文档文本内容
专题 1.8 等腰三角形（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:25)(cid:19)............................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:24)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:30)(cid:19)............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:39)(cid:40)(cid:38)(cid:41)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:42)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:40)(cid:47)(cid:28)(cid:48)(cid:24)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)....................................................................................8
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:26)(cid:38)(cid:53)(cid:46)(cid:40)(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:19)............................................................................................9
知识点1 等腰三角形的性质 +
A
A
科
全
★
1. 定义：(cid:54)(cid:46)(cid:55)(cid:30)(cid:56)(cid:22)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:57)(cid:58)等腰三角形(cid:59)(cid:56)(cid:22)众(cid:27)(cid:30) 号 (cid:57)(cid:60)腰．
公
注
关
，
源
2. 性质1：等腰三角形的辅两个资底角相等（简写成“等边对等角”）．
教
3. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
4. 拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
知识点2 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在 ABC中， B= C， AB=AC（等角对等边）．
△ ∵∠ ∠ ∴拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没
有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由
三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【题型1 等腰三角形的定义】
(cid:15)(cid:61)1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:43)(cid:67)(cid:68)(cid:69)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:42)(cid:25)(cid:30)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)3(cid:79)4(cid:59)(cid:80)(cid:30)(cid:75)(cid:78)
5(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:46)(cid:73)(cid:74)(cid:22)(cid:27)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:50)(cid:34)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:73)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)(cid:62) (cid:72)
A(cid:81)16 B(cid:81)18 C(cid:81)16(cid:90)18 D(cid:81)14(cid:90)16
=6
(cid:15)(cid:91)(cid:92)1-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:67)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)
+ =10
(cid:27)(cid:100)(cid:101)(cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:30)(cid:75)(cid:59)(cid:102)(cid:22)
2𝑥−𝑦
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78) (cid:81) 𝑥 3𝑦
(cid:15)(cid:91)(cid:92)1-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:93)(cid:94)(cid:104)(cid:105)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:44)(cid:45)a(cid:59)b(cid:59)c(cid:106) (cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:59)(cid:107)(cid:108)(cid:109)( ) ( )=0(cid:59)
(cid:102) (cid:27)(cid:26)(cid:110)(cid:106) (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝑎−𝑏 −𝑐 𝑏−𝑎
(cid:15)(cid:91)△(cid:92)𝐴𝐵1𝐶-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:115)(cid:38)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:38)(cid:59)(cid:54)(cid:34)(cid:121)(cid:122)(cid:123)
A
(cid:27)+(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:57)(cid:60)“(cid:128)(cid:129)”(cid:81)(cid:128)
A
科
全
★
(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:73)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:99)(cid:50)(cid:59)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:49)(cid:56)(cid:144)(cid:145)(cid:146)
