文档文本内容
专题 1.6 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 “(cid:22)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)SAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 “(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:24)ASA(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 “(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:24)AAS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19).....................................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 “(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:24)SSS(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)....................................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:19)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:43)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)..........................................................................................................................19
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:44)(cid:45)(cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:19)..............................................................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:34)(cid:51)(cid:19)..........................................................................................................................26
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:19)..............................................................................................................................................29
+
A
A
科
全
★
号
知识点1 基本事实“边角边”（SAS） 公 众
注
关
，
源
1. (cid:56)(cid:22)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:23)(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)辅(cid:32)(cid:56) 资 (cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:22)(cid:23)(cid:22)”(cid:67)“SAS”(cid:63)
教
= ，
2. (cid:68)(cid:11)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75) = (cid:75)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:75)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐷
SAS)(cid:63) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点2 基本事实“角边角”（ASA）
1. (cid:56)(cid:22)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:23)(cid:22)(cid:23)”(cid:67)“ASA”(cid:63)
= (cid:75)
2. (cid:68)(cid:11)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75) = (cid:75)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:75)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸
ASA)(cid:63) ∠𝐵 ∠𝐸
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）
1. (cid:56)(cid:23)(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:79)(cid:58)(cid:78)(cid:80)(cid:81)(cid:31)(cid:23)(cid:32)(cid:82)(cid:22)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:23)(cid:23)(cid:22)”(cid:67)“AAS”(cid:63)= (cid:75)
2. (cid:68)(cid:11)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75) = (cid:75)
∠𝐴 =∠𝐷(cid:75)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐸
AAS)(cid:63) 𝐵𝐶 𝐸𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点4 基本事实“边边边”（SSS）
1. (cid:28)(cid:22)(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:22)(cid:22)(cid:22)”(cid:67)“SSS”(cid:63)
= (cid:75)
2. (cid:68)(cid:11)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:10)(cid:73)(cid:74)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75) = (cid:75)
𝐴𝐵= 𝐷𝐸(cid:75)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐸𝐹
AAS)(cid:63) 𝐴𝐶 𝐷𝐹
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(
知识点5 三角形的稳定性
(cid:83)(cid:37)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:75)(cid:73)(cid:90)(cid:80)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:28)(cid:22)(cid:32)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:75)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:29)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:30)(cid:93)(cid:34)(cid:75)(cid:28)(cid:23)(cid:29)
(cid:32)(cid:96)(cid:62)(cid:35)(cid:50)(cid:103)(cid:104)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)
(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:76)(cid:83)(cid:37)(cid:98)(cid:83)(cid:105)(cid:78)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:32)(cid:110)(cid:39)(cid:63)(cid:111)(cid:73)(cid:10)(cid:112)(cid:113)(cid:32)(cid:114)(cid:115)(cid:29)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:44)(cid:120)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:117)(cid:31)(cid:75)
(cid:124)(cid:39)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:125)(cid:83)(cid:37)(cid:78)(cid:32)(cid:126)(cid:127)(cid:84)(cid:128)(cid:129)(cid:39)(cid:63) A +
A
科
全
★
号
众
公
知识点6 斜边、直角边定理（HL）
关
注
，
源
资
辅
1. (cid:121)(cid:22)(cid:98)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:23)(cid:22)教(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:131)(cid:132)(cid:64)(cid:65)(cid:66)“(cid:121)(cid:22)(cid:118)(cid:47)(cid:23)(cid:22)”(cid:67)“HL”(cid:25)(cid:63)
= ，
2. (cid:68)(cid:11)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72):(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76)Rt (cid:77)Rt (cid:78)(cid:24) (cid:77) (cid:133)(cid:47)(cid:23)(cid:25)(cid:75)
= ，
′ ′
′ ′ ′ ′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐶 ∠𝐶 𝐵𝐶 𝐵 𝐶
Rt Rt (HL)(cid:63)
′ ′ ′
∴ △𝐴𝐵𝐶≌ △𝐴 𝐵 𝐶
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:111)1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:63) (cid:78)(cid:63) = (cid:75) (cid:48)(cid:49) (cid:63)(cid:145) (cid:133) (cid:137)(cid:80)
(cid:145)(cid:63)(cid:146)(cid:55)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:106) (cid:82)(cid:63) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐷(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)3
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:3)(cid:158)(cid:63)(cid:159)(cid:160)(cid:124)(cid:39)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:34)(cid:161)(cid:131)
(cid:162) = (cid:75)(cid:163)(cid:164)(cid:124)(cid:39)SAS(cid:131)(cid:153)(cid:34) ACD(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:131)(cid:162)BD=CD(cid:75) =
∠𝐵𝐴(cid:75)𝐷(cid:167)(cid:153)∠(cid:34)𝐶𝐴𝐷 (cid:75)(cid:168)(cid:164)(cid:26)△(cid:27)ABD≌△ (cid:169)(cid:131)(cid:63) ∠𝐴𝐷𝐵
(cid:15)∠A(cid:170)DC(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10) △ 𝐵𝐷(cid:48)𝐸≌(cid:49)△𝐶𝐷𝐸(cid:75) △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐸
= ∵ 𝐴(cid:75)𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶
∴(cid:76)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:98)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:78)(cid:75)
∴ △𝐴=𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶 A +
A
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 全 科
★
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:75)
众
号
公
注
关
∴ △𝐴=𝐵𝐷≌(cid:75)△𝐴𝐶𝐷 = (cid:75) 源 ，
资
辅
教
(cid:76)∴ 𝐵𝐷 𝐶(cid:98)𝐷 ∠𝐴𝐷(cid:78)𝐵 (cid:75)∠𝐴𝐷𝐶
△𝐵𝐸=𝐷 △𝐶𝐸𝐷
= (cid:75)
𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
𝐷𝐸 𝐷𝐸 (SAS)(cid:75)
(cid:76)∴ △𝐵𝐷𝐸(cid:98)≌△𝐶𝐷𝐸(cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐵=𝐸 △𝐴𝐶𝐸
= (cid:75)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸 (SAS)(cid:75)
∴(cid:172)△3(cid:82)𝐴𝐵(cid:30)𝐸(cid:31)≌(cid:28)△(cid:23)𝐴𝐶(cid:29)𝐸(cid:75)
(cid:173)∴(cid:147)(cid:148)(cid:133)3(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)1-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:176)(cid:126)(cid:177)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:68)(cid:11)(cid:181)(cid:137)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)“(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:29)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:32)(cid:193)(cid:194)”(cid:32)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:75)
(cid:199)(cid:200)(cid:100)(cid:81)(cid:201)(cid:202)(cid:186)(cid:132)(cid:74)(cid:40)(cid:148)(cid:10)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:39)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:56)(cid:165)(cid:100)(cid:207) (cid:75) (cid:32)(cid:78)(cid:145) (cid:208)(cid:34)(cid:75)(cid:209)(cid:210)(cid:187)(cid:162) (cid:75) (cid:211)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:75)
(cid:101)(cid:131)(cid:215)(cid:216)(cid:193)(cid:194) (cid:32)(cid:91)(cid:92)(cid:75)(cid:217)(cid:40)(cid:148)(cid:218)(cid:166)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:34)(cid:51)(cid:67)(cid:219)(cid:150)𝐴(cid:220)𝐷(cid:221)(cid:157)𝐵𝐶(cid:24) (cid:25)𝑂 𝐶 𝐷
𝐴𝐵A(cid:63)SAS B(cid:63)ASA C(cid:63)AAS D(cid:63)HL
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)A
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:32)(cid:157)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:110)(cid:39)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:132)(cid:137)(cid:215)(cid:222)(cid:145)(cid:157)(cid:171)(cid:147)(cid:150)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)“SAS”(cid:171)(cid:147)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
= △𝐴𝑂𝐵 𝐷𝑂𝐶
= (cid:75)
𝑂𝐴 =𝑂𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
+
A
𝑂𝐵 𝑂𝐶 (SAS)(cid:75) 科 A
全
★
号
众
∴△𝐴𝑂=𝐵≌△(cid:75)𝐷𝑂𝐶 公
注
关
，
源
∴𝐴(cid:217)𝐵(cid:40)(cid:148)𝐶(cid:218)𝐷(cid:166)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:34)(cid:51)辅(cid:67)(cid:219)资(cid:150)(cid:220)(cid:221)(cid:157)“SAS”(cid:75)
教
(cid:173)∴(cid:38)(cid:10)A(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)1-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:223)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:224)(cid:225)·(cid:11)(cid:226)(cid:151)(cid:227)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75) =
(cid:24)(cid:145) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:228)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:44)(cid:137)(cid:25)(cid:63)(cid:229)(cid:26)(cid:10) △𝐴𝐵(cid:63)𝐶 △𝐷𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵 𝐸 𝐶 𝐹 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:171)(cid:147)(cid:150)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)(cid:165)(cid:166)“SAS”(cid:153)
