文档文本内容
专题 21.2 二次根式的乘除（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:21)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)............................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)............................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:21)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:21)............................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:21)............................................................................................................................6
知识点1 二次根式的乘法
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)
(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:63)(cid:71) = 0， 0)(cid:72)
(cid:73)(cid:74)(cid:10) 2 32= 2×32= 64=8(cid:72) 𝑎∙ 𝑏 𝑎𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)∙ (cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)(cid:32)(cid:75)(cid:76)
(cid:77)1(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:7)(cid:27)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)(cid:28)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) = 0， 0， 0)(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:88)(cid:70)(cid:89)(cid:63)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:63)(cid:94)(cid:26)(cid:9)(cid:86)(cid:32)(cid:88)(cid:70)𝑎(cid:84)∙ (cid:28)𝑏(cid:63)∙ (cid:95)𝑐(cid:96)(cid:62)𝑎(cid:32)𝑏(cid:88)𝑐(𝑎(cid:70)≥(cid:63)(cid:71) 𝑏≥ 𝑐≥=
0， 0)(cid:72) 𝑚 𝑎∙𝑛 𝑏 𝑚𝑛
知
𝑎
识
𝑏(
点
𝑎≥2
积
𝑏
的
≥
算术平方根
1. (cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:62)(cid:97)(cid:98)(cid:58)(cid:40)(cid:27)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:71) = 0， 0)(cid:72)
(cid:49)(cid:54)(cid:99)(cid:7)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:30)(cid:28)(cid:62)(cid:32)(cid:104)(cid:27)(cid:72) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:106)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:32)(cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) = 0， 0， 0)(cid:72)
3. (cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:47)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:109)(cid:94)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:110)(cid:111)(cid:40)(cid:70)(cid:43)(cid:112)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)𝑎(cid:63)𝑏𝑐(cid:114)(cid:115)(cid:54)𝑎∙ 𝑏∙=𝑐(𝑎≥ 𝑏≥0， 𝑐≥0)(cid:116)
= 0)(cid:63)(cid:94)(cid:102)(cid:69)(cid:117)(cid:118)(cid:61)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:69)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:72) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2
𝑎 𝑎(𝑎≥知识点3 二次根式的除法
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:29)(cid:55)(cid:55)(cid:56)
(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:119)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:119)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:63)(cid:71) = 0， >0)(cid:72)
𝑎 𝑎
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:29)(cid:55)(cid:7)(cid:27)(cid:79)(cid:106)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)(cid:29)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) 𝑏 ÷ 𝑏(𝑎 ÷ ≥ = 𝑏 ÷ ÷ 0， >0
， >0)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐(𝑎≥ 𝑏
3. 𝑐(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:88)(cid:70)(cid:89)(cid:63)(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:120)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:84)(cid:29)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:121)(cid:88)(cid:70)(cid:116)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:43)(cid:122)(cid:84)(cid:29)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:63)
(cid:71) ÷ = ÷ ÷ (cid:72)
知
𝑚
识点
𝑎4 𝑛
商
𝑏
的算
(𝑚
术平
𝑛
方
)
根
∙ 𝑎 𝑏
(cid:119)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:119)(cid:97)(cid:98)(cid:58)(cid:40)(cid:27)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:119)(cid:63)(cid:71) = 0， >0)(cid:72)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏(𝑎≥ 𝑏
知识点5 最简二次根式
