文档内容
04A / 01B 相似三角形的判定（一）
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）判定定理1
（2）判定定理2
2. 考情分析
（1）相似三角形的预备定理及判定定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）相似三角形的判定定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.4相似三角
形的判定.
（4）相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角
形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用
这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．
1知识加油站 1——相似三角形判定定理 1
考点一：相似三角形的判定定理 1 性质应用
知识笔记1
1、相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的________对应相等，且它们各有的________对应
成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．符号“
2
∽ ”读作“相似于”．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截________________________，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线 l 与 A B C 的两边 A B 、 A C 所在直线分别交于点 D 和点 E ，则
A B C
A D E ∽
．
3、相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．例题1:
（1）（2020 •长宁区一模）如图，在
3
R t A B C 中， A C B = 9 0 ， D 是 A B 边的中点， A F ⊥ C D
于点 E ，交 B C 边于点F，连接DF，则图中与 A C E 相似的三角形共有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2）（2023•杨浦区一模）如图，在 A B C 中， A G 平分 B A C ，点D在边AB上，线段 C D
与AG交于点 E ，且 A C D = B ，下列结论中，错误的是( )
A． A C D ∽ A B C B． A D E ∽ A C G C． A C E ∽ A B G D．ADE∽CGE
（3）（2021•静安区市西初级中学期中）将两个完全相同的等腰直角三角形 A B C 与 A F G
摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为 A D E ，那么图中一定相似的三角形是 ( )
A．ABC与 A D E B． A B D 与AEC C． A B E 与ACD D．AEC 与ADC（4）（2021•金山区一模）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM 的延长
线交
4
B C 于点 E ，交DC的延长线于点 F ，图中相似三角形有( )
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
练习1:
（1）（2022 •虹口区期中）如图，在 A B C 中，点 D 、E分别在边 A B 、 A C 上，DE//BC，
ACD=B，那么下列判断中，不正确的是 ( )
A． A D E ∽ D B C B． C D E ∽ B C D C． A D E ∽ A C D D．ADE∽ABC
（2）（2022•徐汇区期中）如图， D 是 A B C 边 B C 上的一点，BAD=C ， A B C 的平分
线交边 A C 于点E，交 A D 于点 F ，则下列结论错误的是( )
A．BFA∽BEC B． B D F ∽ B E C C． B A C ∽ B D A D．BDF∽BAE（3）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F ．过
点E作
5
E G / / B C ，交 A B 于 G ，则图中相似三角形有( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
考点二：相似三角形的性质 1解答证明
例题2:
（1）正方形 A B C D 中， E 是 A D 中点， B M ⊥ C E 于点M，AB=6厘米，求 B M 的长．
（2）如图，在 R t A B C 中， B A C = 9 0 ， A D ⊥ B C 于点 D ，点 O 是 A C 边上一点，联结 B O
交AD于点 F ， O E ⊥ O B 交 B C 边于点E．
求证： A B F ∽
E
A D
M
B C
COE．
B
D
F
E
A O C练习2:
（1）如图，
6
E 是矩形 A B C D 的边 C B 的中点， A F ⊥ D E 于点 F ， A B = 3 ， A D = 2 ，证明
A F D ∽ D C E ，并计算线段AF 的长．
（2）（2020•徐汇区康健外国语实验中学月考）如图，点E是四边形 A B C D 的对角线BD上
一点，且 B A C = B D C = D A E ．求证：ABE∽ACD．知识加油站 2——相似三角形的判定定理 2
考点三：相似三角形判定定理 2性质应用
知识笔记2
相似三角形的判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应___________，并且__________，那么这两
个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且___________，两个三角形相似．
例题3:
（1）（2022•徐汇区西南模中学月考）如图，
7
A B C 中， A = 7 0 ，AB=4， A C = 6 ，将 A B C
沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A． B．
C． D．（2）下列
8
4 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与
如图的三角形相似的是( )
A． B． C． D．
（3）如图，在 A B C 与 A E D 中，
A
A
B
E
=
B
E
C
D
，要使 A B C 与 A E D 相似，还需添加一个条
件，这个条件可以是__________________（只需填一个条件）．
练习3:
（1）如图，已知 A B C ，则下列三角形中，与ABC 相似的是( )
A． B． C． D．（2）如图，在ABC中，点
9
D ， E 分别在边 A B 、AC上，下列条件中不能判断ABC∽ADE
的是 ( )
A． A D E = B B． A E D = C C．
A
A
D
E
=
A
A
B
C
D．
D
B
E
C
=
A
A
E
C
（3）如图， A B C 在正方形网格中，下列正方形网格中阴影图形与 A B C 相似的是 ( )
A． B． C． D．
考点四：相似三角形判定定理 2解答证明
例题4:
（1）（2020•浦东新区月考）如图，ACB=CED=90，CD⊥ AB于点 D ，AC=3，BC=4，
求 E D 的长．
C
E
A D B（2）如图，在
10
A B C 中， A B = A C ， D E // B C ，点 F 在边 A C 上， D F 与 B E 相交于 G ，且
E D F = A B E ．
① 求证： D E F ∽ B D E ；
② 求证： D G D F = D B E F ．
练习4:
（1）如图， R t A B C 中， C = 9 0 ， B D 平分 A B C ， D E ⊥ A B ，若 B C = 6 ， A C = 8 ，则
C D = ．
（2）如图，在矩形 A B C D 中，点 E 是边 B C
A
D E
G F
B C
C
D
A E B
的中点，且DE⊥ AC，那么CD:AD=
．
A D
B E C考点五：相似三角形的存在性问题
知识笔记3
相似三角形存在性的解题步骤：
（1）_____________________________________；
（2）_____________________________________；
（3）_____________________________________.
