专题1.4相似三角形的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪教)

专题 1.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:38)(cid:19)..................................................................................................10
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:44)(cid:19)..............................................................................17
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................23
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..........................................................................29
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................37
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................43
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..............................................................................49
(cid:15)(cid:20)(cid:21)10 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:61)(cid:33)(cid:49)(cid:20)(cid:19)..................................................................................57
知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
3. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:41)(cid:29)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
知识点2 相似三角形的周长比、面积比
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:68)
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:29)(cid:69)(cid:76)(cid:68)
【题型1 利用相似三角形的性质求值】
(cid:15)(cid:77)1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)·(cid:71)(cid:84)(cid:85)(cid:20)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:73)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:91)10cm(cid:92)6cm(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:98)(cid:92)
(cid:99)48cm(cid:93)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)14cm B(cid:68)18cm C(cid:68)30cm D(cid:68)34cm
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:61)(cid:73)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:99)10cm(cid:92)6cm(cid:111)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:65)(cid:66)
(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:93)(cid:112)(cid:109)(cid:110)(cid:72)(cid:73)(cid:98)(cid:92)(cid:99)48cm(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:87)(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:73)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:99)10cm(cid:92)6cm(cid:93)
(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:99)10:6∵=5:3(cid:93)
∴(cid:102)(cid:116)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:36)(cid:102)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:65)(cid:99)(cid:10)5:3(cid:93)
∴(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:98)(cid:92)(cid:99)48cm(cid:93)
∵ (cid:102)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:99)(cid:10)48× 3 =18(cm)(cid:93)
5 3
∴ +
(cid:117)(cid:118)(cid:10)B(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)1-1(cid:19)(cid:121)ΔABC ΔDEF,(cid:122)(cid:123)A(cid:124)B(cid:124)C(cid:70)(cid:90)(cid:36)D(cid:124)E(cid:124)F(cid:62)(cid:63)(cid:93)(cid:95)AB:DE=1:4(cid:93)(cid:125)(cid:126)(cid:87)(cid:88)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:63)
(cid:71)(cid:41)(cid:98)(cid:65)(cid:99)(cid:78) (cid:86) ∼
A(cid:68)1:2 B(cid:68)1:4 C(cid:68)1:8 D(cid:68)1:16
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:41)(cid:98)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:127)(cid:128)(cid:59)(cid:129).
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19) ΔABC ΔDEF,A(cid:124)B(cid:124)C(cid:70)(cid:90)(cid:36)D(cid:124)E(cid:124)F(cid:62)(cid:63)(cid:93)(cid:95)AB:BE=1:4
(cid:62)(cid:63)(cid:71)(cid:41)∵(cid:98)(cid:65)=∽1:4.
(cid:117)∴ (cid:118)B.
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:62)(cid:63)(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:65)(cid:131)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65).
(cid:15)(cid:119)(cid:120)1-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:81)(cid:136)(cid:135)(cid:137)·(cid:138)(cid:139)(cid:86)(cid:121) ABC DEF(cid:93)AB=6,DE=4(cid:93)(cid:125)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68) B= E B(cid:68)D △ F= 2 AC ∽△
3
∠ ∠
C(cid:68)S = 9 S D(cid:68)BC= 9 EF
ABC 4 DEF 4
△ △
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:62)(cid:63)(cid:27)(cid:24)(cid:66)(cid:93)(cid:62)(cid:63)(cid:89)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:93)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:29)(cid:69)(cid:76)
(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:153)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) ABC DEF(cid:93)
B= E(cid:93) EF = ∵D△F = DE = ∽4 = △2 (cid:93) S ABC= AB 2 = 9 (cid:93)
BC AC AB 6 3 S △DEF DE 4
∴∠ ∠ △
DF= 2 AC(cid:93)S = 9 S (cid:93)BC= 3 EF
3 ABC 4 DEF 2
∴ △ △
(cid:117)A(cid:124)B(cid:124)C(cid:154)(cid:111)(cid:93)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:159)D(cid:144)(cid:145)(cid:93)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:93)
(cid:117)(cid:118)(cid:10)D(cid:68)(cid:15)(cid:119)(cid:120)1-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:160)(cid:161)(cid:157)(cid:162)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:166)(cid:167)(cid:93)Rt ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93)AC=BC(cid:93)(cid:123)D(cid:168)AB(cid:135)(cid:93)(cid:95)AD=
AC(cid:93)(cid:123)E(cid:99) ABC(cid:169)(cid:170)(cid:123)(cid:93)(cid:171)(cid:172)DE(cid:124)AE(cid:93)(cid:121) ADE △CDB(cid:93)(cid:125)∠CDE(cid:29)(cid:173)(cid:55)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
△ △ ∽△ ∠
A(cid:68)45° B(cid:68)36° C(cid:68)30° D(cid:68)22.5°
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:175)(cid:27)(cid:92)(cid:35)(cid:176)(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:177)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127) CAB= ABC=45°(cid:93)(cid:177)(cid:66)(cid:89)(cid:62)(cid:66)(cid:27)(cid:59)(cid:157)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:175)(cid:27)(cid:92)(cid:35)(cid:176)(cid:114)(cid:127) ADC=67.5°(cid:93)(cid:32)(cid:179) BDC
=112.5°(cid:93)(cid:177)(cid:24)∠(cid:25)(cid:26)(cid:27)∠(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127) ADE= BDC=112.5°(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:45)(cid:68) ∠ ∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) Rt ABC(cid:71)(cid:93) ACB=∠90°(cid:93)AC∠=BC(cid:93)
CAB= ABC∵=45△°(cid:93) ∠
∴A∠D=AC∠(cid:93)
∵ ADC= 1 ×(180°− CAB)=67.5°(cid:93)
2
∴∠ ∠
BDC=180°− ADC=112.5°(cid:93)
∴∠ADE CD∠B(cid:93)
∵△ADE=∽△BDC=112.5°(cid:93)
∴∠CDE=∠ADE− ADC=45°(cid:93)
∴(cid:117)∠(cid:118)(cid:10)A(cid:68)∠ ∠
【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】
(cid:15)(cid:77)2(cid:19)(cid:78)2023·(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:69)·(cid:26)(cid:164)(cid:86)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93)D(cid:93)E(cid:70)(cid:90)(cid:99)AB(cid:93)AC(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)BE(cid:93)CD(cid:183)(cid:67)(cid:123)F(cid:68)
△
(1)(cid:184) ABE(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S (cid:93) ACD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S (cid:93)(cid:95)S =S (cid:68)
1 2 1 2
△ △(cid:165)(cid:53) (cid:93)(cid:171)(cid:172)DE(cid:68)(cid:121) A=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE BC(cid:159)
① ① ∠ EF∥
(cid:165)(cid:53) (cid:93)(cid:121) FBC=45°(cid:93) FCB=30°(cid:93)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
DF
② (2)(cid:165)(cid:53)②(cid:93)(cid:121) ∠ A=90°(cid:93)CE= ∠ kAB(cid:93)BD=kAE(cid:93)DC=2BE(cid:93)(cid:178)(cid:172)(cid:185)(cid:179)k(cid:29)(cid:33)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19) ③ (1) ∠ (cid:186)(cid:45)(cid:106)(cid:159) 2
2
① ②
(2)k= 3
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86) (cid:177)S =S (cid:114)(cid:37)ABAE=ACAD(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:37) ADE ABC(cid:93)(cid:114)(cid:187)(cid:170)(cid:188)(cid:189)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:159) (cid:171)(cid:172)DE(cid:93)(cid:52)
1 2
① ⋅ ⋅ △ ∽△ EF BF ②
BM AC(cid:67)(cid:123)M(cid:93)(cid:52)CN AB(cid:67)(cid:123)N(cid:93)(cid:190)(cid:123)F(cid:52)FH BC(cid:67)(cid:123)H(cid:68)(cid:114)(cid:37)DE BC(cid:93)(cid:189)(cid:179) = (cid:93)(cid:184)FH=BH=x(cid:93)(cid:125)BF= 2
DF CF
⊥ ⊥ ⊥ ∥
x(cid:93)(cid:125)(cid:114)(cid:70)(cid:90)(cid:32)(cid:179)BF(cid:93)CF(cid:29)(cid:73)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:190)(cid:123)B(cid:52)BP EC(cid:93)(cid:95)BP=EC(cid:93)(cid:171)(cid:172)DP(cid:93)CP(cid:93)(cid:191)(cid:192)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)BPCE(cid:93)(cid:37) BPD ABE(cid:93)(cid:189)(cid:179) EB = AE = 1 (cid:93)
DP BD k
∥ △ ∽△
(cid:37)(cid:38) EB = CP = 1 (cid:112)(cid:37)(cid:38) DPC(cid:99)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:95)(cid:114)(cid:32)(cid:179)(cid:194)(cid:26)(cid:89)(cid:29)(cid:65)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:179)k(cid:29)(cid:33)(cid:68)
DP DP k
△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:45)(cid:10) A=90°(cid:93)
S =S = 1 ABAE ①(cid:93) ∵ S ∠ =S = 1 ACAD(cid:68)
1 ABE 2 2 ACD 2
∴ △ ⋅ △ ⋅
S =S (cid:93)
1 2
∵ AE AD
ABAE=ACAD(cid:93)(cid:113) = (cid:68)
AC AB
∴ ⋅ ⋅
(cid:195) A= A(cid:93)
A∵D∠E ∠ABC
∴△ AED∽=△ACB(cid:93)
∴D∠E BC(cid:68)∠
∴(cid:165)(cid:53)∥ (cid:93)(cid:171)(cid:172)DE(cid:93)(cid:52)BM AC(cid:67)(cid:123)M(cid:93)(cid:52)CN AB(cid:67)(cid:123)N(cid:93)(cid:190)(cid:123)F(cid:52)FH BC(cid:67)(cid:123)H(cid:68)
② ⊥ ⊥ ⊥
S =S (cid:93)
1 2
∵1 ADCN= 1 AEBM(cid:93)
2 2
∴ ⋅ ⋅
AE CN
=
AD BM
∴
(cid:195) S = 1 ABCN= 1 ACBM(cid:93)
ABC 2 2
∵ △ ⋅ ⋅
AC = CN (cid:93)
AB BM
∴
AE = AC (cid:68)
AD AB
∴
(cid:195) A= A(cid:93)
∵A∠DE∠ ABC(cid:93)
∴D△E BC∽(cid:93)△
∴EF
=
∥DF
(cid:93)
BF CF
∴EF BF
=
DF CF
∴
(cid:184)FH=BH=x(cid:93)(cid:125)BF= 2x(cid:93)CF=2FH=2x
EF = BF = 2 (cid:68)
DF CF 2
∴
(cid:78)2(cid:86)
(cid:165)(cid:104)(cid:53)(cid:78)2(cid:86)(cid:93)(cid:190)(cid:123)B(cid:52)BP EC(cid:93)(cid:95)BP=EC(cid:93)(cid:171)(cid:172)DP(cid:93)CP(cid:93)
∥
(cid:125)(cid:182)(cid:89)(cid:28)BPCE(cid:99)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:68)
CE=kAB(cid:93)
∵BP = CE =k(cid:68)
AB AB
∴
BD=kAE(cid:93)
∵BD
=k(cid:93)
AE
∴BP = BD (cid:68)
AB AE
∴
(cid:195) DBP= A=90°(cid:93)
B∵P∠D A∠BE
∴△EB
=
AE∽
=
△1
(cid:93) ABE= BPD
DP BD k
∴ ∠ ∠
ABE+ PBF=90°
∴∠ BPD∠+ PBF=90°(cid:93)(cid:113) EFP=90°(cid:68)
∴B∠E PC(cid:93)∠ ∠
∵ D∥PC=180°− EFP=90°(cid:68)
∴∠EB = PC = 1 (cid:93) ∠
DC DC 2
∵
(cid:184)PC=a(cid:93)DC=2a(cid:93)
∴(cid:125)(cid:168)Rt DPC(cid:71)(cid:93)PD= DC2−PC2= 3a(cid:68)
EB = CP△ = 1 (cid:93)
DP DP k
∵
a = 1 (cid:93)
3a k
∴
k= 3(cid:68)
(cid:15)∴(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:20)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:190)(cid:52)(cid:179)(cid:157)(cid:199)(cid:29)(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:191)(cid:192)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
(cid:94)(cid:95)(cid:196)(cid:197)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)2-1(cid:19)(cid:78)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:83)·(cid:138)(cid:139)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:93)CE:EF:FD=1:2:3(cid:93)AE(cid:93)BF
(cid:24)(cid:183)(cid:67)(cid:123)G(cid:68)(cid:184) EFG(cid:92) ABG(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:70)(cid:90)(cid:99)S (cid:93)S (cid:93)(cid:121)S =3(cid:93)(cid:125)S =(cid:78) (cid:86)
1 2 1 2
△ △
A(cid:68)6 B(cid:68)9 C(cid:68)18 D(cid:68)27
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:84)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:37)(cid:38) EFG ABG(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:210)(cid:91)(cid:65)(cid:29)(cid:69)(cid:76)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:104)(cid:105)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)△(cid:45)(cid:19) C∽E△:EF:FD=1:2:3(cid:93)
∵(cid:184)CE=x(cid:93)(cid:125)EF=2x(cid:93)FD=3x(cid:93)
(cid:195) (cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:93)
A∵B=CD=CE+EF+FD=x+2x+3x=6x(cid:93)AB CD(cid:93)
∴EF = 2x = 1 (cid:93) ∥
AB 6x 3
∴
AB CD(cid:93)
∵ EF∥G ABG(cid:93)
∴△S
1
E∽F△ 2 1 2 1
= = =
S AB 3 9
2
∴
S =3(cid:93)
1
∵S =27(cid:93)
2
∴(cid:117)(cid:118)D(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)2-2(cid:19)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:71)(cid:93) ABC(cid:124) EDF(cid:29)(cid:122)(cid:123)(cid:131)(cid:168)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:211)(cid:212)(cid:29)(cid:212)(cid:123)(cid:135)(cid:93) ABC EDF(cid:93)(cid:125)
ABC+ ACB(cid:29)(cid:173)(cid:55)(cid:99)(cid:78) (cid:86) △ △ △ ∽△
∠ ∠
A(cid:68)75° B(cid:68)60° C(cid:68)55° D(cid:68)45°
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)D
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)(cid:109)(cid:110)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:114)(cid:127) ABC= EDF(cid:93) ACB= EFD(cid:93)(cid:213)(cid:214) ABC+ ACB= EDF+ EFD(cid:93)(cid:112)(cid:109)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:169)
(cid:27)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:127)(cid:104)(cid:105)∠(cid:68) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) DE(cid:91)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:27)(cid:41)
EDB=45° ∵
∴∠ABC EDF(cid:93)
∵△ABC=∽△EDF(cid:93) ACB= EFD(cid:93)
∴∠ABC+∠ACB= ∠EDF+ ∠EFD(cid:93)
∴∠ ∠ ∠ ∠EDB=45°= EDF+ EFD(cid:93)
∵∠ABC+ ACB∠=45°(cid:68)∠
(cid:117)∴∠(cid:118)(cid:10)D∠(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)2-3(cid:19)(cid:78)2022·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53) (cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AC=BC(cid:93) ACB=90°(cid:93)(cid:123)D(cid:99)BC(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:170)(cid:123)(cid:93)
(cid:171)(cid:172)AD(cid:93)(cid:190)(cid:123)C(cid:52)CE AD(cid:67)(cid:123)F(cid:93)(cid:183)AB(cid:67)①(cid:123)E(cid:93)(cid:171)△(cid:172)DE(cid:68) ∠
⊥
(1)(cid:121)AE=2BE(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)AF=2CF(cid:159)
BE
(2)(cid:165)(cid:53) (cid:93)(cid:121)AB= 2(cid:93)DE BC(cid:93)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
AE
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)② (1)(cid:104)(cid:105)(cid:186)(cid:115)(cid:45) ⊥
(2)
5−1
2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:209)(cid:37)AE=2BE(cid:93)(cid:190)(cid:123)B(cid:52)BH CE(cid:93)(cid:183)CE(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:67)H(cid:93)(cid:37)(cid:127) AFE BHF(cid:93)(cid:127)(cid:179)AF(cid:36)BH(cid:29)
(cid:55)(cid:220)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:112)(cid:37)(cid:127) AFC CHB(cid:93)(cid:127)(cid:179)CF⊥=BH(cid:109)(cid:110)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:37)(cid:159)△ ∽△
BE △ ≌△ BD BE BD
(cid:78)2(cid:86)(cid:209)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:173)(cid:43)(cid:29)(cid:221)(cid:83)(cid:93)(cid:127)(cid:179) CAD DCE(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:179) (cid:29)(cid:33)(cid:93)(cid:109)(cid:110)DE AC(cid:93)(cid:189)(cid:179) = (cid:93)
