文档文本内容
专题 19.3 实数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)2024(cid:22)
(cid:15)(cid:23)(cid:24)1 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:22)....................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)2 (cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:26)(cid:32)(cid:22)....................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:23)(cid:24)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:33)(cid:34)(cid:22)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:23)(cid:24)4 (cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:22)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)5 (cid:28)(cid:27)(cid:37)(cid:27)(cid:38)(cid:22)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:23)(cid:24)6 (cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:22)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:23)(cid:24)7 (cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:34)(cid:22)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:23)(cid:24)8 (cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:37)(cid:28)(cid:27)(cid:45)(cid:34)(cid:22)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:23)(cid:24)9 (cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:45)(cid:34)(cid:22)............................................................................................................................8
(cid:15)(cid:23)(cid:24)10 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:29)(cid:57)(cid:3)(cid:49)(cid:34)(cid:22)................................................................................................................8
(cid:15)(cid:23)(cid:24)11 (cid:28)(cid:27)(cid:45)(cid:34)(cid:29)(cid:28)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:22)............................................................................................................................9
(cid:15)(cid:23)(cid:24)12 (cid:37)(cid:28)(cid:27)(cid:45)(cid:34)(cid:61)(cid:3)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:23)(cid:22)..................................................................................................................10
知识点1 无理数
(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:40)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:57)(cid:75)(cid:53)(cid:76)(cid:77)(cid:10)
(cid:78)1(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:80)(cid:65)(cid:82)(cid:29)(cid:27)(cid:29)(cid:61)(cid:59)(cid:81)(cid:83)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:85)(cid:86) 2(cid:85)3 5(cid:87)(cid:88)
(cid:78)2(cid:79)(cid:89)(cid:90)(cid:91) (cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:57) (cid:29)(cid:27),(cid:86)2 (cid:85) (cid:87)(cid:88)
2
π
π π π
(cid:78)3(cid:79)(cid:75)(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:40)(cid:27)(cid:73)(cid:74)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:27),(cid:86)0.101 001 000 1…(cid:78)(cid:98)(cid:99)1(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:93)(cid:99)0)(cid:87)(cid:70)(cid:4)(cid:105)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:40)
(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:106)(cid:27)(cid:25)(cid:64)(cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:88)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:56)(cid:27)(cid:29)(cid:73)(cid:74)(cid:70)
知识点2 实数的概念及分类
1. (cid:30)(cid:31)(cid:10)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:28)(cid:27)(cid:70)
2. (cid:56)(cid:115)(cid:10)(cid:28)(cid:27)(cid:57)(cid:98)(cid:77)(cid:56)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:10)
教
辅
(cid:78)1(cid:79)(cid:118)资(cid:51)(cid:52)(cid:56)(cid:115)(cid:10)(cid:28)(cid:27)(cid:119)(cid:56)(cid:114)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
(cid:121)(cid:54)(cid:27) +
(cid:121)(cid:57)(cid:26)(cid:27)
(cid:121)(cid:56)(cid:27)
(cid:57)(cid:26)(cid:27) 0
(cid:57)(cid:64)(cid:40)(cid:27)(cid:123)(cid:66)(cid:67)(cid:40)(cid:27)
(cid:122) (cid:54) (cid:27)
(cid:122)(cid:57)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:27)
(cid:122)(cid:56)(cid:27)
(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:25)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:40)(cid:27)
(cid:122)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78)2(cid:79)(cid:118)(cid:121)(cid:122)(cid:35)(cid:56)(cid:115)(cid:10)(cid:28)(cid:27)(cid:119)(cid:56)(cid:114)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:124)0(cid:124)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:70)
(cid:121)(cid:54)(cid:27)
(cid:121)(cid:57)(cid:26)(cid:27)
(cid:121)(cid:56)(cid:27)
(cid:121)(cid:28)(cid:27)
(cid:121)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:27) 0
(cid:122)(cid:54)(cid:27)
(cid:122)(cid:57)(cid:26)(cid:27)
(cid:122)(cid:28)(cid:27) (cid:122)(cid:56)(cid:27)
(cid:122)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
知识点3 实数与数轴的关系
(cid:125)(cid:93)(cid:99)(cid:28)(cid:27)(cid:126)(cid:119)(cid:75)(cid:60)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:29)(cid:93)(cid:99)(cid:128)(cid:129)(cid:108)(cid:109)(cid:88)(cid:130)(cid:131)(cid:129)(cid:85)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:29)(cid:125)(cid:93)(cid:99)(cid:128)(cid:126)(cid:108)(cid:109)(cid:93)(cid:99)(cid:28)(cid:27)(cid:70)(cid:28)(cid:27)(cid:37)(cid:27)(cid:38)(cid:127)
(cid:29)(cid:128)(cid:93)(cid:93)(cid:132)(cid:59).
知识点4 实数范围内的有关概念
(cid:133)(cid:113) (cid:35)(cid:36) (cid:134)(cid:135)
(cid:61)(cid:130)(cid:27) (cid:136)a(cid:37)b(cid:137)(cid:114)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:85)(cid:138) + =0 3(cid:29)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:84) 3
