专题3.3相似图形、相似三角形的判定(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(湘教)

专题 3.3 相似图形、相似三角形的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:19)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:19)........................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:34)(cid:35)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:19)......................................................................................11
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:38)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..........................................................................................................14
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:19)......................................................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..........................................................................................................................20
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:59)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:19)..............................................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:66)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:66)(cid:19)........................................................................................................................27
(cid:15)(cid:20)(cid:21)11 (cid:67)(cid:68)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:19)................................................................................................................................30
知识点1 相似图形
1.定义：把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形是相似的.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，
或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形
叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比.
知识点2 相似三角形
1. (cid:39)(cid:69)(cid:10)(cid:51)(cid:41)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:71)(cid:51)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:72)(cid:73)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:74) ABC(cid:75) A B C (cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:64) ABC
1 1 1
A B C (cid:74) △ △ △ ∽
1 1 1
△2. (cid:78)(cid:42)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:47)(cid:80)
(cid:78)(cid:42)(cid:51)(cid:41)(cid:27) (cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)
(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:78)(cid:84)(cid:85)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:42)(cid:51) (cid:51)(cid:41)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:71)(cid:51)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)
(cid:39)(cid:69)
(cid:41)(cid:27) (cid:27)(cid:72)(cid:73)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)
(cid:86)(cid:87) (cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:24)(cid:42) (cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:93)(cid:91)(cid:92)(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:24)(cid:42)
(cid:26)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:44)(cid:45)(cid:43) (cid:24)(cid:42) (cid:46)(cid:47)(cid:48)
(cid:44)(cid:45)(cid:41) (cid:24)(cid:42) (cid:24)(cid:42)
(cid:24)(cid:25)(cid:47) 1 (cid:98)(cid:99)(cid:100)1(cid:76)(cid:101)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:66)
知识点3 三角形相似的判定
(cid:106)(cid:107)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:70)(cid:23)(cid:79)(cid:89)(cid:95)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:111)(cid:112)(cid:39)(cid:113)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:102)(cid:103)(cid:40)(cid:43)(cid:118)(cid:68)(cid:29)(cid:115)(cid:116),(cid:117)(cid:119)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
1. (cid:39)(cid:113)1(cid:10)(cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:23)(cid:44)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
(cid:121)(cid:122) ABC(cid:75)(cid:75) A′B′C′(cid:75)(cid:76)(cid:123) A= A′(cid:76) B= B′(cid:76)(cid:124) ABC A′B′C′(cid:74)
2. (cid:39)△(cid:113)2(cid:10)(cid:40)(cid:43)△(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:90)(cid:50)∠(cid:41)(cid:24)∠ (cid:42)(cid:29)∠(cid:40)(cid:65)∠(cid:51)(cid:41)(cid:27)△(cid:24)(cid:25)(cid:74)∽△
AB AC
(cid:121)(cid:122) ABC(cid:75)(cid:75) A′B′C′(cid:76)(cid:123) = (cid:76) A= A′(cid:76)(cid:124) ABC A′B′C′(cid:74)
A′B′ A′C′
3. (cid:39)△(cid:113)3(cid:10)(cid:51)(cid:43)△(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41) ∠ (cid:27)(cid:24) ∠ (cid:25)(cid:74) △ ∽△
(cid:121)(cid:122) ABC(cid:75)(cid:75) A′B′C′(cid:76)(cid:123) AB = BC = AC (cid:76)(cid:124) ABC A′B′C′(cid:74)
A′B′ B′C′ A′C′
△ △ △ ∽△
(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:10)(cid:106)(cid:107)(cid:95)(cid:65)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:125)(cid:43)(cid:49)(cid:95)(cid:57)(cid:115)(cid:41)(cid:43)(cid:79)(cid:126)(cid:95)(cid:65)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:125)(cid:43)(cid:49)(cid:95)(cid:57)
(cid:115)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:40)(cid:65)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
4. (cid:127)(cid:3)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:128)(cid:129)(cid:26)(cid:27)
(cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87) (cid:118)(cid:130)(cid:57)(cid:58) (cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)
(cid:121)(cid:122) DE // BC(cid:76)(cid:118)(cid:99) (cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)
(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:21)
(cid:89)(cid:135)(cid:41)(cid:71)(cid:136)(cid:137)(cid:41)(cid:24)(cid:42) (cid:25)(cid:74) ADE ABC
(cid:127)(cid:7)(cid:138)(cid:41)(cid:54)(cid:44)(cid:139)(cid:41)(cid:76) (cid:40)(cid:41)△(cid:70)(cid:23)(cid:24)∽(cid:42)△(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)
B= AED (cid:25)(cid:74) ADE ACB
(cid:125)(cid:140)(cid:21)
∠(cid:7)(cid:138)∠(cid:41)(cid:29)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46) △ ∽△
(cid:40)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)
AB AC
(cid:47)(cid:48)(cid:76) = (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74) ACB AED
AD AE
△ ∽△
(cid:40)(cid:41)(cid:70)(cid:23)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)
(cid:141)(cid:142)(cid:21) 1= 2
(cid:25)(cid:74) ACD ABC
∠ ∠
△ ∽△(cid:127)(cid:95)(cid:145)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:76)
(cid:7)(cid:138)(cid:41)(cid:146)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:147)(cid:29)
(cid:40)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)
(cid:143)(cid:144)(cid:21)
(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76) (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74) ABC A′B′C′
1= 2(cid:76) AB = AC ∠ △ ∽△
A′B′ A′C′
∠
【题型1 识别相似图形】
(cid:15)(cid:48)1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:84)(cid:152)(cid:153)(cid:154)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:151)(cid:159)(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
A(cid:74) B(cid:74) C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:88)(cid:168)(cid:169)(cid:83)(cid:78)(cid:24)(cid:89)(cid:170)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:91)(cid:92)(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:24)(cid:89)(cid:74)(cid:171)(cid:172)
(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:29)(cid:26)(cid:27)(cid:173)(cid:174)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:175)(cid:85)(cid:26)(cid:27)(cid:76)(cid:44)(cid:52)(cid:160)(cid:95)(cid:95)(cid:70)(cid:164)(cid:76)(cid:176)(cid:177)(cid:137)(cid:178)(cid:162)(cid:163)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)A(cid:71)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
B(cid:71)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:94)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
C(cid:71)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:94)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
D(cid:71)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:94)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:184)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)A(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-1(cid:19)(cid:146)2025(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:78)(cid:189)·(cid:190)(cid:20)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:35)(cid:191)(cid:91)(cid:192)(cid:193)(cid:36)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:26)(cid:199)(cid:191)(cid:91)(cid:76)(cid:124)(cid:191)(cid:91)(cid:200)(cid:201)(cid:40)(cid:65)
(cid:26)(cid:27)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:114)(cid:26)(cid:27)(cid:29) (cid:74)(cid:146)(cid:205)(cid:36)(cid:206)(cid:71)(cid:207)(cid:44)(cid:173)(cid:71)(cid:24)(cid:25)(cid:71)(cid:143)(cid:144)(cid:161)(cid:52)(cid:147)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:24)(cid:25)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:45)(cid:35)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:20)(cid:183)(cid:98)(cid:122)(cid:76)(cid:193)(cid:26)(cid:199)(cid:191)(cid:91)(cid:76)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:92)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:186)(cid:211)(cid:76)(cid:175)(cid:85)(cid:36)(cid:206)(cid:71)(cid:207)(cid:44)(cid:173)(cid:75)
(cid:143)(cid:144)(cid:94)(cid:212)(cid:186)(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:92)(cid:98)(cid:99)(cid:213)(cid:39)(cid:76)(cid:110)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:3)(cid:214)(cid:76)(cid:205)(cid:215)(cid:119)(cid:216)(cid:162)(cid:163)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:49)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:122)(cid:76)(cid:35)(cid:191)(cid:91)(cid:192)(cid:193)(cid:36)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:26)(cid:199)(cid:191)(cid:91)(cid:76)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:91)
(cid:92)(cid:94)(cid:89)(cid:76)(cid:217)(cid:218)(cid:110)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:3)(cid:214)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:76)
(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:37)(cid:133)(cid:187)(cid:229)(cid:230)(cid:229)(cid:231)(cid:232)(cid:76)(cid:99)(cid:151)(cid:233)(cid:145) (cid:161)(cid:76)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:95)
(cid:145)(cid:100)(cid:146) (cid:147) 𝐿𝑂𝐺𝑂
A(cid:74) B(cid:74)
C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:181)(cid:20)(cid:3)(cid:235)(cid:100)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:74)
(cid:175)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:44)(cid:52)(cid:160)(cid:239)(cid:37)(cid:240)(cid:95)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)A(cid:52)(cid:160)(cid:76)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)A(cid:52)(cid:160)(cid:137)(cid:178)(cid:170)
B(cid:52)(cid:160)(cid:76)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)B(cid:52)(cid:160)(cid:137)(cid:178)(cid:170)
C(cid:52)(cid:160)(cid:76)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:24)(cid:89)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)C(cid:52)(cid:160)(cid:137)(cid:178)(cid:170)