AE CD AE CD
△ ∽△ ∥
(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:61)(cid:222)(cid:59)(cid:129)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:190)(cid:123)B(cid:52)BH CE(cid:93)(cid:183)CE(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:67)H(cid:93)
AD CE(cid:93) ⊥
∵AF⊥BH(cid:93)
∴ ∥AFE BHE(cid:93)
∴A△F
=
AE
(cid:93)
∽△
BH BE
∴
CE AD(cid:93)
∵ C⊥FD=90°(cid:93)
∴∠ACB=90°(cid:93) ADC= CDF(cid:93)
∵∠ACD CF∠D(cid:93) ∠
∴△CAF=∽△BCH(cid:93)
∴∠AFC=∠CHB=90°,AC=BC(cid:93)
∵∠ ∠AFC CHB (AAS)(cid:93)
∴△CF=BH≌(cid:93)△
∴AF=2BH=2CF(cid:68)
∴
(cid:78)2(cid:86)(cid:45)(cid:10) DE BC(cid:93) ACB=90°(cid:93)
DE AC(cid:93)∵ ⊥ ∠
∴ AC∥E= CED(cid:93)
(cid:177)∴∠(cid:78)1(cid:86)(cid:114)∠(cid:167) ACD CFD(cid:93)
CAF= DC△F(cid:93) ∽△
∴∠AFC=∠CFD(cid:93)
∵∠AFC ∠ CFD(cid:93)
∴△ACE=∽△CDA(cid:93)
∴∠CDA=∠CED(cid:93)
∴∠ACD=∠CDE=90°(cid:93)
∵∠CAD ∠ DCE(cid:93)
∴△AC
=
CD
(cid:93)
∽△
CD DE
∴
AB=BC(cid:93)AB= 2(cid:93)
∵ B= CAB=45°(cid:93)AC=BC=1(cid:93)
∴(cid:184)∠CD=∠x(cid:93)(cid:125)BD=BC−CD=1−x(cid:93)
DE BC(cid:93) B=45°,
∵DE⊥=BD=1∠−x(cid:93)
∴1 x
=
x 1−x
∴
(cid:45)(cid:127)x =−1− 5<0(cid:78)(cid:223)(cid:224)(cid:86)(cid:93)x = 5−1(cid:93)
1 2 2 2
BD
=
DE
=
CD
=
5−1(cid:93)
CD CD AC 2
∴(cid:195) DE AC(cid:93)
B∵E
=
BD∥
=
5−1(cid:68)
AE CD 2
∴
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:92)(cid:225)(cid:66)(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:226)(cid:179)(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:227)(cid:228)
(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:32)(cid:27)(cid:93)(cid:91)(cid:45)(cid:107)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】
(cid:15)(cid:77)3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:160)(cid:161)(cid:229)(cid:160)·(cid:26)(cid:164)(cid:86)O(cid:99)(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:175)(cid:170)(cid:123)(cid:93)OA=OD(cid:93)OB=OC(cid:93) AOD+ BOC=180°(cid:68)
∠ ∠
(1)(cid:165)(cid:53)1(cid:93) AOB=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)AB=CD(cid:68)
(2)(cid:165)(cid:53)2(cid:93)E∠(cid:99)CD(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)(cid:95) OED= AOB(cid:68)
OC ∠ ∠
(cid:78)i(cid:86)(cid:32) (cid:29)(cid:33)(cid:159)
CD
AB OD
(cid:78)ii(cid:86)(cid:32)(cid:37)(cid:10) = (cid:68)
CD OC
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:37)(cid:38)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
OC 2
(2)(cid:78)i(cid:86) = (cid:93)(cid:78)ii(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
CD 2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)
(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:78)1(cid:86) (cid:109)(cid:110)(cid:27)(cid:29)(cid:92)(cid:230)(cid:114)(cid:127) AOB= DOC(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:114)(cid:37)(cid:127) AOB DOC(SAS)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:59)
(cid:60)(cid:159) ∠ ∠ △ ≌△
(cid:78)2(cid:86)(cid:78)i(cid:86)(cid:232)(cid:177)(cid:166)(cid:167)(cid:233)(cid:234)(cid:114)(cid:127) EDO= EOC(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:114)(cid:37)(cid:127) OCE DCO(cid:93)(cid:112)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:114)(cid:127)(cid:59)(cid:60)(cid:159)
(cid:78)ii(cid:86)(cid:219)(cid:73)OE(cid:235)(cid:123)F(cid:93)(cid:236)EF=EO∠(cid:93)(cid:114)(cid:127)(cid:182)∠(cid:89)(cid:28)FDOC(cid:91)(cid:69)(cid:193)(cid:182)△(cid:89)(cid:28)∽(cid:93)△(cid:177)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)DF=OC=OB(cid:93) FDC=
OCD(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:114)(cid:32)(cid:127) ODF= AOB(cid:93)(cid:237)(cid:231)(cid:37)(cid:127) ODF AOB(SAS)(cid:93)(cid:32)(cid:127) OED= AOB(cid:93)(cid:187)(cid:170)(cid:188)(cid:37)(cid:127) ∠OED ∠
AOB(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:92)∠(cid:41)(cid:42)(cid:29)∠(cid:66)(cid:220)(cid:221)(cid:238)(cid:127)(cid:179)(cid:59)△(cid:60)(cid:68) ≌△ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10) AOB=90°(cid:93) AOD+ BOC=180°(cid:93)
∵∠ ∠ ∠DOC=360°− AOB−( AOD+ BOC)=90°(cid:93)
∴∠AOB= DOC∠(cid:93) ∠ ∠
(cid:195)∴∠ OA=O∠D(cid:93)OB=OC(cid:93)
∵AOB DOC(SAS)(cid:93)
∴A△B=CD≌(cid:68)△
∴(cid:78)2(cid:86)(cid:78)i(cid:86)(cid:45)(cid:10) AOD+ BOC=180°(cid:93)
DOC+ AOB=∵1∠80°(cid:93) ∠
∴(cid:195)∠ OED∠= AOB(cid:93)
∵D∠OC+ O∠ED=180°(cid:93)(cid:113) DOE+ EOC+ OED=180°(cid:93)
∴(cid:195)∠ DOE∠+ EDO+ OED=∠180°(cid:93)∠ ∠
∵E∠DO= E∠OC(cid:93) ∠
(cid:195)∴∠ OCE∠= DCO(cid:93)
∵O∠CE ∠DCO(cid:93)
∴△ OC= CE (cid:93) ∽△ (cid:113) OC = 1 2 DC (cid:93) OC2 = 1 (cid:93)
DC CO DC CO DC2 2
∴ OC= 2 (cid:68)
CD 2
∴(cid:78)ii(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10)(cid:219)(cid:73)OE(cid:235)(cid:123)F(cid:93)(cid:236)EF=EO(cid:93)
E(cid:99)CD(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∵(cid:182)(cid:89)(cid:28)FDOC(cid:91)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:93)
∴DF=OC=OB(cid:93) FDC= OCD(cid:93)
∴(cid:195) ODF= FD∠C+ ED∠O(cid:93) DEO= OCD+ EOC(cid:93) EDO= EOC(cid:93)
∵O∠DF= O∠ED= A∠OB(cid:93) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴(cid:195)∠ DF=O∠B(cid:93)OA∠=DO(cid:93)
∵ODF AOB(SAS)(cid:93)
∴△DOF=≌△OAB(cid:93)AB=OF(cid:93)
∴(cid:195)∠ OED∠= AOB(cid:93)
∵O∠ED ∠AOB(cid:93)
∴△OE= ED
(cid:93)
∽ △
AO OB
∴
(cid:195) OE= 1 OF= 1 AB(cid:93)ED= 1 CD(cid:93)OA=OD(cid:93)OB=OC(cid:93)
2 2 2
1 ∵ AB 1CD AB CD
2 =2 (cid:93)(cid:113) = (cid:93)
OD OC OD OC
∴AB= OD
(cid:68)
CD OC
∴
(cid:15)(cid:119)(cid:120)3-1(cid:19)(cid:78)2023·(cid:135)(cid:239)(cid:240)(cid:81)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:166)(cid:167)(cid:241)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AD BC(cid:68)E(cid:91)(cid:89)AB(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)CE(cid:36)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD
(cid:183)(cid:67)(cid:123)F(cid:93)(cid:95)BE2=EFEC(cid:68) ∥
⋅
(cid:32)(cid:37)(cid:10)
(1) ABD FCB(cid:159)
(2)B△DBE∼=A△DCE(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)⋅(cid:19)(1)(cid:186)⋅(cid:45)(cid:106)
(2)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:177)BE2=EFEC(cid:114)(cid:37) BEF CEB(cid:93)(cid:127)(cid:128) EBF= ECB(cid:93)(cid:112)(cid:177)AD BC(cid:127)(cid:128) ADB= DCB(cid:93)(cid:113)(cid:114)
(cid:37)(cid:38) ABD FCB(cid:159) ⋅ △ ∼△ ∠ ∠ ∥ ∠ ∠
(cid:78)2(cid:86) △ (cid:177) B ∼ EF △ CEB(cid:127)(cid:128) BF = BE (cid:93) ABD FCB(cid:127)(cid:128) AB = BD = AD (cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:127)(cid:128) BE = AD (cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128)BDBE=ADCE(cid:68)
BC CE FC BC BF CE BD
△ ∼△ △ ∼△ ⋅ ⋅
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86) BE2=EFEC(cid:93)
BE= CE ∵ ⋅
EF BE
∴
BEF= CEB(cid:93)
∵∠BEF ∠ CEB
∴△EBF=∼△ECB
∴A∠D BC∠(cid:93)
∵ ∥ADB= DCB
∴∠ABD ∠ FCB(cid:159)
∴(cid:78)△2(cid:86) ∼B△EF CEB(cid:93)
BF= B∵E△ ∼△
BC CE
∴
ABD FCB(cid:93)
∵△AB= BD
=
∼A△D
FC BC BF
∴
BF= AD
BC BD
∴
BE= AD
CE BD
∴
BEBD=ADCE(cid:68)
∴(cid:15)(cid:123)⋅(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)⋅ (cid:84)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:76)(cid:143)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)3-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:242)(cid:243)(cid:244)(cid:206)·(cid:138)(cid:71)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:71)P(cid:99)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:135)(cid:170)(cid:56)(cid:123)(cid:93)(cid:190)P(cid:123)(cid:52)PE
CD(cid:183)AC(cid:67)(cid:67)(cid:123)E(cid:93)(cid:52)PF AC(cid:183)AD(cid:67)(cid:123)F(cid:93)(cid:171)(cid:172)DE(cid:124)BE(cid:68) ∥
∥
(1)(cid:121)FP=EP(cid:93)
(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE(cid:69)(cid:70) BDC(cid:159)
① (cid:32)(cid:37)(cid:10) 1 + 1 = ∠1(cid:159)
AB AO FP
②
(2)(cid:166)(cid:167)DO=DE=4(cid:93) (cid:95)P(cid:99)DO(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93) (cid:32)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:72)(cid:73)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1) (cid:186)(cid:45)(cid:106)(cid:159) (cid:186)(cid:45)(cid:106)
(2)4 10+4 6① ②
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:246)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:34)(cid:35)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:93)
(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:149)(cid:150)(cid:214)(cid:135)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:68)
(cid:78)1(cid:86) (cid:177)(cid:245)(cid:28)(cid:127)(cid:128)OA=OD(cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:109)(cid:110)(cid:66)(cid:89)(cid:62)(cid:66)(cid:27)(cid:92)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:127)(cid:128)PF=PD(cid:93)(cid:66)(cid:220)(cid:251)(cid:238)(cid:127)(cid:128)PD=PE(cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:59)(cid:157)
PE CD①(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:159)
∥OP PE
(cid:37)(cid:38)(cid:179) OPE ODC(cid:93)(cid:127)(cid:128) = (cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:66)(cid:220)(cid:251)(cid:238)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:38)(cid:159)
OD CD
② (cid:78)2(cid:86)(cid:165)(cid:53) △ (cid:213)(cid:252)(cid:93) ∽ (cid:190) △ (cid:123)D(cid:52)DG AC(cid:93)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:127)(cid:128) OP = OE (cid:93)(cid:251)(cid:55)(cid:32)(cid:179)OE=2(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:41)(cid:157)(cid:170)(cid:32)(cid:179)OG=EG= 1 OE
OD OC 2
⊥
=1(cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:22)(cid:23)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:32)(cid:45)(cid:113)(cid:114)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10) (cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
OA=OD(cid:93) ①∵
∴ OAD= ODA(cid:93)
∴P∠F AC(cid:93)∠
∵ P∥FD= OAD(cid:93)
∴∠PFD=∠PDF(cid:93)
∴P∠F=PD(cid:93)∠
∴FP=EP(cid:93)
∵PD=PE(cid:93)
∴ PED= PDE(cid:93)
∴P∠E CD(cid:93)∠
∵ P∥ED= CDE(cid:93)
∴∠ODE=∠CDE(cid:93)
∴D∠E(cid:69)(cid:70)∠BDC(cid:159)
∴ PE C∠D(cid:93)
②∵OPE∥ ODC(cid:93)
∴△OP= PE
(cid:93)
∽△
OD CD
∴
AB=CD(cid:78)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:93)OP=OD−PD=OA−PF(cid:93)PE=PF(cid:93)
∵OA−PF= PF
(cid:93)
OA AB
∴
1− PF = PF (cid:93)
OA AB
∴
1 − 1 = 1
PF OA AB
∴
(cid:253)(cid:176)(cid:127)(cid:93) 1 + 1 = 1 (cid:159)
AB AO FP
∴
(cid:78)2(cid:86)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:93)(cid:190)(cid:123)D(cid:52)DG AC(cid:93)
⊥DO=DE=4(cid:93)(cid:95)P(cid:99)DO(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∵ OP=PD= 1 OD=2(cid:93)OC=OD=4(cid:93)BD=2OD=8(cid:78)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:86)(cid:93)
2
∴
OPE ODC(cid:93)
∵△OP= OE
(cid:93)
∽△
(cid:113)
2
=
OE
(cid:93)
OD OC 4 4
∴
OE=2(cid:93)
∴EC=OC−OE=2(cid:93)
∴DG AC(cid:93)
∵ OG ⊥ =EG= 1 OE=1(cid:93)
2
∴
DG= OD2−OG2= 15(cid:93)GC=GE+EC=1+2=3(cid:93)
∴CD= GC2+DG2=2 6(cid:93)
∴AD= AC2−CD2=2 10(cid:93)
∴(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:72)(cid:73)=2(AD+CD)=2(2 10+2 6)=4 10+4 6(cid:68)
∴(cid:15)(cid:119)(cid:120)3-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:254)(cid:239)(cid:136)(cid:255)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)(cid:10)(cid:260)(cid:261)(cid:53)(cid:28)(cid:71)(cid:262)(cid:263)(cid:58)(cid:262)(cid:264)(cid:29)(cid:164)(cid:21)(cid:93)“(cid:170)(cid:41)(cid:26)(cid:66)(cid:27)”(cid:91)(cid:194)(cid:71)(cid:265)(cid:266)
(cid:260)(cid:261)(cid:267)(cid:268)(cid:189)(cid:176)(cid:29)(cid:269)(cid:77)(cid:93)(cid:166)(cid:167)A,E,B(cid:26)(cid:123)(cid:270)(cid:41)(cid:93)(cid:95) A= DEC= B(cid:29)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:98)(cid:99)“(cid:170)(cid:41)(cid:26)(cid:66)(cid:27)”(cid:159)(cid:275)(cid:276)(cid:97)(cid:170)(cid:277)(cid:278)
(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:279)(cid:262)(cid:280)(cid:281)(cid:260)(cid:261)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:282)(cid:283) ∠ ∠ ∠
(1)(cid:15)(cid:227)(cid:77)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:166)(cid:167)A,E,B(cid:26)(cid:123)(cid:168)(cid:284)(cid:170)(cid:233)(cid:178)(cid:41)(cid:135)(cid:93) A= B= DEC=90°(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)Rt ADE Rt BEC
(2)(cid:15)(cid:51)(cid:285)(cid:286)(cid:59)(cid:19)(cid:165)(cid:129) A= B= DEC(cid:93)(cid:287)(cid:288)(cid:196)(cid:37)(cid:38)(cid:126)(cid:87)(cid:88)(cid:26)∠ (cid:27)∠(cid:28)(cid:24)∠(cid:25)(cid:289)(cid:283)(cid:32)(cid:37)(cid:10) ADE △ BEC∽ △
(3)(cid:15)(cid:290)(cid:77)(cid:63)(cid:23)(cid:19)(cid:165)(cid:129)∠A=∠B=∠DEC(cid:93)(cid:121)(cid:123)E(cid:91)AB(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)(cid:32)(cid:37)(cid:10)DE2=ADDC △ ∽△
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:186)(cid:45)(cid:106) ∠ ∠ ∠ ⋅(2)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(3)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:68)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:76)(cid:143)(cid:93)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:170)(cid:41)
(cid:26)(cid:66)(cid:27)(cid:164)(cid:21)(cid:93)(cid:69)(cid:291)(cid:209)(cid:58)(cid:75)(cid:292)(cid:286)(cid:59)(cid:68)
(cid:78)1(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:166)(cid:167)(cid:127)(cid:179) D= CEB(cid:93)(cid:214)(cid:293) A= B(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:179) ADE BEC(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:22)(cid:23)(cid:166)(cid:167)(cid:127)(cid:179)∠D=∠CEB(cid:93)(cid:187)(cid:231)∠(cid:32)(cid:179)∠ ADE BE△C; ∽△
(cid:78)3(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) ∠ (cid:28)(cid:29) ∠ (cid:34)(cid:35)(cid:127)(cid:179) ADE △ BEC(cid:93) ∽△ (cid:111)(cid:35) DE = AD = AE (cid:93)(cid:59)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:127)(cid:179) DE = AD (cid:93)(cid:112)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
EC BE BC EC AE
△ ∽△
(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:38)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10) A= B= DEC=90°(cid:93)
DEA+ CEB=90°(cid:93)∵∠ ∠ ∠
∴∠DEA+∠D=90°(cid:93)
∵∠D= C∠EB(cid:93)
∴∠Rt A∠DE Rt BEC(cid:159)
∴(cid:78)2(cid:86)△ A∽= B△= DEC(cid:93) DEB= A+ D= DEC+ CEB(cid:93)
D=∵∠CEB∠(cid:93) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠AD∠E BEC(cid:68)
(cid:78)∴△3(cid:86) ∽A△= B= DEC(cid:93) DEB= A+ ADE= DEC+ CEB(cid:93)
AD∵E∠= C∠EB(cid:93)∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠ADE ∠ BEC(cid:68)
∴D△E= AD = ∽A△E (cid:93)
EC BE BC
∴
(cid:123)E(cid:91)AB(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∵AE=BE(cid:93)
∴DE= AD
(cid:93)
EC AE
∴
A= DEC(cid:93)
∵∠AE∠D ECD(cid:93)
∴D△E= CD
(cid:93)
∽△
AD DE
∴ DE2=ADDC(cid:68)
∴ ⋅【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】
(cid:15)(cid:77)4(cid:19)(cid:78)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:297)·(cid:138)(cid:139)(cid:86)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:92)Rt ADE(cid:71)(cid:93) BAC= DAE=90°(cid:93)AC= 21(cid:93)
