专题 23.1 锐角的三角函数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)............................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:19)............................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:19)........................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:42)(cid:43)(cid:19)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:3)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:19)..............................................................................................13
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:54)(cid:55)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:19)..................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:38)(cid:37)(cid:33)(cid:57)(cid:19)..................................................................................................16
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:58)(cid:33)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:61)(cid:62)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:19)..............................................................................................18
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:19)..................................................................................................................21
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:38)(cid:19)................................................................................................................24
知识点1 锐角的三角函数
1. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) C=90°(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:64)(cid:33) A (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83) A(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)sin (cid:74)(cid:86)
sin = (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠ 𝐴
𝒂
𝐴 𝒄
(cid:78)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:88)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83) A(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)cos (cid:74)(cid:86)cos = (cid:87)
𝒃
(cid:78)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)(cid:88)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:83)∠ A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:74)(cid:84)(cid:85)tan 𝐴 (cid:74)(cid:86)tan 𝐴 = 𝒄 (cid:87)
𝒂
∠ 𝐴 𝐴 𝒃
2. (cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:89)(cid:90)(cid:64)(cid:33)A(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:87)
3. (cid:39)(cid:91)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:80)(cid:40)(cid:92)(cid:91)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:74)(cid:72)(cid:97)(cid:49)0<sin <1(cid:98)0<cos <1(cid:74)tan >0(cid:87)
𝐴 𝐴 𝐴
知识点2 特殊角的三角函数的值
1. (cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:10)30° 45° 60°
(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)
𝛂
1 2 3
sin
2 2 2
𝛼 3 2 1
cos
2 2 2
𝛼
3
tan 1 3
3
𝛼
知识点3 锐角的三角函数间的关系
(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) C=90°(cid:74) ， (cid:74) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:107)(cid:108)(cid:109)a(cid:74)b(cid:74)c(cid:87)(cid:39)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:103)(cid:104) + = (cid:87)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐶 ∠ ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:59)1(cid:61)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:10)sin +cos =( ) +( ) = =1(cid:87)
2 2 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 2 +𝑏 2
2
𝐴sin 𝐴 𝑐 𝑐 𝑐
(cid:59)2(cid:61)tan (cid:44)sin (cid:74)cos (cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:10) = = =tan
cos 𝑎
𝐴 𝑐 𝑎
𝑏
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝑐 𝑏 𝐴
【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】
(cid:15)(cid:114)1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74) (cid:24) (cid:24) (cid:107)(cid:108)(cid:90) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:74)(cid:124) + =
2 2
(cid:74)(cid:125)(cid:126)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:128)(cid:129)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 𝑎 𝑏
2
𝑐 A(cid:87) sin = B(cid:87) cos = C(cid:87) tan = D(cid:87) tan =
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)𝑐⋅B 𝐴 𝑎 𝑐⋅ 𝐵 𝑏 𝑏⋅ 𝐴 𝑎 𝑎⋅ 𝐵 𝑏
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:101)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:27)(cid:136)(cid:68)(cid:112)(cid:74)(cid:137)(cid:138)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:99)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:27)(cid:136)(cid:68)(cid:112)(cid:103)(cid:104) (cid:90)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:74)(cid:98) =90°(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:106)(cid:73)(cid:141)sin (cid:24)
cos (cid:24)tan (cid:24)tan (cid:74)(cid:142)(cid:20)(cid:86)(cid:103)△(cid:139)𝐴𝐵(cid:130)𝐶(cid:87) ∠𝐶 𝐴
(cid:15)(cid:143)𝐵(cid:139)(cid:19)(cid:139)𝐴(cid:10) 𝐵+ = (cid:74)
2 2 2
(cid:90)(cid:32)(cid:33)∵𝑎(cid:34)(cid:33)(cid:35)𝑏 (cid:74)(cid:98)𝑐 =90°(cid:74)
∴△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
(cid:39)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)(cid:144)sin =cos = (cid:74)tan = (cid:74)tan = (cid:74)
𝑎 𝑎 𝑏
sin = (cid:74) cos = (cid:74) 𝐴tan =𝐵 (cid:74)𝑐 tan𝐴 = 𝑏(cid:74) 𝐵 𝑎
∴(cid:145)𝑐⋅(cid:146)B𝐴(cid:27)(cid:128)𝑎(cid:129)𝑐(cid:126)⋅(cid:22)(cid:127)𝐵(cid:74)(cid:147)𝑎(cid:51)(cid:20)𝑏⋅(cid:94)(cid:87)𝐴 𝑎 𝑎⋅ 𝐵 𝑏
∴(cid:148)(cid:145)(cid:10)B(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)1-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:123)(cid:155)(cid:61)(cid:156)Rt (cid:27)(cid:80)(cid:40)(cid:101)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:89)(cid:157)(cid:92)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:27) (cid:161)(cid:74)(cid:162)(cid:163)(cid:64)(cid:33)
(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 𝑛
1
A(cid:87)(cid:89)(cid:157)(cid:92)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:27) (cid:161) B(cid:87)(cid:89)(cid:164)(cid:165)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:27)
C(cid:87)(cid:166)(cid:49)(cid:149)(cid:167) 𝑛 D(cid:87)(cid:168)(cid:49)tan (cid:169)(cid:170)(cid:149) 𝑛 (cid:167)
𝐴(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)C
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:27)(cid:144)(cid:173)(cid:174)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:112)(cid:139)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:87)
(cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:10)(cid:64)(cid:33) (cid:27)(cid:175)(cid:176)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:177)(cid:91)(cid:64)(cid:33) (cid:72)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:38)(cid:74)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:64)(cid:33) (cid:27)(cid:175)(cid:176)(cid:34)(cid:33)𝐴(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:177)(cid:91)(cid:64)(cid:33) (cid:72)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)𝐴(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:38)(cid:74)
Rt (cid:27)(cid:80)∵(cid:40)(cid:101)𝐴(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:89)(cid:157)(cid:92)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:27) (cid:161)(cid:74)𝐴(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:126)(cid:149)(cid:74)
∴(cid:148)(cid:145)△(cid:10)𝐴C𝐵(cid:87)𝐶 𝑛
(cid:15)(cid:149)(cid:150)1-2(cid:19)(cid:59)2024·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)·(cid:95)(cid:182)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) (cid:109)(cid:40) (cid:118)(cid:95)(cid:174)(cid:74)(cid:183)(cid:174) (cid:85)
(cid:74)(cid:184)(cid:185)(cid:109) (cid:74)(cid:125)(cid:105)(cid:186)(cid:128)(cid:129)(cid:36)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:90)(cid:59) Δ (cid:61)𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸
A(cid:87)sin = B(cid:87)cos = C(cid:87)tan = D(cid:87)tan =
𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B𝐴 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐷 𝐴 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:139)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:74)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:137)(cid:138)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:39)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:68)(cid:69)(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:54)(cid:55)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:74)
= ∵𝐷𝐸=⊥90𝐴°𝐶(cid:74)
∴∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
A(cid:24)sin = (cid:74)(cid:148)A(cid:126)(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:187)
𝐵𝐶
B(cid:24)(cid:128)(cid:129)𝐴(cid:22)(cid:127) 𝐴𝐶 (cid:74)(cid:148)B(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:187)
C(cid:24)tan = (cid:74)(cid:148)C(cid:126)(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:187)
𝐶𝐵
𝐴 𝐴𝐵
D(cid:24)tan = (cid:74)(cid:148) (cid:126)(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:87)
𝐵𝐶
(cid:148)(cid:145)(cid:10)B𝐴(cid:87) 𝐴𝐵 𝐷
