文档文本内容
专题 02 矩形与等腰三角形、二倍角、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:20)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:32)(cid:20)....................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:20)....................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:42)(cid:43)(cid:20)........................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:44)(cid:45)(cid:20)........................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:23)(cid:24)(cid:34)(cid:25)(cid:46)(cid:45)(cid:20)........................................................................................................................................9
【题型1 矩形的翻折】
(cid:15)(cid:47)1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = =4(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:66)
(cid:63) (cid:67)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)𝐴(cid:65)𝐵(cid:73)𝐶𝐷(cid:64)(cid:43) 𝐵(cid:63)𝐶 (cid:74)2(cid:75)𝐴𝐵(cid:76) (cid:25)(cid:45)𝑀(cid:35)(cid:48)𝑁 (cid:58)
𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝑀𝑁 𝐶𝑀𝑁𝐷 𝑀𝑁 𝐶 𝐷 𝐴 𝐸 𝑀𝑁
8
A(cid:75)2 2 B(cid:75) 5 C(cid:75) 6 D(cid:75)
3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:84)(cid:85) (cid:34)(cid:63) = =3(cid:63)(cid:43) (cid:64) (cid:66)
(cid:67)(cid:75)(cid:70) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87) (cid:63)(cid:88) = (cid:63)(cid:76) (cid:25)𝐴(cid:89)𝐵𝐶(cid:90)𝐷(cid:35) 𝐴 𝐵 2(cid:75),𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶
△𝐴𝐸𝐵 𝐴𝐸 △𝐴𝐸𝐹 ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:79)(cid:80)(cid:54)(cid:91)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =1(cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:92)(cid:32)(cid:93) (cid:26)(cid:27)(cid:63)
(cid:86)(cid:87) (cid:63) (cid:94) (cid:95)(cid:43)F(cid:63)(cid:96)(cid:70) (cid:72) (cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:86)(cid:87) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:63) (cid:94)𝐴𝐵 (cid:95)(cid:43) H𝐴(cid:63)𝐵(cid:88)𝐶 (cid:97)(cid:38) 𝐴𝐶 (cid:63)(cid:76)
△𝐴𝐸𝐶 𝐶𝐸 𝐴𝐷 △𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐹 △𝐴𝐺𝐹 𝐺𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐺(cid:25)(cid:89)(cid:35) (cid:75)
𝐹𝐻
(cid:15)(cid:77)(cid:78)1-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:98)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:102)(cid:93) (cid:67)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69)
(cid:105)(cid:106)(cid:89)(cid:94)(cid:33)(cid:93) (cid:95)(cid:43) (cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:33)(cid:93) (cid:26)(cid:27)(cid:87) (cid:63)(cid:106)𝐴𝐵(cid:89)𝐶𝐷 (cid:28)(cid:33)(cid:93)𝐸 (cid:94)(cid:95)𝐵(cid:43)𝐶 (cid:75) 𝐴𝐸
′ ′
𝐷𝐶 𝐹 △𝐴𝐵𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝑀
(1)(cid:107)(cid:108)(cid:10) = (cid:109)
(2)(cid:88) =𝐴6𝑀, 𝑀=𝐹8(cid:75)
(cid:48) (cid:58)𝐴(cid:59)𝐵(cid:60)2(cid:63) 𝐵(cid:43)𝐶 (cid:101)(cid:66) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:110)(cid:63)(cid:107) (cid:25)(cid:89)(cid:109)
(cid:48)𝑖 (cid:58)(cid:111)(cid:43) (cid:64)(cid:93)𝐸(cid:112) 𝐵(cid:67)𝐶(cid:63)(cid:113) =4(cid:110)(cid:63)𝐶𝑀(cid:107) (cid:25)(cid:89)(cid:75)
【 𝑖 题 𝑖 型2 𝐹 矩形与等 𝐶 腰 𝐷 三角形 𝐶 】 𝐹 𝐶𝑀
