文档文本内容
专题 1.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)....................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:19)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:44)(cid:19)................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:19)....................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:49)(cid:20)(cid:19)............................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:19)....................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..............................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:61)(cid:33)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................13
知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
3. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:41)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
知识点2 相似三角形的周长比、面积比
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:29)(cid:69)(cid:76)(cid:68)
【题型1 利用相似三角形的性质求值】
(cid:15)(cid:77)1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)·(cid:71)(cid:84)(cid:85)(cid:20)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:73)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:91)10cm(cid:92)6cm(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:98)(cid:92)
(cid:99)48cm(cid:93)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)14cm B(cid:68)18cm C(cid:68)30cm D(cid:68)34cm
(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-1(cid:19)(cid:106)ΔABC ΔDEF,(cid:107)(cid:108)A(cid:109)B(cid:109)C(cid:70)(cid:90)(cid:36)D(cid:109)E(cid:109)F(cid:62)(cid:63)(cid:93)(cid:95)AB:DE=1:4(cid:93)(cid:110)(cid:111)(cid:87)(cid:88)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:63)
(cid:71)(cid:41)(cid:98)(cid:65)(cid:99)(cid:78) (cid:86) ∼
A(cid:68)1:2 B(cid:68)1:4 C(cid:68)1:8 D(cid:68)1:16(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:81)(cid:116)(cid:115)(cid:117)·(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:106) ABC DEF(cid:93)AB=6,DE=4(cid:93)(cid:110)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68) B= E B(cid:68)D △ F= 2 AC ∽△
3
∠ ∠
C(cid:68)S = 9 S D(cid:68)BC= 9 EF
ABC 4 DEF 4
△ △
(cid:15)(cid:104)(cid:105)1-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:133)(cid:134)(cid:93)Rt ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93)AC=BC(cid:93)(cid:108)D(cid:135)AB(cid:115)(cid:93)(cid:95)AD=
AC(cid:93)(cid:108)E(cid:99) ABC(cid:136)(cid:137)(cid:108)(cid:93)(cid:138)(cid:139)DE(cid:109)AE(cid:93)(cid:106) ADE △CDB(cid:93)(cid:110)∠CDE(cid:29)(cid:140)(cid:55)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
△ △ ∽△ ∠
A(cid:68)45° B(cid:68)36° C(cid:68)30° D(cid:68)22.5°
【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】
(cid:15)(cid:77)2(cid:19)(cid:78)2023·(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:69)·(cid:26)(cid:131)(cid:86)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93)D(cid:93)E(cid:70)(cid:90)(cid:99)AB(cid:93)AC(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)BE(cid:93)CD(cid:144)(cid:67)(cid:108)F(cid:68)
△
(1)(cid:145) ABE(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S (cid:93) ACD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S (cid:93)(cid:95)S =S (cid:68)
1 2 1 2
(cid:132)△(cid:53) (cid:93)(cid:138)(cid:139)DE(cid:68)(cid:106)△A=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE BC(cid:146)
① ① ∠ EF∥
(cid:132)(cid:53) (cid:93)(cid:106) FBC=45°(cid:93) FCB=30°(cid:93)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
DF
② (2)(cid:132)(cid:53)②(cid:93)(cid:106) ∠ A=90°(cid:93)CE= ∠ kAB(cid:93)BD=kAE(cid:93)DC=2BE(cid:93)(cid:147)(cid:139)(cid:148)(cid:149)k(cid:29)(cid:33)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)③2-1(cid:19)(cid:78)∠24-25(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:83)·(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:143)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:69)(cid:153)(cid:143)(cid:89)(cid:28)(cid:93)CE:EF:FD=1:2:3(cid:93)AE(cid:93)BF
(cid:24)(cid:144)(cid:67)(cid:108)G(cid:68)(cid:145) EFG(cid:92) ABG(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:70)(cid:90)(cid:99)S (cid:93)S (cid:93)(cid:106)S =3(cid:93)(cid:110)S =(cid:78) (cid:86)
1 2 1 2
△ △A(cid:68)6 B(cid:68)9 C(cid:68)18 D(cid:68)27
(cid:15)(cid:104)(cid:105)2-2(cid:19)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:155)(cid:156)(cid:71)(cid:93) ABC(cid:109) EDF(cid:29)(cid:107)(cid:108)(cid:157)(cid:135)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:155)(cid:156)(cid:29)(cid:156)(cid:108)(cid:115)(cid:93) ABC EDF(cid:93)(cid:110)
