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专题13 等腰三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（
）
A．26或28 B．26 C．28 D．
【答案】A
【分析】分8是底边和腰长两种情况讨论求解．
【详解】解：若8是底边，则三角形的另两边分别为10、10，能组成三角形，周长 ，
8是腰长，则三角形的另两边分别为8、10，能组成三角形，周长 ．
综上所述，它的周长m的取值为26或28．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：当 cm为腰长时，则底边长为 cm，
∵ ，不符合题意；∴ cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为： ；故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注
意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．
例3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为 ，则这个等腰三角形的顶角的度
数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】等腰三角形的的一个内角是 ，则可能是顶角，也可能是底角，分情况讨论即可．
【详解】解：分如下两种情况讨论：当 角是底角时，顶角度数为 ，
当 角是顶角时，顶角度数为 ．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，做题时要善于利用分类讨论思想，特别是等
腰三角形在没有图的情况下．
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
【答案】 或
【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和
以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ，此时 ，∴ ，
若三角形为钝角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ，
此时 ，综上，等腰三角形的顶角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据
题意画出图形，并注意分类讨论．
例5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条
件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质解题．
【详解】解：如图：网格中满足条件的点C的个数为6个，故选：B．【点睛】本题考查网格作图—等腰三角形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例6．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在 中， ， ．点P为直
线 上一动点，若点P与 三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置
有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满
足条件的点 的个数．
【详解】解：如图：
在 中， ， ， ，
当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
当 与 重合时， 为等腰三角形；当 与 重合时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；当 时， 为等腰三角形；
当 时， 为等腰三角形；
综上，满足条件的点 的位置有8个．故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，
若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD
时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例8．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第
一象限作等腰直角 ABC，则点C的坐标为_______．
△
【答案】
【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点 的坐标
【详解】解：如图，当 为直角顶点时，则 ,作 轴，
又 , 同理可得
根据三线合一可得 是 的中点，则 ，综上所述，点C的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是
解题的关键．
例9．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边 中， ，动点 以每秒 个单位长度的速度
从点 出发在射线 上运动，设点 的运动时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示线段 的长；(2)连结 ，当 时，求 的值；(3)若在线段 上存在一
点 ，且 ．在点 运动的同时有一动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发在线段 上运动，
当点 运动到点 时，立即以原速度返回至终点 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1) (2) 或 (3) 或 ．
【分析】（1）根据题意分情况讨论，列出代数式，即可求解；
（2）根据题意，以及含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依题意，得出 为等腰三角形，分点 从点 运动到点 以及从点 返回，两种情况分析，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发在射线 上运动，设点 的
运动时间为 秒．∴ ，
当 时， ；当 时， 综上所述，
（2）解：如图所示，当 在线段 上时，
∵ 是等边三角形， ∴ ， ，
当 时， ∴ ∴ 解得：
当 在 的延长线上时，∵ ， ∴
∴ ∴ ∴ 解得：
（3）解：如图所示，当 时， 在 上运动时，
∵ ，当 为等腰三角形时，则 为等边三角形，∴ ，
∵ ， ．∴ 点在 上运动的时间为： ， 在 上运动的时间为 ，
当 点从点 运动到点 的过程中， ， ∴ 解得： ；
当 ，即点 在 的延长线上时，此时点 从D运动回点C当点 从 点返回时， ， ；∴ 解得： ；
综上所述，当 为等腰三角形时， 或 ．
【点睛】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形
的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【分析】分 是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：① 是腰长时，三角形的三边分别为 、 、 ，因为 ,故不能组成三角形；
是底边长时，三角形的三边分别为 、 、 ，能组成三角形，周长 ，
②综上所述，这个等腰三角形的周长是 ．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，难点在于分情况讨论并利用三角形的三
边关系判断是否能组成三角形．
2.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图， 是射线 上一动点， ，当 为等腰三角形时，
的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分 和 三种情况，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解
答即可．
【详解】解：若 为等腰三角形则有 和 三种情况，
①当 时，则有 ，故 ；
②当 时，则 ；
③当 时，则 ，综上可知： 不可能为 ；故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，正确分类、熟练掌握等腰三角形的性质是
解题的关键．
3．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点 ， ，若点C在x轴上，
且 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分为 、 ， 三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：
当 时，符合条件的点有2个；当 时，符合条件的点有1个；
当 ，即当点C在 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点C共有4个．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小
正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．
【详解】解：如图所示：∵△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，∴满足条件的格点C有4个，故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键
5．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点