(cid:15)(cid:47)2(cid:20)(cid:48)23-24(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:79)(cid:80)(cid:54)(cid:91)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:89)(cid:114)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63)(cid:92)(cid:32)(cid:93) =5(cid:63) (cid:97)(cid:38)
(cid:94) (cid:95)(cid:43)E(cid:63) (cid:101)(cid:93)(cid:112) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:115)(cid:43)C(cid:116) 𝐴𝐵𝐶(cid:94)𝐷 (cid:25)𝐴(cid:106)𝐵(cid:89)(cid:93)(cid:95)(cid:43)P(cid:63)(cid:111)𝐴𝐶 𝐵(cid:35)𝐸(cid:29)(cid:30)(cid:31)∠𝐴(cid:32)𝐵𝐶
(cid:24)𝐴(cid:110)𝐷(cid:63) =(cid:48)𝑄(cid:117)(cid:117)(cid:58) 𝐵𝐸 𝐶𝑄 𝐶𝑃⊥𝐶𝑄 𝐴𝐷 △𝑃𝐶𝑄
𝐴𝑃
A(cid:75)4 B(cid:75)5 C(cid:75)6 D(cid:75)7(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =5(cid:63) (cid:35)(cid:66) (cid:67)(cid:25)(cid:103)
(cid:43)(cid:63) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:105)(cid:106)(cid:89)(cid:63)(cid:94) (cid:95)(cid:43) (cid:75)(cid:88) (cid:97)(cid:38)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:63)(cid:76)𝐵𝐶 = 𝐵 𝐷 (cid:75)𝑀 𝐴𝐷
𝑂 𝐵𝐷 𝑀𝑂 𝐵𝐶 𝑁 𝑀𝑁 ∠𝐴𝑀𝐶 𝐷𝑀
1
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:123)(cid:124)(cid:82)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43)E(cid:64) (cid:67)(cid:63)(cid:113) = =
2
=1(cid:63)(cid:43)F(cid:101)(cid:93)(cid:112) (cid:67)(cid:25)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:43)F(cid:125)(cid:28)(cid:43)A(cid:63)D(cid:126)(cid:127)𝐴𝐵(cid:58)𝐶(cid:63)𝐷(cid:68)(cid:69) (cid:63) 𝐵(cid:63)𝐶 (cid:70) 𝐴𝐵(cid:72)(cid:33)𝐶𝐸(cid:93) (cid:26)(cid:27)
𝐵(cid:86)𝐸(cid:87) (cid:63)(cid:111)(cid:43)F(cid:64)𝐴𝐷(cid:128)(cid:42)(cid:115)(cid:129)(cid:34)(cid:63)(cid:87)(cid:130)(cid:43)G(cid:131)(cid:132)(cid:73)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:133)(cid:134)(cid:103)(cid:66)(cid:61)(cid:64)𝐴𝐸(cid:25)(cid:33)𝐸𝐹(cid:93)(cid:67)(cid:110)△(cid:63)𝐴(cid:76)𝐸(cid:61)𝐹 (cid:135)(cid:136)(cid:137)𝐸(cid:138)𝐹(cid:139)(cid:25)
(cid:93)(cid:112)△(cid:25)𝐺𝐸(cid:89)𝐹(cid:101) (cid:75)
𝐴𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)2-3(cid:20)(cid:48)22-23(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:123)(cid:140)(cid:141)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =6(cid:63) =8(cid:63)P(cid:145)E(cid:38)(cid:65)(cid:101)
(cid:93)(cid:112) (cid:145) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:113)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:88) (cid:101)(cid:146) (cid:35)𝐴𝐵(cid:30)𝐶(cid:25)𝐷(cid:29)(cid:30)𝐴(cid:31)𝐵(cid:32)(cid:24)(cid:63)𝐴(cid:76)𝐷 (cid:25)(cid:89)(cid:101)(cid:48) (cid:58)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑃𝐸𝐹𝐷 △𝑃𝐶𝐷 𝑃𝐷 𝐴𝑃
A(cid:75)4(cid:147)5 B(cid:75)5(cid:147)6 C(cid:75)5(cid:147)2.8 D(cid:75)4(cid:147)2.7
【题型3 矩形与等腰直角三角形】
(cid:15)(cid:47)3(cid:20)(cid:48)2022·(cid:79)(cid:80)·(cid:36)(cid:148)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:29)(cid:30) (cid:34)(cid:63) = (cid:101) (cid:25)(cid:149)(cid:93)(cid:63)E(cid:101)(cid:66) (cid:67)(cid:103)(cid:43)(cid:63)
(cid:38)(cid:65)(cid:116) (cid:95)(cid:43)F(cid:63) (cid:95)(cid:43)G(cid:63)𝑅(cid:150)𝑡(cid:151)△(cid:152)𝐴𝐵(cid:153)𝐶(cid:154)(cid:155)∠(cid:34)𝐵(cid:156)𝐴𝐶(cid:157)(cid:158)9(cid:60)0°(cid:108),𝐴(cid:159)𝐷(cid:160)△𝐴𝐵+𝐶 =2( +𝐴𝐶 )(cid:75)(cid:115)
2 2 2 2
(cid:43)B(cid:116)𝐸𝐹⊥𝐴𝐷(cid:95)(cid:43)H(cid:63)𝐸(cid:88)𝐺(cid:71)⊥(cid:66)𝐵𝐶(cid:24) (cid:25)(cid:161)(cid:89)(cid:35)20(cid:63)(cid:113)(cid:60)(cid:34)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:38)(cid:25)(cid:165)𝐵(cid:166)𝐺(cid:167)(cid:35)𝐶𝐺14(cid:63)(cid:76)(cid:71)𝐵𝐷(cid:66)(cid:24)𝐷𝐺 (cid:25)(cid:165)
