文档文本内容
专题 20.1 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:22)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:22)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:22)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 =| |(cid:22)...............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 ( 2) = ( 0)(cid:22)..................................................................................................................................3
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:42)(cid:43)(cid:44)2 (cid:45)(cid:22)................................................................................................................................................4
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:22)................................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:22)................................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)9 (cid:52)(cid:53)(cid:27)(cid:28)(cid:22)................................................................................................................................................5
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:54)(cid:34)(cid:10)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63) (cid:64) (cid:65)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:58)“ ”(cid:67)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:9)(cid:58)a(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:74)(cid:75)(cid:10)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:35)(cid:36)(cid:10)(cid:64)1(cid:65)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:9)“ ”(cid:84)(cid:64)2(cid:65)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:64)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:72)(cid:88)(cid:89)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:51)(cid:32)(cid:88)(cid:90)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:65)(cid:73)
知识点2 二次根式有无意义的条件
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:79)(cid:58)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:91)(cid:63)𝑎(cid:10)(cid:92)(cid:93) + +1=𝑎( +1) 0(cid:58)(cid:94)(cid:87)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) + +1(cid:95)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:73)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:58)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:96)(cid:32)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:58)(cid:97)(cid:55)(cid:83)(cid:39)(cid:40)(cid:72)(cid:29)(cid:98)(cid:99) 𝑎 (cid:100) ≥ (cid:71)(cid:27)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:58)(cid:63)( 5) =5(cid:73)
2
2
教𝑎 𝑎 𝑎≥ 0)(cid:58)
3. 辅 =资| |
源
= <0)(cid:58) (cid:97)(cid:55)(cid:83)(cid:106)(cid:33)(cid:107)(cid:72)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:71)(cid:27)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:29)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:73)
，
2 𝑎(𝑎关≥
注
(cid:63) 𝑎 (±11 𝑎 ) =| − ± 𝑎( 1 𝑎 1|=11(cid:73) 公 众 号
★
全
2 科
A
A
(cid:74)(cid:75)(cid:10)( ) ( 0)(cid:110) (cid:29)(cid:111)(cid:112) +
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:27)(cid:9)(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:84)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:116)(cid:27)(cid:9)(cid:117)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:92)(cid:28)(cid:100)(cid:71)(cid:118)(cid:119)(cid:120)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:27)(cid:9)(cid:121). (cid:91)(cid:63)(cid:10)(cid:122) 0,(cid:123) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 𝑎
(cid:15)(cid:91)1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:20)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:131)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:135)(cid:28)(cid:55)(cid:54)(cid:136)(cid:102)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) | |+1 D(cid:73)
2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)1-−14(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)𝑥 ·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:127)(cid:134) 𝑥 (cid:135)(cid:28)(cid:55)(cid:54)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)𝑥(cid:85)−(cid:64)1 (cid:65)