ABC+ ACB(cid:29)(cid:140)(cid:55)(cid:99)(cid:78) (cid:86) △ △ △ ∽△
∠ ∠
A(cid:68)75° B(cid:68)60° C(cid:68)55° D(cid:68)45°
(cid:15)(cid:104)(cid:105)2-3(cid:19)(cid:78)2022·(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53) (cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AC=BC(cid:93) ACB=90°(cid:93)(cid:108)D(cid:99)BC(cid:89)(cid:115)(cid:29)(cid:137)(cid:108)(cid:93)
(cid:138)(cid:139)AD(cid:93)(cid:162)(cid:108)C(cid:52)CE AD(cid:67)(cid:108)F(cid:93)(cid:144)AB(cid:67)①(cid:108)E(cid:93)(cid:138)△(cid:139)DE(cid:68) ∠
⊥
(1)(cid:106)AE=2BE(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)AF=2CF(cid:146)
BE
(2)(cid:132)(cid:53) (cid:93)(cid:106)AB= 2(cid:93)DE BC(cid:93)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
AE
② ⊥
【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】
(cid:15)(cid:77)3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:126)(cid:127)(cid:163)(cid:126)·(cid:26)(cid:131)(cid:86)O(cid:99)(cid:143)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:164)(cid:137)(cid:108)(cid:93)OA=OD(cid:93)OB=OC(cid:93) AOD+ BOC=180°(cid:68)
∠ ∠
(1)(cid:132)(cid:53)1(cid:93) AOB=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)AB=CD(cid:68)
(2)(cid:132)(cid:53)2(cid:93)E∠(cid:99)CD(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93)(cid:95) OED= AOB(cid:68)
∠ ∠OC
(cid:78)i(cid:86)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:146)
CD
AB OD
(cid:78)ii(cid:86)(cid:32)(cid:37)(cid:10) = (cid:68)
CD OC
(cid:15)(cid:104)(cid:105)3-1(cid:19)(cid:78)2023·(cid:115)(cid:165)(cid:166)(cid:81)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:133)(cid:134)(cid:167)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AD BC(cid:68)E(cid:91)(cid:89)AB(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)CE(cid:36)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD
(cid:144)(cid:67)(cid:108)F(cid:93)(cid:95)BE2=EFEC(cid:68) ∥
⋅
(cid:32)(cid:37)(cid:10)
(1) ABD FCB(cid:146)
(2)B△DBE∼=A△DCE(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)⋅ 3-2(cid:19)(cid:78)⋅ 24-25(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:151)·(cid:118)(cid:71)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:71)P(cid:99)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:115)(cid:137)(cid:56)(cid:108)(cid:93)(cid:162)P(cid:108)(cid:52)PE
CD(cid:144)AC(cid:67)(cid:67)(cid:108)E(cid:93)(cid:52)PF AC(cid:144)AD(cid:67)(cid:108)F(cid:93)(cid:138)(cid:139)DE(cid:109)BE(cid:68) ∥
∥
(1)(cid:106)FP=EP(cid:93)
(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE(cid:69)(cid:70) BDC(cid:146)
① (cid:32)(cid:37)(cid:10) 1 + 1 = ∠1(cid:146)
AB AO FP
②
(2)(cid:133)(cid:134)DO=DE=4(cid:93) (cid:95)P(cid:99)DO(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93) (cid:32)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)3-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:172)(cid:165)(cid:116)(cid:173)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:10)(cid:178)(cid:179)(cid:53)(cid:28)(cid:71)(cid:180)(cid:181)(cid:58)(cid:180)(cid:182)(cid:29)(cid:131)(cid:21)(cid:93)“(cid:137)(cid:41)(cid:26)(cid:66)(cid:27)”(cid:91)(cid:183)(cid:71)(cid:184)(cid:185)
(cid:178)(cid:179)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:29)(cid:190)(cid:77)(cid:93)(cid:133)(cid:134)A,E,B(cid:26)(cid:108)(cid:191)(cid:41)(cid:93)(cid:95) A= DEC= B(cid:29)(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:98)(cid:99)“(cid:137)(cid:41)(cid:26)(cid:66)(cid:27)”(cid:146)(cid:196)(cid:197)(cid:97)(cid:137)(cid:198)(cid:199)
(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:200)(cid:180)(cid:201)(cid:202)(cid:178)(cid:179)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:203)(cid:204) ∠ ∠ ∠(1)(cid:15)(cid:205)(cid:77)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:133)(cid:134)A,E,B(cid:26)(cid:108)(cid:135)(cid:206)(cid:137)(cid:207)(cid:147)(cid:41)(cid:115)(cid:93) A= B= DEC=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)Rt ADE Rt BEC
(2)(cid:15)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:59)(cid:19)(cid:132)(cid:210) A= B= DEC(cid:93)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:37)(cid:38)(cid:111)(cid:87)(cid:88)(cid:26)∠ (cid:27)∠(cid:28)(cid:24)∠(cid:25)(cid:214)(cid:204)(cid:32)(cid:37)(cid:10) ADE △ BEC∽ △
(3)(cid:15)(cid:215)(cid:77)(cid:63)(cid:23)(cid:19)(cid:132)(cid:210)∠A=∠B=∠DEC(cid:93)(cid:106)(cid:108)E(cid:91)AB(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE2=ADDC △ ∽△
∠ ∠ ∠ ⋅
【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】