(cid:166)(cid:35)(cid:48) 𝐵 𝐻 (cid:58)⊥.𝐸𝐹 𝐵𝐻𝐸𝐺 𝐵𝐻𝐸𝐺A(cid:75)20 B(cid:75)22 C(cid:75)24 D(cid:75)28
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-1(cid:20)(cid:48)23-24(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:80)(cid:123)(cid:168)(cid:169)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:170)(cid:103)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:84)(cid:85) (cid:172)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:114)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:27)
(cid:178)(cid:63)(cid:86)(cid:87)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32) (cid:63)(cid:88) = 2(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:89)(cid:90)(cid:35)(cid:48)(cid:117)(cid:117)(cid:58) 𝐴𝐵𝐶𝐷
△𝐵𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐵
4
A(cid:75)2 B(cid:75) 2 C(cid:75)2+ 2 D(cid:75)
3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-2(cid:20)(cid:48)2023·(cid:79)(cid:80)(cid:179)2(cid:180)−·(cid:148)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:70)(cid:103)(cid:104)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:184) (cid:185)(cid:186)(cid:64)(cid:103)(cid:171)(cid:23)(cid:24)(cid:84)(cid:85)(cid:67)(cid:63)(cid:130)(cid:43)
G(cid:63)E(cid:63)F(cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:66) (cid:63) (cid:63) (cid:67)(cid:63)(cid:88) =70°(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:90)𝐺𝐸(cid:187)𝐹(cid:35)(cid:48)(cid:117)(cid:117)(cid:58)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐹𝐶 ∠𝐴𝐺𝐸
A(cid:75)130° B(cid:75)120° C(cid:75)110° D(cid:75)100°
(cid:15)(cid:77)(cid:78)3-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:188)(cid:189)(cid:89)(cid:190)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) (cid:25)(cid:97)(cid:38)(cid:93) (cid:94) (cid:95)(cid:43)E(cid:63)
= (cid:63) (cid:95)(cid:43)H(cid:63)(cid:68)(cid:191) (cid:105)(cid:106)(cid:89)(cid:63)(cid:94) (cid:95)(cid:43)F(cid:63)(cid:68)𝐴(cid:191)𝐵𝐶𝐷(cid:75)(cid:192)∠(cid:193)𝐴(cid:52)𝐷𝐶(cid:194)(cid:191)(cid:41)(cid:10) 𝐷𝐸 𝐴𝐵
𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐶𝐻⊥𝐷𝐸 𝐴𝐻 𝐶𝐵 𝐶𝐸
① = 2 (cid:109)
②𝐴𝐵 =𝐴𝐷 (cid:109)
∠𝐶𝐸𝐵 ∠67.5° 1
③ (cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:101)(cid:23)(cid:24) (cid:165)(cid:166)(cid:25) (cid:109)
3
④△𝐷=𝐴𝐸 (cid:109) 𝐴𝐵𝐶𝐷
⑤𝐴𝐻 𝐶𝐻
△𝐶𝐵𝐸≌△𝐶𝐻𝐸(cid:195)(cid:34)(cid:131)(cid:196)(cid:25)(cid:135) (cid:75)
【题型4 矩形中为二倍角】
(cid:15)(cid:47)4(cid:20)(cid:48)2024·(cid:80)(cid:123)(cid:197)(cid:82)·(cid:36)(cid:148)(cid:58)(cid:111)(cid:151)(cid:152)(cid:60)(cid:24)(cid:34)(cid:63)(cid:176)(cid:104)(cid:198)(cid:199)(cid:43)(cid:25)(cid:32)(cid:61)(cid:64)(cid:32)(cid:90)(cid:101)(cid:7)(cid:198)(cid:18)(cid:32)(cid:103)(cid:200)(cid:25)(cid:3)(cid:201)(cid:63)(cid:202)(cid:203)(cid:204)
(cid:205)(cid:35)“(cid:200)(cid:32)(cid:148)(cid:22)”(cid:63)(cid:169)(cid:124)(cid:157)“(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:208)(cid:43)”(cid:209)(cid:210)(cid:60)(cid:24)(cid:25)(cid:151)(cid:152)(cid:77)(cid:211)(cid:63)(cid:130)(cid:86)(cid:176)(cid:104)(cid:38)(cid:212)(cid:25)(cid:32)(cid:77)(cid:211)(cid:213)(cid:35)(cid:103)(cid:104)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:63)(cid:214)(cid:111)