1. (cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:63)(cid:125)(cid:126)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:102)(cid:69)(cid:117)(cid:118)(cid:61)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:77)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:78)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:26)(cid:9)(cid:63)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:129)(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
2. (cid:47)(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:130)(cid:131)
(cid:77)1(cid:78)(cid:121)(cid:26)(cid:9)(cid:132)(cid:32)(cid:133)(cid:43)(cid:70)(cid:47)(cid:96)(cid:134)(cid:43)(cid:70)(cid:63)(cid:121)(cid:135)(cid:136)(cid:52)(cid:137)(cid:65)1(cid:32)(cid:137)(cid:70)(cid:47)(cid:96)(cid:43)(cid:70)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:138)(cid:83)(cid:93)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:109)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:94)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:102)(cid:69)(cid:118)(cid:32)(cid:40)(cid:70)((cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:78)(cid:110)(cid:111)(cid:69)(cid:61)(cid:139)
(cid:77)3(cid:78)(cid:115)(cid:54) = 0， >0)(cid:63)(cid:140)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:139)
𝑎 𝑎
(cid:77)4(cid:78)(cid:43)(cid:44)(cid:45)𝑏(cid:46)(cid:47)𝑏(cid:63)(𝑎(cid:47)≥(cid:141)(cid:43)(cid:44)𝑏(cid:97)(cid:32)(cid:26)(cid:9)(cid:139)
(cid:77)5(cid:78)(cid:142)(cid:43)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:143)(cid:46)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
(cid:15)(cid:73)1(cid:21)(cid:77)2023·(cid:144)(cid:145)·(cid:97)(cid:146)(cid:147)(cid:22)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:63)(cid:45) = (cid:72)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:77) (cid:78) 𝑎⋅ 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:72) > >0 B(cid:72) < <0 C(cid:72) 0 D(cid:72) 0
𝑎 0,𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑎≤0,𝑏≤ 𝑎≥0,𝑏≥
(cid:15)(cid:151)(cid:27)1-1(cid:21)(cid:77)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:155)(cid:17)(cid:156)(cid:157)·(cid:158)(cid:159)(cid:78)(cid:102)(cid:140)(cid:64)(cid:27) = (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:77) (cid:78)
𝑥 𝑥
A(cid:72) 0 B(cid:72) 3 C(cid:72) >3 𝑥−3 𝑥−D3(cid:72) >3(cid:113) <0
(cid:15)(cid:151)(cid:27)𝑥1-≥2(cid:21)(cid:64)(cid:27) =𝑥≥ · +3(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑥(cid:34)(cid:138) 𝑥 𝑥
2
𝑏 −9 𝑏−3 𝑏
(cid:15)(cid:151)(cid:27)1-3(cid:21)(cid:77)22-23(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:155)(cid:17)(cid:161)(cid:162)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:137)(cid:163)(cid:164)(cid:11)(cid:165)(cid:166) = (cid:167)(cid:63) (cid:168)(cid:96) = (cid:169)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:40)(cid:99)(cid:170)(cid:168)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏(cid:96)(cid:148)(cid:58)(cid:47)(cid:36)(cid:171)(cid:172)(cid:10) = = ×4= 4= 4=2(cid:138)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:72)
−20 −20 −5 −5⋅
(1)(cid:175)(cid:168)(cid:96)(cid:170)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:136)(cid:176)−5(cid:177) (cid:74)(cid:178)−5(cid:123)(cid:136)(cid:63)−(cid:179)5 (cid:103)(cid:180)(cid:173)−5(cid:174)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:171)(cid:172)(cid:139)
(2)(cid:181)(cid:182) = (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏
【题型2 最简二次根式】
7
(cid:15)(cid:73)2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:144)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:132)(cid:186)(cid:98)(cid:27) 8(cid:139) 0.3(cid:139) (cid:139) 3(cid:139) +1(cid:77)a(cid:96)(cid:173)(cid:143)
2
2
(cid:70)(cid:78)(cid:63)(cid:187)(cid:97)(cid:148)(cid:188)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:45)(cid:77) (cid:78) ① ② ③ ④ ⑤ 𝑎
A(cid:72)4 (cid:58) B(cid:72)3 (cid:58) C(cid:72)2(cid:58) D(cid:72)1(cid:58)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)2-1(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:155)(cid:189)(cid:49)(cid:190)·(cid:158)(cid:159)(cid:78)(cid:121) (cid:47)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:191)(cid:178)(cid:96) .
