文档内容
模型介绍
【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.
【结论】分类讨论：
若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；
若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；
若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无
法构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.
例题精讲
【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等
腰三角形，你能否将点C的坐标表示出来？
解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2 ，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即C （0，0）、（4，0）
1
（舍去）；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（4﹣2 ，0）（4+2
，0），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2，0），（0，﹣2）；
将点C的坐标表示出来，如图：
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
变式训练
【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，
当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为 （ 0 ， 2 ），（ 1 ， 1 ），（ 2 ﹣ ， ），（ 2+ ，﹣
） ．
解：依题意得A（2，0），B（0，2），△AOP为等腰三角形，有三种情况：
当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；
当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，
由解直角三角形得点P坐标是（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）；
当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）．
故答案为：（0，2），（1，1），（2﹣ ， ），（2+ ，﹣ ）．【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当
△CDP为等腰三角形时，AP的值为 1 或 2. 5 或 4 ．
解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝5，
①当CD＝CP＝5时，过点P作PQ⊥CD于点Q，
∴PQ＝AD＝3，
CQ＝ ＝4，
∴BP＝4，
∴AP＝1；
②当CD＝DP＝5时，同①可得AP＝4，
③当DP＝CP时，可知P为AB的中点，AP＝2.5．
故答案为：1或2.5或4．
【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分
支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 （﹣ 3 ， 0 ）或（ 5 ， 0 ）或
（ 3 ， 0 ）或（﹣ 5 ， 0 ） ．解：∵反比例函数y＝ 图象关于原点对称，
∴A、B两点关于O对称，
∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），
∴当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB，
设P点坐标为（x，0），
∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴AB＝ ＝2 ，PA＝ ，PB＝ ，
当PA＝AB时，则有 ＝2 ，解得x＝﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，
0）；
当PB＝AB时，则有 ＝2 ，解得x＝3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，
0）；
综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），
故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．
变式训练
【变式2-1】．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，
当△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为 （ 2 ， 2 ），（ 0 ， 4 ），（ 4 ﹣ 2 ， 2 ），（ 4+ 2 ，
﹣ 2 ）． ．
解：依题意得A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴△AOB为等腰直角三角形，有三种情况：
（1）当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点B，B（2，2）符合题意；
（2）当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，由解直角三角形得点P坐标是（4﹣2 ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）；
（2）当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（2，2）．
故本题答案为：（2，2），（0，4），（4﹣2 ，2 ），（4+2 ，﹣2 ）．
【变式2-2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B，与x轴交于点A．
（1）求点B的坐标．
（2）若点C在x轴上，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形，求点C的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B，
∴
解得
∴B（﹣1，3）；
（2）∵直线y＝﹣ x+ 与直线y＝ x+ 交于点B，与x轴交于点A．
∴A（3，0），B（﹣1，3），
∴AB＝ ＝5，设点C（m，0），
AC2＝（3﹣m）2＝m2﹣6m+9，BC2＝（m+1）2+32＝m2+2m+10，
当AC＝AB时，m2﹣6m+9＝52，解得：m＝8或﹣2；
当AB＝BC时，m2+2m+10＝52，解得：m＝﹣5或3（与点A重合，舍去）；
故点C的坐标为（﹣5，0），（﹣2，0），（8，0）．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，3），B（0，5），若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是
等腰三角形，则这样的点C有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解：由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；
以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．
