文档文本内容
专题 2.1 锐角的三角比（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:19)................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:19)............................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:19)....................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:53)(cid:54)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:35)(cid:55)(cid:19)........................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:33)(cid:56)(cid:19)........................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:57)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:3)(cid:62)(cid:19)....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:63)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:38)(cid:19)........................................................................................................................8
知识点1 锐角的三角比
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:68)
(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) C=90°(cid:73)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:63)(cid:33) A (cid:27)(cid:78)(cid:40)(cid:44)(cid:79)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:81) A(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:82)(cid:83)sin (cid:73)(cid:84)
sin = (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠ 𝐴
𝒂
𝐴 𝒄
(cid:77)(cid:63)(cid:33)A(cid:27)(cid:86)(cid:40)(cid:44)(cid:79)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:81) A(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:73)(cid:82)(cid:83)cos (cid:73)(cid:84)cos = (cid:85)
𝒃
(cid:77)(cid:63)(cid:33)A(cid:27)(cid:78)(cid:40)(cid:44)(cid:86)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:81)∠ A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:73)(cid:82)(cid:83)tan 𝐴 (cid:73)(cid:84)tan 𝐴 = 𝒄 (cid:85)
𝒂
(cid:77)(cid:63)(cid:33)A(cid:27)(cid:86)(cid:40)(cid:44)(cid:78)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:81) ∠ A(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:73)(cid:82)(cid:83)tan 𝐴 (cid:73)(cid:84)cot 𝐴 = 𝒃 (cid:85)
𝒃
∠ 𝐴 𝐴 𝒂
2. (cid:63)(cid:33)A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:63)(cid:33)A(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:85)
3. (cid:39)(cid:89)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:90)(cid:89)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:73)(cid:71)(cid:95)(cid:48)0<sin <1(cid:96)0<cos <1(cid:73)tan >0(cid:85)
𝐴 𝐴 𝐴
知识点2 特殊角的三角比的值
1. (cid:97)(cid:98)(cid:63)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:99)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:66)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:10)30° 45° 60°
(cid:34)(cid:33)(cid:47)
𝛂
1 2 3
sin
2 2 2
𝛼 3 2 1
cos
2 2 2
𝛼
3
tan 1 3
3
𝛼
3
cot 3 1
3
𝛼
知识点3 锐角的三角比间的关系
(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) C=90°(cid:73) ， (cid:73) (cid:27)(cid:78)(cid:40)(cid:105)(cid:106)(cid:107)a(cid:73)b(cid:73)c(cid:85)(cid:39)(cid:108)(cid:109)(cid:67)(cid:110)(cid:101)(cid:102) + = (cid:85)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:58)1(cid:60)(cid:57)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:111)(cid:27)(cid:3)(cid:62)(cid:10)sin +cos =( ) +( ) = =1(cid:85)