(cid:139)(cid:27) (cid:136)a(cid:37)b(cid:137)(cid:114)(cid:139)(cid:27)(cid:85)(cid:138) 𝑎 =1 𝑏 2(cid:29)(cid:139)(cid:27)(cid:84) 1 −
2
𝑎𝑏
>0)
(cid:140)(cid:141)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:126)(cid:84)(cid:144)(cid:122)(cid:27)(cid:85)(cid:145)| | 0 | | =0)
(cid:142)(cid:132)(cid:143) 𝑎(𝑎 <0)
𝑎 ≥ 𝑎 0(𝑎
(cid:137)(cid:114)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:27)(cid:29)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:61)(cid:87)(cid:85)(cid:145)| |=| | | 2 |− = 𝑎|(𝑎 2 | = 2
𝑎 −𝑎 −
知识点5 实数的运算
(cid:146)(cid:28)(cid:27)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:85)(cid:65)(cid:150)(cid:119)(cid:75)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:124)(cid:154)(cid:124)(cid:155)(cid:124)(cid:156)(cid:78)(cid:156)(cid:27)(cid:65)(cid:114)(cid:157)(cid:79)(cid:124)(cid:155)(cid:81)(cid:45)(cid:34)(cid:85)(cid:158)(cid:159)(cid:119)(cid:75)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:160)(cid:81)(cid:45)(cid:34)(cid:75)(cid:92)
教
辅
资
源
(cid:144)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:80)(cid:161)，(cid:81)(cid:45)(cid:34)(cid:70)
关
注
公
众
(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:45)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:111)(cid:45)(cid:34)(cid:63)(cid:146)(cid:28)(cid:27)(cid:147)(cid:148)号(cid:149)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:60)(cid:85)(cid:28)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:34)(cid:29)(cid:165)(cid:47)(cid:37)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:34)(cid:29)(cid:165)(cid:47)(cid:61)(cid:166)(cid:85)
★
全
科
A
A
(cid:167)(cid:155)(cid:81)(cid:124)(cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:168)(cid:155)(cid:156)(cid:85)(cid:169)(cid:170)(cid:153)(cid:154)(cid:70)(cid:166)(cid:171)(cid:45)(cid:34)(cid:118)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:29)(cid:165)+(cid:47)(cid:151)(cid:152)(cid:85)(cid:57)(cid:176)(cid:9)(cid:29)(cid:167)(cid:34)(cid:176)(cid:9)(cid:177)(cid:178)(cid:29)(cid:70)知识点6 实数的大小比较
(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:29)(cid:81)(cid:179)(cid:146)(cid:28)(cid:27)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:60)(cid:70)
(cid:98)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:3)(cid:180)(cid:86)(cid:53)(cid:10)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:126)(cid:39)(cid:181)0(cid:85)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:126)(cid:40)(cid:181)0(cid:85)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:39)(cid:181)(cid:93)(cid:182)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:88)(cid:98)(cid:99)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:85)(cid:142)(cid:132)(cid:143)
(cid:39)(cid:29)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:39)(cid:88)(cid:98)(cid:99)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:85)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:39)(cid:29)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:40)(cid:88)(cid:146)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:108)(cid:109)(cid:29)(cid:98)(cid:99)(cid:28)(cid:27)(cid:85)(cid:175)(cid:183)(cid:29)(cid:27)(cid:184)(cid:41)(cid:173)(cid:183)(cid:29)(cid:27)
(cid:39)(cid:70)(cid:185)(cid:186)(cid:85)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:187)(cid:57)(cid:86)(cid:53)(cid:81)(cid:179)(cid:10)
(cid:78)1(cid:79)(cid:188)(cid:131)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:161)(cid:81)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:85)(cid:151)(cid:158)(cid:189)(cid:51)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:3)(cid:180)(cid:70)(cid:86)(cid:41)(cid:42) 10(cid:37)3(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:85)(cid:190)(cid:181)( 10) =10
2
，3 =9，10>9(cid:85)(cid:191) 10>3(cid:70)
2
(cid:78)2(cid:79)(cid:60)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:81)(cid:179)(cid:192)(cid:97)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:193)(cid:194)(cid:143)(cid:170)(cid:85)(cid:168)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:70)
(cid:78)3(cid:79)(cid:195)(cid:98)(cid:99)(cid:196)(cid:83)(cid:9)(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:197)(cid:85)(cid:119)(cid:59)(cid:60)(cid:86)(cid:53)(cid:198)(cid:199)(cid:10)
> 0 > (cid:70)
① 𝑎>𝑏≥3 ⇔>𝑎3 (cid:70)𝑏
②
【题
𝑎 型1𝑏 ⇔
无
𝑎
理数】
𝑏
(cid:15)(cid:135)1(cid:22)(cid:78)2025·(cid:200)(cid:201)·(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:23)(cid:79)(cid:53)(cid:205)(cid:206)(cid:27)(cid:202)(cid:85)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
2
A(cid:70)0 B(cid:70) 2 C(cid:70)3.14 D(cid:70)
3
(cid:15)(cid:207)(cid:74)1-1(cid:22)(cid:78)2025·(cid:208)(cid:209)·(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:79)(cid:7)(cid:214)(cid:215)500(cid:216)(cid:85)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:11)(cid:225)(cid:29)(cid:226)(cid:227)(cid:218)(cid:228)(cid:229)(cid:224)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:183)(cid:233)(cid:114)1
(cid:29)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:29)(cid:132)(cid:234)(cid:235)(cid:233)(cid:65)(cid:107)(cid:60)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:108)(cid:109)(cid:70)(cid:114)(cid:232)(cid:236)(cid:31)(cid:237)(cid:85)(cid:238)(cid:239)(cid:240)(cid:241)(cid:94)(cid:27)(cid:242)(cid:133)(cid:114)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:243)(cid:244)(cid:96)(cid:97)(cid:93)(cid:99)(cid:39)(cid:181)3