(cid:34)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10) = (cid:75)
+ = ∵+𝐵𝐸 (cid:75)𝐶𝐹
(cid:169)∴𝐵𝐸=𝐸𝐶(cid:75)𝐶𝐹 𝐸𝐶
𝐵𝐶 𝐸𝐹(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:75)
𝐴𝐵 =𝐷𝐸
∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐷𝐸𝐹
𝐵𝐶 𝐸𝐹 (SAS)(cid:63)
(cid:15)∴△(cid:174)𝐴(cid:175)𝐵𝐶1≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷2𝐸0𝐹25·(cid:231)(cid:232)·(cid:80)(cid:233)(cid:25)(cid:76) (cid:78)(cid:75) (cid:48)(cid:49) (cid:75) = (cid:75) =3(cid:75) =6(cid:75)(cid:146) = (cid:63)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵 2∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)9
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:234)(cid:217)(cid:20)(cid:124)(cid:39)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:78)(cid:235)(cid:39)(cid:236)(cid:237)(cid:44)(cid:238)(cid:239)(cid:91)(cid:240)(cid:241)(cid:41)(cid:242)(cid:243)(cid:30)
(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:163)(cid:164)(cid:124)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:171)(cid:20)(cid:75)(cid:96)(cid:157)(cid:171)(cid:244)(cid:44)(cid:45)(cid:98)(cid:245)(cid:246)(cid:20)(cid:168)(cid:235)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:75)(cid:4)(cid:247)(cid:155)(cid:156)(cid:63)
(cid:76) (cid:137)(cid:239)(cid:248) = (cid:75)(cid:249)(cid:250) (cid:75)(cid:26)(cid:27) (cid:75)(cid:162)(cid:202) = (cid:75)(cid:167)(cid:26)(cid:27) = (cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:68)(cid:255)
(cid:171)𝐴(cid:147)𝐶(cid:169)(cid:131)(cid:63)𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷 ∠𝐵 ∠𝐴𝐸𝐷 𝐸𝐷 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:76) (cid:137)(cid:239)(cid:248) = =3(cid:75)(cid:249)(cid:250) (cid:75)(cid:73)(cid:55)(cid:10)
+
A
𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:48)(cid:49) (cid:75) 辅 资
教
∵𝐴𝐷 =∠𝐵𝐴𝐶 (cid:75)
∴(cid:76)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:98)∠𝐶𝐴𝐷 (cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐵=𝐷 △𝐴𝐸𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐸 =𝐴𝐵
∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐸𝐴𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:75)
∴△𝐴=𝐵𝐷≌△(cid:75)𝐴𝐸𝐷 = (cid:75)
∴(cid:256)∠(cid:252)𝐵 ∠𝐴𝐸=𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵(cid:75) ∠𝐴𝐷𝐸
(cid:257) ∠=𝐵𝐷𝐸 2∠(cid:75)𝐴𝐷𝐵
∠𝐵 =2∠𝐴𝐷𝐵 (cid:75)(cid:256)(cid:252) = (cid:75)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠=𝐵6𝐷(cid:75)𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸
∴𝐶𝐸 =𝐶𝐷+ =3+6=9(cid:75)
(cid:173)∴𝐴(cid:147)𝐶(cid:148)(cid:133)𝐴𝐸(cid:10)9(cid:63)𝐶𝐸【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:111)2(cid:19)(cid:24)22-23(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:108)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:261)(cid:215) 3= 4(cid:75)(cid:210)(cid:262)(cid:27) (cid:75)(cid:263)(cid:132)“ASA”(cid:133)
(cid:218)(cid:166)(cid:75)(cid:146)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:80)(cid:62)(cid:130)(cid:267)(cid:157) (cid:63) ∠ ∠ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19) =
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)∠(cid:165)𝐴(cid:166)𝐵𝐶ASA(cid:26)∠𝐵(cid:27)𝐶𝐷 (cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:265)(cid:266) △=𝐴𝐵𝐶≌△(cid:75)𝐷(cid:51)𝐶𝐵(cid:268)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
3= 4(cid:75) = ∠(cid:75)𝐴𝐵𝐶 ∠=𝐵𝐶𝐷 (cid:75)
∵∠ ∠ 𝐵𝐶 𝐶(cid:63)𝐵 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷
∴(cid:173)△(cid:147)𝐴(cid:148)𝐵(cid:133)𝐶≌(cid:10)△𝐷𝐶𝐵=
(cid:15)(cid:145)(cid:269)(cid:19)(cid:150)∠(cid:20)𝐴(cid:270)𝐵𝐶(cid:210)(cid:151)∠(cid:152)𝐵(cid:186)𝐶𝐷(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:157)
A
(cid:171)+(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
A
科
全
★
(cid:15)(cid:174)(cid:175)2-1(cid:19)(cid:24)2025(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:30)(cid:272)·(cid:273)(cid:20)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:100)
众
(cid:27)(cid:274)号(cid:137)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:275)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:186)(cid:80)(cid:280)(cid:49)(cid:75)(cid:281)(cid:165)(cid:166)(cid:282)(cid:11)
公
注
关
(cid:32)(cid:215)(cid:222)(cid:283)(cid:284)(cid:101)(cid:285)(cid:286)(cid:186)(cid:80)(cid:62)(cid:77)(cid:274)(cid:137)(cid:102)源(cid:30)(cid:80)，(cid:287)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:94)(cid:95)(cid:100)(cid:27)(cid:285)(cid:55)(cid:32)(cid:218)(cid:166)(cid:157)(cid:24) (cid:25)
资
辅
教
A(cid:63)SSS B(cid:63)SAS C(cid:63)AAS D(cid:63)ASA
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:234)
(cid:165)(cid:166)ASA(cid:169)(cid:131)(cid:171)(cid:147)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:106)(cid:55)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:288)(cid:202)(cid:96)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:289)(cid:290)(cid:27)(cid:291)(cid:288)(cid:202)(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:133)(cid:56)(cid:62)(cid:23)(cid:98)(cid:80)(cid:130)(cid:22)(cid:75)(cid:79)(cid:157)(cid:56)(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:75)(cid:292)
(cid:217)(cid:293)(cid:294)ASA(cid:63)
(cid:173)(cid:38)D(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)2-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:224)(cid:225)(cid:295)(cid:296)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75)
= (cid:63)(cid:229)(cid:26)(cid:10) (cid:63) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:234)
(cid:160)(cid:229)(cid:286) = (cid:75)(cid:167)(cid:165)(cid:166)ASA(cid:169)(cid:131)(cid:26)(cid:162)(cid:297)(cid:298)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)∠(cid:19)𝐵(cid:26)𝐴𝐶(cid:27)(cid:10)∠𝐷𝐴𝐸 = (cid:75)
+ ∵=∠𝐵𝐴𝐷 +∠𝐶𝐴𝐸 (cid:75)(cid:169) = (cid:75)
∴(cid:76)∠𝐵𝐴𝐷 (cid:98)∠𝐶𝐴𝐷 ∠(cid:78)𝐶(cid:75)𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
△𝐴𝐵=𝐶 △𝐴𝐷𝐸
= (cid:75)
∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐵 𝐴𝐷
∠𝐵 ∠𝐷 (ASA)(cid:63)
A
+
A
科
全
★
∴(cid:15)△(cid:174)𝐴(cid:175)𝐵𝐶2≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐴𝐷23𝐸-24(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:231)(cid:232)(cid:299)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:210)
众
(cid:187)号(cid:188)(cid:300)(cid:301)(cid:56)(cid:302)M(cid:118)N(cid:56)(cid:145)(cid:212)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:75)(cid:131)(cid:132)(cid:76)(cid:47)(cid:44)
公
注
关
(cid:137)(cid:248)A(cid:75)B(cid:56)(cid:145)(cid:75)(cid:167)(cid:76)(cid:300)(cid:301)(cid:303)(cid:248) 源(cid:32)(cid:46)，(cid:44) (cid:137)(cid:32)(cid:56)(cid:145)C(cid:75)D(cid:75)(cid:125) = (cid:75)(cid:304)(cid:145) (cid:167)(cid:285)(cid:286) (cid:32)(cid:46)(cid:44) (cid:75)(cid:125)𝑀𝑁
资
辅
教
(cid:145) (cid:77)A(cid:75)C(cid:76)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:44)(cid:137)(cid:75)(cid:263)(cid:217)𝐴𝐵(cid:305)(cid:187)(cid:162) 𝐵𝐹=16m(cid:75) =0.5m(cid:75)𝐵𝐶 𝐶=𝐷1.5m(cid:75)(cid:146)𝐷(cid:300)(cid:301)(cid:56)𝐵(cid:302)𝐹M(cid:75)N𝐷(cid:56)𝐸(cid:145)(cid:212)(cid:32)
(cid:213)𝐸(cid:214)(cid:133) m(cid:63) 𝐷𝐸 𝐴𝑀 𝐵𝑁
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)14
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:110)(cid:39)(cid:75)(cid:124)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)ASA(cid:26)(cid:286) (cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)
(cid:158)(cid:63)(cid:268)(cid:46)(cid:44)(cid:32)(cid:34)(cid:161)(cid:131)(cid:162)(cid:286) = =90°(cid:75)(cid:297)(cid:294) = (cid:75) = (cid:75)△(cid:169)𝐴(cid:131)𝐵(cid:26)𝐶≌(cid:286)△𝐸𝐷𝐶
(ASA)(cid:75)(cid:124)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)∠(cid:35)𝐵(cid:50)(cid:131)∠𝐸(cid:162)𝐷(cid:286)𝐶 (cid:63) 𝐵𝐶 𝐷𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐸𝐶𝐷 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐶
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10) (cid:75)
∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐹,𝐷𝐸⊥𝐵𝐹= =90°(cid:63)
(cid:76)∴∠𝐵 ∠(cid:98)𝐸𝐷𝐶 (cid:78)(cid:75)
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐸𝐷𝐶
=
∠𝐵 =∠𝐸𝐷𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐸 (ASA)(cid:75)
∴△𝐴𝐵=𝐶≌△=𝐸1𝐷6𝐶m(cid:75)
∴𝐴𝐵 =𝐸0𝐷.5m =1.5m(cid:75)
∵𝐴𝑀 = ,𝐵𝑁 =14m(cid:75)
(cid:173)∴(cid:147)𝑀𝑁(cid:148)(cid:133)1(cid:10)61−40(cid:63).5−1.5
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
(cid:15)(cid:111)3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75) =90°(cid:75) = (cid:75)(cid:49)(cid:60)(cid:304)(cid:145)A(cid:75)B(cid:54)(cid:304)(cid:145)C(cid:32)(cid:47)
(cid:44)(cid:32)(cid:46)(cid:44) (cid:75) (cid:63)(cid:263) =3cm(cid:75) =5cm(cid:75)(cid:146)∠𝐴𝐶(cid:32)𝐵(cid:91)(cid:133)(cid:24) 𝐶𝐴(cid:25) 𝐶𝐵
𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝑀𝑁
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:63)7cm B(cid:63)8cm C(cid:63)9cm D(cid:63)10cm
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)B
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:80)(cid:310)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:106)SAS(cid:118)ASA(cid:118)AAS(cid:75)SSS(cid:75)
(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:289)(cid:106)HL(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:82)(cid:110)(cid:22)(cid:61)(cid:31)(cid:75)(cid:82)(cid:110)(cid:23)(cid:61)(cid:31)(cid:63)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)
(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:268) (cid:75) (cid:131)(cid:162) = =90°(cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:131)(cid:162) + =90°(cid:63)(cid:257)(cid:268) =90°(cid:131)(cid:162)
𝐴𝑀⊥+𝑀𝑁 𝐵𝑁=⊥90𝑀°(cid:75)𝑁(cid:251)(cid:252)∠(cid:131)𝑀(cid:162) ∠𝑁= (cid:63)(cid:167)(cid:165)(cid:166)AA∠S𝐴(cid:131)(cid:162)∠𝐴𝐶𝑀 (cid:75)∠(cid:146)𝐴𝐶(cid:131)𝐵(cid:162) = =3cm(cid:75)
∠𝐴𝐶=𝑀 ∠=𝐵𝐶5𝑁cm(cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:131)(cid:229)(cid:162) ∠(cid:32)𝐴(cid:91)(cid:63)∠𝐵𝐶𝑁 △𝐴𝐶𝑀≌△𝐶𝐵𝑁 𝐴𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)𝐵𝑁(cid:170)(cid:171)𝐶(cid:19)𝑀(cid:171)(cid:10) (cid:75) 𝑀𝑁 (cid:75)