AB= 7(cid:93) AE= 3(cid:93)AD=1(cid:93)(cid:298) DAE(cid:299)(cid:123)A(cid:168)(cid:69)(cid:74)(cid:175)(cid:300)(cid:291)△(cid:301)(cid:302)(cid:221)α(0°△≤α≤360°)(cid:93)∠(cid:171)(cid:172)C∠E(cid:93)BD(cid:68)
△
(1)(cid:32)(cid:37)(cid:10) ADB AEC(cid:159)
(2)(cid:303)(cid:34)(cid:153)△(cid:41)(cid:42)CE∽(cid:92)△BD(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:94)(cid:142)(cid:38)(cid:176)(cid:177)(cid:159)
(3)(cid:304)(cid:123)B(cid:124)D(cid:124)E(cid:168)(cid:284)(cid:170)(cid:233)(cid:178)(cid:41)(cid:135)(cid:291)(cid:93)(cid:178)(cid:172)(cid:185)(cid:179)(cid:41)(cid:42)CE(cid:29)(cid:73)(cid:159)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:37)(cid:38)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(2)CE BD(cid:159)CE= 3BD(cid:159)(cid:176)(cid:177)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(3)3 3⊥(cid:305)2 3
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:302)(cid:221)(cid:119)(cid:238)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:93)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)
(cid:91)(cid:11)(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)(cid:23)(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:93)(cid:191)(cid:192)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:68)
AC AE
(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38) = (cid:93) CAE= DAB(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:159)
AB AD
∠ ∠
(cid:78)2(cid:86)(cid:177) ADB AEC(cid:93)(cid:127)(cid:128) ECA= ABD(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:32)(cid:45)(cid:159)
(cid:78)3(cid:86)(cid:177) △ (cid:78)1(cid:86)(cid:167) ∽ (cid:93) △ CE= 3BD(cid:93) ∠ (cid:304)B ∠ (cid:124)E(cid:124)D(cid:26)(cid:123)(cid:270)(cid:41)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:32)(cid:179)HB= AB2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:93)(cid:127)(cid:128)
4 2
①
BD=BH+DH=3(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:159) (cid:304)B(cid:124)D(cid:124)E(cid:270)(cid:41)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)2(cid:93)(cid:284)(cid:176)(cid:114)(cid:45)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10)(cid:184)(cid:178)(cid:41)②AB(cid:183)CE(cid:67)(cid:123)M(cid:93)(cid:178)(cid:41)CE(cid:183)BD(cid:67)(cid:123)N(cid:93)AC= 21= 3(cid:93)AE = 3(cid:93)
AB 7 AD
∵
AC= AE (cid:93)
AB AD
∴
CAB= EAD=90°(cid:93)
∵∠CAE=∠DAB(cid:93)
∴∠ADB ∠ AEC(cid:159)
(cid:78)∴△2(cid:86)(cid:45)∽(cid:10)△CE BD(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:10)
ADB AE⊥C(cid:93)
∵△ECA=∽△ABD(cid:93)
∴∠BME=∠CMA(cid:93)
∵∠BNM=∠BAC=90°(cid:93)
∴∠CE BD(cid:159)∠
(cid:78)∴ 3(cid:86)⊥(cid:45)(cid:10)(cid:168)Rt ADE(cid:71)(cid:93)AD=1(cid:93)AE= 3(cid:93)(cid:125)DE=2(cid:93) EDA=60°(cid:93)
(cid:177)(cid:78)1(cid:86)(cid:167)(cid:93) A△DB AEC(cid:93) ∠
BD= AB = 1 (cid:93) △ ∽△
EC AC 3
∴
(cid:125)CE= 3BD(cid:159)
(cid:304)B(cid:124)E(cid:124)D(cid:26)(cid:123)(cid:270)(cid:41)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)
①
(cid:190)(cid:123)A(cid:52)AH BD(cid:67)(cid:123)H(cid:93)
(cid:168)Rt ADH(cid:71) ⊥ (cid:93)AD=1(cid:93) D=60°(cid:93)(cid:125)DH= 1(cid:93)AH= 3 (cid:93)
2 2
△ ∠
(cid:168)Rt AHB(cid:71)(cid:93)HB= AB2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:93)
4 2
△
(cid:125)BH+DH= 5 + 1 =3(cid:93)
2 2
(cid:125)EC= 3BD=3 3(cid:159)
(cid:304)B(cid:124)D(cid:124)E(cid:270)(cid:41)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)
②(cid:190)(cid:123)A(cid:52)AH BD(cid:183)(cid:67)(cid:123)H(cid:93)
(cid:168)Rt AHE(cid:71) ⊥ (cid:93)AE= 3(cid:93) E=30°(cid:93)(cid:125)AH= 1 AE= 3(cid:93)EH= 3 (cid:93)
2 2 2
△ ∠
(cid:168)Rt ADE(cid:71)(cid:93)AD=1(cid:93) E=30°(cid:93)(cid:125)ED=2(cid:93)
(cid:168)Rt △ ABH(cid:71)(cid:93)BH= AB ∠ 2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:93)
4 2
△
(cid:125)BE=BH−BH+EH= 5 + 3 =4(cid:93)
2 2
(cid:125)BD=BE−DE=4−2=2(cid:93)
CE= 3BD(cid:93)
∵(cid:113)CE=2 3(cid:159)
(cid:310)(cid:135)(cid:93)CE=3 3(cid:305)CE=2 3
(cid:15)(cid:119)(cid:120)4-1(cid:19)(cid:311)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:78)(cid:155)(cid:91)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:86)(cid:170)(cid:88)(cid:122)(cid:123)(cid:312)(cid:170)(cid:233)(cid:313)(cid:41)(cid:36)(cid:62)(cid:89)(cid:24)(cid:183)(cid:93)(cid:122)(cid:123)(cid:36)(cid:183)(cid:123)(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:41)(cid:42)(cid:314)(cid:126)(cid:88)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:70)(cid:315)(cid:151)(cid:87)(cid:88)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:165)(cid:129)(cid:70)(cid:127)(cid:29)(cid:87)(cid:88)(cid:103)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:170)(cid:88)(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:316)(cid:170)(cid:88)(cid:36)(cid:317)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:93)(cid:276)
(cid:97)(cid:314)(cid:126)(cid:233)(cid:41)(cid:42)(cid:318)(cid:226)(cid:126)(cid:88)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:68)
(1)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:168)ΔABC(cid:71)(cid:93) A=46°(cid:93)CD(cid:91)ΔABC(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)(cid:95)AD=CD(cid:93)(cid:32) ACB(cid:29)(cid:173)(cid:55)(cid:68)
(2)(cid:165)(cid:53)2(cid:93)(cid:168)ΔABC(cid:71)(cid:93)A∠C=3(cid:93)BC= 2(cid:93)CD(cid:91)ΔABC(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)(cid:95)ΔACD∠(cid:91)(cid:214)CD(cid:99)(cid:321)(cid:89)(cid:29)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
(cid:322)(cid:179)CD(cid:36)BD(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)92°(cid:159)(2)BD= 2CD(cid:159)
3
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:10)
(cid:78)1(cid:86)(cid:109)(cid:110)AD=CD(cid:293)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)(cid:127)(cid:128) CDB ACB(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:63)(cid:29)(cid:27)(cid:173)(cid:3)(cid:44)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:104)(cid:105)(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:109)(cid:110)ΔACD(cid:91)(cid:214)CD(cid:99)(cid:321)(cid:89)(cid:29)(cid:66)(cid:174)(cid:26) △ (cid:27)(cid:28)(cid:319) ∽△ (cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)(cid:127)(cid:128) CDB ACB(cid:93)(cid:311)(cid:231)(cid:127)(cid:128) AC = BC = AB (cid:113)(cid:114)(cid:127)
CD BD BC
△ ∽△
(cid:128)(cid:104)(cid:105)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:45)(cid:10) A=46°(cid:93)AD=CD(cid:93)
A= ACD=46°(cid:93) ∵∠
∴∠CD(cid:91)∠ΔABC(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)
∵ CDB ACB(cid:93)
∴△DCB=∽△A=46°(cid:93)
∴∠ACB=4∠6°×2=92°(cid:159)
∴ (cid:78) ∠ 2(cid:86)(cid:45)(cid:10)BD= 2CD(cid:93)(cid:176)(cid:177)(cid:165)(cid:140)(cid:93)
3
CD(cid:91)ΔABC(cid:29)(cid:319)(cid:320)(cid:70)(cid:315)(cid:41)(cid:93)(cid:95)ΔACD(cid:91)(cid:214)CD(cid:99)(cid:321)(cid:89)(cid:29)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∵ CDB ACB(cid:93)
∴△AC= BC = ∽A△B (cid:93)
CD BD BC
∴
AC=3(cid:93)BC= 2(cid:93)
∵ 3 = 2= 3 BD (cid:93)
CD BD 2
+
∴
BD= 2CD(cid:68)
3
∴
(cid:15)(cid:119)(cid:120)4-2(cid:19)(cid:78)22-23(cid:323)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:81)(cid:324)(cid:325)(cid:326)·(cid:138)(cid:71)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:314)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:327)(cid:328)GE(cid:124)EC(cid:124)GF(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:236)(cid:127)(cid:123)A(cid:124)B(cid:124)
D(cid:329)(cid:330)(cid:131)(cid:331)(cid:168)(cid:123)O(cid:332)(cid:93)(cid:95)(cid:123)G(cid:124)O(cid:124)C(cid:168)(cid:284)(cid:170)(cid:233)(cid:178)(cid:41)(cid:135)(cid:93)(cid:284)(cid:291)(cid:123)E(cid:124)O(cid:124)F(cid:168)(cid:316)(cid:170)(cid:233)(cid:178)(cid:41)(cid:135)(cid:68)(cid:155)(cid:333)(cid:334)AD=m(cid:124)AB=
n(cid:93)(cid:303)(cid:185)(cid:179)m(cid:124)n(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:66)(cid:220)(cid:3)(cid:44) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)n2=2m2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:327)(cid:328)GE(cid:124)EC(cid:124)GF(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:236)(cid:127)(cid:123)A(cid:124)B(cid:124)D(cid:329)(cid:330)(cid:131)(cid:331)(cid:168)(cid:123)O(cid:332)(cid:127)(cid:128)DG=OG=AG(cid:93)AE=OE=BE(cid:93)OC=CB(cid:93) EOG= FOG=90°(cid:93) AEG= OEG(cid:93) OEC= BEC(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128) GEC=90°(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128) GEO
ECO(cid:93)(cid:311)(cid:231)(cid:127)(cid:128)E∠O2=OG∠OC(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)∠(cid:128)(cid:104)(cid:105)∠. ∠ ∠ ∠ △ ∽△∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:245)(cid:28)ABCD⋅(cid:327)(cid:328)GE(cid:124)EC(cid:124)GF(cid:47)(cid:48)(cid:93)(cid:236)(cid:127)(cid:123)A(cid:124)B(cid:124)D(cid:329)(cid:330)(cid:131)(cid:331)(cid:168)(cid:123)O(cid:332)(cid:93)
DG=OG=AG(cid:93)∵ AE=OE=BE(cid:93)OC=CB(cid:93) EOG= FOG=90°(cid:93) AEG= OEG(cid:93) OEC= BEC(cid:93)
∴ GEC=90°(cid:93) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠CEO+ GEO= CEO+ OCE=90°(cid:93)
∴∠GEO=∠OCE(cid:93)∠ ∠
∴∠GEO ∠ ECO(cid:93)
∴E△O2=G∽O△O∠C(cid:93)
∴AD=m(cid:124)A⋅B=n(cid:93)
∵ m n
DG=OG=AG= (cid:93)AE=OE=BE= (cid:93) OC=CB=m(cid:93)
2 2
∴ n2=2m2(cid:93)
∴(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10)n2=2m2
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:245)(cid:28)(cid:71)(cid:48)(cid:335)(cid:49)(cid:20)(cid:293)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:109)(cid:110)(cid:126)(cid:127)(cid:127)(cid:128)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:233)(cid:234)(cid:293)
(cid:41)(cid:42)(cid:29)(cid:73)(cid:173)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)4-3(cid:19)(cid:78)22-23(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:336)(cid:81)(cid:337)(cid:338)·(cid:138)(cid:139)(cid:86)(cid:310)(cid:157)(cid:290)(cid:339)(cid:340)(cid:135)(cid:93)(cid:103)(cid:341)(cid:314)(cid:170)(cid:342)(cid:73)(cid:76)(cid:28)(cid:343)(cid:344)ABCD(cid:327)(cid:328)(cid:345)(cid:41)EB(cid:346)
(cid:347)(cid:93)(cid:165)(cid:53) (cid:213)(cid:252)(cid:93)(cid:343)(cid:344)Rt CB′E′(cid:102)(cid:103)(cid:348)(cid:27)(cid:29)(cid:122)(cid:123)E′(cid:168)DE(cid:135)(cid:93)(cid:102)(cid:73)(cid:178)(cid:27)(cid:89)(cid:36)(cid:349)(cid:89)(cid:70)(cid:90)(cid:183)(cid:89)AB(cid:67)(cid:123)G(cid:93)(cid:95)B′E′
AB(cid:99)(cid:350)(cid:351)①(cid:352)(cid:353)(cid:93)(cid:314)Rt CB△′E′(cid:327)(cid:328)DE(cid:76)(cid:354)(cid:69)(cid:355)(cid:93)(cid:304)(cid:123)E′(cid:128)(cid:356)(cid:123)E(cid:222)(cid:357)(cid:358)(cid:299)(cid:123)E(cid:359)(cid:291)(cid:301)(cid:302)(cid:221)(cid:93)(cid:165)(cid:53) (cid:93)(cid:178)(cid:128)(cid:123)H⊥
(cid:36)(cid:123)B(cid:360)(cid:157)(cid:361)(cid:362)(cid:68)(cid:99)(cid:146)△(cid:39)(cid:32)BH(cid:36)AG(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:119)(cid:83)(cid:3)(cid:44)(cid:93)(cid:184)AG=m(cid:93)(cid:303)(cid:23)(cid:363)m(cid:29)(cid:251)(cid:55)(cid:120)(cid:364)(cid:252)BH(cid:68) ③
(cid:78)1(cid:86)(cid:168)(cid:69)(cid:355)(cid:190)(cid:365)(cid:71)(cid:93)BH= (cid:93)
(cid:78)2(cid:86)(cid:168)(cid:302)(cid:221)(cid:190)(cid:365)(cid:71)(cid:93)BH= (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)
15
−m
63−12m
2 9−m
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:189)(cid:179)Rt E′HG Rt E′CB′(cid:93)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:37)(cid:38) EGH B△GE(cid:93)(cid:189)∽(cid:179)E△G2=(9−m)GH(cid:93)(cid:52)GI DE(cid:183)DE(cid:67)(cid:123)I(cid:93)(cid:168)Rt EGI(cid:71)(cid:93)(cid:177)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:32)(cid:127)EG2=
△ ∽△ ⋅ ⊥ △32+(3−m)2(cid:93)(cid:110)(cid:246)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:78)1(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:167)EC=E′C=6cm(cid:93)BC=B′C=AD=3cm(cid:93)
B′E′ AB(cid:93)
∵ E′H⊥G=90°(cid:93)Rt E′HG Rt E′CB′(cid:93)
∴∠GH=E′H= 3 = 1 (cid:93) △ ∽ △
B′C E′C 6 2
∴
GH= 1 ×B′C= 3 (cid:93)
2 2
∴
BH=AB−AG−GH=9−m− 3 = 15 −m(cid:159)
2 2
∴
(cid:78)2(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:167) HEG= EBG(cid:93)
(cid:195) EGH= BGE(cid:93)∠ ∠
∵E∠GH ∠BGE(cid:93)
∴E△G= GH = ∽E△G (cid:93)
BG GE 9−m
∴ EG2=(9−m)GH(cid:93)
∴(cid:52)GI DE(cid:183)D⋅E(cid:67)(cid:123)I(cid:93)
⊥
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ADIG(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∴GI=AD=3cm(cid:93)
(cid:168)∴ Rt EGI(cid:71)(cid:93)EG2=32+(3−m)2(cid:93)
(9−
△
m)GH=32+(3−m)2(cid:93)(cid:113)GH=
18−6m m2
(cid:93)
9−m
+
∴ BH=A ⋅ B−AG−GH=9−m− 18−6m m2 = 63−12m (cid:159)
9−m 9−m
+
∴
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10)
15
−m (cid:159)
63−12m
(cid:68)
2 9−m
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:84)(cid:108)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:47)(cid:48)(cid:119)(cid:238)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:93)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:152)(cid:91)(cid:154)(cid:111)(cid:366)(cid:322)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:11)(cid:306)(cid:22)(cid:23)(cid:367)(cid:55)(cid:191)(cid:368)(cid:76)(cid:365)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:369)(cid:67)(cid:71)(cid:84)(cid:370)(cid:371)(cid:20)(cid:71)(cid:29)(cid:372)(cid:373)(cid:20)(cid:68)【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】
(cid:15)(cid:77)5(cid:19)(cid:78)2025·(cid:205)(cid:295)(cid:374)(cid:375)·(cid:164)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:86)(cid:168)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:135)(cid:379)(cid:170)(cid:123)E(cid:93)(cid:236)(cid:127)DE=2BE(cid:93)(cid:171)(cid:172)CE(cid:93)(cid:298) CEB
(cid:327)CE(cid:47)(cid:48)(cid:127)(cid:128) CEF(cid:93)(cid:171)(cid:172)AF,BF(cid:68) △
△
(cid:78)1(cid:86) AFB= (cid:159)
(cid:78)2(cid:86)∠(cid:121)AB=6,BC=9(cid:93)(cid:125)AF= (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19) 90°/90(cid:173) 3 10
5
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:219)(cid:73)CE(cid:183)AB(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:183)BF(cid:67)(cid:123)G(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:335)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:123)G(cid:91)BF(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)CH BF(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:245)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:37) BEH DEC(cid:93)(cid:127)(cid:128)AB=2BH(cid:93)(cid:114)(cid:127)GH(cid:91)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:93)(cid:177)(cid:246)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:159) ⊥
△ ∽△ AB AF 6 AF
(cid:78)2(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:127)(cid:128)BH=3,CH=3 10(cid:93)(cid:37)(cid:38) ABF HCB(cid:93)(cid:127)(cid:128) = (cid:93)(cid:113) = (cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
CH HB 3 10 3