5
(cid:15)(cid:151)(cid:27)2-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:47)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:199)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) +1(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:84)
𝑛−1
(cid:64)(cid:63)(cid:56) = (cid:72) = (cid:72) 2𝑛 4𝑛−𝑚
(cid:15)(cid:151)(cid:27)𝑛2-3(cid:21)(cid:77)24-25𝑚(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:200)(cid:201)(cid:200)(cid:202)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:203)(cid:204) (cid:138)(cid:148)(cid:58)(cid:173)(cid:143)(cid:70)(cid:63) (cid:169)(cid:138)(cid:173)(cid:143)(cid:70)(cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)4 B(cid:72)5 C(cid:72)10𝑎 D2(cid:72)0𝑎20 𝑎
【题型3 根号内、外的因式互移】
1
(cid:15)(cid:73)3(cid:21)(cid:77)2023(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:205)(cid:206)·(cid:207)(cid:22)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:121)( ) (cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:191)(cid:178)(cid:96) (cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:27)3-1(cid:21)(cid:199)(cid:121) 3(cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)𝑎(cid:37)−(cid:63)𝑏(cid:117)(cid:77) −𝑎 − 𝑏(cid:78)
A(cid:72) 12 −4 B(cid:72) 12 C(cid:72) 48 D(cid:72) 48
(cid:15)(cid:151)(cid:27)3-2(cid:21)(cid:94) (cid:97)(cid:32)−a(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:63)(cid:191)(cid:178)(cid:138)−(cid:77)(cid:208)(cid:208)(cid:78)
A(cid:72) −𝑎 −𝑎B(cid:72) C(cid:72) D(cid:72)
3 3 3 3
−𝑎 −𝑎 −𝑎 − 𝑎 1 𝑎
(cid:15)(cid:151)(cid:27)3-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:209)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:155)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:121)( ) (cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:87)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:213)(cid:87)(cid:47)(cid:36)(cid:32)(cid:191)(cid:178)
(cid:138) (cid:72) 1−𝑥 𝑥−1
【题型4 分母有理化】
(cid:15)(cid:73)4(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:162)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:45)(cid:46)(cid:70) (cid:116) (cid:63)(cid:188)(cid:218)(cid:166)(cid:148)(cid:219)(cid:220)(cid:49)(cid:50)(cid:10) ※ = (cid:63)(cid:73)
𝑎+𝑏
(cid:74)6※3= 6 3 = 9 = 9× 3 =3 3(cid:63)(cid:56)3※ 1 (cid:96) 𝑎 (cid:72) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
+ 3 3× 3 2
−
(cid:15)(cid:151)(cid:27)4-1(cid:21)6−(cid:77)3 24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:160)(cid:221)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:103)(cid:180) (cid:32)(cid:148)(cid:58)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27) (cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:27)4-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:155)(cid:17)(cid:222)(cid:185)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)2(cid:78)𝑎−(cid:203)𝑏(cid:204) = + +5(cid:63)(cid:56) = (cid:72)
𝑦
𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑥(cid:15)(cid:151)(cid:27)4-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:200)(cid:201)(cid:223)(cid:224)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:225)(cid:226)(cid:123)(cid:84)(cid:64)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:173)(cid:227)(cid:70)a(cid:63)b(cid:63)(cid:188)(cid:218)(cid:148)(cid:219)(cid:49)(cid:50)