故选：D．
2．如图，已知函数y＝ x+ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上一点，若△PAB
为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．（﹣3﹣2 ，0） B．（3，0） C．（﹣1，0） D．（2 ，0）
解：如下图所示：
∵函数y＝ x+ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
在y＝ x+ 中，令y＝0可得x＝﹣3，令x＝0可得y＝ ，
∴A（﹣3，0），B（0， ），∴AB＝ ＝2 ，
（1）当AB＝BP时，点P与P 重合，则P （3，0）；
1 1
（2）当AP＝BP时，点P与点P 重合，如图②所示：
2
过AB的中点C作x轴的垂线，垂足为D，
由题意知：CD2＝AD•PD，
∵点C的坐标为（﹣ ， ），设点P的坐标为（a，0）
∴（ ）2＝（﹣ +3）（a+ ）
解之得：a＝﹣1
即：点P的坐标为（﹣1，0）
（3）当AB＝AP时，点P 重合，则P （﹣3﹣2 ，0）或（﹣3+2 ，0）
3 3
综上所述：若△PAB为等腰三角形，则点P的坐标可能是（3，0）、（﹣1，0）、（﹣3﹣2 ，0），
（﹣3+2 ，0）
故选：D．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（ ，0），点C在x轴上．若
△ABC为等腰三角形时，∠ABC＝30°，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ﹣4，0）
B．（﹣2 ，0），（ ，0），（4+ ，0）
C．（﹣2 ，0），（ ，0），（ ，0）
D．（﹣2 ，0），（1，0），（4﹣ ，0）
解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（ ，0），
∴OA＝2，OB＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝4，tan∠ABO＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABO＝30°，
∵∠ABC＝30°，∴点C在点B的左边．
①若AB＝AC＝4，
又∵OA⊥BC，
∴OC＝OB＝2 ，
∴点C 坐标为（﹣ ，0）；
1
②若BC＝AB＝4，
又∵点B的坐标为（ ，0），
∴点C 坐标为（2 ﹣4，0）；
2
③若CA＝CB，则C在线段AB的垂直平分线上．
设OC＝x，则AC＝BC＝OB﹣OC＝2 ﹣x．
在直角△OAC中，∵∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即22+x2＝（2 ﹣x）2，
解得x＝ ．
∴点C 坐标为（ ，0）．
3
综上所述：点C坐标为（﹣2 ，0）或（2 ﹣4，0）或（ ，0）．
故选：A．
4．已知平面直角坐标系中有A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，
则满足条件的点C的个数是（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
解：如图：
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴于点C ，C ，
1 2
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C ，C ，
3 4
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C ，交y轴于点C ，
5 6
∵点A，B，C 三个点在同一条直线上，
2
∴满足条件的点C的个数是5，
故选：A．
5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点
P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1+ B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣ 或1+
解：令x＝0，则y＝﹣3，
所以，点C的坐标为（0，﹣3），
∵点D的坐标为（0，﹣1），
∴线段CD中点的纵坐标为 ×（﹣1﹣3）＝﹣2，∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2，
解得x ＝1﹣ ，x ＝1+ ，
1 2
∵点P在第四象限，
∴点P的横坐标为1+ ．
故选：A．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合
条件的有 4 个．
解：分二种情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径
的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故答案为：4．
7．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，
则符合条件的C点共有 8 个．
解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故答案为：8．8．已知直线y＝﹣ x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y＝﹣ （x﹣ ）2+4上，能使
△ABP为等腰三角形的点P的个数有 3 个．
解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．
令一次函数y＝﹣ x+3中x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y＝﹣ x+3中y＝0，则﹣ x+3＝0，
解得：x＝ ，
∴点B的坐标为（ ，0）．
∴AB＝2 ．
∵抛物线的对称轴为x＝ ，
∴点C的坐标为（2 ，3），
∴AC＝2 ＝AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y＝﹣ （x﹣ ）2+4中y＝0，则﹣ （x﹣ ）2+4＝0，
解得：x＝﹣ ，或x＝3 ．
∴点M的坐标为（﹣ ，0），点N的坐标为（3 ，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB＝BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB＝AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP＝BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故答案为：3．
9．在平面直角坐标系中，已知A（5，0），B（0，12），且AB＝13，在x轴上取一点P，使得△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点P的坐标 （﹣ 5 ， 0 ），（﹣ 8 ， 0 ），（ 18 ， 0 ）
．
解：如图，
①若AB＝BP，则OA＝OP＝5，则点P （﹣5，0）；
1
②若AB＝AP，则点P （﹣8，0）；点P （18，0）；
2 3
∴符合条件的点P的坐标分别为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．
故答案为：（﹣5，0），（﹣8，0），（18，0）．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB＝50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半
轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是 40 ° 或 100 ° ．
解：分三种情况：
当OA＝OC时，∠AOC＝90°﹣∠AOB＝40°，
当AO＝AC时，∠CAO＝180°﹣2×40°＝100°，
当CO＝CA时，∠ACO＝180°﹣2×40°＝100°，
综上所述，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数为40°或100°，
故答案为：40°或100°．
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若在y轴上取一点P，使△ABP是等腰三角形，则请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
解：（1）由x2﹣7x+12＝0，得x ＝3，x ＝4，
1 2
∵OA＜OB，∴OA＝3，OB＝4．
∴A（3，0）B（0，4）
设直线AB的函数表达式y＝kx+b，
则
∴
∴
（2）满足条件的P的坐标：（0，9）（0， ）（0，﹣1）（0，﹣4）
因为OA＝3，OB＝4所以AB＝5，
以B为圆心，以AB为半径作弧，交y轴与两点，
这两点的坐标分别是（0，9）、（0，﹣1）
这两点与A、B都构成的△ABP是等腰三角形．
根据轴对称的意义，当P（0，﹣4）时，
△ABP是等腰三角形．
当点P在AB的垂直平分线与y轴的交点上时，
设P（0，m）
则（4﹣m）2＝m2+32
解得，m＝所以点P的坐标为：（0，9）（0， ）（0，﹣1）（0，﹣4）
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求AB的长度．
（2）如图2，若以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
解：（1）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5，
（2）如图，过点C作CE⊥OB于E，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，在△AOB和△BEC中， ，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE＝OA＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝OB+BE＝7，
∴C（3，7）；
（3）设P（a，0），
∵A（4，0），B（0，3），
∴PA＝|a﹣4|，PB2＝a2+9，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当PA＝AB时，
∴|a﹣4|＝5，
∴a＝﹣1或9，
∴P（﹣1，0）或（9，0），
②当PA＝PB时，
∴（a﹣4）2＝a2+9，
∴a＝ ，
∴P（ ，0），
③当PB＝AB时，
∴a2+9＝25，
∴a＝4（舍）或a＝﹣4，
∴P（﹣4，0）．
即：满足条件的点P的坐标为（﹣1，0）、（﹣4，0）、（9，0）、（ ，0）．13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛
物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
解得
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1± ，∵x＞0∴x＝1+ ．
∴P（1+ ，﹣2）
14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的
面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不
存在，请说明理由．
解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴ ，
解得 1分
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，
则有
解得
∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6
∵PQ⊥x轴，OQ＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S四边形ACPQ ＝S△AOC +S梯形PQOC ＝ AO•CO+ （PQ+CO）•OQ
＝ ×1×3+ （﹣2m+6+3）•m＝﹣m2+ m+ （1≤m≤3）．（3）CM＝ ，CN＝ ，MN＝
①当CM＝NC时， ，
解得x ＝ ，x ＝1（舍去）
1 2
此时N（ ， ）
②当CM＝MN时， ，
解得x ＝1+ ，x ＝1﹣ （舍去），
1 2
此时N（1+ ，4﹣ ）
③当CN＝MN时， ＝
解得x＝2，此时N（2，2）
综上所述：线段BM上存在点N（ ， ），（2，2），（1+ ，4﹣ ）使△NMC为等腰三
角形．15．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且 ＝ ．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是
6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵ ＝ ，
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∴3k﹣4＝0，
解得：k＝ ；
（2）设A的纵坐标为h，
∵S△AOB ＝ OB•h＝6，且OB＝3，
∴h＝4，
∵直线BC的解析式为：y＝ x﹣4，∴当y＝4时，4＝ x﹣4，
解得：x＝6，
∴点A（6，4），
∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；
（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA＝ ＝2 ，
①若OP＝OA＝2 ，则点P （2 ，0），P （﹣2 ，0）；
1 2
②若OA＝AP，
过点A作AM⊥x轴于点M，则PM＝OM＝6，
∴P （12，0）；
3
③若OP＝AP，过点P作PN⊥OA于点N，
则ON＝AN＝ OA＝ ，
∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴ ，
∴ ，
解得：OP＝ ，
∴P （ ，0）；
4
综上所述：点P （2 ，0），P （﹣2 ，0），P （12，0），P （ ，0）．
1 2 3 416．抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出
所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，
﹣3），
∴ ，解得 ，
即此抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x＝1；
（3）存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），
当PA＝PD时，则 ＝ ，
解得y＝﹣ ，
当DA＝DP时，则 ＝ ，
解得y＝﹣4±2 ，
当AD＝AP时，则 ＝ ，
解得，y＝±4（舍去﹣4），
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2
）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）．