(cid:159)(cid:40)(cid:181)4(cid:29)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10) (cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)1-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:20)(cid:246)(cid:247)(cid:248)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:53)(cid:205)(cid:3)(cid:181) 5(cid:251)(cid:252)(cid:121)(cid:189)(cid:29)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70) 5(cid:108)(cid:109)5(cid:29)(cid:161)(cid:81)(cid:83) B(cid:70) 5(cid:65)(cid:119)(cid:75)(cid:60)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:29)(cid:128)(cid:129)(cid:108)(cid:109)
C(cid:70) 5(cid:84)(cid:93)(cid:99)(cid:41) (cid:39)(cid:29)(cid:27) D(cid:70) 5(cid:84)(cid:93)(cid:99)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
π 21
(cid:15)(cid:207)(cid:74)1-3(cid:22)(cid:78)2025·(cid:253)(cid:201)(cid:201)(cid:254)·(cid:255)(cid:210)(cid:79)(cid:146)(cid:28)(cid:27)1.414(cid:85) 5(cid:85)0(cid:85)3 9(cid:85) (cid:85) (cid:85)3.1415926(cid:85)1.010010001…((cid:61)
2 7
𝜋
(cid:256)(cid:98)(cid:99)1(cid:100)(cid:101)0(cid:29)(cid:99)(cid:27)(cid:257)(cid:103)(cid:153)1)(cid:202)(cid:85)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:99)(cid:27)(cid:84) (cid:99)(cid:70) −
【题型2 实数的概念理解及其性质】
(cid:15)(cid:135)2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:240)(cid:53)(cid:205)(cid:206)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:47)(cid:9)(cid:262)(cid:146)(cid:61)(cid:59)(cid:29)(cid:39)(cid:176)(cid:9)(cid:149)(cid:70)
教
辅 25(cid:85)资 (cid:85) 0.31(cid:85) (cid:78)(cid:61)(cid:256)(cid:98)(cid:99)1(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:263)(cid:153)(cid:93)(cid:99)1(cid:79)(cid:85) 3 9(cid:85)
源
，
关
注
① ②−5𝜋 ③22 ④公2.181881888⋯ ⑤
(cid:85) (cid:85) 0(cid:70) 众
7 号 ★
全
科
⑥(cid:54)(cid:27)−3(cid:10).1 { 4 1 5 9 2 6 ⑦ … ⑧ }(cid:88) A A +(cid:144)(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:10){ …}(cid:88)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10){ …}(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)2-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:208)(cid:209)(cid:264)(cid:265)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:53)(cid:205)(cid:266)(cid:179)(cid:121)(cid:189)(cid:29)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70)(cid:28)(cid:27)(cid:56)(cid:114)(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:111)(cid:122)(cid:28)(cid:27) B(cid:70)(cid:98)(cid:99)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:111)(cid:187)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
C(cid:70) (cid:84)(cid:169)(cid:39)(cid:29)(cid:122)(cid:27) D(cid:70)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:111)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:112)(cid:113)(cid:28)(cid:27)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)−2-12(cid:22)(cid:53)(cid:205)(cid:266)(cid:179)(cid:121)(cid:189)(cid:29)(cid:57) (cid:70)
(cid:28)(cid:27)(cid:65)(cid:84)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:267)(cid:84)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:88) 2(cid:84)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:88) (cid:65)(cid:196)(cid:83)(cid:9)(cid:29)(cid:27)(cid:126)(cid:84)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:88) (cid:84)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:88) (cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:140)
①(cid:93)(cid:128)(cid:126)(cid:132)(cid:59)(cid:93)(cid:99)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:88) 3②(cid:29)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:84) 3(cid:70)③ ④π ⑤
(cid:15)(cid:207)(cid:74)2-3(cid:22)(cid:78)2025(cid:245)(cid:216)(cid:171)⑥(cid:53)−·(cid:268)(cid:269)·(cid:270)(cid:23)(cid:271)(cid:272)(cid:79)(cid:240)(cid:53)(cid:205)(cid:206)(cid:27)(cid:262)(cid:174)(cid:61)(cid:59)(cid:29)(cid:273)(cid:235)(cid:127)(cid:78)(cid:262)(cid:47)(cid:9)(cid:79)(cid:10)
1
2 3(cid:88) (cid:88) 3 (cid:88) 0.54(cid:88) 0.13(cid:88) (cid:88) 0(cid:88) (cid:88) ( 7) (cid:88) (cid:78)(cid:61)(cid:256)(cid:98)
3 9
π 2
(cid:99)① 2(cid:100)(cid:101)② 0(cid:29)−(cid:99)(cid:27)③(cid:257)(cid:103)−6(cid:153)4(cid:93)(cid:79)④(cid:70) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧−23 ⑨ ⑩0.3020020002⋯
(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:10) (cid:88)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10) (cid:88)
(cid:121)(cid:28)(cid:27)(cid:10) (cid:88)
(cid:122)(cid:28)(cid:27)(cid:10) (cid:70)
【题型3 无理数的估算】
(cid:15)(cid:135)3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:258)(cid:259)(cid:90)(cid:274)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:275)(cid:276) 2<| |< 17(cid:85)(cid:159) (cid:84)(cid:54)(cid:27)(cid:85)(cid:138)(cid:277)(cid:57) (cid:143)(cid:29)(cid:99)(cid:27)(cid:114)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70)5 B(cid:70)6 C(cid:70)7 𝑥 D𝑥(cid:70)8 𝑥
(cid:15)(cid:207)(cid:74)3-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:254)(cid:278)(cid:279)(cid:254)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:28)(cid:27) (cid:85) (cid:85) (cid:85) (cid:146)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:29)(cid:106)(cid:280)(cid:86)(cid:281)(cid:277)(cid:109)(cid:85)(cid:138)(cid:107)(cid:108)(cid:109) 3
(cid:29)(cid:84)(cid:78) (cid:79) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1−
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)𝑑3-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:282)(cid:216)(cid:171)𝑐(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:53)𝑏(cid:205)(cid:54)(cid:27)(cid:37)3 (cid:169)(cid:287)(cid:193)(cid:29)𝑎 (cid:84)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) −67 D(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)−3-53(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)−(cid:53)4·(cid:258)(cid:259)(cid:90)(cid:274)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:146)−(cid:27)3(cid:11)(cid:202)(cid:85)(cid:288)(cid:239)(cid:119)(cid:75)(cid:188)(cid:131)−(cid:289)2(cid:101)(cid:33)(cid:49)(cid:179)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:99)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:193)(cid:194)