2 2 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 2 +𝑏 2
2
𝐴 sin 𝐴 𝑐 𝑐 𝑐
(cid:58)2(cid:60)tan (cid:44)sin (cid:73)cos (cid:111)(cid:27)(cid:3)(cid:62)(cid:10) = = =tan
cos 𝑎
𝐴 𝑐 𝑎
𝑏
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝑐 𝑏 𝐴
【题型1 正弦、余弦、正切、余切的概念辨析】
(cid:15)(cid:112)1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:74) (cid:36)(cid:73) (cid:24) (cid:24) (cid:105)(cid:106)(cid:88) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:78)(cid:40)(cid:73)(cid:122) + =
2 2
(cid:73)(cid:123)(cid:124)(cid:22)(cid:125)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:88)(cid:58) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏
2
𝑐 A(cid:85) sin = B(cid:85) cos = C(cid:85) tan = D(cid:85) tan =
(cid:15)(cid:128)(cid:129)𝑐1⋅-1(cid:19)𝐴(cid:58)24𝑎-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑐⋅(cid:116)·(cid:130)𝐵(cid:131)(cid:132)𝑏(cid:133)·(cid:121)(cid:134)(cid:60)(cid:135)𝑏R⋅t 𝐴 (cid:27)𝑎(cid:79)(cid:40)(cid:99)(cid:32)(cid:33)𝑎(cid:40)⋅ (cid:87)(cid:136)𝐵(cid:90)(cid:137)𝑏(cid:138)(cid:139)(cid:27) (cid:140)(cid:73)(cid:141)(cid:142)(cid:63)(cid:33)
(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:38)(cid:58) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶 𝑛 𝐴
1
A(cid:85)(cid:87)(cid:136)(cid:90)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:27) (cid:140) B(cid:85)(cid:87)(cid:143)(cid:144)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:27)
C(cid:85)(cid:145)(cid:48)(cid:128)(cid:146) 𝑛 D(cid:85)(cid:147)(cid:48)tan (cid:148)(cid:149)(cid:128) 𝑛 (cid:146)
(cid:15)(cid:128)(cid:129)1-2(cid:19)(cid:58)2024·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)·(cid:93)(cid:154)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73)𝐴 =90°(cid:73) (cid:107)(cid:40) (cid:116)(cid:93)(cid:155)(cid:73)(cid:156)(cid:155) (cid:83)
(cid:73)(cid:157)(cid:158)(cid:107) (cid:73)(cid:123)(cid:103)(cid:159)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:22)(cid:125)(cid:27)(cid:88)(cid:58) Δ (cid:60)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸
A(cid:85)sin = B(cid:85)cos = C(cid:85)tan = D(cid:85)tan =
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:128)(cid:129)1-3𝐴(cid:19)(cid:58)𝐴 2 𝐵 4-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)𝐴·(cid:160)(cid:161)𝐴𝐷(cid:160)(cid:162)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:69)𝐴 (cid:70)𝐴(cid:73)𝐷(cid:155)A(cid:107) (cid:40)(cid:116)(cid:27)𝐴(cid:91)(cid:92)𝐵(cid:93)𝐶 (cid:155)(cid:73)(cid:83) (cid:89)(cid:155)C(cid:73)
(cid:89)(cid:155)D(cid:73)(cid:103)(cid:159)(cid:167)(cid:168)(cid:164)(cid:47)(cid:104)(cid:72)sin (cid:27)(cid:38)(cid:73)(cid:169)(cid:170)(cid:27)(cid:88)(cid:58)(cid:171)(cid:171)(cid:60)∠𝛼 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝛼A(cid:85) B(cid:85) C(cid:85) D(cid:85)
𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切、余切的值】