“※”(cid:74)(cid:132)(cid:10) ※ = (cid:63)(cid:73)(cid:74)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:72)
𝑎+𝑏 +
(cid:77)1(cid:78)3※6= 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 (cid:139) 5−4
(cid:77)2(cid:78)( 3)※ 7※5 = (cid:72)
2−
【题型5 分子有理化】
(cid:15)(cid:73)5(cid:21)(cid:77)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:228)(cid:183)(cid:229)(cid:230)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:15)(cid:61)(cid:55)(cid:231)(cid:191)(cid:21)(cid:74)(cid:232)(cid:91)(cid:233)(cid:57)(cid:58)(cid:70)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:234)(cid:67)(cid:235)(cid:236)(cid:54)(cid:95)(cid:237)(cid:113)
(cid:95)(cid:119)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:63)(cid:187)(cid:227)(cid:45)(cid:89)(cid:238)(cid:54)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:239)(cid:91)(cid:233)(cid:19)(cid:137)(cid:169)(cid:240)(cid:241)(cid:117)(cid:242)(cid:243)(cid:32)(cid:244)(cid:178)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:63)(cid:91)(cid:233) =2 3(cid:116) =3 2(cid:32)(cid:19)
(cid:137)(cid:63)(cid:234)(cid:67)(cid:79)(cid:106)(cid:121)a(cid:116)b(cid:43)(cid:122)(cid:60)(cid:61)(cid:72) =12, =18(cid:63)(cid:56) < , < (cid:72) 𝑎 𝑏
2 2 2 2
(cid:179)(cid:115)(cid:54)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:112)(cid:245)(cid:132)(cid:87)(cid:246)(cid:22)(cid:10) ∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∴𝑎 𝑏
(cid:77)1(cid:78)(cid:91)(cid:233) =4 2 =2 7(cid:19)(cid:137)(cid:63)c______d(cid:77)(cid:247)(cid:103)“>”“<”(cid:113)“=”(cid:78)(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)(cid:248)(cid:249)𝑐 =2 5,𝑑+ 6 =2 3+ 14(cid:250)(cid:251)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:125)(cid:181)(cid:182)(cid:46)(cid:252)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:253)(cid:254)𝑚(cid:21)(cid:85)(cid:255)(cid:29)(cid:166)“(cid:60),𝑛(cid:61)(cid:55)”(cid:39)(cid:63)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:239)(cid:91)(cid:233)(cid:256)(cid:257)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:63)
1 1
(cid:91)(cid:233) 7 6(cid:116) 6 5(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:79)(cid:106)(cid:109)(cid:94)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:74)(cid:132)(cid:10) 7 6= (cid:63) 6 5= (cid:72) 7+ 6
7 6 6 5
> 6+ − 5(cid:63) − 7 6< 6 5(cid:72) − + − + ∵
(cid:77)3(cid:78)(cid:26)(cid:258)(cid:259)(cid:260)∴(cid:63)(cid:179)−(cid:261)(cid:262)(cid:223)(cid:263)(cid:32)−(cid:61)(cid:55)(cid:91)(cid:233) 2025 2024(cid:120) 2024 2023(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:103)(cid:180)(cid:264)(cid:265)(cid:91)(cid:233)(cid:171)(cid:172)(cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:27)5-1(cid:21)(cid:77)2025(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:205)(cid:206)·(cid:207)(cid:22)(cid:198)(cid:165)(cid:78) − (cid:94)(cid:43)(cid:48)(cid:266)(cid:47)(cid:96)(cid:45)(cid:46) − (cid:70)(cid:63)(cid:267)(cid:129)(cid:96)“(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)”(cid:63)(cid:73)(cid:74)(cid:10) 2= 2
1
=( 2) = 2 (cid:139)
2 2 2
3 =( 3 )×( 3 1)= ( 3) 1 = = 2 (cid:72)(cid:26)(cid:258)(cid:160)(cid:268)(cid:204)(cid:269)(cid:63)(cid:179)(cid:175)(cid:270)(cid:30)(cid:132)(cid:186)(cid:246)(cid:22)(cid:10)