= =∵9𝐴0°𝑀(cid:75)⊥𝑀𝑁 𝐵𝑁⊥𝑀𝑁
∴∠𝑀+ ∠𝑁 =90°(cid:75)
∴∠𝐴 ∠=𝐴𝐶9𝑀0°(cid:75)
∵∠𝐴𝐶𝐵 + =90°(cid:75)
∴∠𝐴𝐶𝑀 ∠𝐵𝐶𝑁= (cid:63)
(cid:76)∴∠𝐴 ∠𝐵(cid:98)𝐶𝑁 (cid:78)(cid:75)
△𝐴=𝐶𝑀 △𝐵𝐶𝑁
= (cid:75)
∠𝑀= ∠𝑁
∠𝐴 ∠𝐵𝐶𝑁
𝐴𝐶 𝐶𝐵 AAS)(cid:75)
∴△𝐴𝐶=𝑀≌△=𝐶3𝐵c𝑁m((cid:75) = =5cm(cid:75)
∴𝐴𝑀 =𝐶𝑁 + =5𝐵𝑁+3=𝐶𝑀8cm(cid:63)
(cid:173)∴(cid:38)𝑀𝑁(cid:10)B(cid:63)𝐶𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)(cid:174)(cid:175)3-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:178)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75) (cid:75)(cid:210)(cid:125) (cid:75)(cid:264)(cid:210)(cid:265)(cid:266)
(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:131)(cid:132)(cid:157)(cid:74)(cid:314)(cid:38)(cid:315)(cid:78)(cid:32)(cid:24) (cid:25) 𝐴𝐸∥𝐹𝐷,𝐶𝐸∥𝐹𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
+
A
A
科
A(cid:63) = B(cid:63) = C(cid:63) = ★ 全D(cid:63) =
号
众
公
注
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)𝐴𝐵D 𝐵𝐶 ∠𝐸 ∠𝐹 关 ∠𝐴 ∠𝐷 𝐴𝐸 𝐷𝐹
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:217)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)教(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:261)(cid:215)(cid:162)(cid:202) = (cid:75) = (cid:75)(cid:167)(cid:165)(cid:166)(cid:38)(cid:315)(cid:251)(cid:316)(cid:153)(cid:317)(cid:169)
(cid:131)(cid:63) ∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐷𝐵𝐹
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10) (cid:75)
= (cid:75) ∵𝐴𝐸∥=𝐹𝐷,𝐶𝐸∥(cid:75)𝐹𝐵
∴(cid:38)∠(cid:315)𝐴(cid:78)(cid:209)∠𝐷(cid:106)(cid:318)∠𝐴𝐶𝐸= ∠(cid:305)𝐷𝐵(cid:75)𝐹 (AAS)(cid:75)(cid:265)(cid:266)(cid:58)(cid:319)(cid:38)(cid:315)(cid:320)(cid:321)(cid:290)(cid:26)(cid:27) (cid:63)
(cid:173)(cid:38)(cid:10)D(cid:63) 𝐴𝐸 𝐷𝐹 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵 △𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐷𝐵
(cid:15)(cid:174)(cid:175)3-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:137)(cid:322)(cid:323)(cid:259)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:63)(cid:261)(cid:215) (cid:157) (cid:22) (cid:32)(cid:78)(cid:44)(cid:63) (cid:75) (cid:118)
(cid:77)(cid:47)(cid:44) (cid:32)(cid:324)(cid:145)(cid:49)(cid:60)(cid:133)(cid:145) (cid:118) (cid:75)(cid:325)(cid:262)(cid:27) (cid:77) (cid:30)(cid:31)(cid:32)𝐴(cid:51)𝐷(cid:268)(cid:63)△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸∥𝐵𝐹 𝐶𝐸 𝐵𝐹
𝐴𝐷 𝐸 𝐹 △𝐶𝐷𝐸 △𝐵𝐷𝐹
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:51)(cid:268)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:75)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:10)(cid:78)(cid:44)(cid:162)(cid:202)= (cid:75)(cid:48)(cid:316)(cid:162)(cid:202) = = (cid:75)(cid:124)(cid:39)AAS(cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:26)(cid:63)
𝐶(cid:15)𝐷(cid:170)(cid:171)𝐵(cid:19)𝐷(cid:171)(cid:10) ∠(cid:77)𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷(cid:30),∠(cid:31)𝐷(cid:32)𝐶𝐸(cid:51)(cid:268)∠(cid:73)𝐷(cid:74)𝐵𝐹(cid:10)
(cid:157) (cid:22)△𝐶𝐷(cid:32)𝐸(cid:78)(cid:44)△(cid:75)𝐵𝐷𝐹
∵𝐴𝐷=△𝐴(cid:75)𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴𝐶𝐷 𝐵𝐷(cid:75)
∵𝐶𝐸∥=𝐵𝐹 = (cid:75)
∴∠𝐹 ∠𝐶𝐸𝐷,∠𝐷𝐶(𝐸AAS∠)(cid:63)𝐷𝐵𝐹
∴(cid:15)△(cid:174)𝐶(cid:175)𝐷𝐸3-≌3(cid:19)△(cid:73)𝐵𝐷(cid:55)𝐹(cid:75) =90°(cid:75) = (cid:75) (cid:326) (cid:75) (cid:326) (cid:63)(cid:74)(cid:192)(cid:306)(cid:62)(cid:297)(cid:298)(cid:10)
= (cid:234) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶(cid:234) 𝐵𝐶 =𝐵𝐸⊥(cid:234)𝐶𝐸 𝐸 𝐴𝐷⊥=𝐶𝐸 (cid:75)𝐷(cid:58)(cid:78)(cid:327)(cid:93)(cid:32)(cid:106) (cid:63)①
∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ②△𝐶𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ③𝐴𝐵 𝐶𝐸 ④𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
+
A
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19) 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)①(cid:268)②④ (cid:326) (cid:75) (cid:326) (cid:75)(cid:162) 公(cid:75)(cid:146) = (cid:75)(cid:131)(cid:153)(cid:317) (cid:327)(cid:93)(cid:234)(cid:165)(cid:166)“(cid:228)(cid:23)(cid:32)(cid:328)(cid:23)
注
关
，
源
(cid:61)(cid:31)”(cid:329)(cid:330)(cid:286)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸= 𝐸 辅𝐴(cid:75)𝐷资(cid:169)⊥(cid:131)𝐶𝐸(cid:26)(cid:27)𝐷 𝐵𝐸∥𝐴𝐷 (cid:75)∠𝐴 𝐵(cid:131)𝐸(cid:153)(cid:317)∠𝐵𝐴(cid:327)𝐷(cid:93)(cid:234)(cid:268)(cid:46)①(cid:44)(cid:45)(cid:168)(cid:241)(cid:131)(cid:26)(cid:27) > (cid:75)
教
> (cid:75)(cid:146)∠𝐵𝐶>𝐸 ∠(cid:75)𝐶(cid:131)𝐴𝐷(cid:153)(cid:317) (cid:331)(cid:332)(cid:234)△(cid:268)𝐶𝐵𝐸≌=△𝐴(cid:75)𝐶𝐷 = (cid:75)②(cid:79) = (cid:75)(cid:162) =𝐴𝐵 (cid:75)𝐵(cid:131)𝐶(cid:153)
𝐵(cid:317)𝐶 (cid:327)𝐶𝐸(cid:93)(cid:75)(cid:326)𝐴(cid:157)𝐵(cid:162)(cid:202)𝐶𝐸(cid:246)(cid:20)(cid:32)(cid:147)(cid:148)③(cid:63) 𝐶𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸−𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷−𝐵𝐸 𝐷𝐸
(cid:15)④(cid:170)(cid:171)(cid:19) (cid:75) (cid:75)
∵(cid:75)𝐵𝐸⊥𝐶𝐸 𝐴𝐷⊥𝐶𝐸
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐸 (cid:75)(cid:173) (cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴∠𝐴𝐵=𝐸 ∠𝐵𝐴=𝐷 ①=90°(cid:75)
∵∠𝐸 ∠=𝐴𝐷𝐶 ∠=𝐴𝐶𝐵 (cid:75)
∴(cid:76)∠𝐵𝐶𝐸 (cid:98)∠𝐶𝐴𝐷 9(cid:78)0(cid:75)°−∠𝐴𝐶𝐷
△𝐶=𝐵𝐸 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:75)
∠𝐸 =∠𝐴𝐷𝐶
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐶𝐴 (AAS)(cid:75)(cid:173) (cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴△𝐶𝐵𝐸≌(cid:75)△𝐴𝐶𝐷 (cid:75) ②
∵𝐵𝐶⊥>𝐴𝐶(cid:75)𝐶𝐸⊥>𝐵𝐸 (cid:75)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐸> (cid:75)(cid:173) (cid:331)(cid:332)(cid:234)
∴𝐴𝐵 𝐶𝐸 ③(cid:75)
∵△𝐶=𝐵𝐸≌(cid:75)△𝐴𝐶𝐷= (cid:75)
∴𝐶𝐸 𝐴𝐷= 𝐵𝐸(cid:75) 𝐶𝐷
∵𝐶𝐸−𝐶𝐷 =𝐷𝐸(cid:75)(cid:173) (cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴(cid:173)𝐴(cid:147)𝐷−(cid:148)𝐵(cid:133)𝐸(cid:10) 𝐷𝐸 ④(cid:63)
(cid:15)(cid:145)(cid:269)(cid:19)(cid:217)(cid:20)①(cid:151)②(cid:152)④(cid:186)(cid:228)(cid:23)(cid:32)(cid:328)(cid:23)(cid:61)(cid:31)(cid:118)(cid:46)(cid:44)(cid:45)(cid:168)(cid:241)(cid:118)(cid:48)(cid:316)(cid:44)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:118)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:31)(cid:215)
(cid:222)(cid:75)(cid:26)(cid:27) = (cid:57) (cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
【题型4 ∠ 𝐵“边 𝐶𝐸 边边 ∠”𝐶 （ 𝐴𝐷SSS） △ 证 𝐶𝐵 明 𝐸 三 ≌ 角 △ 形 𝐴𝐶 全 𝐷 等】
(cid:15)(cid:111)4(cid:19)(cid:73)(cid:55)(cid:75)AD(cid:333)CB(cid:75)E(cid:75)F(cid:157)AC(cid:137)(cid:56)(cid:334)(cid:145)(cid:75)(cid:79)(cid:106)DE(cid:333)BF
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
(1)(cid:263)E(cid:75)F(cid:335)(cid:334)(cid:73)(cid:55) (cid:282)(cid:336)(cid:32)(cid:337)(cid:185)(cid:75)(cid:79)(cid:106)A关F(cid:333)CE(cid:75)(cid:229)(cid:26)(cid:10) ADE CBF(cid:234)
，
源
资
辅
(2)(cid:263)E(cid:75)F(cid:335)(cid:334)(cid:73)(cid:55)①教(cid:282)(cid:336)(cid:32)(cid:337)(cid:185)(cid:75)(cid:338)(cid:106)AF(cid:333)CE(cid:75)(cid:94)(cid:95) A△DE ≌C△BF(cid:289)(cid:66)(cid:339)(cid:340)(cid:341)(cid:133)(cid:342)(cid:95)(cid:341)
(3)(cid:263)E(cid:75)F(cid:321)(cid:311)(cid:294)(cid:75)A②D(cid:98)CB(cid:48)(cid:316)(cid:340)(cid:341)(cid:262)(cid:27)(cid:51)(cid:268)(cid:63) △ ≌△
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:170)(cid:230)(cid:171)(cid:149)(cid:234)(cid:24)2(cid:25)(cid:66)(cid:339)(cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:170)(cid:230)(cid:171)(cid:149)(cid:234)(cid:24)3(cid:25)AD(cid:77)CB(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:48)(cid:316)(cid:75)(cid:51)(cid:268)(cid:170)(cid:230)(cid:171)(cid:149).
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:165)(cid:166)AF=CE(cid:131)(cid:162)AF+EF=CE+EF(cid:75)(cid:169)AE=CF(cid:75)(cid:124)(cid:39)SSS(cid:169)(cid:131)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:234)(cid:24)2(cid:25)(cid:165)
(cid:166)AF=CE(cid:131)(cid:162)AF-EF=CE-EF(cid:75)(cid:169)AE=CF(cid:75)(cid:124)(cid:39)SSS(cid:169)(cid:131)(cid:26)(cid:27) ADE CBF(cid:234)(cid:24)△3(cid:25)(cid:165)≌(cid:166)△(cid:261)(cid:215)(cid:56)(cid:62)(cid:130)(cid:267)(cid:75)
(cid:321)(cid:290)(cid:153)(cid:34) ADE CBF(cid:75)(cid:321)(cid:290)(cid:93)(cid:34) A= C(cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:162)AD(cid:98)CB(cid:321)△(cid:80)(cid:34)(cid:48)≌△(cid:316).
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)△(cid:24)1(cid:25) ≌A△F=CE(cid:75) ∠ ∠
AF+EF=CE+E∵F(cid:75)(cid:169)AE=CF(cid:75)
∴ =
(cid:76) ADE(cid:98) CBF(cid:78) = (cid:75)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△2(cid:25)(cid:66)≌(cid:339)△.(cid:51)(cid:268)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
AF=CE(cid:75)
∵AF-EF=CE-EF(cid:75)(cid:169)AE=CF(cid:75)
∴=
(cid:76) ADE(cid:98) CBF(cid:78) = (cid:75)
𝐴𝐷= 𝐶𝐵
△ △ 𝐷𝐸 𝐵𝐹
ADE CBF. 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(cid:24)∴△3(cid:25)AD≌(cid:77)△ CB(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:48)(cid:316)(cid:75)(cid:51)(cid:268)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
(cid:209)(cid:343)(cid:186)(cid:56)(cid:81)(cid:82)(cid:110)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:75)
∵(cid:321)(cid:290)(cid:153)(cid:34) ADE CBF(cid:75)
∴(cid:321)(cid:290)(cid:153)(cid:34)△A(cid:77)≌C△(cid:32)(cid:99)(cid:100)(cid:3)(cid:344)(cid:75)
∴AD(cid:77)CB∠(cid:321)(cid:80)(cid:34)∠(cid:48)(cid:316)(cid:75)
∴(cid:15)(cid:145)(cid:269)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:75)(cid:153)(cid:34)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:80)(cid:310)(cid:40)(cid:41)(cid:106)(cid:10)SSS(cid:118)SAS(cid:118)ASA(cid:118)AAS(cid:118)
HL(cid:63)(cid:4)(cid:247)(cid:10)AAA(cid:118)SSA(cid:321)(cid:290)(cid:153)(cid:34)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:153)(cid:34)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:305)(cid:75)(cid:345)(cid:346)(cid:106)(cid:22)(cid:32)(cid:347)(cid:77)(cid:75)(cid:263)(cid:106)(cid:56)(cid:22)(cid:80)
(cid:23)(cid:82)(cid:110)(cid:61)(cid:31)(cid:305)(cid:75)(cid:23)(cid:345)(cid:346)(cid:157)(cid:56)(cid:22)(cid:32)(cid:59)(cid:23).