(cid:95)(cid:215)(cid:216)(cid:193)(cid:176)(cid:104)(cid:31)(cid:32)(cid:24)(cid:217)(cid:29)(cid:75)
(cid:15)(cid:218)(cid:21)(cid:219)(cid:220)(cid:20)
(cid:48)1(cid:58)(cid:59)(cid:60)1(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) = = =90°(cid:63) (cid:145) (cid:38)(cid:65)(cid:101) (cid:145) (cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)
(cid:113) =45°(cid:63)(cid:107)(cid:193)(cid:60)𝐴(cid:34)𝐵(cid:93)𝐶𝐷(cid:112) (cid:63)𝐴𝐷 (cid:63)𝐶𝐷 (cid:205)∠(cid:221)𝐴(cid:25)(cid:187)∠𝐴(cid:222)𝐷(cid:3)𝐶(cid:201)(cid:75)∠𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
①∠(cid:59)𝐸𝐷(cid:60)𝐹1(cid:63)(cid:223)(cid:138)(cid:139)(cid:193)(cid:224)(cid:10)(cid:70) 𝐸𝐹 (cid:225)𝐴𝐸(cid:226)(cid:43)𝐹𝐶(cid:227)(cid:110)(cid:228)(cid:206)(cid:207)90°(cid:87) (cid:229)(cid:186)(cid:63)(cid:230)(cid:231)“(cid:206)(cid:207)(cid:25)(cid:232)(cid:233)”(cid:38)(cid:234) (cid:28)
(cid:205)(cid:221)(cid:25)(cid:3)(cid:201)(cid:63)(cid:96)(cid:169)(cid:115)(cid:217)(cid:29)(cid:25)(cid:232)△(cid:233)𝐴𝐷(cid:86)𝐸(cid:87)(cid:93)(cid:112)(cid:205)𝐷(cid:221)(cid:25)(cid:187)(cid:222)(cid:3)(cid:201)(cid:63)(cid:235)△(cid:108)𝐶(cid:86)𝐷(cid:191)𝑀(cid:41)(cid:75) 𝐶𝑀 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:39)(cid:236)(cid:38)(cid:234)(cid:20)
(cid:48)2(cid:58)(cid:59)(cid:60)2(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) = =90°(cid:63) =45°(cid:63)(cid:113) =7(cid:63) =13(cid:63)
=5(cid:63)(cid:107) (cid:25)(cid:89)(cid:75) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 𝐵𝐶 𝐷𝐶
𝐶(cid:15)𝐹(cid:11)(cid:146)(cid:237)(cid:157)(cid:20)𝐵𝐸
(cid:48)3(cid:58)(cid:59)(cid:60)3(cid:63)(cid:64)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = (cid:63) (cid:28) (cid:238)(cid:239)(cid:63)(cid:43) (cid:145) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:102)(cid:93) (cid:145) (cid:67)(cid:63)(cid:113)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐸 𝐹 𝐶𝐵 𝐷𝐶
= (cid:75)(cid:111) =4(cid:63) =7(cid:63) =1(cid:110)(cid:63)(cid:107)(cid:193) (cid:25)(cid:161)(cid:89)(cid:75)
2
∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-1(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:101)(cid:23)(cid:24)(cid:63)(cid:43)E(cid:64)(cid:93)(cid:112) (cid:25)(cid:106)(cid:89)(cid:93)(cid:67)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:94) (cid:95)(cid:43)F(cid:63)
= (cid:63)(cid:43)G(cid:101) 𝐴𝐵(cid:25)𝐶𝐷(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:88) =1(cid:63) 𝐶=𝐵3(cid:63)(cid:76) (cid:25)(cid:89)(cid:35)(cid:48)(cid:117)𝐷(cid:117)𝐸 (cid:58)𝐴𝐵
∠𝐴𝐸𝐷 2∠𝐶𝐸𝐷 𝐷𝐹 𝐵𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐹
A(cid:75)8 B(cid:75)9 C(cid:75)4 2 D(cid:75)2 10(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:240)(cid:241)(cid:80)(cid:242)(cid:243)(cid:244)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64) (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) (cid:245)(cid:33)(cid:97)(cid:38)
(cid:63) (cid:95)(cid:43) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:113) = (cid:63)(cid:88) =2 3(cid:63)△𝐴𝐵=𝐶2(cid:63)(cid:76)∠𝐴𝐶(cid:25)𝐵 (cid:89)(cid:35) 𝐷𝐹(cid:75)
𝐵𝐶 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 2∠𝐸𝐷𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐷𝐹
(cid:15)(cid:77)(cid:78)4-3(cid:20)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)E(cid:35) (cid:66)(cid:67)(cid:103)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:64) (cid:67)(cid:246)(cid:103)(cid:43)F(cid:63) = (cid:63)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹 ∠𝐵𝐶𝐸
= (cid:63)(cid:88) = (cid:63)(cid:107) (cid:25)(cid:45)(cid:75)
𝐴𝐸 𝑚 𝐴𝐸
∠𝐵𝐸𝐶 2∠𝐷𝐴𝐶 𝐶𝐹 𝑛 𝐸𝐵
【题型5 矩形与分类讨论】
(cid:15)(cid:47)5(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:240)(cid:241)(cid:80)(cid:247)(cid:119)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =9(cid:63)(cid:43) (cid:64) (cid:67)(cid:63) =4(cid:63)
(cid:101) (cid:67)(cid:25)(cid:103)(cid:104)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:88)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:72) 𝐴(cid:27)𝐵𝐶(cid:178)𝐷(cid:63)(cid:43)𝐴(cid:63)𝐵 (cid:38)(cid:65)𝐴(cid:73)𝐷(cid:64)(cid:43) (cid:63)𝐸(cid:74)𝐵(cid:63)𝐶(cid:76)(cid:111)(cid:43)𝐶𝐸 (cid:248)(cid:132)(cid:73)𝐹
′ ′
(cid:64)𝐴(cid:23)𝐷(cid:24) (cid:25)(cid:103)(cid:66)(cid:67)(cid:110)(cid:63)𝐸𝐹(cid:25)(cid:89)(cid:35) (cid:75)𝐴𝐵𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐵
(cid:15)(cid:77)(cid:78)𝐴5𝐵-1𝐶(cid:20)𝐷(cid:48)24-25(cid:249)(cid:50)(cid:51)𝐴(cid:52)𝐹 ·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63)(cid:92)(cid:32)(cid:93) =5(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)
(cid:65)(cid:101)(cid:93)(cid:112) (cid:63) (cid:67)(cid:25)(cid:43)(cid:63)(cid:70) (cid:72)(cid:33)(cid:93) (cid:27)(cid:178)(cid:63)(cid:43) (cid:63) (cid:38)𝐴𝐵(cid:65)𝐶(cid:73)𝐷(cid:64)(cid:43)𝐶𝐷(cid:63) (cid:74)(cid:75)(cid:111)(cid:43) (cid:73)𝐴𝐶(cid:64)(cid:27)(cid:93) 𝐺(cid:67)𝐻(cid:63)
(cid:113) =1𝐴(cid:110)𝐷(cid:63)𝐴𝐶(cid:25)(cid:89)(cid:35) △(cid:75)𝐴𝐶𝐷 𝐺𝐻 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐸 𝐶𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐶𝐻
(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:119)(cid:254)(cid:82)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = =3(cid:63)(cid:43) (cid:63)(cid:43) (cid:38)(cid:65)(cid:64)
(cid:67)(cid:63) = = (cid:63)(cid:88) (cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:67)(cid:103)(cid:43)(cid:63)(cid:111) (cid:35)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)𝐴𝐵(cid:24)𝐶(cid:110)𝐷(cid:63) 𝐴(cid:25)𝐵(cid:89)(cid:35)2,𝐵 𝐶 (cid:75) 𝐸 𝐹 𝐴𝐵,𝐵𝐶
𝐴𝐸 𝐵𝐸 𝐵𝐹 𝑃 △𝐸𝐹𝑃 𝐴𝑃(cid:15)(cid:77)(cid:78)5-3(cid:20)(cid:48)24-25(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:119)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:255)(cid:256)Rt (cid:34)(cid:63) =90°(cid:63) = =4(cid:63) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:101)
(cid:63) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:70) (cid:225)(cid:199)(cid:43) (cid:206)(cid:207)(cid:63)(cid:111)(cid:43)△𝐴(cid:87)𝐵𝐶(cid:33)(cid:93) ∠𝐴(cid:25)(cid:257)(cid:258)(cid:35)𝐴1𝐶(cid:110)(cid:63)2𝐴𝐵(cid:25)(cid:89)(cid:35) 𝐷 𝐸(cid:75)
𝐴
【
𝐵
题型
𝐵𝐶6
矩形中的动
𝐷
点
𝐸
】
△𝐵𝐷𝐸 𝐵 𝐸 𝐴𝐵 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:47)6(cid:20)(cid:48)23-24(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:250)(cid:251)(cid:259)(cid:118)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =4(cid:63) =30°(cid:63)(cid:103)(cid:42)(cid:43)P(cid:223)B
(cid:43)(cid:193)(cid:224)(cid:72)(cid:92)(cid:32)(cid:93) (cid:114)(cid:260)(cid:146)(cid:261)(cid:262)2(cid:104)(cid:263)(cid:229)(cid:89)(cid:90)(cid:25)(cid:264)(cid:90)(cid:260)(cid:43)D𝐴(cid:265)𝐵(cid:264)𝐶𝐷(cid:128)(cid:42)(cid:63)𝐶(cid:266)𝐷 (cid:110)(cid:267)(cid:103)∠(cid:42)𝐶𝐵(cid:43)𝐷Q(cid:223)D(cid:43)(cid:193)(cid:224)(cid:72) (cid:114)