(cid:15)(cid:112)2(cid:19)(cid:58)23-24(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:116)(cid:172)(cid:173)(cid:174)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:74) (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73) =2(cid:73) =3(cid:73)(cid:123) (cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:38)
(cid:107) (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐴
(cid:15)(cid:128)(cid:129)2-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:174)(cid:175)(cid:175)(cid:176)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73) =1(cid:73) =2(cid:73)tan (cid:27)(cid:38)
(cid:107)(cid:58) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴
1 5 2 5
A(cid:85) B(cid:85) C(cid:85) D(cid:85)2
2 5 5
(cid:15)(cid:128)(cid:129)2-2(cid:19)(cid:58)2025·(cid:116)(cid:172)(cid:177)(cid:178)·(cid:93)(cid:154)(cid:60)(cid:74)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:48)(cid:93)(cid:155) (3,1)(cid:73)(cid:141)(cid:142) (cid:44)x(cid:182)(cid:22)(cid:183)(cid:182)(cid:184)(cid:33)(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:38)
(cid:88) (cid:85) 𝑃 𝑂𝑃
(cid:15)(cid:128)(cid:129)2-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)6×6(cid:27)(cid:22)(cid:189)(cid:35)(cid:190)(cid:191)(cid:36)(cid:73) (cid:27)(cid:192)(cid:155)(cid:87)(cid:74)(cid:144)
(cid:22)(cid:189)(cid:35)(cid:27)(cid:192)(cid:155)(cid:116)(cid:73)(cid:123)sin (cid:27)(cid:38)(cid:88)(cid:58) (cid:60) △𝐴𝐵𝐶
∠𝐵𝐴𝐶
3 4 3
A(cid:85)1 B(cid:85) C(cid:85) D(cid:85)
4 3 5
【题型3 由正弦、余弦、正切、余切的值求边长】
12
(cid:15)(cid:112)3(cid:19)(cid:58)22-23(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:185)(cid:186)(cid:186)(cid:160)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73)(cid:122) =90°(cid:73)cos = (cid:73) =24(cid:73)(cid:123)
13
(cid:41)(cid:107) (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:128)(cid:129)3-1(cid:19)(cid:58)2024·(cid:193)(cid:174)(cid:194)(cid:176)·(cid:195)(cid:154)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:93)(cid:97)3m(cid:41)(cid:27)(cid:196)(cid:197)AB(cid:79)(cid:198)(cid:74)(cid:199)(cid:32)(cid:27)(cid:200)(cid:116)(cid:73)(cid:201)(cid:202)(cid:200)(cid:103)(cid:203)(cid:73)(cid:155)A(cid:103)
(cid:203)(cid:204)(cid:155) (cid:73)(cid:155)B(cid:205)(cid:204)(cid:155) (cid:73)(cid:206) = (cid:73) = (cid:73)(cid:123) =(cid:58) (cid:60).
′ ′ ′ ′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 𝛼 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝛽 𝐴𝐴A(cid:85)(3sin sin )m B(cid:85)(3cos cos )m
3 𝛼−33 𝛽 𝛼−3 𝛽
C(cid:85)( )m D(cid:85)(3tan tan )m
tan tan
𝛼− 𝛽 𝛼−3 𝛽
3
(cid:15)(cid:128)(cid:129)3-2(cid:19)(cid:58)2023·(cid:116)(cid:172)(cid:207)(cid:178)·(cid:34)(cid:154)(cid:60)(cid:69)(cid:208)(cid:93)(cid:209)(cid:210)(cid:35)(cid:27)(cid:180)(cid:211)(cid:88)40(cid:73)(cid:61)(cid:94)(cid:78)(cid:33)(cid:168)(cid:184)(cid:33)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:38)(cid:88) (cid:73)(cid:141)(cid:142)(cid:212)(cid:27)(cid:93)
4
(cid:94)(cid:78)(cid:33)(cid:168)(cid:41)(cid:88) (cid:85)
(cid:15)(cid:128)(cid:129)3-3(cid:19)(cid:58)2025(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:193)(cid:174)·(cid:213)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73) =6(cid:73) =8(cid:73) (cid:107)