D(cid:52)(cid:160)(cid:76)(cid:40)(cid:65)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:88)(cid:94)(cid:89)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)D(cid:52)(cid:160)(cid:104)(cid:213)(cid:74)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)D(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)1-3(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:220)(cid:154)(cid:242)(cid:243)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:151)(cid:159)(cid:244)(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:120)(cid:104)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:193)(cid:102)(cid:70)(cid:46)(cid:40)(cid:246)
(cid:70)(cid:76)(cid:102)(cid:161)(cid:247)(cid:248)(cid:246)(cid:70)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
A(cid:74) B(cid:74) C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:240)(cid:160)(cid:239)(cid:37)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)A(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:71)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:20)
(cid:183)(cid:170)
B(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:251)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:93)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
C(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:252)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:252)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:93)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
D(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:253)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:253)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:93)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)A(cid:74)【题型2 由相似图形的性质求值】
(cid:15)(cid:48)2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:78)(cid:189)·(cid:254)(cid:224)(cid:64)(cid:255)(cid:147)(cid:68)(cid:11)(cid:256)(cid:29)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:161)(cid:76)(cid:89)(cid:11)(cid:227)(cid:59)(cid:35)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:191)(cid:91)(cid:26)(cid:264)(cid:74)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:92)
(cid:265)(cid:193)(cid:95)(cid:266)(cid:267)(cid:174)5cm(cid:76)(cid:268)(cid:174)3cm(cid:29)(cid:251)(cid:27)(cid:26)(cid:264)(cid:191)(cid:91)(cid:76)(cid:102)(cid:161)(cid:191)(cid:91)(cid:201)(cid:29)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:268)(cid:174)9cm(cid:76)(cid:108)(cid:109)(cid:191)(cid:91)(cid:201)(cid:29)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:174)
(cid:146) (cid:147)
A(cid:74)15cm B(cid:74)18cm C(cid:74)20cm D(cid:74)25cm
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:47)(cid:42)(cid:268)(cid:29)(cid:47)(cid:71)(cid:267)(cid:29)(cid:47)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:181)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:269)(cid:191)(cid:91)(cid:201)(cid:29)(cid:267)(cid:174) cm(cid:74)
9 𝑥
(cid:28)(cid:20)(cid:183)(cid:10) = (cid:76)
3 5
𝑥
(cid:181)(cid:119)(cid:10) =15(cid:74)
(cid:118)(cid:99)(cid:191)𝑥(cid:91)(cid:201)(cid:29)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:174)15cm(cid:74)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)A(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:270)(cid:271)(cid:272)(cid:273)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:35)(cid:191)(cid:91)(cid:192)(cid:274)(cid:216)(cid:29)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:24)(cid:47)(cid:80)(cid:76)(cid:94)(cid:186)(cid:29)(cid:100)
(cid:146) (cid:147)
A(cid:74)(cid:275)(cid:57)(cid:43)(cid:29)(cid:267)(cid:276) B(cid:74)(cid:275)(cid:65)(cid:136)(cid:41)(cid:29)(cid:276)(cid:66) C(cid:74)(cid:277)(cid:278) D(cid:74)(cid:279)(cid:267)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:181)(cid:20)(cid:3)(cid:235)(cid:100)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)
(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:181)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:28)(cid:20)(cid:183)(cid:119)(cid:10)(cid:35)(cid:191)(cid:91)(cid:192)(cid:274)(cid:216)(cid:29)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:24)(cid:47)(cid:80)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:3)(cid:214)(cid:76)
(cid:35)(cid:191)(cid:91)(cid:192)(cid:274)(cid:216)(cid:29)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:24)(cid:47)(cid:80)(cid:76)(cid:279)(cid:267)(cid:71)(cid:277)(cid:278)(cid:71)(cid:275)(cid:57)(cid:43)(cid:29)(cid:267)(cid:276)(cid:29)(cid:267)(cid:276)(cid:280)(cid:281)(cid:91)(cid:210)(cid:76)(cid:93)(cid:275)(cid:65)(cid:136)(cid:41)(cid:29)(cid:276)(cid:66)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:186)(cid:74)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)B(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:284)(cid:285)(cid:221)(cid:286)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:233)(cid:43)(cid:27) (cid:75)(cid:233)(cid:43)(cid:27) (cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:234) (cid:29)(cid:44)(cid:45)
(cid:234)(cid:70)(cid:23)(cid:174) (cid:76)(cid:124)(cid:151)(cid:159)(cid:175)(cid:287)(cid:104)(cid:213)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻
A(cid:74) =81° B(cid:74) =83° C(cid:74) =78° D(cid:74) =91°
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)∠𝐷A ∠𝐹 ∠𝐺 ∠𝐻
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)
(cid:29)(cid:44)(cid:45)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:288)(cid:175)(cid:85)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:136)(cid:41)(cid:75)(cid:174)360°(cid:76)(cid:32)(cid:228)(cid:275)(cid:95)(cid:65)(cid:136)(cid:41)(cid:29)(cid:41)(cid:276)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:228)(cid:175)(cid:287)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) (cid:233)(cid:43)(cid:27) (cid:75)(cid:233)(cid:43)(cid:27) (cid:24)(cid:25)(cid:76)
= =7∵8°(cid:76) 𝐴=𝐵𝐶𝐷=83°(cid:76)𝐸𝐹𝐺=𝐻 =118°(cid:76) = (cid:76)
(cid:289)∴∠𝐹 +∠𝐵 + +∠𝐺 =∠𝐶360°(cid:76) ∠𝐴 ∠𝐸 ∠𝐷 ∠𝐻
∵∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶 ∠𝐷 =81°(cid:74)
(cid:185)∴(cid:52)∠𝐻(cid:10)A∠(cid:74)𝐷 360°−∠𝐴−∠𝐵−∠𝐶
(cid:15)(cid:186)(cid:187)2-3(cid:19)(cid:146)2025(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:78)(cid:189)·(cid:190)(cid:20)(cid:157)(cid:158)(cid:147)2024(cid:149)10(cid:290)1(cid:291)(cid:76)(cid:100)(cid:292)(cid:91)(cid:293)(cid:189)75(cid:279)(cid:149)(cid:294)(cid:295)(cid:76)(cid:78)(cid:189)(cid:244)(cid:296)(cid:297)(cid:298)
(cid:299)(cid:210)(cid:300)(cid:301)(cid:29)(cid:252)(cid:302)(cid:303)(cid:304)——(cid:189)(cid:304)(cid:74)(cid:189)(cid:304)(cid:134)(cid:63)(cid:39)(cid:10)(cid:118)(cid:127)(cid:189)(cid:304)(cid:280)(cid:174)(cid:24)(cid:25)(cid:251)(cid:27)(cid:76)(cid:68)(cid:151)(cid:159)(cid:233)(cid:277)(cid:189)(cid:304)(cid:161)(cid:76)(cid:102)(cid:161)(cid:305)(cid:127)(cid:95)(cid:277)
(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:199)(cid:306)(cid:76)(cid:110)(cid:277)(cid:189)(cid:304)(cid:100) (cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:146)2(cid:147)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:236)(cid:122)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:24)(cid:42)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:245)(cid:43)(cid:27)(cid:44)
(cid:45)(cid:43)(cid:29)(cid:47)(cid:24)(cid:42)(cid:32)(cid:181)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181) 160 = 2 (cid:76) 120 = 3 (cid:76) 96 = 2 (cid:76) 64 = 2 (cid:76)
240 3 160 4 144 3 96 3
∶∵160 = 96 = 64 120 (cid:76)
240 144 96 160
∴ ≠
(cid:124)(cid:146)2(cid:147)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:199)(cid:306)(cid:76)
(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174) (cid:146)2(cid:147)(cid:74)
【题型3 ∶ 利用平行判定相似】
(cid:15)(cid:48)3(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)AB //CD //EF(cid:76)(cid:124)(cid:26)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:66)(cid:174)( )
A. 4(cid:44) B. 3(cid:44) C. 2(cid:44) D. 1(cid:44)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:218)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:79)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:126)(cid:40)(cid:43)(cid:54)(cid:126)(cid:40)(cid:43)(cid:29)(cid:307)(cid:267)(cid:116)(cid:118)(cid:308)
(cid:46)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:100)(cid:4)(cid:183)(cid:22)(cid:26)(cid:76)(cid:4)(cid:183)(cid:73)(cid:216)(cid:94)(cid:84)(cid:94)(cid:309)(cid:74)
(cid:28)AB//CD//EF(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:79)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:126)(cid:40)(cid:43)(cid:54)(cid:126)(cid:40)(cid:43)(cid:29)(cid:307)(cid:267)(cid:116)(cid:118)(cid:308)(cid:46)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:98)
(cid:119) ACD AEF(cid:76) ECD EAB(cid:76) ADB FDE.(cid:118)(cid:99)(cid:26)(cid:161)(cid:138)(cid:127)3(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:74)
(cid:15)△(cid:180)(cid:181)(cid:19)∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:181)(cid:10) AB//CD//EF(cid:76)
A∵CD AEF(cid:76) ECD EAB(cid:76) ADB FDE(cid:74)
∴△(cid:26)(cid:161)(cid:138)∽(cid:127)△3(cid:44)(cid:24)(cid:25)△(cid:51)(cid:41)(cid:27)∽(cid:74)△ △ ∽△
(cid:185)∴ (cid:52)B(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-1(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)AB(cid:76)CD(cid:24)(cid:140)(cid:114)(cid:234)O(cid:76)AC//BD.(cid:32)(cid:131)(cid:10) OAC OBD(cid:74)
△ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10)AC//BD(cid:76)
OAC OBD(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:181)(cid:164)(cid:19)∽(cid:165)△(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:79)(cid:102)(cid:103)(cid:40)(cid:43)(cid:24)(cid:140)(cid:76)(cid:118)(cid:308)(cid:46)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)
(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:28)(cid:218)(cid:179)(cid:98)(cid:131)(cid:132)(cid:310)(cid:20)(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-2(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68) ABC(cid:161)(cid:76)(cid:234)D(cid:71)M(cid:68)AB(cid:219)(cid:76)(cid:234)E(cid:71)N(cid:70)(cid:23)(cid:68)BC(cid:71)AC(cid:219)(cid:76)(cid:90)DE//AC(cid:76)MN//BC(cid:76)DE(cid:140)MN
△(cid:114)(cid:234)O.(cid:26)(cid:161)(cid:79) ABC(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:245)(cid:311)(cid:65)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:227)(cid:96)(cid:97)(cid:228)(cid:230)(cid:76)(cid:315)(cid:316)(cid:132)(cid:113)(cid:28)(cid:74)
△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:26)(cid:161)(cid:79) ABC(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)3(cid:65)(cid:76) AMN ABC(cid:76) DBE ABC(cid:76) DM ABC(cid:76)
(cid:113)(cid:28)(cid:10) MN//BC(cid:76) △ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
AM∵N ABC(cid:76) DBE DMO(cid:76)
∴△DE//AC∽(cid:76)△ △ ∽△
∵ DBE ABC(cid:76)
∴△DMO∽△ ABC(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:181)(cid:164)(cid:19)∽(cid:165)△(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:29)(cid:45)(cid:35)(cid:76)(cid:4)(cid:183)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:102)(cid:314)(cid:40)(cid:43)(cid:76)(cid:118)(cid:117)(cid:119)(cid:29)
(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:102)(cid:314)(cid:40)(cid:43)(cid:76)(cid:118)(cid:117)(cid:119)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:317)
(cid:228)(cid:162)(cid:163)(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)3-3(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)F(cid:100)AD(cid:307)(cid:267)(cid:116)(cid:219)(cid:95)(cid:234)(cid:76)(cid:318)(cid:175)BF(cid:140)DC(cid:114)(cid:234)E(cid:76)(cid:124)(cid:26)(cid:161)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)
(cid:27)(cid:138)(cid:127) (cid:44).