众
(cid:59)(cid:26)号(cid:50)(cid:147)(cid:34)(cid:121)(cid:148)(cid:149)(cid:27)(cid:150)(cid:151)(cid:81)(cid:82)(cid:37)1(cid:59)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:128)(cid:129)
公
注
关
(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:26)(cid:110)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:34)(cid:73)(cid:22)源(cid:23)(cid:24)，(cid:25)(cid:26)(cid:81)(cid:82)(cid:37)2(cid:59)(cid:96) (cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)24(cid:59)(cid:34)(cid:30)(cid:75)(cid:78)6(cid:59)(cid:102)(cid:167)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
资
辅
教
(cid:27)(cid:168)(cid:30)(cid:75)(cid:106)( ) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)6 B(cid:81)12 C(cid:81)6(cid:90)9 D(cid:81)6(cid:90)12
【题型2 等边对等角】
(cid:15)(cid:61)2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:169)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40) (cid:115) (cid:43)(cid:59) = = = (cid:81)
𝐸, 𝐹 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐶𝐹, ∠𝐵𝐸𝐷 ∠𝐴𝐹𝐶, ∠𝐵 ∠𝐶(1)(cid:51)(cid:174)(cid:10) (cid:175)
(2)(cid:96) △=𝐴4𝐵2𝐹°,≌ △=𝐷5𝐶8°𝐸, = (cid:59)(cid:51) (cid:27)(cid:176)(cid:177)(cid:81)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)∠𝐴2𝐹-𝐵1(cid:19)(cid:62)24- ∠25𝐷(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66) 𝐴𝐵·(cid:111)(cid:112)𝐴(cid:178)𝐸(cid:94)·(cid:70)∠(cid:38)𝐴𝐸(cid:72)𝐷(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:84) (cid:179)(cid:40) (cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)42°(cid:185)(cid:186) (cid:59)(cid:40) (cid:101)(cid:187)
(cid:188)(cid:115) (cid:43)(cid:59)(cid:102) (cid:27)(cid:176)(cid:177)(cid:78) (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 △𝐴𝐷𝐸 𝐶
𝐷𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)2-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:189)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:93)(cid:94)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:196)(cid:197)(cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:198)(cid:43)(cid:22)(cid:75)(cid:27)(cid:196)(cid:55) (cid:59) (cid:59)
(cid:59) …(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:196)(cid:197)(cid:81)(cid:96) = (cid:59)(cid:107)(cid:101)(cid:187)(cid:202)(cid:147)4(cid:203)(cid:196)(cid:55)(cid:59)(cid:102)∠𝐴(cid:27)(cid:204)𝛼(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:106) (cid:81) 𝑃1𝑃2 𝑃2𝑃3
𝑃3𝑃4 𝑃4𝑃5 𝑃1𝐴 𝑃1𝑃2 𝛼
+
A
A
科
(cid:15)(cid:91)(cid:92)2-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:208)(cid:209)(cid:112)(cid:210)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) = ★(cid:59) 全= (cid:59) = (cid:59)(cid:40) (cid:115) (cid:43)(cid:81)
号
众
公
注
关 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐶 𝐷𝐸
，
源
资
辅
教
(1)(cid:51)(cid:174)(cid:10) (cid:175)
(2)(cid:96) (cid:211)△(cid:76)𝐵𝐴𝐶≌△𝐸𝐴𝐷=42°(cid:59)(cid:51) (cid:27)(cid:176)(cid:177)(cid:81)
【题型
𝐴𝐸3
三
∠
线
𝐵𝐴
合
𝐶
一
,∠
】
𝐸𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐸
(cid:15)(cid:61)3(cid:19)(cid:62)23-24(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:215)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) = (cid:59) (cid:211)(cid:76) (cid:59) (cid:59)
(cid:59) (cid:59) (cid:78)(cid:216)(cid:109)(cid:59)(cid:102)(cid:66)(cid:217)(cid:143)(cid:218)(cid:10)(cid:62)1(cid:72) = (cid:175)(cid:62)2(cid:72)△𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵 (cid:175)𝐴(cid:62)𝐶3(cid:72)𝐴𝐷 ∠𝐵(cid:175)𝐴(cid:62)𝐶 4(cid:72)𝐷𝐸⊥=𝐴𝐵 (cid:59)𝐷𝐹(cid:160)⊥𝐴𝐶
