文档内容
A05 / B02 相似三角形的判定（二）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）判定定理3
（2）直角三角形的判定定理
（3）几何证明综合
2. 考情分析
（1）相似三角形的判定定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）相似三角形的判定定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.4相似三角
形的判定.
（4）相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角
形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重
点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互
相结合．
1知识加油站 1——相似三角形判定定理 3
考点一：相似三角形的判定定理 1 性质应用
知识笔记1
相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的__________________，那么这两个三角形相似．
可简述为：__________________，两个三角形相似．
例题1:
（2020•黄浦区月考）根据下列条件判定
2
A B C 与 D E F 是否相似，如果是，那么用符号表
示出来．
（1） A B = 2 c m ，BC=3cm， C A = 4 c m ， D E = 1 0 c m ， E F = 1 5 c m ， F D = 2 0 c m
（2） A B = 1 c m ， B C = 2 c m ， C A = 1 .5 c m ， D E = 6 c m ， E F = 4 c m ， F D = 8 c m ．
练习1:
A B C 的边长分别为 a 、 b 、 c ， A
1
B C1
1
的边长分别为 a 、 b 、 c ，则 A B C 与 A
1
B C1
1
_____________（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．考点二：网格图中相似三角形的判断
例题2:
（1）（2022•徐汇区期末）如图，正方形ABCD与
3
E F G 在方格纸中，正方形和三角形的
顶点都在格点上，那么与 E F G 相似的是( )
A．以点 E 、 F 、 A 为顶点的三角形 B．以点 E 、 F 、 B 为顶点的三角形
C．以点 E 、F 、 C 为顶点的三角形 D．以点E、 F 、 D 为顶点的三角形
（2）（2022•嘉定区期中）如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，① A B C ，②
B C D ，③ B D E ，④ B F G ，⑤ F G H ，⑥ E F K ，在② ~ ⑥中，与三角形①相似
的有_____________（填序号）
练习2:
（1）如图，OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点
A ， B ， C ， D ， E 也是小正方形的顶点，从点 A ， B ， C ， D ， E 中选取三个点所
构成的三角形与OPQ相似，那么这个三角形是____________．（2）（2020•普陀区中远实验中学期中）如图，点A、B、C、D、E、F 、
4
G 、H 、
K 都是 7 8 方格纸中的格点，如果 D E M 与 A B C 相似（点 D 和 A 对应，点 E 和 B 对
应），那么点M应是F 、 G 、H、K四点中的 ( )
A． F B． G C． H D．K
考点三：相似三角形的性质 3解答证明
例题3：
（1）（2020•长宁区期末）如图，D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点．求
证： D E F ∽ A B C ．
A
F E
B D C（2）如图，点D为
5
A B C 内一点，点E为ABC外一点，且满足
A
A
B
D
=
B
D
C
E
=
A
A
C
E
．求
证： A B D ∽ACE．
（3）如图，在梯形ABCD中，AB//CD， A = 9 0 ， A B = 2 ，BC=3， C D = 1 ，点E是
AD的中点．
① 求证： C D E ∽EAB；
② C D E 与 C E B
A
E
D
B C
有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．
D C
E
A B练习3:
（1）如图，在
6
A B C 中， A B C = 9 0 ， A C B = 3 0 ， A C = 2 ， C D = 2 3 ，
AD=4．求证： A B C ∽ A C D ．
（2）已知：如图，在 R t A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 2 ，BC=4，点D 在BC边
上，且 C A D = B ．
① 求AD的长；
② 取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：CEF∽ A D B
D
A
B C
．
C
D
E
A F B知识加油站 2——直角三角形相似的判定定理
考点四：利用直角三角形相似的判定定理进行相似判断
知识笔记2
直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的________________对应成比
例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：_________________________，两个直角三角形相似．
例题4:
在
7
R t A B C 和 R t D E F 中，C=F =90．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相
似，并说明理由．
（1） A = 5 5 ， D = 3 5 ；
（2） A C = 9 ， B C = 1 2 ， D F = 6 ， E F = 8 ；
（3） A C = 3 ，BC=4， D F = 6 ， D E = 8 ；
（4） A B = 1 0 ， A C = 8 ， D E = 1 5 ， E F = 9 ．考点五：相似三角形的性质 3解答证明
例题5:
（1）已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上
的中线长是___________．
（2）如图，
8
A B ⊥ A D ， B D ⊥ D C ，且 B D 2 = A B • B C ．
求证： A B D = D B C ．
（3）如图，四边形ABCD中， B A C = A D C = 9 0 ， A D = a ， B C = b ，AC= ab ．
求证： D C ⊥ B C
A
D
B C
．
A D
B C练习5:
（1）如图，在
9
A B C 和 A
1
B C1
1
中， A D ⊥ B C ， A
1
D
1
⊥ B C1
1
，垂足为D和 D
1
，且
A C
A C1
1
=
A
A
1
B
B
1
=
A
A
1
D
D
1
．求证： A B C ∽ A
1
B C1
1
．
（2）如图，ACB=ADC=90， A C = 6 ， A D = 2 ．问当 A B
A
1
A
B D C B 1 D 1 C 1
的长为多少时，这两个
直角三角形相似．知识加油站 3——几何证明综合
考点六：几何证明综合应用
例题6:
（2022•徐汇区期期中）如图，在四边形
10
A B C D 中，对角线AC与 B D 交于点 E ， D B 平分
A D C ，且 A B 2 = B E B D ．
（1）求证： A B E ∽ D C E ；
（2）求证： A E C D = B C E D ．
练习6:
（2022•杨浦区期中）已知：如图，在 A B C 中， B D 平分 A B C 交 A C 于 D ．
（1）求证：
A
C
D
D
=
A
B
B
C
；
（2）延长 B D 至点 E ，联结 C E 、 A E ，如果 A C E = E B C ，求证： A E = C E ．全真战场
关卡一
练习1:
下列命题中，说法正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边对应成比例的两个三角形相似．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
练习2:
如图，在边长为1个单位的方格纸上，有
11
A B C 与 D E F ．
求证：ABC∽ F D E ．
练习3:
如图，在ABC中，CD⊥ AB于D，DF ⊥ AC于F，DG⊥BC于G．求证：
C F • C A = C G • C B
A D
B C F E
．
C
G
F
A D B练习4:
如图，在
12
A B C 中，CD垂直平分AB，点E在CD上， D F ⊥ A C 于F， D G ⊥ B E 于
G．求证： A F • A C = B G • B E ．
关卡二
练习5:
（2022 •长宁区延安实验中学期中）已知：如图，在 A B C 中，点D在边BC上，
A E / / B C ， B E 与AD、 A C 分别相交于点 F 、 G ， A F 2 = F G F E ．
（1）求证： C A D ∽ C B G ；
（2）联结 D G ，求证： D G A E = A B A G
C
E
G
F
A D B
．练习6:
（2022•静安区华东模范中学期中）已知：如图，梯形
13
A B C D 中， D C / / A B ，
AD=BC=DC，AC、 B D 是对角线， E 是AB延长线上一点，且BCE=ACD，联结
C E ．
（1）求证：四边形 D B E C 是平行四边形；
（2）求证： A C 2 = A D A E ．
练习7:
（2022•奉贤区期中）如图，已知在四边形 A B C D 中，AD//BC． E 为边 C B 延长线上一
点，联结 D E 交边 A B 于点 F ，联结 A C 交 D E 于点 G
FG AD
，且 = ．
DG CE
（1）求证： A B / / C D ；
（2）如果AE2 = AGAC，求证：
A
A
E
G
=
D
A
E
D
．