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)3
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)
(cid:218)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:99)(cid:49)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:4)(cid:183)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:319)(cid:165)(cid:26)(cid:27)(cid:98)(cid:70)(cid:23)(cid:77)(cid:174)“A”(cid:21)(cid:75)“X”(cid:21)(cid:74)
(cid:28)(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:100)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:95)(cid:43)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:79)(cid:102)(cid:103)(cid:40)(cid:43)(cid:24)(cid:140)(cid:76)(cid:118)(cid:308)(cid:46)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:98)(cid:119) BCE FDE(cid:76) FDE FAB(cid:76)(cid:124)(cid:98)(cid:119) BCE FAB(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:181)(cid:10) (cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:100)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)
AD∵//BC(cid:76)AB//CD(cid:76)
∴BCE FDE(cid:76) FDE FAB(cid:76)
∴△BCE∽△FAB(cid:74)△ ∽△
∴(cid:185)△(cid:24)(cid:25)(cid:51)∽(cid:41)△(cid:27)(cid:138)(cid:127)3(cid:44)(cid:74)
【题型4 利用两角相等判定相似】
(cid:15)(cid:48)4(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:320)(cid:153)(cid:321)(cid:223)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)D(cid:100) ABC(cid:43)BC(cid:219)(cid:29)(cid:95)(cid:234)(cid:76) BAD= C(cid:76) ABC(cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:116)
(cid:140)(cid:43)AC(cid:114)(cid:234)E(cid:76)(cid:140)AD(cid:114)(cid:234)F(cid:76)(cid:124)(cid:68)(cid:151)(cid:159)(cid:322)(cid:228)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161)△(cid:76)(cid:79) BDF(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:146)∠ (cid:147) ∠ ∠
△
A(cid:74) BFA B(cid:74) BAE C(cid:74) BEC D(cid:74) AEF
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)△B △ △ △
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:41)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:323)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:42)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:76)(cid:236)(cid:157)
(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
(cid:28)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:41)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:98)(cid:119) CBE= ABE(cid:76)(cid:179) DBF= ABE(cid:76)(cid:28)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:323)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:317)(cid:228) BFD= BEA(cid:76)(cid:114)
(cid:100)(cid:98)(cid:131)(cid:119) BDF BAE(cid:76)(cid:90)(cid:324)∠(cid:172)(cid:121)(cid:122)∠(cid:57)(cid:58)(cid:76)(cid:325)(cid:134)∠(cid:131)(cid:132) ∠BFA(cid:71) BEC(cid:71) AEF(cid:79) BDF(cid:24)(cid:25)(cid:76)∠(cid:326)(cid:219)(cid:76)∠(cid:179)(cid:98)(cid:119)
(cid:228)(cid:162)(cid:163)(cid:74)△ ∽△ △ △ △ △
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) BE(cid:100) ABC(cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:76)
CBE= ABE∵(cid:76) ∠
(cid:179)∴∠(cid:10) DB∠F= ABE(cid:76)
(cid:289) ∠BAD= ∠C(cid:76)
∵B∠FD= B∠AD+ ABE= C+ CBE= BEA(cid:76)
∴∠BDF ∠ BAE(cid:76)∠ ∠ ∠ ∠
∴(cid:90)△(cid:324)(cid:172)(cid:121)∽(cid:122)△(cid:57)(cid:58)(cid:76)(cid:325)(cid:134)(cid:131)(cid:132) BFA(cid:71) BEC(cid:71) AEF(cid:79) BDF(cid:24)(cid:25)(cid:76)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)B(cid:74) △ △ △ △
(cid:15)(cid:186)(cid:187)4-1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:220)(cid:154)(cid:327)(cid:328)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:98)(cid:122)(cid:76)(cid:151)(cid:159)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:95)(cid:39)(cid:24)(cid:25)
(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)A(cid:74) BCD ACD B(cid:74) BCD ABC
C(cid:74)△ACD∽△ABC D(cid:74)△(cid:99)(cid:219)(cid:297)∽(cid:94)△(cid:44)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)△C ∽△
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:331)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:24)(cid:42)(cid:41)(cid:71)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:100)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)
(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:26)(cid:98)(cid:122) ACD= ABC(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:131)(cid:132) ACD ABC(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)∠(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:26)∠(cid:98)(cid:122) ACD= AB△C(cid:76) ∽△
(cid:289) CAD= BAC(cid:76) ∠ ∠
∠ACD ∠ABC(cid:76)
∴(cid:185)△(cid:52)(cid:10)C∽(cid:74)△
(cid:15)(cid:186)(cid:187)4-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:335)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)AB BC(cid:76)BD CD(cid:76) ACD=90°(cid:76)(cid:32)(cid:131)(cid:10) ABC CDB(cid:74)
⊥ ⊥ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:336)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:228) A= BCD(cid:74)(cid:171)(cid:172) ABC= CDB=90°(cid:76)(cid:179)
(cid:98)(cid:131)(cid:132)(cid:175)(cid:287)(cid:74) ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10) ACD=90°(cid:76)AB BC(cid:76)
A+ ACB=90°(cid:76)∵∠ BCD+ ACB=9⊥0°(cid:76)
∴∠A=∠BCD(cid:74) ∠ ∠
∴A∠B ∠BC(cid:76)BD CD(cid:76)
∵ A⊥BC= CDB⊥=90°(cid:74)
∴∠ABC ∠ CDB(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)4∽-△3(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:219)(cid:337)·(cid:254)(cid:224)(cid:64)(cid:255)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68) ABC(cid:161)(cid:76) ACB=90°(cid:76)AC=BC(cid:76)P(cid:100) ABC(cid:136)(cid:95)(cid:234)(cid:76)
(cid:90) APB= APC=135°(cid:74)(cid:32)(cid:131)(cid:10) CPA APB(cid:74) △ ∠ △
∠ ∠ △ ∽△(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:136)(cid:41)(cid:75)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:42)(cid:338)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:79)(cid:30)(cid:31)(cid:42)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:74)(cid:175)
(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)(cid:98)(cid:119) CAB=45°(cid:76)(cid:205)(cid:215)(cid:98)(cid:119)(cid:228) CAP+ PAB=45°(cid:76)(cid:289) APC=135°(cid:76)(cid:119)(cid:228) ACP= PAB(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:131)(cid:132) CPA
APB(cid:74) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ △
∽(cid:15)△(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10) ACB=90°(cid:76)AC=BC(cid:76)
CAB=45°(cid:74) ∵ ∠
∴(cid:179)∠ CAP+ PAB=45°(cid:74)
∠APC=∠135°(cid:76)
∵∠CAP+ ACP=45°(cid:74)
∴∠ACP=∠PAB(cid:74)
∴∠ APB=∠ APC=135°(cid:76)
∵ ∠CPA ∠ APB(cid:74)
∴ △ ∽△
【题型5 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
(cid:15)(cid:48)5(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:335)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:104)(cid:133)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)(cid:234)F(cid:100)BC(cid:43)(cid:219)(cid:95)(cid:234)(cid:76)(cid:318)(cid:339)AF(cid:76)(cid:99)
AF(cid:174)(cid:44)(cid:41)(cid:116)(cid:64)(cid:104)(cid:133)(cid:27)AEFG(cid:76)(cid:318)(cid:339)AC(cid:71)DG(cid:76)(cid:32)(cid:131)(cid:10) AFC AGD(cid:74)
△ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:104)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:42)(cid:338)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)
(cid:340)(cid:171)(cid:172)(cid:104)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119) ADC(cid:75) AGF(cid:297)(cid:100)(cid:42)(cid:338)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:288)(cid:171)(cid:172)(cid:42)(cid:338)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119) DAC= GAF
AD AG 2 △ △ ∠ ∠
=45°(cid:76) = = (cid:76)(cid:341)(cid:201)(cid:171)(cid:172)(cid:40)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25).
AC AF 2
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10) AC(cid:76)AF(cid:70)(cid:23)(cid:100)(cid:104)(cid:133)(cid:27)ABCD(cid:75)(cid:104)(cid:133)(cid:27)AEFC(cid:29)(cid:44)(cid:41)(cid:116)(cid:76)
∵ADC(cid:75) AGF(cid:297)(cid:100)(cid:42)(cid:338)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)
∴△ DAC= △ GAF=45°(cid:76) AD = AG = 2 (cid:76)
AC AF 2
∴∠DAG+ ∠CAG= CAF+ CAG(cid:76)
∴∠DAG=∠CAF(cid:76)∠ ∠
∴∠AFC ∠ AGD(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)5∽-△1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:153)(cid:342)(cid:343)(cid:223)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:234)E,F(cid:70)(cid:23)(cid:68)(cid:104)(cid:133)(cid:27)ABCD(cid:29)(cid:43)AD(cid:76)CD(cid:219)(cid:76)(cid:318)(cid:339)BE(cid:75)
EF(cid:76)AB=9(cid:76)AE=3(cid:76)DF=2(cid:74)(cid:32)(cid:131)(cid:10) ABE DEF(cid:74)
△ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件
AB AE
求出DE，再证明 = ，又由正方形的性质，得 A= D，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相
DE DF
∠ ∠
似”即可证明出结论．
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)证明： 四边形ABCD是正方形，AB=9，
AD=AB=9， A∵= D，
∴AE=3， ∠ ∠
∵DE=AD
−
AE=9−3=6，
∴ AB = 9 = 3 ，
DE 6 2
∴
DF=2，
∵ AE 3
= ，
DF 2
∴
AB AE
= ，
DE DF
∴
ABE DEF．
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)∽5-△2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:344)(cid:221)(cid:345)(cid:346)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:121)(cid:122)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:234)C(cid:76)D(cid:68)(cid:116)(cid:156)AB(cid:219)(cid:76) PCD(cid:100)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)
(cid:90)AC=1(cid:76)CD=2(cid:76)DB=4(cid:74)(cid:32)(cid:131)(cid:10) ACP PDB(cid:74) △
△ ∽△(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:218)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:75)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:216) PCD= PDC
=60°(cid:76)PC=CD=PD=2(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:40)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:131)(cid:119) ACP PDB(cid:74) ∠ ∠
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10) PCD(cid:100)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76) △ ∽△
PCD= PDC=∵60△°(cid:76)PC=CD=PD=2(cid:74)
∴∠PCA=∠PDB=120°(cid:74)
∴(cid:289)∠ AC=1∠(cid:76)BD=4(cid:76)