(cid:15)(cid:149)(cid:150)1-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:188)(cid:189)(cid:188)(cid:190)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:174)A(cid:109) (cid:40)(cid:118)(cid:27)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:174)(cid:74)(cid:85) (cid:91)(cid:174)C(cid:74)
(cid:91)(cid:174)D(cid:74)(cid:105)(cid:186)(cid:195)(cid:196)(cid:192)(cid:81)(cid:106)(cid:73)sin (cid:27)(cid:38)(cid:74)(cid:197)(cid:198)(cid:27)(cid:90)(cid:59)(cid:199)(cid:199)(cid:61)∠𝛼 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 𝛼A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)D
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:99)(cid:100)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:109)(cid:79)(cid:40)(cid:81)(cid:80)(cid:40)(cid:74)(cid:103)(cid:104)(cid:130)(cid:131)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:74) (cid:74)
= ∵𝐴𝐶=⊥𝐵𝐶 𝐶=𝐷9⊥0°𝐴(cid:74)𝐵
∴∠𝐴𝐶=𝐵 ∠𝐵𝐷=𝐶 ∠𝐴(cid:74)𝐷𝐶
∴∠𝛼 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷
A(cid:24)(cid:75)Rt (cid:36)sin = (cid:74)(cid:148)A(cid:22)(cid:127)(cid:187)
𝐶𝐷
△𝐵𝐶𝐷 𝛼 𝐵𝐶
B(cid:24)(cid:75)Rt (cid:36)sin = (cid:74)(cid:148)B(cid:22)(cid:127)(cid:187)
𝐴𝐶
△𝐴𝐵𝐶 𝛼 𝐴𝐵
C(cid:24)(cid:75)Rt (cid:36)sin = (cid:74)(cid:148)C(cid:22)(cid:127)(cid:187)
𝐴𝐷
△𝐴𝐶𝐷 𝛼 𝐴𝐶
D(cid:24)(cid:75)Rt (cid:36)cos = (cid:74)(cid:148)D(cid:197)(cid:198)(cid:187)
𝐵𝐷
(cid:148)(cid:145)(cid:10)D△𝐵𝐶𝐷 𝛼 𝐵𝐶
【题型2 直角三角形中求正弦、余弦、正切的值】
(cid:15)(cid:114)2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)(cid:200)(cid:201)(cid:202)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =2(cid:74) =3(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:203)
(cid:48)(cid:109) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐴
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:74)(cid:32)(cid:204)(cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:139)(cid:130)(cid:86)(cid:103)(cid:74)(cid:205)(cid:84)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)
(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:75) (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =2(cid:74) =3(cid:74)
△𝐴𝐵𝐶 2 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:203)(cid:48) = (cid:87)
3
𝐴𝐶
∴∠𝐴 2 𝐵𝐶
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
3
(cid:15)(cid:149)(cid:150)2-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:202)(cid:206)(cid:206)(cid:207)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =1(cid:74) =2(cid:74)tan (cid:27)(cid:38)
(cid:109)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴
1 5 2 5
A(cid:87) B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)2
2 5 5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)D
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:74)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:68)(cid:69)(cid:109)(cid:79)(cid:40)(cid:44)(cid:88)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:38)(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:94)(cid:74)(cid:127)(cid:68)(cid:33)A(cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:101)(cid:88)(cid:40)(cid:74)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:87)(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =1(cid:74) =2
2 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶
tan = = =2
1
𝐵𝐶
∴(cid:148)(cid:145)𝐴(cid:10)D(cid:87)𝐴𝐶
(cid:15)(cid:149)(cid:150)2-2(cid:19)(cid:59)2025·(cid:118)(cid:200)(cid:211)(cid:212)·(cid:95)(cid:182)(cid:61)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:49)(cid:95)(cid:174) (3,1)(cid:74)(cid:162)(cid:163) (cid:44)x(cid:216)(cid:22)(cid:217)(cid:216)(cid:218)(cid:33)(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:38)
(cid:90) (cid:87) 𝑃 𝑂𝑃
3 10 3
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) / 10
10 10
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:139)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:24)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:177)(cid:144)(cid:173)(cid:174)(cid:87)(cid:85) (cid:216)(cid:91)(cid:174)M(cid:74)(cid:219)(cid:220)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:34)(cid:33)
(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:139)(cid:87) 𝑃𝑀⊥𝑥
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:85) (cid:216)(cid:91)(cid:174)M(cid:74) (3,1)(cid:74)
𝑃𝑀⊥𝑥 𝑃
(cid:99)(cid:100)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:103)(cid:104) = + = 3 +1 = 10(cid:74)
2 2 2 2
3 𝑂𝑃3 10 𝑂𝑀 𝑃𝑀
cos = = = (cid:74)
10
𝑂𝑀 10
∴ 𝛼 𝑂𝑃
3 10
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
10
(cid:15)(cid:149)(cid:150)2-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)6×6(cid:27)(cid:22)(cid:225)(cid:35)(cid:226)(cid:227)(cid:36)(cid:74) (cid:27)(cid:228)(cid:174)(cid:89)(cid:75)(cid:165)
(cid:22)(cid:225)(cid:35)(cid:27)(cid:228)(cid:174)(cid:118)(cid:74)(cid:125)sin (cid:27)(cid:38)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △𝐴𝐵𝐶
∠𝐵𝐴𝐶
3 4 3
A(cid:87)1 B(cid:87) C(cid:87) D(cid:87)
4 3 5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)D
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:24)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:3)(cid:140)(cid:87)(cid:229)(cid:99)(cid:100)(cid:226)(cid:227)(cid:101)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:103)(cid:104)
= = (cid:74) =5(cid:74)(cid:230)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:87)
𝐴(cid:15)𝐷(cid:143)(cid:139)4(cid:19),𝐵(cid:139)𝐷(cid:10)(cid:70)3,𝐴(cid:71)𝐷(cid:74)⊥(cid:39)𝐵𝐷(cid:226)(cid:227)𝐴(cid:103)𝐵(cid:144)(cid:74) = = (cid:74)
𝐴𝐷 4,𝐵𝐷 3,𝐴𝐷⊥𝐵𝐷= + =5(cid:74)
2 2
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷3
sin = = (cid:74)
5
𝐵𝐷
∴(cid:148)(cid:145)∠(cid:10)𝐵D𝐴(cid:87)𝐶 𝐴𝐵
【题型3 由正弦、余弦、正切的值求边长】
12
(cid:15)(cid:114)3(cid:19)(cid:59)22-23(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:221)(cid:222)(cid:222)(cid:188)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74)(cid:124) =90°(cid:74)cos = (cid:74) =24(cid:74)(cid:125)
13
(cid:41)(cid:109) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 𝐴 𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)26
12
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:103)(cid:104)cos = = (cid:74)(cid:156) =24(cid:208)(cid:209)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:104) (cid:27)(cid:41)(cid:87)
13
𝐴𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)𝐴(cid:74)𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵
12 △𝐴𝐵𝐶
cos = = (cid:74)
13
𝐴𝐶
∵ 𝐴=24 𝐴(cid:74)𝐵
∵𝐴𝐶 13
=24× =26(cid:74)
12
(cid:148)∴(cid:130)𝐴𝐵(cid:131)(cid:109)(cid:10)26(cid:87)
(cid:27)(cid:88)(cid:40)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:232)(cid:144)(cid:25)(cid:23)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:74)(cid:137)(cid:138)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) cos = (cid:87)
(cid:80)(cid:40)
∠𝐴
(cid:15)(cid:149)(cid:150)3-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:233)(cid:202)(cid:234)(cid:207)·(cid:235)(cid:182)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:95)(cid:99)3m(cid:41)(cid:27)(cid:236)(cid:237)AB(cid:80)(cid:238)(cid:75)(cid:239)(cid:32)△(cid:27)𝐴(cid:240)𝐵(cid:118)𝐶 (cid:74)(cid:241)(cid:242)(cid:240)𝐴(cid:105)(cid:243)(cid:74)(cid:174)A(cid:105)
(cid:243)(cid:244)(cid:174) (cid:74)(cid:174)B(cid:245)(cid:244)(cid:174) (cid:74)(cid:246) = (cid:74) = (cid:74)(cid:125) =(cid:59) (cid:61).
′ ′ ′ ′ ′
𝐴 𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 𝛼 ∠𝐴 𝐵 𝐶 𝛽 𝐴𝐴A(cid:87)(3sin sin )m B(cid:87)(3cos cos )m
3 𝛼−33 𝛽 𝛼−3 𝛽
C(cid:87)( )m D(cid:87)(3tan tan )m
tan tan
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)A
𝛼− 𝛽 𝛼−3 𝛽
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:22)(cid:23)(cid:47)(cid:48)(cid:74)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:247)(cid:109)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140).
(cid:229)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:106)(cid:73)(cid:141) (cid:74)(cid:248)(cid:249)(cid:99)(cid:100)(cid:196)(cid:192)(cid:27)(cid:101)(cid:250)(cid:86)(cid:103)(cid:139)(cid:130).
′
𝐴𝐶,𝐴 𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =3,(cid:125)sin = (cid:74)(cid:86) = sin =3sin ,
𝐴𝐶
(cid:58)(cid:112)(cid:10) = s△in𝐴𝐵=𝐶3sin𝐴(cid:74)𝐵 𝛼 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵⋅ 𝛼 𝛼
′
=𝐴 𝐶 𝐴𝐵=⋅ (3𝛽sin s𝛽in )m.
′ ′
∴(cid:148)𝐴(cid:145)𝐴 A. 𝐴𝐶−𝐴 𝐶 𝛼−3 𝛽
3
(cid:15)(cid:149)(cid:150)3-2(cid:19)(cid:70)(cid:251)(cid:95)(cid:176)(cid:252)(cid:35)(cid:27)(cid:214)(cid:253)(cid:90)40(cid:74)(cid:62)(cid:96)(cid:79)(cid:33)(cid:196)(cid:218)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:203)(cid:48)(cid:90) (cid:74)(cid:162)(cid:163)(cid:254)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:79)(cid:33)(cid:196)(cid:41)
4
(cid:90) (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)10
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:85) (cid:91)H(cid:87)(cid:39)(cid:255)(cid:40)(cid:35) (cid:90)(cid:252)(cid:35)(cid:74)(cid:256)(cid:141) = = = (cid:74)(cid:246)
𝐵𝐻⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐵 1