△ ∽△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:78)1(cid:86)(cid:219)(cid:73)CE(cid:183)AB(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:183)BF(cid:67)(cid:123)G(cid:93)
(cid:298) CEB(cid:327)CE(cid:47)(cid:48)(cid:127)(cid:128) CEF(cid:93)
∵EB△=EF(cid:93)CH BF(cid:93)(cid:380)(cid:381)△(cid:99)(cid:123)G(cid:93)BG=FG(cid:93)(cid:113)(cid:123)G(cid:91)BF(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∴(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD⊥(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵AB CD(cid:93)AB=CD(cid:93)
∴ B∥EH DEC(cid:93)(cid:95)
∴△BH= BE
(cid:93)
∽△
CD DE
∴
DE=2BE(cid:93)
∵CD=2BH(cid:93)
∴AB=2BH(cid:93)(cid:113)(cid:123)H(cid:91)AB(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∴GH AF(cid:93)
∴ ∥BGH= AFB=90°(cid:93)
∴(cid:117)∠(cid:104)(cid:105)(cid:99)∠(cid:10)90°(cid:159)
(cid:78)2(cid:86) CG BG(cid:93)
GB∵C+ G⊥CB=90°(cid:93)
∴(cid:182)∠ (cid:89)(cid:28)A∠BCD(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵ ABC=90°(cid:93)(cid:113) ABF+ GBC=90°(cid:93)
∴∠ABF= HCB(cid:93)∠ ∠
∴(cid:177) ∠ (cid:78)1(cid:86)(cid:127) ∠ (cid:128) AFB=90°= HBC(cid:93)BH= 1 AB=3(cid:93)(cid:125)CH= BC2+BH2= 92+32=3 10(cid:93)
2
∠ ∠
ABF HCB(cid:93)
∴△AB= AF
(cid:93)
∽△
(cid:113)
6
=
AF
(cid:93)
CH HB 3 10 3
∴
3 10
(cid:45)(cid:127)(cid:93)AF= (cid:93)
5
3 10
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) (cid:159)
5
3 10
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) 90°(cid:159) (cid:68)
5
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)①(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)②(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:48)(cid:335)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)
(cid:31)(cid:93)(cid:149)(cid:150)(cid:245)(cid:28)(cid:36)(cid:48)(cid:335)(cid:93)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:157)(cid:176)(cid:52)(cid:179)(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:91)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)5-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:324)(cid:382)(cid:383)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93) ABC(cid:29)(cid:71)(cid:352)(cid:41)DE=5cm(cid:93)(cid:314) ABC(cid:327)DE(cid:48)(cid:335)(cid:93)(cid:236)(cid:123)A(cid:331)(cid:168)(cid:89)BC
(cid:135)(cid:29)(cid:123)F(cid:332)(cid:93)(cid:121)A(cid:124)F(cid:87)(cid:123)(cid:43)(cid:29)(cid:384)(cid:385)(cid:91)8cm(cid:93)△(cid:125) DEF(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)(cid:78) (cid:86) △
△
A(cid:68)5cm2 B(cid:68)10cm2 C(cid:68)20cm2 D(cid:68)40cm2
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:62)(cid:274)(cid:373)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:62)(cid:63)(cid:123)(cid:171)(cid:41)(cid:93)(cid:114)(cid:127)AF(cid:113)(cid:91) ABC(cid:29)(cid:64)(cid:93)(cid:112)(cid:177)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:179)BC(cid:93)(cid:237)(cid:231)(cid:114)(cid:127)
ABC(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:35)(cid:176)(cid:113)△(cid:114)(cid:127)(cid:128)(cid:59)(cid:60)(cid:68)
△(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:47)(cid:48)(cid:119)(cid:238)((cid:48)(cid:335)(cid:49)(cid:20))(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)
(cid:48)(cid:335)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) DE(cid:91) ABC(cid:29)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:93)
∵ △
DE BC(cid:93)BC=2DE=10(cm)(cid:68)
∴(cid:177)(cid:48)∥(cid:335)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:10)AF DE(cid:93) DEF DEA(cid:93)
AF BC(cid:93) ⊥ △ ≌△
∴ S ⊥ = 1 BC×AF= 1 ×10×8=40(cm2)(cid:93)
ABC 2 2
∴ △
DE BC(cid:93)
∵ A∥DE ABC(cid:93)
∴△S ADE= ∽D△E 2 = 1 2 = 1 (cid:93)
S BC 2 4
△ABC
∴ △
S =S = 1 S =10(cm2)(cid:68)
DEF ADE 4 ABC
∴ △ △ △
(cid:117)(cid:118)(cid:10)B (cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)5-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:205)(cid:295)(cid:386)(cid:387)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB<BC(cid:93)AB=4(cid:93)E(cid:99)BC(cid:89)(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)(cid:95)BE=2(cid:93)(cid:298)
ABE(cid:327)(cid:178)(cid:41)AE(cid:47)(cid:48)(cid:222)(cid:93)(cid:123)B(cid:331)(cid:168)(cid:123)F(cid:332)(cid:93) ABC(cid:29)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:183)(cid:41)(cid:42)AF(cid:93)AD(cid:70)(cid:90)(cid:67)(cid:123)H(cid:93)G(cid:93)(cid:125)(cid:41)(cid:42)FH(cid:29)
△(cid:73)(cid:99) (cid:68) ∠
8
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)
7
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:245)(cid:28)(cid:48)(cid:335)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:52)(cid:179)
(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:190)(cid:123)F(cid:52)FM AB(cid:183)BC(cid:67)M(cid:93)(cid:52)FP BC(cid:183)AB(cid:93)(cid:183)BG(cid:67)Q(cid:93)(cid:114)(cid:37)(cid:127)(cid:182)(cid:89)(cid:28)BMFP(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)(cid:127)(cid:128)PF=BM(cid:93)BP=
FM(cid:93) BPF= ∥ EMF= PFM=90°(cid:93)(cid:112) ∥ (cid:37)(cid:38) APF EMF(cid:93)(cid:127)(cid:179) AP = PF = AF = 4 =2(cid:93)(cid:125)AP=2ME(cid:93)PF=2FM(cid:93)(cid:184)
ME MF EF 2
∠ ∠ ∠ △ ∽△
ME=x(cid:93)FM=y(cid:93)(cid:125)AP=2x(cid:93)PF=2y(cid:93)BP=FM=y(cid:93)(cid:237)(cid:231)(cid:114)(cid:127)2x+y=4(cid:93)(cid:113)y=4−2x (cid:93)x2+y2=22=4(cid:93)(cid:45)(cid:127)x(cid:124)y(cid:33)(cid:93)8
6 12 16 8 HF QF HF
(cid:311)(cid:231)(cid:127)(cid:128)EM= (cid:93)AP= (cid:93)PF= (cid:93)BP= (cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:37)(cid:38) FQH AGH(cid:93)(cid:127)(cid:128) = (cid:93)(cid:113) =5(cid:93)(cid:32)(cid:45)(cid:113)(cid:114)(cid:68)
5 5 5 5 AH AG 4−HF 4
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:190)(cid:123)F(cid:52)FM AB(cid:183)BC(cid:67)M(cid:93)(cid:52)FP B△C(cid:183)AB∽(cid:93)△(cid:183)BG(cid:67)Q(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)
∥ ∥
(cid:245)(cid:28)ABCD
∵ ABC=90°(cid:93)AD BC(cid:93)
∴F∠M AB(cid:93)FP BC∥
∵(cid:182)(cid:89)∥(cid:28)BMFP∥(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∴PF=BM(cid:93)BP=FM(cid:93) BPF= EMF= PFM=90°(cid:93)
∴ PFE+ MFE=90°(cid:93)∠ ∠ ∠
∴(cid:177)∠(cid:48)(cid:335)(cid:114)∠(cid:127)(cid:10)AF=AB=4(cid:93)EF=BE=2(cid:93) AFE= ABC=90°(cid:93)
AFP+ PFE=90° ∠ ∠
∴∠AFP=∠MFE
∴∠APF=∠EMF=90°
∵∠APF ∠ EMF
∴△AP= PF∽
=
A△F
=
4
=2
ME MF EF 2
∴
AP=2ME(cid:93)PF=2FM(cid:93)
(cid:184)∴ ME=x(cid:93)FM=y(cid:93)(cid:125)AP=2x(cid:93)PF=2y(cid:93)BP=FM=y(cid:93)
AP+PB=AB
∵2x+y=4(cid:93)(cid:113)y=4−2x
∴ME2+FM2=EF2
∵x2+y2=22=4
∴x2+(4−2x)2=4
∴ 6
(cid:45)(cid:127)(cid:10)x = (cid:93)x =2(cid:78)(cid:223)(cid:224)(cid:86)(cid:93)
1 5 2
8
y=4−2x= (cid:93)
5
∴EM= 6 (cid:93)AP= 12 (cid:93)PF= 16 (cid:93)BP= 8
5 5 5 5
∴
BG(cid:91) ABC(cid:29)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:93)
∵ ABG∠= CBG
∴A∠D BC∠
∵ AG∥B= CBG
∴∠AGB=∠ABG
∴A∠G=AB=∠4
∴FP BC
∵ P∥QB= CBQ
∴∠PQB=∠PBQ
∴P ∠ Q=BP= ∠8
5
∴
8
QF=PF−PQ=
5
∴
FP BC(cid:93)AD BC
∵PF∥AD ∥
∴ F∥QH AGH
∴H△F= QF ∽△
AH AG
∴ 8
HF =5
4−HF 4
∴ 8
HF=
7
∴
8
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) (cid:68)
7
(cid:15)(cid:119)(cid:120)5-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:388)(cid:255)(cid:107)(cid:389)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93) BAC=90°(cid:93)AD(cid:99)BC(cid:135)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:93)(cid:298) ADC(cid:327)(cid:178)(cid:41)AD
△ ∠ BE 2 △
(cid:47)(cid:48)(cid:127)(cid:128) ADC′(cid:93)C′D(cid:36)AB(cid:183)(cid:67)(cid:123)F(cid:93)(cid:171)(cid:172)C′C(cid:36)AB,AD(cid:70)(cid:90)(cid:183)(cid:67)(cid:123)E,O(cid:93)(cid:171)(cid:172)C′B(cid:93)(cid:121) = (cid:93)(cid:125)(cid:140)(cid:141)(cid:59)(cid:60)(cid:154)
AE 3
△
(cid:111)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)AF=2BF B(cid:68)(cid:121)AD=2(cid:93)(cid:125) ADC=60°
∠C(cid:68)2S =S D(cid:68)CC′(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)AD
BFC′ ADF
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)A△ △
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:48)(cid:335)(cid:127)(cid:128)DC=DC'=DB(cid:93)AD(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)CC'(cid:93)(cid:114)(cid:34)(cid:35)D(cid:118)(cid:390)(cid:159)(cid:184) DCC'= DC'C=α, DBC'= DC'B=
β(cid:93)(cid:125)α+β= DC'B+ DC'C=90°= DOC(cid:93)(cid:177)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:128)OD= 1 BC ∠ '(cid:93)(cid:184)OD ∠ =x(cid:93)(cid:125)BC ∠'=2x(cid:93)(cid:37) ∠ (cid:38) B
2
∠ ∠ ∠ △
C'E AOE(cid:93) BC'F ADF(cid:93)(cid:114)(cid:34)(cid:35)A(cid:93)C(cid:118)(cid:390)(cid:159)(cid:109)(cid:110)(cid:348)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:391)(cid:392)(cid:114)(cid:127) BDC'≠60°(cid:93)(cid:59)(cid:157)(cid:48)(cid:335)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)∽(cid:114)△(cid:34)(cid:35)B△(cid:118)(cid:390)(cid:93)∽(cid:177)△(cid:246)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68) ∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93) BAC=90°(cid:93)AD(cid:99)BC(cid:135)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:93)
BD=CD(cid:93) △ ∠
∴(cid:48)(cid:335)(cid:93)
∵DC=DC'=DB(cid:93)AD(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)CC'(cid:93)(cid:125)CC' AD(cid:93)(cid:393)(cid:155)(cid:69)(cid:70)AD(cid:93)(cid:117)D(cid:118)(cid:390)(cid:144)(cid:145)(cid:93)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:93)
∴ DCC'= DC'C, DBC'= DC'B(cid:93)OC=OC⊥', DOC= DOC'=90°(cid:93)
∴(cid:184)∠ DCC'=∠ DC'C∠=α, DB∠C'= DC'B=β(cid:93) ∠ ∠
∠BDC'= ∠DCC'+ D∠C'C=2α(cid:93)∠
∴(cid:168)∠ BDC'∠(cid:71)(cid:93) DB∠C'+ DC'B+ BDC'=180°(cid:93)
2△α+2β=180°(cid:93)∠(cid:125)α+β=∠ DC'B+∠ DC'C=90°= DOC(cid:93)
∴BC' AD(cid:93) ∠ ∠ ∠
∴(cid:123)O∥,D(cid:70)(cid:90)(cid:91)CC',CB(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∵ OD= 1 BC'(cid:93)
2
∴ (cid:184)OD=x(cid:93)(cid:125)BC'=2x(cid:93)
BC' AD(cid:93)
∵ BC∥'E AOE(cid:93)
∴B△C' = BE = ∽2 (cid:93) △ (cid:113) 2x = 2 (cid:93)
AO AE 3 AO 3
∴
AO=3x(cid:93)
∴AD=AO+OD=3x+x=4x(cid:93)
∴BC' AD(cid:93)
∵ BC∥'F ADF(cid:93)
∴B△C'
=
BF
(cid:93)
∽
(cid:113)
△2x
=
BF
,
AD AF 4x AF
∴
AF=2BF(cid:93)(cid:117)A(cid:118)(cid:390)(cid:154)(cid:111)(cid:93)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:159)
∴2
S BC'F= 1 = 1 (cid:93)
S 2 4
△ADF
∴ △
S =4S (cid:93)(cid:117)C(cid:118)(cid:390)(cid:144)(cid:145)(cid:93)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:159)
ADF BFC'
∴(cid:121)A△D=2(cid:93)(cid:125)△ CD=BD=AD=2(cid:93)
1
(cid:109)(cid:110)(cid:135)(cid:394)(cid:391)(cid:392)(cid:93)AD=4x=2(cid:93)(cid:125)x= (cid:93)
2
BC'=2x=1(cid:93)
∴ sin BCC'= BC' = 1 ≠ 1 =sin30°(cid:93)
BC 4 2
∴ D ∠ CC'≠30°, DC'C≠30°(cid:93)
∴∠BDC'≠60°(cid:93)∠
∴(cid:195)∠ (cid:48)(cid:335)(cid:93) ADC= ADC'(cid:93) ADC+ ADC'+ BDC'=180°(cid:93)
∵ADC+ A∠DC'≠12∠0°(cid:93) ∠ ∠ ∠
∴∠ADC≠6∠0°(cid:93)(cid:117)B(cid:118)(cid:390)(cid:144)(cid:145)(cid:93)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:159)
∴(cid:117)∠(cid:118)(cid:10)A (cid:68)
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:48)(cid:335)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:349)(cid:89)(cid:71)(cid:41)(cid:66)(cid:67)(cid:349)(cid:89)(cid:170)(cid:395)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:391)(cid:392)(cid:93)(cid:149)(cid:150)(cid:48)(cid:335)(cid:29)(cid:30)
(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:391)(cid:392)(cid:91)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】
(cid:15)(cid:77)6(cid:19)(cid:78)2025·(cid:396)(cid:368)(cid:255)(cid:397)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:166)(cid:167)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:93)AB=a(cid:93)BC=b(cid:93)(cid:170)(cid:398)(cid:399)(cid:41)(cid:311)AB(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:123)E(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:327)
EP(cid:29)(cid:76)(cid:354)(cid:313)(cid:179)(cid:93)(cid:401)BC(cid:89)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:402)(cid:313)(cid:399)(cid:41)PQ(cid:93)(cid:195)(cid:401)CD(cid:89)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:402)(cid:313)(cid:399)(cid:41)QK…(cid:109)(cid:110)(cid:399)(cid:29)(cid:402)(cid:313)(cid:317)
(cid:176)(cid:93)(cid:403)(cid:170)(cid:404)(cid:29)(cid:402)(cid:313)(cid:93)(cid:402)(cid:313)(cid:29)(cid:27)(cid:173)(cid:66)(cid:67)(cid:405)(cid:313)(cid:29)(cid:27)(cid:173)(cid:93)(cid:77)(cid:165)(cid:10) QPC= EPB(cid:68)
∠ ∠
(1)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:155)(cid:406)(cid:400)(cid:266)(cid:10)(cid:399)(cid:41)EP(cid:401)(cid:190)(cid:87)(cid:404)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:402)(cid:313)(cid:399)(cid:41)QK(cid:36)(cid:317)(cid:405)(cid:313)(cid:399)(cid:41)EP(cid:69)(cid:193)(cid:68)(cid:303)(cid:308)(cid:214)(cid:37)(cid:38)(cid:159)
(2)(cid:303)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:168)(cid:53)2(cid:52)(cid:179)(cid:402)(cid:313)(cid:123)F(cid:93)(cid:236)(cid:127)(cid:399)(cid:41)EF(cid:401)BC(cid:89)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:127)(cid:128)(cid:29)(cid:402)(cid:313)(cid:399)(cid:41)(cid:196)(cid:401)(cid:190)CD(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:123)G(cid:159)(cid:78)(cid:407)(cid:408)
(cid:52)(cid:53)(cid:409)(cid:410)(cid:93)(cid:155)(cid:185)(cid:52)(cid:143)(cid:86)
(3)(cid:165)(cid:129)(cid:209)(cid:275)(cid:399)(cid:41)EF(cid:411)(cid:404)(cid:401)BC(cid:93)CD(cid:93)AD(cid:89)(cid:26)(cid:404)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:412)(cid:128)(cid:179)(cid:400)(cid:123)E(cid:93)(cid:125)(cid:405)(cid:313)(cid:399)(cid:41)(cid:29)(cid:27)(cid:173)(cid:63)(cid:413)(cid:381)(cid:414)(cid:415)(cid:29)(cid:233)(cid:234)(cid:283)(cid:303)(cid:142)(cid:38)(cid:176)(cid:177)(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(2)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(3)(cid:304) BFE= ACB(cid:291)(cid:93)(cid:399)(cid:41)EF(cid:401)(cid:190)(cid:26)(cid:404)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:412)(cid:128)(cid:179)(cid:400)(cid:123)E
(cid:15)(cid:70)(cid:106)∠(cid:19)(cid:78)1∠(cid:86)(cid:232)(cid:32)(cid:127) EPQ=180°−2 EPB(cid:93) PQK=2 EPB(cid:93)(cid:189)(cid:179) EPQ+ PQK=180°(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:128)EP KQ(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:416)(cid:179)(cid:53)∠(cid:28)(cid:113)(cid:114)(cid:159) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∥
(cid:78)3(cid:86)(cid:232)(cid:37)(cid:38)(cid:182)(cid:89)(cid:28)EFGH(cid:91)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:93)(cid:127)(cid:128)EF=GH(cid:93)(cid:37)(cid:38) BEF DGH(cid:93)(cid:189)(cid:179)EF=GH(cid:93)(cid:112)(cid:37)(cid:38) BEF
CF CG a △ ≌△ △ ∽△
CGF(cid:93)(cid:189)(cid:179) = (cid:93)(cid:253)(cid:176)(cid:127)tan BFE=tan ACB= (cid:93)(cid:32)(cid:127) BFE= ACB(cid:93)(cid:110)(cid:246)(cid:32)(cid:45)(cid:113)(cid:114)(cid:68)
BF BE b
∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10)(cid:177)(cid:20)(cid:158)(cid:127) EPB= QPC(cid:93) PQC= KQD(cid:68)