A(cid:73)3 5 B(cid:73) C(cid:73) 6 D(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)1-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)−3·(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:141)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:55)(cid:54)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝑎(cid:29)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
A(cid:73) +1 B(cid:73) C(cid:73) 3 D(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)1-𝑥3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)3−·(cid:138)π (cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:131)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:127)(cid:134)(cid:135)(cid:28)(cid:143)(cid:58)(cid:150)(cid:151)(cid:85)(cid:25)−(cid:26)1 (cid:27)(cid:28)(cid:152)(cid:150)(cid:151)(cid:153)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:152)(cid:154)
(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:73)
(cid:64)1(cid:65) 8 (cid:84)(cid:64)2(cid:65) (cid:84)(cid:64)3(cid:65) +1 (cid:84)(cid:64)4(cid:65)3 (cid:84)(cid:64)5(cid:65) + +4 (cid:84)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:64)6(cid:65) 3 | | (cid:84)(cid:64)7(cid:65) 1+ < (cid:73)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
【题型2 二次根式有意义的条件】
(cid:15)(cid:91)2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:159)(cid:125)(cid:126)(cid:160)·(cid:161)(cid:162)(cid:145)(cid:163)(cid:164)(cid:145)·(cid:70)(cid:11)(cid:165)(cid:166)(cid:65)(cid:122)(cid:28)(cid:66) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:123)(cid:107)(cid:72)(cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)(cid:85) (cid:73)
| |
𝑥−1
𝑥−2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)2-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:170)(cid:139)(cid:171)(cid:172)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:122)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 2025+ (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:123)(cid:107)(cid:72)x(cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)(cid:85) (cid:73)
𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:28)2-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:138)(cid:139)(cid:145)(cid:173)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:143)(cid:88)(cid:90)x(cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)(cid:85) (cid:73)
𝑥−1
2 𝑥
(cid:15)(cid:137)(cid:28)2-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:160)·(cid:160)(cid:176)(cid:177)(cid:178)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:179) (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:79)(cid:58) (cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)(cid:85) (cid:73)
3
𝑥− 𝑥
【题型3 二次根式的双重非负性】
教
辅
(cid:15)(cid:91)3(cid:22)资(cid:64)2源4-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:144)(cid:145)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:109)(cid:94)(cid:32)(cid:107)(cid:72) (cid:58)(cid:80)(cid:81) | +1|+ 3 = | | (cid:58)(cid:123)
， 关 2
注
公
(cid:29)(cid:182)(cid:183)(cid:49)(cid:93) (cid:73) 众 号 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
★
全
科
A
(cid:15)(cid:137)(cid:28)3-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181)A(cid:107)(cid:72)+x(cid:58)y(cid:80)(cid:81) = + +2 (cid:58)(cid:123)
𝑦 𝑥−3 3−𝑥( )
2025
𝑦−𝑥
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+(cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)3-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:160)·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:142)(cid:192)(cid:65)(cid:122)a(cid:58)b(cid:93)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:193)(cid:80)(cid:81) + +3) =0(cid:58)(cid:123) (cid:100)
2
(cid:71)(cid:27)(cid:85) (cid:73) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:137)(cid:28)3-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:195)(cid:141)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:107)(cid:72)x(cid:80)(cid:81) 2012 + + = (cid:58)
2 2
(cid:123) 2012 = (cid:73) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
【 𝑥 题 − 型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:91)4(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:189)(cid:196)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:122)(cid:46)(cid:47)| | + +16(cid:29)(cid:197)(cid:198)(cid:93) (cid:58)(cid:123) (cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)