= = = = (cid:74)(cid:39)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:74)(cid:103)(cid:104) = (cid:74) = (cid:74)(cid:39)(cid:20)(cid:94)(cid:10)2× × × =40(cid:74)(cid:37)(cid:141)
2
𝑂a𝐴(cid:86)(cid:103)𝑂(cid:139)𝐶(cid:257)(cid:142)𝑂(cid:20)𝐷(cid:87)𝑂𝐵 5𝑎 𝐵𝐻 4𝑎 𝑂𝐻 3𝑎 10𝑎 4𝑎
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:85) (cid:91)H(cid:87)
𝐵𝐻⊥𝐴𝐶
(cid:255)(cid:40)(cid:35) (cid:90)(cid:252)(cid:35)(cid:74)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = (cid:74)
∴(cid:246)𝑂𝐴 =𝑂𝐶 =𝑂𝐷 =𝑂𝐵 = (cid:74)(cid:125) = (cid:87)
𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐵 5𝑎 𝐴𝐶 10𝑎3
(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:94)(cid:104)(cid:10) = (cid:74)
4
𝑂𝐻
∵ = (cid:74) = 𝐵𝐻 (cid:74)
∴𝐵𝐻 4𝑎 𝑂1𝐻 3𝑎
(cid:39)(cid:20)(cid:94)(cid:10)2× × × =40(cid:74)
2
=1(cid:74) 10𝑎 4𝑎
∴𝑎 =10(cid:87)
∴(cid:148)𝐴(cid:130)𝐶(cid:131)(cid:109)10(cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:252)(cid:35)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:24)(cid:139)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:177)(cid:144)(cid:173)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:11)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:153)(cid:195)(cid:261)(cid:262)(cid:196)(cid:74)(cid:219)(cid:220)(cid:32)(cid:33)(cid:34)
(cid:33)(cid:35)(cid:139)(cid:257)(cid:142)(cid:20)(cid:74)(cid:11)(cid:258)(cid:263)(cid:195)(cid:264)(cid:48)(cid:219)(cid:265)(cid:225)(cid:266)(cid:139)(cid:257)(cid:142)(cid:20)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)3-3(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:233)(cid:202)·(cid:267)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =6(cid:74) =8(cid:74) (cid:109)
1 △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐶
(cid:40)(cid:118)(cid:95)(cid:268)(cid:174)(cid:74)(cid:98)tan = (cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:41)(cid:57)(cid:109) (cid:87)
2
∠𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐷
24 5 24
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) / 5
11 11
4
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:139)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:87)(cid:85) (cid:91)(cid:174) (cid:74)(cid:246) (cid:41)(cid:109) (cid:74)(cid:125)tan = = = (cid:74)(cid:99)(cid:100)tan =
3
𝐷𝐸 𝐵𝐶
1 24 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐷𝐸 𝑥 𝐴 𝐸𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴𝐵𝐷
= (cid:74)(cid:104)(cid:141) = (cid:74)(cid:230)(cid:263)(cid:195)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87)
2 11
𝐷𝐸
(cid:15)𝐵𝐸(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)𝑥(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:85) (cid:91)(cid:174) (cid:74)
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
4
(cid:246) (cid:41)(cid:109) (cid:74)(cid:125)tan = = = (cid:74)
3
𝐷𝐸 𝐵𝐶
𝐷𝐸 3 𝑥 𝐴 𝐸𝐴 𝐴𝐵
= (cid:74)
4
∴𝐸𝐴 𝑥 1
tan = = (cid:74)
2
𝐷𝐸
∵ ∠𝐴𝐵𝐷 𝐵𝐸= (cid:74)
∴𝐵𝐸 2𝑥 3
= + = + =6(cid:74)
4
∴𝐴𝐵 24𝐸𝐴 𝐵𝐸 𝑥 2𝑥
= (cid:74)
11
∴𝑥
24 5
= + = 4 + = (cid:87)
11
2 2 2 2
∴𝐵𝐷 𝐵2𝐸4 5 𝐷𝐸 𝑥 𝑥
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
11
【题型4 由正弦、余弦、正切的值求坐标】
(cid:15)(cid:114)4(cid:19)(cid:59)2023·(cid:269)(cid:270)(cid:202)(cid:271)(cid:272)(cid:202)·(cid:235)(cid:182)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:213)(cid:214)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:174) (cid:75)(cid:273)(cid:95)(cid:274)(cid:275)(cid:74)(cid:174) (cid:75)x(cid:216)(cid:27)(cid:22)(cid:217)(cid:216)(cid:118)(cid:74)
= =30 (cid:74) =2(cid:74)(cid:156) (cid:276)(cid:174) (cid:277)(cid:278)(cid:74)(cid:124)(cid:174) (cid:279)(cid:75) (cid:216)(cid:118)(cid:74)𝐵(cid:125)(cid:277)(cid:278)(cid:249)(cid:174) (cid:27)(cid:79)𝐴(cid:280)(cid:174) (cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:87)
∘ ′
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐵 𝑂𝐴 △𝐴𝑂𝐵 𝑂 𝐵 𝑦 𝐴 𝐴
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) 1, 3 (cid:281) 3 (cid:87)
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:94)(cid:282)−(cid:141)1,−(cid:277)(cid:278)(cid:249)(cid:27)(cid:71)(cid:35)(cid:74)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:196)(cid:74)(cid:230)(cid:263)(cid:195)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:94)(cid:74)(cid:172)(cid:283)(cid:174) (cid:279)(cid:75) (cid:216)(cid:118)(cid:74)(cid:125)(cid:284)(cid:156) (cid:276)(cid:174) (cid:136)(cid:285)(cid:286)(cid:277)(cid:278)90°(cid:104)(cid:158) (cid:281)(cid:156)
(cid:276)(cid:174) (cid:136)(cid:285)(cid:286)(cid:277)(cid:278)120°(cid:104)(cid:158) 𝐵 (cid:74)𝑦 △𝐴𝑂𝐵 𝑂
△𝐴1𝑂𝐵1
△𝐴𝑂𝐵
𝑂
△𝐴2𝑂𝐵2
(cid:183) (cid:85) (cid:216)(cid:91)(cid:174) (cid:74)(cid:183) (cid:85) (cid:216)(cid:91)(cid:174) (cid:74)
(cid:39)(cid:277)𝐴1(cid:278)(cid:67)𝐴1(cid:102)𝐶1(cid:103)⊥(cid:144)𝑦(cid:10) =𝐶1 =𝐴2 2(cid:74)𝐴2 𝐶2⊥𝑦= 𝐶2 =30°(cid:74)
𝑂𝐴 𝑂𝐴3 1 ∠𝐴1𝑂𝐶1 ∠𝐴𝑂𝐵 1
= cos30°=2× = 3(cid:74) = sin30°=2× =1(cid:74)
2 2
∴𝑂𝐶1 𝑂𝐴1 𝐴1 𝐶1 𝑂𝐴1(cid:174) (1, 3)(cid:74)
(cid:58)∴ (cid:112)𝐴(cid:103) 1 (cid:104)(cid:10)(cid:174) 3)(cid:74)
(cid:148)(cid:287)(cid:10)(1,
3)(cid:281)𝐴2
(−1,− 3) (cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)((cid:134)−1(cid:42),−(cid:43)(cid:44)(cid:71)(cid:35)(cid:149)(cid:167)(cid:95)(cid:277)(cid:278)(cid:74)(cid:139)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:177)(cid:144)(cid:173)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:11)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:153)(cid:195)(cid:261)(cid:262)(cid:196)(cid:74)(cid:219)
(cid:220)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:139)(cid:257)(cid:142)(cid:20)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)4-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:288)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:289)(cid:207)(cid:290)(cid:152)·(cid:123)(cid:155)(cid:61)(cid:70)(cid:71)1(cid:74)(cid:75)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) (cid:36)(cid:74) =90°(cid:87)(cid:68)(cid:69) (cid:27)(cid:79)(cid:40)(cid:44)
𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴
(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:85) (cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)sin (cid:74)(cid:86)sin = ;(cid:68)(cid:69) (cid:27)(cid:88)(cid:40)(cid:44)(cid:80)(cid:40)(cid:27)(cid:81)(cid:82)(cid:85) (cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:85)cos (cid:74)(cid:86)
𝐵𝐶
∠𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴 𝐴
cos = (cid:87)(cid:70)(cid:71)2(cid:74)(cid:75)(cid:213)(cid:214)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:74)(cid:97)(cid:174)O(cid:109)(cid:291)(cid:292)(cid:74)1(cid:109)(cid:217)(cid:293)(cid:85)(cid:291)(cid:74)A(cid:109)(cid:291)O(cid:118)(cid:27)(cid:95)(cid:174)(cid:74)(cid:98)(cid:294)(cid:91)(cid:273)
𝐴𝐶
(cid:95)(cid:274)𝐴(cid:275)(cid:74) 𝐴𝐵 (cid:295)(cid:204) (cid:74) (cid:44)x(cid:216)(cid:27)(cid:22)(cid:217)(cid:216)(cid:27)(cid:218)(cid:33)(cid:109)α(cid:74)(cid:125)(cid:174)A(cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:103)(cid:106)(cid:73)(cid:109)(cid:59) (cid:61)
𝑂𝐴 𝑂𝐴
1 1 1 1
A(cid:87)(cid:59)sin (cid:74)cos (cid:61)B(cid:87)(cid:59)cos (cid:74)sin (cid:61) C(cid:87) , D(cid:87) ,
sin cos cos sin
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:296)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:297)(cid:68)(cid:69)(cid:87)(cid:99)(cid:100)(cid:297)(cid:68)(cid:69)(cid:104)(cid:158)cos = (cid:74)sin = (cid:74)(cid:298)(cid:95)(cid:299)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:158)(cid:130)(cid:131)(cid:87)
𝑂𝐻 𝐴𝐻
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:183)(cid:174)A(cid:85) (cid:216)(cid:91)(cid:174)H(cid:74) 𝛼 𝑂𝐴 𝛼 𝑂𝐴
𝐴𝐻⊥𝑥
(cid:99)(cid:100)(cid:68)(cid:69)(cid:103)(cid:144)(cid:74)cos = (cid:74)sin = (cid:74)
𝑂𝐻 𝐴𝐻
(cid:97)(cid:174)O(cid:109)(cid:291)(cid:292)(cid:74)1𝛼(cid:109)(cid:217)𝑂(cid:293)𝐴(cid:85)(cid:291)(cid:74)𝛼 A(cid:109) 𝑂𝐴 (cid:291)O(cid:118)(cid:27)(cid:95)(cid:174)(cid:74)(cid:98)(cid:294)(cid:91)(cid:273)(cid:95)(cid:274)(cid:275)(cid:74)
∵ =cos =sin
∴𝑂(𝐻cos sin𝛼,𝐴)𝐻 𝛼,
∴𝐴 𝛼, 𝛼(cid:148)(cid:145)(cid:10)B
5
(cid:15)(cid:149)(cid:150)4-2(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:151)(cid:152)(cid:300)(cid:224)·(cid:123)(cid:155)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74)tan = (cid:74)(cid:40)
4
(cid:75) (cid:216)(cid:118)(cid:74)(cid:174) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109)( )(cid:74)(cid:252)(cid:35) (cid:27)(cid:228)(cid:174) (cid:44)(cid:174) (cid:301)(cid:51)△(cid:74)𝐴𝐵(cid:228)𝐶(cid:174) (cid:75)∠(cid:40)𝐴𝐶𝐵 (cid:118)(cid:74)(cid:98)(cid:174) (cid:27)∠𝐵(cid:42)𝐴(cid:43)𝐶(cid:109)(2,1)(cid:74)𝐴𝐶(cid:156)
(cid:252)𝑥(cid:35) (cid:241)𝐴(cid:216)(cid:302)(cid:303)(cid:213)(cid:245)−(cid:74)2,0(cid:304)(cid:174) (cid:279)(cid:75)𝐶𝐷𝐸𝐹(cid:40)(cid:118)(cid:285)(cid:74)𝐹(cid:174) (cid:27)𝑂(cid:42)(cid:43)(cid:109) 𝐷(cid:87) 𝐵𝐶 𝐷
𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑥 𝐷 𝐴𝐵 𝐸
16
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) (cid:74)1
5
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)−(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:252)(cid:35)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:74)(cid:95)(cid:305)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:87)(cid:263)(cid:195)(cid:306)(cid:68)(cid:63)(cid:48)(cid:307)(cid:103)(cid:37)(cid:32)(cid:196) (cid:27)(cid:139)(cid:31)(cid:150)(cid:74)