(cid:15)(cid:77)4(cid:19)(cid:78)23-24(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)·(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:92)Rt ADE(cid:71)(cid:93) BAC= DAE=90°(cid:93)AC= 21(cid:93)
AB= 7(cid:93) AE= 3(cid:93)AD=1(cid:93)(cid:220) DAE(cid:221)(cid:108)A(cid:135)(cid:69)(cid:74)(cid:164)(cid:222)(cid:223)△(cid:224)(cid:225)(cid:226)α(0°△≤α≤360°)(cid:93)∠(cid:138)(cid:139)C∠E(cid:93)BD(cid:68)
△
(1)(cid:32)(cid:37)(cid:10) ADB AEC(cid:146)
(2)(cid:227)(cid:34)(cid:228)△(cid:41)(cid:42)CE∽(cid:92)△BD(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:94)(cid:122)(cid:38)(cid:189)(cid:229)(cid:146)
(3)(cid:230)(cid:108)B(cid:109)D(cid:109)E(cid:135)(cid:206)(cid:137)(cid:207)(cid:147)(cid:41)(cid:115)(cid:223)(cid:93)(cid:147)(cid:139)(cid:148)(cid:149)(cid:41)(cid:42)CE(cid:29)(cid:73)(cid:146)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)4-1(cid:19)(cid:231)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:78)(cid:232)(cid:91)(cid:66)(cid:233)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:86)(cid:137)(cid:88)(cid:107)(cid:108)(cid:234)(cid:137)(cid:207)(cid:235)(cid:41)(cid:36)(cid:62)(cid:89)(cid:24)(cid:144)(cid:93)(cid:107)(cid:108)(cid:36)(cid:144)(cid:108)(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:41)(cid:42)(cid:236)(cid:111)(cid:88)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:237)(cid:238)(cid:87)(cid:88)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:132)(cid:210)(cid:70)(cid:239)(cid:29)(cid:87)(cid:88)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:137)(cid:88)(cid:99)(cid:66)(cid:233)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:240)(cid:137)(cid:88)(cid:36)(cid:241)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:197)
(cid:97)(cid:236)(cid:111)(cid:207)(cid:41)(cid:42)(cid:242)(cid:243)(cid:111)(cid:88)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:244)(cid:245)(cid:70)(cid:237)(cid:41)(cid:68)
(1)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:135)ΔABC(cid:71)(cid:93) A=46°(cid:93)CD(cid:91)ΔABC(cid:29)(cid:244)(cid:245)(cid:70)(cid:237)(cid:41)(cid:93)(cid:95)AD=CD(cid:93)(cid:32) ACB(cid:29)(cid:140)(cid:55)(cid:68)
(2)(cid:132)(cid:53)2(cid:93)(cid:135)ΔABC(cid:71)(cid:93)A∠C=3(cid:93)BC= 2(cid:93)CD(cid:91)ΔABC(cid:29)(cid:244)(cid:245)(cid:70)(cid:237)(cid:41)(cid:93)(cid:95)ΔACD∠(cid:91)(cid:246)CD(cid:99)(cid:247)(cid:89)(cid:29)(cid:66)(cid:233)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:248)(cid:149)CD(cid:36)BD(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)4-2(cid:19)(cid:78)22-23(cid:249)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:81)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:118)(cid:71)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:236)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:253)(cid:254)GE(cid:109)EC(cid:109)GF(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:255)(cid:239)(cid:108)A(cid:109)B(cid:109)
D(cid:256)(cid:257)(cid:157)(cid:258)(cid:135)(cid:108)O(cid:259)(cid:93)(cid:95)(cid:108)G(cid:109)O(cid:109)C(cid:135)(cid:206)(cid:137)(cid:207)(cid:147)(cid:41)(cid:115)(cid:93)(cid:206)(cid:223)(cid:108)E(cid:109)O(cid:109)F(cid:135)(cid:240)(cid:137)(cid:207)(cid:147)(cid:41)(cid:115)(cid:68)(cid:232)(cid:260)(cid:261)AD=m(cid:109)AB=
n(cid:93)(cid:227)(cid:148)(cid:149)m(cid:109)n(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:66)(cid:262)(cid:3)(cid:44) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)4-3(cid:19)(cid:78)22-23(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:263)(cid:81)(cid:264)(cid:265)·(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:266)(cid:128)(cid:215)(cid:267)(cid:268)(cid:115)(cid:93)(cid:103)(cid:269)(cid:236)(cid:137)(cid:270)(cid:73)(cid:76)(cid:28)(cid:271)(cid:272)ABCD(cid:253)(cid:254)(cid:273)(cid:41)EB(cid:274)
(cid:275)(cid:93)(cid:132)(cid:53) (cid:276)(cid:277)(cid:93)(cid:271)(cid:272)Rt CB′E′(cid:102)(cid:103)(cid:278)(cid:27)(cid:29)(cid:107)(cid:108)E′(cid:135)DE(cid:115)(cid:93)(cid:102)(cid:73)(cid:147)(cid:27)(cid:89)(cid:36)(cid:279)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:144)(cid:89)AB(cid:67)(cid:108)G(cid:93)(cid:95)B′E′
AB(cid:99)(cid:280)(cid:281)①(cid:282)(cid:283)(cid:93)(cid:236)Rt CB△′E′(cid:253)(cid:254)DE(cid:76)(cid:284)(cid:69)(cid:285)(cid:93)(cid:230)(cid:108)E′(cid:286)(cid:287)(cid:108)E(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:221)(cid:108)E(cid:291)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:93)(cid:132)(cid:53) (cid:93)(cid:147)(cid:286)(cid:108)H⊥