A∵C PC 1
= = (cid:76)
PD BD 2
∴
ACP PDB(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)5∽-△3(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:347)(cid:348)(cid:349)(cid:350)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:174)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)(cid:234)E(cid:75)(cid:234)F(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:43)AD(cid:76)AB
(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)(cid:318)(cid:339)EF(cid:71)CF(cid:76)EF(cid:140)(cid:44)(cid:41)(cid:116)AC(cid:114)(cid:234)G(cid:74)
(1)(cid:123)AC=8(cid:76)(cid:32)AG(cid:29)(cid:267)(cid:170)
(2)(cid:106)(cid:107)AB=AC(cid:76)(cid:32)(cid:131)(cid:10) AFG ACF(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(1)2 △ ∽△
(2)(cid:131)(cid:132)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:146)1(cid:147)(cid:171)(cid:172)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161)(cid:135)(cid:116)(cid:39)(cid:113)(cid:119)EF BD(cid:76)(cid:28)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:70)(cid:116)(cid:156)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:39)(cid:113)(cid:119) AG = AF =1(cid:76)(cid:351)(cid:215)(cid:119)(cid:216)AG=
GO FB
∥
GO(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:119)AO=OC(cid:76)(cid:317)(cid:228)AG= 1AC(cid:76)(cid:98)(cid:119)(cid:175)(cid:287)(cid:170)
4
(cid:146)2(cid:147)(cid:171)(cid:172)(cid:161)(cid:234)(cid:29)(cid:39)(cid:69)(cid:49)(cid:121)(cid:122)(cid:119) AF = 1 (cid:76)(cid:28)(cid:146)1(cid:147)(cid:122)AG= 1AC(cid:76)(cid:317)(cid:228) AG = 1 (cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:131)(cid:74)
AC 2 4 AF 2
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:146)1(cid:147)(cid:181)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:318)(cid:339)BD(cid:140)AC(cid:114)(cid:234)O(cid:76)(cid:234)E(cid:75)(cid:234)F(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:43)AD(cid:76)AB(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)
∵EF(cid:100) ABD(cid:29)(cid:161)(cid:135)(cid:116)(cid:76)AF=FB
∴EF B△D(cid:76)
∴AG
=
∥AF
=1(cid:76)
GO FB
∴AG=GO(cid:76)
∴(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:174)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)AC=8(cid:76)
∵AO=OC(cid:76)
∴AG= 1AO= 1 × 1AC= 1 ×8=2(cid:76)
2 2 2 4
∴AG(cid:29)(cid:267)(cid:174)2(cid:170)
∴(cid:146)2(cid:147)(cid:131)(cid:132)(cid:10) F(cid:174)(cid:43)AB(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)
AF= 1AB(cid:76) ∵
2
∴AB=AC(cid:76)
∵AF 1
= (cid:76)
AC 2
∴
AG= 1AC
4
∵ AG 1AC AC 1
=4 = = (cid:76)
AF 1AB 2AC 2
2
∴ AF AG
= (cid:76)
AC AF
∴ FAG= CAF(cid:76)
∵∠AFG ∠ ACF(cid:74)
(cid:15)∴△(cid:234)(cid:352)(cid:19)∽(cid:165)△(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161)(cid:135)(cid:116)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:70)(cid:116)(cid:156)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)
(cid:42)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:74)(cid:237)(cid:238)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:70)(cid:116)(cid:156)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:39)(cid:113)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
【题型6 利用三边对应成比例判定相似】
(cid:15)(cid:48)6(cid:19)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:353)(cid:354)(cid:355)(cid:221)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:121)(cid:122)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:76) ABE=90°(cid:76)(cid:90)AB=BC=CD=DE=1(cid:76)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:359)(cid:360)(cid:26)(cid:27)
∠(cid:79)(cid:118)(cid:322)(cid:57)(cid:58)(cid:76)(cid:341)(cid:201)(cid:361)(cid:228)(cid:95)(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:315)(cid:131)(cid:132)(cid:362)(cid:29)(cid:363)(cid:364)(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19) ACD ECA(cid:170)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)△(cid:165)(cid:20)(cid:249)∽(cid:250)△(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:365)(cid:366)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:340)(cid:171)(cid:172)(cid:365)(cid:366)(cid:39)(cid:113)(cid:32)(cid:228)AC= 2,AD= 5,AE= 10(cid:76)(cid:119)
(cid:228) AC = DC = AD (cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:51)(cid:57)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:119)(cid:228) ACD ECA(cid:74)
EC AC EA
△ ∽△
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:131)(cid:132)(cid:10) ACD ECA(cid:74)
(cid:28)(cid:365)(cid:366)(cid:39)(cid:113)AC=△2,AD=∽△5,AE= 10(cid:76)
AC = 2, DC = 1 = 2, AD = 5= 2 (cid:76)
EC 2 AC 2 2 EA 10 2
AC DC AD
= = (cid:76)
EC AC EA
∴ ACD ECA(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)6∽-1△(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:344)(cid:221)(cid:16)(cid:367)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:121)(cid:122) ABC(cid:75) DEF(cid:29)(cid:51)(cid:43)(cid:267)(cid:76)(cid:151)(cid:159)(cid:57)(cid:58)(cid:81)(cid:38)(cid:241)(cid:314)(cid:227)(cid:24)(cid:25)(cid:29)
(cid:100)(cid:146) (cid:147) △ △
A(cid:74)AB=4(cid:76)BC=8(cid:76)AC=10(cid:170) DE=20(cid:76)EF=16(cid:76)DF=8
B(cid:74)AB=3(cid:76)BC=4(cid:76)AC=6(cid:170) DE=6(cid:76)EF=8(cid:76)DF=9
C(cid:74)AB=12(cid:76)BC=15(cid:76)AC=24(cid:170) DE=16(cid:76)EF=30(cid:76)DF=20
D(cid:74)AB=3k(cid:76)BC=4k(cid:76)AC=5k(cid:170) DE=6k(cid:76)EF=7k(cid:76)DF=8k(k>0)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:240)(cid:95)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)A(cid:71) AB = 1 = BC = 1 = AC = 1 (cid:76)
DF 2 EF 2 DE 2
∵
(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:170)
B ∴ (cid:71) AB = 1 = BC = 1 ≠ AC = 2 (cid:76)
DE 2 EF 2 DF 3
∵
(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:43)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:170)
C ∴ (cid:71) AB = 3 = BC = 3 ≠ AC = 4 (cid:76)
DE 4 DF 4 EF 5
∵
(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:43)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:170)
∴D(cid:71) AB = 1 ≠ BC = 4 ≠ AC = 5 (cid:76)
DE 2 EF 7 DF 8
∵
(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:43)(cid:94)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:170)
(cid:185)∴ (cid:52)(cid:10)A(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)6-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:270)(cid:271)(cid:368)(cid:369)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:68)4×1(cid:29)(cid:133)(cid:370)(cid:161)(cid:76)(cid:275)(cid:95)(cid:65)(cid:92)(cid:104)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:139)(cid:234)(cid:72)(cid:73)(cid:370)(cid:234)(cid:76)
(cid:99)(cid:102)(cid:161)(cid:51)(cid:65)(cid:370)(cid:234)(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:173)(cid:174)(cid:370)(cid:234)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76) ABC(cid:371)(cid:100)(cid:95)(cid:65)(cid:370)(cid:234)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:372)(cid:205)(cid:370)(cid:234)D(cid:71)E(cid:71)F(cid:71)G(cid:161)(cid:52)
(cid:373)(cid:95)(cid:65)(cid:370)(cid:234)(cid:79)(cid:234)B(cid:71)C(cid:318)(cid:339)(cid:46)(cid:370)(cid:234)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:81)(cid:59)(cid:331)(cid:370)△(cid:234) ABC(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:370)(cid:234)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
△
A(cid:74)(cid:234)D B(cid:74)(cid:234)E C(cid:74)(cid:234)F D(cid:74)(cid:234)G
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)C
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:365)(cid:366)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:239)(cid:37)(cid:32)(cid:181)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:318)(cid:339)BF(cid:76)(cid:106)(cid:26)(cid:76)
(cid:374)(cid:370)(cid:29)(cid:86)(cid:234)(cid:98)(cid:122)AB=2(cid:76)BC= 12+12= 2(cid:76)AC= 12+32= 10(cid:76)
CF=1,BF= 5
BC AB AC
= = = 2
CF BC BF
∴ ABC BCF
∴(cid:185)△(cid:52)(cid:10)C∽(cid:74)△
(cid:15)(cid:186)(cid:187)6-3(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:148)(cid:65)(cid:83)(cid:78)(cid:24)(cid:89)(cid:29)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:375)(cid:46)(cid:95)(cid:65)(cid:104)(cid:133)(cid:27)(cid:374)(cid:370)(cid:76)(cid:92)(cid:376)(cid:71)(cid:92)(cid:377)(cid:71)(cid:92)(cid:378)(cid:71)(cid:92)(cid:379)(cid:233)(cid:135)(cid:89)(cid:11)(cid:35)(cid:325)
(cid:380)(cid:276)(cid:29)(cid:115)(cid:62)(cid:68)(cid:374)(cid:370)(cid:161)(cid:244)(cid:381)(cid:210)(cid:95)(cid:65)(cid:382)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:102)(cid:161)(cid:383)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:100)(cid:146)(cid:384)(cid:384)(cid:147)A(cid:74) (cid:75) B(cid:74) (cid:75) C(cid:74) (cid:75) D(cid:74) (cid:75)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)①D ② ② ③ ① ③ ① ④
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:374)(cid:370)(cid:161)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:385)(cid:386)(cid:26)(cid:27)(cid:98)(cid:122)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:100)(cid:268)(cid:29)2(cid:387)(cid:76)(cid:269)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:268)(cid:174)a(cid:76)(cid:124)
(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:174)2a(cid:76)(cid:104)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:43)(cid:267)(cid:174)4a(cid:76)(cid:70)(cid:23)(cid:32)(cid:228)(cid:275)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:43)(cid:267)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)
(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:239)(cid:37)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:385)(cid:386)(cid:26)(cid:27)(cid:98)(cid:122)(cid:10)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:100)(cid:268)(cid:29)2(cid:387)(cid:76)(cid:269)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:268)(cid:174)a(cid:76)(cid:124)(cid:92)(cid:267)(cid:133)(cid:27)(cid:29)(cid:267)(cid:174)2a(cid:76)(cid:104)(cid:133)
(cid:27)(cid:29)(cid:43)(cid:267)(cid:174)4a(cid:76)