(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87) 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:174) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:74)(cid:174) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109)(2,1)(cid:74)
=2(cid:74) ∵=1𝐴(cid:74) =2(cid:74)(−2,0) 𝐷
∴𝐴𝑂=4(cid:74)𝐶𝐷 𝑂𝐶
∴𝐴𝐶 5
tan = = (cid:74)
4
𝐵𝐶
∵ ∠=𝐵5𝐴(cid:74)𝐶 𝐴𝐶
∴𝐵(cid:174)𝐶 (cid:74)
(cid:246)∴(cid:32)(cid:196)𝐵(2,5(cid:139)) (cid:31)(cid:150)(cid:109) = + (cid:74)
𝐴𝐵 5=𝑦 +𝑘𝑥 𝑏
(cid:39)(cid:20)(cid:94)(cid:103)(cid:104)(cid:10) 0= + (cid:74)
2𝑘 𝑏
= 5 −2𝑘 𝑏
4
(cid:139)(cid:104)(cid:10) 5(cid:74)
=
𝑘 2
𝑏
5 5
(cid:32)(cid:196) (cid:139)(cid:31)(cid:150)(cid:109) = + (cid:74)
4 2
∴ 𝐴𝐵 6𝑦 𝑥
(cid:304) =1(cid:285)(cid:74) = (cid:74)
5
𝑦 𝑥 − 6
(cid:213)(cid:245)(cid:249)(cid:174) (cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:74)1 (cid:74)
5
∴ 𝐷 − 16
(cid:213)(cid:245)(cid:249)(cid:174) (cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:74)1 (cid:74)
5
∴ 𝐸 −16
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:74)1 (cid:87)
5
(cid:15)(cid:149)(cid:150)4-3(cid:19)−(cid:59)2023·(cid:255)(cid:308)·(cid:36)(cid:133)(cid:309)(cid:20)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)(cid:213)(cid:214)(cid:32)(cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:36)(cid:74)(cid:232)(cid:144)(cid:174) (cid:74)(cid:174) (cid:74)(cid:174) (cid:75) (cid:216)(cid:118)(cid:74)
1 𝐴(1,0) 𝐵(0,−3) 𝐶 𝑥
(cid:98)(cid:174) (cid:75)(cid:174) (cid:310)(cid:225)(cid:74)(cid:295)(cid:204) (cid:74) (cid:74)(cid:124)tan = (cid:74)(cid:125)(cid:174) (cid:27)(cid:42)(cid:43)(cid:109) (cid:87)
3
𝐶 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶
9
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) ,0
4
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:232)(cid:144)(cid:96)(cid:311)(cid:104)(cid:141) = (cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:177)(cid:214)(cid:253)(cid:307)(cid:104)(cid:141) = (cid:74)(cid:246) ( )(cid:74)(cid:125) = (cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:86)
𝐴𝐶 𝐶𝐵
(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87) ∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐴𝐵𝐶 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐶 𝑚,0 𝐴𝐶 𝑚−1
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:174) (cid:74)(cid:174) (cid:74)
= =∵3(cid:74)𝐴(1,0) 𝐵(0,−3)
∴𝑂𝐴 1,𝑂𝐵1
tan = (cid:74)
3
∠𝑂𝐵𝐴 1
tan = (cid:74)
3
∵ ∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:74)
∴(cid:183)∠(cid:174)𝐴𝐵𝑂(cid:85) ∠𝐴𝐵𝐶(cid:91)(cid:174) (cid:74)
𝐴 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷
(cid:74) (cid:90) (cid:27)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:74)
∵𝐴𝑂⊥=𝐵𝑂,𝐴=𝐷1⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 ∠𝑂𝐵𝐶
1 1
∴𝐴𝑂 𝐴𝐷 × ×
=2 =2
1 1
𝑆△𝐴𝐵𝑂 2𝑂𝐴×𝑂𝐵 2𝑂𝐵×𝑂𝐴
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷
=
𝐴𝐶 𝐶𝐵
∴𝑂𝐴 𝑂𝐵
(cid:246) ( )(cid:74)(cid:125) = (cid:74) = 3 +
2 2
𝐶 𝑚,0 𝐴𝐶 𝑚−1 𝐵𝐶 𝑚3
=
1 23 2
𝑚−1 +𝑚
∴ 9
(cid:139)(cid:104)(cid:10) = (cid:281) =0(cid:59)(cid:313)(cid:314)(cid:61)
4
9 𝑚 𝑚
,0
4
∴𝐶
9
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) ,0 (cid:87)
4
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:74)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:74)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
【题型5 与特殊角的三角函数有关的混合运算】
(cid:15)(cid:114)5(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:315)(cid:316)(cid:213)(cid:317)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:210)(cid:53) +tan60°+ 2sin cos30°+ (cid:128)(cid:251)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
0
A(cid:87)2 B(cid:87) 2 C(cid:87)−11 D4(cid:87)5°−32 𝜋
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)C
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:48)(cid:321)(cid:27)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:284)(cid:322)(cid:95)(cid:210)(cid:53)(cid:175)(cid:323)(cid:107)(cid:249)(cid:51)(cid:324)(cid:58)(cid:325)(cid:146)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) +tan60°+ 2sin cos30°+
0
−1 2 3 45°−2 𝜋
= + 3+ 2× × +1
2 2
=−1+ 3+ 3+1−2
=−11(cid:74) 1−
(cid:148)(cid:145)(cid:10)C(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)5-1(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:326)(cid:327)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:210)(cid:53) 3tan tan30° cos30°= (cid:87)
5 60°− ⋅
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:78)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) 3tan tan30° cos30°
3 3 60°− ⋅
= 3 3
3 2
⋅1 − ⋅
=
2
3−
5
= (cid:187)
2
5
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
2
(cid:15)(cid:149)(cid:150)5-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:328)(cid:329)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:210)(cid:53)(cid:10)tan30°×sin60°+|co 2| (tan ) (cid:87)
−2
𝑠45°− − 45°−3
1 2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) +
4 2(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:229)(cid:210)(cid:53)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:230)(cid:107)(cid:108)(cid:210)(cid:53)(cid:235)(cid:305)(cid:99)(cid:150)(cid:330)(cid:307)(cid:44)(cid:66)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:24)(cid:314)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:24)(cid:332)(cid:333)(cid:48)(cid:320)(cid:48)(cid:321)(cid:52)
(cid:53)(cid:74)(cid:334)(cid:249)(cid:99)(cid:100)(cid:107)(cid:48)(cid:27)(cid:66)(cid:307)(cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:158)(cid:130)(cid:131)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)tan30°×sin60°+|co 2| (tan )
−2
| | 𝑠45°− − 45°−3
3 3 2
= × + 2 ( )
3 2 2
−2
− − 1−3
1 2 1
= +
2 2 4
−
1 2
= + (cid:87)
4 2
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:335)(cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:336)(cid:318)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:24)(cid:235)(cid:305)(cid:99)(cid:150)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:24)(cid:314)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:24)(cid:332)(cid:333)(cid:48)(cid:320)(cid:48)
(cid:321)(cid:52)(cid:53)(cid:177)(cid:144)(cid:173)(cid:87)(cid:205)(cid:84)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:335)(cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:307)(cid:125)(cid:90)(cid:139)(cid:257)(cid:142)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)5-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:326)(cid:327)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:68)(cid:69)(cid:95)(cid:337)(cid:52)(cid:53)(cid:10)sin( + )=sin cos +cos sin sin( )
𝛼 𝛽 3 2𝛼 1 𝛽 2 𝛼6 2𝛽, 𝛼−𝛽
=sin cos cos sin (cid:87)(cid:114)(cid:70)(cid:10)(cid:304) = =45°(cid:285)(cid:74)sin(60°+45°)= × + × = (cid:74)(cid:125)sin15°
2 2 2 2 4
+
(cid:27)(cid:38)(cid:109)𝛼 𝛽(cid:87)− 𝛼 𝛽 𝛼 60°,𝛽
6 2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)
4
−
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:99)(cid:100)sin15°=sin( )(cid:74)(cid:128)(cid:51)sin( )=sin cos cos sin
(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:87) 60°−45° 𝛼−𝛽 𝛼 𝛽− 𝛼 𝛽
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)sin15°
=sin( )
=sin6600°°−c4os5° cos60° sin45°
3 ⋅2 145°−2 ⋅
= × ×
2 2 2 2
−
6 2
= (cid:74)
4
−
6 2
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
4
−
【题型6 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状】
(cid:15)(cid:114)6(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:151)(cid:152)(cid:338)(cid:224)·(cid:123)(cid:155)(cid:61) ABC(cid:36)(cid:74)
|
sin
1|
+ 3 cos =0(cid:74) (cid:74) (cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:74)(cid:125)
2 2 2
(cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:90)(cid:59) (cid:61) △ 𝐴− − 𝐵 ∠𝐴 ∠𝐵 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:87)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
C(cid:87)(cid:177)(cid:339)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:87)(cid:177)(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)C
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:44)(cid:340)(cid:305)(cid:225)(cid:27)(cid:341)(cid:332)(cid:67)(cid:74)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:177)(cid:339)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:68)(cid:177)(cid:144)(cid:173)(cid:174)(cid:74)(cid:139)(cid:257)
(cid:296)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:205)(cid:193)(cid:52)(cid:195)(cid:342)(cid:343)(cid:144)(cid:173)(cid:174)(cid:87)(cid:39)(cid:341)(cid:332)(cid:67)(cid:318)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:344)(cid:104) =30°(cid:74) =30°(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:158)(cid:130)(cid:131)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)
|
sin
1|
+ 3 cos =0(cid:74)
∠𝐴 ∠𝐵
2 2 2
1 3 𝐴− − 𝐵
sin =0(cid:74) cos =0(cid:74)
2 2
∴ 𝐴− − 𝐵
1 3
sin = (cid:74)cos = (cid:74)
2 2
∴ 𝐴=30°(cid:74) 𝐵=30°(cid:74)