2
(cid:85)(cid:64)(cid:199)(cid:199)(cid:65) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:73) =0 B(cid:73) 1 C(cid:73) 1 D(cid:73) 4
(cid:15)(cid:137)(cid:28)𝑥4-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)𝑥(cid:160)≤·(cid:188)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:142)(cid:192)(cid:65)(cid:180)𝑥(cid:181)≥1< <2(cid:58)(cid:46)(cid:47) 𝑥≤ +1+ +4 = (cid:73)
2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)4-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:160)·(cid:145)(cid:147)(cid:203)(cid:141)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:204)(cid:113)𝑥(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:29)(cid:71)𝑥(cid:209)−(cid:58)2(cid:154)𝑥 (cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:127)𝑥(cid:134)−4(cid:213)𝑥(cid:23)(cid:10)
(1)(cid:179)3 7(cid:79)(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:84)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:122)(cid:101)(cid:28) ( ) ( +9) =14(cid:129)(cid:214)(cid:58)(cid:123)a(cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:168)(cid:169)(cid:85)______(cid:84)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:122) ( +1) + ( ) =8(cid:58)(cid:48)a(cid:29)(cid:49)(cid:73)
2 2
𝑎 𝑎−5
(cid:15)(cid:137)(cid:28)4-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:195)(cid:141)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:215) = 2021 ×2022(cid:58) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:58)(cid:123) (cid:216) (cid:29)(cid:3)(cid:217)(cid:93)(cid:64) 𝑀 (cid:65) −2020 𝑁
2 2
A(cid:73)−4>042 B(cid:73) < 𝑀 𝑁 C(cid:73) = D(cid:73) =±
【题型
𝑀5
(
𝑁
) = (
𝑀
)】
𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:91)5(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:144)(cid:145)(cid:218)(cid:219)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181) (cid:29)(cid:220)(cid:221)(cid:222) (cid:223) (cid:223)(cid:80)(cid:81) + =3
+3 1 (cid:58)(cid:48) (cid:29)(cid:224)(cid:222)(cid:73) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:137)(cid:28)5-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:225)(cid:226)(cid:110)(cid:100)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:122)1(cid:58) (cid:58)3(cid:85)(cid:220)(cid:227)(cid:62)(cid:29)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:58)(cid:46)(cid:47)( ) +16
2
2
= (cid:73) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:28)5-2(cid:22) （24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:232)(cid:233)(cid:213)(cid:23)(cid:143)(cid:29)(cid:50)(cid:51)(cid:35)(cid:36)(cid:58)(cid:211)(cid:212)(cid:127)(cid:134)(cid:213)(cid:23)(cid:10)
教
辅
(1)(cid:180)(cid:181)资 源 ( ) = (cid:58)(cid:48) (cid:29)(cid:49)(cid:84)
，
2
关 注2
公
(2)(cid:180)(cid:181)a(cid:58) (𝑥− b 3 (cid:85) ) (cid:107)−(cid:72)(cid:58)2−(cid:193)𝑥 > 2𝑥 众𝑥 号 +1(cid:58)(cid:46)(cid:47) + (cid:73)
★
全
科 A 2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)5-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)𝑏(cid:126)(cid:127)·𝑎(cid:20)−2(cid:128)−(cid:234)2(cid:141)2·−(cid:142)𝑎(cid:143)(cid:65)(cid:180)(cid:181) +1−A2+𝑏+=𝑏2− 𝑎 +4 +6 +3 (cid:58)(cid:48)a(cid:223)b(cid:223)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14c(cid:29)(cid:49)(cid:73)
【题型6 规律探究】
(cid:15)(cid:91)6(cid:22)(cid:64)24-25(cid:235)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:236)(cid:189)(cid:237)(cid:238)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:63)(cid:239)(cid:85)(cid:55)(cid:83)(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:42)(cid:43)(cid:243)(cid:134)(cid:29)(cid:72)(cid:244)(cid:10)(cid:27)(cid:245)(cid:72)(cid:244)(cid:243)(cid:134)(cid:29)(cid:42)(cid:43)(cid:58)
(cid:246) (cid:64) (cid:85)(cid:247)(cid:72)(cid:58)(cid:193) 4(cid:65)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:72)(cid:246)( )(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:64)(cid:113)(cid:51) (cid:29)(cid:253)(cid:72)(cid:28)(cid:254)(cid:255)(cid:65)(cid:64) (cid:65)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:73) B(cid:73) C(cid:73) D(cid:73)