3 3×( 3 1) ( 3) 2 32 3 3 3 3
−1 −1 + − 3−1
2
+1 1+ + +
(1)(cid:91)(cid:233)(cid:19)(cid:137)(cid:10) _______ (cid:77)(cid:247)“>”(cid:63)“<”(cid:113)“=”(cid:78)(cid:139)
7 11
(2)(cid:271)(cid:50)(cid:10) 1 3 + − 1 + 1−3 + + 1 (cid:139)
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+2 + + ⋯ +
(3)(cid:199) = (cid:63)(cid:51)5 +15(cid:32)(cid:52)(cid:72)
3
2
(cid:15)(cid:151)(cid:27) 𝑎 5-2(cid:21)−1(cid:77)24-25 𝑎 (cid:152) − (cid:153) 10 (cid:154) 𝑎 (cid:160)·(cid:183)(cid:272)(cid:273)(cid:218)·(cid:158)(cid:159)(cid:78)(cid:179)(cid:112)(cid:245)(cid:132)(cid:186)(cid:246)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:121)(cid:132)(cid:186)(cid:98)(cid:27)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:10)
3 2=_________(cid:139) 5 3=_________(cid:139)
①(2)(cid:91)(cid:233)− 13 11(cid:116) 11② (cid:32)−(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:125)(cid:181)(cid:182)(cid:46)(cid:252)(cid:139)
(3)(cid:94)(cid:27)(cid:48) −+1 −(cid:43)3(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:96)__________(cid:63)(cid:105)(cid:27)(cid:48)(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:96)__________(cid:72)
𝑥 − 𝑥−1(cid:15)(cid:151)(cid:27)5-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:183)(cid:272)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:274)(cid:275)(cid:132)(cid:268)(cid:259)(cid:260)(cid:10)
(cid:234)(cid:67)(cid:164)(cid:11)(cid:165)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:11)(cid:165)(cid:166)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:106)(cid:276)(cid:53)(cid:54)(cid:72)(cid:187)(cid:227)(cid:63)(cid:45)(cid:148)(cid:58)(cid:90)(cid:277)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:278)(cid:279)“(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)”(cid:139)(cid:120)(cid:43)(cid:44)
(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:90)(cid:277)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:116)(cid:43)(cid:48)(cid:280)(cid:28)(cid:106)(cid:43)(cid:48)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:43)(cid:48)(cid:97)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:91)(cid:74)(cid:10) 7 6=( 7 6)( 7 6)
7 6
− +
1 − +
= (cid:63)
7 6
(cid:43)(cid:48)(cid:45)+(cid:46)(cid:47)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:239)(cid:91)(cid:233)(cid:256)(cid:257)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:169)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:239)(cid:285)(cid:46)(cid:148)(cid:257)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:52)(cid:246)(cid:22)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
(cid:91)(cid:233) 7 6(cid:116) 6 5(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:72)(cid:79)(cid:106)(cid:109)(cid:94)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:74)(cid:132)(cid:10)
7 6 − = 1 (cid:63)− 6 5= 1 (cid:63)
7 6 6 5
(cid:40)(cid:96) − 7+ 6 + > 6+ − 5(cid:63) 7 + 6< 6 5(cid:72)
(cid:114)(cid:73)(cid:74)(cid:10)(cid:51) = +2 −(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:72)−(cid:279)(cid:55)(cid:74)(cid:132)(cid:10)
(cid:112)(cid:10)(cid:252) +2 𝑦 0(cid:63)𝑥 − 𝑥 0 −(cid:79)2(cid:204) 2(cid:63)(cid:282) = +2 = 4 (cid:63)
2