(cid:26) (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:57)(cid:43)(cid:267)(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:10)2a, (2a)2+(2a)2=2 2a, (2a)2+(4a)2=2 5a(cid:76)
①
(cid:26) (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:57)(cid:43)(cid:267)(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:10)2a, (2a)2+(3a)2= 13a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:76)
②
(cid:26) (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:57)(cid:43)(cid:267)(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:10)2a, (2a)2+(4a)2=2 5a, (4a)2+(4a)2=4 2a(cid:76)
③
(cid:26) (cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:51)(cid:57)(cid:43)(cid:267)(cid:70)(cid:23)(cid:174)(cid:10) (2a)2+(a)2= 5a, (a)2+(3a)2= 10a, (3a)2+(4a)2=5a(cid:76)
2 ④a =2 2a =2 5a = 2 (cid:76)
5a 10 5a 5
∵
(cid:26) (cid:75)(cid:26) (cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:170)
(cid:185)∴ (cid:52)①D(cid:74) ④
【题型7 选择或补充条件使两三角形相似】
(cid:15)(cid:48)7(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68) ABC(cid:161)(cid:76)(cid:234)D(cid:174)(cid:43)AC(cid:219)(cid:29)(cid:95)(cid:234)(cid:76)(cid:52)(cid:53)(cid:151)(cid:159)(cid:57)(cid:58)(cid:10) 2= A(cid:170) 1= CBA(cid:170) BC = CD (cid:170)
AC BC
BC = DB (cid:161)(cid:29)(cid:95)(cid:65) △ (cid:76)(cid:81)(cid:119)(cid:228) ABC(cid:75) BCD(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:10) (cid:146)(cid:388)(cid:389) ① (cid:9)(cid:147) ∠ (cid:74) ∠ ②∠ ∠ ③
AC AB
④ △ △
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)①(cid:171)(cid:172)②(cid:24)③(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:98)(cid:119)(cid:175)(cid:287)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) 2= A(cid:76) C= C(cid:390)(cid:76) ABC BDC(cid:76)(cid:185) (cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
1= CBA(cid:76)①C∠= ∠C(cid:390)(cid:76)∠ A∠BC B△DC(cid:76)(cid:185)∽△ (cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)①(cid:170)
②B∠C = C∠D (cid:76) C= ∠ C(cid:390) ∠ (cid:76) A △ BC ∽ B △ DC(cid:76)(cid:185) ② (cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
AC BC
③ ∠ ∠ △ ∽△ ③BC = DB (cid:76) C= C(cid:390)(cid:76)(cid:94)(cid:81)(cid:317)(cid:228) ABC BDC(cid:76)(cid:185) (cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)
AC AB
④ ∠ ∠ △ ∽△ ④
(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174)(cid:10) (cid:74)
(cid:15)(cid:234)(cid:352)(cid:19)(cid:165)①(cid:20)(cid:166)②(cid:167)③(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:100)(cid:237)(cid:238)(cid:40)(cid:145)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:170)(cid:127)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:391)(cid:392)(cid:393)(cid:394)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)(cid:44)(cid:41)(cid:116)AC(cid:36)(cid:70) BAD(cid:76)AB=9(cid:76)
AC=6(cid:76)(cid:124)(cid:250)(cid:59) ABC ACD(cid:76)(cid:305)(cid:250)AD= (cid:74) ∠
△ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)4
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:40)(cid:145)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:76)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:239)(cid:37)(cid:32)(cid:181)
(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) AC(cid:36)(cid:70) BAD(cid:76)
BAC= DAC∵(cid:76) ∠
(cid:395)
∴∠AB
=
AC
(cid:390)
∠
(cid:76) ABC ACD(cid:76)
AC AD
(cid:179)(cid:10)AC2=AB△AD(cid:76) ∽△
AB=9(cid:76)AC=⋅6(cid:76)
∵62=9AD(cid:76)
∴AD=4(cid:76)
∴(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174)(cid:10)4(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:219)(cid:337)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:68)(cid:396)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)AD BC(cid:76)(cid:250)(cid:59) BAD(cid:79) DBC
(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:397)(cid:130)(cid:398)(cid:399)(cid:95)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:76)(cid:110)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:98)(cid:99)(cid:100) (cid:146)(cid:305)(cid:130)(cid:388)(cid:95)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:147)(cid:74) ∥ △ △
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19) A= BDC(cid:146)(cid:162)(cid:163)(cid:94)(cid:400)(cid:95)(cid:147)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)∠(cid:165)(cid:20)∠(cid:166)(cid:167)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:237)(cid:238)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:3)(cid:235)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:20)(cid:183)
(cid:98)(cid:131) ADB= DBC(cid:76)(cid:175)(cid:85)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:398)(cid:399)(cid:57)(cid:58)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
∠ ∠(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) AD BC(cid:76)
ADB= DBC∵(cid:76) ∥
∴ (cid:395) ∠ A= ∠ BDC(cid:54) ABD= DCB(cid:390)(cid:54) AD = BD (cid:390)(cid:76) BAD(cid:79) DBC(cid:24)(cid:25)(cid:74)
BD BC
∴(cid:185)(cid:162) ∠ (cid:163)(cid:174) ∠ (cid:10) A= ∠BDC(cid:146) ∠ (cid:162)(cid:163)(cid:94)(cid:400)(cid:95)(cid:147)(cid:74) △ △
(cid:15)(cid:186)(cid:187)7-3(cid:19)∠(cid:146)2∠025·(cid:220)(cid:154)·(cid:161)(cid:166)(cid:358)(cid:20)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:252)(cid:43)(cid:27)ABCDE(cid:161)(cid:76)AE BC(cid:76)(cid:307)(cid:267)BA(cid:76)BC(cid:76)(cid:70)(cid:23)(cid:140)(cid:115)(cid:116)DE(cid:114)
(cid:234)M(cid:76)N(cid:74)(cid:123)(cid:398)(cid:399)(cid:151)(cid:159)(cid:95)(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:201)(cid:76)(cid:401)(cid:325)(cid:134)(cid:38)(cid:39) MAE DCN(cid:76)(cid:124)(cid:110)∥(cid:65)(cid:57)(cid:58)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
△ ∽△
A(cid:74) B+ 4=180° B(cid:74)CD AB C(cid:74) 1= 4 D(cid:74) 2= 3
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)∠D∠ ∥ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:79)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:395) B+ 4=180°(cid:390)(cid:76)(cid:98)(cid:131)(cid:132)CD BM(cid:76)(cid:28)
(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:216) CDN= AME(cid:76) AEM= CND(cid:76)(cid:124)(cid:98)(cid:131)(cid:132) MAE D∠CN(cid:76)∠(cid:172)(cid:218)(cid:98)(cid:38)(cid:241)A(cid:71)B(cid:170)(cid:28)∥(cid:36)(cid:37)(cid:116)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:119) 1+ B=∠180°(cid:76)∠(cid:124) B+ 4∠=180°(cid:76)∠(cid:89)(cid:113)(cid:98)(cid:38)(cid:241)C(cid:170)D△(cid:161)(cid:57)(cid:58)∽(cid:175)△(cid:85)(cid:121)(cid:322)(cid:57)(cid:58)(cid:94)(cid:81)(cid:131)(cid:132) MAE DCN(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)∠(cid:10)A(cid:71)∠ B+ 4=1∠80°(cid:76)∠ △ ∽△
CD BM(cid:76) ∵∠ ∠
∴ CD∥N= AME(cid:76)
∴A∠E BC(cid:76)∠
∵ A∥EM= CND(cid:76)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:76)(cid:185)A(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
B∴△(cid:71) CD∽A△B(cid:76)
C∵DN=∥ AME(cid:76)
∴A∠E BC(cid:76)∠
∵ A∥EM= CND(cid:76)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:76)(cid:185)B(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
C∴△(cid:71) AE∽B△C(cid:76)
1∵+ B∥=180°(cid:76)
∴∠ ∠1= 4(cid:76)
∵∠B+∠4=180°(cid:76)
∴∠CD ∠BM(cid:76)
∴ CD∥N= AME(cid:76)
∴A∠E BC(cid:76)∠
∵ A∥EM= CND(cid:76)
∴∠MAE ∠ DCN(cid:76)(cid:185)C(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
D∴△(cid:71)(cid:171)(cid:172)∽△2= 3(cid:175)(cid:85)(cid:121)(cid:122)(cid:57)(cid:58)(cid:94)(cid:81)(cid:131)(cid:132) MAE DCN(cid:76)(cid:185)D(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)D(cid:74)∠ ∠ △ ∽△
【题型8 裁剪使两三角形相似】
(cid:15)(cid:48)8(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68) ABC(cid:402)(cid:264)(cid:161)(cid:76) A=72°, B=38°(cid:76)(cid:193) ABC(cid:402)(cid:264)(cid:403)(cid:404)(cid:115)(cid:116)(cid:61)(cid:286)(cid:76)(cid:151)(cid:159)(cid:233)(cid:405)(cid:133)(cid:187)(cid:161)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:247)(cid:248)
(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) ABC(cid:24)(cid:25)△(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147) ∠ ∠ △
△
A(cid:74) B(cid:74) C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)①D② ②④ ③④ ①③
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:240)(cid:65)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:26) (cid:161)(cid:76) B= B(cid:76) A= BDE=72°(cid:76)
BDE BAC(cid:24)①(cid:25)(cid:170) ∵∠ ∠ ∠ ∠
(cid:26)∴△ (cid:161)(cid:76)∽△(cid:305)(cid:127) B= B(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:94)(cid:81)(cid:317)(cid:228) BCD(cid:75) ABC(cid:24)(cid:25)(cid:170)
(cid:26)②(cid:161)(cid:76) C=∠C(cid:76)∠ CED= B(cid:76) △ △
③CDE ∠CA∠B(cid:170) ∠ ∠
∴(cid:26)△ (cid:161)(cid:76)∽△(cid:305)(cid:127) C= C(cid:76)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)
(cid:94)(cid:81)④(cid:317)(cid:228) CD∠E(cid:75)∠ABC(cid:24)(cid:25)(cid:170)
(cid:326)(cid:219)(cid:118)(cid:406)△(cid:76)(cid:247)(cid:248)(cid:51)△(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:127) (cid:76)(cid:185)D(cid:104)(cid:213)(cid:74)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)D(cid:74) ①③
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:335)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68) ABC(cid:161)(cid:76) A=78°(cid:76)AB=6(cid:76)AC=9(cid:74)(cid:193) ABC(cid:403)(cid:26)
△ ∠ △(cid:97)(cid:161)(cid:29)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:286)(cid:76)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:247)(cid:248)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
A(cid:74) B(cid:74)
C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:100)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:133)(cid:134)(cid:44)(cid:52)(cid:160)(cid:239)(cid:37)(cid:240)(cid:95)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)A(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:246)(cid:70)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:40)(cid:65)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
B(cid:71)(cid:247)(cid:248)(cid:246)(cid:70)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:40)(cid:65)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
C(cid:71) 6−3 = 3 = 9 = AC (cid:76) A= A(cid:76)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