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:245)(cid:28)(cid:93) ∠ ∠ ∠ ∠
∵ B= C=90°(cid:68)
∴∠ ∠
QPC+ PQC=90°(cid:93)
∴∠PQC=∠90°− QPC=90°− EPB(cid:93)
∴∠EPB+ EPQ∠+ QPC=18∠0°(cid:93)
∵∠EPQ=∠180°−2∠EPB(cid:93)
∴∠PQC+ PQK+∠ KQD=180°(cid:93)
∵∠PQK=∠180°−2∠PQC=180°−2(90°− EPB)=2 EPB(cid:93)
∴∠EPQ+ PQK=∠180°(cid:93) ∠ ∠
∴E∠P KQ(cid:159)∠
∴(cid:78)2(cid:86)∥(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:123)G(cid:99)(cid:32)(cid:52)(cid:29)(cid:123)(cid:68)(cid:159)
(cid:78)3(cid:86)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:399)(cid:41)EF(cid:401)(cid:190)(cid:26)(cid:404)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:412)(cid:128)(cid:179)(cid:400)(cid:123)E(cid:93)(cid:402)(cid:313)(cid:123)(cid:70)(cid:90)(cid:91)F(cid:93)G(cid:93)H(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:182)(cid:89)(cid:28)EFGH(cid:93)(cid:171)(cid:172)AC(cid:68)
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵ B= BCD= D=90°(cid:93)AB=CD(cid:93)
(cid:177)∴∠(cid:78)1∠(cid:86)(cid:59)(cid:60)(cid:127)∠ FGC=HGD(cid:93)EF HG(cid:93)FG EH(cid:93)
(cid:182)(cid:89)(cid:28)EFGH(cid:91)∠(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:93) ∥ ∥
∴EF=GH(cid:93)
∴ BFE= GFC(cid:93) HGD= FGC(cid:93) GFC+ FGC=90°(cid:93)
∵∠EFB+∠HGD=9∠0°(cid:93) ∠ ∠ ∠
∴∠EFB+∠BEF=90°(cid:93)
∵∠BEF=∠HGD(cid:93)
∴∠BEF ∠ DGH(cid:93)
∴E△F=GH≌(cid:93)△
∴(cid:177)(cid:78)1(cid:86)(cid:127)(cid:93) B= BCD=90°(cid:93) EFB= GFC(cid:93)
BEF CG∠F(cid:93)∠ ∠ ∠
∴△CF= CG
(cid:93)
∽△
BF BE
∴
BC−BF= CD−DG (cid:93)
BF BE
∴
BC−BF= AB−BE (cid:93)
BF BE
∴
BC= AB (cid:93)(cid:113) BE = AB = a (cid:93)
BF BE BF BC b
∴a
tan BFE=tan ACB= (cid:93)
b
∴ ∠ ∠
BFE= ACB(cid:93)
∴(cid:304)∠ BFE∠= ACB(cid:291)(cid:93)(cid:399)(cid:41)EF(cid:401)(cid:190)(cid:26)(cid:404)(cid:402)(cid:313)(cid:222)(cid:412)(cid:128)(cid:179)(cid:400)(cid:123)E(cid:68)
∴(cid:15)(cid:123)∠(cid:130)(cid:19)(cid:107)∠(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:23)(cid:213)(cid:11)(cid:167)(cid:249)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)6-1(cid:19)(cid:78)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:396)(cid:368)(cid:417)(cid:418)·(cid:419)(cid:42)(cid:148)(cid:420)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93) ACB(cid:29)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:183)AB(cid:67)(cid:123)D(cid:68)
△ ∠
(1)(cid:303)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:168)AC(cid:89)(cid:135)(cid:32)(cid:52)(cid:123)E(cid:93)(cid:236)(cid:127)EC=ED(cid:78)(cid:155)(cid:185)(cid:52)(cid:143)(cid:93)(cid:407)(cid:408)(cid:52)(cid:53)(cid:409)(cid:410)(cid:86)(cid:159)
(2)(cid:168)(cid:78)1(cid:86)(cid:29)(cid:233)(cid:234)(cid:140)(cid:93)(cid:121) AD = 1(cid:93)BC=10(cid:93)(cid:32)DE(cid:29)(cid:73)(cid:68)
BD 3
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:186)(cid:45)(cid:106)
(2)2.5
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:52)DC(cid:29)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:183)AC(cid:67)E(cid:93)(cid:123)E(cid:113)(cid:99)(cid:213)(cid:52)(cid:29)(cid:123)(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:37)(cid:38) ADE ABC(cid:93)(cid:213)(cid:214) AD = DE (cid:93)(cid:112)(cid:177) AD = 1(cid:93)BC=10(cid:93)(cid:155)(cid:406)(cid:32)(cid:127)DE(cid:29)(cid:33)(cid:68)
AB BC BD 3
△ ∽△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:45)(cid:10)(cid:52)DC(cid:29)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:183)AC(cid:67)(cid:123)E(cid:68)
(cid:123)E(cid:273)(cid:91)(cid:213)(cid:32)(cid:52)(cid:29)(cid:123)(cid:68)
∴
(cid:78)2(cid:86)(cid:45)(cid:159)(cid:171)(cid:172)DE(cid:93)(cid:177)(cid:78)1(cid:86)(cid:167)DE=EC(cid:68)EDC= ECD(cid:93)
∴∠ CD(cid:69)(cid:70)∠ ACB(cid:93)
∵ ECD= B∠CD(cid:93)
∴∠EDC=∠BCD(cid:93)
∴D∠E BC(cid:93)∠
∴ AD∥E= B
(cid:195)∴∠ A= ∠A(cid:93)
∵A∠DE∠ ABC(cid:68)
∴A△D
=
DE
(cid:68)
∽△
AB BC
∴
AD = 1 (cid:93)BC=10(cid:93)
BD 3
∵
AD = 1 (cid:68)
AB 4
∴
DE = 1 (cid:68)
10 4
∴
DE=2.5(cid:68)
∴(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:41)(cid:42)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:35)(cid:421)(cid:293)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)
(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:176)(cid:45)(cid:24)(cid:3)(cid:35)(cid:421)(cid:92)(cid:35)(cid:176)(cid:91)(cid:45)(cid:107)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)6-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:323)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:360)(cid:422)·(cid:138)(cid:139)(cid:86)(cid:103)(cid:423)(cid:168)(cid:11)(cid:420)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:291)(cid:93)(cid:424)(cid:179)(cid:49)(cid:20)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:170)(cid:233)(cid:175)(cid:27)(cid:27)(cid:69)(cid:70)
(cid:41)(cid:93)(cid:298)(cid:194)(cid:62)(cid:89)(cid:213)(cid:70)(cid:151)(cid:29)(cid:87)(cid:233)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:126)(cid:88)(cid:27)(cid:29)(cid:87)(cid:89)(cid:91)(cid:425)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:283)(cid:99)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:426)(cid:427)(cid:347)(cid:146)(cid:214)(cid:140)(cid:39)(cid:40)(cid:68)
(1)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:319)(cid:151)(cid:214)(cid:140)(cid:428)(cid:107)(cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:52) ABC(cid:29)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)BM(cid:183)AC(cid:67)(cid:123)D(cid:93)(cid:168)(cid:313)(cid:41)BM(cid:135)(cid:379)(cid:170)(cid:123)E(cid:93)(cid:236)(cid:127)AE=AB(cid:93)(cid:171)
(cid:172)AE(cid:78)(cid:407)(cid:408)(cid:52)(cid:53)(cid:409)(cid:410)(cid:93)(cid:155)(cid:185)(cid:52)(cid:143)△(cid:93)(cid:155)(cid:140)(cid:59)(cid:60)(cid:86)(cid:68)
(2)(cid:32)(cid:37)(cid:10) AD = AB
CD CB
(cid:37)(cid:38)(cid:10)BM(cid:69)(cid:70) ABC
∠ (cid:159)
①(cid:195) AE=AB
∵AEB= ABE
∴∠ ∠ (cid:159)
②AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:195) AE=AB
∵ (cid:159)
③(cid:411)(cid:110)(cid:135)(cid:394)(cid:37)(cid:38)(cid:93)(cid:103)(cid:423)(cid:114)(cid:214)(cid:127)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(1)(cid:186)(cid:45)(cid:106) ④
(2) ABE= CBE AEB= CBE AD =AB (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:170)(cid:233)(cid:175)(cid:27)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:93)(cid:298)(cid:194)(cid:62)(cid:89)(cid:213)(cid:70)(cid:151)(cid:29)(cid:87)(cid:233)(cid:41)(cid:42)
CD CB
①∴∠ ∠ ②∴∠ ∠ ③∴ ④
(cid:36)(cid:126)(cid:88)(cid:27)(cid:29)(cid:87)(cid:89)(cid:62)(cid:63)(cid:151)(cid:65)(cid:77)
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:428)(cid:107)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)-(cid:52)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:93)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:35)(cid:421)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)
(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:176)(cid:45)(cid:20)(cid:158)(cid:93)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:23)(cid:213)(cid:11)(cid:167)(cid:249)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:68)
(cid:78)1(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:209)(cid:32)(cid:52)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:92)(cid:429)(cid:379)(cid:41)(cid:42)(cid:113)(cid:114)(cid:159)
(cid:78)2(cid:86)(cid:168)(cid:78)1(cid:86)(cid:29)(cid:53)(cid:28)(cid:140)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:92)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:34)(cid:35)AE(cid:92)BC(cid:69)(cid:193)(cid:93)(cid:177)(cid:246)(cid:34)(cid:35) AED CBD(cid:93)(cid:109)
(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:66)(cid:220)(cid:251)(cid:238)(cid:127)(cid:179)(cid:20)(cid:184)(cid:59)(cid:60)(cid:68) △ ∽△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:313)(cid:41)BM(cid:93)(cid:123)D(cid:124)(cid:123)E(cid:113)(cid:99)(cid:213)(cid:32)(cid:10)
(cid:78)2(cid:86)(cid:37)(cid:38)(cid:10)BM(cid:69)(cid:70) ABC
ABE= CBE(cid:159) ∠
(cid:195)∴∠ AE=A∠B
∵AEB= ABE
∴∠AEB=∠CBE(cid:159)
∴∠ ∠AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:195) AE=AB
∵AD
=
AB
(cid:68)
CD CB
③(cid:411)(cid:110) ∴ (cid:135)(cid:394)(cid:37)(cid:38)(cid:93)(cid:103)(cid:423)(cid:114)(cid:214)(cid:127)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:10) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:170)(cid:233)(cid:175)(cid:27)(cid:27)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:93)(cid:298)(cid:194)(cid:62)(cid:89)(cid:213)(cid:70)(cid:151)(cid:29)(cid:87)(cid:233)(cid:41)(cid:42)(cid:36)(cid:126)(cid:88)(cid:27)
(cid:29)(cid:87)(cid:89)(cid:91)(cid:62)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:68) ④
(cid:15)(cid:119)(cid:120)6-3(cid:19)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:93)(cid:122)(cid:27)(cid:66)(cid:67)36 (cid:29)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:274)(cid:99)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93)(cid:166)(cid:167)(cid:10)AB=AC(cid:93)
∘
(cid:95) A=36 ． △
∘
(1)∠(cid:168)(cid:53)1(cid:71)(cid:93)(cid:23)(cid:50)(cid:51)(cid:52)AB(cid:29)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:183)AC(cid:67)D(cid:93)(cid:94)(cid:171)(cid:172)BD(cid:78)(cid:407)(cid:408)(cid:52)(cid:53)(cid:409)(cid:410)(cid:93)(cid:155)(cid:185)(cid:52)(cid:143)(cid:86)(cid:159)
(2) BCD(cid:91)(cid:155)(cid:91)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:283)(cid:165)(cid:129)(cid:91)(cid:93)(cid:303)(cid:430)(cid:179)(cid:37)(cid:38)(cid:159)(cid:165)(cid:129)(cid:155)(cid:91)(cid:93)(cid:303)(cid:142)(cid:38)(cid:176)(cid:177)(cid:159)
△BC
(3)(cid:184) =k(cid:93)(cid:431)(cid:32)k(cid:29)(cid:33)(cid:159)
AC
BC
(4)(cid:165)(cid:53)2(cid:93)(cid:168) A B C (cid:71)(cid:93)(cid:166)(cid:167)A B =A C ， A =108 (cid:93)(cid:95)A B =AB(cid:93)(cid:303)(cid:178)(cid:172)(cid:185)(cid:179) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B C
1 1
∘
△ ∠
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:115)(cid:186)(cid:45)(cid:106)(cid:159)(cid:78)2(cid:86)(cid:115)(cid:186)(cid:45)(cid:106)(cid:159)(cid:78)3(cid:86)
5−1(cid:159)(cid:78)4(cid:86)3− 5
(cid:68)
2 2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:78)1(cid:86)(cid:109)(cid:110)(cid:52)(cid:41)(cid:42)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:29)(cid:76)(cid:143)(cid:52)(cid:53)(cid:113)(cid:114)(cid:159)(cid:78)2(cid:86)(cid:70)(cid:90)(cid:32)(cid:127) BCD(cid:432)(cid:88)(cid:27)(cid:29)(cid:173)(cid:55)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:374)(cid:337)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:35)(cid:421)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:104)(cid:159)(cid:78)3(cid:86)(cid:198)(cid:190)(cid:37)(cid:38) BDC ABC(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)△(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:45)(cid:113)(cid:114)(cid:159)(cid:78)4(cid:86)(cid:219)(cid:73)BC(cid:128)E(cid:93)
(cid:236)CE=AC(cid:93)(cid:171)(cid:172)AE(cid:93)(cid:37)(cid:38) ACE B △ A C (cid:93) ∽ (cid:114) △ (cid:127)AE=B C (cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:78)3(cid:86)(cid:114)(cid:127) BC = BC = 5−1， AB = 5−1，(cid:177)(cid:246)(cid:113)
1 1 1 1 1 AB AC 2 AE 2
△ ≅△
BC
(cid:114)(cid:32)(cid:127) (cid:29)(cid:33)(cid:68)
B C
1 1
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(1)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:159)(2) BCD(cid:91)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
(cid:37)(cid:38)△(cid:165)(cid:140)(cid:10) (cid:123)D(cid:168)AB(cid:29)(cid:380)(cid:178)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:135)(cid:93)
AD=BD，∵
∴ ABD= A．
∴∠A=36 ∠，AB=AC，
∘
∵∠ABC= C=72 ，
∘
∴∠ABD=∠DBC=36 ．
∘
∴(cid:195)∠ BDC∠= A+ ABD=72 ，
∘
∵B∠DC= C∠， ∠
∴B∠D=BC，∠
∴ BCD(cid:91)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∴(3△)(cid:184)BC=x，AC=y，
(cid:177)(2)(cid:167)(cid:93)AD=BD=BC=x．
DBC= A， C= C，
∵∠BDC ∠ AB∠C，∠
∴B△C= DC
(cid:93)
∽△
(cid:113)
x
=
y−x
，
AC BC y x
∴ (cid:253)(cid:176)(cid:93)(cid:127)x2+xy−y2=0，
(cid:45)(cid:127)x=−1± 5y．
2
(cid:433)(cid:99)x、y(cid:434)(cid:99)(cid:154)(cid:55)(cid:93)(cid:213)(cid:214)k= x = 5−1．
y 2
(4)3− 5 ．
2
(cid:176)(cid:177)(cid:10)(cid:219)(cid:73)BC(cid:128)E(cid:93)(cid:236)CE=AC(cid:93)(cid:171)(cid:172)AE．
A=36 ，AB=AC，
∘
∵∠ACB= B=72 ，
∘
∴∠ACE=∠180 −72 =108 ，
∘ ∘ ∘
∴∠ACE= B A C ．
1 1 1
∴A∠ B =A∠B，
1 1
∵AC=CE=A B =A C ，
1 1 1 1
∴ ACE B A C ，
1 1 1
∴△ ≅△AE=B C ．
1 1
∴(cid:177)(3)(cid:167)(cid:93)
BC= BC = 5−1， AB = 5−1，
AB AC 2 AE 2
∴
BC = BC = BC × AB = 5−1× 5−1=3− 5 ．
B C AE AB AE 2 2 2
1 1
∴
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:167)(cid:249)(cid:93)(cid:196)(cid:197)(cid:147)(cid:435)(cid:374)(cid:337)(cid:65)(cid:29)(cid:33)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:374)(cid:337)(cid:65)(cid:187)(cid:193)(cid:391)(cid:392)(cid:68)(cid:4)(cid:158)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:436)(cid:71)(cid:35)(cid:421)
(cid:29)(cid:374)(cid:337)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:187)(cid:193)(cid:70)(cid:106)(cid:391)(cid:392)(cid:68)
【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】
(cid:15)(cid:77)7(cid:19)(cid:78)24-25(cid:323)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:347)(cid:11)(cid:84)(cid:431)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AB=3,BC=4(cid:93)(cid:123)D(cid:311)(cid:123)C(cid:179)(cid:400)(cid:327)CB
(cid:76)(cid:354)(cid:214)1cm/s(cid:354)(cid:123)B(cid:437)(cid:438)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:190)(cid:123)D(cid:52)DE BC(cid:67)(cid:123)D(cid:68)(cid:214)△DE(cid:213)(cid:168)(cid:178)(cid:41)(cid:99)(cid:62)(cid:274)(cid:373)(cid:93)(cid:298) CDE(cid:48)(cid:335)(cid:93)(cid:123)C(cid:29)
(cid:62)(cid:63)(cid:123)(cid:99)C′(cid:93)(cid:355)(cid:56)(cid:190)(cid:365)(cid:71) EDC′(cid:36) ABC(cid:360)(cid:335)⊥(cid:439)(cid:70)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)S(cm2)(cid:93)(cid:204)(cid:56)(cid:291)(cid:43)t(s)(cid:93)(cid:125)△S(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)
(cid:29)(cid:53)(cid:440)(cid:116)(cid:441)(cid:91)(cid:78)(cid:442)(cid:442)(cid:86) △ △
A(cid:68) B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:56)(cid:123)(cid:49)(cid:20)(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:93)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:70)(cid:42)(cid:32)(cid:179)S(cid:36)t(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:45)(cid:106)(cid:120)(cid:68)
(cid:232)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:179)DE= 3 CD(cid:92)BF= 3 BC′(cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:177)(cid:53)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:120)(cid:32)(cid:179)S(cid:36)t(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:45)(cid:106)(cid:120)(cid:93)
4 4
(cid:311)(cid:231)(cid:127)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) AB=3,BC=4(cid:93)
(cid:304)D(cid:168)BC(cid:71)∵(cid:123)(cid:291)(cid:93)C′(cid:92)B(cid:360)(cid:157)(cid:93)