∴∠𝐴 (cid:90)(cid:177)∠(cid:339)𝐵(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:187)
∴(cid:148)△(cid:145)𝐴(cid:146)𝐵𝐶A(cid:74)B(cid:74)D(cid:197)(cid:198)(cid:74)(cid:126)(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:187)(cid:145)(cid:146)C(cid:22)(cid:127)(cid:74)(cid:147)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:87)
(cid:148)(cid:145)(cid:10)C(cid:87)
2
(cid:15)(cid:149)(cid:150)6-1(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:345)(cid:346)·(cid:267)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:75) (cid:36)(cid:74)tan =1(cid:74)cos = (cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:59)(cid:199)(cid:199)(cid:61)
2
A(cid:87)(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) B(cid:87)△—(cid:68)𝐴𝐵(cid:90)𝐶(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)𝐴(cid:35) 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
C(cid:87)(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:347)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35) D(cid:87)(cid:348)(cid:307)(cid:127)(cid:68)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B
2
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:99)(cid:100)tan =1(cid:74)cos = (cid:37)(cid:141) (cid:318) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:103)(cid:104)(cid:141)(cid:128)(cid:129)(cid:87)
2
2 𝐴 𝐵 ∠𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:36)(cid:74)tan =1(cid:74)cos = (cid:74)
2
= ∵=△4𝐴5𝐵°(cid:74)𝐶 𝐴 𝐵
∴∠𝐴=9405°°(cid:74),∠𝐵
∴∠𝐶 (cid:90)(cid:177)(cid:339)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:87)
(cid:148)∴△(cid:145)𝐴(cid:10)𝐵B𝐶(cid:87)
| |
3 1
(cid:15)(cid:149)(cid:150)6-2(cid:19)(cid:75) (cid:36)(cid:74)(cid:124) sin + cos =0(cid:74)(cid:125) (cid:90) (cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:87)
2 2 2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)(cid:177)(cid:40) △𝐴𝐵𝐶 𝐴− − 𝐵 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:177)(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:54)(cid:68)(cid:74)
3 1
(cid:99)(cid:100)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:101)(cid:349)(cid:345)(cid:213)(cid:225)(cid:48)(cid:341)(cid:332)(cid:67)(cid:103)(cid:104)sin =0, cos =0(cid:74)(cid:230)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:103)(cid:104) (cid:74)(cid:86)
2 2
(cid:103)(cid:104)(cid:141)(cid:130)(cid:131)(cid:87) 𝐴− − 𝐵 ∠𝐴,∠𝐵
| 3 | 1
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19) sin +( cos =0(cid:74)
2 2 2
∵ 𝐴− − 𝐵)3 1
sin =0, cos =0(cid:74)
2 2
∴ 𝐴−
3
− 1𝐵
sin = ,cos = (cid:74)
2 2
∴(cid:139)(cid:104)𝐴 =60°(cid:74)𝐵 =60°(cid:74)
∠𝐴 (cid:90)(cid:177)(cid:40)(cid:34)∠(cid:33)𝐵 (cid:35)(cid:87)
∴(cid:148)△(cid:130)𝐴(cid:131)𝐵(cid:109)𝐶(cid:10)(cid:177)(cid:40)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)6-3(cid:19)(cid:75) ABC(cid:36)(cid:74)(2cos 2) +| tan |=0 (cid:74)(cid:125) ABC(cid:95)(cid:68)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
2
A(cid:87)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)△(cid:35) B(cid:87)(cid:177)(cid:339)(cid:34)𝐴(cid:33)−(cid:35) 1C−(cid:87)(cid:177)𝐵(cid:40)(cid:34)(cid:33)(cid:35) △ D(cid:87)(cid:177)(cid:339)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)D
2
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:128)(cid:51)(cid:20)(cid:94)(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:330)(cid:225)(cid:101)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:104)(2cos 2) =0(cid:74)| tan |=0(cid:74)(cid:350)(cid:312)(cid:104)cos = (cid:74)
2
3
tan =1(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:57)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:104) =45°(cid:74)𝐴− =45°(cid:187)(cid:99)1(cid:100)−(cid:177)(cid:339)𝐵(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:101)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:215)𝐴(cid:33)(cid:101)(cid:67)(cid:102)
(cid:210)(cid:53)𝐵(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:158)(cid:130)(cid:131)(cid:87) ∠𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (2cos 2) +| tan |=0
3
∵ 𝐴− 1− 𝐵
(2cos 2) =0(cid:74)| tan |=0
3
∴ 2cos 𝐴− 2=0(cid:74) t 1 an − = 𝐵 0
∴ 𝐴− 2 1− 𝐵
cos = (cid:74)tan =1
2
∴ 𝐴=45°(cid:74) 𝐵=45°
∴∠𝐴= ∠𝐵 =90°(cid:74) =
∴∠𝐶ABC18(cid:95)0°(cid:68)−∠(cid:90)𝐴(cid:177)−∠(cid:339)𝐵(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)𝐵𝐶 𝐴𝐶
∴(cid:148)△(cid:145)(cid:10)D(cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:331)(cid:79)(cid:38)(cid:24)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:24)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:215)(cid:33)(cid:101)(cid:24)(cid:177)(cid:339)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:27)(cid:144)(cid:173)(cid:187)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:331)(cid:79)
(cid:38)(cid:24)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:350)(cid:312)(cid:349)(cid:247)(cid:37)(cid:139)(cid:87)
【题型7 由正弦、余弦、正切的的值求角度】
(cid:15)(cid:114)7(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:351)(cid:352)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) 3tan =1(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:38)(cid:109)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)30° B(cid:87)45° C(cid:87)△60𝐴°𝐵𝐶 ∠𝐶 D(cid:87)90° 𝐴 ∠𝐵
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)C
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:3)(cid:140)(cid:87)(cid:39) 3tan =1(cid:104)
𝐴3
tan = (cid:74)(cid:37)(cid:141) =30°(cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:103)(cid:37)(cid:141) =60°(cid:87)
3
(cid:15)(cid:143)𝐴(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) 3∠t𝐴an =1(cid:74) ∠𝐵
3 ∵ 𝐴
tan = (cid:74)
3
∴ 𝐴=30°(cid:74)
∴∠𝐴=90°(cid:74)
∵∠𝐶 = =60°(cid:87)
(cid:148)∴∠(cid:145)𝐵 C(cid:87)90°−30°
(cid:15)(cid:149)(cid:150)7-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:353)(cid:207)·(cid:182)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:61)(cid:124)tan( +20°)=1(cid:74)(cid:125)(cid:64)(cid:33) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:280)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)40° B(cid:87)30° C(cid:87)𝛼25° D(cid:87)𝛼10°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)C
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:39)(cid:103)(cid:104) +20°=45°(cid:74)(cid:100)(cid:296)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:74)(cid:205)(cid:84)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)
(cid:38)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87) 𝛼
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) tan( +20°)=1(cid:74)
+20°=45∵°(cid:74) 𝛼
∴𝛼=25(cid:74)
(cid:148)∴𝛼(cid:145)(cid:10)C(cid:87)
1
(cid:15)(cid:149)(cid:150)7-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:118)(cid:200)(cid:357)(cid:188)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:70)(cid:251) (cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:74)sin = (cid:74)(cid:162)(cid:163)cos( )= (cid:87)
2
1 𝛼 𝛼 90°−𝛼
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)
2
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:296)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:229)(cid:37)(cid:141) =30°(cid:74)(cid:230)(cid:208)(cid:209)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:141)(cid:130)(cid:131)(cid:87)
1 𝛼
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:90)(cid:64)(cid:33)(cid:74)sin = (cid:74)
2
=30°(cid:74) ∵𝛼 𝛼
∴𝛼 1
cos( )=cos( )=cos60°= (cid:74)
2
∴ 90°−𝛼1 90°−30°
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10)
2
| |
(cid:15)(cid:149)(cid:150)7-3(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:120)(cid:358)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:75)(cid:64)(cid:33) (cid:36)(cid:74)(cid:124)(tan 3) + sin 3 =0(cid:74)(cid:125) (cid:27)
2
2
(cid:25)(cid:23)(cid:38)(cid:90) (cid:87) △𝐴𝐵𝐶 𝐴− 𝐶− ∠𝐵
1
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19) /0.5
2(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:27)(cid:90)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:74)(cid:341)(cid:332)(cid:48)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:205)(cid:84)(cid:175)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)(cid:229)
3
(cid:99)(cid:100)(cid:341)(cid:332)(cid:48)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:104)(cid:141)tan 3=0(cid:74)sin =0(cid:74)(cid:39)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:104)(cid:141) (cid:318) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:74)(cid:230)(cid:39)(cid:34)(cid:33)
2
(cid:35)(cid:215)(cid:33)(cid:101)(cid:68)(cid:112)(cid:104)(cid:141) (cid:27)(cid:57)(cid:48)𝐴−(cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:104)(cid:141)(cid:128)𝐶(cid:129)−(cid:87) ∠𝐴 ∠𝐶
∠𝐵 | 3 |
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (tan 3) + sin =0(cid:74)
2
2
∵ 𝐴− 𝐶−
3
tan 3=0(cid:74)sin =0(cid:74)
2
∴ 𝐴− 𝐶−
3
tan = 3(cid:74)sin = (cid:74)
2
∴ (cid:74)𝐴 (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:74)𝐶
∵∠𝐴=∠6𝐶0°(cid:74) =60°(cid:74)
∴∠𝐴 = ∠𝐶 = =60°(cid:74)
∴∠𝐵 180°−∠𝐴1−∠𝐶 180°−60°−60°
(cid:27)(cid:25)(cid:23)(cid:38)(cid:90) (cid:87)
2
∴∠𝐵 1
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