9−7 2 6 AB
∠ ∠
D(cid:71)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:93)(cid:50)(cid:41)(cid:40)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:94)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:185)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:74)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)D(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-2(cid:19)(cid:66)(cid:11)(cid:105)(cid:408)(cid:259)(cid:260)(cid:409)(cid:219)(cid:76)(cid:92)(cid:132)(cid:75)(cid:92)(cid:379)(cid:70)(cid:23)(cid:61)(cid:210)(cid:95)(cid:44)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:103)(cid:227)(cid:410)(cid:411)(cid:412)(cid:413)(cid:119)(cid:216)(cid:24)(cid:3)(cid:66)(cid:172)(cid:76)(cid:315)(cid:199)(cid:77)(cid:68)
(cid:26)(cid:27)(cid:219)(cid:74)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:44)(cid:114)(cid:103)(cid:227)(cid:61)(cid:29)(cid:40)(cid:145)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:316)(cid:134)(cid:76)(cid:104)(cid:213)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
A(cid:74)(cid:297)(cid:24)(cid:25) B(cid:74)(cid:305)(cid:127)(cid:26) (cid:24)(cid:25) C(cid:74)(cid:305)(cid:127)(cid:26) (cid:24)(cid:25) D(cid:74)(cid:297)(cid:94)(cid:24)(cid:25)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A ① ②
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:218)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:26)(cid:146)1(cid:147)(cid:171)(cid:172)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:136)(cid:41)(cid:75)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:32)(cid:119)(cid:244)(cid:414)(cid:29)(cid:415)(cid:51)(cid:41)(cid:76)(cid:28)(cid:127)(cid:40)(cid:41)(cid:44)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:38)(cid:39)(cid:146)1(cid:147)(cid:161)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:170)(cid:26)(cid:146)2(cid:147)(cid:171)(cid:172)(cid:26)(cid:27)(cid:161)(cid:29)(cid:121)(cid:122)(cid:66)(cid:172)(cid:179)(cid:98)(cid:131)
OA OD
(cid:119) = (cid:76)(cid:289)(cid:127)(cid:44)(cid:139)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:171)(cid:172)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:131)(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
OC OB
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:26)(cid:146)1(cid:147)(cid:28)35°(cid:75)75°(cid:119)(cid:126)(cid:95)(cid:65)(cid:41)(cid:174)180°−35°−75°=70°(cid:76)(cid:28)75°(cid:75)70°(cid:119)(cid:126)(cid:95)(cid:65)(cid:41)(cid:174)
180°−70°−75°=35°(cid:76)(cid:124)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:78)(cid:42)(cid:170)
(cid:26)(cid:146)2(cid:147) OA=4(cid:76)OD=3(cid:76)OC=8(cid:76)OB=6(cid:76)
OA OD∵1
= = (cid:76)
OC OB 2
∴ AOC= DOB(cid:76)
∵∠AOC ∠ DOB(cid:74)
∴(cid:185)△(cid:52)(cid:10)A∽(cid:74)△
(cid:15)(cid:186)(cid:187)8-3(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:402)(cid:264)ABC(cid:161)(cid:76)AB=6(cid:76)AC=4(cid:76)BC=8(cid:76)(cid:403)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:416)(cid:417)(cid:246)(cid:70)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) ABC
(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147) △
A(cid:74) B(cid:74)
C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:218)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:104)(cid:213)(cid:34)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:40)(cid:43)(cid:47)(cid:33)(cid:24)(cid:42)(cid:90)(cid:50)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:29)(cid:40)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)
(cid:25)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:70)(cid:23)(cid:239)(cid:37)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:228)(cid:162)(cid:163)(cid:179)(cid:98)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:68)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:402)(cid:264)ABC(cid:161)(cid:76)AB=6(cid:76)AC=4(cid:76)BC=8(cid:74)
A(cid:74)(cid:217)(cid:174) DC = 2 = 1 , AC = 4 = 1 (cid:76)(cid:124) DC = AC (cid:76)(cid:289)(cid:28) C= C(cid:76)(cid:185)(cid:403)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:416)(cid:417)(cid:246)(cid:70)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) ABC(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:185)(cid:218)(cid:52)
AC 4 2BC 8 2 AC BC
∠ ∠ △
(cid:160)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
B(cid:74)(cid:217)(cid:174) AD = 3 = 1 (cid:76) AB = 6 = 3 (cid:76) 3 ≠ 1 (cid:76)(cid:185)(cid:403)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:416)(cid:417)(cid:246)(cid:70)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) ABC(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:185)(cid:218)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
AB 6 2 AC 8 4 4 2
C(cid:74)(cid:217)(cid:174) BD = 2 (cid:76) AB = 6 = 3 (cid:76)(cid:179)(cid:10) 2 ≠ 3 (cid:76)(cid:185)(cid:403)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:416)(cid:417)(cid:246)(cid:70)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) △ ABC(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:185)(cid:218)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
AB 3 BC 8 4 3 4
△D(cid:71)(cid:217)(cid:174) BD = 1 (cid:76) BC = 4 (cid:76) 4 ≠ 1 (cid:76)(cid:185)(cid:403)(cid:407)(cid:116)(cid:61)(cid:151)(cid:29)(cid:416)(cid:417)(cid:246)(cid:70)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) ABC(cid:94)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:185)(cid:218)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
BC 2 AB 3 3 2
(cid:185)(cid:52)(cid:10)A(cid:74) △
【题型9 尺规作图使两个三角形相似】
(cid:15)(cid:48)9(cid:19)(cid:146)2025·(cid:320)(cid:153)(cid:418)(cid:419)·(cid:420)(cid:421)(cid:147)(cid:35)“(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)”(cid:193)(cid:95)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:70)(cid:422)(cid:46)(cid:95)(cid:65)(cid:92)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:75)(cid:95)(cid:65)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)(cid:124)(cid:151)(cid:159)(cid:26)
(cid:27)(cid:161)(cid:76)(cid:70)(cid:422)(cid:228)(cid:230)(cid:29)(cid:92)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:120)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:100)(cid:146) (cid:147)
A(cid:74) B(cid:74)
C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:423)(cid:136)(cid:339)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161)(cid:135)(cid:116)(cid:39)(cid:113)(cid:74)(cid:70)(cid:23)(cid:171)(cid:172)
(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:76)(cid:324)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:38)(cid:241)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)B(cid:71)(cid:28)(cid:64)(cid:26)(cid:122)(cid:76)DE BC(cid:76)
ADE ABC(cid:76)(cid:185)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)∥ (cid:20)(cid:183)(cid:170)
∴△ ∽△
C(cid:71)(cid:28)(cid:64)(cid:26)(cid:122)(cid:76)(cid:233)(cid:43)(cid:27)BDEC(cid:100)(cid:423)(cid:136)(cid:339)(cid:233)(cid:43)(cid:27)(cid:76)
ADE=180°− BDE= ACB(cid:76)
∴∠A= A(cid:76) ∠ ∠
∵∠AD∠E ACB(cid:76)(cid:185)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
∴△ ∽△D(cid:71)(cid:28)(cid:64)(cid:26)(cid:122)(cid:76)(cid:234)D(cid:75)(cid:234)E(cid:70)(cid:23)(cid:100)AB(cid:75)AC(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)
DE BC(cid:76)
∴ A∥DE ABC(cid:76)(cid:185)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
∴△ ∽△
A(cid:71)(cid:28)(cid:64)(cid:26)(cid:122)(cid:76)CD(cid:75)BE(cid:70)(cid:23)(cid:100) ABC(cid:29)(cid:41)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:76)(cid:94)(cid:81)(cid:316)(cid:132) ADE(cid:75) ABC(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:185)(cid:165)(cid:52)(cid:160)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
△ △ △
(cid:185)(cid:52)(cid:10)A(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)9-1(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:320)(cid:153)(cid:321)(cid:223)·(cid:224)(cid:225)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:121)(cid:122)(cid:42)(cid:338) ABC(cid:161)(cid:76)BA=BC(cid:76) B=108°(cid:76)(cid:356)(cid:35)(cid:62)(cid:63)(cid:68)AC
(cid:219)(cid:32)(cid:64)(cid:95)(cid:234)D(cid:76)(cid:59)(cid:119) ABD ACB(cid:74)(cid:146)(cid:282)(cid:424)(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:76)(cid:94)(cid:425)(cid:64)(cid:134)△(cid:147) ∠
△ ∽ △
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:71)(cid:116)(cid:156)(cid:426)(cid:115)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:29)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:100)(cid:181)(cid:20)
(cid:3)(cid:235)(cid:74)(cid:64)AB(cid:29)(cid:426)(cid:115)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:76)(cid:140)AC(cid:114)(cid:234)D(cid:76)(cid:318)(cid:339)BD(cid:76)(cid:28)(cid:218)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:234)D(cid:179)(cid:174)(cid:118)(cid:32)(cid:74)
(cid:113)(cid:28)(cid:10)(cid:28)(cid:116)(cid:156)(cid:426)(cid:115)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:119)(cid:10)AD=BD(cid:76)
A= ABD(cid:76)
∴B∠A=B∠C(cid:76)
∵ A= C(cid:76)
∴∠AB∠D= C(cid:76)
(cid:68)∴∠ ABD∠(cid:75) ACB(cid:161)(cid:76)
△ABD= C△
A= A (cid:76)
∠ ∠
∠
ABD
∠
ACB(cid:74)
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)9∽-2△(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:332)(cid:333)(cid:334)(cid:335)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)ABCD(cid:76)(cid:318)(cid:339)BD(cid:76)(cid:356)(cid:35)(cid:62)(cid:63)
(cid:64)(cid:26)(cid:134)(cid:68)BD(cid:219)(cid:361)(cid:95)(cid:234)P(cid:76)(cid:59)(cid:119) ABD PCB(cid:74)(cid:146)(cid:282)(cid:424)(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:76)(cid:94)(cid:425)(cid:64)(cid:134)(cid:147)
△ ∽△
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)(cid:129)(cid:181)(cid:164)
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:29)(cid:100)(cid:64)(cid:95)(cid:65)(cid:41)(cid:42)(cid:114)(cid:121)(cid:122)(cid:41)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:340)(cid:68) BCD(cid:29)(cid:136)(cid:246)(cid:64) ABP= BCP(cid:76)(cid:288)(cid:175)