∴DE BC,AB BC(cid:93)
∵ ⊥ ⊥AB DE(cid:93)
∴ C∥DE CBA(cid:93)
∴D△E= CD
(cid:93)
∽△
BA CB
∴
DE= CDBA = 3 CD= 3 t(cid:93)
CB 4 4
⋅
∴
(cid:304)0≤x≤2(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:10)
①
EDC EDC′(cid:93)
∵△S =≌S△ (cid:93)
EDC EDC′
∴ S △ =S = △ 1 DCDE= 1 t 3 t= 3 t2(cid:93)
EDC
2 2 4 8
△
∴ ⋅ ⋅
(cid:246)(cid:291)(cid:93)S(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:29)(cid:53)(cid:440)(cid:91)(cid:122)(cid:123)(cid:168)(cid:317)(cid:123)(cid:93)(cid:347)(cid:443)(cid:354)(cid:135)(cid:29)(cid:444)(cid:445)(cid:41)(cid:159)
(cid:304)2<x≤4(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:10)
②
(cid:246)(cid:291)S=S梯形DBFE = 1 (DE+BF)BD(cid:93)
2
⋅
DC=t(cid:93)
∵BD=BC−DC=4−t,BC′=DC′−BD=DC−BD=t−(4−t)=2t−4(cid:93)
∴(cid:177) (cid:167)(cid:93)DE= 3 DC(cid:93)
4
①
(cid:284)(cid:176)(cid:114)(cid:167)(cid:93)BF= 3 BC′(cid:93)
4
DE= 3 t(cid:93)BF= 3 (2t−4)(cid:93)
4 4
∴ 2
S= 1 3 t+ 3 (2t−4) ×(4−t)=− 9 t2+6t−6=− 9 t− 8 +2(cid:93)
2 4 4 8 8 3
∴
8
(cid:304)t= (cid:291)(cid:93)S(cid:262)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99)2(cid:93)
3
∴
8
(cid:246)(cid:291)(cid:93)S(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:29)(cid:53)(cid:440)(cid:91)(cid:347)(cid:443)(cid:354)(cid:140)(cid:29)(cid:444)(cid:445)(cid:41)(cid:93)(cid:95)(cid:304)t= (cid:291)(cid:93)S(cid:379)(cid:127)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:68)
3(cid:117)(cid:118)(cid:10)A(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)7-1(cid:19)(cid:78)2023·(cid:81)(cid:324)(cid:206)(cid:198)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:168)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)(cid:56)(cid:123)E(cid:311)(cid:123)A(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:327)AB→BC(cid:76)(cid:354)(cid:204)(cid:56)(cid:93)
(cid:304)(cid:123)E(cid:128)(cid:356)(cid:123)C(cid:291)(cid:361)(cid:362)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:190)(cid:123)E(cid:52)FE AE(cid:93)(cid:183)CD(cid:67)(cid:123)F(cid:93)(cid:184)(cid:123)E(cid:29)(cid:204)(cid:56)(cid:446)(cid:365)(cid:99)x(cid:93)FC=y(cid:93)(cid:165)(cid:53)2(cid:213)(cid:364)
⊥ 4
(cid:252)(cid:29)(cid:91)y(cid:36)x(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:29)(cid:116)(cid:441)(cid:53)(cid:440)(cid:93)(cid:304)(cid:123)E(cid:168)BC(cid:135)(cid:204)(cid:56)(cid:291)(cid:93)FC(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:73)(cid:173)(cid:91) (cid:93)(cid:125)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:91)
5
(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)20 B(cid:68)16 C(cid:68)6 5 D(cid:68)8 5
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)A
CF CE
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:177)(cid:20)(cid:158)(cid:114)(cid:167)(cid:93)(cid:447)(cid:37) CFE BEA(cid:93)(cid:114)(cid:127) = (cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:163)(cid:404)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:62)(cid:274)(cid:30)(cid:114)(cid:127)E(cid:168)BC(cid:71)(cid:123)(cid:291)(cid:93)CF(cid:262)
BE AB
△ ∽△
(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)(cid:141)(cid:179)(cid:76)(cid:365)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:45)(cid:20)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:121)(cid:123)E(cid:168)BC(cid:135)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)
EFC+ AEB=90°(cid:93) FEC+ EFC=90°(cid:93)
∵∠ ∠ ∠ ∠
CFE= AEB(cid:93)
∴∠(cid:168) CF∠E(cid:92) BEA(cid:71)(cid:93) CFE= AEB(cid:93) C= B=90°(cid:93)
∵ C△FE B△EA(cid:93) ∠ ∠ ∠ ∠
∴△ ∽△ CF CE
(cid:177)(cid:163)(cid:404)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:62)(cid:274)(cid:30)(cid:114)(cid:127)E(cid:168)BC(cid:71)(cid:123)(cid:291)(cid:93)CF(cid:262)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)(cid:246)(cid:291) = (cid:93)
BE AB
BE=CE=x−5(cid:93)
y x−5
(cid:113) = (cid:93)
x−5 5
y= 1 (x−5)2(cid:93)
5
∴4
(cid:304)y= (cid:291)(cid:93)(cid:251)(cid:405)(cid:76)(cid:365)(cid:120)
5
(cid:45)(cid:127)(cid:10)x =3((cid:223)(cid:224))(cid:93)x =7(cid:93)
1 2
BE=CE=2(cid:93)
∴BC=4(cid:93)AB=5(cid:93)
∴(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:99)4×5=20(cid:159)
∴(cid:117)(cid:118)(cid:10)A(cid:68)
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:163)(cid:404)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:123)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:245)(cid:28)(cid:74)(cid:75)(cid:29)(cid:391)(cid:392)(cid:93)(cid:107)(cid:20)
(cid:71)(cid:177)(cid:53)(cid:440)(cid:127)(cid:179)E(cid:99)BC(cid:71)(cid:123)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)7-2(cid:19)(cid:78)2023·(cid:294)(cid:206)(cid:448)(cid:387)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)1(cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93) C=90°(cid:93)BC=8(cid:93)(cid:123)D(cid:91)BC(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)(cid:194)(cid:71) ACD
BCA(cid:68)(cid:123)P(cid:327)BC(cid:311)(cid:123)C(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)B(cid:93)(cid:184)CP(cid:29)(cid:73)(cid:173)(cid:99)△x(cid:93)PA+P∠D=y(cid:93)(cid:53)2(cid:91)(cid:123)P(cid:204)(cid:56)(cid:291)y(cid:449)x(cid:119)(cid:83)(cid:29)(cid:3)(cid:44)(cid:53)△(cid:440)(cid:93)
∽(cid:125)△(cid:53)2(cid:71)(cid:61)(cid:450)(cid:123)M(cid:29)(cid:451)(cid:452)(cid:99)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)(3,4) B(cid:68)(2,2 5) C(cid:68)(3,2 5) D(cid:68)(2,4)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)B
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:93)(cid:149)(cid:150)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:29)(cid:63)(cid:23)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:177)(cid:20)(cid:53)2(cid:93)(cid:114)(cid:167)(cid:304)x=0(cid:93)(cid:113)P(cid:168)C(cid:123)(cid:291)(cid:93)AC+CD=6(cid:93)(cid:304)(cid:123)P(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)D(cid:291)(cid:93)y(cid:29)(cid:33)(cid:61)(cid:103)(cid:93)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:99)AD(cid:29)(cid:73)(cid:93)(cid:184)
AC CD m 6−m
AC=m(cid:93)(cid:125)CD=6−m(cid:93)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:127)(cid:179) = (cid:93)(cid:113) = (cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:32)(cid:179)m(cid:29)(cid:33)(cid:93)(cid:112)(cid:177)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
BC CA 8 m
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:177)(cid:20)(cid:53)2(cid:93)(cid:114)(cid:167)(cid:304)x=0(cid:93)(cid:113)P(cid:168)C(cid:123)(cid:291)(cid:93)AC+CD=6(cid:93)
PA+PD>AD(cid:93)
∵(cid:304)(cid:123)P(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)D(cid:291)(cid:93)y(cid:29)(cid:33)(cid:61)(cid:103)(cid:93)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:99)AD(cid:29)(cid:73)(cid:93)
∴(cid:184)AC=m(cid:93)(cid:125)CD=6−m(cid:93)
ACD BCA(cid:93)
∵A△C= CD
(cid:93)
∽△
(cid:113)
m
=
6−m
(cid:93)
BC CA 8 m
∴(cid:45)(cid:127)m=4(cid:78)(cid:453)(cid:33)(cid:166)(cid:223)(cid:224)(cid:86)(cid:93)
AC=4(cid:93) CD=2(cid:93)
∴AD= AC2+CD2= 42+22=2 5(cid:93)(cid:113)y=2 5(cid:93)
∴(cid:123)M(cid:29)(cid:451)(cid:452)(cid:99)(2,2 5)(cid:93)
∴(cid:117)(cid:118)(cid:10)B(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)7-3(cid:19)(cid:78)23-24(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:242)(cid:243)(cid:422)(cid:387)·(cid:419)(cid:42)(cid:148)(cid:420)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:241)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB DC(cid:93)DE AB(cid:93)CF AB(cid:93)(cid:380)(cid:381)
(cid:70)(cid:90)(cid:99)E(cid:124)F(cid:93)(cid:95)AE=EF=FB=5(cid:93)DE=12(cid:93)(cid:56)(cid:123)P(cid:311)(cid:123)C(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:327)C→B→A→D∥(cid:29)(cid:76)(cid:354)(cid:214)⊥(cid:403)(cid:454)1(cid:88)(cid:455)⊥(cid:352)(cid:73)(cid:173)(cid:29)
(cid:438)(cid:173)(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)D(cid:361)(cid:362)(cid:93)(cid:184)(cid:204)(cid:56)(cid:291)(cid:43)(cid:99)t(cid:454)(cid:93)y=S (cid:93)(cid:125)y(cid:36)t(cid:98)(cid:43)(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:116)(cid:441)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
CDP
△
A． B(cid:68)
C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)A
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:70)(cid:26)(cid:456)(cid:271)(cid:272)(cid:84)(cid:457)(cid:10)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)CB(cid:135)(cid:159)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)BA(cid:135)(cid:159)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)AD(cid:135)(cid:159)(cid:70)(cid:90)(cid:32)(cid:179)(cid:403)(cid:456)(cid:271)(cid:272)(cid:29)
(cid:54)(cid:55)(cid:120)(cid:113)(cid:114)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)CB(cid:135)(cid:291)(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:125)CP=t(cid:93)(cid:95)0≤t<13(cid:159)
(cid:190)(cid:123)P(cid:52)CD(cid:29)(cid:380)(cid:41)(cid:93)(cid:183)DC(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:67)(cid:123)G(cid:93)
AB DC(cid:93)DE AB(cid:93)CF AB(cid:93)
∵DE∥CF(cid:93) ⊥ ⊥
∴(cid:182)(cid:89)∥(cid:28)CDEF(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∴CF=DE=12(cid:93)CD=EF=5(cid:159)
(cid:177)∴ (cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:127)(cid:10)BC= CF2+BF2=13(cid:159)
AB CD(cid:93)
∵ B∥= BCG(cid:93)
∴∠ ∠G= CFB=90°(cid:93)
∵∠PG∠C CFB(cid:93)
∴P△G= CP
(cid:93)
∽△
CF BC
∴
12t
PG= (cid:93)
13
∴
y=S = 1 CD×PG= 30 t (0≤t<13)(cid:93)(cid:194)(cid:53)(cid:210)(cid:99)(cid:170)(cid:233)(cid:190)(cid:317)(cid:123)(cid:29)(cid:41)(cid:42)(cid:159)
PCD 2 13
∴ △
(cid:304)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)BA(cid:135)(cid:291)(cid:93)(cid:125)13≤t<28(cid:159)
(cid:246)(cid:291) PCD(cid:29)CD(cid:89)(cid:135)(cid:64)(cid:99)12(cid:93)(cid:113)y= 1 CD×CF=30(cid:93)(cid:246)(cid:291)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:210)(cid:99)(cid:69)(cid:193)x(cid:373)(cid:29)(cid:170)(cid:233)(cid:41)(cid:42)(cid:159)
2
△
(cid:304)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)AD(cid:135)(cid:291)(cid:93)
AE=BF(cid:93) DEA= CFB=90°(cid:93)DE=CF(cid:93)
∵ CFB ∠DEA(cid:93)∠
∴A△D=BC≌=△13(cid:93)
∴28≤t≤41(cid:93)(cid:95)PD=13×2+15−t=41−t(cid:159)
∴(cid:190)(cid:123)P(cid:52)CD(cid:29)(cid:380)(cid:41)(cid:93)(cid:183)CD(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:93)
12(41−t)
(cid:36)(cid:123)P(cid:168)(cid:41)(cid:42)CB(cid:135)(cid:271)(cid:272)(cid:458)(cid:176)(cid:24)(cid:284)(cid:93)(cid:127)PG= (cid:93)
13
y=S = 1 CD×PH= 30 (41−t) (28≤t≤41)(cid:93)(cid:194)(cid:53)(cid:210)(cid:99)(cid:170)(cid:233)(cid:41)(cid:42)(cid:159)
PCD 2 13
∴ △
(cid:125)(cid:123)y(cid:36)x(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:440)(cid:165)(cid:140)(cid:10)(cid:117)(cid:118)(cid:10)A(cid:68)
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:56)(cid:123)(cid:49)(cid:20)(cid:54)(cid:55)(cid:53)(cid:210)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)
(cid:4)(cid:158)(cid:70)(cid:459)(cid:460)(cid:60)(cid:68)
【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】
(cid:15)(cid:77)8(cid:19)2025·(cid:215)(cid:136)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:68)(cid:168)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB=6cm(cid:93)BC=8cm(cid:93)(cid:62)(cid:27)(cid:41)AC(cid:124)BD(cid:183)(cid:67)(cid:123)O(cid:68)(cid:123)P(cid:311)(cid:123)A
(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:327)AD(cid:76)(cid:354)(cid:437)(cid:438)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:438)(cid:173)(cid:99)1cm/s(cid:159)(cid:284)(cid:291)(cid:123)Q(cid:311)(cid:123)D(cid:179)(cid:400)(cid:327)DC(cid:76)(cid:354)(cid:437)(cid:438)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:438)(cid:173)(cid:99)1cm/s(cid:68)(cid:304)(cid:170)(cid:88)
(cid:123)(cid:361)(cid:362)(cid:204)(cid:56)(cid:291)(cid:93)(cid:316)(cid:170)(cid:88)(cid:123)(cid:461)(cid:361)(cid:362)(cid:204)(cid:56)(cid:68)(cid:171)(cid:172)PO(cid:94)(cid:219)(cid:73)(cid:183)BC(cid:67)(cid:123)E(cid:93)(cid:190)(cid:123)Q(cid:52)QF AC(cid:93)(cid:183)BD(cid:67)(cid:123)F(cid:68)(cid:184)(cid:204)(cid:56)
(cid:291)(cid:43)(cid:99)t(s)(0<t<6)(cid:68)(cid:121)(cid:462)(cid:89)(cid:28)OECQF(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)ACD(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:98)(cid:65)(cid:99)9:16(cid:93)(cid:125)∥t=
3
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)3(cid:305)
2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:127)(cid:128)AC=10(cid:93)(cid:190)(cid:123)O(cid:52)OH BC(cid:183)BC(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:166)(cid:167)BE=PD(cid:93)(cid:125)(cid:114)(cid:32) BOE
(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:159)(cid:114)(cid:37)(cid:127) DFQ DOC(cid:93)(cid:177)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:114)(cid:32)⊥(cid:127) DFQ(cid:29)(cid:74)(cid:75)(cid:93)(cid:311)(cid:231)(cid:114)(cid:32)(cid:462)(cid:89)(cid:28)OEC△QF(cid:29)
△ ∽△ 3 △
(cid:74)(cid:75)(cid:68)(cid:109)(cid:110)(cid:20)(cid:158)(cid:141)(cid:76)(cid:365)(cid:127)(cid:128)t=3(cid:305)t= (cid:93)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
2
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:127)AC= AB2+BC2= 62+82=10(cm).
1 △
OA= AC=5(cm).
2
∴
(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:190)(cid:123)O(cid:52)OH BC(cid:183)BC(cid:67)(cid:123)H(cid:93)
⊥
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵OB=OC(cid:93)
∴BH=CH(cid:93)
∴OH(cid:91) BCD(cid:29)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:93)
∴ △OH= 1 CD= 1 AB=3cm(cid:93)
2 2
∴
(cid:177)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:167) PDO= EBO(cid:93)DO=BO(cid:93)
(cid:195) DOP= BOE(cid:93)∠ ∠
∵D∠OP ∠BOE(ASA)(cid:93)
∴B△E=PD≌=△8−t(cid:93)
∴ (cid:125)S = 1 BEOH= 1 ×3(8−t)=12− 3 t(cid:93)
BOE 2 2 2
△ ⋅
FQ AC(cid:93)
∵ ∥ DQ t
DFQ DOC(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:65)(cid:99) = (cid:93)
DC 6
∴△
S DFQ= t
∽2
(cid:93)
△
S 36
△DOC
∴ △
S = 1 S = 1 ×6×8=12cm2(cid:93)
DOC 4 矩形ABCD 4
∵ △
S =12×
t2
=
t2
(cid:93)
DFQ 36 3
∴ △
S =S −S −S = 1 ×6×8− 12− 3 t − t2 =− 1 t2+ 3 t+12(cid:159)
五边形OECQF DBC BOE DFQ 2 2 3 3 2
∴ △ △ △
S(cid:36)t(cid:29)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:120)(cid:99)S=− 1 t2+ 3 t+12(cid:159)
3 2
∴
S = 1 ×6×8=24(cid:93)
ACD 2
∵ △
S :S = − 1 t2+ 3 t+12 :24=9:16(cid:93)
五边形OECQF ACD 3 2
∴ △
3
(cid:45)(cid:127)t=3(cid:93)(cid:305)t= (cid:93)
2
3
(cid:304)S :S =9:16(cid:291)(cid:93)t=3(cid:305) (cid:68)
五边形OECQF ACD 2
∴ △
3
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10)3(cid:305) (cid:68)
2
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:91)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:310)(cid:157)(cid:20)(cid:93)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:141)(cid:54)(cid:55)(cid:3)(cid:44)(cid:120)(cid:93)