1 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶
(cid:40)(cid:116)(cid:93)(cid:214)(cid:155)(cid:73)(cid:96)tan = (cid:73)(cid:123) (cid:27)(cid:41)(cid:56)(cid:107) (cid:85)
2
∠𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷
【题型4 由正弦、余弦、正切、余切的值求坐标】
(cid:15)(cid:112)4(cid:19)(cid:58)2023·(cid:215)(cid:216)(cid:174)(cid:217)(cid:218)(cid:174)·(cid:195)(cid:154)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:62)(cid:36)(cid:155) (cid:74)(cid:219)(cid:93)(cid:220)(cid:221)(cid:73)(cid:155) (cid:74)x(cid:182)(cid:27)(cid:22)(cid:183)(cid:182)(cid:116)(cid:73)
= =30 (cid:73) =2(cid:73)(cid:135) (cid:222)(cid:155) (cid:223)(cid:224)(cid:73)(cid:122)(cid:155) (cid:225)(cid:74) (cid:182)(cid:116)(cid:73)𝐵(cid:123)(cid:223)(cid:224)(cid:226)(cid:155) (cid:27)(cid:78)𝐴(cid:227)(cid:155) (cid:42)(cid:43)(cid:107) (cid:85)
∘ ′
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐵 𝑂𝐴 △𝐴𝑂𝐵 𝑂 𝐵 𝑦 𝐴 𝐴
(cid:15)(cid:128)(cid:129)4-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:228)(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:229)(cid:176)(cid:230)(cid:131)·(cid:121)(cid:134)(cid:60)(cid:69)(cid:70)1(cid:73)(cid:74)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:73) =90°(cid:85)(cid:67)(cid:68) (cid:27)(cid:78)(cid:40)(cid:44)
𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴
(cid:79)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:83) (cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:73)(cid:82)(cid:83)sin (cid:73)(cid:84)sin = ;(cid:67)(cid:68) (cid:27)(cid:86)(cid:40)(cid:44)(cid:79)(cid:40)(cid:27)(cid:47)(cid:80)(cid:83) (cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:73)(cid:82)(cid:83)cos (cid:73)(cid:84)
𝐵𝐶
∠𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴 𝐴
cos = (cid:85)(cid:69)(cid:70)2(cid:73)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:62)(cid:36)(cid:73)(cid:95)(cid:155)O(cid:107)(cid:231)(cid:232)(cid:73)1(cid:107)(cid:183)(cid:233)(cid:83)(cid:231)(cid:73)A(cid:107)(cid:231)O(cid:116)(cid:27)(cid:93)(cid:155)(cid:73)(cid:96)(cid:234)(cid:89)(cid:219)
𝐴𝐶
𝐴 𝐴𝐵(cid:93)(cid:220)(cid:221)(cid:73)(cid:235)(cid:236) (cid:73) (cid:44)x(cid:182)(cid:27)(cid:22)(cid:183)(cid:182)(cid:27)(cid:184)(cid:33)(cid:107)α(cid:73)(cid:123)(cid:155)A(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:101)(cid:104)(cid:72)(cid:107)(cid:58) (cid:60)
𝑂𝐴 𝑂𝐴
1 1 1 1
A(cid:85)(cid:58)sin (cid:73)cos (cid:60)B(cid:85)(cid:58)cos (cid:73)sin (cid:60) C(cid:85) , D(cid:85) ,
sin cos cos sin
𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 5
(cid:15)(cid:128)(cid:129)4-2(cid:19)(cid:58)23-24(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:130)(cid:131)(cid:237)(cid:188)·(cid:121)(cid:134)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73)tan = (cid:73)(cid:40)
4
(cid:74) (cid:182)(cid:116)(cid:73)(cid:155) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:107)( )(cid:73)(cid:210)(cid:35) (cid:27)(cid:192)(cid:155) (cid:44)(cid:155) (cid:238)(cid:50)△(cid:73)𝐴𝐵(cid:192)𝐶(cid:155) (cid:74)∠(cid:40)𝐴𝐶𝐵 (cid:116)(cid:73)(cid:96)(cid:155) (cid:27)∠𝐵(cid:42)𝐴(cid:43)𝐶(cid:107)(2,1)(cid:73)𝐴𝐶(cid:135)