教
(cid:143)(cid:70)辅(cid:135)(cid:86)资(cid:10)
源
，
关
注
4< 6< 9(cid:85)(cid:145)2< 6公<3(cid:85)
众
号
★
全
∵ 6(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)2(cid:85) 科 A
A
+
∴6(cid:29)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114) 6 (cid:70)
(∴1)(cid:192) 17(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:111)−(cid:40)2(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:70)
(2)(cid:275)(cid:276) +2(cid:29)(cid:160)(cid:81)(cid:83)(cid:84)3(cid:85) + (cid:29)(cid:34)(cid:290)(cid:161)(cid:81)(cid:83)(cid:84)4(cid:85) (cid:84) 12(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:85)(cid:192) + (cid:29)(cid:161)(cid:81)(cid:83)(cid:70)
【题型
54𝑎
实数的性质】
3𝑎 𝑏−1 𝑐 3𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:135)4(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:127)·(cid:291)(cid:292)(cid:200)(cid:293)(cid:294)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:28)(cid:27) (cid:85) (cid:137)(cid:114)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:85) (cid:85) (cid:137)(cid:114)(cid:139)(cid:27)(cid:85)x(cid:29)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:114) 3(cid:85)(cid:74)
(cid:227) +( + + ) + + +3 (cid:29)(cid:143)(cid:84) (cid:70)𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
2
(cid:15)𝑥(cid:207)(cid:74)4 𝑎 -1(cid:22)𝑏(cid:78)1(cid:79)𝑐𝑑3𝑥(cid:29)(cid:139)𝑎(cid:27)(cid:84)𝑏 _____ 𝑐 _ 𝑑 _(cid:88)
7
(cid:78)2(cid:79)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:111)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:126)(cid:114) 5(cid:29)(cid:28)(cid:27)(cid:84)_______(cid:88)
(cid:78)3(cid:79)3 27 (cid:29)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:84)_____ 3 _ − _(cid:85)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:84)_______(cid:85)(cid:139)(cid:27)(cid:84)_______(cid:70)
8
1
(cid:15)(cid:207)(cid:74)4-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:282)(cid:216)(cid:171)(cid:127)·(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:298)·(cid:299)(cid:300)(cid:271)(cid:272)(cid:79) 6(cid:29)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:84) (cid:85)(cid:29)(cid:139)(cid:27)(cid:84) (cid:85)| 3 |= (cid:70)
− π −π
(cid:15)(cid:207)(cid:74)4-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:301)(cid:302)(cid:259)(cid:80)·(cid:249)(cid:202)(cid:79) 15(cid:29)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:37) 15(cid:29)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:29)(cid:111)(cid:87)(cid:181) (cid:70)
【题型5 实数与数轴】 5− 5−
(cid:15)(cid:135)5(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:303)(cid:259)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:171)(cid:308)(cid:106)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)(cid:281)(cid:85)(cid:28)(cid:27)a(cid:124)b(cid:146)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:132)(cid:59)(cid:128)(cid:29)(cid:106)(cid:280)(cid:86)(cid:281)(cid:277)(cid:109)(cid:85)
(cid:294)(cid:309) (cid:29)(cid:198)(cid:310)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
2
(𝑎−𝑏) −|𝑎|
A(cid:70)a B(cid:70)b C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)5-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:282)(cid:216)(cid:171)(cid:127)·(cid:209)(cid:311)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:86)(cid:281)(cid:85)2(cid:121)𝑎−(cid:81)𝑏(cid:73) (cid:29)(cid:178)(cid:312)(cid:114)𝑏3−(cid:85)2(cid:313)𝑎 (cid:128) (cid:146)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:85)(cid:159)(cid:128) (cid:108)(cid:109)(cid:29)
(cid:27)(cid:114)2(cid:85)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:57)(cid:93)(cid:128) (cid:146)(cid:128) (cid:29)(cid:173)(cid:314)(cid:85)(cid:136) = (cid:85)(cid:138)(cid:128)𝐴𝐵(cid:108)𝐶(cid:109)𝐷(cid:29)(cid:27)(cid:114)(cid:78) (cid:79) 𝐴 𝐴
𝐸 𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐸
A(cid:70) 3 B(cid:70) 3 C(cid:70) 3 D(cid:70) 3
(cid:15)(cid:207)(cid:74)5-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)2−(cid:53)·(cid:208)(cid:259)(cid:315)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)−(cid:281)(cid:85)(cid:146)(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:108)(cid:109)2(cid:85) 5(cid:29)−2(cid:132)(cid:59)(cid:128)(cid:56)(cid:317)(cid:114) (cid:124) (cid:85)(cid:128) (cid:84)
教
辅
资
(cid:29)(cid:202)(cid:128)(cid:85)(cid:138)(cid:128)源(cid:108) ， (cid:109)(cid:29)(cid:27)(cid:84)(cid:78) (cid:79) 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵
关
注
公
众
𝐴 号
★
全
科
A
A
+A(cid:70) 5 B(cid:70) 5 C(cid:70) 5 D(cid:70) 5
(cid:15)(cid:207)(cid:74)5-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)2−(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:318)(cid:319)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)4(cid:281)−(cid:85)(cid:275)(cid:276)(cid:128) (cid:85) (cid:84)(cid:27)(cid:38)5−(cid:127)(cid:98)(cid:128)(cid:85) =2(cid:85)(cid:128) (cid:146)(cid:128) (cid:29)(cid:175)
(cid:314)(cid:85)(cid:128) (cid:108)(cid:109)(cid:29)(cid:27)(cid:114) 2(cid:85)(cid:48)(cid:128) (cid:108)(cid:109)(cid:29)(cid:27)(cid:114) (cid:70) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴
𝐴 − 𝐵 𝑚
(1)(cid:28)(cid:27) (cid:29)(cid:143)(cid:84)___________(cid:88)
(2)(cid:192)| 𝑚 | | |(cid:29)(cid:143)(cid:88)