2 2 2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)6-𝑛1(cid:22)−(cid:64)4 2025·(cid:236)(cid:189)(cid:256)(cid:257)𝑛·(cid:25)−2(cid:258)(cid:65)(cid:259)(cid:55)(cid:26)(cid:260)(cid:261)(cid:75)𝑛(cid:262)−(cid:263)3(cid:160)(cid:58)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:113)(cid:268)𝑛(cid:269)−(cid:75)4 (cid:255)(cid:270)(cid:55)(cid:271)(cid:240)(cid:42)(cid:43)(cid:243)(cid:134)(cid:29)(cid:272)(cid:273)
(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:6)(cid:9)(cid:253)(cid:274)(cid:58)(cid:275)(cid:272)(cid:273) (cid:28)(cid:276)(cid:26)(cid:93)(cid:10) (cid:58)4 2 (cid:58)6 3 (cid:58)8 4 (cid:58)10 5 ……(cid:58)(cid:123)(cid:246)n (cid:83)(cid:272)(cid:273)(cid:28)(cid:85)(cid:64) (cid:65)
2 3 4 5
A(cid:73) 2𝑎 B𝑎(cid:73) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:73)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:73)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎 1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:137)(cid:28)6-2(cid:22)(cid:64)2025·(cid:277)(cid:200)(cid:278)(cid:54)·(cid:55)(cid:258)(cid:65)(cid:183)(cid:156)(cid:68)(cid:72)(cid:11)(cid:23)(cid:79)(cid:58)(cid:279)(cid:280)(cid:42)(cid:43)(cid:10) = (cid:84) =2 (cid:84) =3
2 2 5 5 10
1− 2− 3−
3 4 4
(cid:84) =4 (cid:84)…
10 17 17
4−
(cid:64)1(cid:65)(cid:246)5(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:93) (cid:84)
8 8
(cid:64)2(cid:65)(cid:122) = (cid:64)a(cid:58)b(cid:93)(cid:281)(cid:247)(cid:72)(cid:65)(cid:58)(cid:123) = (cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)6-3 𝑎 (cid:22) − (cid:64)𝑏 24𝑎-25𝑏(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:282)(cid:283)·(cid:142)(cid:143)𝑎(cid:65)⋅𝑏(cid:284)(cid:285)(cid:127)(cid:134)(cid:101)(cid:28)(cid:58)(cid:286)(cid:287)(cid:212)(cid:213)(cid:23)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:84) 5 = 4 = 2 (cid:84) 7 = 9 = 3 (cid:84)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
(
① 1)(cid:27)1(cid:245)−(cid:160)(cid:288)(cid:42)(cid:43)(cid:58)(cid:289)②(cid:290)(cid:246)1
5
−(cid:83)(cid:101)(cid:28)(cid:10)_____ ③ ___(cid:73)1−
(2)(cid:154)(cid:289)(cid:290)(cid:246) (cid:83)(cid:64) (cid:93)(cid:281)(cid:247)(cid:72)(cid:65)(cid:101)(cid:28)(cid:10)________(cid:58)(cid:286)(cid:291)(cid:156)(cid:210)(cid:29)(cid:197)(cid:208)(cid:73)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:204)(cid:113)(cid:160)(cid:288)(cid:197)(cid:208)(cid:58)(cid:292)(cid:98)(cid:10) … (cid:73)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:91)7(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:107)(cid:72)a(cid:80)(cid:81)6< <20(cid:58)(cid:46)(cid:47)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:73)
教
辅
资 源 2 2
， 关 2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:137)(cid:28)7-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)注(cid:126)(cid:160)·(cid:145)(cid:194)(cid:194)(cid:141)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:180)(cid:181) =3 ( )+2 ( )+2(cid:58)(cid:48) ( )+ (cid:29)(cid:49)(cid:73)
公
众
号
★ 2
(cid:15)(cid:137)(cid:28)7-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:189)(cid:196)·(cid:174)(cid:175) 全 (cid:132)(cid:133)科(cid:65)(cid:180)𝑦
A
(cid:181)(cid:220)(cid:227)2(cid:62)𝑥−(cid:29)1(cid:82)(cid:221)(cid:222)(cid:205)1−(cid:112)2𝑥(cid:93)3(cid:110)5(cid:58)(cid:246) 𝑥 (cid:220) 𝑦 (cid:221)(cid:222)𝑥(cid:93)c(cid:58)(cid:46)
A
+1
(cid:47) + +16(cid:73)
4
2 2
𝑐 4−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:137)(cid:28)7-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:159)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:189)(cid:196)·(cid:293)(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:65)(cid:180)(cid:181) = =3(cid:58) = = 3(cid:58) = (cid:58) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:73)(cid:48)P(cid:223)Q(cid:29)(cid:49)(cid:73)
1 1
𝑎+𝑏
【题型8 隐含条件】
(cid:15)(cid:91)8(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:160)·(cid:145)(cid:194)(cid:297)(cid:141)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:122) (cid:80)(cid:81)(cid:3)(cid:217)(cid:28) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:58)(cid:123) = (cid:73)
𝑥−1 𝑦 𝑚