(cid:210)𝑥(cid:35) (cid:201)𝐴(cid:182)(cid:239)(cid:240)(cid:179)(cid:205)−(cid:73)2,0(cid:241)(cid:155) (cid:225)(cid:74)𝐶𝐷𝐸𝐹(cid:40)(cid:116)(cid:242)(cid:73)𝐹(cid:155) (cid:27)𝑂(cid:42)(cid:43)(cid:107) 𝐷(cid:85) 𝐵𝐶 𝐷
𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑥 𝐷 𝐴𝐵 𝐸
(cid:15)(cid:128)(cid:129)4-3(cid:19)(cid:58)2023·(cid:243)(cid:244)·(cid:36)(cid:245)(cid:246)(cid:20)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:62)(cid:36)(cid:73)(cid:247)(cid:248)(cid:155) (cid:73)(cid:155) (cid:73)(cid:155) (cid:74) (cid:182)(cid:116)(cid:73)
1 𝐴(1,0) 𝐵(0,−3) 𝐶 𝑥
(cid:96)(cid:155) (cid:74)(cid:155) (cid:249)(cid:189)(cid:73)(cid:235)(cid:236) (cid:73) (cid:73)(cid:122)tan = (cid:73)(cid:123)(cid:155) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:107) (cid:85)
3
𝐶 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶
【题型5 与特殊角的三角比有关的混合运算】
(cid:15)(cid:112)5(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:250)(cid:251)(cid:179)(cid:252)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:253)(cid:52) +tan60°+ 2sin cos30°+ (cid:126)(cid:208)(cid:88)(cid:58) (cid:60)
0
A(cid:85)2 B(cid:85) 2 C(cid:85)−11 D4(cid:85)5°−32 𝜋
(cid:15)(cid:128)(cid:129)5-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:254)(cid:255)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:253)(cid:52) 3tan tan30° cos30°= (cid:85)
(cid:15)(cid:128)(cid:129)5-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:256)(cid:257)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:253)(cid:52)(cid:10)tan3 6 0 0 ° °− ×sin60° ⋅ +|co 2| (tan ) (cid:85)
−2
(cid:15)(cid:128)(cid:129)5-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:254)(cid:255)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:67)(cid:68)(cid:93)(cid:258)(cid:51)(cid:52)(cid:10)sin( + )= 𝑠 s 4 i 5 n °− cos − +cos 45 s ° in −3 sin( )
𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽, 𝛼−𝛽3 2 1 2 6 2
=sin cos cos sin (cid:85)(cid:112)(cid:69)(cid:10)(cid:241) = =45°(cid:242)(cid:73)sin(60°+45°)= × + × = (cid:73)(cid:123)sin15°
2 2 2 2 4
+
(cid:27)(cid:38)(cid:107)𝛼 𝛽(cid:85)− 𝛼 𝛽 𝛼 60°,𝛽
【题型6 由正弦、余弦、正切、余切的值判断三角形的形状】
(cid:15)(cid:112)6(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:130)(cid:131)(cid:259)(cid:188)·(cid:121)(cid:134)(cid:60) ABC(cid:36)(cid:73)
|
sin
1|
+ 3 cos =0(cid:73) (cid:73) (cid:88)(cid:63)(cid:33)(cid:73)(cid:123)
2 2 2
(cid:27)(cid:35)(cid:55)(cid:88)(cid:58) (cid:60) △ 𝐴− − 𝐵 ∠𝐴 ∠𝐵 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:85)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
C(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:85)(cid:260)(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
2
(cid:15)(cid:128)(cid:129)6-1(cid:19)(cid:58)2025(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:262)(cid:263)·(cid:213)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:74) (cid:36)(cid:73)tan =1(cid:73)cos = (cid:73)(cid:123) (cid:27)(cid:35)(cid:55)(cid:58)(cid:171)(cid:171)(cid:60)