(3)(cid:146)(cid:27)𝑚(cid:38)−2(cid:127)−(cid:57)1−(cid:85)𝑚 (cid:98)(cid:128)(cid:56)(cid:317)(cid:108)(cid:109)(cid:28)(cid:27) (cid:111) (cid:85)(cid:159)(cid:57)| +4|(cid:37) (cid:137)(cid:114)(cid:61)(cid:130)(cid:27)(cid:85)(cid:192) + (cid:29)(cid:34)(cid:290)(cid:161)(cid:81)(cid:83)(cid:70)
【题型6 实数 𝐶 的大 𝐷 小比较】 𝑐 𝑑 2𝑐 𝑑−4 2𝑐 5𝑑
(cid:15)(cid:135)6(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:247)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:136) =3 7(cid:85) = 5(cid:85) =2(cid:85)(cid:138)a(cid:85)b(cid:85)c(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:3)(cid:180)(cid:114)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70) < B(cid:70) < < C𝑎(cid:70) < <𝑏 𝑐 D(cid:70) < <
(cid:15)(cid:207)(cid:74)6𝑏-1≤(cid:22)𝑐(cid:78)24𝑎-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)𝑏(cid:53)·𝑎(cid:253)(cid:201)𝑐(cid:201)(cid:254)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:240)𝑎(cid:53)(cid:205)𝑐(cid:28)(cid:27)𝑏(cid:108)(cid:109)(cid:146)(cid:86)(cid:281)(cid:277)𝑎(cid:109)(cid:29)𝑏(cid:27)(cid:38)𝑐(cid:127)(cid:124)(cid:320)(cid:41)(cid:42)(cid:321)(cid:239)(cid:29)(cid:39)(cid:40)
(cid:78)(cid:60)“<”(cid:322)(cid:287)(cid:79)(cid:70)
8
16 3 8
3
,− ,−1,
(cid:15)(cid:207)(cid:74)6-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:323)(cid:201)(cid:129)(cid:324)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:10)4 3 25(cid:78)(cid:60)“>”(cid:123)“<”(cid:262)(cid:325)(cid:79)(cid:70)
1
(cid:15)(cid:207)(cid:74)6-3(cid:22)(cid:78)2025(cid:326)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:327)(cid:200)(cid:265)(cid:328)·(cid:11)(cid:329)(cid:203)(cid:330)(cid:79)(cid:136) < <0(cid:85)(cid:138) ,3 , (cid:93)(cid:51)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
3
−1 𝑎 𝑎,𝑎 𝑎𝑎
1 1 1
A(cid:70) (cid:169)(cid:40)(cid:85) (cid:169)(cid:39)B(cid:70)3 (cid:169)(cid:40)(cid:85)a(cid:169)(cid:39) C(cid:70) (cid:169)(cid:40)(cid:85)a(cid:169)(cid:39) D(cid:70) (cid:169)(cid:40)(cid:85)3 (cid:169)(cid:39)
3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
【题型7 实数的混合运算】
(cid:15)(cid:135)7(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:208)(cid:259)(cid:233)(cid:331)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:49)(cid:34)(cid:10)2 +| 6| ( ) (cid:70)
3 2
(cid:15)(cid:207)(cid:74)7-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:332)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:49)(cid:34)(cid:10)( 2− ) − | −3 2|+ 8= (cid:70)
2025
(cid:15)(cid:207)(cid:74)7-2(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:247)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79) 9+| −12|×(− 1)− 3 125= (cid:70)
2024
(cid:15)(cid:207)(cid:74)7-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:282)(cid:216)(cid:171)(cid:127)·(cid:258)(cid:259)(cid:90)(cid:274)·(cid:299)(cid:300)(cid:271)(cid:272)(cid:79)(cid:146)1(cid:93)−(cid:103)“(cid:333)(cid:334)−(cid:335)1(cid:336)”(cid:202)−(cid:85)(cid:337)(cid:338)(cid:40)(cid:339)(cid:111)(cid:40)(cid:340)(cid:121)(cid:146)(cid:341)(cid:166)(cid:342)(cid:229)(cid:343)
(cid:344)“(cid:345)(cid:346)”(cid:70)(cid:237)(cid:239)(cid:93)(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:85)(cid:352)(cid:181)(cid:129)(cid:174)(cid:232)“(cid:345)(cid:346)”(cid:277)(cid:146)(cid:29)“(cid:343)(cid:344)(cid:353)(cid:354)”(cid:70)(cid:163)(cid:158)(cid:85)(cid:237)(cid:239)(cid:355)(cid:174)(cid:232)(cid:93)(cid:99)(cid:356)(cid:23)(cid:85)“(cid:345)(cid:346)”
教(cid:29)(cid:106)(cid:280)(cid:190)(cid:28)(cid:27)x(cid:357)(cid:51)(cid:85)(cid:159)(cid:358)(cid:359)(cid:81)(cid:46)| |= 5(cid:70)
辅
资
源
，
(cid:40)(cid:339)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:266)(cid:10)“(cid:288)(cid:363)关(cid:364)x(cid:29)(cid:143)(cid:59)(cid:365)𝑥(cid:84)−33+ 5(cid:88)”
注
公
众
号
(cid:40)(cid:340)(cid:366)(cid:203)(cid:367)(cid:368)(cid:170)(cid:266)(cid:369)(cid:10)“(cid:65)(cid:132)(cid:85)(cid:288)(cid:363)(cid:364)(cid:187)(cid:57)★(cid:119)(cid:107)全(cid:84)(cid:370)(cid:93)(cid:99)(cid:143)(cid:70)”
科
A
A
+(cid:371)(cid:372)(cid:40)(cid:340)(cid:277)(cid:266)(cid:29)(cid:370)(cid:93)(cid:99)(cid:143)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
A(cid:70) 5 B(cid:70) + 5
C(cid:70)3− 5 D(cid:70)−(cid:75)3(cid:127)(cid:126)(cid:65)(cid:132)
【题型
−8 3 −
程序设计与实数运算】
(cid:15)(cid:135)8(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:209)(cid:311)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)(cid:281)(cid:84)(cid:93)(cid:99)(cid:27)(cid:143)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:78)| |<25(cid:79)
𝑥
(1)(cid:195)(cid:376)(cid:377)(cid:29)x(cid:114) (cid:197)(cid:85)(cid:376)(cid:97)(cid:29)y(cid:143)(cid:84)______(cid:88)
(2)(cid:136)(cid:376)(cid:377)(cid:28)(cid:27)x−(cid:170)1(cid:85)4(cid:378)(cid:352)(cid:376)(cid:65)(cid:97)y(cid:143)(cid:85)(cid:138)(cid:277)(cid:57)(cid:358)(cid:359)(cid:379)(cid:192)(cid:29)x(cid:29)(cid:143)(cid:114)______(cid:88)
(3)(cid:136)(cid:376)(cid:97)(cid:29)y(cid:84) 5(cid:85)(cid:192)x(cid:29)(cid:122)(cid:54)(cid:27)(cid:143)(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)8-1(cid:22)(cid:78)23-24(cid:282)(cid:216)(cid:171)(cid:127)·(cid:380)(cid:381)(cid:331)(cid:382)(cid:383)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:118)(cid:86)(cid:281)(cid:277)(cid:109)(cid:29)(cid:45)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:85)(cid:107)(cid:384)(cid:376)(cid:97)(cid:29)(cid:198)(cid:310)(cid:114)2(cid:29)(cid:84)(cid:78)(cid:385)(cid:385)(cid:79)
A(cid:70) =2(cid:85) =2 B(cid:70) = 5(cid:85) = C(cid:70) = 5(cid:85) =1 D(cid:70) = (cid:85) =