(cid:85)(cid:36)(cid:37)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:98)(cid:119) ABD PCB(cid:74) ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:76)△(cid:234)P(cid:179)∽(cid:174)△(cid:118)(cid:32)(cid:74)
(cid:113)(cid:28)(cid:10) AD BC(cid:76)
ADB∵= D∥BC(cid:76)
∴∠ ∠(cid:28)(cid:64)(cid:26)(cid:98)(cid:119)(cid:10) ABP= BCP(cid:76)
ABD PC∠B(cid:74) ∠
∴(cid:15)△(cid:186)(cid:187)9∽-3△(cid:19)(cid:68) ABC(cid:161)(cid:76) ABC=90°(cid:76)(cid:35)(cid:115)(cid:62)(cid:75)(cid:423)(cid:63)(cid:68)AC(cid:219)(cid:213)(cid:39)(cid:234)D(cid:76)(cid:59) BAD CBD(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:38)
(cid:241)(cid:76)(cid:104)(cid:213)(cid:29)(cid:100)(cid:146)△ (cid:147) ∠ △ ∽△
A(cid:74) B(cid:74)
C(cid:74) D(cid:74)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:28)(cid:20)(cid:183)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:98)(cid:122)(cid:76)(cid:395)BD(cid:100)AC(cid:29)(cid:426)(cid:116)(cid:390)(cid:76)(cid:179)BD AC(cid:390)(cid:76) BAD CBD(cid:76)(cid:341)(cid:201)
(cid:171)(cid:172)(cid:64)(cid:26)(cid:329)(cid:330)(cid:240)(cid:160)(cid:70)(cid:164)(cid:38)(cid:241)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:228)(cid:162)(cid:163)(cid:74) ⊥ △ ∽△
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:395)BD(cid:100)AC(cid:29)(cid:426)(cid:116)(cid:390)(cid:76)(cid:179)BD AC(cid:390)(cid:76) BAD CBD(cid:76)(cid:113)(cid:28)(cid:106)(cid:151)(cid:10)
BD AC(cid:76) ⊥ △ ∽△
∵ AD⊥B= BDC=90°(cid:76)
∴∠BAD+∠ABD=90°(cid:76)
∴∠ABC=9∠0°(cid:76)
∵∠ABD+ CBD=90°(cid:76)
∴∠BAD=∠CBD(cid:76)
∴∠BAD ∠ CBD(cid:76)
∴(cid:171)△(cid:172)(cid:64)(cid:26)∽(cid:329)△(cid:330)(cid:98)(cid:122)(cid:10)
A(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)BD(cid:100)AC(cid:43)(cid:29)(cid:161)(cid:116)(cid:76)(cid:94)(cid:79)AC(cid:426)(cid:115)(cid:76)(cid:185)(cid:52)(cid:160)A(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
B(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)BD(cid:100)AC(cid:29)(cid:426)(cid:116)(cid:76)(cid:185)(cid:52)(cid:160)B(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
C(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)BD(cid:100) ABC(cid:29)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:76)(cid:94)(cid:79)AC(cid:426)(cid:115)(cid:76)(cid:185)(cid:52)(cid:160)C(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
D(cid:52)(cid:160)(cid:161)(cid:76)BD(cid:94)∠(cid:79)AC(cid:426)(cid:115)(cid:76)(cid:185)(cid:52)(cid:160)D(cid:94)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:170)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)B(cid:74)(cid:15)(cid:234)(cid:352)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:249)(cid:250)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:426)(cid:116)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:40)(cid:65)(cid:427)(cid:41)(cid:428)(cid:336)(cid:76)(cid:42)(cid:187)(cid:29)(cid:30)(cid:31)1(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:64)
(cid:426)(cid:116)(cid:146)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:147)(cid:76)(cid:64)(cid:41)(cid:36)(cid:70)(cid:116)(cid:146)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:147)(cid:42)(cid:122)(cid:22)(cid:234)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:49)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:26)(cid:29)(cid:133)
(cid:134)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
【题型10 数相似三角形的对数】
(cid:15)(cid:48)10(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:353)(cid:354)(cid:429)(cid:223)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)AC BC(cid:76)CD AB(cid:76)DE BC(cid:76)(cid:124)(cid:26)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:146) (cid:147)
⊥ ⊥ ⊥
A(cid:74)5(cid:44) B(cid:74)6(cid:44) C(cid:74)10(cid:44) D(cid:74)20(cid:44)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)C
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:3)(cid:235)(cid:170)
(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:113)(cid:70)(cid:164)(cid:179)(cid:98)(cid:32)(cid:181)(cid:170)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:26)(cid:161)(cid:127)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:70)(cid:23)(cid:100)(cid:10) ABC(cid:71) BDE(cid:71) DEC(cid:71) ADC(cid:75) BDC(cid:170)
AC BC(cid:76)CD AB(cid:76)DE BC(cid:76) △ △ △ △ △
∵ BE⊥D= CED⊥= BDC=⊥ADC= ACB=90°(cid:76)
∴A∠C DE(cid:76)∠ ∠ ∠ ∠
∴ A∥BC BDE(cid:170)
∴△B= B∽(cid:76)△ BED= BDC(cid:76)
∵∠BD∠E ∠BDC(cid:170)∠
∴△ABC∽△BDC(cid:170)
∴△A= A∽(cid:76)△ ADC= ACB(cid:76)
∵∠AB∠C ∠ADC(cid:170)∠
∴A△C DE∽(cid:76)△
∵ C∥DE= DCA(cid:76)
∴∠CED=∠ADC(cid:76)
∵∠DEC ∠ ADC(cid:170)
(cid:326)∴△(cid:219)(cid:118)(cid:406)∽(cid:10)△ ABC DBE CDE ACD CBD(cid:76)
△ ∽△ ∽△ ∽△ ∽△(cid:179)(cid:10) ABC DBE(cid:76) ABC CDE(cid:76) ABC ACD(cid:76) ABC CBD(cid:76)
DB△E C∽D△E(cid:76) DB△E A∽C△D(cid:76) DB△E C∽B△D(cid:76) CD△E A∽C△D(cid:76) CDE CBD(cid:76) ACD CBD(cid:76)(cid:185)(cid:26)
△(cid:161)(cid:24)(cid:25)∽(cid:51)△(cid:41)(cid:27)(cid:127)1△0(cid:44)(cid:170)∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△
(cid:185)(cid:52)(cid:10)C(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)10-1(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:104)(cid:133)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)E(cid:100)AD(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)F(cid:100)CD(cid:219)(cid:95)(cid:234)(cid:76)(cid:90)CF=3FD(cid:74)(cid:124)(cid:26)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)
(cid:27)(cid:29)(cid:44)(cid:66)(cid:100)(cid:146)(cid:384)(cid:384)(cid:147)
A(cid:74)1 B(cid:74) 2 C(cid:74)3 D(cid:74))4
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)C
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)FD=k,CF=3k,DE=AE=2k
(cid:68)Rt BCF (cid:161)(cid:76)CF=3k,BC=4k,BF=5k
(cid:68)Rt△DEF (cid:161)(cid:76)DF=k,DE=2k,EF= 5k
(cid:68)Rt△ABE (cid:161)(cid:76)AE=2k,AB=4k,BE=2 5k
(cid:68)Rt△BEF (cid:161)(cid:76)EF= 5k,BE=2 5k,BF=5k
(cid:171)(cid:172)△(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)
RtΔDEF RtΔABE
RtΔEBF,(cid:185)(cid:52)C.
(cid:15)(cid:186)(cid:187)10-2(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:219)(cid:337)(cid:430)∼(cid:271)(cid:431)·(cid:155)(cid:156)(cid:157)∼(cid:158)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:121)(cid:122) ABC(cid:71) DEF(cid:297)(cid:100)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:234)D(cid:71)E
(cid:70)(cid:23)(cid:68)AB(cid:71)BC(cid:219)(cid:76)(cid:26)(cid:161)(cid:29)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:138)(cid:127)(cid:146) (cid:147)(cid:44)(cid:74) △ △
A(cid:74)3(cid:44) B(cid:74)4(cid:44) C(cid:74)6(cid:44) D(cid:74)7(cid:44)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:136)(cid:41)(cid:75)(cid:39)(cid:113)(cid:76)(cid:171)(cid:172)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)
(cid:39)(cid:113)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:228)(cid:162)(cid:163)(cid:76)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:3)(cid:122)(cid:22)(cid:100)(cid:181)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:10)ABC(cid:71) DEF(cid:297)(cid:100)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)
∵△A= B=△C= DEF= EFD= FDE=60°(cid:76)
∴∠AB∠C ∠DE∠F(cid:76) ∠ ∠
∴△A= F∽(cid:76)△ AGD= FGH(cid:76)
∵∠AD∠G ∠FHG(cid:76)∠
∴△F= C∽(cid:76)△ FHG= CHE(cid:76)
∵∠FH∠G ∠CHE(cid:76)∠
∴△ADG∽△CHE(cid:76)
∴△ADG+∽△AGD=180°− A=120°(cid:76)
∵∠ADG+ ∠BDE=180°− E∠DF=120°(cid:76)
∠ AGD∠= BDE(cid:76) ∠
∴(cid:289)∠ A= ∠B(cid:76)
∵A∠DG∠ BED(cid:76)
∴△BED∽△FHG(cid:76)
∴△BED ∽△CHE(cid:76)
(cid:326)△(cid:219)(cid:76)∽(cid:24)△(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:138)(cid:127)7(cid:44)(cid:76)
(cid:185)(cid:52)(cid:10)D(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)10-3(cid:19)(cid:146)24-25(cid:188)(cid:149)(cid:150)(cid:219)·(cid:220)(cid:154)(cid:282)(cid:39)·(cid:224)(cid:161)(cid:147)(cid:106)(cid:26)(cid:76)E(cid:100)(cid:251)(cid:27)ABCD(cid:29)(cid:43)CD(cid:29)(cid:161)(cid:234)(cid:76)(cid:318)(cid:339)BE,AF BE(cid:114)(cid:234)
F,AF(cid:29)(cid:307)(cid:267)(cid:116)(cid:140)BC(cid:114)(cid:234)G(cid:76)(cid:318)(cid:339)DF(cid:76)(cid:124)(cid:26)(cid:161)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:127)(cid:146) (cid:147) ⊥
A(cid:74)4(cid:44) B(cid:74)6(cid:44) C(cid:74)8(cid:44) D(cid:74)5(cid:44)(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:251)(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:99)(cid:49)AF BE(cid:119)(cid:216) ABC= C= AFB= BFG
=90°(cid:76)(cid:215) 1= 1(cid:76) 2= 2(cid:76) 1= 2(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:131)(cid:132) AFB ABG, AFB BFG,⊥ AFB ∠BCE, ∠ABG∠ BF∠G, ABG
BCE,∠BF∠G ∠BCE∠(cid:74) ∠ ∠ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽(cid:15)△(cid:180)(cid:181)(cid:19)△(cid:181)(cid:10)(cid:106)∽(cid:26)△(cid:76)
(cid:233)(cid:43)(cid:27)ABCD(cid:174)(cid:251)(cid:27)(cid:76)AF BE(cid:76)
∵ ABC= C= AFB= BFG=⊥90°(cid:76)
∴∠1= 1(cid:76)∠ 2∠= 2, ∠
∵∠AF∠B ∠ABG∠, BFG BCE(cid:76)
∴△1+ A∽B△F=90°=△2+ A∽B△F(cid:76)
∵∠1=∠2 ∠ ∠
∴∠AF∠B BFG(cid:76)
∴△AFB∽△ABG BFG BCE(cid:76)
∴(cid:171)△(cid:172)(cid:24)∽(cid:25)△(cid:29)(cid:432)(cid:433)∽△(cid:30)(cid:98)(cid:119)∽(cid:10)△ AFB ABG, AFB BFG, AFB BCE, ABG BFG, ABG BCE, BFG
∴ BCE(cid:76) △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △ ∽△ △
∽(cid:127)△6(cid:44)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)
∴(cid:185)(cid:52)(cid:10)B(cid:74)
【题型11 存在相似三角形】
(cid:15)(cid:48)11(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:121)(cid:122)AB BC(cid:114)(cid:234)B(cid:76)CD BC(cid:114)(cid:234)C(cid:76)AB=4(cid:76)CD=6(cid:76)BC=14(cid:76)P(cid:174)(cid:115)(cid:116)BC(cid:219)(cid:95)(cid:234)(cid:76)(cid:123)(cid:99)A(cid:71)
B(cid:71)P(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79)(cid:99)⊥P(cid:71)C(cid:71)D(cid:174)(cid:139)(cid:234)⊥(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:124)(cid:110)(cid:434)(cid:29)P(cid:234)(cid:127) (cid:65)(cid:74)(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)6