2
A(cid:85)(cid:93)(cid:67)(cid:88)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:85)△—(cid:67)𝐴𝐵(cid:88)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)𝐴(cid:35) 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
C(cid:85)(cid:93)(cid:67)(cid:88)(cid:264)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:85)(cid:265)(cid:266)(cid:125)(cid:67)
| |
3 1
(cid:15)(cid:128)(cid:129)6-2(cid:19)(cid:74) (cid:36)(cid:73)(cid:122) sin + cos =0(cid:73)(cid:123) (cid:88) (cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:85)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 𝐴− − 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:128)(cid:129)6-3(cid:19)(cid:74) ABC(cid:36)(cid:73)(2cos 2) +| tan |=0 (cid:73)(cid:123) ABC(cid:93)(cid:67)(cid:88)(cid:58) (cid:60)
2
A(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)△(cid:35) B(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:34)𝐴(cid:33)−(cid:35) 1C−(cid:85)(cid:260)𝐵(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35) △ D(cid:85)(cid:260)(cid:261)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
【题型7 由正弦、余弦、正切、余切的的值求角度】
(cid:15)(cid:112)7(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:267)(cid:268)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73) 3tan =1(cid:73)(cid:123) (cid:27)(cid:38)(cid:107)(cid:58) (cid:60)
A(cid:85)30° B(cid:85)45° C(cid:85)△60𝐴°𝐵𝐶 ∠𝐶 D(cid:85)90° 𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:128)(cid:129)7-1(cid:19)(cid:58)2024·(cid:160)(cid:161)(cid:269)(cid:176)·(cid:154)(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:60)(cid:122)tan( +20°)=1(cid:73)(cid:123)(cid:63)(cid:33) (cid:27)(cid:56)(cid:273)(cid:227)(cid:88)(cid:58) (cid:60)
A(cid:85)40° B(cid:85)30° C(cid:85)𝛼25° D(cid:85)𝛼10°
1
(cid:15)(cid:128)(cid:129)7-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:116)(cid:172)(cid:274)(cid:160)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:69)(cid:208) (cid:88)(cid:63)(cid:33)(cid:73)sin = (cid:73)(cid:141)(cid:142)cos( )= (cid:85)
2
𝛼 𝛼 9|0°−𝛼 |
(cid:15)(cid:128)(cid:129)7-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:118)(cid:275)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:74)(cid:63)(cid:33) (cid:36)(cid:73)(cid:122)(tan 3) + sin 3 =0(cid:73)(cid:123) (cid:27)
2
2
(cid:25)(cid:23)(cid:38)(cid:88) (cid:85) △𝐴𝐵𝐶 𝐴− 𝐶− ∠𝐵
【题型8 同角（互余）两角的三角比的关系】
(cid:15)(cid:112)8(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:276)(cid:131)(cid:277)(cid:278)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:85)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶(1)(cid:37)(cid:279)(cid:10)sin +cos =1(cid:85)
2 2
𝐵 7 𝐵
(2)(cid:122)sin +cos = (cid:73)(cid:37)sin cos (cid:27)(cid:38)(cid:85)
5
(cid:15)(cid:128)(cid:129)8𝐵-1(cid:19)(cid:122)s𝐵in( )=𝐵c⋅os50𝐵°(cid:73)(cid:123) (cid:27)(cid:56)(cid:273)(cid:88)(cid:58) (cid:60)
A(cid:85)20° 70°−B(cid:85)𝛼 30° 𝛼 C(cid:85)40° D(cid:85)50°
(cid:15)(cid:128)(cid:129)8-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:280)(cid:160)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:122) (cid:107)(cid:63)(cid:33)(cid:85)