(cid:15)(cid:207)(cid:74)𝑥8-2(cid:22)(cid:78)𝑦24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)𝑥(cid:53)·(cid:283)(cid:284)(cid:332)𝑦 (cid:316)−·(cid:299)1(cid:300)(cid:271)(cid:272)𝑥(cid:79)(cid:146)−(cid:86)(cid:281)(cid:277)𝑦(cid:109)(cid:29)(cid:45)(cid:34)(cid:46)𝑥(cid:47)(cid:202)−(cid:85)2(cid:376)𝑦(cid:377) (cid:29)−2(cid:143)(cid:84)64(cid:197)(cid:85)(cid:376)(cid:97)(cid:29)
(cid:143)(cid:84) (cid:70) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:207)(cid:74)8-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:323)(cid:284)(cid:323)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:57)(cid:93)(cid:99)(cid:27)(cid:143)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:85)(cid:48)(cid:51)(cid:29)(cid:376)(cid:377)(cid:143)(cid:114)0(cid:174)100(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:85)(cid:386)(cid:46)
(cid:86)(cid:281)(cid:88)(cid:195)(cid:376)(cid:97) (cid:143)(cid:114) 2(cid:197)(cid:85)(cid:376)(cid:377)(cid:29)x(cid:143)(cid:84) (cid:70)
𝑦
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+【题型9 新定义下的实数运算】
1 1 1 1
(cid:15)(cid:135)9(cid:22)(cid:288)(cid:239)(cid:240) (cid:113)(cid:114)(cid:57)(cid:26)(cid:27) ( 1)(cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:85)(cid:86)(cid:10)2(cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:84) = (cid:85)-2(cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:84) = (cid:70)(cid:86)
( ) 3
1−𝑎 𝑎 𝑎≠ 1−2 −1 1− −2
(cid:310) = (cid:85) (cid:84) (cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:85) (cid:84) (cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:85) (cid:84) (cid:29)(cid:387)(cid:139)(cid:27)(cid:85)…(cid:85)(cid:102)(cid:185)(cid:115)(cid:388)(cid:85)(cid:371)(cid:372) + + +
𝑎1 −3 𝑎+ 2 𝑎1 (cid:29)(cid:143)(cid:84)(cid:78)𝑎 3 (cid:79)𝑎2 𝑎4 𝑎3 𝑎1−𝑎2 𝑎3−𝑎4 ⋯⋯
𝑎202 A 3 (cid:70) −𝑎2 1 0 3 24 𝑎2025 B(cid:70) C(cid:70) 11 D(cid:70) 23
12 4 12
− −3 −
(cid:15)(cid:207)(cid:74)9-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:253)(cid:201)(cid:389)(cid:390)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:231)(cid:132)(cid:28)(cid:27) (cid:85) (cid:51)(cid:52)(cid:93)(cid:77)(cid:45)(cid:34)(cid:10) ※ = (cid:85)(cid:138) 4※3 (cid:87)
(cid:181)(cid:78) (cid:79) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏−𝑏 −8
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70)2 D(cid:70)6
(cid:15)(cid:207)(cid:74)−9-62(cid:22)(cid:78)23-24(cid:245)(cid:216)(cid:171)−(cid:53)2·(cid:391)(cid:259)(cid:392)(cid:339)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:60)“*”(cid:108)(cid:109)(cid:93)(cid:77)(cid:50)(cid:45)(cid:34)(cid:10)(cid:132)(cid:181)(cid:140)(cid:105)(cid:121)(cid:28)(cid:27)a(cid:85)b(cid:126)(cid:57) =
+ (cid:70)(cid:135)(cid:86)4 9= 9+4=7(cid:85)(cid:371)(cid:372)15 64= (cid:70) 𝑎∗𝑏 𝑏
(cid:15)𝑎(cid:207)(cid:74)9-3(cid:22)∗(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:208)(cid:209)(cid:304)(cid:305)∗(cid:306)(cid:307)(cid:171)(cid:308)(cid:106)·(cid:299)(cid:300)(cid:271)(cid:272)(cid:79)(cid:288)(cid:239)(cid:240) ={ }(cid:68)(cid:393)(cid:44)M(cid:85)(cid:394)(cid:202)1(cid:85)3(cid:85)x
(cid:68)(cid:69)(cid:393)(cid:44)M(cid:29)(cid:214)(cid:395)(cid:70)(cid:393)(cid:44)(cid:202)(cid:29)(cid:214)(cid:395)(cid:396)(cid:57)(cid:189)(cid:51)(cid:35)(cid:78)(cid:86)x(cid:397)(cid:163)(cid:398)(cid:146)(cid:79)(cid:85)(cid:137)(cid:399)𝑀(cid:35)(cid:78)(cid:86)1,3,𝑥 1(cid:85) 3(cid:79)(cid:85)(cid:25)(cid:47)(cid:35)(cid:78)(cid:145)
(cid:400)(cid:207)(cid:214)(cid:395)(cid:29)(cid:165)(cid:47)(cid:85)(cid:393)(cid:44)(cid:65)(cid:207)(cid:79)(cid:70)(cid:136)(cid:393)(cid:44) ={ }(cid:85)(cid:288)(cid:239)(cid:266) = (cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:393)(cid:44)𝑥=≠{0,|𝑥|≠}(cid:85)(cid:393)(cid:44) =
(cid:85)(cid:136) = (cid:85)(cid:138) + (cid:29)(cid:143)(cid:84)𝑁(cid:78) (cid:79)𝑥,1,3 𝑀 𝑁 𝐴 𝑥 ,𝑦 𝐵
𝑥,𝑥A𝑦(cid:70), 𝑥4−𝑦 𝐴 𝐵B(cid:70)2𝑥 𝑦 C(cid:70)0 D(cid:70)
【题型10 无理数整数部分的有关计算】 −2
(cid:15)(cid:135)10(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:254)(cid:278)(cid:254)(cid:381)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:401)(cid:259)(cid:84)(cid:202)(cid:269)(cid:217)(cid:238)(cid:402)(cid:60)(cid:403)(cid:404)(cid:21)(cid:261)(cid:29)(cid:93)(cid:77)(cid:405)(cid:259)(cid:406)(cid:396)(cid:85)(cid:86)(cid:281)(cid:85)(cid:401)(cid:259)(cid:29)
(cid:73)(cid:407)(cid:408)(cid:93)(cid:240)(cid:409)(cid:410)(cid:85)(cid:321)(cid:29)(cid:233)(cid:411)(cid:37)(cid:169)(cid:39)(cid:412)(cid:411)(cid:100)(cid:41)(cid:114) 26 (cid:85)(cid:136) 26 (cid:413)(cid:181)(cid:98)(cid:99)(cid:322)(cid:414)(cid:54)(cid:27)n(cid:111) +1(cid:100)(cid:101)(cid:85)(cid:138)n(cid:29)
(cid:143)(cid:84) (cid:70) −1 −1 𝑛
(cid:15)(cid:207)(cid:74)10-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:258)(cid:209)(cid:415)(cid:283)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)(cid:281)(cid:85)(cid:416)(cid:233)(cid:114)8(cid:85)(cid:412)(cid:114)4(cid:29)(cid:233)(cid:81)(cid:73)(cid:417)(cid:367)(cid:56)(cid:418)(cid:110)3(cid:99)(cid:419)(cid:234)(cid:73)
(cid:170)(cid:85)(cid:420)(cid:421)(cid:422)(cid:110)(cid:93)(cid:99)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:85)(cid:138)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:183)(cid:233)(cid:169)(cid:287)(cid:193)(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A(cid:70)4 B(cid:70)5 C(cid:70)6 A + D(cid:70)7(cid:15)(cid:207)(cid:74)10-2(cid:22)(cid:78)23-24(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:258)(cid:209)(cid:423)(cid:286)·(cid:249)(cid:250)(cid:79)(cid:136) 6+ 5(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:84)m(cid:85)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:84)n(cid:85)(cid:138)| |(cid:114)