(cid:36)(cid:108)B(cid:292)(cid:128)(cid:293)(cid:294)(cid:68)(cid:99)(cid:295)△(cid:39)(cid:32)BH(cid:36)AG(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:104)(cid:83)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:145)AG=m(cid:93)(cid:227)(cid:23)(cid:296)m(cid:29)(cid:297)(cid:55)(cid:105)(cid:298)(cid:277)BH(cid:68) ③
(cid:78)1(cid:86)(cid:135)(cid:69)(cid:285)(cid:162)(cid:299)(cid:71)(cid:93)BH= (cid:93)
(cid:78)2(cid:86)(cid:135)(cid:225)(cid:226)(cid:162)(cid:299)(cid:71)(cid:93)BH= (cid:68)
【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】
(cid:15)(cid:77)5(cid:19)(cid:78)2025·(cid:150)(cid:217)(cid:300)(cid:301)·(cid:131)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:86)(cid:135)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:115)(cid:305)(cid:137)(cid:108)E(cid:93)(cid:255)(cid:239)DE=2BE(cid:93)(cid:138)(cid:139)CE(cid:93)(cid:220) CEB
(cid:253)CE(cid:47)(cid:48)(cid:239)(cid:286) CEF(cid:93)(cid:138)(cid:139)AF,BF(cid:68) △
△
(cid:78)1(cid:86) AFB= (cid:146)
(cid:78)2(cid:86)∠(cid:106)AB=6,BC=9(cid:93)(cid:110)AF= (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:250)(cid:306)(cid:307)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93) ABC(cid:29)(cid:71)(cid:282)(cid:41)DE=5cm(cid:93)(cid:236) ABC(cid:253)DE(cid:48)(cid:308)(cid:93)(cid:255)(cid:108)A(cid:258)(cid:135)(cid:89)BC
△ △(cid:115)(cid:29)(cid:108)F(cid:259)(cid:93)(cid:106)A(cid:109)F(cid:87)(cid:108)(cid:43)(cid:29)(cid:309)(cid:310)(cid:91)8cm(cid:93)(cid:110) DEF(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)(cid:78) (cid:86)
△
A(cid:68)5cm2 B(cid:68)10cm2 C(cid:68)20cm2 D(cid:68)40cm2
(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:150)(cid:217)(cid:311)(cid:312)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB<BC(cid:93)AB=4(cid:93)E(cid:99)BC(cid:89)(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)(cid:95)BE=2(cid:93)(cid:220)
ABE(cid:253)(cid:147)(cid:41)AE(cid:47)(cid:48)(cid:288)(cid:93)(cid:108)B(cid:258)(cid:135)(cid:108)F(cid:259)(cid:93) ABC(cid:29)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:144)(cid:41)(cid:42)AF(cid:93)AD(cid:70)(cid:90)(cid:67)(cid:108)H(cid:93)G(cid:93)(cid:110)(cid:41)(cid:42)FH(cid:29)
△(cid:73)(cid:99) (cid:68) ∠
(cid:15)(cid:104)(cid:105)5-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:313)(cid:173)(cid:314)(cid:315)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93) BAC=90°(cid:93)AD(cid:99)BC(cid:115)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:93)(cid:220) ADC(cid:253)(cid:147)(cid:41)AD
△ ∠ BE 2 △
(cid:47)(cid:48)(cid:239)(cid:286) ADC′(cid:93)C′D(cid:36)AB(cid:144)(cid:67)(cid:108)F(cid:93)(cid:138)(cid:139)C′C(cid:36)AB,AD(cid:70)(cid:90)(cid:144)(cid:67)(cid:108)E,O(cid:93)(cid:138)(cid:139)C′B(cid:93)(cid:106) = (cid:93)(cid:110)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:60)(cid:154)
AE 3
△
(cid:316)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)AF=2BF B(cid:68)(cid:106)AD=2(cid:93)(cid:110) ADC=60°
C(cid:68)2S =S D(cid:68)CC′(cid:317)(cid:147)(cid:69)(cid:70)∠AD
BFC′ ADF
△ △
【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】
(cid:15)(cid:77)6(cid:19)(cid:78)2025·(cid:318)(cid:319)(cid:173)(cid:320)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:133)(cid:134)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:93)AB=a(cid:93)BC=b(cid:93)(cid:137)(cid:321)(cid:322)(cid:41)(cid:231)AB(cid:89)(cid:115)(cid:29)(cid:108)E(cid:149)(cid:323)(cid:93)(cid:253)
EP(cid:29)(cid:76)(cid:284)(cid:235)(cid:149)(cid:93)(cid:324)BC(cid:89)(cid:325)(cid:235)(cid:288)(cid:93)(cid:239)(cid:286)(cid:325)(cid:235)(cid:322)(cid:41)PQ(cid:93)(cid:326)(cid:324)CD(cid:89)(cid:325)(cid:235)(cid:288)(cid:93)(cid:239)(cid:286)(cid:325)(cid:235)(cid:322)(cid:41)QK…(cid:327)(cid:328)(cid:322)(cid:29)(cid:325)(cid:235)(cid:241)
(cid:189)(cid:93)(cid:329)(cid:137)(cid:330)(cid:29)(cid:325)(cid:235)(cid:93)(cid:325)(cid:235)(cid:29)(cid:27)(cid:140)(cid:66)(cid:67)(cid:331)(cid:235)(cid:29)(cid:27)(cid:140)(cid:93)(cid:77)(cid:132)(cid:10) QPC= EPB(cid:68)
∠ ∠(1)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:232)(cid:332)(cid:323)(cid:185)(cid:10)(cid:322)(cid:41)EP(cid:324)(cid:162)(cid:87)(cid:330)(cid:325)(cid:235)(cid:288)(cid:93)(cid:239)(cid:286)(cid:325)(cid:235)(cid:322)(cid:41)QK(cid:36)(cid:241)(cid:331)(cid:235)(cid:322)(cid:41)EP(cid:69)(cid:153)(cid:68)(cid:227)(cid:333)(cid:246)(cid:37)(cid:38)(cid:146)