2
【题型8 同角（互余）两角的三角函数的关系】
(cid:15)(cid:114)8(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:359)(cid:152)(cid:360)(cid:361)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:87)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
(1)(cid:37)(cid:362)(cid:10)sin +cos =1(cid:87)
2 2
𝐵 7 𝐵
(2)(cid:124)sin +cos = (cid:74)(cid:37)sin cos (cid:27)(cid:38)(cid:87)
5
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)𝐵(1)(cid:363)(cid:139)𝐵(cid:31) 𝐵⋅ 𝐵
12
(2)
25
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:144)(cid:173)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:280)(cid:195)(cid:74)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:27)(cid:280)(cid:195)(cid:74)(cid:263)(cid:195)
(cid:349)(cid:345)(cid:213)(cid:225)(cid:7)(cid:150)(cid:74)(cid:79)(cid:150)(cid:364)(cid:298)(cid:365)(cid:149)(cid:35)(cid:74)(cid:298)(cid:365)(cid:139)(cid:130)(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:59)1(cid:61)(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:25)(cid:23)(cid:74)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:74)(cid:103)(cid:104)sin = (cid:74)cos = (cid:74) = + (cid:74)(cid:366)(cid:183)(cid:149)(cid:35)(cid:103)(cid:104)(cid:74)sin =
𝐴𝐶 𝐵𝐶 2 2 2 2
𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐵
(cid:74)cos = (cid:74)(cid:230)(cid:298)(cid:365)(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:187)
2 2
𝐴𝐶 2 𝐵𝐶
2 2
𝐴𝐵 𝐵 𝐴𝐵7 7
(cid:59)2(cid:61)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:94)(cid:74)sin +cos = (cid:74)(cid:149)(cid:35)(cid:103)(cid:104)(sin +cos = (cid:74)(cid:230)(cid:99)(cid:100)sin +cos =1(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:141)
5 5 2
2 2 2
sin cos (cid:87) 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵) 𝐵 𝐵
(cid:15)(cid:143)𝐵(cid:139)⋅ (cid:19)(cid:59)𝐵 1(cid:61)(cid:139)(cid:10)(cid:362)(cid:367)(cid:70)(cid:105)(cid:10)
Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74)
∵ △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶
sin = (cid:74)cos = (cid:74) = + (cid:74)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 2 2 2
∴ 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶
sin = (cid:74)cos = (cid:74)
2 2
2 𝐴𝐶 2 2 𝐵𝐶 2
∴ 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴𝐵
sin +cos = + = = =1(cid:87)
2 2 2 2 2
2 2 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 +𝐵𝐶 𝐴𝐵
2 2 2 2
∴ 𝐵 𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐵7 𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:59)2(cid:61)(cid:139)(cid:10) sin +cos = (cid:74)
5
∵ 𝐵 𝐵
7
(sin +cos = (cid:74)
5 2
2
∴ 𝐵 𝐵) 49
sin +cos +2sin cos = (cid:74)
25
2 2
∴sin 𝐵+cos 𝐵=1(cid:74)𝐵⋅ 𝐵
2 2
∵ 𝐵 𝐵 49
1+2sin cos = (cid:74)
25
∴ 𝐵⋅ 1𝐵2
sin cos = (cid:87)
25
∴(cid:15)(cid:149)𝐵(cid:150)⋅8-1(cid:19)𝐵 (cid:124)sin( )=cos50°(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:57)(cid:48)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)20° 70°−B(cid:87)𝛼 30° 𝛼 C(cid:87)40° D(cid:87)50°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:25)(cid:62)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:63)(cid:10)sinα=cos(90°-α)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19) sinα=cos(90°-α)(cid:74)
sin( ∵ )=cos + =cos(20º+α)(cid:74)
∴sin(70°−𝛼)=cos(5900°(cid:74)°−70° 𝛼)
∵α=507º0-2°−0º𝛼=30º(cid:74)
∴(cid:148)(cid:145)(cid:10)B(cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:296)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:60)(cid:25)(cid:62)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:63)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)sinα=cos(90°-α)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)8-2(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:368)(cid:188)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:124) (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:87)
(1)(cid:37)(cid:362)(cid:10)①sin =cos(90 )(cid:187)②sin +cos 𝑎=1(cid:187)
∘ 2 2
(2)(cid:369)(cid:37)(cid:10)sin 1°𝛼+sin 2°+ −𝛼+sin 45°+𝛼 +sin𝛼88°+sin 89°(cid:27)(cid:38)(cid:87)
2 2 2 2 2
⋯ ⋯(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)(1)①(cid:363)(cid:139)(cid:31)(cid:187)②(cid:363)(cid:139)(cid:31)
1
(2)44
2
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:210)(cid:53)(cid:74)(cid:112)(cid:139)(cid:324)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:210)(cid:53)(cid:225)(cid:307)(cid:74)(cid:71)(cid:35)(cid:128)(cid:51)(cid:107)(cid:31)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)
(cid:140)(cid:87)
(cid:59)1(cid:61)①(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:210)(cid:53)(cid:225)(cid:307)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:187)②(cid:99)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:187)
(cid:59)2(cid:61)(cid:39)(cid:59)1(cid:61)(cid:27)(cid:210)(cid:53)(cid:103)(cid:104)sin89 =cos1 (cid:74)sin88 =cos2 (cid:74) sin46 =cos44 (cid:74)(cid:39)(cid:296)(cid:149)(cid:35)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87)
∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:59)1(cid:61)(cid:139)(cid:10)(cid:124) (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:74)
𝛼
(cid:265)(cid:370)(cid:70)(cid:118)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:27)(cid:32)(cid:33) (cid:74) =90 (cid:74) = (cid:74)
∘
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ∠𝐴 𝛼
①sin = (cid:74)cos(90 )=cos = (cid:74)
𝐵𝐶 𝐵𝐶
∘
sin 𝛼=c 𝐴 o 𝐵 s(90 )(cid:187)−𝛼 𝐵 𝐴𝐵
∘
∴ 𝛼 −𝛼
② + = (cid:74)(cid:312)sin = (cid:74)cos = (cid:74)
2 2 2 𝐵𝐶 𝐴𝐶
∴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝛼 𝐴𝐵 𝛼 𝐴𝐵
sin +cos = + = =1(cid:187)
2 2 2 2
2 2 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 +𝐴𝐶
2
(cid:59)∴2(cid:61)(cid:139)𝛼(cid:10)(cid:39)(cid:59)𝛼1(cid:61)(cid:103)𝐴(cid:104)𝐵(cid:10)sin8𝐴9𝐵 =cos1𝐴𝐵(cid:74)sin88 =cos2 (cid:74) sin46 =cos44 (cid:74)
∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘
sin 1 +sin 2 +…+sin 45 +…+sin 88 +sin 89
2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘
∴= (sin 1 +cos 1 )+(sin 2 +cos 2 )+ +(sin 44 +cos 44 )+sin 45
2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘ 2 ∘
⋯⋯
2
=1×44+ 2
2
1
=44 (cid:87)
2
(cid:15)(cid:149)(cid:150)8-3(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:345)(cid:346)·(cid:267)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:144)(cid:371)sin = (cid:74)cos = (cid:74)tan =
𝑎 𝑏
𝛼 𝑐 𝛼 𝑐 𝛼
(cid:74)
𝑎
𝑏
sin +cos = + = = =1(cid:87)(cid:86)(cid:95)(cid:176)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:101)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:213)(cid:225)(cid:101)(cid:109)1(cid:87)
2 2 2 2 2
2 2 𝑎 𝑏 𝑎 +𝑏 𝑐
2 2 2 2
∴ 𝛼 𝛼 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐(1)(cid:372)(cid:373)(cid:99)(cid:100)(cid:118)(cid:214)(cid:27)(cid:374)(cid:375)(cid:183)(cid:266)(cid:74)(cid:374)(cid:376)sin (cid:74)cos (cid:44)tan (cid:377)(cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:187)
𝛼 𝛼 𝛼 1 sin cos
(2)(cid:372)(cid:373)(cid:263)(cid:195)(cid:118)(cid:214)(cid:374)(cid:376)(cid:27)(cid:128)(cid:129)(cid:139)(cid:130)(cid:105)(cid:214)(cid:142)(cid:20)(cid:10)(cid:232)(cid:144) (cid:109)(cid:64)(cid:33)(cid:74)(cid:98)tan = (cid:74)(cid:37) (cid:27)(cid:38)(cid:87)
2 2sin cos
𝛼−2 𝛼
sin 𝛼 𝛼 𝛼+ 𝛼
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)(1)tan =
cos
𝛼
𝛼 𝛼
3
(2)
4
− sin
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:59)1(cid:61)(cid:263)(cid:195)sin = (cid:74)cos = (cid:74)tan = (cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:141)tan = (cid:187)
cos
𝑎 𝑏 𝑎 𝛼
𝛼 𝑐 sin c𝛼os 𝑐 𝛼 𝑏 𝛼 sin 𝛼 cos tan
(cid:59)2(cid:61)(cid:263)(cid:195)(cid:59)1(cid:61)(cid:36)(cid:128)(cid:129)(cid:74)(cid:156) (cid:27)(cid:107)(cid:364)(cid:74)(cid:107)(cid:378)(cid:58)(cid:285)(cid:379)(cid:97)cos (cid:74)(cid:104) = (cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:208)(cid:209)(cid:37)(cid:38)(cid:86)
2sin cos 2sin cos 2tan 1
𝛼−2 𝛼 𝛼−2 𝛼 𝛼−2
(cid:103)(cid:87) 𝛼+ 𝛼 𝛼 𝛼+ 𝛼 𝛼+
(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:68)(cid:69)(cid:74)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:377)(cid:113)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:74)(cid:22)(cid:127)(cid:112)(cid:139)(cid:68)(cid:69)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:59)1(cid:61)(cid:139)(cid:10) sin = (cid:74)cos = (cid:74)tan = (cid:74)
𝑎 𝑏 𝑎
sin ∵ 𝛼 𝑐 𝛼 𝑐 𝛼 𝑏
= ÷ = (cid:74)
cos
𝛼 𝑎 𝑏 𝑎
∴ 𝛼 𝑐 sin 𝑐 𝑏
tan = (cid:87)
cos
𝛼
∴ 𝛼 𝛼 sin cos tan 1
(cid:59)2(cid:61)(cid:139)(cid:10) = (cid:74)(cid:98)tan = (cid:74)
2sin cos 2tan 1 2
𝛼−2 𝛼 𝛼−2
sin cos ∵ 1𝛼+ 𝛼 3 𝛼+ 𝛼
= 2 = (cid:87)
2si 𝛼 n −2 cos 𝛼 2×− 1 221 4
∴ 𝛼+ 𝛼 + −
【题型9 锐角的三角函数的增减性】
(cid:15)(cid:114)9(cid:19)(cid:59)23-24(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:119)(cid:120)(cid:154)(cid:207)·(cid:380)(cid:11)(cid:133)(cid:369)(cid:61)(cid:70)(cid:71)(cid:74) (cid:36)(cid:74) = (cid:74) (cid:74) (cid:74) =4(cid:74)
=3(cid:74)(cid:125)(cid:3)(cid:91) (cid:24) (cid:24) (cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:3)(cid:63)(cid:59)(cid:199)(cid:199)△(cid:61)𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐵𝐸⊥𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐶𝐷 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸A(cid:87) > B(cid:87) < C(cid:87) > D(cid:87) <