(cid:38)𝐸(cid:153)(cid:47)𝐹(cid:27)(cid:73)(cid:177)(cid:54)(cid:62) (cid:72) 𝐵𝐷 𝐷𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐹A(cid:81)1(cid:73) B(cid:81)2(cid:73) C(cid:81)3(cid:73) D(cid:81)4(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)3-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:114)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) =70°(cid:59) (cid:106) (cid:27)(cid:216)(cid:42)(cid:211)(cid:76)(cid:32)(cid:59)(cid:102) (cid:27)(cid:176)
(cid:177)(cid:78) (cid:81) ∠𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐷 𝑂𝐴 ∠𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)3-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:93)(cid:212)(cid:222)(cid:223)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:72)(cid:224)(cid:74)(cid:140)(cid:98)(cid:90)(cid:225)(cid:226)(cid:10)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:40)
(cid:78) (cid:30)(cid:27)(cid:38)(cid:40)(cid:59) (cid:78) (cid:43)(cid:34)(cid:40)(cid:59)(cid:145)(cid:146) (cid:59)(cid:227)(cid:185) = (cid:81)(cid:96) =55°(cid:59)(cid:51) (cid:27)△(cid:176)𝐴𝐵(cid:177)𝐶(cid:81) 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐷
+
A
𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐸 ∠𝐵 科∠A𝐸𝐶𝐷
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:100)(cid:10) (cid:115) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)
∵ =△𝐴𝐵𝐶=55°𝐴(cid:59)𝐵(cid:62)(cid:22)𝐴(cid:23)𝐶(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:168)(cid:25)(cid:56)(cid:22)(cid:72)
∴∠(cid:40)①(cid:78) (cid:30)∠𝐵(cid:27)(cid:38)(cid:40)
∵ 𝐷 𝐵𝐶(cid:62) (cid:72)
∴𝐴𝐷⊥𝐵=𝐶90②°
∴∠𝐴𝐷𝐶 = = °
∴∠𝐶𝐴=𝐷 (cid:59)90°−∠𝐴𝐶𝐵 ③
∵𝐴𝐸 𝐶=𝐸 =35°(cid:62) (cid:72)
∴∠𝐴𝐶𝐸 =∠𝐶𝐴𝐷 =④ °
(cid:15)∴(cid:91)∠𝐸(cid:92)𝐶𝐷3-3(cid:19)∠𝐴(cid:62)𝐶2𝐵4−-2∠5𝐴(cid:103)𝐶𝐸(cid:64)(cid:65)(cid:43)⑤·(cid:228)(cid:119)(cid:220)(cid:211)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) (cid:166) (cid:59) (cid:166) (cid:59) (cid:52)
(cid:56)(cid:229)(cid:166)(cid:40) (cid:59)(cid:107) = (cid:81) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝐷 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 𝐶𝐸
𝐹 𝐴𝐷 𝐶𝐷(1)(cid:51)(cid:174)(cid:10) = (cid:175)
(2)(cid:96) =
𝐴1𝐵
(cid:59)
𝐶𝐹
(cid:51) (cid:27)(cid:176)(cid:177)(cid:81)
2
𝐴𝐸 𝐶𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
【题型4 等角对等边】
(cid:15)(cid:61)4(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:230)(cid:94)(cid:230)(cid:231)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:78)27(cid:59) (cid:79) (cid:27)(cid:211)(cid:76)(cid:32)(cid:56)(cid:229)(cid:166)(cid:40) (cid:59)
(cid:140)(cid:40) (cid:58) (cid:229) (cid:166)(cid:40) (cid:59)(cid:229) (cid:166)(cid:40) (cid:59)(cid:96) =8△(cid:59)𝐴𝐵𝐶=6(cid:59) =4(cid:59)∠(cid:87)𝐴𝐵(cid:88)𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵(cid:27)(cid:89)(cid:75)(cid:106)(cid:62) (cid:72) 𝐹
𝐹 𝐷𝐸∥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷 𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐶𝐹 △𝐴𝐷𝐸
+
A
A
科
全
★
A(cid:81)18 B(cid:81)19 C(cid:81)21
众
号 D(cid:81)23
公
注
关
(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:232)(cid:212)源·(cid:70)，(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:38)(cid:59) = (cid:59)(cid:84) (cid:233)(cid:42)(cid:32) (cid:211)(cid:234)(cid:186)
资
辅
教