(cid:85) =2 𝑥 (cid:89)(cid:63)(cid:43) ≥ (cid:44) 𝑥− + 2 2 ≥ + 𝑥 (cid:45) ≥ (cid:35)(cid:137)(cid:52)2 𝑦 (cid:63)(cid:286)(cid:106) 𝑥 (cid:32) − (cid:35)(cid:19) 𝑥− (cid:52) 2 (cid:138)2(cid:72)𝑥+ + 𝑥−2
(cid:112)𝑥(cid:245)(cid:132)(cid:268)(cid:246)(cid:22)(cid:10) 𝑥 𝑥−2 𝑦
(1)3 2 =(3 2 )( )=________(cid:139)
( )
−4
−4
(2)(cid:91)(cid:233) (cid:116) +1 (cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:139)
(3)(cid:51) =𝑎− 𝑎+−41 𝑎 +1−(cid:32)(cid:35)𝑎(cid:19)(cid:52)(cid:72)
【题型 𝑦 6 2 二 𝑥 次根 − 式的 2𝑥 乘除运算】
(cid:15)(cid:73)6(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:183)(cid:272)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:132)(cid:186)(cid:271)(cid:50)(cid:173)(cid:174)(cid:32)(cid:138)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)6÷ 2 × 3=3 B(cid:72) ( )×( )= ×
3
−9 −4 −9 −4
C(cid:72) + = + D(cid:72) ( ) =( 1.7)
2
2 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −1.7
6
(cid:15)(cid:151)(cid:27)6-1(cid:21)(cid:77)23-24(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:205)(cid:206)·(cid:134)(cid:158)(cid:95)(cid:287)(cid:78)(cid:271)(cid:50) 15÷4 3× (cid:32)(cid:191)(cid:178)(cid:138)(cid:77)(cid:208)(cid:208)(cid:78)
5
A(cid:72)1 B(cid:72)3 5 C(cid:72) 1 6 D(cid:72)3
4 4
(cid:15)(cid:151)(cid:27)6-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:209)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:155)(cid:17)(cid:288)(cid:221)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:271)(cid:50)(cid:10)
1
(1) 3 20+ 45 × 5(cid:139)
5
−
(2) 3 5 ÷ 4 (cid:139)
5 6 15 2
𝑏
2 3
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
(3)(cid:203)(cid:204) =5 +1(cid:63) =3 +3(cid:63) = + (cid:63)A(cid:38)B(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:126) + = (cid:63)(cid:51) (cid:72)
2
𝐴 2𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 10𝑥 3𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 2𝑦−𝑥(cid:15)(cid:151)(cid:27)6-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:228)(cid:183)(cid:289)(cid:290)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:291)(cid:61)(cid:138)(cid:148)(cid:219)(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:63)(cid:90)(cid:91)(cid:291)(cid:61)(cid:63)(cid:234)(cid:67)(cid:296)(cid:180)(cid:74)(cid:297)(cid:286)(cid:298)(cid:32)
(cid:61)(cid:299)(cid:63)(cid:300)(cid:140)(cid:61)(cid:299)(cid:97)(cid:301)(cid:302)(cid:38)(cid:303)(cid:302)(cid:276)(cid:136)(cid:304)(cid:305)(cid:61)(cid:302)(cid:160)(cid:32)(cid:227)(cid:70)(cid:84)(cid:28)(cid:32)(cid:191)(cid:178)(cid:280)(cid:84)(cid:64)(cid:63)(cid:56)( + ) + (cid:32)(cid:52)(cid:96) (cid:72)
𝐴 𝐵 ⋅𝐷 𝐶
5 2
𝐴 𝐵
5 10
𝐶
2 10
𝐷
【题型7 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:73)7(cid:21)(cid:203)(cid:204) 4+ 9+ = (cid:63)(cid:56) 4+ + 9+ (cid:32)(cid:52)(cid:96) (cid:72)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)7-1(cid:21)(cid:77)23-2 𝑥 4(cid:152)−(cid:153)(cid:154)(cid:132)𝑥 ·(cid:155)(cid:17)−4(cid:306)(cid:185)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)𝑥(cid:165)(cid:78)(cid:203)(cid:204)𝑥 1 =2(cid:63)(cid:56) + 1 (cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)2 2 B(cid:72)±2 2 C(cid:72)2 3 𝑎− 𝑎 D(cid:72)± 𝑎 2 3 𝑎
(cid:15)(cid:151)(cid:27)7-2(cid:21)(cid:109)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:114)(cid:51)(cid:52)(cid:10) ( ÷ 1 )(cid:63)(cid:187)(cid:97)(cid:227)(cid:70)x(cid:38)y(cid:307)(cid:308) = + +2(cid:72)
