文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第一课时） 导学案
学习目标
1 理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法.
2 掌握平行线分线段成比例定理及推论内容.
3 利用平行线分线段成比例定理及推论进行计算.
重点难点突破
★知识点1： 相似三角形的概念：
AB BC AC
在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且 = = =k， 即
A'B' B'C' A'C'
三角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△A′B′C′相似，k为相似比.
★知识点2： 平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.
★知识点3： 平行线分线段成比例推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
核心知识
一、相似三角形的概念：
在 △ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， 如 果 ∠ A=______ ， ∠ B=______ ， ∠ C=______ ， 且
______=______=______=k, 即三角分别______、三边____________，我们就说△ABC 和
△A′B′C′相似，______为相似比.
二、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的____________成比例.简称：平行线分线段成比例.
三、平行线分线段成比例推论：
平行于________________________（或__________________），所得的对应线段成比例.
复习巩固
【提问1】简述相似多边形的概念？
【提问2】相似多边形的性质是什么？
【提问3】如何判定相似多边形呢？
新知探究
【问题一】类比相似多边形的概念，你能给出相似三角形的概念吗？
【问题二】根据相似三角形的概念，你知道如何判定两个三角形相似吗？
【问题三】结合之前所学，判定两个三角形全等有几种方法？
【猜想】类比两个三角形全等的条件，两个三角形至少满足什么条件就能满足相似呢？
如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线m，n于A，A，A，B ，B ，B .
1 2 3 1 2 3【问题三】计算A A B B ， A A B B ， A A B B ，你有什么发现？
1 2与 1 2 1 2与 1 2 2 3与 2 3
A A B B A A B B A A B B
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A，B .
2 2
【问题四】计算A A B B ， A A B B ， A A B B ，你有什么发现？
1 2与 1 2 1 2与 1 2 2 3与 2 3
A A B B A A B B A A B B
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
【问题五】根据前两问，由此你发现了什么？
典例分析
例1 如图，已知l //l //l ，下列比例式中正确的是 ( ).
1 2 3
AB EF AC DE BC AC BC AB
A. = B. = C. = D. =
BC DE AB DF EF DF DE EF【针对训练】
1. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
5
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
2
2．如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（ ）
A．AC⋅CE=BD⋅DF B．AC⋅AE=BD⋅BF
C．AC⋅DF=CE⋅BD D．CD2=AB⋅EF
3．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
AC BD AC AB
A． = B． =
CE DF AE EF
CE DF AE BF
C． = D． =
AE BF AC BD
例2 如图，直线l //l //l ，直线AC和DF被l ，l ，l 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（
1 2 3 1 2 3
）
10
A．2 B．3 C．4 D．
3【针对训练】
1．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点
AB 1 DE
D，E，F.若 = ，则 ＝( )
BC 2 DF
1 1 2
A． B． C． D．1
3 2 3
2．如图，已知AB//CD//EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ ）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
新知探究
【问题六】直线a∥b∥c，若直线n向左平移到B 与A 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
1 1
m n n m
a
A B A
1 1 1
b
A 2 B 2 A 2 B 2
c
A 3 B 3 A 3 B 3【问题七】直线a∥b∥c，若直线n向左平移到B 与A 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
2 2
n n
m m
a
A 1 B 1 B 1 A 1
b
A 2 B 2 A 2
c
A 3 B 3 A 3 B 3
【问题八】由此你发现了什么？
典例分析
例3 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC。若AE=1，AD=CE=2，则BD=
，AB=
【针对训练】
AD 2
1．如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，若AC=6，则EC=（ ）
DB 3
6 12 18 24
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
DG 1 DG 1
A． = B． =
BG 2 BE 3CG 1 CD 1
C． = D． =
CF 3 EF 2
3. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为 ．
AB 2
4. 如图，l ∥l ∥l ，若 = ，DF=15，则EF=（ ）
1 2 3 BC 3
A．5 B．6 C．7 D．9
AE 2
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， = ，BF=8
BE 5
，则DE的长为（ ）
16 16
A． B． C．2 D．3
5 7BE
6. 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则 的值为 ．
EC
7. 如图，D是△ABC的BC边上的点，BD:DC=2:1，E是AD的中点，求：BE:EF的值．
8. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
直击中考
AF 1
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5, = ，则AE的长为
FC 4
．
2．（2021·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S EHFG÷S ABCD的值为（ ）
四边形 菱形
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 9
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 你还记得平行线分线段成比例定理及推论的内容吗？
3.简述判定两个三角形相似的方法？
【参考答案】
新知探究
【问题一】类比相似多边形的概念，你能给出相似三角形的概念吗？
AB BC AC
在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且 = = =k, 即三
A'B' B'C' A'C'
角分别相等、三边成比例，我们就说△ABC和△A′B′C′相似，k为相似比.
表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. △ABC与△A′B′C′ 相似记作：△ABC∽△A′B′C′.