(cid:15)(cid:174)(cid:175)4-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:306)(cid:307)(cid:348)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:49)(cid:349)(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:157)(cid:348)(cid:178)(cid:353)(cid:259)(cid:354)(cid:355)(cid:49)(cid:349)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:105)(cid:75)(cid:78)(cid:272)(cid:272)(cid:359)(cid:360)(cid:51)(cid:361)
(cid:362)(cid:105)(cid:363)(cid:75)(cid:272)(cid:359)(cid:136)(cid:364)(cid:365)(cid:50)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:105)(cid:63)(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:369)(cid:54)(cid:364)(cid:235)(cid:370)(cid:371)(cid:75)(cid:58)(cid:78)(cid:372)(cid:373)(cid:107)(cid:374)(cid:375)(cid:68)(cid:11)(cid:215)(cid:222)(cid:63)(cid:73)(cid:55)(cid:157)(cid:350)(cid:351)(cid:352)(cid:32)(cid:376)(cid:377)
+
A
(cid:336)(cid:247)(cid:55)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75)(cid:146) (cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:218)(cid:166)(cid:157)(cid:24) (cid:25) 科 A
全
★
号
众
𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐺𝐸 𝐺𝐹 △𝐴𝐸𝐺≌△𝐴𝐹𝐺 公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:63)SAS B(cid:63)ASA C(cid:63)AAS D(cid:63)SSS
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:335)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:329)(cid:286)(cid:169)(cid:131)(cid:171)(cid:147)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
= △𝐴𝐸𝐺 △𝐴𝐹𝐺
= (cid:75)
𝐴𝐸=𝐴𝐹
𝐴𝐺 𝐴𝐺
𝐸𝐺 𝐹𝐺 (SSS)(cid:63)
(cid:173)∴△(cid:38)𝐴(cid:10)𝐸D𝐺(cid:63)≌△𝐴𝐹𝐺
(cid:15)(cid:174)(cid:175)4-2(cid:19)(cid:24)2025(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:30)(cid:272)·(cid:273)(cid:20)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)D(cid:157) (cid:137)(cid:80)(cid:145)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75) = (cid:63)(cid:229)
(cid:26)(cid:10) (cid:63) 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:335)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:157)(cid:150)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:268)SSS(cid:169)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐸
=
𝐴𝐵=𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐸 (SSS)(cid:63)
(cid:15)∴△(cid:174)𝐴(cid:175)𝐵𝐶4≌-3(cid:19)△(cid:24)𝐷𝐸24𝐹-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:378)(cid:379)(cid:259)(cid:380)(cid:367)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:78)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75) =20°(cid:75)
(cid:326) (cid:75)(cid:229) (cid:32)(cid:92)(cid:68)(cid:63) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
+
A
𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 𝐸 ∠𝐸𝐷𝐶 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)20°
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:193)(cid:23)(cid:98)(cid:34)(cid:51)(cid:32)(cid:110)(cid:39)(cid:75)(cid:171)(cid:217)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:157)(cid:290)(cid:165)(cid:166)(cid:35)(cid:50)
(cid:229)(cid:286) (cid:32)(cid:92)(cid:68)(cid:63)
(cid:26)(cid:27)∠𝐴𝐷𝐶 (cid:75)(cid:131)(cid:162) = = = =90°(cid:75)(cid:268) (cid:98)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:193)(cid:23)(cid:98)(cid:34)(cid:51)
(cid:229)(cid:286)△𝐴𝐷𝐵=≌7△0°𝐴(cid:75)𝐷(cid:169)𝐶(cid:131)(cid:229)(cid:171)∠(cid:63)𝐶𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶
(cid:15)(cid:170)∠(cid:171)𝐴(cid:19)𝐷𝐸(cid:171)(cid:10) = = = (cid:75)
∵𝐴𝐵 SS𝐴S)𝐶(cid:75),𝐵𝐷 𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐴𝐷
∴△𝐴𝐷𝐵≌=△𝐴𝐷𝐶(= = =90°(cid:75)
∴∠𝐶𝐴𝐷 (cid:75)∠𝐵𝐴𝐷 20°,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶
∵𝐷𝐸⊥𝐴=𝐶 =70°(cid:75)
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°−∠𝐶𝐴𝐷 = =20°(cid:63)
∴∠EDC ∠ADC−∠ADE 90°−70°【题型5 三角形的稳定性】
(cid:15)(cid:111)5(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:309)(cid:381)(cid:382)(cid:383)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:88)(cid:89)(cid:131)(cid:132)(cid:288)(cid:202)(cid:384)(cid:385)(cid:386)(cid:387)(cid:32)(cid:334)(cid:54)(cid:75)(cid:268)(cid:388)(cid:389)(cid:118)(cid:388)(cid:390)(cid:118)(cid:388)
(cid:391)(cid:242)(cid:66)(cid:32)(cid:392)(cid:393)(cid:385)(cid:394)(cid:131)(cid:132)(cid:125)(cid:386)(cid:387)(cid:395)(cid:76)(cid:386)(cid:387)(cid:304)(cid:396)(cid:78)(cid:397)(cid:398)(cid:393)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:96)(cid:399)(cid:372)(cid:373)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:216)(cid:51)(cid:157)(cid:24) (cid:25)
A(cid:63)(cid:56)(cid:145)(cid:211)(cid:212)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:168)(cid:241)
B(cid:63)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:197)(cid:247)(cid:56)(cid:22)(cid:211)(cid:98)(cid:99)(cid:326)(cid:400)(cid:28)(cid:22)
C(cid:63)(cid:56)(cid:145)(cid:93)(cid:34)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:44)
D(cid:63)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:202)(cid:147)(cid:148)(cid:63)
+
A
A
科
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:268)(cid:20)(cid:247)(cid:162)(cid:96)(cid:28)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:131)(cid:132)(cid:125)(cid:386)(cid:387)(cid:395)(cid:76)(cid:386)(cid:387)(cid:304)(cid:396)(cid:78)(cid:397)(cid:398)全(cid:33)(cid:34)(cid:75)(cid:58)(cid:78)(cid:75)(cid:372)(cid:373)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:216)(cid:51)(cid:157)(cid:28)(cid:23)
★
号
众
公
注
(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:234) 关
，
源
资
辅
(cid:173)(cid:38)(cid:10)D(cid:63) 教
(cid:15)(cid:174)(cid:175)5-1(cid:19)(cid:24)2025·(cid:402)(cid:139)(cid:296)(cid:178)·(cid:233)(cid:403)(cid:404)(cid:187)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:100)(cid:27)(cid:206)(cid:80)(cid:165)(cid:405)(cid:406)(cid:407)(cid:408)(cid:164)(cid:75)(cid:409)(cid:254)(cid:80)(cid:62)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:190)(cid:78)(cid:75)(cid:125)(cid:405)(cid:406)(cid:80)
(cid:413)(cid:414)(cid:415)(cid:190)(cid:416)(cid:75)(cid:167)(cid:417)(cid:417)(cid:80)(cid:418)(cid:75)(cid:190)(cid:419)(cid:101)(cid:275)(cid:418)(cid:420)(cid:421)(cid:186)(cid:63)(cid:96)(cid:58)(cid:78)(cid:39)(cid:202)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:383)(cid:51)(cid:157)(cid:24) (cid:25)
A(cid:63)(cid:56)(cid:145)(cid:93)(cid:34)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:44) B(cid:63)(cid:56)(cid:145)(cid:211)(cid:212)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:168)(cid:241)
C(cid:63)(cid:46)(cid:44)(cid:45)(cid:168)(cid:241) D(cid:63)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:165)(cid:166)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:54)(cid:147)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:405)(cid:406)(cid:80)(cid:413)(cid:414)(cid:415)(cid:190)(cid:416)(cid:75)(cid:131)(cid:132)(cid:242)(cid:243)(cid:80)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:96)(cid:58)(cid:78)(cid:39)(cid:202)(cid:32)(cid:68)(cid:11)(cid:383)(cid:51)(cid:157)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:63)
∴(cid:173)(cid:38)(cid:10)D(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)5-2(cid:19)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:100)(cid:27)(cid:104)(cid:186)(cid:80)(cid:62)(cid:91)(cid:40)(cid:29)(cid:422)(cid:117)(cid:75)(cid:423)(cid:424)(cid:283)(cid:425)(cid:426)(cid:174)(cid:29)(cid:75)(cid:325)(cid:427)(cid:428)(cid:281)(cid:38)(cid:429)(cid:80)(cid:62)(cid:168)(cid:430)(cid:32)(cid:266)(cid:208)(cid:40)(cid:148)(cid:157) (cid:63)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)③(cid:165)(cid:166)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:306)(cid:22)(cid:29)(cid:321)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:131)(cid:215)(cid:168)(cid:430)(cid:32)(cid:266)(cid:208)(cid:40)(cid:148)(cid:157) (cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)5-3(cid:19)(cid:24)2025·(cid:108)(cid:258)(cid:259)(cid:260)·(cid:80)(cid:233)(cid:25)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:282)(cid:132)(cid:210)(cid:125)(cid:73)(cid:55)(cid:282)(cid:336)(cid:32)③(cid:431)(cid:22)(cid:29)(cid:432)(cid:117)(cid:321)(cid:174)(cid:29)(cid:75)(cid:433)(cid:434)(cid:210)
(cid:205)(cid:137) (cid:165)(cid:432)(cid:130)(cid:63)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)2 辅 资
教
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:401)(cid:106)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:75)(cid:375)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:82)(cid:23)(cid:44)．(cid:210)(cid:125)(cid:431)(cid:22)(cid:29)(cid:432)(cid:117)(cid:321)(cid:174)(cid:29)(cid:264)(cid:435)(cid:319)(cid:49)(cid:66)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:169)(cid:304)
(cid:431)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:80)(cid:62)(cid:414)(cid:145)(cid:54)(cid:82)(cid:23)(cid:44)(cid:75)(cid:106)(cid:436)(cid:130)(cid:82)(cid:23)(cid:44)(cid:75)(cid:101)(cid:433)(cid:434)(cid:210)(cid:205)(cid:137)(cid:436)(cid:165)(cid:432)(cid:130)．
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)解： (cid:304)(cid:431)(cid:22)(cid:29)(cid:32)(cid:80)(cid:62)(cid:414)(cid:145)(cid:54)(cid:82)(cid:23)(cid:44)(cid:75)(cid:106)2(cid:130)(cid:82)(cid:23)(cid:44)(cid:75)
至少要钉上2∵根木条，
故∴ 答案为：2．
【题型6 灵活选用方法证明三角形全等】
(cid:15)(cid:111)6(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:437)(cid:438)(cid:439)(cid:354)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:76) (cid:78)(cid:75) = =50°(cid:75)(cid:206) (cid:440)(cid:55)(cid:78)(cid:441)(cid:44)(cid:442)(cid:377)(cid:75)(cid:442)
(cid:74)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:157)(cid:24) (cid:25) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:63) B(cid:63)C(cid:63) D(cid:63)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:32)(cid:157)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:303)(cid:23)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:118)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:31)(cid:215)(cid:222)(cid:145)(cid:75)(cid:154)(cid:443)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)
(cid:41)(cid:157)(cid:171)(cid:150)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:444)(cid:80)(cid:49)(cid:149)(cid:153)(cid:317)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)A(cid:63)(cid:445)(cid:446)(cid:56)(cid:22)(cid:82)(cid:110)(cid:61)(cid:31)(cid:79)(cid:59)(cid:23)(cid:61)(cid:31)(cid:75)(cid:173)(cid:442)(cid:74)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:234)(cid:321)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
B(cid:63)(cid:445)(cid:446)(cid:56)(cid:22)(cid:82)(cid:110)(cid:61)(cid:31)(cid:79)(cid:59)(cid:23)(cid:61)(cid:31)(cid:75)(cid:173)(cid:442)(cid:74)(cid:32)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:234)(cid:321)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