例题5:
（1）如图，矩形
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A B C D 中， A D = 4 ， A B = 1 0 ， P 为CD边上的动点，当 D P = ____________
时， A D P 与 B C P 相似．
（2）（2022•黄浦区格致中学月考）如图， A B C ， A B = 1 2 ， A C = 1 5 ，D为 A B 上一点，
且 A D = 8 ，在AC上取一点 E ，使以 A 、 D 、 E 为顶点的三角形与 A B C 相似，则 A E 等于
( )
A．
3 2
5
15
或 B．10或
2
1 5
2
C．
3 2
5
或10 D．以上答案都不对（3）（2022•虹口区外国语大学附属外国语学校学考）如图所示，在ABC 中，AB=8cm，
12
B C = 1 6 c m ．点 P 从点 A 出发沿 A B 向点 B 以 2 c m / s 的速度运动，点 Q 从点 B 出发沿 B C 向
点C以 4 c m / s 的速度运动．如果点P， Q 分别从点A，B同时出发，则______秒钟后 P B Q
与ABC相似？
练习5:
（1）（2022•徐汇区位育中学期中）如图，在 A B C 中， A B = 6 c m ， A C = 8 c m ， D 是 A B 上
一点且 A D = 2 c m ，点 E 在边 A C 上，当AE=_______ c m 时，使得ADE与 A B C 相似．
（2）（2020•黄浦区大境中学期中）如图，AB=16cm， A C = 1 2 c m ，动点P、 Q 分别以每秒
2 c m 和 1 c m 的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿 A C 边一直移到点 C 为止，点 Q
从点 B 出发沿 B A 边一直移到点 A 为止，（点 P 到达点 C 后，点 Q 继续运动）
① 请直接用含 t 的代数式表示 A P 的长和 A Q 的长，并写出自变量的取值范围．
② 当t等于何值时， A P Q 与 A B C 相似？全真战场
关卡一
练习1:
如图，添加一个条件：______________，使
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A D E ∽ A B C ．（写一个即可）
练习2:
如图，在 A B C 中， D 为边 A C 上一点， D B C = A ， B C = 6 ，AC=3，则 C D 的长为
___________．
练习3:
如图，在ABC中， A C B = 9 0 ， A C = B C ，P是ABC 内一点，且 A P B = A P C = 1 3 5 ．求
证： C P A ∽ A P B
C
D
A B
．
A
P
C B练习4:
如图，
14
R t A B C 中，ACB=90， A C = 9 ， B C = 1 2 ， D 是 A B 边的中点， P 是 B C 边上一
动点 （点 P 不与 B 、 C 重合） ，若以 D 、 C 、 P 为顶点的三角形与 A B C 相似， 则线段
P C = ________．
关卡二
练习5:
如图，矩形 A B C D 的对角线 A C 、 B D 相交于点 O ， O F ⊥ B D 于点 O ，交 C D 于点 E ，交
B C 的延长线于点 F ．求证： A O 2 = O E • O F ．
练习6:
（2020•浦东新区期中）如图，在等腰梯形 A B C D 中，AD//BC，AD=2，AB=5， B C = 1 0 ，
点E是边 B C 上的一个动点（不与 B ， C 重合），作 A E F = A E B ，使边 E F 交边 C D 于点
F ，（不与 C ， D
A D
O
E
B C F
重合），线段BE=_______时，ABE与CEF相似．练习7:
（2020•上海外国语大学附属外国语学校月考）
15
P 是 A B C 一边上的一点(P不与 A 、 B 、 C
重合），过点 P 的一条直线截 A B C ，如果截得的三角形与 A B C 相似，我们称这条直线为
过点 P 的 A B C 的“相似线”． R t A B C 中， C = 9 0 ， A = 3 0 ，当点P为 A C 的中点时，
过点 P 的 A B C 的“相似线”最多有几条？ ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练习8:
如图，在平面直角坐标系 x O y 中．边长为4的等边 O A B 的边 O A 在 x 轴上， C 、D、 E 分
别是 A B 、 O B 、 O A 上的动点，且满足 B D = 2 A C ，DE//AB，连接 C D 、 C E ，当点 E 坐
标为__________时， C D E 与ACE相似．