𝑥 𝑦
2𝑥⋅ 𝑦⋅ 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥−3 6−2𝑥
(cid:15)(cid:151)(cid:27)7-3(cid:21)(cid:199)(cid:309)(cid:58)(cid:173)(cid:70)a(cid:63)b(cid:63)c(cid:307)(cid:308)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:310)0(cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:52)(cid:138) (cid:72)
𝑎+ 𝑏
𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐
【题型8 实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:73)8(cid:21)(cid:164)(cid:227)(cid:70)(cid:311)(cid:312)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10) (cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)8-1(cid:21)(cid:77)2025·(cid:194)(cid:313)(cid:314)(cid:185)·(cid:309)(cid:315)𝑥(cid:78)−(cid:164)6𝑥(cid:227)−(cid:70)3 (cid:311)(cid:312)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10)2 = (cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)8-2(cid:21)(cid:77)2025·(cid:194)(cid:313)(cid:316)(cid:317)·(cid:148)(cid:315)(cid:78)(cid:164)(cid:227)(cid:70)(cid:311)(cid:312)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10)4𝑎 −16 = (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)8-3(cid:21)(cid:77)2024·(cid:160)(cid:221)(cid:318)(cid:319)·(cid:309)(cid:315)(cid:78)(cid:164)(cid:227)(cid:70)(cid:311)(cid:312)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:63) 𝑥 −6𝑦 +1= (cid:72)
2 2
【题型9 二次根式乘除的应用】 𝑥 𝑦 −3𝑥𝑦
(cid:15)(cid:73)9(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:81)(cid:17)(cid:81)(cid:185)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:74)(cid:297)(cid:63)(cid:45)(cid:148)(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:96) 6 3cm (cid:32)(cid:173)(cid:61)(cid:104)(cid:323)(cid:324)(cid:63)(cid:325)(cid:94)(cid:105)(cid:323)(cid:324)(cid:32)(cid:210)
(cid:58)(cid:304)(cid:326)(cid:284)(cid:63)(cid:327)(cid:95)(cid:148)(cid:58)(cid:45)(cid:328)(cid:316)(cid:329)(cid:32)(cid:322)(cid:61)(cid:265)(cid:330)(cid:48)(cid:63)(cid:326)(cid:284)(cid:32)(cid:210)(cid:58)(cid:304)(cid:138)(cid:87)(cid:62)(cid:84)(cid:64)(cid:32)(cid:137)(cid:173)(cid:61)(cid:104)(cid:63)(cid:331)(cid:58)(cid:137)(cid:173)(cid:61)(cid:104)(cid:32)(cid:321)(cid:322)
(cid:96) 3cm(cid:72)(cid:51)(cid:326)(cid:284)(cid:210)(cid:58)(cid:304)(cid:167)(cid:63)(cid:327)(cid:95)(cid:322)(cid:61)(cid:265)(cid:330)(cid:48)(cid:32)(cid:323)(cid:324)(cid:32)(cid:87)(cid:62)(cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:27)9-1(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:160)·(cid:332)(cid:185)(cid:333)(cid:334)·(cid:158)(cid:159)(cid:78)“(cid:221)(cid:335)(cid:336)(cid:194)(cid:337)(cid:63)(cid:338)(cid:339)(cid:19)(cid:340)(cid:184)(cid:72)”(cid:221)(cid:340)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:120)(cid:338)(cid:341)(cid:116)(cid:338)(cid:342)(cid:45)(cid:242)(cid:19)(cid:32)(cid:3)(cid:88)(cid:63)(cid:54)(cid:338)(cid:341)(cid:343)(cid:271)(cid:338)(cid:342)(cid:32)(cid:344)(cid:54)(cid:7)(cid:27)(cid:96) = (cid:63)(cid:187)(cid:97) (cid:96)(cid:338)(cid:342)(kN m )(cid:63)v(cid:96)(cid:338)(cid:341)(m/s)(cid:63)(cid:85)(cid:338)(cid:342)(cid:96)
16020
𝑣
2
𝑤𝑝 𝑤𝑝