(cid:260)(cid:146)(cid:261)(cid:262)1(cid:104)(cid:263)𝐵(cid:229)𝐷(cid:89)(cid:90)(cid:25)(cid:264)(cid:90)(cid:260)(cid:43)C(cid:265)(cid:264)(cid:128)(cid:42)(cid:63)(cid:111)(cid:195)(cid:34)(cid:103)(cid:104)(cid:43)(cid:87)(cid:268)(cid:269)(cid:43)(cid:110)(cid:63)(cid:267)(cid:103)(cid:104)(cid:43)(cid:270)(cid:271)(cid:205)(cid:272)(cid:273)(cid:128)(cid:42)𝐷(cid:75)𝐶(cid:274)
(cid:43)P(cid:145)Q(cid:128)(cid:42)(cid:25)(cid:110)(cid:221)(cid:35)t(cid:262)( >0)(cid:75)(cid:115)(cid:43)P(cid:116) (cid:95)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63) (cid:75)(cid:111) = (cid:110)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
(cid:101)(cid:275)(cid:24)(cid:75) 𝑡 𝑃𝐸⊥𝐵𝐶 𝐸𝑄 𝑃𝑄 𝑡 𝑃𝐸𝑄𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:123)(cid:140)(cid:141)·(cid:57)(cid:83)(cid:58)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =8cm(cid:63) =6cm(cid:63)(cid:42)(cid:43) (cid:223)(cid:43) (cid:193)(cid:224)(cid:63)
(cid:146)3cm/s(cid:25)(cid:264)(cid:90)(cid:72) (cid:265)(cid:264)(cid:128)(cid:42)(cid:109)(cid:266)(cid:110)(cid:42)(cid:43) 𝐴(cid:223)𝐵(cid:43)𝐶𝐷 (cid:193)(cid:224)𝐴(cid:63)𝐵(cid:146)1cm/s(cid:25)𝐵𝐶(cid:264)(cid:90)(cid:72) (cid:260)(cid:43) 𝑃(cid:265)(cid:264)(cid:128)𝐶(cid:42)(cid:63)(cid:111)
(cid:43) (cid:128)(cid:42)(cid:276)(cid:269)(cid:43)(cid:110)(cid:63)𝐶𝐷(cid:277)→(cid:104)𝐷(cid:128)𝐴→(cid:42)𝐴(cid:272)𝐶(cid:273)(cid:75)(cid:274)(cid:128)(cid:42)(cid:110)(cid:221)(cid:35) s𝑄(cid:75)(cid:88)(cid:42)𝐵(cid:43) (cid:145) (cid:61)(cid:64)(cid:25)(cid:33)(cid:93)(cid:97)(cid:38)(cid:23)𝐵(cid:24)𝐴 𝐴(cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:63)(cid:76) (cid:25)
(cid:45)𝑃(cid:35) (cid:75) 𝑡 𝑃 𝑄 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑡
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:217)(cid:278)·(cid:279)(cid:57)(cid:116)(cid:280)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) = 4cm(cid:63) =12cm(cid:63)(cid:43) (cid:223)(cid:43)
(cid:193)(cid:224)(cid:63)(cid:260)(cid:43) (cid:146)1cm/s(cid:25)(cid:264)(cid:90)(cid:265)(cid:264)(cid:128)(cid:42)(cid:63)(cid:43) (cid:146)4cm/s(cid:25)(cid:264)(cid:90)(cid:223)𝐴𝐵(cid:43)𝐶𝐷(cid:193)(cid:224)(cid:63)𝐴𝐵(cid:64) (cid:145) (cid:176)(cid:43)𝐴(cid:205)𝐷(cid:221)(cid:281)(cid:282)(cid:265)(cid:264)(cid:128)𝑃(cid:42)(cid:63)
𝐴(cid:176)(cid:43)(cid:266)(cid:110)(cid:193)(cid:224)𝐷(cid:63)(cid:43) (cid:87)(cid:268)(cid:43) (cid:110)(cid:272)(cid:273)(cid:128)(cid:42)(cid:48)(cid:266)𝑄(cid:110)(cid:43) (cid:270)(cid:272)(cid:273)(cid:128)(cid:42)(cid:58)(cid:75)𝐶(cid:274)(cid:128)(cid:42)(cid:110)(cid:221)𝐵(cid:35)𝐶s(cid:63)(cid:283)(cid:112)(cid:110)(cid:221)(cid:284)(cid:63)(cid:111) (cid:25)(cid:45)
(cid:35) (cid:110)(cid:63)(cid:146) (cid:145) 𝑃(cid:145) (cid:145) (cid:35)𝐷(cid:199)(cid:43)(cid:25)(cid:71)(cid:66)(cid:24)(cid:101)(cid:23)(cid:24)𝑄(cid:75) 𝑡 𝑡
𝑃 𝑄 𝐶 𝐷
(cid:15)(cid:77)(cid:78)6-3(cid:20)(cid:48)2023·(cid:80)(cid:123)(cid:124)(cid:82)·(cid:36)(cid:148)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =5(cid:63) =8(cid:75)(cid:42)(cid:43)M(cid:223)(cid:43)A(cid:193)(cid:224)(cid:63)(cid:72)(cid:66)