(2)(cid:227)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:135)(cid:53)2(cid:52)(cid:149)(cid:325)(cid:235)(cid:108)F(cid:93)(cid:255)(cid:239)(cid:322)(cid:41)EF(cid:324)BC(cid:89)(cid:325)(cid:235)(cid:288)(cid:239)(cid:286)(cid:29)(cid:325)(cid:235)(cid:322)(cid:41)(cid:213)(cid:324)(cid:162)CD(cid:89)(cid:115)(cid:29)(cid:108)G(cid:146)(cid:78)(cid:334)(cid:335)
(cid:52)(cid:53)(cid:336)(cid:337)(cid:93)(cid:232)(cid:148)(cid:52)(cid:123)(cid:86)
(3)(cid:132)(cid:210)(cid:338)(cid:196)(cid:322)(cid:41)EF(cid:339)(cid:330)(cid:324)BC(cid:93)CD(cid:93)AD(cid:89)(cid:26)(cid:330)(cid:325)(cid:235)(cid:288)(cid:340)(cid:286)(cid:149)(cid:323)(cid:108)E(cid:93)(cid:110)(cid:331)(cid:235)(cid:322)(cid:41)(cid:29)(cid:27)(cid:140)(cid:63)(cid:341)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:29)(cid:207)
(cid:345)(cid:204)(cid:227)(cid:122)(cid:38)(cid:189)(cid:229)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-1(cid:19)(cid:78)24-25(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:318)(cid:319)(cid:346)(cid:347)·(cid:348)(cid:42)(cid:349)(cid:350)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93) ACB(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:144)AB(cid:67)(cid:108)D(cid:68)
△ ∠
(1)(cid:227)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:135)AC(cid:89)(cid:115)(cid:32)(cid:52)(cid:108)E(cid:93)(cid:255)(cid:239)EC=ED(cid:78)(cid:232)(cid:148)(cid:52)(cid:123)(cid:93)(cid:334)(cid:335)(cid:52)(cid:53)(cid:336)(cid:337)(cid:86)(cid:146)
(2)(cid:135)(cid:78)1(cid:86)(cid:29)(cid:207)(cid:345)(cid:120)(cid:93)(cid:106) AD = 1(cid:93)BC=10(cid:93)(cid:32)DE(cid:29)(cid:73)(cid:68)
BD 3
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:249)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:292)(cid:351)·(cid:118)(cid:119)(cid:86)(cid:103)(cid:352)(cid:135)(cid:11)(cid:350)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:223)(cid:93)(cid:353)(cid:149)(cid:49)(cid:20)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:137)(cid:207)(cid:164)(cid:27)(cid:27)(cid:69)(cid:70)
(cid:41)(cid:93)(cid:220)(cid:183)(cid:62)(cid:89)(cid:276)(cid:70)(cid:238)(cid:29)(cid:87)(cid:207)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:111)(cid:88)(cid:27)(cid:29)(cid:87)(cid:89)(cid:91)(cid:354)(cid:62)(cid:63)(cid:238)(cid:65)(cid:77)(cid:204)(cid:99)(cid:295)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:355)(cid:356)(cid:275)(cid:295)(cid:246)(cid:120)(cid:39)(cid:40)(cid:68)
(1)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:244)(cid:238)(cid:246)(cid:120)(cid:357)(cid:314)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:52) ABC(cid:29)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)BM(cid:144)AC(cid:67)(cid:108)D(cid:93)(cid:135)(cid:235)(cid:41)BM(cid:115)(cid:305)(cid:137)(cid:108)E(cid:93)(cid:255)(cid:239)AE=AB(cid:93)(cid:138)
(cid:139)AE(cid:78)(cid:334)(cid:335)(cid:52)(cid:53)(cid:336)(cid:337)(cid:93)(cid:232)(cid:148)(cid:52)(cid:123)△(cid:93)(cid:232)(cid:120)(cid:59)(cid:60)(cid:86)(cid:68)
(2)(cid:32)(cid:37)(cid:10) AD = AB
CD CB
(cid:37)(cid:38)(cid:10)BM(cid:69)(cid:70) ABC
∠ (cid:146)
①(cid:326) AE=AB
∵AEB= ABE
∴∠ ∠ (cid:146)
②AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:326) AE=AB
∵ (cid:146)
③(cid:339)(cid:328)(cid:115)(cid:358)(cid:37)(cid:38)(cid:93)(cid:103)(cid:352)(cid:359)(cid:246)(cid:239)(cid:149)(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)6-3(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:93)(cid:107)(cid:27)(cid:66)(cid:67)36 (cid:29)④(cid:66)(cid:233)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:195)(cid:99)(cid:300)(cid:264)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93)(cid:133)(cid:134)(cid:10)AB=AC(cid:93)
∘
(cid:95) A=36 ． △
∘
(1)∠(cid:135)(cid:53)1(cid:71)(cid:93)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:52)AB(cid:29)(cid:317)(cid:147)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:144)AC(cid:67)D(cid:93)(cid:94)(cid:138)(cid:139)BD(cid:78)(cid:334)(cid:335)(cid:52)(cid:53)(cid:336)(cid:337)(cid:93)(cid:232)(cid:148)(cid:52)(cid:123)(cid:86)(cid:146)
(2) BCD(cid:91)(cid:232)(cid:91)(cid:300)(cid:264)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:204)(cid:132)(cid:210)(cid:91)(cid:93)(cid:227)(cid:360)(cid:149)(cid:37)(cid:38)(cid:146)(cid:132)(cid:210)(cid:232)(cid:91)(cid:93)(cid:227)(cid:122)(cid:38)(cid:189)(cid:229)(cid:146)
△BC
(3)(cid:145) =k(cid:93)(cid:361)(cid:32)k(cid:29)(cid:33)(cid:146)
AC
BC
(4)(cid:132)(cid:53)2(cid:93)(cid:135) A B C (cid:71)(cid:93)(cid:133)(cid:134)A B =A C ， A =108 (cid:93)(cid:95)A B =AB(cid:93)(cid:227)(cid:147)(cid:139)(cid:148)(cid:149) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B C