(cid:27)(cid:235)(cid:236)(cid:62)(cid:227)(cid:40) (cid:52)(cid:40) (cid:169)(cid:33)(cid:59)(cid:40)B(cid:237)C(cid:237)E(cid:115)(cid:34)(cid:55)(cid:42)(cid:32)△(cid:43)𝐴𝐵(cid:72)𝐶(cid:59)(cid:145)(cid:146)∠𝐴 (cid:59)∠(cid:51)𝐵𝐶(cid:174)𝐴(cid:10) △=𝐴𝐵𝐶(cid:81) 𝐵𝐶 △𝐷𝐶𝐸
𝐵 𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:209)(cid:212)(cid:189)(cid:209)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:106) (cid:27)(cid:25)(cid:211)(cid:76)(cid:32)(cid:59) = (cid:59)(cid:84) (cid:233)
(cid:238)(cid:115)(cid:42)(cid:32)(cid:239)(cid:240)(cid:59)(cid:40)B(cid:115) (cid:30)(cid:43)(cid:27)(cid:188)(cid:40)(cid:241)(cid:78)(cid:40)E(cid:59)(cid:96) =𝐴𝐷8(cid:59)△𝐴=𝐵𝐶5(cid:59)(cid:102) (cid:27)(cid:75)(cid:78)∠ 𝐵 2∠(cid:81)𝐶 △𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷
𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:91)(cid:92)4-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:230)(cid:94)(cid:242)(cid:243)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:244)(cid:245)(cid:34)(cid:246)(cid:247)(cid:92)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:200)(cid:201)(cid:253)(cid:254)(cid:59)(cid:255)(cid:98)(cid:256)(cid:31)(cid:257)(cid:249)(cid:143)(cid:49)(cid:251)(cid:252)
(cid:147)(cid:76)(cid:258)(cid:59)(cid:82)(cid:37)(cid:59) (cid:78)(cid:257)(cid:249)(cid:259)(cid:197)(cid:59) (cid:106)(cid:248)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:25)(cid:176)(cid:27)2(cid:263)(cid:59)(cid:264) = (cid:59)(cid:255)(cid:98)(cid:256)(cid:265)(cid:266)(cid:115) (cid:27)
(cid:25)(cid:211)(cid:76)(cid:32)(cid:267)(cid:268)(cid:124)(cid:196)△(cid:197)𝐴𝐵𝐶(cid:59)(cid:229)(cid:168)(cid:249) (cid:166)∠(cid:40)𝐴𝐵D𝐶(cid:59)(cid:78)(cid:47)(cid:269)(cid:270)(cid:28)(cid:271)(cid:59)(cid:272)(cid:273)(cid:140)(cid:40)∠B𝐴(cid:198)𝐵𝐶(cid:146)(cid:200)2(cid:201)∠(cid:196)𝐶 (cid:274) (cid:59)(cid:227)(cid:185) ∠𝐵𝐴𝐶(cid:59)
(cid:76)(cid:77)(cid:229) (cid:59) (cid:166)(cid:40)F𝐴(cid:59)𝐷E(cid:81) 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸⊥𝐴𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐶(1)(cid:51)(cid:174)(cid:10)(cid:200)(cid:201)(cid:275)(cid:27) (cid:106)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:175)
(2)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:59)(cid:257)(cid:249)(cid:74)(cid:75)△𝐴𝐵(cid:78)𝐸 13(cid:279)(cid:59)(cid:3)(cid:280)(cid:281)(cid:40)(cid:138)(cid:282) (cid:78)5(cid:279)(cid:59)(cid:51)(cid:223)(cid:283)(cid:261)(cid:262)(cid:193) (cid:27)(cid:75)(cid:176)(cid:81)
【题型5 找出图中的 𝐴 等 𝐶 腰三角形】 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:61)5(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:284)(cid:285)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) (cid:38)(cid:59) =3(cid:59) =5(cid:59) =7(cid:59)(cid:115) (cid:238)(cid:115)(cid:211)
(cid:154)(cid:286)(cid:41)(cid:34)(cid:55)(cid:42)(cid:32)(cid:59)(cid:84) (cid:76)(cid:287)(cid:50)(cid:46)(cid:73)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:227)(cid:160)△(cid:38)𝐴𝐵(cid:54)𝐶(cid:34)(cid:73)𝐴(cid:30)𝐵(cid:75)(cid:78)3(cid:27)𝐴𝐶(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)(cid:59)(cid:102)(cid:85)(cid:288)△(cid:27)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:32)(cid:289)(cid:131)
(cid:157)(cid:41)(cid:62) (cid:72) △𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)3(cid:55) B(cid:81)4(cid:55) C(cid:81)5(cid:55) D(cid:81)6(cid:55)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-1(cid:19)(cid:62)23-24(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:290)(cid:291)(cid:209)(cid:292)(cid:293)(cid:294)·(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:238)(cid:295)(cid:59)(cid:296)(cid:54)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