C(cid:63)(cid:73)(cid:55)(cid:10)
+
A
A
科
全
★
=50°+ = + (cid:75) = =50°(cid:75) 众 号
公
注
关
∵∠𝐷𝐹𝐶= (cid:75)∠𝐸𝐹𝐶 ∠𝐵 ∠𝐵源𝐷𝐹 ， ∠𝐵 ∠𝐶
资
辅
教
∴∠𝐸𝐹=𝐶 ∠=𝐵𝐷2(cid:75)𝐹 = =50°(cid:75)
∵(cid:165)𝐵𝐷(cid:166)AS𝐶A𝐹(cid:131)(cid:215)(cid:442)∠(cid:74)𝐵(cid:32)(cid:56)∠(cid:62)𝐶(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:234)(cid:321)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
∴D(cid:63)(cid:73)(cid:55):
(cid:228)(cid:51)(cid:131)(cid:162)(cid:10) = (cid:75)(cid:252) = =50°(cid:75)
(cid:447)(cid:56)(cid:28)(cid:23)(cid:29)∠(cid:82)𝐸(cid:110)𝐹𝐶(cid:22)(cid:321)∠(cid:80)𝐹(cid:34)𝐷𝐵(cid:61)(cid:31)(cid:75)∠(cid:146)𝐵(cid:56)(cid:62)∠𝐶(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:63)
(cid:173)(cid:38)(cid:10)D(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)6-1(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:309)(cid:381)(cid:448)(cid:449)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:261)(cid:215) (cid:450)(cid:193)(cid:23)(cid:32)(cid:92)(cid:68)(cid:98)(cid:450)(cid:22)(cid:32)(cid:91)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:192)(cid:157)(cid:228)
(cid:11)(cid:89)(cid:39)(cid:321)(cid:228)(cid:32)(cid:40)(cid:41)(cid:285)(cid:286)(cid:32)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:451)(cid:206)(cid:282)(cid:285)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:28)(cid:62)(cid:452)(cid:453)△(cid:361)𝐴𝐵(cid:286)𝐶(cid:75)(cid:146)(cid:282)(cid:285)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:77) (cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:157)(cid:24) (cid:25) △𝐴𝐵𝐶A(cid:63) B(cid:63)
C(cid:63) D(cid:63)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)D
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:75)(cid:51)(cid:171)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:130)(cid:267)(cid:251)(cid:316)(cid:444)(cid:315)(cid:49)(cid:149)(cid:169)(cid:131)(cid:63) +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)A(cid:118)(cid:165)(cid:166)“ASA”(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:77)(cid:383)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:321)
众
(cid:293)(cid:294)号(cid:20)(cid:247)(cid:234)
公
注
关
B(cid:118)(cid:165)(cid:166)“SAS”(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:77)(cid:383)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)源(cid:31)(cid:75)，(cid:321)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
资
辅
教
C(cid:118)(cid:165)(cid:166)“SSS”(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:77)(cid:383)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:321)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
D(cid:118)(cid:77)(cid:383)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:29)(cid:66)(cid:28)(cid:62)(cid:193)(cid:23)(cid:49)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:75)(cid:56)(cid:62)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:321)(cid:80)(cid:34)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:293)(cid:294)(cid:20)(cid:247)(cid:234)
(cid:173)(cid:38)(cid:10)D(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)6-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:139)(cid:454)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:74)(cid:314)(cid:130)(cid:267)(cid:78)(cid:290)(cid:93)(cid:34) (cid:32)(cid:29)(cid:97)(cid:77)(cid:99)(cid:100)(cid:32)(cid:106) (cid:63)
=3(cid:75) =7(cid:75) =11(cid:75) △𝐴𝐵𝐶
①𝐴𝐵=30°(cid:75)𝐵𝐶 =70𝐶°𝐴(cid:75) =3(cid:234)
②∠𝐴=30°(cid:75)∠𝐵=7(cid:75) 𝐴=𝐶 11(cid:234)
③∠𝐴=30°(cid:75)𝐴𝐵=14(cid:75)𝐵𝐶 =9(cid:63)
④(cid:15)(cid:147)∠𝐴(cid:148)(cid:19) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)②(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:157)(cid:51)(cid:171)(cid:20)(cid:247)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:335)(cid:39)(cid:282)(cid:11)(cid:215)(cid:222)(cid:171)(cid:244)(cid:246)(cid:20)(cid:63)(cid:165)
(cid:166)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:251)(cid:316)(cid:153)(cid:34)(cid:169)(cid:131)(cid:229)(cid:171)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10) =3(cid:75) =7(cid:75) =11(cid:75)3+7<11(cid:75)(cid:321)(cid:290)(cid:285)(cid:286)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:234)
=30°(cid:75)①𝐴𝐵=70°(cid:75)𝐵𝐶 =3(cid:75)𝐶(cid:165)𝐴(cid:166)“AAS”(cid:290)(cid:285)(cid:286)(cid:455)(cid:80)(cid:32) (cid:234)
②∠𝐴 ∠𝐵 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶=30°(cid:75) =7(cid:75) =11(cid:75)“SSA”(cid:321)(cid:290)(cid:93)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:169)(cid:321)(cid:290)(cid:285)(cid:286)(cid:455)(cid:80)(cid:32) (cid:234)
③∠𝐴=30°(cid:75)𝐴𝐵=14(cid:75)𝐵𝐶 =9(cid:75)“SSA”(cid:321)(cid:290)(cid:93)(cid:34)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:169)(cid:321)(cid:290)(cid:285)(cid:286)(cid:455)(cid:80)(cid:32)△𝐴𝐵𝐶(cid:234)
④(cid:456)(cid:137)∠𝐴(cid:282)(cid:457)(cid:75)(cid:290)(cid:285)𝐴𝐵(cid:286)(cid:455)(cid:80)(cid:32)𝐵𝐶 (cid:32)(cid:106) (cid:75) △𝐴𝐵𝐶
(cid:173)(cid:147)(cid:148)(cid:133)(cid:10) (cid:63) △𝐴𝐵𝐶 ②
(cid:15)(cid:174)(cid:175)6-3(cid:19)②(cid:24)24-25(cid:223)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:458)(cid:178)(cid:459)(cid:161)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:145) (cid:75) (cid:75) (cid:75) (cid:76)(cid:228)(cid:80)(cid:130)(cid:47)(cid:44)(cid:137)(cid:75) = (cid:75)
= (cid:75)(cid:325)(cid:256)(cid:132)(cid:74)(cid:28)(cid:62)(cid:38)(cid:315)(cid:78) = (cid:75) 𝐴= 𝐷 𝐶(cid:75)𝐹 = (cid:75)(cid:38)(cid:429)(cid:80)𝐴𝐷(cid:62)(cid:38)𝐹(cid:315)𝐶(cid:54)(cid:133)(cid:261)(cid:215)
∠(cid:130)𝐴(cid:267)(cid:75)∠(cid:125)𝐸𝐷(cid:162)𝐹 (cid:63) ①𝐴𝐵 𝐷𝐸 ②∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸 ③∠𝐵 ∠𝐸
△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
(1)(cid:427)(cid:38)(cid:429)(cid:265)(cid:266)(cid:32)(cid:38)(cid:315)(cid:157)______(cid:24)(cid:460)(cid:461)(cid:9)(cid:25)(cid:234)
(2)(cid:265)(cid:266)(cid:130)(cid:267)(cid:164)(cid:75)(cid:325)(cid:26)(cid:27) (cid:63)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(1) (cid:67) (cid:67) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹
+
A
A
科
(2)(cid:230)(cid:170)(cid:171) ① ② ③ ★ 全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)关(cid:35)(cid:50)(cid:132)(cid:57)(cid:48)(cid:316)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)
，
源
资
辅
(cid:24)1(cid:25)(cid:265)(cid:266) (cid:67) (cid:67)教(cid:462)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:234)
(cid:24)2(cid:25)(cid:268)(cid:48)(cid:316)①(cid:44)(cid:32)②(cid:35)(cid:50)③(cid:131)(cid:162) = (cid:75)(cid:73)(cid:90)(cid:38)(cid:429) (cid:124)(cid:39)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:73)(cid:90)(cid:38)(cid:429) (cid:39)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:75)(cid:73)(cid:90)(cid:38)(cid:429) (cid:23)(cid:23)∠𝐷(cid:22)(cid:26)∠(cid:27)𝐴(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)①(cid:63) ②
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:171)(cid:10)(cid:38)③(cid:429) (cid:67) (cid:67)
(cid:24)2(cid:25)(cid:38)(cid:429) (cid:75)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:74)①(cid:10) ② ③
= (cid:75)①
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:169) = (cid:75)
∴(cid:76)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:98) 𝐷𝐶 𝐶(cid:78)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:75)
𝐴𝐶 =𝐷𝐹
∠𝐴 ∠𝐸𝐷𝐹
𝐴𝐵 𝐷𝐸 (SAS)(cid:63)
∴(cid:38)△(cid:429)𝐴𝐵𝐶(cid:75)≌(cid:26)△(cid:27)𝐷(cid:73)𝐸𝐹(cid:74)(cid:10)
②= (cid:75)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:169) = (cid:75)
∴𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐷𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹(cid:76) (cid:98) (cid:78)
△𝐴=𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:75)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐷𝐹𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (ASA)(cid:63)
∴(cid:38)△(cid:429)𝐴𝐵𝐶(cid:75)≌(cid:26)△(cid:27)𝐷(cid:73)𝐸𝐹(cid:74)(cid:10)
③= (cid:75)
∵𝐴𝐷+ 𝐹𝐶= + (cid:169) = (cid:75)
∴(cid:76)𝐴𝐷 𝐷𝐶(cid:98) 𝐷𝐶 𝐶(cid:78)𝐹 𝐴𝐶 𝐷𝐹
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹
= (cid:75)
∠𝐴 =∠𝐸𝐷𝐹
∠𝐵 ∠𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐹 (AAS)(cid:63)
∴
【
△
题
𝐴
型
𝐵𝐶7≌ △
二次
𝐷𝐸
证
𝐹
明三角形全等】
(cid:15)(cid:111)7(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:402)(cid:225)(cid:463)(cid:402)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:306)(cid:22)(cid:29) (cid:78)(cid:75) (cid:157)(cid:82)(cid:23)(cid:44) (cid:137)(cid:80)(cid:145)(cid:75) = (cid:75)
+
A
A
科
= (cid:75)(cid:229)(cid:26)(cid:10) (cid:63) 𝐴𝐶𝐵★𝐷 全𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷
号
众
公
注
𝐵𝐶 𝐵𝐷 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷 关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)(cid:160)(cid:26)(cid:27)
(SSS)(cid:162)(cid:286) = (cid:75)(cid:167)(cid:26)(cid:27) (cid:63)
(cid:15)△(cid:170)𝐴𝐵(cid:171)𝐶(cid:19)≌(cid:26)△(cid:27)𝐴𝐵(cid:10)𝐷(cid:76) (cid:98)∠𝐶𝐴𝐵 ∠(cid:78)𝐷(cid:75)𝐴𝐵 △𝐴𝐸𝐶≌△𝐴𝐸𝐷
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐵 (SSS)(cid:75)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐴𝐵𝐷(cid:75)
(cid:76)∴∠𝐶𝐴𝐵 (cid:98)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐸=𝐶 △𝐴𝐸𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐶 =𝐴𝐷
∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴𝐸AED(SAS)(cid:63)
∴(cid:15)△(cid:174)A(cid:175)EC7≌-1△(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:30)(cid:272)·(cid:464)(cid:465)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75) (cid:98) (cid:32)(cid:414)(cid:145)A(cid:98)D(cid:76) (cid:32)(cid:228)(cid:466)(cid:75)
= (cid:75) = (cid:75) (cid:324) (cid:326)(cid:145)O(cid:75)(cid:227)(cid:262)(cid:27)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 △(cid:63)𝐷𝐶𝐵 𝐵𝐶
(cid:74)𝐴𝐵(cid:192)(cid:157)𝐷(cid:100)𝐶(cid:27)𝐴(cid:32)𝐶(cid:171)(cid:147)𝐷(cid:304)𝐵(cid:396)𝐴(cid:10)𝐶 𝐷𝐵 △𝐴𝐵𝑂≌△𝐷𝐶𝑂
(cid:171)(cid:10)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)(cid:292)(cid:133) = (cid:75) = (cid:75) = (cid:75)(cid:282)(cid:132) (cid:75)(cid:282)(cid:132)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 𝐴𝐵(cid:75)(cid:282)𝐷(cid:132)𝐶 𝐴𝐶 𝐷𝐵 𝐵𝐶(cid:63) 𝐶𝐵 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵
(cid:325)△(cid:246)𝐴𝐵(cid:100)𝐶(cid:27)−(cid:32)△(cid:171)𝑂𝐵(cid:41)𝐶(cid:327)≌(cid:93)△(cid:340)𝐷𝐶(cid:341)𝐵(cid:73)−(cid:90)△(cid:321)𝑂𝐵(cid:327)𝐶(cid:93)(cid:75)(cid:325)(cid:467)△(cid:327)𝐴𝐵(cid:304)𝑂(cid:421)≌(cid:63)△𝐷𝐶𝑂
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:321)(cid:327)(cid:93)(cid:75)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:335)(cid:39)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:234)
(cid:165)(cid:166)(cid:261)(cid:215)(cid:130)(cid:267)(cid:162)(cid:286) (cid:75)(cid:162) = (cid:75)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)(cid:124)(cid:39)AAS(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:286)(cid:297)(cid:298).