1 1
∘
△ ∠
【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】
(cid:15)(cid:77)7(cid:19)(cid:78)24-25(cid:249)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)·(cid:275)(cid:11)(cid:84)(cid:361)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AB=3,BC=4(cid:93)(cid:108)D(cid:231)(cid:108)C(cid:149)(cid:323)(cid:253)CB
(cid:76)(cid:284)(cid:246)1cm/s(cid:284)(cid:108)B(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:162)(cid:108)D(cid:52)DE BC(cid:67)(cid:108)D(cid:68)(cid:246)△DE(cid:276)(cid:135)(cid:147)(cid:41)(cid:99)(cid:62)(cid:195)(cid:365)(cid:93)(cid:220) CDE(cid:48)(cid:308)(cid:93)(cid:108)C(cid:29)
(cid:62)(cid:63)(cid:108)(cid:99)C′(cid:93)(cid:285)(cid:56)(cid:162)(cid:299)(cid:71) EDC′(cid:36) ABC(cid:292)(cid:308)⊥(cid:366)(cid:70)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S(cm2)(cid:93)(cid:364)(cid:56)(cid:223)(cid:43)t(s)(cid:93)(cid:110)△S(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)
(cid:29)(cid:53)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:91)(cid:78)(cid:370)(cid:370)(cid:86) △ △A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)7-1(cid:19)(cid:78)2023·(cid:81)(cid:250)(cid:151)(cid:371)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:135)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)(cid:56)(cid:108)E(cid:231)(cid:108)A(cid:149)(cid:323)(cid:93)(cid:253)AB→BC(cid:76)(cid:284)(cid:364)(cid:56)(cid:93)
(cid:230)(cid:108)E(cid:286)(cid:287)(cid:108)C(cid:223)(cid:293)(cid:294)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:162)(cid:108)E(cid:52)FE AE(cid:93)(cid:144)CD(cid:67)(cid:108)F(cid:93)(cid:145)(cid:108)E(cid:29)(cid:364)(cid:56)(cid:372)(cid:299)(cid:99)x(cid:93)FC=y(cid:93)(cid:132)(cid:53)2(cid:276)(cid:298)
⊥ 4
(cid:277)(cid:29)(cid:91)y(cid:36)x(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:29)(cid:368)(cid:369)(cid:53)(cid:367)(cid:93)(cid:230)(cid:108)E(cid:135)BC(cid:115)(cid:364)(cid:56)(cid:223)(cid:93)FC(cid:29)(cid:61)(cid:368)(cid:73)(cid:140)(cid:91) (cid:93)(cid:110)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:91)
5
(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)20 B(cid:68)16 C(cid:68)6 5 D(cid:68)8 5
(cid:15)(cid:104)(cid:105)7-2(cid:19)(cid:78)2023·(cid:216)(cid:151)(cid:373)(cid:312)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)1(cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:71)(cid:93) C=90°(cid:93)BC=8(cid:93)(cid:108)D(cid:91)BC(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)(cid:183)(cid:71) ACD
BCA(cid:68)(cid:108)P(cid:253)BC(cid:231)(cid:108)C(cid:364)(cid:56)(cid:286)(cid:108)B(cid:93)(cid:145)CP(cid:29)(cid:73)(cid:140)(cid:99)△x(cid:93)PA+P∠D=y(cid:93)(cid:53)2(cid:91)(cid:108)P(cid:364)(cid:56)(cid:223)y(cid:374)x(cid:104)(cid:83)(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:53)△(cid:367)(cid:93)
∽(cid:110)△(cid:53)2(cid:71)(cid:61)(cid:375)(cid:108)M(cid:29)(cid:376)(cid:377)(cid:99)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)(3,4) B(cid:68)(2,2 5) C(cid:68)(3,2 5) D(cid:68)(2,4)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)7-3(cid:19)(cid:78)23-24(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:168)(cid:169)(cid:351)(cid:312)·(cid:348)(cid:42)(cid:349)(cid:350)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:167)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB DC(cid:93)DE AB(cid:93)CF AB(cid:93)(cid:317)(cid:342)
(cid:70)(cid:90)(cid:99)E(cid:109)F(cid:93)(cid:95)AE=EF=FB=5(cid:93)DE=12(cid:93)(cid:56)(cid:108)P(cid:231)(cid:108)C(cid:149)(cid:323)(cid:93)(cid:253)C→B→A→D∥(cid:29)(cid:76)(cid:284)(cid:246)⊥(cid:329)(cid:378)1(cid:88)(cid:379)⊥(cid:282)(cid:73)(cid:140)(cid:29)(cid:363)(cid:140)(cid:364)(cid:56)(cid:286)(cid:108)D(cid:293)(cid:294)(cid:93)(cid:145)(cid:364)(cid:56)(cid:223)(cid:43)(cid:99)t(cid:378)(cid:93)y=S (cid:93)(cid:110)y(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:367)(cid:368)(cid:369)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
CDP
△
A． B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】
(cid:15)(cid:77)8(cid:19)2025·(cid:158)(cid:116)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:68)(cid:135)(cid:171)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB=6cm(cid:93)BC=8cm(cid:93)(cid:62)(cid:27)(cid:41)AC(cid:109)BD(cid:144)(cid:67)(cid:108)O(cid:68)(cid:108)P(cid:231)(cid:108)A