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:76)(cid:236)(cid:157)(cid:237)(cid:238)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:79)(cid:30)(cid:31)(cid:100)(cid:181)(cid:162)(cid:165)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:235)(cid:74)
(cid:70)3(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:32)(cid:181)(cid:179)(cid:98)(cid:10) (cid:395)(cid:234)P(cid:68)(cid:116)(cid:156)BC(cid:219)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:76) (cid:395)(cid:234)P(cid:68)B(cid:29)(cid:438)(cid:439)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:76) (cid:395)(cid:234)P(cid:68)(cid:234)C(cid:29)(cid:440)
(cid:439)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:74) ① ② ③
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10) AB DB,CD DB(cid:76)
C= B=90°(cid:76)∵(cid:269)B⊥P=x(cid:76) ⊥
∴∠(cid:395)(cid:234)∠ P(cid:68)(cid:116)(cid:156)BC(cid:219)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:76)
①
(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:76) PAB DPC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
6 14−x
∴x =2(cid:76)x =12(cid:170)
1 2
(cid:395)∴ PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:76) PAB PDC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
14−x 6
∴ (cid:181)(cid:119)(cid:10)x=5.6(cid:170)
(cid:395)(cid:234)P(cid:68)B(cid:29)(cid:438)(cid:439)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:76)
②
(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:76) PAB DPC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
6 14 x
∴x =− + 7+7 2(cid:76)x =−7−7 2(cid:146)(cid:441)(cid:442)(cid:147)(cid:170)
1 1
∴(cid:395)PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:76) PAB PDC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
14 x 6
∴ (cid:181)(cid:119) + (cid:10)x=28(cid:170)
(cid:395)(cid:234)P(cid:68)(cid:234)C(cid:29)(cid:440)(cid:439)(cid:437)(cid:260)(cid:390)(cid:76)
③(cid:395)PB:DC=AB:PC(cid:390)(cid:76) PAB DPC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
6 x−14
∴x =7+7 2(cid:76)x =7−7 2(cid:146)(cid:441)(cid:442)(cid:147)(cid:170)
1 1
∴(cid:395)PB:PC=AB:DC(cid:390)(cid:76) PAB PDC(cid:76)
x 4 △ ∽△
= (cid:76)
x−14 6
∴ (cid:181)(cid:119)(cid:10)x=−28(cid:146)(cid:441)(cid:442)(cid:147)(cid:170)
(cid:326)(cid:219)(cid:98)(cid:122)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:29)x(cid:29)(cid:33)(cid:127)6(cid:65)(cid:76)(cid:179)(cid:110)(cid:434)(cid:29)P(cid:234)(cid:127)6(cid:65)(cid:74)
(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174)(cid:10)6(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)11-1(cid:19)(cid:68)(cid:443)(cid:199)(cid:214)(cid:161)(cid:76)(cid:121)(cid:122)A(cid:146)﹣3(cid:76)0(cid:147)(cid:76)B(cid:146)0(cid:76)﹣4(cid:147)(cid:76)C(cid:146)0(cid:76)1(cid:147)(cid:76)(cid:411)(cid:234)C(cid:64)(cid:115)(cid:116)L(cid:140)x(cid:207)(cid:114)(cid:234)
D(cid:76)(cid:59)(cid:119)(cid:99)(cid:234)D(cid:76)C(cid:76)O(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) AOB(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:110)(cid:434)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:95)(cid:138)(cid:98)(cid:99)(cid:64)(cid:228)(cid:146)(cid:384)(cid:384)(cid:147)
A(cid:74)6(cid:57) B(cid:74)3(cid:57) △ C(cid:74)4(cid:57) D(cid:74)5(cid:57)
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)C
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19) AOB(cid:100)(cid:115)(cid:41)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:76)(cid:118)(cid:64)(cid:29)(cid:99)(cid:234)D(cid:76)C(cid:76)O(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161) COD=90(cid:276)(cid:76)OC(cid:79)AD(cid:98)(cid:81)(cid:100)
(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:76)△(cid:110)(cid:434)(cid:371)(cid:98)(cid:99)(cid:32)(cid:228)CD(cid:29)(cid:267)(cid:276)(cid:76)(cid:99)C(cid:174)(cid:423)(cid:444)(cid:76)(cid:99)(cid:118)(cid:32)(cid:29)(cid:267)(cid:276)(cid:174)(cid:445)(cid:446)∠(cid:64)(cid:423)(cid:76)(cid:423)(cid:79)x(cid:207)(cid:127)(cid:40)(cid:65)(cid:140)(cid:234)(cid:76)(cid:217)
(cid:215)(cid:110)(cid:434)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:371)(cid:100)(cid:40)(cid:57)(cid:74)(cid:89)(cid:113)(cid:76)(cid:395)OC(cid:79)BD(cid:100)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:390)(cid:76)(cid:289)(cid:127)(cid:40)(cid:57)(cid:447)(cid:448)(cid:57)(cid:58)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:76)(cid:138)(cid:127)(cid:233)(cid:57)(cid:74)
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:99)(cid:234)D(cid:76)C(cid:76)O(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:161) COD=90(cid:276)(cid:76)
(cid:395)OC(cid:79)AO(cid:100)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:76)(cid:99)C(cid:174)(cid:423)(cid:444)(cid:76)(cid:99)CD(cid:29)∠(cid:267)(cid:276)(cid:174)(cid:445)(cid:446)(cid:64)(cid:423)(cid:76)(cid:423)(cid:79)x(cid:207)(cid:127)(cid:40)(cid:65)(cid:140)(cid:234)(cid:76)(cid:217)(cid:215)(cid:110)(cid:434)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:371)
(cid:100)(cid:40)(cid:57)(cid:74)
(cid:89)(cid:113)(cid:76)(cid:395)OC(cid:79)BO(cid:100)(cid:44)(cid:45)(cid:43)(cid:390)(cid:76)(cid:289)(cid:127)(cid:40)(cid:57)(cid:447)(cid:448)(cid:57)(cid:58)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:76)
(cid:118)(cid:99)(cid:138)(cid:127)(cid:233)(cid:57)(cid:74)
(cid:185)(cid:52)C(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)11-2(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76)(cid:68)(cid:251)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76)AB=7.5,BC=8(cid:76)(cid:234)E(cid:100)AB(cid:219)(cid:95)(cid:234)(cid:76)BE=2(cid:76)(cid:234)P(cid:100)(cid:43)BC(cid:219)(cid:29)(cid:95)(cid:65)(cid:260)(cid:234)(cid:76)
(cid:123)(cid:59)(cid:119)(cid:99)P(cid:71)C(cid:71)D(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) EBP(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:124)(cid:110)(cid:434)(cid:29)(cid:234)P(cid:127) (cid:65)(cid:74)
△(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)3
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:269)BP=x(cid:74)
(cid:68)(cid:251)(cid:27)ABCD(cid:161)(cid:76) B= C=90°(cid:76)
EB BP ∠ ∠
(cid:395) = (cid:390)(cid:76) EBP PCD(cid:74)
PC CD
△ ∽△
(cid:179) 2 = x ,x =3,x =5(cid:74)
8−x 7.5 1 2
EB BP
(cid:395) = (cid:390)(cid:76) EBP DCP(cid:76)
DC CP
△ ∽△
(cid:179) 2 = x ,x= 32 (cid:74)(cid:326)(cid:219)(cid:118)(cid:406)(cid:76)
7.5 8−x 19
(cid:59)(cid:119)(cid:99)P(cid:71)C(cid:71)D(cid:174)(cid:139)(cid:234)(cid:29)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:79) EBP(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:110)(cid:434)(cid:29)(cid:234)P(cid:127)3(cid:65)(cid:74)
(cid:15)(cid:449)(cid:137)(cid:234)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:40)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:121)(cid:410)(cid:127)△(cid:95)(cid:44)(cid:41)(cid:24)(cid:42)(cid:76)(cid:50)(cid:110)(cid:65)(cid:41)(cid:29)(cid:40)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:214)(cid:45)(cid:331)(cid:166)(cid:450)(cid:40)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:76)(cid:127)(cid:29)(cid:89)(cid:11)(cid:98)
(cid:81)(cid:305)(cid:166)(cid:450)(cid:210)(cid:95)(cid:405)(cid:76)(cid:397)(cid:127)(cid:29)(cid:89)(cid:11)(cid:166)(cid:450)(cid:40)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:202)(cid:201)(cid:76)(cid:383)(cid:357)(cid:174)(cid:451)(cid:341)(cid:100)(cid:40)(cid:405)(cid:435)(cid:436)(cid:76)(cid:371)(cid:45)(cid:331)(cid:127)(cid:40)(cid:65)(cid:234)P(cid:76)(cid:105)(cid:452)(cid:181)(cid:228)(cid:230)
(cid:453)(cid:94)(cid:95)(cid:39)(cid:74)(cid:118)(cid:99)(cid:94)(cid:32)(cid:228)(cid:454)(cid:201)(cid:175)(cid:107)(cid:100)(cid:455)(cid:456)(cid:38)(cid:241)(cid:306)(cid:213)(cid:29)(cid:74)
(cid:15)(cid:186)(cid:187)11-3(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:76) ABO(cid:29)(cid:139)(cid:234)(cid:443)(cid:199)(cid:100)A(2,6)(cid:76)B(3,1)(cid:76)O(0,0)(cid:76)(cid:36)(cid:277)(cid:136)(cid:234)P(cid:59)(cid:119) ABP(cid:79) ABO(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:124)(cid:94)
(cid:79)(cid:234)O(cid:84)(cid:85)(cid:29)(cid:234)P(cid:127) △ (cid:65)(cid:74) △ △
(cid:15)(cid:162)(cid:163)(cid:19)11
(cid:15)(cid:70)(cid:164)(cid:19)(cid:165)(cid:20)(cid:166)(cid:167)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:27)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:74)(cid:171)(cid:172)(cid:36)(cid:277)(cid:136)(cid:234)P(cid:59)(cid:119) ABP(cid:79) ABO(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:179)(cid:98)(cid:119)(cid:216)(cid:94)(cid:79)(cid:234)O(cid:84)(cid:85)(cid:29)(cid:234)
P(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:74) △ △
(cid:15)(cid:180)(cid:181)(cid:19)(cid:181)(cid:10)(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) ABP= AOB(cid:390)(cid:76) ABP AOB(cid:146)(cid:395)(cid:234)P(cid:68)AB(cid:126)(cid:95)(cid:439)(cid:390)(cid:76)(cid:101)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:76)(cid:151)(cid:89)(cid:147)(cid:170)
∠ ∠ △ ∽△(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) BAP= AOB(cid:76) ABP= BAO(cid:390)(cid:76) ABP OAB(cid:170)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) P= AOB(cid:76) ABP= BAO(cid:390)(cid:76) ABO BAP(cid:170)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) BAO= BAP(cid:76) AOB= P(cid:390)(cid:76) ABO ABP(cid:146)(cid:234)P(cid:79)(cid:234)O(cid:84)(cid:85)(cid:390)(cid:94)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:147)(cid:74)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) P= BAO(cid:76) ABO= PBA(cid:390)(cid:76) ABO PBA(cid:170)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△(cid:106)(cid:26)(cid:118)(cid:97)(cid:76)(cid:395) BAP= ABO(cid:76) ABP= AOB(cid:390)(cid:76) ABO PAB(cid:170)
∠ ∠ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:326)(cid:219)(cid:118)(cid:406)(cid:76)(cid:182)(cid:85)(cid:20)(cid:183)(cid:29)(cid:234)P(cid:29)(cid:135)(cid:457)(cid:127)11(cid:65)(cid:74)
(cid:185)(cid:162)(cid:163)(cid:174)(cid:10)11(cid:74)