+
A
A
科
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:321)(cid:327)(cid:93)△(cid:75)𝐴𝐵(cid:327)𝐶(cid:93)≌(cid:468)△(cid:469)𝐷𝐶(cid:133)𝐵(cid:10) ∠𝐴 ∠𝐷 △𝐴𝐵𝑂 △★𝐷全𝐶𝑂
号
众
公
注
(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75) 关
，
源
资
辅
△=𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 教
= (cid:75)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐷𝐵
𝐵𝐶 𝐶𝐵 (SSS)(cid:75)
∴△𝐴=𝐵𝐶≌(cid:63)△𝐷𝐶𝐵
∴(cid:76)∠𝐴 ∠𝐷(cid:98) (cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐵=𝑂 △𝐷𝐶𝑂
= (cid:75)
∠𝐴 =∠𝐷
∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐷𝑂𝐶
𝐴𝐵 𝐷𝐶 (AAS)(cid:63)
∴(cid:15)∠(cid:174)𝐴𝐵(cid:175)𝑂≌7-∠2(cid:19)𝐷𝐶(cid:73)𝑂(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:306)(cid:22)(cid:29) (cid:78)(cid:75) = (cid:75) > (cid:75) = (cid:63)(cid:229)(cid:26)(cid:10) = (cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵 ∠𝐶 ∠𝐴 ∠𝐷
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:171)(cid:149)(cid:63)(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:249)(cid:250) (cid:75)(cid:26)(cid:27) (cid:75)(cid:162)(cid:286) = (cid:75)
(cid:167)(cid:26)(cid:75)(cid:169)(cid:131) 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶≌△(cid:63)𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:249)(cid:250)△𝐴𝐵(cid:75)𝐷B≌D△𝐷𝐶𝐴(𝑆𝑆𝑆)
𝐴𝐶
=
(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75){ = (cid:75)
𝐴𝐵=𝐶𝐷
△𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐵 (cid:75) ∠𝐵 ∠𝐶
𝐵𝐶 𝐵𝐶
∴△=𝐴𝐵𝐶≌(cid:75)△𝐷𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆)
=
𝐵𝐷 𝐴𝐶
(cid:76) (cid:77) (cid:78)(cid:75){ = (cid:75)
𝐴𝐵=𝐷𝐶
△𝐴𝐵𝐷 △𝐷𝐶𝐴 (cid:75) 𝐵𝐷 𝐴𝐶
𝐴𝐷 𝐴𝐷 +
A
A
科
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐷𝐶(cid:63)𝐴(𝑆𝑆𝑆)
★
全
号
众
公
注
∴(cid:15)∠(cid:145)𝐵𝐴(cid:269)𝐷(cid:19)(cid:150)∠(cid:20)𝐶𝐷(cid:151)𝐴(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:50)(cid:98)(cid:153)(cid:34)关(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:50)(cid:98)(cid:153)(cid:34)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:174)(cid:175)7-3(cid:19)(cid:24)23-24教(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:176)(cid:126)(cid:379)(cid:470)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:76)(cid:171)(cid:244)(cid:44)(cid:45)(cid:68)(cid:188)(cid:3)(cid:344)(cid:246)(cid:20)(cid:78)(cid:75)(cid:73)(cid:90)(cid:130)(cid:267)(cid:78)(cid:106)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)
(cid:84)(cid:235)(cid:471)(cid:39)(cid:74)(cid:192)(cid:242)(cid:243)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:171)(cid:244)(cid:200)(cid:472)(cid:63)
(cid:73)(cid:10)(cid:76)(cid:55)1(cid:78)(cid:75)(cid:263)C(cid:157) (cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44) (cid:137)(cid:80)(cid:145)(cid:75)(cid:145)A(cid:76) (cid:137)(cid:75)(cid:217)(cid:305)(cid:75)(cid:76)(cid:386)(cid:44) (cid:137)(cid:239)(cid:248) = (cid:75)(cid:249)(cid:297)
(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)∠(cid:153)𝑀(cid:34)𝑂(cid:40)𝑁(cid:41)______𝑂(cid:24)𝑃(cid:64)(cid:473)(cid:25)(cid:75)(cid:425)(cid:426)(cid:242)(cid:243)𝑂𝑀(cid:286)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29) 𝑂(cid:98)𝑁 𝑂(cid:75)𝐵(cid:347)(cid:151)𝑂(cid:137)𝐴(cid:192)(cid:32)(cid:40)
(cid:41)𝐵𝐶(cid:75)(cid:171)(cid:147)(cid:74)(cid:314)(cid:246)(cid:20)(cid:10) △𝑂𝐵𝐶 △𝑂𝐴𝐶
(cid:24)1(cid:25)(cid:73)(cid:55)2(cid:75)(cid:76) (cid:78)(cid:75) (cid:157) (cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)E(cid:118)F(cid:49)(cid:60)(cid:133) (cid:75) (cid:137)(cid:32)(cid:145)(cid:75)(cid:79)
+ =△18𝐴0𝐵°(cid:63)𝐶 (cid:229)(cid:26)𝐴(cid:10)𝐷 ∠=𝐵𝐴𝐶 (cid:63)(cid:24)(cid:56)(cid:62)(cid:193)(cid:23)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:23)𝐴𝐵(cid:29)(cid:157)𝐴(cid:31)𝐶 (cid:474)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:25)
(cid:24)∠𝐴2𝐸(cid:25)𝐷(cid:73)(cid:55)∠𝐴3𝐹(cid:75)𝐷(cid:76)(cid:364)(cid:31)(cid:22) (cid:78)𝐷(cid:75)𝐸 𝐷=𝐹60°(cid:75) (cid:118) (cid:49)(cid:60)(cid:157) (cid:118) (cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)(cid:79) (cid:118) (cid:324)(cid:326)(cid:145)F(cid:75)
(cid:229)(cid:26)(cid:10) = + (cid:63)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵 𝐴𝐷 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐷 𝐶𝐸
𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐶𝐷(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)SAS(cid:24)1(cid:25)(cid:230)(cid:171)(cid:149)(cid:234)(2)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:23)(cid:32)(cid:48)(cid:316)(cid:44)(cid:75)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:195)(cid:475)(cid:44)(cid:45)(cid:211)(cid:212)(cid:32)(cid:3)(cid:344)(cid:63)
(cid:476)(cid:477)(cid:78)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)(cid:133)SAS
(1)(cid:76) (cid:137)(cid:239)(cid:248) = (cid:75)(cid:249)(cid:297) (cid:75)(cid:26)(cid:27) (cid:75)(cid:167)(cid:124)(cid:39)(cid:31)(cid:474)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:26)(cid:27)(cid:169)(cid:131)(cid:63)
(2)(cid:76)𝐴𝐸(cid:137)(cid:239)(cid:248)𝐴𝑃 =𝐴𝐹(cid:75)(cid:249)(cid:297)𝐷𝑃 (cid:75)(cid:26)(cid:27)△𝐴𝐷𝑃≌△𝐴𝐷𝐹 (cid:75) (cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)𝐴𝐶(cid:19)(cid:165)(cid:166)(cid:20)𝐴(cid:247)𝑀(cid:75)(cid:162)𝐴𝐸(cid:153)(cid:34)(cid:40)(cid:41)𝑀(cid:133)𝐹SAS(cid:75) △𝐴𝐹𝐸≌△𝐴𝐹𝑀 △𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
(cid:173)(cid:147)(cid:148)(cid:133)(cid:10)SAS(cid:63)
(1)(cid:76) (cid:137)(cid:239)(cid:248) = (cid:75)(cid:249)(cid:297) (cid:75)
𝐴𝐸 𝐴𝑃 𝐴𝐹 𝐷𝑃
=
= (cid:75)
𝐴𝑃=𝐴𝐹
+
∵ ∠1 ∠2 A A
科
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SAS)(cid:75)
★
全
号
众
公
注
∴△𝐴𝐷𝑃=≌△𝐴𝐷𝐹 = (cid:75) 关
，
源
资
辅
∴∠𝐴𝑃𝐷 ∠𝐴𝐹=𝐷,𝐷𝑃 教𝐷𝐹 (cid:75)
∴180°−∠+𝐴𝑃𝐷 =18108°−0°∠(cid:75)𝐴𝐹𝐷 + =180°(cid:75)
∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐹𝐷(cid:75) ∠𝐷𝑃𝐸 ∠𝐴𝑃𝐷
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠(cid:75)𝐷𝑃𝐸
∴𝐷𝐸=𝐷𝑃(cid:63)
(cid:24)∴𝐷2𝐸(cid:25)(cid:76)𝐷𝐹(cid:137)(cid:239)(cid:248) = (cid:75)(cid:249)(cid:297) (cid:75)
=𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝐸 𝑀𝐹
= (cid:75)
𝐴𝑀= 𝐴𝐸
∵ ∠3 ∠4
𝐴𝐹 𝐴𝐹 (SAS)(cid:75)
∴△𝐴=𝐹𝐸≌(cid:75)△𝐴𝐹𝑀 = (cid:75)
∴𝐴𝐸=6𝐴0°𝑀(cid:75) ∠𝐴(cid:118)𝐹𝐸 (cid:49)∠(cid:60)𝐴(cid:157)𝐹𝑀 (cid:118) (cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)(cid:79) (cid:118) (cid:324)(cid:326)(cid:145)F(cid:75)
∵∠𝐵
+ =
𝐴1𝐷
(
𝐶𝐸
+
∠𝐵
)
𝐴
=
𝐶1
(
∠𝐵𝐶𝐴
)=60°(cid:75)
𝐴𝐷 𝐶𝐸
2 2
∴∠4 ∠6 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 180°−∠𝐵
=120°(cid:75)
∴∠𝐴𝐹𝐶= + (cid:75)
∵∠𝐴𝐹𝐸=∠4 ∠=6 60°(cid:75)
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐴𝐹𝑀=60°(cid:75) =60°(cid:75)
∴∠𝐴𝐹𝐸 =∠𝐷𝐹𝐶(cid:75) ∠𝑀𝐹𝐶
∴∠𝑀𝐹𝐶 =∠𝐷𝐹𝐶
= (cid:75)
∠𝑀𝐹𝐶= ∠𝐷𝐹𝐶
∵ 𝐹𝐶 𝐹𝐶
∠6 ∠5 (ASA)(cid:75)
∴△𝐶𝐹𝐷≌△𝐶𝐹𝑀
= (cid:75)
∴𝐶𝐷= 𝐶𝑀+
∵𝐴𝐶=𝐴𝑀+ 𝐶𝑀(cid:63)
+
A
A
科
【 ∴𝐴 题 𝐶 型 𝐴8𝐸 线 𝐶 段 𝐷 的垂直平分线】 号 ★ 全
众
公
注
关
(cid:15)(cid:111)8(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:458)(cid:178)(cid:458)(cid:354)源·(cid:179)，(cid:78)(cid:25)(cid:76) (cid:78)(cid:75)(cid:261)(cid:215) =27(cid:75) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:324) (cid:326)(cid:145) (cid:75)(cid:324)
资
辅
教
(cid:326)(cid:145) (cid:75) (cid:32)(cid:478)(cid:91)(cid:31)(cid:326)50(cid:75)(cid:146) (cid:32)(cid:91)(cid:157)(cid:24)△ (cid:25)𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐶
𝐸 △𝐵𝐶𝐸 𝐵𝐶
A(cid:63)22 B(cid:63)23 C(cid:63)32 D(cid:63)33
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)B
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:268)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:162)(cid:202) = (cid:75)(cid:167)(cid:268)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:478)(cid:91)
(cid:479)(cid:480)(cid:7)(cid:175)(cid:131)(cid:162) + + =50(cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:131)(cid:162) + =50(cid:75)(cid:166)(cid:217)(cid:131)(cid:162)(cid:147)(cid:148)(cid:63) 𝐴𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:234)𝐵𝐸 (cid:32)𝐶(cid:46)𝐸(cid:47)(cid:48)𝐵𝐶(cid:49)(cid:44)(cid:324) (cid:326)(cid:145) (cid:75)𝐴(cid:324)𝐶 𝐵(cid:326)𝐶(cid:145) (cid:75)
= (cid:75) ∵𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐶 𝐸
∴𝐴𝐸 𝐵(cid:32)𝐸 (cid:478)(cid:91)(cid:31)(cid:326)50(cid:75)
∵△𝐵+𝐶𝐸 + =50(cid:75)
∴𝐵𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐶+ + =50(cid:75)
∴𝐴𝐸+𝐶𝐸=𝐵5𝐶0(cid:75)
∴𝐴𝐶=𝐵2𝐶7(cid:75)
∵𝐴𝐶 =23(cid:75)
∴(cid:173)𝐵(cid:38)𝐶(cid:10)B(cid:63)
(cid:15)(cid:174)(cid:175)8-1(cid:19)(cid:24)23-24(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:30)(cid:272)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:261)(cid:215)(cid:47)(cid:44)l(cid:157)(cid:44)(cid:45) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)(cid:46)(cid:446)(cid:133)O(cid:75)M(cid:75)N(cid:157)
(cid:47)(cid:44)l(cid:137)(cid:56)(cid:145)(cid:63)(cid:74)(cid:314)(cid:297)(cid:298)(cid:331)(cid:332)(cid:32)(cid:157)(cid:24) (cid:25) 𝑃𝑄
A(cid:63) B(cid:63) =
C(cid:63)△𝑀=𝑃𝑁≌△𝑀𝑄𝑁 D(cid:63)𝑀𝑂 𝑁=𝑂 A +
A
科
全
★
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)𝑂𝑃B 𝑂𝑄 ∠𝑀𝑃𝑁众∠号𝑀𝑄𝑁
公
注
关
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:32)源(cid:35)(cid:50)，(cid:98)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:162) = (cid:75)
资
辅
教
= (cid:75) = (cid:75)(cid:297)(cid:294)SSS(cid:169)(cid:131)(cid:26)(cid:27) (cid:75)(cid:146)(cid:106) = (cid:169)(cid:131)(cid:444)(cid:62)(cid:153)𝑀(cid:317)𝑃(cid:38)(cid:315)𝑀(cid:63)𝑄
(cid:15)𝑃𝑁(cid:170)(cid:171)𝑄(cid:19)𝑁(cid:171)(cid:10)𝑂𝑃(cid:106)(cid:20)𝑂(cid:247)𝑄(cid:215)(cid:75) = (cid:75) △=𝑀𝑃𝑁(cid:75)≌△=𝑀𝑄𝑁(cid:75)(cid:146)C∠(cid:327)𝑀(cid:93)𝑃𝑁(cid:234) ∠𝑀𝑄𝑁
= (cid:75) 𝑀𝑃 𝑀𝑄 𝑃𝑁 𝑄𝑁 𝑂𝑃 𝑂𝑄
∵𝑀𝑁 𝑀𝑁 (SSS)(cid:75)(cid:146)A(cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴△𝑀𝑃𝑁=≌△𝑀𝑄𝑁(cid:75)(cid:146)D(cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴(cid:481)∠(cid:41)𝑀(cid:26)𝑃𝑁(cid:27) ∠𝑀=𝑄𝑁 (cid:75)
(cid:173)(cid:38)(cid:10)B(cid:63)𝑀𝑂 𝑁𝑂
(cid:15)(cid:174)(cid:175)8-2(cid:19)(cid:24)22-23(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:259)(cid:482)(cid:483)(cid:484)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75) (cid:157)(cid:44)(cid:45) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)(cid:46)(cid:446)(cid:133)O(cid:75)(cid:145)C(cid:118)D
(cid:76) (cid:137)(cid:63)(cid:229)(cid:26)(cid:10) = (cid:63) 𝑀𝑁 𝐴𝐵
𝑀𝑁 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:77)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:137)(cid:32)(cid:145)
(cid:202)(cid:61)(cid:31)(cid:56)(cid:413)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:61)(cid:31)(cid:162)(cid:202) = (cid:75) = (cid:75)(cid:166)(cid:217)(cid:131)(cid:26)(cid:27) (SSS)(cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:131)(cid:26)(cid:27)
= (cid:63) 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐷𝐴 𝐷𝐵 △𝐶𝐴𝐷≌△𝐶𝐵𝐷
(cid:15)∠𝐶(cid:170)𝐴𝐷(cid:171)(cid:19)∠(cid:26)𝐶(cid:27)𝐵𝐷(cid:10) (cid:157)(cid:44)(cid:45) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)
= (cid:75) =∵𝑀𝑁(cid:75) 𝐴𝐵
∴(cid:257)𝐶𝐴 𝐶=𝐵 𝐷(cid:75)𝐴 𝐷𝐵
+
A
∵𝐶𝐷 𝐶𝐷 (SSS)(cid:75) 科 A
全
★
号
众
∴△𝐶𝐴𝐷=≌△𝐶𝐵𝐷(cid:63) 公
注
关
，
源
∴(cid:15)∠(cid:174)𝐶𝐴(cid:175)𝐷8-3∠(cid:19)𝐶(cid:24)𝐵𝐷23-24(cid:134)(cid:135)辅(cid:136)(cid:137)资·(cid:231)(cid:232)(cid:299)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:78)(cid:75)(cid:145) (cid:157) (cid:22)(cid:137)(cid:32)(cid:80)(cid:145)(cid:75)(cid:249)(cid:250) (cid:75) (cid:46)
教
(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:45) (cid:75)(cid:46)(cid:446)(cid:133) (cid:75)(cid:324) (cid:326)(cid:145) (cid:75)(cid:249)(cid:250) (cid:63) △𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐷
𝐴𝐸 𝐹 𝐴𝐶 𝐷 𝐷𝐸
(1)(cid:263) =6(cid:75) (cid:32)(cid:478)(cid:91)(cid:133)7(cid:75)(cid:229) (cid:32)(cid:478)(cid:91)(cid:234)
(2)(cid:263)𝐴𝐵 =1△5 𝐷(cid:75)𝐸𝐶 =45 (cid:75)(cid:229) △(cid:32)𝐴𝐵(cid:92)𝐶(cid:68)(cid:63)
∘ ∘
(cid:15)(cid:147)(cid:148)∠𝐴(cid:19)𝐵(𝐷1) (cid:32)∠𝐶(cid:478)(cid:91)(cid:133)19(cid:234) ∠𝐶𝐸𝐷
(2) =7△5°𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:49)∠𝐶(cid:149)𝐸(cid:19)𝐷(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:10)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:145)(cid:202)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:62)
(cid:413)(cid:145)(cid:32)(cid:213)(cid:214)(cid:61)(cid:31)(cid:75)(cid:154)(cid:443)(cid:61)(cid:3)(cid:297)(cid:298)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:24)1(cid:25)(cid:268)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:131)(cid:162) = (cid:75) = (cid:75)(cid:166)(cid:217)(cid:169)(cid:131)(cid:229)(cid:171)(cid:234)
(cid:24)2(cid:25)(cid:26) (cid:162) 𝐴𝐵= 𝐵𝐸 (cid:75)𝐴𝐷(cid:165)(cid:166)𝐷𝐸 = (cid:169)(cid:131)(cid:229)(cid:171)(cid:63)
△𝐵𝐴𝐷≌△𝐵𝐸𝐷 ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐶𝐸𝐷 180°−∠𝐵𝐸𝐷(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:171)(cid:10) (cid:157)(cid:44)(cid:45) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)
= (cid:75) = ∵𝐵.𝐷 𝐴𝐸
∴𝐴𝐵=6(cid:75)𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
∵𝐴𝐵=6.