(cid:149)(cid:323)(cid:93)(cid:253)AD(cid:76)(cid:284)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:363)(cid:140)(cid:99)1cm/s(cid:146)(cid:206)(cid:223)(cid:108)Q(cid:231)(cid:108)D(cid:149)(cid:323)(cid:253)DC(cid:76)(cid:284)(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:363)(cid:140)(cid:99)1cm/s(cid:68)(cid:230)(cid:137)(cid:88)
(cid:108)(cid:293)(cid:294)(cid:364)(cid:56)(cid:223)(cid:93)(cid:240)(cid:137)(cid:88)(cid:108)(cid:380)(cid:293)(cid:294)(cid:364)(cid:56)(cid:68)(cid:138)(cid:139)PO(cid:94)(cid:381)(cid:73)(cid:144)BC(cid:67)(cid:108)E(cid:93)(cid:162)(cid:108)Q(cid:52)QF AC(cid:93)(cid:144)BD(cid:67)(cid:108)F(cid:68)(cid:145)(cid:364)(cid:56)
(cid:223)(cid:43)(cid:99)t(s)(0<t<6)(cid:68)(cid:106)(cid:382)(cid:89)(cid:28)OECQF(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)ACD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:98)(cid:65)(cid:99)9:16(cid:93)(cid:110)∥t=
(cid:15)(cid:104)(cid:105)8-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:263)(cid:81)(cid:383)(cid:252)·(cid:131)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)(cid:66)(cid:233)(cid:147)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)ABC(cid:71)(cid:93)BC=8(cid:93)D(cid:91)BC(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)BD<
CD(cid:93)(cid:138)(cid:59)(cid:139)AD(cid:93)(cid:52)DE AD(cid:93)(cid:144)BC(cid:29)(cid:317)(cid:41)CE(cid:67)(cid:108)E(cid:68)(cid:138)(cid:139)AE(cid:93)(cid:144)BC(cid:67)F(cid:93)(cid:106)(cid:145)CF=x, CE=y(cid:93)(cid:135)D(cid:29)(cid:364)(cid:56)(cid:162)
(cid:299)(cid:71)(cid:93)(cid:120)(cid:121)(cid:297)(cid:55)(cid:105)(cid:29)(cid:33)(cid:232)⊥(cid:104)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)x+y B(cid:68)xy C(cid:68)x2+y2 D(cid:68) 1 − 1
x y
(cid:15)(cid:104)(cid:105)8-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:250)(cid:384)(cid:252)·(cid:26)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:133)(cid:134) ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93)AC=8(cid:93)BC=6(cid:93)(cid:108)M(cid:91)(cid:41)(cid:42)CB(cid:115)(cid:137)
△ ∠(cid:56)(cid:108)(cid:93)(cid:162)(cid:108)M(cid:52)MN AM(cid:144)AB(cid:67)(cid:108)N(cid:93)(cid:230)(cid:108)M(cid:231)(cid:108)C(cid:364)(cid:56)(cid:286)(cid:108)B(cid:29)(cid:162)(cid:299)(cid:71)(cid:93)(cid:108)N(cid:324)(cid:162)(cid:29)(cid:372)(cid:385)(cid:73)(cid:91) (cid:68)
⊥
(cid:15)(cid:104)(cid:105)8-3(cid:19)(cid:78)24-25(cid:249)(cid:113)(cid:114)(cid:120)·(cid:263)(cid:81)(cid:264)(cid:265)·(cid:118)(cid:71)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93) B=30°(cid:93)AB=20(cid:68)(cid:108)P
(cid:231)(cid:108)B(cid:149)(cid:323)(cid:93)(cid:246)(cid:329)(cid:378)2 3(cid:88)(cid:379)(cid:282)(cid:73)(cid:140)(cid:29)(cid:363)(cid:140)(cid:253)BC(cid:284)(cid:386)(cid:108)C(cid:364)△(cid:56)(cid:93)(cid:206)(cid:223)(cid:108)∠M(cid:231)(cid:108)A(cid:149)∠(cid:323)(cid:93)(cid:246)(cid:329)(cid:378)4(cid:88)(cid:379)(cid:282)(cid:29)
(cid:363)(cid:140)(cid:253)AB(cid:284)(cid:386)(cid:108)B(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:162)(cid:108)P(cid:52)PQ AB(cid:67)(cid:108)Q(cid:93)(cid:138)(cid:59)PQ(cid:93)(cid:246)PQ(cid:109)MQ(cid:99)(cid:387)(cid:89)(cid:52)(cid:171)(cid:28)PQMN(cid:93)(cid:230)(cid:108)P(cid:364)(cid:56)
(cid:286)(cid:386)(cid:108)(cid:223)(cid:93)(cid:388)(cid:88)(cid:364)(cid:56)(cid:293)(cid:294)(cid:93)(cid:108)P(cid:29)(cid:364)(cid:56)⊥(cid:223)(cid:43)(cid:99)t(cid:378)(cid:68)(cid:230)(cid:162)(cid:108)Q(cid:92)(cid:108)N(cid:29)(cid:147)(cid:41)(cid:317)(cid:147)(cid:67)Rt ABC(cid:29)(cid:137)(cid:89)(cid:223)(cid:93)t
= (cid:68) △
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】
(cid:15)(cid:77)9(cid:19)(cid:78)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:389)(cid:390)(cid:81)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AB=AC, BAC=90°(cid:93)M(cid:91)AC(cid:89)(cid:381)(cid:73)(cid:41)(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)
CD BM(cid:144)BM(cid:29)(cid:67)(cid:108)D(cid:93)E(cid:99)DC(cid:381)(cid:73)(cid:41)(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)(cid:95)△CE=BD(cid:93)N(cid:91)BE(cid:71)∠(cid:108)(cid:93)(cid:138)(cid:139)AE,AN(cid:93)(cid:120)(cid:121)(cid:59)(cid:60)(cid:71)(cid:10) CEA
=45⊥°(cid:146) AN BD(cid:146) (cid:106)AC=CM(cid:93)(cid:110)AE=2 2CD(cid:146) CD=2AN(cid:146) AC2=AEAF(cid:93)(cid:154)(cid:316)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:391)(cid:9)(cid:91)①(cid:78) ∠ (cid:86)
② ∥ ③ ④ ⑤ ⋅
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)①9-1②(cid:19)(cid:78)③2④02⑤5·(cid:79)(cid:80)(cid:81)①(cid:392)②(cid:393)(cid:394)⑤·(cid:26)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)③(cid:171)④(cid:28)⑤ABCD(cid:71)(cid:93)AB:BC=①2:3②(cid:93)④(cid:108)⑤E(cid:93)F(cid:70)(cid:90)(cid:135)(cid:89)AB(cid:93)BC(cid:115)(cid:93)