(cid:260)(cid:43)D(cid:265)(cid:264)(cid:128)(cid:42)(cid:63)(cid:264)(cid:90)(cid:35)(cid:261)(cid:38)(cid:285)x(cid:104)(cid:263)(cid:229)(cid:89)(cid:90)(cid:75)(cid:42)𝐴(cid:43)𝐵𝐶N𝐷(cid:223)(cid:43)𝐴B𝐵(cid:193)(cid:224)(cid:63)𝐵(cid:72)𝐶(cid:66) (cid:260)(cid:43)C(cid:265)(cid:264)(cid:128)(cid:42)(cid:63)(cid:264)(cid:90)(cid:35)(cid:261)𝐴(cid:38)𝐷
(cid:285)5(cid:104)(cid:263)(cid:229)(cid:89)(cid:90)(cid:75)(cid:111)(cid:43)N(cid:87)(cid:268)(cid:43)C(cid:110)(cid:63)M(cid:63)N(cid:176)(cid:43)(cid:266)(cid:110)(cid:272)(cid:273)(cid:128)(cid:42)(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)𝐵(cid:64)𝐶 (cid:128)(cid:42)(cid:115)(cid:129)(cid:34)(cid:63)(cid:70)(cid:71)(cid:66)(cid:24)
(cid:72)MN(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:86)(cid:87)(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:63)(cid:88)(cid:64)(cid:286)(cid:103)(cid:110)(cid:287)(cid:63)(cid:43)B(cid:25)(cid:92)(cid:288)(cid:43) (cid:248)𝑀(cid:132)𝑁(cid:73)(cid:64) (cid:25)(cid:106)(cid:89)(cid:93)(cid:67)(cid:63)(cid:113) 𝑀=𝐴1𝐵(cid:63)𝑁
′ ′ ′ ′
(cid:76) = (cid:75) 𝑀𝐴 𝐵 𝑁 𝐵 𝐶𝐷 𝐵 𝐷
𝑥【题型7 矩形中的最值】
(cid:15)(cid:47)7(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:80)(cid:123)(cid:168)(cid:289)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63) =6(cid:63)(cid:43) (cid:145)(cid:145)(cid:145) (cid:38)
(cid:65)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:290)(cid:66)(cid:67)(cid:63)(cid:113) = (cid:63) = (cid:63)(cid:76)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐴(cid:161)𝐵𝐶(cid:89)𝐷(cid:25)(cid:44)(cid:291)𝐴𝐵(cid:45)(cid:35)(cid:48)(cid:117)𝐵𝐶(cid:117)(cid:58) 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
𝐴𝐸 𝐶𝐺 𝐵𝐹 𝐷𝐻 𝐸𝐹𝐺𝐻
A(cid:75)3 3 B(cid:75)6 3 C(cid:75)6 5 D(cid:75)9 3
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-1(cid:20)(cid:48)24-25(cid:122)(cid:50)(cid:51)(cid:67)·(cid:80)(cid:123)(cid:197)(cid:82)·(cid:142)(cid:112)(cid:143)(cid:144)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =3(cid:63) =4(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:97)(cid:165)
(cid:284)(cid:103)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:113)(cid:136)(cid:137) =2(cid:63) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:43) (cid:128)(cid:42)(cid:115)(cid:129)(cid:34)(cid:93)(cid:112)𝐴𝐵(cid:89)𝐶𝐷(cid:90)(cid:25)(cid:44)𝐴(cid:18)𝐵(cid:45)(cid:101) 𝐵 𝐶 (cid:75) 𝑀
𝐵𝑀 𝑁 𝑀𝐷 𝑀 𝐶𝑁
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-2(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:67)(cid:292)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63) =10(cid:63) =12(cid:63) (cid:97)(cid:38) (cid:94)
(cid:95)(cid:43) (cid:63) (cid:35)(cid:93)(cid:112) (cid:67)(cid:103)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:42)(cid:43) (cid:63) (cid:38)(cid:65)(cid:64)(cid:66) (cid:63) 𝐴𝐵(cid:67)𝐶(cid:63)𝐷(cid:113) 𝐴𝐵+ =5𝐵(cid:63)𝐶(cid:68)(cid:69) (cid:63)𝐴𝐸 (cid:75)(cid:76)∠𝐵𝐴𝐷+ 𝐵𝐶
(cid:25)(cid:44)𝐸(cid:291)(cid:45)𝑃(cid:101) (cid:75)𝐴𝐸 𝑀 𝑁 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐶𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁 𝑃𝑀 𝑃𝑁
(cid:15)(cid:77)(cid:78)7-3(cid:20)(cid:48)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:89)(cid:190)·(cid:148)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:43) (cid:35)(cid:93)(cid:112) (cid:67)(cid:25)(cid:42)(cid:43)(cid:48)(cid:43) (cid:125)(cid:28)(cid:43) (cid:145) (cid:126)(cid:127)(cid:58)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:146)