A
(cid:25)+(cid:26)(cid:62) (cid:72)
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:81)2 B(cid:81)3 C(cid:81)5 D(cid:81)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-2(cid:19)(cid:62)22-23(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:290)(cid:291)(cid:209)(cid:292)(cid:293)(cid:294)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:297)(cid:30)(cid:26) (cid:233)(cid:31)(cid:25)(cid:32) (cid:31)(cid:240)(cid:275)(cid:169)(cid:33)(cid:59)(cid:145)(cid:146)
(cid:229) (cid:166)(cid:40) (cid:59)(cid:96) (cid:59)(cid:102)(cid:37)(cid:38)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:73)(cid:177)(cid:78)(cid:62) (cid:72) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐶 𝐸 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
A(cid:81)1 B(cid:81)2 C(cid:81)3 D(cid:81)4
(cid:15)(cid:91)(cid:92)5-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:93)(cid:94)(cid:298)(cid:299)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:62)1(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) (cid:59) (cid:76)(cid:77)(cid:106)
(cid:43)(cid:27)(cid:40)(cid:59)(cid:107) = (cid:81) (cid:52) (cid:56)(cid:22)(cid:300)(cid:301)(cid:78)(cid:302)(cid:88)(cid:301) △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴1𝐵1𝐶1 𝐷,𝐷1 𝐵𝐶,𝐵1𝐶1
𝐵𝐷 𝐵1𝐷1 𝐴𝐷 𝐴1𝐷1(cid:62)2(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) = (cid:211)(cid:76) (cid:59)(cid:229) (cid:166)(cid:40) (cid:216)(cid:42)(cid:211)(cid:76) (cid:166)(cid:40) (cid:81)(cid:303)(cid:304)(cid:305)(cid:10)
+ = (cid:81)△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 90°,𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐸,𝐷𝐸 𝐴𝐵 𝐷
𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶
(cid:62)3(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) = (cid:84) (cid:24)(cid:22)(cid:76)(cid:59)(cid:40) (cid:115) (cid:43)(cid:81)
(cid:51) (cid:27)(cid:176)△(cid:177)𝐴(cid:175)𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶:∠𝐵:∠𝐶 3:1:1,𝐴𝐷,𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐷,𝐸 𝐵𝐶
①(cid:306)∠(cid:36)𝐴(cid:37)𝐷𝐸(cid:38)(cid:238)(cid:54)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
②
+
A
A
科
全
★
号
众
注
公
关
，
源
资
【题型6 格点中画等教腰三 辅 角形】
(cid:15)(cid:61)6(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:228)(cid:119)(cid:228)(cid:231)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:27)(cid:153)(cid:97)(cid:26)(cid:307)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:308)(cid:40) (cid:237)(cid:40) (cid:85)(cid:288)(cid:307)(cid:39)(cid:32)(cid:27)(cid:229)(cid:40)(cid:309)(cid:78)(cid:39)
(cid:40)(cid:81)(cid:310) (cid:78)(cid:30)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:24)(cid:73)(cid:311)(cid:40)(cid:312)(cid:313)(cid:166)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:85)(cid:288)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)𝐴(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:73)(cid:177)(cid:62) (cid:72)
𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)10(cid:73) B(cid:81)8(cid:73) C(cid:81)6(cid:73) D(cid:81)4(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)6-1(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:314)(cid:220)(cid:315)(cid:316)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115)3×3(cid:153)(cid:97)(cid:26)(cid:307)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:307)(cid:39)(cid:32)(cid:27)(cid:229)(cid:40)(cid:309)(cid:78)(cid:39)(cid:40)(cid:59)(cid:44)