EF(cid:144)(cid:67)(cid:108)G(cid:93)(cid:106)G(cid:91)EF(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93)(cid:120)(cid:121)(cid:143)(cid:88)(cid:59)(cid:60)(cid:71)(cid:10) AB2+BC2=BD2(cid:146) BG= 1 EF(cid:146) ADB= BFE(cid:146) AE
2
① ② ③∠ ∠ ④
:CF=2:3(cid:93)(cid:154)(cid:316)(cid:29)(cid:91) (cid:78)(cid:395)(cid:391)(cid:9)(cid:396)(cid:359)(cid:86)(cid:15)(cid:104)(cid:105)9-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:141)(cid:142)(cid:73)(cid:397)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)(cid:69)(cid:153)(cid:143)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93) DBC=45°(cid:93)DE BC(cid:67)(cid:108)E(cid:93)BF CD(cid:67)
(cid:108)F(cid:93)(cid:95)DE(cid:109)BF(cid:144)(cid:67)(cid:108)H(cid:93)AD(cid:109)BF(cid:29)(cid:381)(cid:73)(cid:41)(cid:144)(cid:67)(cid:108)G(cid:68) ∠ ⊥ ⊥
A+ EDC=90°(cid:146) BG(cid:69)(cid:70) DBC(cid:146) ABG HEB(cid:93) (cid:106)FC=2DF(cid:93)(cid:110)S =11S (cid:93) (cid:106)(cid:108)F
四边形ABCD DFG
①(cid:99)D∠C(cid:71)∠(cid:108)(cid:93)(cid:110)BE=(②2+1)CE ∠ ③△ ∽△ ④ △ ⑤
(cid:110)(cid:115)(cid:358)(cid:59)(cid:60)(cid:154)(cid:316)(cid:29)(cid:91) (cid:68)(cid:78)(cid:395)(cid:391)(cid:9)(cid:396)(cid:359)(cid:86)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)9-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:398)(cid:159)(cid:172)(cid:399)·(cid:131)(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135)(cid:154)(cid:76)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AD=6,E(cid:99)AD(cid:89)(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)DE= 1 AD,F(cid:99)AB
3
(cid:381)(cid:73)(cid:41)(cid:115)(cid:137)(cid:108)(cid:93)BF=DE(cid:93)(cid:138)(cid:139)EF(cid:93)(cid:144)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:67)(cid:108)O(cid:68)(cid:246)(cid:120)(cid:59)(cid:60)(cid:10) CEF(cid:91)(cid:66)(cid:233)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:146) OED
OFB(cid:146) OD=2OB(cid:146) OC=2 5(cid:68)(cid:183)(cid:71)(cid:93)(cid:154)(cid:316)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:88)(cid:55)(cid:91)(cid:78) (cid:86) ①△ ②△ ∽△
③ ⑤
A(cid:68)1 B(cid:68)2 C(cid:68)3 D(cid:68)4
【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:77)10(cid:19)(cid:78)2025·(cid:126)(cid:127)(cid:400)(cid:217)·(cid:130)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93) ABC ADE, BAC= DAE=90°,AB=6,AC=8,F(cid:99)DE(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93)(cid:106)(cid:108)D
(cid:135)(cid:147)(cid:41)BC(cid:115)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:138)(cid:139)CF(cid:93)(cid:110)(cid:135)(cid:108)D(cid:364)△(cid:56)(cid:162)(cid:299)∽(cid:71)△(cid:93)(cid:41)(cid:42)∠CF(cid:29)∠(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:91)(cid:78) (cid:86)A(cid:68)2.4 B(cid:68)3 C(cid:68)4 D(cid:68)4.8
(cid:15)(cid:104)(cid:105)10-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:250)(cid:401)(cid:402)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93) ABC=90°(cid:93)AB=BC=8(cid:93)P(cid:91)(cid:41)(cid:42)BC(cid:136)(cid:137)(cid:56)(cid:108)(cid:93)
BP=6(cid:93)(cid:138)(cid:139)CP(cid:93)(cid:220)(cid:41)(cid:42)CP(cid:221)(cid:108)P(cid:291)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)90°△(cid:239)(cid:286)(cid:41)(cid:42)D∠P(cid:93)(cid:138)(cid:139)BD(cid:93)(cid:110)BD(cid:29)(cid:73)(cid:61)(cid:368)(cid:33)(cid:99) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)10-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)·(cid:398)(cid:159)(cid:403)(cid:402)·(cid:118)(cid:71)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93) ABC ADE(cid:93) BAC= DAE=90°(cid:93)AB=2(cid:93)AC=
5(cid:93)(cid:108)D(cid:135)(cid:41)(cid:42)BC(cid:115)(cid:364)(cid:56)(cid:93)(cid:108)P(cid:99)(cid:41)(cid:42)DE(cid:29)(cid:71)(cid:108)(cid:93)(cid:135)(cid:108)D△(cid:29)(cid:364)(cid:56)∽△(cid:162)(cid:299)(cid:71)(cid:93)∠CP(cid:29)(cid:61)∠(cid:103)(cid:33)(cid:91)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)10-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:404)(cid:116)(cid:405)(cid:312)·(cid:137)(cid:131)(cid:86)(cid:132)(cid:53)(cid:93)(cid:135) ABC(cid:71)(cid:93)AC=3(cid:93)BC=6(cid:93)(cid:246)AB(cid:99)(cid:89)(cid:284)(cid:115)(cid:52)(cid:171)(cid:28)ABDE(cid:93)(cid:62)(cid:27)
(cid:41)AD(cid:36)BE(cid:24)(cid:144)(cid:67)(cid:108)O(cid:93)(cid:95) AOE=60°(cid:93)(cid:138)(cid:139)OC(cid:93)△(cid:110)OC(cid:29)(cid:61)(cid:368)(cid:33)(cid:99) (cid:68)
∠