都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的
点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论．
【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．
6．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分
线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
7．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直
线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同
一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M ，M ，交BC有一点M ，（此时AB＝AM）；
1 2 3
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M ，M ，交AC有一点M （此时BM＝BA）．
5 4 6
③AB的垂直平分线交AC一点M （MA＝MB），交直线BC于点M ；
7 8
∴符合条件的点有8个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
8．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段 中， 可绕点 旋转， ，
，线段 上有一动点 ，将线段 分成两部分，旋转 ， ，当三条线段 ， ， 首
尾顺次相连构成等腰三角形时， 的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
【答案】A
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当 时， ， ，
当 时，则 ， ， 三条线段 ， ， 不能构成三角形，
当 时，则 ， ， 三条线段 ， ， 不能构成三角形，故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
9．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．
【答案】40°或100°
【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，
40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．
【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为： ，①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；
②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数 。故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．
10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是 ，
则底角的度数是 ．
【答案】 或
【分析】根据题意分等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况，分别根据三角形内角和定理和等腰三角形
的性质求解即可．
【详解】解：①当 为锐角三角形时，如图1，
∵ ， ，∴ ，
∴ ∴三角形的底角为 ；
②当 为钝角三角形时，如图2，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ∴
∴三角形的顶角为 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候
可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点
在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ．
【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)
【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解
即可．
【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时，作CP⊥y轴于P点，则
∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，
在 OBA和 PCB中， ∴OB=PC，OA=PB，
△ △
由题意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此时，C点坐标为(4，6)；
②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时，
作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可证得 BOA≌△AQC，
∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此时，C点坐标为△(6，2)；
③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时，
作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°，
同①理，可证得 BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，
△
则 ，即： ，解得： ，∴ON=2+1=3，
∴此时，C点坐标为(3，3)；
综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用
全等三角形的判定与性质求解是解题关键．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，在直线 或直线
上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有_______个．【答案】8
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同
一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M，M，交BC有一点M，（此时AB=AM）；
1 2 3
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M，M，交AC有一点M（此时BM=BA）．
5 4 6
③AB的垂直平分线交AC一点M（MA=MB），交直线BC于点M；
7 8
∴符合条件的点有8个．故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
13．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在 中， ， 垂直平分 分别交 ，
于 ， ．如果 是等腰三角形，那么 的大小是 ．
【答案】 或
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出 ，即可得到 . 然后对 中的
边进行讨论，然后在 中，利用三角形内角和定理即可求得 的度数.
【详解】∵ 是 的中垂线,
∴ ，∴ ，
∵ ,
∴ ，
设 ,则 ，
①当 时,
则在 中，根据三角形内角和定理可得： ,
解得: ,则 ；
②当 时, , 而
, 故此时不成立；
③当 时,
在 中，根据三角形内角和定理得到：
，
解得: ，
即 的度数为 或 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确对 的边
进行讨论是解题的关键.
14．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，直线 ， 交于点 ， ，点 是直线 上的一个定点，
点 在直线 上运动，且始终位于直线 的上方，若以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，则
，度．【答案】 或 或
【分析】根据题意，分三种情况讨论，①当 时，②当 时，③当 时，根据三角
形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，要使 为等腰三角形需分三种情况讨论：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
综上， 的度数是 或 或 ．
故答案为：40或70或100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，分类讨论是解题的关键．
15．（2023·江西抚州·七年级校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角
形的顶角是 度．
【答案】 或
【分析】本题应分为当顶角较小时和当顶角较大时两种情况，然后根据等腰三角形的性质两底角相等求解．
【详解】解：（1）当顶角较小时，顶角度数是： ，
（2）当顶角较大时，顶角度数为： ，
故答案为： 或 ．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应
分为两种情况．
16．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线