∴𝐵𝐸 (cid:32)(cid:478)(cid:91)(cid:133) + + = + + =7(cid:75)
∵△𝐷𝐸𝐶(cid:32)(cid:478)(cid:91)(cid:133)𝐶𝐷+𝐶𝐸+𝐷𝐸= 𝐶𝐷+ 𝐶𝐸+𝐴𝐷+ + =6+6+7=19
(cid:24)∴△2(cid:25)𝐴𝐵(cid:171)𝐶(cid:10) (cid:157)𝐴(cid:44)𝐵(cid:45) 𝐵𝐶(cid:32)(cid:46)𝐴(cid:47)𝐶(cid:48)(cid:49)𝐴𝐵(cid:44)(cid:75)𝐵𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐷
∵𝐵𝐷 1 𝐴𝐸
= = .
2
∴∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐸𝐵𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶
=15°(cid:75)
∵∠𝐴𝐵𝐷=30°.
∴∠𝐴𝐵=𝐶45°(cid:75)
∵∠𝐶 = = =105°.
(cid:76)∴∠𝐵𝐴𝐶 (cid:98)180°−∠𝐴(cid:78)𝐵(cid:75)𝐶−∠𝐶 180°−30°−45°
+
A
A
科
△=𝐵𝐴𝐷 △𝐵𝐸𝐷 ★ 全
号
= 众
公
𝐵𝐴=𝐵𝐸, 关 注
，
𝐵𝐷 𝐵𝐷, 资 源
辅
𝐷𝐴 𝐷𝐸, 教
∴△𝐵𝐴𝐷≌=△𝐵𝐸𝐷=105°(cid:75)
∴∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶 = =75°.
【
∴
题
∠𝐶
型
𝐸𝐷9
角
18
平
0°
分
−∠
线
𝐵
的
𝐸𝐷
性质
1
定
80
理
°−
】
105°
(cid:15)(cid:111)9(cid:19)(cid:73)(cid:55)(cid:75) = = (cid:326)(cid:145)E(cid:75) (cid:326)(cid:145)F(cid:63)(cid:229)(cid:26) = (cid:63)
𝐴𝐵 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝐶𝐷,𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐴𝐶 ∶𝐷𝐸 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:63)(cid:249)(cid:250) (cid:75)(cid:26)(cid:27) (cid:75)(cid:131)(cid:162)
= (cid:75)(cid:167)(cid:165)(cid:166)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:229)(cid:26)(cid:63) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷
(cid:15)∠𝐵(cid:170)𝐴𝐷(cid:171)(cid:19)∠(cid:171)𝐶(cid:10)𝐴𝐷(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:249)(cid:250) (cid:75)
𝐴𝐷(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
△𝐴=𝐵𝐷 △𝐴𝐶𝐷
= (cid:75)
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∵ 𝐵𝐷 𝐶𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐷 (SSS)(cid:75)
∴△𝐴𝐵𝐷=≌△𝐴𝐶𝐷(cid:75)
∴(cid:257)∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷
∵𝐷=𝐸⊥𝐴𝐵,𝐷𝐹⊥𝐴𝐶
∴(cid:15)𝐷(cid:174)𝐸(cid:175)𝐷9-𝐹1(cid:19)(cid:24)22-23(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:137)·(cid:16)(cid:259)(cid:485)(cid:178)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:306)(cid:22)(cid:29) (cid:78)(cid:75) = (cid:75) = (cid:75)(cid:145) (cid:157)(cid:82)(cid:23)
(cid:44) (cid:137)(cid:80)(cid:145)(cid:75) (cid:326)(cid:145) (cid:75) (cid:326)(cid:145) (cid:75)(cid:146)(cid:74)(cid:314)(cid:262)(cid:41)(cid:80)(cid:34)(cid:327)𝐴𝐵(cid:93)𝐶(cid:32)𝐷 (cid:157)(cid:24)𝐴 𝐵 (cid:25)𝐴𝐷 𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝑃
𝐴𝐶 𝑃𝐸⊥𝐵𝐶 𝐸 𝑃𝐹⊥𝐶𝐷 𝐹
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:63) = B(cid:63) = C(cid:63) = D(cid:63) =
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)𝑃𝐸A 𝑃𝐹 𝑃𝐹 𝐷𝐹 ∠𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:26)(cid:27) (SSS)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:57)(cid:20)(cid:486)(cid:78)
(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:82)(cid:450)(cid:38)(cid:315)(cid:444)(cid:80)(cid:153)(cid:317)(cid:169)(cid:131)(cid:63)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:157)(cid:27)(cid:93)(cid:20)△(cid:247)𝐴𝐵(cid:75)𝐶(cid:124)≌(cid:39)△(cid:68)𝐴𝐷(cid:29)𝐶(cid:297)(cid:294)(cid:32)(cid:200)(cid:201)(cid:171)(cid:147)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10)(cid:76) (cid:98) (cid:78)(cid:75)
= △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐷𝐶
= (cid:75)
𝐴𝐵 =𝐴𝐷
𝐶𝐵 𝐶𝐷
𝐴𝐶 𝐴𝐶 (SSS)(cid:75)
∴△𝐴𝐵𝐶=≌△𝐴𝐷(cid:75)𝐶 = (cid:75)
∴(cid:38)∠𝐵(cid:315)𝐶𝐴C(cid:321)∠(cid:327)𝐷(cid:93)𝐶𝐴(cid:234)∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴𝐶𝐷
∴ (cid:75) (cid:75)
∵𝑃𝐸⊥=𝐵𝐶(cid:75)𝑃(cid:173)𝐹(cid:38)⊥(cid:315)𝐶𝐷A(cid:327)(cid:93)(cid:75)(cid:38)(cid:315)B(cid:321)(cid:327)(cid:93)(cid:234)
∴𝑃𝐸 𝑃𝐹(cid:252)(cid:268)(cid:20)(cid:486)(cid:78)(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:481)(cid:41)(cid:153)(cid:317) = (cid:157)(cid:487)(cid:66)(cid:339)(cid:75)(cid:173)(cid:38)(cid:315)D(cid:321)(cid:327)(cid:93)(cid:63)
(cid:173)(cid:38)(cid:10)A(cid:63) 𝑃𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:174)(cid:175)9-2(cid:19)(cid:24)24-25(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:259)(cid:381)(cid:223)(cid:259)·(cid:179)(cid:78)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75) (cid:157) (cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75) (cid:326) (cid:75) (cid:326) (cid:63)(cid:229)
(cid:26)(cid:10) = (cid:63) 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐶⊥𝑂𝐵 𝐷 𝐵𝐶⊥𝑂𝐴 𝐸
𝐴𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:98)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:61)(cid:3)(cid:215)(cid:222)(cid:145)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:165)(cid:166)(cid:20)(cid:247)(cid:162)(cid:202) = (cid:75)(cid:131)(cid:26)(cid:27) (ASA)(cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:202) = (cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:26)(cid:27)𝐶(cid:10)𝐸 𝐶𝐷(cid:157) (cid:32)△(cid:48)𝐴(cid:49)𝐸𝐶(cid:44)≌(cid:75)△𝐵𝐷𝐶 (cid:75) (cid:75) 𝐴𝐶 𝐵𝐶
+
A
A
科
= (cid:75) ∵ 𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐵 𝐴𝐶⊥𝑂𝐵 𝐵𝐶⊥𝑂𝐴 ★ 全
号
众
注
公
∴𝐶𝐸 𝐶𝐷 = =9关0°
，
(cid:76) (cid:98) (cid:78)
资=源
(cid:75)
辅
教∠𝐴𝐸𝐶 ∠=𝐵𝐷𝐶
△𝐴𝐸𝐶 △𝐵𝐷𝐶 𝐶𝐸 𝐶𝐷
(ASA)(cid:75) ∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐴𝐸=𝐶≌△(cid:63)𝐵𝐷𝐶
(cid:15)∴(cid:174)𝐴𝐶(cid:175)9𝐵-3𝐶(cid:19)(cid:261)(cid:215)(cid:10)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:145)E(cid:76)(cid:47)(cid:44) (cid:137)(cid:75) (cid:326)D(cid:75) (cid:326)B(cid:75)(cid:79) (cid:48)(cid:49) (cid:75)(cid:229)(cid:26)(cid:10)
𝐴𝐶 𝐸𝐷⊥𝐶=𝐷 𝐸𝐵⊥𝐶𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐷𝐶𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(cid:230)(cid:170)(cid:171)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:159)(cid:160)(cid:165)(cid:166)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:35)(cid:50)(cid:162)(cid:286) = (cid:75) = =90°(cid:75) = (cid:75)(cid:167)(cid:165)(cid:166)SAS(cid:26)(cid:27)
(cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:171)(cid:147)(cid:63) 𝐷𝐸 𝐵𝐸 ∠𝐸𝐷𝐶 ∠𝐸𝐵𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸
△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐸𝐵(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:171)(cid:10) (cid:75) (cid:75) (cid:48)(cid:49) (cid:75)
= (cid:75) ∵𝐸𝐷⊥=𝐶𝐷 𝐸𝐵=⊥9𝐶0𝐵°(cid:75)𝐴𝐶 =∠𝐷𝐶𝐵 (cid:75)
∴𝐷𝐸 𝐵=𝐸 ∠𝐸𝐷+𝐶 ∠𝐸𝐵(cid:75)𝐶 =∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸(cid:75)
∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐷𝐶𝐸(cid:75)∠𝐸𝐶𝐷 ∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐸𝐵𝐶
∴(cid:76)∠𝐴𝐸𝐷 (cid:98)∠𝐵𝐸𝐴 (cid:78)(cid:75)
△𝐴𝐸=𝐷 △𝐴𝐸𝐵
=
𝐷𝐸= 𝐵𝐸
∠𝐴𝐸𝐷 ∠𝐴𝐸𝐵
𝐸𝐴 𝐸𝐴 (SAS)(cid:75)
∴△𝐴=𝐸𝐷≌△𝐴𝐸𝐵
(cid:15)∴𝐴(cid:145)𝐷(cid:269)(cid:19)𝐴𝐵(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:303)(cid:23)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:77)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:157)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)
(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:63)
【题型10 尺规作图】
(cid:15)(cid:111)10(cid:19)(cid:24)2025·(cid:108)(cid:258)(cid:488)(cid:178)·(cid:42)(cid:233)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:76) (cid:78)(cid:75) (cid:157)(cid:489)(cid:23)(cid:63)
+
A
A
科
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶 ★ 全
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:221)(cid:490)(cid:77)(cid:491)(cid:54)(cid:10)(cid:39)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:54) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:324) (cid:326)(cid:145) (cid:234)(cid:24)(cid:397)(cid:492)(cid:54)(cid:55)(cid:493)(cid:277)(cid:75)(cid:321)(cid:210)(cid:229)(cid:65)(cid:54)(cid:41)(cid:25)
(2)(cid:110)(cid:39)(cid:77)(cid:479)(cid:480)(cid:10)(cid:76)(cid:24)1(cid:25)(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:74)𝐴(cid:75)𝐶(cid:249)(cid:250) (cid:75)(cid:263) 𝐴=𝐵44°(cid:75)𝐷 =20°(cid:75)(cid:229) (cid:32)(cid:99)(cid:100)(cid:63)
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(1)(cid:230)(cid:170)(cid:171) 𝐷𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐷𝐶𝐵
(2)72°
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:193)(cid:23)(cid:98)(cid:34)(cid:51)(cid:75)(cid:155)(cid:156)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)