(cid:45)(cid:40) (cid:237) (cid:115)(cid:39)(cid:40)(cid:43)(cid:59)(cid:96)(cid:40) (cid:317)(cid:115)(cid:39)(cid:40)(cid:43)(cid:59)(cid:318)(cid:227)(cid:185)(cid:310)(cid:40) (cid:237) (cid:237) (cid:78)(cid:311)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:106)(cid:22)(cid:23)(cid:42)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:319)(cid:33)(cid:55)(cid:320)
(cid:27)(cid:40)𝐴(cid:54)𝐵 (cid:73)(cid:81) 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃
𝑃(cid:15)(cid:91)(cid:92)6-2(cid:19)(cid:62)24-25(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:43)(cid:67)(cid:321)(cid:322)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40)M(cid:237)N(cid:106)(cid:97)(cid:39)(cid:323)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:73)(cid:39)(cid:40)(cid:62)(cid:264)(cid:153)(cid:97)(cid:26)(cid:27)(cid:311)
(cid:40)(cid:72)(cid:59)(cid:115)(cid:85)(cid:73)4×4(cid:97)(cid:39)(cid:323)(cid:38)(cid:59)(cid:35)(cid:36)(cid:39)(cid:40)P(cid:227) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:87)(cid:88)(cid:108)(cid:109)(cid:55)(cid:320)(cid:27)(cid:39)(cid:40)P(cid:27)(cid:73)(cid:177)(cid:106)(cid:62) (cid:72)
△𝑀𝑁𝑃
A(cid:81)3 B(cid:81)4 C(cid:81)5 D(cid:81)6
(cid:15)(cid:91)(cid:92)6-3(cid:19)(cid:62)24-25(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:324)(cid:325)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115)8×6(cid:27)(cid:307)(cid:39)(cid:38)(cid:59)(cid:326)(cid:73)(cid:132)(cid:153)(cid:97)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:75)(cid:327)(cid:78)(cid:34)(cid:73)(cid:328)(cid:235)(cid:81)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:115)(cid:37) (cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:34)(cid:73)(cid:310) (cid:78)(cid:34)(cid:30)(cid:59)(cid:154)(cid:329)(cid:78)12(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:175)
(2)(cid:115)(cid:37)①(cid:38)(cid:41)(cid:36)(cid:34)(cid:73)(cid:310)𝐵𝐶(cid:78)(cid:23)(cid:27)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:81)
【题型
②7
直线上已知两
𝐴
点
𝐵
确定第三点构成等腰三角形】
(cid:15)(cid:61)7(cid:19)Rt ABC(cid:38)(cid:59) ACB(cid:330)90°(cid:59) A(cid:330)60°(cid:59)(cid:115)(cid:42)(cid:32)BC(cid:43)(cid:204)(cid:34)(cid:40)P(cid:227)(cid:185) PAB(cid:106)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:102)(cid:319)(cid:33)(cid:55)(cid:320)
(cid:27)(cid:40)P(cid:54) △ (cid:73)(cid:81) ∠ ∠ △
(cid:15)(cid:91)(cid:92)7-1(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115)(cid:331)(cid:26) (cid:27)(cid:30)(cid:43)(cid:35)(cid:186)(cid:34)(cid:40)P(cid:59)(cid:227)(cid:185) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:332)(cid:41)(cid:36)(cid:238)(cid:54)(cid:27)(cid:40)P(cid:81)
𝐴𝐵𝐶𝐷 △𝐴𝐸𝑃
(cid:15)(cid:91)(cid:92)7-2(cid:19)(cid:62)23-24(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:43)·(cid:284)(cid:285)(cid:333)(cid:211)·(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:40) (cid:115)(cid:42)(cid:32) (cid:43)(cid:59)(cid:40) (cid:115)(cid:42)(cid:32) (cid:161).(cid:96)(cid:42)(cid:32) (cid:43)(cid:54)(cid:34)(cid:40) (cid:227)
𝑂 𝑙 𝐴 𝑙 𝑙 𝑃(cid:185) (cid:78)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:102)(cid:108)(cid:109)(cid:55)(cid:320)(cid:27)(cid:40) (cid:235)(cid:236)(cid:54) (cid:73).
