文档内容
27.2.1 相似三角形的判定（第三课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十七章“相
似”27.2.1 相似三角形的判定（第三课时），内容包括：了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如
果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例”判定定理的
证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
2.内容解析
本节课是在学习了相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平
行四边形知识后，研究相似三角形的判定定理.判定三角形相似是本章的重点之一，既是全等三角形研究的
继续，也为后面测量、相似三角的应用和研究三角函数做铺垫，而且通过本节课的学习，还可培养学生实
验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用.因此，这节课在本章中
有着举足轻重的地位，重要的是它还是中考必考的知识点.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用两角判定法和直角边斜边判定法判定三角形相似．
二、目标和目标解析
1.目标
了解“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直
角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判定定理的证明过程，能运用这
两个判定定理证明两个三角形相似.
通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解与掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的
斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判
定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.
达成目标2）的标志是：会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
三、教学问题诊断分析
从题干中找出已知条件判定两个三角形相似是本节课知识的一个难点.针对这一问题，在教学中应引导
学生通过认真观察图形，根据已知条件，选用合适的方法判定两个三角形相似.
基于以上分析，本节课的教学难点是：会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.
四、教学过程设计（一）复习巩固
【提问1】如何判断两个三角形是否相似呢？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究相似三角形的判定打好基础．
（二）探究新知
【小组讨论】分别画△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此时，∠C
AB AC BC
与∠F相等吗？三边的比 ， ， 相等吗？这样的两个三角形相似吗？
DE DF EF
师生活动：学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.教师通过多媒体展示符合
题目要求的三角形，并标注对应边和对应角的测量结果.
【设计意图】在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，积累活动经验．
【问题一】改变∠α，∠β的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？
师生活动：教师通过多媒体展示改变∠α，∠β后的对应三角形变化过程，学生认真观察，回答问题.
此环节鼓励学生积极回答问题，师生共同探索相似三角形第五种判定方法.
【证明一】如图，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，求证：△ABC ∽△A'B'C'.
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，教
师适当给出提示：通过上节课的学习可知，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似.那么我们是否可以在大的三角形（△ABC）内部构造一个小的三角形
（△ADE），使△ABC ∽△ADE，再通过已知条件证明△ADE≌△A'B'C'，从而△ABC∽△A'B'C'.
具体证明过程如下：
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则
AD AE
∠ADE=∠B,∠AED=∠C， =
AB AC
AD CF AE CF
过点D作DF∥AC，交BC于点F，则 = ∴ =
AB CB AC CB
∵DE∥BC，DF∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形AE DE AD AE DE
∴DE=CF ∴ = ， 则 = = ，
AC CB AB AC CB
∴△ADE∽△ABC
∵∠A=∠A'， ∠ADE=∠B'， AD=A'B'，
∴△ADE≌△A'B'C' ∴△ABC∽△A'B'C'.
思路梳理：在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的△ADE≌△A'B'C'，△ADE发挥
了中介的作用.
三角形相似判定定理5：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：
在△A′B′C′ 和△ABC中
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'
【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用两角相等判定三角形相似的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 已知一个三角形的两个内角分别是35°，65°，另一个三角形的两个内角分别是35°，80°，则这两
个三角形（ ）
A．一定不相似 B.不一定相似
C．一定相似 D.不能确定
【针对训练】
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
AP AB AB AC
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
AB AC BP CBBC
2. 如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD⋅AB；③ ＝
CD
AB
；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
AC
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，
1）证明：△ABC与△ACD相似.
2）AD=4，AC=6，求AB.
4．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°.求证：△ACD∽△BEC
5．如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折
痕交AB边于点E，
(1)求证：△EFB∼△DEC；
(2)若AD=10,CD=6，求EF的长；【设计意图】考查学生对于利用两角相等判定三角形相似方法的掌握.
（四）探究新知
【问题二】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根据之前所学已知哪些条件我们可以证明这
两个三角形相似呢？
师生活动：学生根据所学内容回答问题.
【问题三】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么满足斜边和一条直角边成比例的
两个直角三角形相似吗？
师生活动：师生共同探索两个直角三角形相似特殊判定方法.
AB AC
【证明】在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， = ，求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'？
A'B' A'C'
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过程的学生，教
师适当给出提示：利用勾股定理，用代数式表示直角三角形斜边长，利用三边成比例判定两个三角形相似.
具体证明过程如下：
AB AC
设 = =k，则AB= kA'B'，AC= kA'C'
A'B' A'C'
∴ BC ❑√AB2−AC2 = kB’C’=k
=
B'C' B'C' B'C'AB AC BC
∴ = =
A'B' A'C' B'C'
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
直角三角形相似判定定理1：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么
这两个直角三角形相似.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
AB AC
若∠B=∠B'=90°且 = ，
A'B' A'C'
则Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
【设计意图】通过完成证明过程，掌握直角三角形特殊判定方法.
（五）典例分析与针对训练
例2 在Rt△ABC和Rt△≝¿中，∠C=∠F=90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，
并说明理由．
D
A
C B E D
(1)∠A=55°，∠D=35°；
(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；
(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．
【设计意图】考查学生对于利用斜边直角边成比例判定直角三角形相似方法的掌握.
（六）能力提升
1．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；
动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时
△QBP与△ABC相似．
（七）归纳小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 简述判定两个三角形相似的方法？
3.你知道判定两个三角形相似的思路吗？
（八）布置作业
P36：练习
五、教学反思