(1)(cid:37)(cid:279)(cid:10)①sin =cos(90 )(cid:281)②sin +cos 𝑎=1(cid:281)
∘ 2 2
(2)(cid:282)(cid:37)(cid:10)sin 1°𝛼+sin 2°+ −𝛼+sin 45°+𝛼 +sin𝛼88°+sin 89°(cid:27)(cid:38)(cid:85)
2 2 2 2 2
⋯ ⋯
(cid:15)(cid:128)(cid:129)8-3(cid:19)(cid:58)2025(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:262)(cid:263)·(cid:213)(cid:20)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:74)(cid:69)(cid:70)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:75)(cid:76)(cid:248)(cid:283)sin = (cid:73)cos = (cid:73)tan =
𝑎 𝑏
𝛼 𝑐 𝛼 𝑐 𝛼
(cid:73)
𝑎
𝑏
sin +cos = + = = =1(cid:85)(cid:84)(cid:93)(cid:209)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:99)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:179)(cid:189)(cid:99)(cid:107)1(cid:85)
2 2 2 2 2
2 2 𝑎 𝑏 𝑎 +𝑏 𝑐
2 2 2 2
∴ 𝛼 𝛼 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐
(1)(cid:284)(cid:285)(cid:97)(cid:98)(cid:116)(cid:180)(cid:27)(cid:286)(cid:287)(cid:156)(cid:288)(cid:73)(cid:286)(cid:289)sin (cid:73)cos (cid:44)tan (cid:290)(cid:111)(cid:27)(cid:3)(cid:62)(cid:281)
𝛼 𝛼 𝛼 1 sin cos
(2)(cid:284)(cid:285)(cid:291)(cid:167)(cid:116)(cid:180)(cid:286)(cid:289)(cid:27)(cid:126)(cid:127)(cid:292)(cid:293)(cid:103)(cid:180)(cid:294)(cid:20)(cid:10)(cid:247)(cid:248) (cid:107)(cid:63)(cid:33)(cid:73)(cid:96)tan = (cid:73)(cid:37) (cid:27)(cid:38)(cid:85)
2 2sin cos
𝛼−2 𝛼
𝛼 𝛼 𝛼+ 𝛼
【题型9 锐角的三角比的增减性】
(cid:15)(cid:112)9(cid:19)(cid:58)23-24(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:117)(cid:118)(cid:133)(cid:176)·(cid:295)(cid:11)(cid:245)(cid:282)(cid:60)(cid:69)(cid:70)(cid:73) (cid:36)(cid:73) = (cid:73) (cid:73) (cid:73) =4(cid:73)
=3(cid:73)(cid:123)(cid:3)(cid:89) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:90)(cid:144)(cid:3)(cid:62)(cid:58)(cid:171)(cid:171)△(cid:60)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐶𝐷 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸A(cid:85) > B(cid:85) < C(cid:85) > D(cid:85) <
(cid:15)(cid:128)(cid:129)∠9𝐹-1𝐵(cid:19)𝐷(cid:122)∠(cid:63)𝐹(cid:33)𝐶𝐷 (cid:296)(cid:158)∠s𝐹in𝐵2𝐷0°<∠c𝐹o𝐶s𝐷 <cos25∠°𝐹(cid:73)𝐶(cid:123)𝐸 ∠𝐹(cid:27)𝐶𝐷(cid:297)(cid:38)(cid:298)(cid:299)(cid:88)∠ 𝐹 𝐶 𝐸(cid:85)∠𝐹𝐶𝐷
(cid:15)(cid:128)(cid:129)9-2(cid:19)(cid:58)2025∠(cid:113)𝐴(cid:114)(cid:115)(cid:103)·(cid:262)(cid:263)·(cid:213)(cid:20)(cid:165)𝐴(cid:166)(cid:60)(cid:47)(cid:300)(cid:90)(cid:144)(cid:58)∠(cid:167)𝐴 <(cid:235)(cid:236)(cid:60)(cid:73)sin47°(cid:73)cos53°(cid:73)tan45°(cid:73)(cid:123) (cid:85)
| |
(cid:15)(cid:128)(cid:129)9-3(cid:19)(cid:58)22-23(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:276)(cid:301)(cid:302)(cid:303)·(cid:121)(cid:36)(cid:60)(cid:122)30°< < <90°(cid:73)(cid:123) (cos cos ) cos 3 +
2
2
| cos |= (cid:85) 𝛼 𝛽 𝛽− 𝛼 − 𝛽−
1− 𝛼
【题型10 求特殊角的三角比的值】
(cid:15)(cid:112)10(cid:19)(cid:58)24-25(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)·(cid:174)(cid:175)(cid:131)(cid:304)·(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:60)(cid:47)(cid:300)sin75°(cid:73)cos75°(cid:73)tan75°(cid:27)(cid:90)(cid:144)(cid:73)(cid:22)(cid:125)(cid:27)(cid:88)(cid:58) (cid:60)