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)∠𝐹A𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐵𝐷 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸 ∠𝐹𝐶𝐷 ∠𝐹𝐶𝐸 ∠𝐹𝐶𝐷
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:39)(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:74)(cid:381)(cid:305)(cid:104)(cid:158) = + =5(cid:74) = =5(cid:74) = = =2(cid:74)(cid:39)tan
2 2
𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶−𝐶𝐷 5−3
= (cid:74)tan = (cid:74)(cid:104)(cid:158)tan >tan (cid:74) > (cid:74)
2 3
𝐹𝐷 𝐹𝐷
∠(cid:39)𝐹𝐵𝐷 (cid:74) ∠𝐹𝐶𝐷(cid:74)(cid:104)(cid:158) (cid:59)∠(cid:34)𝐹𝐵(cid:33)𝐷(cid:35)(cid:27)(cid:34)∠(cid:96)𝐹𝐶(cid:382)𝐷(cid:383)∠(cid:384)𝐹(cid:91)𝐵𝐷(cid:58)(cid:95)∠𝐹(cid:174)𝐶(cid:61)𝐷(cid:74)(cid:128)(cid:51) = (cid:74)(cid:104)(cid:158)
𝐴𝐷⊥=𝐵𝐶 𝐵𝐸(cid:74)⊥(cid:86)𝐴(cid:103)𝐶(cid:37)(cid:139)(cid:74)𝐹𝐶⊥𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
∠(cid:132)𝐹(cid:20)𝐶𝐸(cid:133)(cid:134)∠(cid:135)𝐹(cid:74)𝐶𝐷(cid:110)(cid:111)(cid:68)(cid:112)(cid:74)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:10)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:366)(cid:183)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:81)(cid:385)(cid:33)(cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) (cid:74) =4(cid:74) =3(cid:74)
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐷
= + = 4 +3 =5(cid:74)
2 2 2 2
∴𝐴𝐶 = 𝐴𝐷=5(cid:74)𝐶𝐷 = = =2(cid:74)
∴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶−𝐶𝐷 5−3
tan = (cid:74)tan = (cid:74)
2 3
𝐹𝐷 𝐹𝐷
∵tan∠𝐹𝐵𝐷>tan ∠(cid:74)𝐹𝐶𝐷
∴ ∠𝐹>𝐵𝐷 (cid:74)∠𝐹𝐶𝐷
∴∠𝐹𝐵𝐷 ∠(cid:74)𝐹𝐶𝐷 (cid:74)
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶(cid:59)(cid:34)𝐵𝐸(cid:33)⊥(cid:35)𝐴(cid:27)𝐶 (cid:34)(cid:96)(cid:382)(cid:383)(cid:384)(cid:91)(cid:58)(cid:95)(cid:174)(cid:61)(cid:74)
∴(cid:386)𝐹𝐶⊥𝐴=𝐵 (cid:74)
∵𝐵𝐶 =𝐴𝐶 (cid:74)
∴(cid:148)∠(cid:145)𝐹𝐶(cid:10)𝐸A(cid:87)∠𝐹𝐶𝐷
(cid:15)(cid:149)(cid:150)9-1(cid:19)(cid:124)(cid:64)(cid:33) (cid:387)(cid:185)sin20°<cos <cos25°(cid:74)(cid:125) (cid:27)(cid:388)(cid:38)(cid:389)(cid:390)(cid:90) (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)25°< <∠𝐴70° 𝐴 ∠𝐴
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:391)(cid:229)(cid:99)∠(cid:100)𝐴sin20°=cos70°(cid:104)(cid:158)cos70°<cos <cos25°(cid:74)(cid:298)(cid:312)(cid:37)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) sin20°=cos70°(cid:74) ∠𝐴
∵cos70°<cos <cos25°(cid:74)
∴25°< <7∠0𝐴°(cid:87)
(cid:148)∴ (cid:130)(cid:131)(cid:109)∠(cid:10)𝐴 25°< <70°(cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)∠(cid:133)𝐴(cid:134)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:137)(cid:138)(cid:58)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:3)(cid:63)(cid:318)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)
(cid:66)(cid:67)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)9-2(cid:19)(cid:59)2025(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:105)·(cid:345)(cid:346)·(cid:267)(cid:20)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:81)(cid:385)(cid:92)(cid:165)(cid:59)(cid:195)<(cid:295)(cid:204)(cid:61)(cid:74)sin47°(cid:74)cos53°(cid:74)tan45°(cid:74)(cid:125) (cid:87)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)cos53°<sin47°<tan45°
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:81)(cid:385)(cid:92)(cid:165)(cid:74)(cid:137)(cid:138)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:392)(cid:242)(cid:64)(cid:33)(cid:33)(cid:57)(cid:27)(cid:65)(cid:92)(cid:312)(cid:65)(cid:92)(cid:74)(cid:393)(cid:22)(cid:23)(cid:38)(cid:126)(cid:92)(cid:91)1(cid:90)(cid:139)(cid:20)
(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:381)(cid:20)(cid:94)(cid:74)cos53°=sin37°(cid:74)
37°<47°<60°(cid:74)
∵ 3
cos53°<sin47°<sin60°= <1(cid:74)
2
∴tan45°=1(cid:74)
∵cos53°<sin47°<tan45°(cid:74)
∴(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10)cos53°<sin47°<tan45°(cid:87)
| |
(cid:15)(cid:149)(cid:150)9-3(cid:19)(cid:59)22-23(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:359)(cid:394)(cid:395)(cid:396)·(cid:123)(cid:36)(cid:61)(cid:124)30°< < <90°(cid:74)(cid:125) (cos cos ) cos 3 +
2
2
| cos |= (cid:87) 𝛼 𝛽 𝛽− 𝛼 − 𝛽−
1− 𝛼 3
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)
2
1−
3
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:141) (cid:44) (cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:24) (cid:44) (cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:74)(cid:248)(cid:249)(cid:167)(cid:397)(cid:210)(cid:53)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
2
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10) 30°< < <90°(cid:74) cosβ cosα cosβ
∵ 𝛼3 𝛽
cos <cos cos < (cid:87)
2
∴ 𝛽 𝛼, 𝛽| 3 |
(cos cos ) cos +| cos |
2
2
∴ 𝛽− 𝛼 −3 𝛽− 1− 𝛼
= |cos cos | +cos + cos
2
𝛽− 𝛼 − 𝛽3 1− 𝛼
= cos +cos +cos + cos
2
− 𝛽 𝛼 𝛽− 1− 𝛼
3
= (cid:74)
2
1− 3
(cid:148)(cid:130)(cid:131)(cid:109)(cid:10) (cid:87)
2
1−(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:74)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:74)(cid:99)(cid:100)(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:27)(cid:65)(cid:66)(cid:67)
3
(cid:54)(cid:55)(cid:141) (cid:44) (cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:24) (cid:44) (cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
2
cosβ cosα cosβ
【题型10 求特殊角的三角函数的值】
(cid:15)(cid:114)10(cid:19)(cid:59)24-25(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:202)(cid:206)(cid:152)(cid:366)·(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:61)(cid:81)(cid:385)sin75°(cid:74)cos75°(cid:74)tan75°(cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:74)(cid:22)(cid:127)(cid:27)(cid:90)(cid:59) (cid:61)
A(cid:87)cos75°<tan75°<sin75° B(cid:87)cos75°<sin75°<tan75°
C(cid:87)tan75°<cos75°<sin75° D(cid:87)sin75°<cos75°<tan75°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:81)(cid:385)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:27)(cid:92)(cid:165)(cid:74)(cid:219)(cid:220)(cid:398)75°(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:35)(cid:74)(cid:107)(cid:108)(cid:37)(cid:104)sin75°(cid:74)cos75°(cid:74)tan75°
(cid:27)(cid:38)(cid:74)(cid:230)(cid:81)(cid:385)(cid:92)(cid:165)(cid:74)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87)
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =75°(cid:74) =60°(cid:74) =30°
△𝐴𝐵𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
= =15°
∴(cid:246)∠𝐶𝐴𝐷=1 ∠𝐷
𝐴𝐵= =2(cid:74) = 3
∴𝐴𝐶 =𝐶𝐷3+2(cid:74) 𝐵𝐶
∴𝐵𝐷
= + = 1 +( 3+2) = 2+ 6
2 2 2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷
2 3 2 6
sin =sin75°= =
2 6 4
+ +
∴ ∠𝐵𝐴𝐷 +1 6 2
cos =cos75°= =
2+ 6 4
−
∠𝐵𝐴𝐷 2+ 3
tan =tan75°= =2+ 3
1
co∠s7𝐵5𝐴°𝐷<sin75°<tan75°(cid:74)
∴(cid:148)(cid:145)(cid:10)B(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)10-1(cid:19)(cid:59)2024·(cid:255)(cid:308)(cid:399)(cid:207)·(cid:235)(cid:182)(cid:61)(cid:75)(cid:210)(cid:53)tan15°(cid:27)(cid:38)(cid:285)(cid:74)(cid:103)(cid:97)(cid:400)(cid:195)“(cid:48)(cid:35)(cid:128)(cid:51)”(cid:401)(cid:402)(cid:219)(cid:265)(cid:403)(cid:404)(cid:71)(cid:35)(cid:27)(cid:225)(cid:307)
(cid:139)(cid:257)(cid:74)(cid:70)(cid:71)(cid:74)(cid:75)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) =30°(cid:74)(cid:405)(cid:41) (cid:158) (cid:283) = (cid:74)(cid:295)(cid:204) (cid:74)(cid:104) =15°(cid:74)(cid:246)
△𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐶𝐵 𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐵 1 𝐴𝐷 ∠𝐷3
= (cid:74)(cid:125) = = (cid:74) = 3 (cid:74) =(2+ 3) (cid:74)Rt (cid:36)tan15°= = = =
𝐴𝐶 2 3 (2 2 3 − )( 3)
𝐴𝐶 3(cid:87)(cid:325) 𝑎 (cid:81)(cid:342) 𝐴 (cid:337) 𝐵 (cid:225) 𝐷 (cid:307) 𝐵 (cid:74)(cid:103) 2 (cid:97) 𝑎 (cid:104) 𝐵𝐶 (cid:158)tan22 𝑎 .5 𝐶 °(cid:27) 𝐷 (cid:38)(cid:109)(cid:59) (cid:61) 𝑎 △𝐴𝐶𝐷 𝐷𝐶 + + 2− 2−1
A(cid:87) 2+1 B(cid:87) 2 C(cid:87) 2 D(cid:87)
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)B −1
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:70)(cid:71)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) = =45°(cid:74) = =22.5°(cid:74)(cid:85) (cid:91) (cid:74)(cid:125)
△𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
= (cid:74)(cid:246) = (cid:74)(cid:125) = (cid:74) = = 2 (cid:74) = = + = + 2 (cid:74)(cid:99)(cid:100)tan22.5°=
sin45°
𝐷𝐸
𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝑚 𝐷𝐸 𝑚 𝐵𝐷 𝑚 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝑚 𝑚
(cid:74)(cid:37)(cid:139)(cid:85)(cid:130)(cid:86)(cid:103)(cid:87)
𝐶𝐷
𝐴𝐶
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:139)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:74)Rt (cid:36)(cid:74) =90°(cid:74) = =45°(cid:74) = =22.5°(cid:74)
(cid:85) (cid:91) (cid:74) △𝐴𝐶𝐵 ∠𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸
(cid:386) (cid:90) (cid:27)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:74)
∵𝐴=𝐷 ∠(cid:74)𝐶𝐴𝐵
∴𝐷𝐸 𝐶𝐷
(cid:246) = (cid:74)(cid:125) = (cid:74) = = 2 (cid:74)
sin45°
𝐷𝐸
𝐶𝐷 𝑚 𝐷𝐸 𝑚 𝐵𝐷 𝑚
= = + = + 2 (cid:74)
∴𝐴
ta
𝐶
n22.