(cid:78) (cid:79) 𝑛−𝑚
A(cid:70) 5 B(cid:70) 5 C(cid:70) 5 D(cid:70)8
(cid:15)(cid:207)(cid:74)10-−3(cid:22)10(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)1(cid:171)0(cid:53)−·(cid:254)(cid:278)(cid:424)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:425)(cid:426)−(cid:427)2 (cid:428)(cid:10)(cid:93)(cid:99)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:65)(cid:39)(cid:181)(cid:241)(cid:99)(cid:27)(cid:29)(cid:169)(cid:39)(cid:54)
(cid:27)(cid:85)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)(cid:241)(cid:99)(cid:27)(cid:37)(cid:321)(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:29)(cid:387)(cid:29)(cid:142)(cid:132)(cid:143)(cid:70)(cid:135)(cid:86)(cid:10)1.4(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)1(cid:85)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)
=0.4(cid:88) 3(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)1(cid:85)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114) 3 (cid:88)(cid:168)(cid:86)(cid:85) (cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114) (cid:85)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:56)(cid:114)
1|.4−1 ( )|=0.2(cid:70)(cid:190)(cid:185)(cid:364)(cid:174)(cid:10)(cid:136) 3= + (cid:85)(cid:394)−(cid:202)1 x(cid:84)(cid:54)(cid:27)−(cid:85)3(cid:159).80< <1(cid:85)(cid:138)−4=1(cid:85) = 3 (cid:70)(cid:83)(cid:429)
(cid:427)−(cid:428)3.8(cid:85)−(cid:430)−(cid:431)4(cid:53)(cid:205)(cid:432)(cid:23)(cid:10) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 −1
(1)(cid:136) 10= + (cid:85)(cid:394)(cid:202)m(cid:84)(cid:54)(cid:27)(cid:85)(cid:159)0< <1(cid:85)(cid:138) = (cid:85) = (cid:88)
(2)(cid:136) =𝑚+ 𝑛26(cid:85)(cid:394)(cid:202)a(cid:84)(cid:54)(cid:27)(cid:85)(cid:159)0<𝑛 <1(cid:85)(cid:192)𝑚| + | ( 𝑛 )(cid:29)(cid:143)(cid:88)
(3)(cid:136)8−𝑎17𝑏= + (cid:85)(cid:394)(cid:202)p(cid:84)(cid:54)(cid:27)(cid:85)(cid:159)0<𝑏<1(cid:85)(cid:192) 𝑎 (cid:29)𝑏(cid:143)−(cid:70)𝑏−1
【题型
4−11
实数
𝑝
运算
𝑞
的实际应用】
𝑞 𝑝−𝑞
(cid:15)(cid:135)11(cid:22)(cid:86)(cid:281)(cid:85)(cid:233)(cid:81)(cid:73) (cid:29)(cid:233)(cid:114)2cm(cid:85)(cid:412)(cid:114)1cm(cid:70)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:78)1(cid:79)(cid:416)(cid:233)(cid:81)(cid:73) (cid:151)(cid:152)(cid:164)(cid:195)(cid:29)(cid:56)(cid:418)(cid:78)(cid:433)(cid:97)(cid:56)(cid:418)(cid:235)(cid:79)(cid:85)(cid:384)(cid:56)(cid:418)(cid:170)(cid:29)(cid:281)(cid:73)(cid:107)(cid:422)(cid:110)(cid:93)(cid:99)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:85)(cid:320)(cid:433)(cid:97)(cid:277)(cid:422)(cid:29)
(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:88)(cid:78)(cid:116)(cid:97)𝐴(cid:3)𝐵𝐶(cid:434)𝐷(cid:128)(cid:111)(cid:27)(cid:429)(cid:79)
(cid:78)2(cid:79)(cid:192)(cid:277)(cid:422)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:29)(cid:183)(cid:233)(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)11-1(cid:22)(cid:214)(cid:435)(cid:249)(cid:101)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:388)(cid:97)“(cid:125)(cid:358)100(cid:214)(cid:154)50(cid:214)”(cid:29)(cid:335)(cid:336)((cid:41)(cid:86)(cid:10)(cid:436)(cid:439)(cid:440)(cid:441)(cid:442)230(cid:214)(cid:85)(cid:237)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)130
(cid:214))(cid:85)(cid:437)(cid:438)(cid:447)(cid:448)(cid:138)(cid:449)(cid:450)“(cid:167)(cid:451)9(cid:452)(cid:85)(cid:168)(cid:125)(cid:358)100(cid:214)(cid:154)50(cid:214)”(cid:29)(cid:453)(cid:454)(cid:70)(cid:297)(cid:167)(cid:455)(cid:84)(cid:437)(cid:438)(cid:447)(cid:448)(cid:85)(cid:456)(cid:441)(cid:457)(cid:93)(cid:458)(cid:116)(cid:459)320
(cid:214)(cid:29)(cid:127)(cid:460)(cid:85)(cid:237)(cid:169)(cid:461)(cid:445)(cid:446) (cid:214)(cid:70)
(cid:15)(cid:207)(cid:74)11-2(cid:22)(cid:202)(cid:269)(cid:462)(cid:463)(cid:464)(cid:465)(cid:466)(cid:467)(cid:202)(cid:468)(cid:469)(cid:85)(cid:470)(cid:217)(cid:197)(cid:249)(cid:85)(cid:238)(cid:239)(cid:188)(cid:131)(cid:146)(cid:471)(cid:227)(cid:127)(cid:451)(cid:198)(cid:129)(cid:49)(cid:27)(cid:85)(cid:145)“(cid:198)(cid:471)(cid:49)(cid:27)”(cid:70)(cid:86)(cid:281)(cid:85)
(cid:93)(cid:106)(cid:472)(cid:473)(cid:146)(cid:172)(cid:175)(cid:174)(cid:173)(cid:102)(cid:103)(cid:474)(cid:205)(cid:29)(cid:471)(cid:227)(cid:127)(cid:451)(cid:198)(cid:85)(cid:358)5(cid:151)1(cid:85)(cid:60)(cid:129)(cid:468)(cid:475)(cid:476)(cid:227)(cid:477)(cid:97)(cid:455)(cid:170)(cid:29)(cid:301)(cid:27)(cid:70)(cid:190)(cid:281)(cid:119)(cid:276)(cid:85)(cid:476)(cid:227)(cid:477)
(cid:97)(cid:455)(cid:170)(cid:29)(cid:301)(cid:27)(cid:84)(cid:78) (cid:79)
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+A(cid:70)10 B(cid:70)89 C(cid:70)165 D(cid:70)294
(cid:15)(cid:207)(cid:74)11-3(cid:22)(cid:78)2023·(cid:208)(cid:259)(cid:233)(cid:331)·(cid:93)(cid:210)(cid:79)(cid:19)(cid:93)(cid:478)(cid:479)(cid:127)(cid:480)(cid:170)(cid:85)(cid:114)(cid:232)(cid:108)(cid:481)(cid:146)(cid:482)(cid:249)(cid:102)(cid:483)(cid:484)(cid:204)(cid:485)(cid:110)(cid:27)(cid:11)(cid:261)(cid:329)(cid:29)(cid:40)(cid:486)(cid:111)(cid:40)
(cid:487)(cid:166)(cid:11)(cid:85)(cid:27)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:357)(cid:51)(cid:146)(cid:436)(cid:186)(cid:490)(cid:161)(cid:491)(cid:127)(cid:128)2(cid:492)(cid:308)(cid:459)(cid:126)(cid:84)16(cid:214)(cid:29)(cid:493)(cid:494)(cid:495)(cid:496)(cid:237)(cid:239)(cid:70)(cid:172)(cid:493)(cid:494)(cid:497)(cid:174)(cid:11)(cid:479)(cid:29)(cid:125)(cid:498)(cid:499)(cid:308)