(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:104)(cid:41)(cid:132)(cid:57)(cid:35)(cid:50)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:63)
(cid:24)1(cid:25)(cid:49)(cid:60)(cid:132)(cid:145)A(cid:118)C(cid:133)(cid:494)(cid:495)(cid:75)(cid:99)(cid:326) 1 (cid:133)(cid:496)(cid:194)(cid:285)(cid:497)(cid:75)(cid:56)(cid:497)(cid:61)(cid:324)(cid:326)(cid:56)(cid:145)(cid:75)(cid:304)(cid:96)(cid:56)(cid:145)(cid:54)(cid:47)(cid:44)(cid:324) (cid:326)D(cid:63)
2
(cid:24)2(cid:25)(cid:268)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:162)(cid:286)𝐴𝐶 = =44°(cid:75)(cid:268)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:193)(cid:23)(cid:98)(cid:34)(cid:51)(cid:162)(cid:286) 𝐴𝐶
= =116°(cid:75)(cid:167)∠(cid:165)𝐴(cid:166)(cid:23)∠(cid:32)𝐴𝐶(cid:98)𝐷(cid:245)(cid:3)(cid:344)(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:286)(cid:147)(cid:148)(cid:63)
(cid:15)∠𝐴(cid:170)𝐶𝐵(cid:171)(cid:19)1(cid:24)801(cid:25)°−(cid:171)44(cid:10)°−(cid:46)20(cid:47)°(cid:48)(cid:49)(cid:44) (cid:169)(cid:133)(cid:282)(cid:229)(cid:10)
𝐸𝐷(cid:24)2(cid:25)(cid:171)(cid:10) (cid:133) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)
= ,∵𝐷𝐸 𝐴𝐶
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷 =44°(cid:75)
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶+𝐷 =180°(cid:75)
∵∠𝐴 ∠=𝐵 ∠𝐴𝐶𝐵 =116°(cid:75)
∴∠𝐴𝐶𝐵 =180°−44°−20°=72°
∴(cid:15)∠(cid:174)𝐷𝐶(cid:175)𝐵10-∠1(cid:19)𝐴𝐶(cid:24)𝐵−24∠-2𝐴5𝐶𝐷(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:137)(cid:322)(cid:498)(cid:316)·(cid:179)(cid:180)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:343)(cid:34)(cid:80)(cid:62) (cid:75)(cid:39)(cid:47)(cid:52)(cid:98)(cid:494)(cid:53)(cid:54)
′ ′ ′
(cid:75)(cid:106)(cid:114)(cid:32)(cid:54)(cid:41)(cid:157)(cid:10) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴 𝐵 𝐶
≌△𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
(cid:54) = (cid:234) 教(cid:132)(cid:145) (cid:133)(cid:494)(cid:495)(cid:75)(cid:132) (cid:91)(cid:133)(cid:496)(cid:194)(cid:54)(cid:497)(cid:75)(cid:324) (cid:326)(cid:145) (cid:234)
′ ′ ′ ′
①(cid:132)∠(cid:145)𝐷𝐴(cid:133)𝐸(cid:494)(cid:495)∠𝐴(cid:75)(cid:132)② (cid:91)(cid:133)𝐴(cid:496)(cid:194)(cid:54)(cid:497)(cid:75)(cid:324)𝐴𝐵 (cid:326)(cid:145) (cid:234) (cid:249)(cid:250)𝐴 𝐷(cid:63) 𝐵
′ ′ ′ ′ ′
③ 𝐴 (cid:101)(cid:157)(cid:229)(cid:54)(cid:28)𝐴(cid:23)𝐶(cid:29)(cid:63)(cid:76)(cid:217)(cid:54)(cid:41)(cid:78)(cid:75)(cid:153)𝐴(cid:34)𝐸 𝐶 ④ 𝐵 𝐶(cid:32)(cid:218)(cid:166)(cid:157) (cid:63)(cid:24)(cid:460)(cid:64)(cid:443)(cid:25)
′ ′ ′ ′ ′ ′
(cid:15)△(cid:147)𝐴(cid:148)𝐵(cid:19)𝐶SAS △𝐴 𝐵 𝐶 ≌△𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:270)(cid:210)(cid:151)(cid:152)(cid:186)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:75)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)—(cid:54)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:75)(cid:165)(cid:166)(cid:54)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:131)(cid:162) = (cid:75) =
′ ′
(cid:75) = (cid:75)(cid:166)(cid:217)(cid:165)(cid:166)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:23)(cid:29)(cid:32)(cid:153)(cid:34)(cid:34)(cid:51)(cid:169)(cid:131)(cid:162)(cid:202)(cid:147)(cid:148)(cid:63) 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ∠𝐴 ∠
′ ′ ′
(cid:15)𝐴 (cid:170)𝐴(cid:171)𝐶(cid:19)(cid:171)𝐴(cid:10)𝐶(cid:268)(cid:54)(cid:55)(cid:40)(cid:41)(cid:131)(cid:162) = (cid:75) = (cid:75) = (cid:75)
′ ′ ′ ′ ′
(SAS)(cid:75) 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ∠𝐴 ∠𝐴 𝐴𝐶 𝐴 𝐶
′ ′ ′
(cid:173)∴△(cid:147)𝐴(cid:148)𝐵(cid:133)𝐶(cid:10)≌SA△S(cid:63)𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:174)(cid:175)10-2(cid:19)(cid:73)(cid:55) (cid:48)(cid:49) (cid:75) =30°(cid:75) (cid:326)(cid:145)D(cid:63)
𝑂𝑃 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵(1)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:229)(cid:54) (cid:451)(cid:77) (cid:61)(cid:324)(cid:326)(cid:145)C (cid:24)(cid:397)(cid:492)(cid:54)(cid:55)(cid:493)(cid:277)(cid:75)(cid:321)(cid:65)(cid:54)(cid:41)(cid:25)(cid:234)(cid:451)(cid:76)(cid:217)(cid:219)(cid:499)(cid:137)(cid:26)(cid:27) = (cid:234)
(2)(cid:263) =4(cid:75)(cid:229) 𝑃(cid:32)𝐶∥(cid:91)𝑂𝐵(cid:63) 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝑃𝐶
(cid:15)(cid:147)(cid:148)𝑃𝐶(cid:19)(1)(cid:230)(cid:171)(cid:149)𝑃𝐷
(2)2
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:54) = (cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:24)2(cid:25)(cid:124)(cid:39)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)∠(cid:35)𝑂(cid:50)𝑃𝐶(cid:34)(cid:51)∠(cid:26)𝑃(cid:27)𝑂𝐷 = (cid:75)(cid:229)(cid:286) (cid:169)(cid:131)(cid:63)
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:171)(cid:10)(cid:73)(cid:55)(cid:75)(cid:145) (cid:169)(cid:133)(cid:282)𝑃(cid:229)𝐸 (cid:234)𝑃𝐷 𝑃𝐸
𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:24)2(cid:25)(cid:304)(cid:145) (cid:54) (cid:326)(cid:145) (cid:63)
(cid:48)(cid:49)𝑃 𝑃𝐸(cid:75)⊥𝑂𝐴 (cid:75)𝐸 (cid:75)
∵𝑂𝑃 = ∠(cid:63)𝐴𝑂𝐵 𝑃𝐹⊥𝑂𝐴 𝑃𝐷⊥𝑂𝐵
∴𝑃𝐷 𝑃=𝐸30°(cid:75) (cid:75)
∵∠𝐴𝑂𝐵= 𝑃=𝐶∥3𝑂0𝐵°(cid:75)
∴∠𝑃𝐶
=
𝐸1 ∠𝐴
=
𝑂
2
𝐵
(cid:75)
2
∴𝑃𝐸 𝑃𝐶
= =2(cid:63)
(cid:15)∴(cid:145)𝑃𝐷(cid:269)(cid:19)𝑃(cid:150)𝐸(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:54)(cid:55) (cid:500)(cid:501)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:47)(cid:23)(cid:28)(cid:23)(cid:29)30(cid:92)(cid:23)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:31)(cid:215)(cid:222)(cid:75)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:157)(cid:51)(cid:171)(cid:20)(cid:247)(cid:75)(cid:36)(cid:37)(cid:335)(cid:39)
(cid:282)(cid:11)(cid:215)(cid:222)(cid:171)(cid:244)(cid:246)(cid:20)(cid:63) −
(cid:15)(cid:174)(cid:175)10-3(cid:19)(cid:24)24-25(cid:271)(cid:135)(cid:136)(cid:74)·(cid:137)(cid:322)·(cid:142)(cid:45)(cid:143)(cid:144)(cid:25)(cid:73)(cid:55)(cid:282)(cid:336)(cid:75)(cid:76) (cid:78)(cid:75) =90°(cid:75) =30°(cid:63)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐴(1)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:54) (cid:32)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44) (cid:75)(cid:46)(cid:446)(cid:133)D(cid:75)(cid:324) (cid:326)(cid:145)E(cid:63)(cid:24)(cid:397)(cid:492)(cid:54)(cid:55)(cid:493)(cid:277)(cid:75)(cid:321)(cid:210)(cid:229)(cid:65)(cid:54)(cid:41)(cid:25)
(2)(cid:110)(cid:39)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:76)𝐴𝐵(cid:24)1(cid:25)(cid:32)(cid:130)(cid:267)(cid:74)𝐷(cid:75)𝐸(cid:229)(cid:26)(cid:10) = (cid:63)𝐴𝐶
(cid:15)(cid:147)(cid:148)(cid:19)(1)(cid:230)(cid:171)(cid:149) 𝐷𝐸 𝐸𝐶
(2)(cid:230)(cid:171)(cid:149)
(cid:15)(cid:49)(cid:149)(cid:19)(cid:150)(cid:20)(cid:151)(cid:152)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)—(cid:54)(cid:46)(cid:44)(cid:75)(cid:23)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:35)(cid:50)(cid:75)(cid:154)(cid:143)(cid:155)(cid:156)(cid:61)(cid:3)(cid:215)(cid:222)(cid:145)(cid:75)(cid:157)(cid:171)(cid:20)(cid:32)(cid:3)(cid:158)(cid:10)
(cid:24)1(cid:25)(cid:49)(cid:60)(cid:132) (cid:133)(cid:494)(cid:495)(cid:75)(cid:99)(cid:326) 1 (cid:32)(cid:91)(cid:133)(cid:496)(cid:194)(cid:285)(cid:497)(cid:75)(cid:249)(cid:250)(cid:56)(cid:497)(cid:32)(cid:324)(cid:145)(cid:75)(cid:324) (cid:326)D(cid:75)(cid:324) (cid:326)(cid:145)E(cid:169)(cid:131)(cid:234)
2
(cid:24)2(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:82)(cid:31)𝐴,𝐵(cid:23)(cid:75)(cid:426)(cid:162) = 𝐴𝐵 (cid:75)(cid:251)(cid:252)(cid:162)(cid:202) (cid:48)(cid:49) (cid:75)(cid:169)(cid:131)(cid:162)𝐴(cid:26)𝐵(cid:63) 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:170)(cid:171)(cid:19)(cid:24)1(cid:25)(cid:171)(cid:10)(cid:268)(cid:20)∠(cid:247)𝐶(cid:75)𝐵𝐸(cid:54)(cid:55)∠(cid:73)𝐴(cid:74)𝐵𝐸(cid:10) 𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:24)2(cid:25)(cid:249)(cid:250) (cid:75)
(cid:157) (cid:32)𝐵𝐸(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:75)
∵𝐷𝐸=𝐴𝐵(cid:75)
∴𝐵𝐸 𝐴=𝐸 =30°(cid:75)
∴∠𝐴𝐵𝐸=9∠0𝐴°(cid:75) =30°(cid:75)
∵∠𝐴𝐶𝐵=60°(cid:75)∠𝐴 (cid:75)
∴∠𝐴𝐵𝐶= 𝐶𝐸⊥𝐵𝐶=30°(cid:75)
∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶−(cid:75)∠𝐴𝐵𝐸
∴∠𝐶𝐵(cid:48)𝐸(cid:49) ∠𝐴𝐵𝐸(cid:75)
∴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 (cid:75)
∵𝐶𝐸⊥=𝐵𝐶,𝐷(cid:63)𝐸⊥𝐴𝐵
∴𝐷𝐸 𝐸𝐶