𝐵
5
𝐶
°=
𝐶𝐷
=
𝐵𝐷
=
𝑚
2
𝑚(cid:74)
𝐶𝐷 𝑚2
∴ (cid:148)(cid:145)(cid:10)B(cid:87) 𝐴𝐶 𝑚+ 𝑚 −1
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:177)(cid:33)(cid:79)(cid:177)(cid:40)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:22)(cid:26)(cid:87)(cid:205)(cid:193)(cid:137)(cid:138)(cid:33)(cid:213)(cid:107)(cid:196)(cid:27)(cid:67)(cid:102)(cid:74)(cid:177)(cid:33)(cid:79)(cid:177)(cid:40)(cid:74)
(cid:22)(cid:23)(cid:74)(cid:22)(cid:26)(cid:90)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
(cid:15)(cid:149)(cid:150)10-2(cid:19)(cid:298)(cid:209)(cid:382)(cid:36)(cid:249)(cid:74)(cid:76)(cid:77)(cid:406)(cid:258)(cid:11)(cid:158)(cid:105)(cid:214)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:7)(cid:150)(cid:10)
sin + =sin cos +cos sin (cid:74)
cos(𝛼 +𝛽) =cos𝛼cos𝛽 sin 𝛼sin 𝛽(cid:74)
tan (𝛼 + 𝛽) = tan𝛼 tan𝛽− 𝛼 tan 𝛽 tan 0)(cid:87)
tan
𝛼+ 𝛽
(𝛼 𝛽) 1− tan𝛼⋅ 𝛽(1− 𝛼⋅ 𝛽≠
(cid:263)(cid:195)(cid:342)(cid:343)(cid:7)(cid:150)(cid:37)(cid:141)(cid:105)(cid:186)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:87)(1)sin75°
(2)cos105°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)(1) 6 2
4
+
2 6
(2)
4
−
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:171)(cid:172)(cid:133)(cid:134)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:27)(cid:280)(cid:195)(cid:74)(cid:139)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:90)(cid:99)(cid:100)(cid:20)(cid:407)(cid:36)(cid:72)(cid:408)(cid:7)(cid:150)(cid:79)(cid:306)(cid:37)(cid:150)(cid:298)(cid:365)(cid:149)(cid:35)(cid:187)
(cid:59)1(cid:61)(cid:99)(cid:100)sin + =sin cos +cos sin (cid:74)(cid:78)sin75°(cid:409)(cid:247)sin(30°+45°)(cid:74)(cid:156)(cid:410)(cid:411)(cid:380)(cid:74)(cid:230)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:47)
(cid:48)(cid:38)(cid:298)(cid:365)(cid:210)(cid:53)((cid:86)𝛼(cid:103)𝛽(cid:104))(cid:158)(cid:128)(cid:251)𝛼(cid:187) 𝛽 𝛼 𝛽
(cid:59)2(cid:61)(cid:99)(cid:100)cos + =cos cos sin sin (cid:74)(cid:78)cos105°(cid:409)(cid:247)cos(45°+60°)(cid:74)(cid:156)(cid:410)(cid:411)(cid:380)(cid:74)(cid:230)(cid:99)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:47)
(cid:48)(cid:38)(cid:298)(cid:365)(cid:210)(cid:53)((cid:86)𝛼(cid:103)(cid:104)𝛽)(cid:158)(cid:128)(cid:251)𝛼(cid:87) 𝛽− 𝛼 𝛽
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)(cid:59)1(cid:61)(cid:139)(cid:10)sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45°
1 2 3 2
= × + ×
2 2 2 2
2 6
= (cid:187)
4
+
(cid:59)2(cid:61)(cid:139)(cid:10)cos105°=cos(45°+60°)
=cos45°cos sin45°sin60°
2 1 620°− 3
= × ×
2 2 2 2
−
2 6
= (cid:87)
4
−
(cid:15)(cid:149)(cid:150)10-3(cid:19)(cid:412)(cid:183)(cid:79)“(cid:64)(cid:33)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)”(cid:95)(cid:413)(cid:414)(cid:27)(cid:11)(cid:194)(cid:249)(cid:74)(cid:165)(cid:415)(cid:58)(cid:11)(cid:416)(cid:107)(cid:417)(cid:418)67°30 (cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:87)(cid:91)(cid:90)(cid:419)(cid:263)
′
(cid:195)(cid:420)(cid:25)(cid:285)(cid:113)(cid:79)(cid:410)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:298)(cid:365)(cid:135)(cid:374)(cid:376)(cid:87)(cid:75)(cid:421)(cid:142)(cid:135)(cid:422)(cid:423)(cid:24)(cid:44)(cid:58)(cid:11)(cid:424)(cid:425)(cid:249)(cid:74)(cid:419)(cid:257)(cid:68)(cid:366)(cid:183)(cid:219)(cid:220)(cid:232)(cid:11)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:59)(cid:70)
30°(cid:74)45°(cid:74)60°(cid:61)(cid:74)(cid:97)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:27)(cid:34)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:160)(cid:139)(cid:257)(cid:142)(cid:20)(cid:87)(cid:75)(cid:419)(cid:27)(cid:426)(cid:73)(cid:105)(cid:74)(cid:372)(cid:373)(cid:427)(cid:262)(cid:165)(cid:415)(cid:58)(cid:11)(cid:37)(cid:141)(cid:10)67°30 (cid:33)
′
(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:109)(cid:59)(cid:199)(cid:199)(cid:61)
2 1
A(cid:87) 2-1 B(cid:87) 4+2 2 C(cid:87) D(cid:87) 2+1
2 2
+
(cid:15)(cid:130)(cid:131)(cid:19)D
(cid:15)(cid:107)(cid:31)(cid:19)(cid:219)(cid:220)(cid:177)(cid:339)Rt (cid:74) (cid:213)(cid:107) (cid:74) (cid:74)(cid:246) = = (cid:74) =1(cid:74)(cid:104)(cid:158)
= =67.5△°(cid:74)𝐴(cid:230)𝐵𝐶(cid:128)(cid:51)𝐴𝐸(cid:177)(cid:339)(cid:32)∠(cid:33)𝐵𝐴(cid:34)𝐶(cid:33)(cid:35)𝐸𝐹(cid:27)⊥(cid:67)𝐴(cid:102)𝐶(cid:86)(cid:103)𝐴(cid:37)𝐵(cid:141)(cid:175)𝐵𝐶(cid:196)(cid:192)𝑥(cid:27)(cid:41)𝐵(cid:57)𝐸 (cid:74)(cid:39)(cid:71)(cid:103)(cid:144)(cid:10)tan67°30 =tan
′
∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐸𝐹2
67.5°= = (cid:74)(cid:86)(cid:49)(cid:10) = 𝑥− 2 1 (cid:74)(cid:139)(cid:225)(cid:266)(cid:86)(cid:103)(cid:37)(cid:139)(cid:87)
1
𝐴𝐵 𝐴𝐹 𝑥 𝑥− 2
𝑥−1
(cid:15)(cid:143)(cid:139)(cid:19)𝐵(cid:219)𝐸 (cid:220)𝐸(cid:177)𝐹(cid:339)Rt (cid:74) (cid:213)(cid:107) (cid:74) (cid:74)(cid:246) = = (cid:74) =1(cid:74)
(cid:175)(cid:33)(cid:57)(cid:101)(cid:196)(cid:192)(cid:27)(cid:41)(cid:57)(cid:70)△(cid:105)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:72)(cid:73)𝐴𝐸(cid:74) ∠𝐵𝐴=𝐶 𝐸𝐹⊥=𝐴6𝐶7.5°(cid:74)𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑥 𝐵𝐸
∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐴𝐸𝐹
(cid:39)(cid:71)(cid:103)(cid:144)(cid:10)tan67°30 =tan67.5°= = (cid:74)
′ 𝐴𝐵 𝐴𝐹
2 𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:86)(cid:49)(cid:10) = 𝑥− 2 1 (cid:74)
1
𝑥 𝑥− 2
𝑥−1
(cid:333)(cid:112)(cid:104)(cid:10) =0(cid:74)
2
(cid:86)(cid:10) =𝑥1−+2𝑥2−(cid:74)1 = 2(cid:59)(cid:332)(cid:38)(cid:313)(cid:314)(cid:61)(cid:74)
(cid:412)(cid:428)𝑥(cid:429)1(cid:74) =1+ 2𝑥2(cid:90)(cid:159)1(cid:225)−(cid:266)(cid:27)(cid:99)(cid:74)
tan67°30 𝑥 =tan67.5°= =1+ 2(cid:74)
1
′ 𝑥
∴
(cid:148)(cid:145)(cid:10)D(cid:87)
(cid:15)(cid:174)(cid:231)(cid:19)(cid:132)(cid:20)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:37)(cid:139)(cid:33)(cid:27)(cid:22)(cid:26)(cid:38)(cid:27)(cid:144)(cid:173)(cid:74)(cid:381)(cid:100)(cid:45)(cid:46)(cid:33)(cid:219)(cid:220)(cid:141)67°30 (cid:90)(cid:139)(cid:130)(cid:132)(cid:20)(cid:27)(cid:3)(cid:140)(cid:87)
′