(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:126)(cid:114)1.6(cid:214)(cid:85)(cid:190)(cid:181)(cid:27)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:84)(cid:365)(cid:161)(cid:491)(cid:29)(cid:447)(cid:448)(cid:85)(cid:503)(cid:185)(cid:125)(cid:308)(cid:126)(cid:119)(cid:75)(cid:384)(cid:60)(cid:93)(cid:99)(cid:161)(cid:491)(cid:504)(cid:501)(cid:29)5(cid:214)(cid:161)(cid:491)(cid:505)(cid:506)(cid:132)(cid:125)
(cid:498)(cid:499)(cid:308)(cid:29)(cid:184)(cid:459)(cid:154)(cid:507)5(cid:214)(cid:78)(cid:499)(cid:308)(cid:184)(cid:459)(cid:65)(cid:95)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:85)(cid:166)(cid:93)(cid:499)(cid:308)(cid:443)(cid:508)(cid:509)(cid:384)(cid:60)(cid:93)(cid:99)(cid:505)(cid:506)(cid:79)(cid:70)(cid:510)(cid:83)(cid:429)(cid:365)(cid:493)(cid:494)(cid:497)(cid:29)(cid:453)(cid:454)
(cid:335)(cid:336)(cid:85)(cid:195)(cid:499)(cid:308)(cid:184)(cid:459)(cid:78)(cid:65)(cid:95)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:79)(cid:358)30(cid:214)(cid:197)(cid:85)5(cid:214)(cid:29)(cid:161)(cid:491)(cid:505)(cid:506)(cid:119)(cid:511)(cid:374)(cid:114)(cid:93)(cid:99)7(cid:214)(cid:29)(cid:497)(cid:338)(cid:505)(cid:506)(cid:85)(cid:145)(cid:119)(cid:75)(cid:512)(cid:499)
(cid:308)(cid:184)(cid:459)(cid:78)(cid:65)(cid:95)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:79)(cid:154)(cid:507)7(cid:214)(cid:195)(cid:27)(cid:11)(cid:488)(cid:489)(cid:166)(cid:197)(cid:128)(cid:232)2(cid:492)(cid:493)(cid:494)(cid:117)(cid:513)(cid:53)(cid:308)(cid:445)(cid:446)(cid:197)(cid:85)(cid:40)(cid:486)(cid:166)(cid:11)(cid:266)(cid:10)“(cid:488)(cid:489)(cid:85)(cid:288)(cid:239)
(cid:119)(cid:75)(cid:374)(cid:93)(cid:77)(cid:53)(cid:308)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:453)(cid:454)(cid:514)(cid:104)(cid:515)”(cid:243)(cid:166)(cid:11)(cid:239)(cid:56)(cid:516)(cid:40)(cid:486)(cid:166)(cid:11)(cid:29)(cid:53)(cid:308)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:320)(cid:49)(cid:34)(cid:97)(cid:517)(cid:103)(cid:186)(cid:490)(cid:184)(cid:502)(cid:60)(cid:78)(cid:506)(cid:95)(cid:500)
(cid:501)(cid:502)(cid:79)(cid:169)(cid:461)(cid:119)(cid:114) (cid:214)(cid:70)
【题型12 与实数运算相关的规律题】
(cid:15)(cid:135)12(cid:22)(cid:518)(cid:519)(cid:53)(cid:205)(cid:87)(cid:74)(cid:85)(cid:320)(cid:430)(cid:431)(cid:432)(cid:23)(cid:10)
| 2|= 2 (cid:88)
①|1−2 3|= −31 2(cid:88)
②| 3− 4|= 4− 3(cid:88)
③| 4− 5|= 5− 4(cid:88)
④…… − −
(1)(cid:243)(cid:96)(cid:97)(cid:520) (cid:99)(cid:87)(cid:74)(cid:10)______(cid:85)(cid:294)(cid:309)(cid:10)| 35 |=______(cid:88)
(2)(cid:96)(cid:97)(cid:244)(cid:521)⑤(cid:456)(cid:29)(cid:520)n(cid:99)(cid:87)(cid:74)(cid:10)______(cid:88)(cid:78)(cid:60)(cid:95)−6n(cid:29)(cid:74)(cid:227)(cid:108)(cid:109)(cid:79)
24
(3)(cid:41)(cid:42) (cid:37)1(cid:29)(cid:39)(cid:40)(cid:70)
4
−1
(cid:15)(cid:207)(cid:74)12-1(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)·(cid:522)(cid:523)(cid:524)(cid:316)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:288)(cid:239)(cid:62)(cid:51)(cid:93)(cid:99)(cid:50)(cid:27)“ ”(cid:85)(cid:93)(cid:182)(cid:57)(cid:26)(cid:27)(cid:119)(cid:75)(cid:37)(cid:50)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:20)(cid:138)(cid:45)
(cid:34)(cid:85)(cid:159)(cid:525)(cid:57)(cid:29)(cid:45)(cid:34)(cid:63)(cid:111)(cid:45)(cid:34)(cid:179)(cid:138)(cid:162)(cid:163)(cid:110)(cid:160)(cid:85) = = = =𝑖 = = ×( )=1(cid:85)(cid:371)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:372) + + + + + = (cid:70)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:207)(cid:74)𝑖12-2𝑖(cid:22)(cid:78)⋯24-2𝑖5(cid:245)(cid:216)(cid:171)𝑖(cid:53)·(cid:208)(cid:209)(cid:526)(cid:527)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:86)(cid:281)(cid:85)(cid:188)(cid:131)(cid:433)(cid:183)(cid:233)(cid:114)1(cid:29)(cid:121)(cid:81)(cid:73)(cid:85)(cid:267)(cid:107)(cid:117)(cid:189)(cid:29)(cid:240) 2(cid:108)(cid:109)(cid:146)
(cid:27)(cid:38)(cid:127)(cid:128) (cid:528)(cid:85)(cid:468) (cid:175)(cid:314)(cid:169)(cid:193)(cid:29)(cid:54)(cid:27)(cid:128)(cid:114) (cid:85)(cid:75)(cid:128) (cid:114)(cid:89)(cid:529)(cid:85) (cid:530)(cid:531)(cid:433)(cid:530)(cid:89)(cid:85)(cid:532)(cid:27)(cid:38)(cid:181)(cid:128) (cid:85)(cid:468) (cid:175)(cid:314)
(cid:169)(cid:193)(cid:29)(cid:54)(cid:27)𝐴1(cid:128)(cid:114) 𝐴(cid:85)1(cid:75)(cid:128) (cid:114)(cid:89)(cid:529)(cid:85) 𝐵(cid:114)1(cid:530)(cid:531)(cid:433)𝐵(cid:530)1(cid:89)(cid:85)(cid:532)(cid:27)𝐴(cid:38)1(cid:181)𝐵1(cid:128) (cid:85)(cid:86)(cid:185)(cid:533)(cid:414)(cid:85)(cid:138) 𝐴2(cid:29)(cid:233)(cid:114)𝐴2(cid:78) (cid:79)
教
𝐵2 𝐵2 𝐴2𝐵2 𝐴3 𝐴11𝐵11
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+A(cid:70) 2 B(cid:70) 2 C(cid:70) 2 D(cid:70) 2+1
(cid:15)(cid:207)(cid:74)21−2-3(cid:22)(cid:78)24-25(cid:245)(cid:216)(cid:171)(cid:53)−1·(cid:258)(cid:209)(cid:297)(cid:338)(cid:274)·(cid:249)(cid:202)(cid:79)(cid:132)(cid:181)(cid:28)(cid:27) (cid:85)(cid:288)(cid:239)(cid:62)(cid:51)(cid:10)(cid:60){ }(cid:108)(cid:109)(cid:65)(cid:40)(cid:181) (cid:29)(cid:169)(cid:40)(cid:54)
𝑝 (cid:520)1(cid:103) (cid:520)2𝑝(cid:103) (cid:520)3(cid:103)𝑝
(cid:27)(cid:70)(cid:135)(cid:86)(cid:10){ 4}=2(cid:85){ 3}=2(cid:70)(cid:231)(cid:146)(cid:132)72(cid:151)(cid:152)(cid:86)(cid:53)(cid:534)(cid:261)(cid:10)72 { 72}=9 { 9}=3 { 3}=2(cid:85)
(cid:145)(cid:132)72(cid:443)(cid:444)(cid:151)(cid:152)3(cid:103)(cid:534)(cid:261)(cid:267)(cid:207)(cid:114)2(cid:70)(cid:115)(cid:41)(cid:127)(cid:535)(cid:534)(cid:261)(cid:85)(cid:136)(cid:132)(cid:121)(cid:54)(cid:27)→(cid:443)(cid:444)(cid:151)(cid:152)3(cid:103)→(cid:534)(cid:261)(cid:267)(cid:207)(cid:114)2→(cid:85)(cid:138) (cid:29)(cid:169)(cid:39)
(cid:143)(cid:114) (cid:70) 𝑛 𝑛
教
辅
资
源
，
关
注
公
众
号
★
全
科
A
A
+