(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:45)(cid:170)(cid:463)(cid:163)(cid:404)(cid:76)(cid:365)(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:29)(cid:249)(cid:90)
(cid:53)(cid:28)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)8-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:336)(cid:81)(cid:464)(cid:326)·(cid:164)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)ABC(cid:71)(cid:93)BC=8(cid:93)D(cid:91)BC(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)BD<
CD(cid:93)(cid:171)(cid:59)(cid:172)AD(cid:93)(cid:52)DE AD(cid:93)(cid:183)BC(cid:29)(cid:380)(cid:41)CE(cid:67)(cid:123)E(cid:68)(cid:171)(cid:172)AE(cid:93)(cid:183)BC(cid:67)F(cid:93)(cid:121)(cid:184)CF=x, CE=y(cid:93)(cid:168)D(cid:29)(cid:204)(cid:56)(cid:190)
(cid:365)(cid:71)(cid:93)(cid:140)(cid:141)(cid:251)(cid:55)(cid:120)(cid:29)(cid:33)(cid:155)⊥(cid:119)(cid:29)(cid:91)(cid:78) (cid:86)A(cid:68)x+y B(cid:68)xy C(cid:68)x2+y2 D(cid:68) 1 − 1
x y
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)D
4y
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:190)(cid:123)A(cid:52)AG BC(cid:67)(cid:123)G(cid:93)(cid:37)(cid:38) AGF ECF(cid:127)(cid:179)x= (cid:93)(cid:187)
y 4
⊥ △ ∽△ +
(cid:231)(cid:465)(cid:390)(cid:70)(cid:106)(cid:34)(cid:153)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:93)(cid:190)(cid:123)A(cid:52)AG BC(cid:67)(cid:123)G(cid:93)
⊥
(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)ABC(cid:71)(cid:93)BC=8(cid:93)
∵ AG= 1 BC=4(cid:93)
2
∴
(cid:195) CE BC
A∵G E⊥C
∴ A∥GF ECF
∴A△G= FG (cid:113) ∽△4 =4−x
CE FC y x
∴
4y
(cid:45)(cid:127)(cid:10)x=
y 4
x+y= 4y + + y= 4y y2 4y = y2 8y (cid:93)xy= 4y2 (cid:93)x2+y2= 4y 2 +y2= 16y2 +y2(cid:131)(cid:155)(cid:91)(cid:35)(cid:33)(cid:93)
y 4 y 4 y 4 y 4 y 4 y2 8y 16
+ + +
∴ + + + + + + +
1 − 1 = y 4 − 1 = y 4−4= 1 (cid:91)(cid:35)(cid:33)(cid:93)
x y 4y y 4y 4
+ +
∴
(cid:117)(cid:118)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)8-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:324)(cid:466)(cid:326)·(cid:26)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:166)(cid:167) ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93)AC=8(cid:93)BC=6(cid:93)(cid:123)M(cid:91)(cid:41)(cid:42)CB(cid:135)(cid:170)
(cid:56)(cid:123)(cid:93)(cid:190)(cid:123)M(cid:52)MN AM(cid:183)AB(cid:67)(cid:123)N(cid:93)(cid:304)(cid:123)M(cid:311)(cid:123)C△(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)B∠(cid:29)(cid:190)(cid:365)(cid:71)(cid:93)(cid:123)N(cid:401)(cid:190)(cid:29)(cid:446)(cid:467)(cid:73)(cid:91) (cid:68)
⊥20
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)
9
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:468)(cid:410)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:170)(cid:463)(cid:163)(cid:404)(cid:76)(cid:365)(cid:29)(cid:34)(cid:90)(cid:120)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:93)(cid:190)(cid:123)N(cid:52)NJ BC(cid:67)J(cid:93)
(cid:184)BN=y(cid:93)CM=x(cid:93)(cid:191)(cid:368)(cid:170)(cid:463)(cid:163)(cid:404)(cid:76)(cid:365)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:90)(cid:120)(cid:32)(cid:179)y(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)(cid:114)(cid:127)(cid:59)(cid:60)(cid:68)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:91)(cid:11)(cid:306)⊥(cid:22)(cid:23)(cid:367)(cid:55)
(cid:191)(cid:368)(cid:76)(cid:365)(cid:45)(cid:46)(cid:49)(cid:20)(cid:93)(cid:369)(cid:67)(cid:71)(cid:84)(cid:370)(cid:371)(cid:20)(cid:71)(cid:29)(cid:372)(cid:373)(cid:20)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:190)(cid:123)N(cid:52)NJ BC(cid:67)J(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:10)
⊥
(cid:184)BN=y(cid:93)CM=x(cid:93)
ACB=90°(cid:93)AC=8(cid:93)BC=6(cid:93)
∵A∠B= AC2+BC2= 82+62=10(cid:93)
∴NJ AC(cid:93)
∵ B∥NJ BAC(cid:93)
∴B△N= BJ = ∽N△J (cid:93)
AB CB AC
∴
y= BJ = NJ (cid:93)
10 6 8
∴
BJ= 3 y(cid:93)NJ= 4 y(cid:93)
5 5
∴
MJ(cid:469)BC−CM−BJ=6−x− 3 y(cid:93)
5
∴
C= AMN= NJM=90°(cid:93)
∵∠AM∠C+ NM∠J=90°(cid:93) NMJ+ MNJ=90°(cid:93)
∴∠AMC=∠MNJ(cid:93) ∠ ∠
∴∠ACM ∠ MJN(cid:93)
∴A△C= CM
(cid:93)
∽△
MJ NJ
∴ 8 = x (cid:93)
6−x− 3y 4y
5 5
∴x2+ 3 y−6 x+ 32 y=0(cid:93)
5 5
∴ Δ≥0(cid:93)
∵ 3 y−6 2 − 128 y≥0(cid:93)
5 5
∴ 9y2−820y+900≥0(cid:93)
∴(9y−10)(y−90)≥0(cid:93)
∴ 10
y≤ (cid:305)y≥90(cid:78)90>10=AB(cid:93)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:93)(cid:223)(cid:224)(cid:86)(cid:93)
9
∴
10
y≤ (cid:93)
9
∴
10
BN(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99) (cid:93)
9
∴(cid:304)(cid:123)M(cid:311)(cid:123)C(cid:204)(cid:56)(cid:128)(cid:123)B(cid:29)(cid:190)(cid:365)(cid:71)(cid:93)(cid:123)N(cid:401)(cid:190)(cid:29)(cid:446)(cid:467)(cid:73)(cid:91)2(cid:470)(cid:29)BN(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)
20
(cid:123)N(cid:401)(cid:190)(cid:29)(cid:446)(cid:467)(cid:73)(cid:91) (cid:93)
9
∴
20
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) (cid:68)
9
(cid:15)(cid:119)(cid:120)8-3(cid:19)(cid:78)24-25(cid:323)(cid:133)(cid:134)(cid:140)·(cid:336)(cid:81)(cid:337)(cid:338)·(cid:138)(cid:71)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93) ACB=90°(cid:93) B=30°(cid:93)AB=20(cid:68)(cid:123)P
(cid:311)(cid:123)B(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:214)(cid:403)(cid:454)2 3(cid:88)(cid:455)(cid:352)(cid:73)(cid:173)(cid:29)(cid:438)(cid:173)(cid:327)BC(cid:354)(cid:471)(cid:123)C(cid:204)△(cid:56)(cid:93)(cid:284)(cid:291)(cid:123)∠M(cid:311)(cid:123)A(cid:179)∠(cid:400)(cid:93)(cid:214)(cid:403)(cid:454)4(cid:88)(cid:455)(cid:352)(cid:29)
(cid:438)(cid:173)(cid:327)AB(cid:354)(cid:471)(cid:123)B(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:190)(cid:123)P(cid:52)PQ AB(cid:67)(cid:123)Q(cid:93)(cid:171)(cid:59)PQ(cid:93)(cid:214)PQ(cid:124)MQ(cid:99)(cid:472)(cid:89)(cid:52)(cid:245)(cid:28)PQMN(cid:93)(cid:304)(cid:123)P(cid:204)(cid:56)
(cid:128)(cid:471)(cid:123)(cid:291)(cid:93)(cid:253)(cid:88)(cid:204)(cid:56)(cid:361)(cid:362)(cid:93)(cid:123)P(cid:29)(cid:204)(cid:56)⊥(cid:291)(cid:43)(cid:99)t(cid:454)(cid:68)(cid:304)(cid:190)(cid:123)Q(cid:92)(cid:123)N(cid:29)(cid:178)(cid:41)(cid:380)(cid:178)(cid:67)Rt ABC(cid:29)(cid:170)(cid:89)(cid:291)(cid:93)t
= (cid:68) △
10
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)2(cid:305)
3
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:68)(cid:70)(cid:87)(cid:456)(cid:271)(cid:272)(cid:460)(cid:60)(cid:93)(cid:177)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:32)(cid:45)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:168)Rt PBQ(cid:71)(cid:93) PQB=90°(cid:93) B=30°(cid:93)PB=2 3t(cid:93)AB=20(cid:93)
PQ= 1 PB= 3t(cid:93)BQ △ =3t(cid:93)AC= 1∵ A ∠ B=10(cid:159) ∠
2 2
∴
(cid:177)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:127)(cid:10)BC= AB2−AC2=10 3(cid:159)(cid:123)M(cid:311)(cid:123)A(cid:179)(cid:400)(cid:93)(cid:214)(cid:403)(cid:454)4(cid:88)(cid:455)(cid:352)(cid:29)(cid:438)(cid:173)(cid:327)AB(cid:354)(cid:471)(cid:123)B(cid:204)(cid:56)(cid:93)
∵AM=4t(cid:93)
∴MQ=AB−AM−BQ=20−7t(cid:93)
∴(cid:182)(cid:89)(cid:28)PQMN(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵PN=QM=20−7t(cid:93)
∴(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:121)NQ AC(cid:93)
⊥
NQ CB(cid:93)
∴ B=∥ MQN(cid:93)
∴∠AC∠B= NMQ=90°(cid:93)
∵∠ABC ∠ NQM(cid:93)
∴A△C= MN
(cid:93)
∽△
BC MQ
∴
3= 3t (cid:93)
3 20−7t
∴ t=2(cid:159)
∴(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:121)NQ BC(cid:93)
⊥
NQ AC(cid:93)
∴ A=∥ BQN(cid:93)
∴∠AC∠B= QMN=90°(cid:93)
∵∠ACB ∠ QMN(cid:93)
∴B△C= MN
(cid:93)
∽△
AC MQ
∴3t
3= (cid:93)
7t−20
∴ 10
t= (cid:93)
3
∴
10
(cid:310)(cid:135)(cid:213)(cid:394)(cid:10)(cid:304)t=2(cid:305) (cid:291)(cid:93)(cid:190)(cid:123)Q(cid:92)(cid:123)N(cid:29)(cid:178)(cid:41)(cid:380)(cid:178)(cid:67)Rt ABC(cid:29)(cid:170)(cid:89)(cid:68)
3
△
10
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10)2(cid:305) (cid:68)
3
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】
(cid:15)(cid:77)9(cid:19)(cid:78)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:473)(cid:474)(cid:81)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93)AB=AC, BAC=90°(cid:93)M(cid:91)AC(cid:89)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)
CD BM(cid:183)BM(cid:29)(cid:67)(cid:123)D(cid:93)E(cid:99)DC(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)(cid:95)△CE=BD(cid:93)N(cid:91)BE(cid:71)∠(cid:123)(cid:93)(cid:171)(cid:172)AE,AN(cid:93)(cid:140)(cid:141)(cid:59)(cid:60)(cid:71)(cid:10) CEA
=45⊥°(cid:159) AN BD(cid:159) (cid:121)AC=CM(cid:93)(cid:125)AE=2 2CD(cid:159) CD=2AN(cid:159) AC2=AEAF(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:475)(cid:9)(cid:91)(cid:78) ① (cid:86)∠
② ∥ ③ ④ ⑤ ⋅
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)①A②③④⑤ ①②⑤ ③④⑤ ①②④⑤
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:109)(cid:110)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:87)(cid:348)(cid:27)(cid:476)(cid:477)(cid:127)(cid:179) MCD= ECA= ABD(cid:93)(cid:22)(cid:23)SAS(cid:37)(cid:38) ECA DBA(cid:93)(cid:127)(cid:179)AE=AD(cid:93)
CAE= DAB(cid:93) CEA= ADB(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:179) ∠(cid:154)(cid:111)(cid:93)∠(cid:109)(cid:110) C∠EA=45°(cid:93)DE BM(cid:37)(cid:38)△AE=A≌P△(cid:93)AD PE(cid:93)(cid:127)(cid:179)DE=
P∠D(cid:93)PB∠=CD(cid:93)(cid:109)∠(cid:110)(cid:71)(cid:352)∠(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:179)① (cid:154)(cid:111)(cid:93)(cid:109)∠(cid:110)AQ BM(cid:93)DE⊥BM(cid:93)(cid:37)(cid:38) MCD ⊥MAQ(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:59)(cid:157)AC=CM(cid:127)(cid:179)AQ=2②CD④(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)⊥(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)⊥(cid:127)(cid:179) (cid:154)(cid:111)△(cid:93)(cid:109)(cid:110)∽△CEA= ABF
=45°(cid:93) CAE= DAB(cid:93)(cid:37)(cid:38) CEA BFA(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:179) (cid:154)③(cid:111)(cid:93)(cid:310)(cid:135)(cid:113)(cid:114)∠(cid:127)(cid:104)(cid:105)∠(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)∠(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:165)∠(cid:53)(cid:93)(cid:190)(cid:123)A(cid:52)△AQ ∽B△M(cid:67)Q(cid:93)(cid:219)(cid:73)EA(cid:183)MB(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:67)P(cid:93) ⑤
⊥BAC=90°(cid:93)CD BM(cid:93)
∵∠AMB+ ABM= ⊥AMB+ MCD=90°(cid:93)
∴∠MCD=∠ECA=∠ABD(cid:93)∠
∴∠ ∠ ∠
CE=BD
(cid:168) ECA(cid:92) DBA(cid:71)(cid:93) ECA= ABD(cid:93)
AC=AB
△ △ ∠ ∠
ECA DBA(cid:93)
∴A△E=AD≌(cid:93)△ CAE= DAB(cid:93) CEA= ADB(cid:93)
∴ CEA= A ∠ DE= A ∠ DB= 1 E ∠ DB=45 ∠ °(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:93)
2
∴∠ ∠ ∠ ∠ ①
CEA=45°(cid:93)DE BM(cid:93)
∵∠P=45°(cid:93)DE=PD⊥(cid:93)
∴A∠E=AP(cid:93)AD PE(cid:93)
∴CE=BD(cid:93) ⊥
∵DE−CE=PD−BD(cid:93)(cid:113)PB=CD(cid:93)
∴N(cid:91)BE(cid:71)(cid:123)(cid:93)
∵ AN BD(cid:93)AN= 1 PB= 1 CD(cid:93)(cid:113)CD=2AN(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:93)
2 2
∴ ∥ ②④
AQ BM(cid:93)DE BM(cid:93)
∵AQ⊥DE(cid:93) ⊥
∴ M∥CD MAQ(cid:93)
∴△CD= CM
(cid:93)
∽△
AQ AM
∴
AC=CM(cid:93)
∵AQ=2CD(cid:93)
∴ADQ=45°(cid:93)AQ BM(cid:93)
∵∠ADQ(cid:91)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)⊥(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∴A△D= 2AQ=2 2CD(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:93)
∴ CEA= ABF=45°(cid:93) CA③E= DAB(cid:93)
∵∠CEA ∠ BFA(cid:93) ∠ ∠
∴A△C= AE
(cid:93)
∽△
AF AB
∴
AB=AC(cid:93)
∵AC2=AEAF(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:93)
∴(cid:310)(cid:135)(cid:213)(cid:394)(cid:10)⋅ (cid:154)(cid:111)(cid:29)⑤(cid:59)(cid:60)(cid:262) (cid:68)
(cid:117)(cid:118)(cid:10)A(cid:68) ①②③④⑤
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:71)(cid:352)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:293)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:3)(cid:30)(cid:31)(cid:293)(cid:34)(cid:35)(cid:35)(cid:176)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)9-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:478)(cid:479)(cid:480)·(cid:26)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)(cid:245)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AB:BC=2:3(cid:93)(cid:123)E(cid:93)F(cid:70)(cid:90)(cid:168)(cid:89)AB(cid:93)BC(cid:135)(cid:93)
EF(cid:183)(cid:67)(cid:123)G(cid:93)(cid:121)G(cid:91)EF(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)(cid:140)(cid:141)(cid:182)(cid:88)(cid:59)(cid:60)(cid:71)(cid:10) AB2+BC2=BD2(cid:159) BG= 1 EF(cid:159) ADB= BFE(cid:159) AE
2
① ② ③∠ ∠ ④
:CF=2:3(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:29)(cid:91) (cid:78)(cid:370)(cid:475)(cid:9)(cid:113)(cid:114)(cid:86)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)①(cid:171)(cid:172)②A③C(cid:93)④(cid:109)(cid:110)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:38) (cid:159)(cid:109)(cid:110)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:349)(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:91)(cid:349)(cid:89)(cid:29)(cid:170)(cid:395)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:38) (cid:159)(cid:109)
① HE EB ②
(cid:110)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:92)(cid:66)(cid:89)(cid:62)(cid:66)(cid:27)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:153) (cid:159)(cid:52)EH AD(cid:183)BD(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:125) BEH BAD(cid:93)(cid:213)(cid:214) = (cid:93)(cid:177)AB:BC
DA AB
③ ∥ △ ∽△
=2:3(cid:93)(cid:125)HE= DA·EB =6(cid:93)(cid:112)(cid:37)(cid:38) BGF GHE(AAS)(cid:93)(cid:127)BF=HE= 3 EB(cid:93)(cid:37)(cid:38) EBF ABC(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:70)(cid:41)
AB 2
△ ≌△ △ ∽△
(cid:42)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:38) .
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:171)(cid:172)AC ④
(cid:245)(cid:28)ABCD
∵ ABC=90°
∴A∠B2+BC2=AC2(cid:93)AC=BD
∵AB2+BC2=BD2(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴G(cid:91)EF(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93) ①
∵ BG= 1 EF(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
2
∴ ②
BG=EG=GF(cid:93)
∴ DBF= BFE
∴A∠D BC∠
∵ AD∥B= DBF
∴∠ADB=∠BFE(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
(cid:52)∴∠EH AD∠(cid:183)BD(cid:67)(cid:123)③H(cid:93)(cid:125) BEH BAD(cid:93)
∥ △ ∽△
HE= EB (cid:93)
DA AB
∴
AB:BC=2:3(cid:93)AD=BC
∵AB:AD=2:3
∴HE= 3 EB(cid:93)
2
∴
BC AD(cid:93)EH AD(cid:93)
∵BC∥EH(cid:93) ∥
∴ G∥BF= GHE(cid:93) GFB= GEH(cid:93)
∴G∠ (cid:91)EF∠(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)∠ ∠
∵GF=GE(cid:93)
∴ BGF GHE(AAS)(cid:93)
∴ B △ F=HE ≌ = △3 EB(cid:93)
2
∴
(cid:113)EB:BF=2:3
AB:BC=2:3
∵ EBF ABC
∴E△F AC∽△
∴ ∥AE:CF=EB:BF=2:3(cid:93)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) . ④
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)①(cid:84)②(cid:108)③(cid:146)④(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:349)(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:93)(cid:247)
(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:70)(cid:41)(cid:42)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:432)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152).
