在Rt△ABC中，有BO= AC=AO=OC，∵BO=4，
∴AC=8，OA=OC=4，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△ADC中，利用勾股定理有， ，
∴AD=BC= ，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线分线段成比例等知识，利用
平行分线段成比例求出DC的长是是解答本题的关键．
4．如图，正方形 中， 分别在边 上， 相交于点 ，若 ，
则 的值是 ．
【答案】
【分析】作 ，交 与 ，设 ，则 ，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图所示，作 ，交 与 ，
四边形 是正方形，
，
，四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
5．如图，在平行四边形 中，点 在边 上， ，连接 交 于点 ，则 的
面积与四边形 的面积之比为
【答案】
【分析】由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可
得S ：S =3：4，S ：S =3：1，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．
△EFD △BEF △BDE △BEC
【详解】解：连接BE∵DE：EC=3：1
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD=4k，
∴ ,
∴S ：S =3：4
△EFD △BEF
∵DE：EC=3：1
∴S ：S =3：1
△BDE △BEC
设S =3a，S =a
△BDE △BEC
则S = ，，S = ，
△EFD △BEF
∴S =S +S = ，
BCEF △BEC △BEF
∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积
比等于底边的比求三角形的面积比值．
拔高拓展
1．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作 交DE的延长线于点A，过点D作 交
BE的延长线于点C．
(1)求证： ；
(2)请找出 ， ， 之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析(2) ，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得 ， ．即可得出
，即证明 ；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同
理可得 ，变形为 ，即 ．
【详解】（1）证明：∵AB∥EF
∴ ．
∵CD∥EF
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）关系式为： ，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即 ．
又∵ ， ，∴ ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