A(cid:85)cos75°<tan75°<sin75° B(cid:85)cos75°<sin75°<tan75°
C(cid:85)tan75°<cos75°<sin75° D(cid:85)sin75°<cos75°<tan75°
(cid:15)(cid:128)(cid:129)10-1(cid:19)(cid:58)2024·(cid:243)(cid:244)(cid:305)(cid:176)·(cid:195)(cid:154)(cid:60)(cid:74)(cid:253)(cid:52)tan15°(cid:27)(cid:38)(cid:242)(cid:73)(cid:101)(cid:95)(cid:306)(cid:167)“(cid:273)(cid:35)(cid:126)(cid:50)”(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:70)(cid:35)(cid:27)(cid:189)(cid:266)
(cid:292)(cid:313)(cid:73)(cid:69)(cid:70)(cid:73)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:73) =90°(cid:73) =30°(cid:73)(cid:314)(cid:41) (cid:137) (cid:315) = (cid:73)(cid:235)(cid:236) (cid:73)(cid:102) =15°(cid:73)(cid:206)
△𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐵 𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 1 𝐴𝐷 ∠𝐷3
= (cid:73)(cid:123) = = (cid:73) = 3 (cid:73) =(2+ 3) (cid:73)Rt (cid:36)tan15°= = = =
𝐴𝐶 2 3 (2 2 3 − )( 3)
𝐴𝐶 3(cid:85)(cid:316) 𝑎 (cid:47)(cid:317) 𝐴 (cid:258) 𝐵 (cid:189) 𝐷 (cid:266) 𝐵 (cid:73)(cid:101) 2 (cid:95) 𝑎 (cid:102) 𝐵𝐶 (cid:137)tan22 𝑎 .5 𝐶 °(cid:27) 𝐷 (cid:38)(cid:107)(cid:58) (cid:60) 𝑎 △𝐴𝐶𝐷 𝐷𝐶 + + 2− 2−
1
A(cid:85) 2+1 B(cid:85) 2 C(cid:85) 2 D(cid:85)
2
(cid:15)(cid:128)(cid:129)10-2(cid:19)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:36)(cid:226)(cid:73)(cid:75)−(cid:76)1(cid:321)(cid:322)(cid:11)(cid:137)(cid:103)(cid:180)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:7)(cid:129)(cid:10)
sin + =sin cos +cos sin (cid:73)
cos(𝛼 +𝛽) =cos𝛼cos𝛽 sin 𝛼sin 𝛽(cid:73)
tan (𝛼 + 𝛽) = tan𝛼 tan𝛽− 𝛼 tan 𝛽 tan 0)(cid:85)
tan
𝛼+ 𝛽
(𝛼 𝛽) 1− tan𝛼⋅ 𝛽(1− 𝛼⋅ 𝛽≠
(cid:291)(cid:167)(cid:317)(cid:323)(cid:7)(cid:129)(cid:37)(cid:324)(cid:103)(cid:159)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:38)(cid:85)(1)sin75°
(2)cos105°
(cid:15)(cid:128)(cid:129)10-3(cid:19)(cid:325)(cid:156)(cid:78)“(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)”(cid:93)(cid:326)(cid:327)(cid:27)(cid:11)(cid:166)(cid:226)(cid:73)(cid:144)(cid:328)(cid:57)(cid:11)(cid:329)(cid:105)(cid:330)(cid:331)67°30 (cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:38)(cid:85)(cid:89)(cid:88)(cid:332)(cid:291)(cid:167)(cid:333)
′
(cid:25)(cid:242)(cid:111)(cid:78)(cid:334)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:318)(cid:335)(cid:336)(cid:286)(cid:289)(cid:85)(cid:74)(cid:337)(cid:294)(cid:336)(cid:338)(cid:339)(cid:24)(cid:44)(cid:57)(cid:11)(cid:340)(cid:341)(cid:226)(cid:73)(cid:332)(cid:313)(cid:67)(cid:304)(cid:156)(cid:309)(cid:342)(cid:247)(cid:11)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:58)(cid:69)30°(cid:73)
45°(cid:73)60°(cid:60)(cid:73)(cid:95)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:38)(cid:139)(cid:292)(cid:313)(cid:294)(cid:20)(cid:85)(cid:74)(cid:332)(cid:27)(cid:343)(cid:72)(cid:103)(cid:73)(cid:284)(cid:285)(cid:344)(cid:345)(cid:144)(cid:328)(cid:57)(cid:11)(cid:37)(cid:324)(cid:10)67°30 (cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)
′
(cid:107)(cid:58)(cid:171)(cid:171)(cid:60)
2 1
A(cid:85) 2-1 B(cid:85) 4+2 2 C(cid:85) D(cid:85) 2+1
2 2
+