(cid:15)(cid:119)(cid:120)9-2(cid:19)(cid:78)2025·(cid:180)(cid:181)(cid:73)(cid:481)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93) DBC=45°(cid:93)DE BC(cid:67)(cid:123)E(cid:93)BF CD(cid:67)
(cid:123)F(cid:93)(cid:95)DE(cid:124)BF(cid:183)(cid:67)(cid:123)H(cid:93)AD(cid:124)BF(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:183)(cid:67)(cid:123)G(cid:68) ∠ ⊥ ⊥
A+ EDC=90°(cid:159) BG(cid:69)(cid:70) DBC(cid:159) ABG HEB(cid:93) (cid:121)FC=2DF(cid:93)(cid:125)S =11S (cid:93) (cid:121)(cid:123)F
四边形ABCD DFG
①(cid:99)D∠C(cid:71)∠(cid:123)(cid:93)(cid:125)BE=(②2+1)CE ∠ ③△ ∽△ ④ △ ⑤
(cid:125)(cid:135)(cid:394)(cid:59)(cid:60)(cid:154)(cid:111)(cid:29)(cid:91) (cid:68)(cid:78)(cid:370)(cid:475)(cid:9)(cid:113)(cid:114)(cid:86)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)①(cid:69)(cid:193)③(cid:182)⑤(cid:89)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:189)(cid:179) A+ ADC=180°(cid:93)DE BC(cid:93)(cid:189)(cid:179)DE AD(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:127)(cid:128) ADE=90°(cid:93)(cid:127)(cid:128) A+
EDC= A+ ADC− ADE=90°(cid:93)(cid:34)(cid:153)∠ (cid:93)∠(cid:482)(cid:143)(cid:34)(cid:153)BG(cid:69)(cid:70)⊥ DBC(cid:93)(cid:34)(cid:153)⊥ (cid:93)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:29)(cid:30)∠(cid:31)(cid:93)(cid:380)(cid:178)(cid:189)(cid:179) G=∠ ∠
EBH(cid:93)∠ AB∠G= BE∠H=90°(cid:93)(cid:127)(cid:128) AB①G HEB(cid:37)(cid:38) (cid:93)(cid:37)∠(cid:38) DFG ②CFB(cid:93)(cid:127)(cid:128)S =4S (cid:93)(cid:284)∠(cid:64)(cid:26)∠(cid:27)
CFB DFG
(cid:28)(cid:29)(cid:74)∠(cid:75)(cid:65)(cid:66)(cid:67)∠(cid:321)(cid:89)(cid:65)(cid:32)(cid:179)S △=S ∽△+S =6S③ (cid:93)(cid:187)△(cid:231)(cid:127)(cid:128)∽S△ =2S △=12S △(cid:93)(cid:34)(cid:153) (cid:93)(cid:71)
BDC BDF CDF DFG ABCD BDC DFG
(cid:123)(cid:308)(cid:380)(cid:178)(cid:189)(cid:179)BD=BC(cid:93)(cid:37)(cid:38) △BED(cid:99)△(cid:66)(cid:174)(cid:178)△(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)△(cid:93)(cid:127)(cid:128)BD= 2BE▱(cid:93)(cid:187)(cid:231)(cid:189)△(cid:179)CE=BC△ −BE=( 2−1)④BE(cid:93)
(cid:34)(cid:153) (cid:68) △
(cid:15)(cid:115)⑤(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) (cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:93)
AB CD,AD B∵C(cid:93)
∴ A∥+ ADC=∥180°(cid:93)
∴D∠E ∠BC(cid:93)
∵DE⊥AD(cid:93)
∴ AD⊥E=90°(cid:93)
∴∠A+ EDC= A+ ADC− ADE=90°(cid:159)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
(cid:233)∴∠(cid:234)(cid:155)∠(cid:381)(cid:93)(cid:155)∠(cid:196)(cid:127)∠(cid:128)BG(cid:69)∠(cid:70) DBC(cid:159)(cid:117)①(cid:144)(cid:145)(cid:159)
AB CD,AD BC(cid:93)BF CD(cid:93)∠ ②
∵ ∥ ∥ ⊥BF AB, G= EBH(cid:93)
∴DE⊥BC(cid:93)∠ ∠
∵ AB⊥G= BEH=90°(cid:93)
∴∠ABG ∠ HEB(cid:159)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴A△D BC∽(cid:93)△ ③
∵ D∥FG CFB(cid:93)
∴F△C=2D∽F△(cid:93)
2
∵ S :S = DF = 1 (cid:93)
DFG CFB CF 4
∴ S △ =4 △ S (cid:93)
CFB DFG
∴F△C=2DF(cid:93)△
∵ S = 1 S =2S (cid:93)
BFD 2 BCF DFG
∴ △ △ △
S =S +S =6S (cid:93)
BDC BDF CDF DFG
∴S △ =△2S △=12S △(cid:159)(cid:117) (cid:144)(cid:145)(cid:159)
ABCD BDC DFG
∴(cid:123)▱F(cid:99)DC(cid:71)△(cid:123)(cid:93)BF △CD(cid:93) ④
∵BD=BC(cid:93) ⊥
∴ DBC=45°(cid:93)DE BC(cid:93)
∵∠BED(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)⊥(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∴B△D= 2BE(cid:93)
∴BC= 2BE(cid:93)
∴CE=BC−BE=( 2−1)BE(cid:93)
∴BE= CE =( 2+1)CE(cid:159)(cid:117) (cid:154)(cid:111)(cid:159)
2−1
∴ ⑤
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)①(cid:20)(cid:84)③(cid:108)⑤(cid:69)(cid:193)(cid:182)(cid:89)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)
(cid:176)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:3)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:93)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:15)(cid:119)(cid:120)9-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:483)(cid:216)(cid:254)(cid:484)·(cid:164)(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)(cid:154)(cid:76)(cid:28)ABCD(cid:71)(cid:93)AD=6,E(cid:99)AD(cid:89)(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)DE= 1 AD,F(cid:99)AB
3
(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:135)(cid:170)(cid:123)(cid:93)BF=DE(cid:93)(cid:171)(cid:172)EF(cid:93)(cid:183)(cid:62)(cid:27)(cid:41)BD(cid:67)(cid:123)O(cid:68)(cid:214)(cid:140)(cid:59)(cid:60)(cid:10) CEF(cid:91)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:159) OED
OFB(cid:159) OD=2OB(cid:159) OC=2 5(cid:68)(cid:194)(cid:71)(cid:93)(cid:154)(cid:111)(cid:59)(cid:60)(cid:29)(cid:88)(cid:55)(cid:91)(cid:78) (cid:86) ①△ ②△ ∽△
③ ⑤A(cid:68)1 B(cid:68)2 C(cid:68)3 D(cid:68)4
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)C
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:22)(cid:23)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)
(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:62)(cid:403)(cid:88)(cid:59)(cid:60)(cid:187)(cid:193)(cid:465)(cid:170)(cid:34)(cid:153)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:179)(cid:59)(cid:60)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:184)EF(cid:36)BC(cid:183)(cid:67)(cid:123)G(cid:93)(cid:190)(cid:123)E(cid:52)EH AD(cid:183)BD(cid:67)(cid:123)H(cid:93)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:10)
⊥
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:93)
∵CD=CD(cid:93) CDE= CBF=90°(cid:68)
∴(cid:168) CDE(cid:92)∠CBF(cid:71)∠(cid:93)
△ △
CD=CB
CDE= CBF(cid:93)
DE=BF
∠ ∠
CDE CBF(SAS)(cid:93)
∴△CE=CF≌(cid:93)△
∴ CEF(cid:91)(cid:66)(cid:174)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:68)
∴△ (cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴(cid:182)①(cid:89)(cid:28)ABCD(cid:99)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:93)
∵ ADB= ABD=45°(cid:93)
∴∠DOE=∠BOF(cid:93) BFO≠45°(cid:93)
∵∠OED(cid:92)∠ OFB(cid:155)∠(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∴△ (cid:29)(cid:59)(cid:60)△(cid:155)(cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴②DE= 1 AD(cid:93)BF=DE(cid:93)AB=AD(cid:93)
3
∵
BF= 1 AB(cid:93)AE= 2 AB(cid:93)
3 3
∴
BF= 1 (cid:68)
FA 4
∴
BC AD(cid:93)
∵ F∥BG FAE(cid:93)
∴B△G= BF = ∽1 (cid:93) △
AE AF 4
∴
BG= 1 AE= 1 AB(cid:93)
4 6
∴
BE= 1 DE(cid:68)
2
∴
AD BC(cid:93)
∵ O∥DE OBG(cid:93)
∴△OD= DE = ∽ 2 △ (cid:93)
OB BG
∴
OD=2OB(cid:68)
∴ (cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:154)(cid:111)(cid:159)
∴③ADB=45°(cid:93)
∵∠DEH(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∴D△E=EH(cid:93)
∴EH=BF(cid:68)
∴EH AD(cid:93)AB AD(cid:93)
∵EH⊥AB(cid:93) ⊥
∴ H∥EO BFO(cid:93)
∴E△O= EH = ∽ 1 △ (cid:93)
FO BF
∴
OE=OF(cid:68)
∴(cid:177) (cid:167)(cid:10) CDE CBF(cid:93)
C①E=CF(cid:93)△ DCE≌=△BCF(cid:93)
∴ ECF= E∠CB+ B∠CF= ECB+ DCE= DCB=90°(cid:93)
∴∠ECF(cid:99)∠(cid:66)(cid:174)(cid:178)∠(cid:27)(cid:26)(cid:27)∠(cid:28)(cid:93) ∠ ∠
∴△OC EF(cid:93)
∴ O⊥CE(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
∴△
OC= 2CE(cid:68)
2
∴
AD=6(cid:93)DE= 1 AD(cid:93)
3
∵
DE=2(cid:93)
∴CE= DE2+CD2=2 10(cid:93)
∴ OC= 2×2 10=2 5(cid:68)
2
∴ (cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:154)(cid:111)(cid:68)
∴(cid:154)④(cid:111)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:91)(cid:10) (cid:68)
(cid:117)∴ (cid:118)(cid:10)C(cid:68) ①③④
(cid:15)(cid:123)(cid:130)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:225)(cid:66)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)(cid:69)(cid:193)(cid:41)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:154)(cid:76)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:77)10(cid:19)(cid:78)2025·(cid:160)(cid:161)(cid:485)(cid:295)·(cid:163)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93) ABC ADE, BAC= DAE=90°,AB=6,AC=8,F(cid:99)DE(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)(cid:121)(cid:123)D
(cid:168)(cid:178)(cid:41)BC(cid:135)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:171)(cid:172)CF(cid:93)(cid:125)(cid:168)(cid:123)D(cid:204)△(cid:56)(cid:190)(cid:365)∽(cid:71)△(cid:93)(cid:41)(cid:42)∠CF(cid:29)(cid:61)∠(cid:103)(cid:33)(cid:91)(cid:78) (cid:86)
A(cid:68)2.4 B(cid:68)3 C(cid:68)4 D(cid:68)4.8
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)C
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:349)(cid:89)(cid:135)(cid:71)(cid:41)(cid:66)(cid:67)(cid:349)(cid:89)(cid:29)(cid:170)(cid:395)(cid:93)(cid:247)(cid:248)(cid:35)(cid:176)(cid:93)
(cid:74)(cid:75)(cid:143)(cid:93)(cid:486)(cid:128)(cid:298)(cid:32)CF(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:33)(cid:221)(cid:238)(cid:99)(cid:32)DE(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:93)(cid:433)(cid:486)(cid:128)(cid:171)(cid:172)CE(cid:37)(cid:38) DCE=90°(cid:93)(cid:32)DE(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:125)(cid:63)
(cid:487)(cid:32)AD(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:93)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68) ∠
(cid:171)(cid:172)CE(cid:298)AC(cid:36)DE(cid:29)(cid:183)(cid:123)(cid:435)(cid:99)G(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:187)(cid:193)(cid:27)(cid:173)(cid:221)(cid:238)(cid:37)(cid:38) DCE=90°(cid:93)F(cid:91)DE(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)
(cid:114)(cid:127)CF= 1 DE(cid:93)(cid:112)(cid:109)(cid:110)(cid:304)AD BC(cid:291)(cid:93)AD(cid:61)(cid:488)(cid:93)(cid:246)(cid:291)DE(cid:61)(cid:488)(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ∠ (cid:74)(cid:75)(cid:214)(cid:293)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)
2
⊥
(cid:32)(cid:127)DE(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:93)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:179)CF(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:68)
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:171)(cid:172)CE(cid:298)AC(cid:36)DE(cid:29)(cid:183)(cid:123)(cid:435)(cid:99)G(cid:93)ABC ADE(cid:93)
ACD= AEG(cid:93) ∵△ ∽△
∴∠AGE=∠DGC(cid:93)
∵∠AGE ∠ DGC(cid:93)
∴△AG
=
EG
(cid:93)
∽△
DG GC
∴
AGD= EGC(cid:93)
∵∠AGD ∠ EGC(cid:93)
∴△ADG=∽△ECG(cid:93)
∴∠Rt ADE∠(cid:71)(cid:93) ADG+ AEG=90°(cid:93)
∵ E△CG+ ACD∠=90°(cid:93)(cid:113)∠ DCE=90°(cid:93)
∴F∠(cid:91)DE(cid:29)∠ (cid:71)(cid:123)(cid:93) ∠
∵ CF= 1 DE(cid:93)
2
∴
ABC ADE(cid:93)
∵A△D= DE∽△
AB BC
∴
(cid:168)Rt ABC(cid:71)(cid:93) BAC=90°,AB=6,AC=8,
BC=△ AB2+AC2∠=10(cid:93)
∴AD= DE (cid:93)(cid:113)DE= 5 AD(cid:93)
6 10 3
∴
(cid:304)AD BC(cid:291)(cid:93)AD(cid:61)(cid:488)(cid:93)(cid:246)(cid:291)DE(cid:461)(cid:61)(cid:488)(cid:93)
∴ (cid:304)AD ⊥ BC(cid:291)(cid:93)S = ADBC = ABAC (cid:93)
ABC 2 2
⋅ ⋅
⊥ △
AD= 6×8 = 24 (cid:93)
10 5
∴
DE= 5 AD=8(cid:93)
3
∴
CF= 1 DE=4(cid:93)
2
∴
(cid:113)(cid:41)(cid:42)CF(cid:29)(cid:61)(cid:103)(cid:33)(cid:91)4(cid:68)
(cid:117)(cid:118)C(cid:68)(cid:15)(cid:119)(cid:120)10-1(cid:19)(cid:78)2025·(cid:81)(cid:324)(cid:489)(cid:490)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93) ABC=90°(cid:93)AB=BC=8(cid:93)P(cid:91)(cid:41)(cid:42)BC(cid:169)(cid:170)(cid:56)(cid:123)(cid:93)
BP=6(cid:93)(cid:171)(cid:172)CP(cid:93)(cid:298)(cid:41)(cid:42)CP(cid:299)(cid:123)P(cid:359)(cid:291)(cid:301)(cid:302)(cid:221)90°△(cid:127)(cid:128)(cid:41)(cid:42)D∠P(cid:93)(cid:171)(cid:172)BD(cid:93)(cid:125)BD(cid:29)(cid:73)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99) (cid:68)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)6 2+8/8+6 2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:45)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:92)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:76)(cid:143)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)
(cid:152)(cid:68)(cid:304)(cid:123)D(cid:168)BA(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:135)(cid:291)(cid:78)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:86)(cid:93)BD(cid:29)(cid:73)(cid:173)(cid:379)(cid:127)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:93)(cid:112)(cid:177) ABC, CDP(cid:434)(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)
BC PC △ △
(cid:28)(cid:93)(cid:114)(cid:127) = (cid:93)(cid:114)(cid:37) BCP ACD(cid:93)(cid:109)(cid:110)(cid:62)(cid:63)(cid:89)(cid:151)(cid:65)(cid:77)(cid:45)(cid:20)(cid:113)(cid:114)(cid:68)
AC CD
△ ∽△
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:171)(cid:172)AD,CD(cid:93)
BD≤AB+AD(cid:93)
∵(cid:304)(cid:123)D(cid:168)BA(cid:29)(cid:219)(cid:73)(cid:41)(cid:135)(cid:291)(cid:78)(cid:165)(cid:53)(cid:213)(cid:252)(cid:86)(cid:93)BD(cid:29)(cid:73)(cid:173)(cid:379)(cid:127)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:68)
∴(cid:177)(cid:20)(cid:158)(cid:127)(cid:10) ABC, CDP(cid:434)(cid:99)(cid:66)(cid:174)(cid:178)(cid:27)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:93)
ACB= D△CP=45°△(cid:93)
∴∠ACB−∠ACP= DCP− ACP(cid:93)
(cid:113)∴∠ PCB=∠ DCA(cid:93)∠ ∠
c ∠ os ACB ∠ = BC = 2,cos DCP= PC = 2 (cid:93)
AC 2 CD 2
∵ BC= ∠ PC (cid:93) ∠
AC CD
∴
BCP ACD(cid:93)
∴△ BP= BC = ∽△2 (cid:93)
AD AC 2
∴BP=6(cid:93)
∵AD=6 2(cid:93)
∴AB=BC=8(cid:93)
∵BD(cid:29)(cid:73)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99)6 2+8(cid:68)
∴(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10)6 2+8
(cid:15)(cid:119)(cid:120)10-2(cid:19)(cid:78)24-25(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)·(cid:483)(cid:216)(cid:491)(cid:490)·(cid:138)(cid:71)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93) ABC ADE(cid:93) BAC= DAE=90°(cid:93)AB=2(cid:93)AC=
5(cid:93)(cid:123)D(cid:168)(cid:41)(cid:42)BC(cid:135)(cid:204)(cid:56)(cid:93)(cid:123)P(cid:99)(cid:41)(cid:42)DE(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)(cid:168)(cid:123)D△(cid:29)(cid:204)(cid:56)∽△(cid:190)(cid:365)(cid:71)(cid:93)∠CP(cid:29)(cid:61)∠(cid:103)(cid:33)(cid:91)
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19) 5 / 1 5
2 2
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:293)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:349)(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:71)(cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:147)(cid:492)(cid:204)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:368)
(cid:357)(cid:65)(cid:33)(cid:3)(cid:44)(cid:91)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)
(cid:22)(cid:23) ABC ADE(cid:93) BAC= DAE=90°(cid:93)(cid:34)(cid:35)(cid:179) ABD ACE(cid:93)(cid:198)(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:114)(cid:127)(cid:128) ACE+ ACB
=90°= △ ECD ∽ (cid:93) △ (cid:177)P(cid:99)(cid:41) ∠ (cid:42)DE(cid:29) ∠ (cid:71)(cid:123)(cid:189)(cid:179)CP= 1 DE △ (cid:93)(cid:112)(cid:22) ∽ (cid:23) △ (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:33)(cid:3)(cid:44)(cid:32)(cid:179)DE(cid:29)(cid:73)(cid:113) ∠ (cid:114)(cid:68) ∠
2
∠
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:45)(cid:10) ABC ADE(cid:93)
AB= AC = BC (cid:93) ∵△ ∽△
AD AE DE
∴
AB= AD (cid:93)
AC AE
∴
BAC= DAE=90°(cid:93)
∵∠BAC−∠DAC= DAE− DAC(cid:93) ABD+ ACB=90°(cid:93)
∴∠BAD=∠CAE(cid:93)∠ ∠ ∠ ∠
∴∠ABD ∠ ACE(cid:93)
∴△ABD=∽△ACE(cid:93)
∴∠ABD+∠ACB=90°(cid:93)
∵∠ACE+∠ACB=90°= ECD(cid:93)
∴P∠(cid:99)(cid:41)(cid:42)∠DE(cid:29)(cid:71)(cid:123)(cid:93)∠
∵ CP= 1 DE(cid:93)
2
∴
(cid:304)DE(cid:61)(cid:103)(cid:291)CP(cid:61)(cid:103)(cid:93)
∴ (cid:195) DE= AD (cid:93)
BC AB
∵AD
DE=BC× (cid:93)BC(cid:36)AB(cid:131)(cid:99)(cid:35)(cid:33)(cid:93)(cid:113)AD(cid:61)(cid:103)(cid:291)(cid:93)DE(cid:61)(cid:103)(cid:93)(cid:125)AD BC(cid:291)(cid:156)(cid:157)(cid:20)(cid:158)(cid:93)AD(cid:99)BC(cid:89)(cid:135)(cid:29)(cid:64)(cid:93)
AB
∴ ⊥
2
(cid:168)Rt BAC(cid:71)(cid:93)AB=2(cid:93)AC= 5(cid:93)(cid:125)(cid:10)BC= AB2+AC2= 22+( 5) =3(cid:93)
△
S = 1 AB×AC= 1 BC×AD(cid:93)(cid:113)(cid:10) 1 ×2× 5= 1 ×3×AD(cid:93)
ABC 2 2 2 2
∵ △
2 5
(cid:45)(cid:127)(cid:10)AD= (cid:93)
3
2 5
AD
DE=BC× =3× 3 = 5
AB 2
∴ CP= 1 DE= 1 × 5= 5 (cid:159)
2 2 2
∴
5
(cid:117)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:10) (cid:68)
2
(cid:15)(cid:119)(cid:120)10-3(cid:19)(cid:78)2025·(cid:493)(cid:136)(cid:494)(cid:387)·(cid:170)(cid:164)(cid:86)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168) ABC(cid:71)(cid:93)AC=3(cid:93)BC=6(cid:93)(cid:214)AB(cid:99)(cid:89)(cid:354)(cid:135)(cid:52)(cid:245)(cid:28)ABDE(cid:93)(cid:62)(cid:27)
(cid:41)AD(cid:36)BE(cid:24)(cid:183)(cid:67)(cid:123)O(cid:93)(cid:95) AOE=60°(cid:93)(cid:171)(cid:172)OC(cid:93)△(cid:125)OC(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99) (cid:68)
∠
(cid:15)(cid:104)(cid:105)(cid:19)3 3
(cid:15)(cid:70)(cid:106)(cid:19)(cid:107)(cid:20)(cid:208)(cid:209)(cid:84)(cid:108)(cid:146)(cid:66)(cid:89)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:124)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:66)(cid:167)(cid:249)(cid:123)(cid:93)(cid:11)(cid:306)(cid:307)(cid:308)
(cid:309)(cid:23)(cid:200)(cid:201)(cid:41)(cid:93)(cid:191)(cid:192)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:151)(cid:99)(cid:45)(cid:20)(cid:29)(cid:3)(cid:152)(cid:68)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)AC(cid:29)(cid:495)(cid:496)(cid:379)(cid:170)(cid:123)J(cid:93)(cid:236)(cid:127)JA=JC(cid:93) AJC=120°(cid:93)(cid:171)
∠
3
(cid:172)AJ,JC,OJ,(cid:190)(cid:123)J(cid:52)JH AC(cid:67)(cid:123)H(cid:68)(cid:232)(cid:392)(cid:179)JH= (cid:93)(cid:250)(cid:222)(cid:109)(cid:110)(cid:245)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:127)OA=OB(cid:93)(cid:112)(cid:37)(cid:38) CAB
2
⊥ △ ∽△
JAO(cid:93)(cid:112)(cid:59)(cid:157)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:93)(cid:141)(cid:120) OJ = JA = 3 (cid:93)(cid:113)JO=2 3(cid:93)(cid:187)(cid:193)(cid:45)(cid:104)(cid:68)
BC AC 3
(cid:15)(cid:115)(cid:45)(cid:19)(cid:165)(cid:53)(cid:93)(cid:168)AC(cid:29)(cid:495)(cid:496)(cid:379)(cid:170)(cid:123)J(cid:93)(cid:236)(cid:127)JA=JC(cid:93) AJC=120°
∠
(cid:68)
(cid:171)(cid:172)AJ,JC,OJ,(cid:190)(cid:123)J(cid:52)JH AC(cid:67)(cid:123)H(cid:68)
AC=3(cid:93) ⊥
∵3
AH=CH= (cid:68)
2
∴
AJC=120°(cid:93)
∵∠JAH= JCH=30°(cid:93)
∴∠CJ=2JH∠(cid:93)
∴CJ = 3(cid:93)
∴
3
(cid:125)JH= (cid:68)
2
(cid:182)(cid:89)(cid:28)ABDE(cid:91)(cid:245)(cid:28)(cid:93)
∵OA=OB(cid:68)
∴ AOE=60°(cid:93)
∵∠AOB=120°(cid:93)
∴∠OAB= OBA=30°(cid:93)
∴∠CAJ=∠BAO(cid:93)
∴∠CAB=∠JAO(cid:68)
∴∠
AJ = AO =
∠3
(cid:93)
AC AB 3
∵
CAB JAO(cid:93)
∴△
OJ = JA =
∽△3
(cid:93)
BC AC 3
∴
JO=2 3(cid:68)
∴OC≤JO+JC=2 3+ 3=3 3(cid:93)
∵OC(cid:29)(cid:61)(cid:116)(cid:33)(cid:99)3 3(cid:68)
∴