△𝐴𝑃𝑂 𝑃
(cid:15)(cid:91)(cid:92)7-3(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:45) =30°(cid:59)(cid:40)M(cid:59)N(cid:115)(cid:30) (cid:43)(cid:59) = = +2(cid:59)(cid:40)P(cid:106)(cid:30) (cid:43)(cid:27)(cid:40)(cid:59)(cid:96)
(cid:227)(cid:40)P(cid:59)M(cid:59)N(cid:49)(cid:50)(cid:22)(cid:23)∠(cid:24)𝐴(cid:25)𝑂𝐵(cid:26)(cid:27)(cid:40)P(cid:101)(cid:187)(cid:334)(cid:54)(cid:34)(cid:73)(cid:59)𝑂𝐴(cid:102)x(cid:27)𝑂(cid:204)𝑀(cid:205)(cid:206)𝑥(cid:207),𝑂𝑁(cid:106) 𝑥 (cid:81) 𝑂𝐵
【题型8 求与图形中任两点构成等腰三角形的点】
(cid:15)(cid:61)8(cid:19)(cid:62)23-24(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:232)(cid:212)(cid:212)(cid:268)·(cid:70)(cid:38)(cid:72)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) =75°(cid:59) =30°(cid:81)(cid:40) (cid:78)(cid:42)(cid:32)
(cid:43)(cid:34)(cid:335)(cid:40)(cid:59)(cid:96)(cid:40) (cid:52) (cid:24)(cid:73)(cid:311)(cid:40)(cid:38)(cid:27)(cid:46)(cid:73)(cid:311)(cid:40)(cid:49)(cid:254)△(cid:50)𝐴(cid:22)𝐵𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)∠𝐴(cid:26)𝐵(cid:59)𝐶(cid:87)(cid:88)(cid:108)(cid:109)∠(cid:55)𝐵𝐴(cid:320)𝐶(cid:27)(cid:40) (cid:27)(cid:235)(cid:236)𝑃(cid:54)(cid:62) 𝐵 (cid:72)𝐶
𝑃 △𝐴𝐵𝐶 𝑃
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
A(cid:81)4(cid:73) B(cid:81)6(cid:73) C(cid:81)8(cid:73) D(cid:81)9(cid:73)
(cid:15)(cid:91)(cid:92)8-1(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) = =100°(cid:59)(cid:40)P(cid:115) (cid:27)(cid:24)(cid:30)(cid:43)(cid:336)(cid:335)(cid:59)(cid:337) (cid:50)(cid:78)(cid:22)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:181)(cid:59)(cid:160)(cid:311)(cid:25)(cid:27)(cid:176)△(cid:177)𝐴(cid:106)𝐵 𝐶 ∠𝐵(cid:81) 25°,∠𝐴 △𝐴𝐵𝐶 △𝑃𝐴𝐶
(cid:15)(cid:91)(cid:92)8-2(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59) =60°(cid:59) (cid:106) (cid:338)(cid:75)(cid:32)(cid:43)(cid:34)(cid:40)(cid:59)(cid:96) =18cm(cid:59)(cid:335)(cid:40) (cid:152)(cid:40) (cid:36)(cid:158)(cid:233) (cid:310)2cm/ (cid:27)
(cid:339)(cid:176)(cid:234)(cid:335)(cid:59)(cid:335)(cid:40) (cid:152)(cid:40)∠𝐴(cid:233)𝑂𝐵 (cid:310)1cm/𝐶 (cid:27)𝑂(cid:339)𝐵(cid:176)(cid:234)(cid:335)(cid:59)(cid:82)(cid:83)(cid:40) (cid:237)𝑂(cid:340)𝐶(cid:181)(cid:36)(cid:158)(cid:59)(cid:202)t (cid:341)𝑃(cid:295)(cid:234)(cid:335)𝐶 (cid:27)(cid:181)(cid:138)𝐶(cid:59)𝐵(cid:337) = 𝑠 s
(cid:181)(cid:59) (cid:106)(cid:22)𝑄(cid:23)(cid:24)𝑂(cid:25)(cid:26)𝑂(cid:301)𝐴 𝑠 𝑃 𝑄 (𝑠) 𝑡
△𝑃𝑂𝑄(cid:15)(cid:91)(cid:92)8-3(cid:19)(cid:82)(cid:37)(cid:59)(cid:115) (cid:38)(cid:59) =90°(cid:59) (cid:59)(cid:310) (cid:27)(cid:34)(cid:30)(cid:78)(cid:30)(cid:41)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:59)(cid:227)(cid:185)(cid:135)(cid:27)(cid:48)
(cid:24)(cid:73)(cid:311)(cid:40)(cid:115) (cid:27)(cid:160)𝑅𝑡(cid:342)△(cid:30)𝐴(cid:43)𝐵𝐶(cid:59)(cid:102)(cid:157)∠(cid:310)𝐶 (cid:41)(cid:36)(cid:27)(cid:343)𝐵(cid:340)𝐶≠(cid:27)𝐴(cid:22)𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:25)△(cid:26)𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:73)(cid:177)(cid:289)(cid:131)(cid:78)(cid:62) (cid:72)
△𝐴𝐵𝐶
A(cid:81)4 B(cid:81)5 C(cid:81)6 D(cid:81)7
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