0.25kN/m (cid:89)(cid:63)(cid:343)(cid:271)(cid:338)(cid:341)(cid:96) m s(cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:27)9-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:348)·(cid:158)(cid:97)(cid:78)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:138)(cid:354)(cid:349)(cid:350)(cid:281)(cid:69)(cid:355)(cid:351)(cid:350)(cid:82)(cid:270)(cid:205)(cid:356)(cid:357)(cid:286)(cid:111)(cid:358)(cid:32)(cid:352)(cid:353)(cid:63)
(cid:66)(cid:359)(cid:53)(cid:166)(cid:349)(cid:350)(cid:32)(cid:327)(cid:360)(cid:361)(cid:102)(cid:116)(cid:111)(cid:358)(cid:200)(cid:205)(cid:361)(cid:63)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:362)(cid:363)(cid:63)(cid:181)(cid:182)(cid:349)(cid:350)(cid:32)(cid:327)(cid:360)(cid:361)(cid:102)(cid:362)(cid:243)(cid:63)(cid:111)(cid:358)(cid:362)(cid:200)(cid:205)(cid:63)(cid:351)(cid:350)(cid:352)
(cid:353)(cid:120)(cid:111)(cid:358)(cid:341)(cid:364)(cid:250)(cid:251)(cid:32)(cid:3)(cid:88)(cid:79)(cid:106)(cid:365)(cid:298)(cid:96)(cid:7)(cid:27) =16 (cid:63)(cid:187)(cid:97)v(cid:365)(cid:298)(cid:350)(cid:366)(cid:111)(cid:358)(cid:341)(cid:364)(cid:77)(cid:92)(cid:367)km/h(cid:78)(cid:63) (cid:365)(cid:298)(cid:351)(cid:350)
(cid:167)(cid:350)(cid:368)(cid:369)(cid:171)(cid:32)(cid:352)(cid:353)(cid:77)(cid:92)(cid:367)m(cid:78)f(cid:365)(cid:298)(cid:360)(cid:370)(cid:371)𝑣(cid:40)(cid:70)(cid:63)(cid:26) 𝑑 (cid:258) 𝑓 (cid:234)(cid:206)(cid:206)(cid:372)(cid:373)(cid:374)(cid:63)100(cid:7)(cid:213)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:164)42(cid:375)(cid:106)𝑑(cid:37)(cid:138)(cid:91)(cid:233)
(cid:376)(cid:377)(cid:32)(cid:63)(cid:77)100(cid:7)(cid:213)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:365)(cid:298)(cid:349)(cid:350)(cid:111)(cid:358)(cid:341)(cid:364)100km/h(cid:32)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:78)(cid:63)(cid:258)(cid:378)(cid:379)(cid:63)(cid:256)(cid:349)(cid:350)(cid:32)(cid:360)(cid:370)(cid:371)(cid:40)(cid:70)
=1.25(cid:63)(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:105)(cid:349)(cid:350)(cid:32)100(cid:7)(cid:213)(cid:351)(cid:350)(cid:352)(cid:353)(cid:138)(cid:383)(cid:384)(cid:223)(cid:234)(cid:206)(cid:32)(cid:376)(cid:377)(cid:373)(cid:374)(cid:72)
(cid:15)𝑓 (cid:151)(cid:27)9-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:132)·(cid:214)(cid:215)(cid:19)(cid:385)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:165)(cid:78)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:390)(cid:187)(cid:391)(cid:392)(cid:63)(cid:138)(cid:234)(cid:67)(cid:100)(cid:101)(cid:393)(cid:135)(cid:32)(cid:111)(cid:96)(cid:72)(cid:258)(cid:394)(cid:395)(cid:63)
(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:132)(cid:396)(cid:32)(cid:89)(cid:251)t(cid:77)(cid:92)(cid:367)(cid:10)s(cid:78)(cid:116)(cid:386)(cid:364)h(cid:77)(cid:92)(cid:367)(cid:10)m(cid:78)(cid:397)(cid:277)(cid:307)(cid:308)(cid:7)(cid:27) = (cid:77)(cid:123)(cid:146)(cid:398)(cid:338)(cid:341)(cid:32)(cid:399)(cid:400)(cid:78)(cid:72)(cid:401)(cid:281)
5
ℎ
𝑡
m)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:82)(cid:396)(cid:150)(cid:286)(cid:402)(cid:89)(cid:251)(cid:96) (cid:63)(cid:281) m)(cid:386)(cid:387)(cid:388)(cid:389)(cid:82)(cid:396)(cid:150)(cid:286)(cid:402)(cid:89)(cid:251)(cid:96) (cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
𝑡2
𝑎( 𝑡1 2𝑎( 𝑡2 𝑡1
2 2 5
A(cid:72) 2 B(cid:72) 5 C(cid:72) D(cid:72)
2 5