【问题二】根据相似三角形的概念，你知道如何判定两个三角形相似吗？
AB BC AC
∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， = = =k,
A'B' B'C' A'C'
∴△ABC △ A△′B′C′【问题三】结合之前所学，判定两个三角形全等有几种方法？
【猜想】类比两个三角形全等的条件，两个三角形至少满足什么条件就能满足相似呢？
两角相等、三边对应成比例等
如图，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线m，n于A，A，A，B ，B ，B .
1 2 3 1 2 3
【问题三】计算A A B B ， A A B B ， A A B B ，你有什么发现？
1 2与 1 2 1 2与 1 2 2 3与 2 3
A A B B A A B B A A B B
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
A A B B 1， A A B B 1， A A B B 4
1 2= 1 2 = 1 2= 1 2 = 2 3= 2 3=
A A B B 4 A A B B 5 A A B B 5
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
将 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A，B .
2 2
【问题四】计算A A B B ， A A B B ， A A B B ，你有什么发现？
1 2与 1 2 1 2与 1 2 2 3与 2 3
A A B B A A B B A A B B
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3A A B B 3， A A B B 3， A A B B 2
1 2= 1 2 = 1 2= 1 2 = 2 3= 2 3=
A A B B 2 A A B B 5 A A B B 5
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
【问题五】根据前两问，由此你发现了什么？
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称：平行线分线段成比例.
几何语言：若a∥b∥c，则A
1
A
2=
B
1
B
2
， A
1
A
2=
B
1
B
2，
A
2
A
3=
B
2
B
3，
A
2
A
3=
B
2
B
3
…
A A B B A A B B A A B B A A B B
2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2
典例分析
例1 如图，已知l //l //l ，下列比例式中正确的是 ( C ).
1 2 3
AB EF AC DE BC AC BC AB
A. = B. = C. = D. =
BC DE AB DF EF DF DE EF
【针对训练】
1. 如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ B ）
5
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG= GC D．EG=2GC
2
2．如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（ C ）A．AC⋅CE=BD⋅DF B．AC⋅AE=BD⋅BF
C．AC⋅DF=CE⋅BD D．CD2=AB⋅EF
3．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ B ）
AC BD AC AB
A． = B． =
CE DF AE EF
CE DF AE BF
C． = D． =
AE BF AC BD
例2 如图，直线l //l //l ，直线AC和DF被l ，l ，l 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为（
1 2 3 1 2 3
D ）
10
A．2 B．3 C．4 D．
3
【针对训练】
1．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点
AB 1 DE
D，E，F.若 = ，则 ＝( A )
BC 2 DF
1 1 2
A． B． C． D．1
3 2 32．如图，已知AB//CD//EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（ C ）
A．6 B．5.5 C．4 D．4.5
新知探究
【问题六】直线a∥b∥c，若直线n向左平移到B 与A 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
1 1
m n n m
a
A B A
1 1 1
b
A 2 B 2 A 2 B 2
c
A 3 B 3 A 3 B 3
A1A2 A1B2 A1A2 A1B2 A2A3 B2B3
∵a∥b∥c，∴ = ， = ， =
A1A3 A1B3 A2A3 B2B3 A1A3 A1B3
【问题七】直线a∥b∥c，若直线n向左平移到B 与A 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
2 2
n n
m m
a
A 1 B 1 B 1 A 1
b
A 2 B 2 A 2
c
A 3 B 3 A 3 B 3
A1A2 A2B1 A1A2 A2B1 A2A3 A2B3
∵a∥b∥c，∴ = ， = ， =
A2A3 A2B3 A1A3 B1B3 A1A3 B1B3【问题八】由此你发现了什么？
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
典例分析
例3 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC。若AE=1，AD=CE=2，则BD=
4 ，AB= 6
【针对训练】
AD 2
1．如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，若AC=6，则EC=（ C ）
DB 3
6 12 18 24
A． B． C． D．
5 5 5 5
2．如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ B ）
DG 1 DG 1
A． = B． =
BG 2 BE 3
CG 1 CD 1
C． = D． =
CF 3 EF 2
3. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为 4 ．AB 2
4. 如图，l ∥l ∥l ，若 = ，DF=15，则EF=（ D ）
1 2 3 BC 3
A．5 B．6 C．7 D．9
AE 2
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F， = ，BF=8
BE 5
，则DE的长为（ A ）
16 16
A． B． C．2 D．3
5 7
BE
6. 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则 的值为 1.5 ．
EC
7. 如图，D是△ABC的BC边上的点，BD:DC=2:1，E是AD的中点，求：BE:EF的值．
解：过点D作CA的平行线交BF于点P，如图PE DE BP BD
∴ = ， =
FE AE PF DC
∵BD:DC=2:1 ，E是 AD 的中点，
∴PE=FE，BP=2PF=4EF
∴BE=5EF∴BE:EF=5:1
8. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【详解】解：（1）证明：
∵EF∥CD，∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，∴AE：EC=AD：DB，∴AF：FD＝AD：DB；
2 2
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，∴AD=AB× =30× =20，
3 3
∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD=2:1，
1 1 20
∴DF=AD× =20× =
3 3 3
直击中考
AF 1
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5, = ，则AE的长为 1
FC 4
．
2．（2021·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，
DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S EHFG÷S ABCD的值为（ A ）
四边形 菱形1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 9