(cid:15)(cid:137)(cid:28)8-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:235)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:188)(cid:200)(cid:230)(cid:298)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:180)(cid:181) (cid:85)(cid:82)(cid:82)(cid:153)(cid:299)(cid:101)(cid:29)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:193)(cid:80)(cid:81) ( )+ ( )
𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚
3
= (cid:58)(cid:123) (cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73)
2 5 2
𝑥 +𝑥𝑦−𝑦
2 2
𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦 𝑥 −𝑥𝑦+ 𝑦
(cid:15)(cid:137)(cid:28)8-2(cid:22)(cid:122) (cid:223) (cid:223) (cid:93)(cid:107)(cid:72)(cid:58)(cid:193)(cid:80)(cid:81) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:58)(cid:48) + + +3
(cid:29)(cid:49)(cid:93) (cid:73)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:137)(cid:28)8-3(cid:22)(cid:64)24-25(cid:235)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:225)(cid:226)(cid:110)(cid:100)·(cid:142)(cid:143)(cid:65)(cid:122)(cid:107)(cid:72)a(cid:58)b(cid:58)c(cid:80)(cid:81)(cid:3)(cid:217)(cid:28) + = +
+ (cid:58)(cid:123)c(cid:300) (cid:73) 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
【题
𝑏
型
−69
复合根式】
(cid:15)(cid:91)9(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:145)(cid:194)(cid:195)(cid:141)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:180)(cid:181)(cid:281)(cid:247)(cid:72) (cid:223) (cid:223)(cid:80)(cid:81) 5= (cid:73)(cid:123)(cid:301)(cid:302)(cid:29)
2
(cid:223) (cid:223)(cid:29)(cid:167)(cid:49)(cid:64) (cid:65)(cid:73) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:73)(cid:32)𝑛(cid:55)(cid:271) B(cid:73)(cid:32)(cid:25)(cid:271) C(cid:73)(cid:303)(cid:102)(cid:25)(cid:271) D(cid:73)(cid:153)(cid:304)(cid:259)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)9-1(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:188)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:292)(cid:98) 2025 2024(cid:29)(cid:197)(cid:198)(cid:85) (cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)9-2(cid:22)(cid:64)24-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:277)(cid:189)(cid:308)(cid:309)·(cid:142)(cid:192)(cid:65)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:48)(cid:49)(cid:73) −
(cid:259)(cid:292)(cid:98) 10(cid:29)(cid:314)(cid:269)(cid:143)(cid:58)(cid:183)(cid:156)(cid:110)(cid:183)(cid:315)(cid:29)(cid:292)(cid:98)(cid:197)(cid:198)(cid:153)(cid:55)(cid:302)(cid:73)
7−2
(cid:183)(cid:156)(cid:29)(cid:292)(cid:98)(cid:314)(cid:269)(cid:63)(cid:127)(cid:10) (cid:183)(cid:315)(cid:29)(cid:292)(cid:98)(cid:314)(cid:269)(cid:63)(cid:127)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
教(cid:300) 辅 2×5+5 (cid:300) 2×5+5
资
源
，
(cid:300) 2−2 关 注(cid:300) 2−2
公
众
号
★
全
科
A
A
+( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:300) 2 5 (cid:300) 2 5
2 2
(cid:300) 2 −5 (cid:300) 5 −2
− −
(1)(cid:154)(cid:316)(cid:317)(cid:183)(cid:156)(cid:216)(cid:183)(cid:315)(cid:318)(cid:29)(cid:292)(cid:98)(cid:197)(cid:198)(cid:281)(cid:319)(cid:58)(cid:286)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:84)
(2)(cid:292)(cid:98)(cid:10) 5(cid:73)
(cid:15)(cid:137)(cid:28)9-3(cid:22)6−(cid:64)224-25(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)·(cid:170)(cid:139)(cid:195)(cid:305)·(cid:174)(cid:175)(cid:132)(cid:133)(cid:65)(cid:15)(cid:311)(cid:312)(cid:320)(cid:321)(cid:22)(cid:183)(cid:156)(cid:259)(cid:11)(cid:133)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:79)(cid:58)(cid:279)(cid:280)(cid:55)(cid:151)(cid:51)(cid:27)(cid:9)
(cid:29)(cid:28)(cid:66)(cid:86)(cid:87)(cid:46)(cid:129)(cid:322)(cid:55)(cid:83)(cid:28)(cid:66)(cid:29)(cid:100)(cid:71)(cid:58)(cid:63)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:84)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:73)
2 2
2
(cid:15)(cid:206)(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:22)
(1)(cid:183)(cid:219)(cid:326)(cid:327)(cid:183)(cid:156)(cid:29)(cid:71)(cid:209)(cid:116)4+2 3(cid:46)(cid:129)(cid:270)(1+ ) (cid:58)(cid:123) =__________(cid:58) 4+2 3=__________(cid:73)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:154)(cid:204)(cid:113)(cid:183)(cid:156)(cid:29)(cid:71)(cid:209)(cid:46)(cid:47) 3(cid:73)
7−4
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