与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角形
的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
当 时， ，
由三角形的外角性质得 ，即 ，
此情况不存在；
当 时，
， ，
由三角形的外角性质得 ，解得 ；
当 时， ，
∴ ，
由三角形的外角性质得 ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的
关键．
17．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二
倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰 为“倍角三角形”，则 的顶角度数为
．
【答案】 或
【分析】分顶角度数是底角度数2倍和底角度数是顶角度数2倍两种情况讨论分别利用三角形内角和定理
求解即可．【详解】解：当顶角度数是底角度数2倍，顶角： ；
当底角度数是顶角度数2倍，顶角： ．
故 的顶角度数为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、新定义等知识点，掌握分类讨论思想是解答
本题的关键．
18．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在 中， ．过三角形顶点的
一条直线将 分割为两个等腰三角形．求 的度数．
【答案】
【分析】分三种情况：当 时，当 ， 时，当 ， 时，根据
等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ ，设 ，
则 ，
∵ ，即： ，
可得： ，
如图，当 时，
此时 ， ，
∵ ，即： ，
解得： ，即： ；
如图，当 ， 时，
此时 ， ，
∵ ，即： ，解得： ，即： （不符合题意，舍去）；
如图，当 ， 时，
此时 ， ，
∵ ，即： ，
解得： ，即： （不符合题意，舍去）；
综上所述： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是解题的
关键．
19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 上任意
一点，若 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数．
【答案】 或
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 ，再分两种情况进行讨论：①
；② ．
【详解】解：在 中， ， ，
．
分两种情况：
①当 时， ；②当 时， ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．
20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， cm，现有两点M、N分别
从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为 ．当点N第
一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 ？
(3)当点M、N在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．
(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形 ．
【答案】(1)6
(2)2
(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒
(4) 或 或 或9秒
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比
M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形 ，然后表示出 ， 的长，由于
，所以只要 ， 就是等边三角形；
（3）首先假设 是等腰三角形，可证出 ，可得 ，设出运动时间，表示出
、 、 的长，列出方程，可解出未知数的值；
（4）分点N在 、 、 上运动的三种情况，再分别就是 和 ，列方程求解
可得．【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
则 ，
解得： ，
即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形 ，如图1，
，
， ，
∵ ，当 时， 是等边三角形，
∴ ，
解得 ，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形 ；
（3）解：当点M、N在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设 是等腰三角形，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，∴ （AAS），
∴ ，
∴ ，
解得 ，符合题意，
所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以 为底边的等腰三角形；
（4）解：当点N在 上运动时，如图3，
，
若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ；
如图4，若 ，
，
由 得 ，
解得 ；
当点N在 上运动时，点M也在 上，此时A、M、N不能构成三角形；
当点N在 上运动时，如图5，，
当点N位于 中点处时，由 是等边三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ，
解得 ；
如图6，
，
当点M位于 中点处时，由 是等边直角三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ；
综上，当 ， ， ，9时，可得到直角三角形 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，
理清线段之间的数量关系．
21．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，在长方形 中， ，
，点P以 的速度从点A出发，沿 运动；同时点Q以 的速度从点D出
发向点A运动，P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 ．
(1)用含t的代数式表示 ；(2)当点P在线段 上运动时，且 是等腰三角形时，求t的值；
(3)用含t的代数式表示 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ； 时， ； 时，
【分析】（1）先将 表示出来，再根据 即可进行解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得，当 时， ，分别表示出 ，列出方程求解即可；
（3）根据题意，进行分类讨论：①当 时，点P在 上，②当 时，点P在 上，③当
时，点P在 上．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴等腰 中 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
（3）解：①当 时，点P在 上，
∴ ，
②当 时，点P在 上，
∴ ，
③当 时，点P在 上，
∵ ，点P做过的路程为 ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，
根据题意列出代数式；掌握等腰三角形两腰相等；以及整式混合运算的运算顺序和运算法则．
22．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作实践： 中， ，请画出一
条直
线把 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数； 要求用两种不同的分割
方法
（2）分类探究： 中，最小内角 ，若 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示
意图并写出 最大内角的所有可能值； 以下为备用图
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？ 请你至少写出两种
不同情况的条件,无需证明
【答案】（1）见解析；（2）见解析， 或 或 或 ；（3）见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先对 角分类讨论， 为等腰三角形的顶角时； 为等腰三角形的底角时；利用三角形内角和及
外角定理推出另一个等腰三角形中的内角度数再进行顶角和底角的分类讨论．
根据（1）（2）中的图形总结即可．
【详解】解： 如图所示：方法一：两个底角的度数分别为： ；方法二：两个底角的度数分别为： ；
设分割线为 ，相应用的角度如图所示：
图 的最大角 ，图 的最大角 ，
图 的最大角 ，图 的最大角 ，
故 的最大内角可能值是 或 或 或 ；
若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
该三角形是直角三角形；
该三角形有一个角是最小角的 倍；
该三角形有一个角是其中一个角的 倍．
【点睛】此题主要考查作图——应用与设计作图及等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本
题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道可以
体现从性质到应用的好题．