(cid:145) (cid:35)(cid:293)(cid:66)(cid:215)(cid:216)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:145)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:32)𝑃(cid:31)(cid:32)(cid:24)𝐴𝐵 (cid:63)(cid:43) (cid:28)(cid:43) (cid:64)𝑃 (cid:25)(cid:266)𝐴(cid:294)(cid:63)𝐵 (cid:95)(cid:43) (cid:63)
𝐴𝑃 𝐵𝑃 𝐴𝐷𝑃 𝐵𝐶𝑃 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 𝐸(cid:95)(cid:43) (cid:63)(cid:43) (cid:35) (cid:25)(cid:34)(cid:43)(cid:75)(cid:88) =8(cid:63)(cid:76)(cid:52)(cid:194)(cid:191)(cid:41)(cid:131)(cid:196)(cid:25)(cid:135) (cid:75)(cid:48)(cid:295)(cid:296)(cid:9)(cid:58)
𝐶𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝑄 𝐶𝐷 𝐴𝐵
①(cid:93)(cid:112) (cid:25)(cid:89)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:109)②(cid:71)(cid:66)(cid:24) (cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:109)③(cid:93)(cid:112) (cid:25)(cid:89)(cid:35)(cid:46)(cid:45)(cid:109)④ (cid:161)(cid:89)(cid:25)(cid:44)(cid:291)(cid:45)(cid:35)
4+4 2𝐸(cid:75)𝐹 𝐶𝐷𝐸𝐹 𝑃𝑄 △𝐶𝐷𝑃
【题型8 矩形中的定值】
(cid:15)(cid:47)8(cid:20)(cid:48)24-25(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:79)(cid:80)(cid:54)(cid:91)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43) (cid:35)(cid:92)(cid:32)(cid:93) (cid:34)(cid:43)(cid:63)(cid:68)(cid:191) (cid:63)(cid:115)(cid:43)
(cid:116) (cid:94) (cid:95)(cid:43) (cid:63) (cid:97)(cid:38) (cid:94) (cid:95)(cid:43) (cid:63)(cid:88)(cid:255)(cid:256)𝐴(cid:23)𝐵𝐶(cid:24)𝐷(cid:25)(cid:161)(cid:89)(cid:35)𝐸 (cid:46)(cid:45)(cid:63)(cid:76)𝐵(cid:52)𝐷(cid:194)(cid:93)(cid:112)(cid:89)(cid:35)(cid:46)𝐶𝐸(cid:45)(cid:25)(cid:101)𝐸
(cid:48)𝐸 𝐺(cid:58)⊥𝐶𝐸 𝐵𝐶 𝐺 𝐸𝐻 ∠𝐵𝐸𝐺 𝐵𝐶 𝐻
A(cid:75) B(cid:75) C(cid:75) D(cid:75)
(cid:15)(cid:77)(cid:78)𝐵8𝐻-1(cid:20)(cid:48)22-23(cid:122)(cid:50)(cid:51)𝐶𝐻(cid:67)·(cid:250)(cid:251)(cid:297)(cid:82)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)𝐶(cid:60)𝐺(cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:34)(cid:63)(cid:43)𝐸𝐻E(cid:101)(cid:92)(cid:32)(cid:93) (cid:67)(cid:103)(cid:43)(cid:63)(cid:135)
= = 3 (cid:113) = (cid:63)(cid:43)P(cid:101) (cid:67)(cid:103)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:76)(cid:43)P(cid:87)(cid:66)𝐴𝐵𝐶(cid:63)𝐷 (cid:25)(cid:257)(cid:258)(cid:205)(cid:167) 𝐴+𝐶 (cid:25)(cid:45)(cid:48) (cid:58)
𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝑎 𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝑁
3 1 3
A(cid:75)(cid:135)(cid:44)(cid:18)(cid:45)a B(cid:75)(cid:135)(cid:44)(cid:291)(cid:45) C(cid:75)(cid:101)(cid:46)(cid:45) D(cid:75)(cid:101)(cid:46)(cid:45)
2 2 2
(cid:15)(cid:77)(cid:78)8-2(cid:20)(cid:48)2025·(cid:79)(cid:80)(cid:298)(cid:118)·(cid:103)(cid:148)(cid:58)(cid:59)𝑎(cid:60)(cid:63)(cid:23)(cid:24) (cid:161)(cid:89)𝑎 (cid:35)8(cid:63)(cid:113) > (cid:75)(cid:68)𝑎(cid:69) (cid:63)(cid:116)(cid:43)C(cid:3)(cid:95) (cid:25)
(cid:92)(cid:204)(cid:43)E(cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:94) (cid:95)(cid:43)P(cid:63)(cid:116) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:94) (cid:95)(cid:43)G(cid:63)𝐵(cid:52)𝐶(cid:194)(cid:299)𝐶(cid:173)𝐷(cid:34)(cid:131)(cid:196)𝐵(cid:25)𝐷(cid:135)(cid:48) (cid:58)(cid:104)(cid:75) 𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝑃𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶①2< <4(cid:109)②(cid:31)(cid:32)(cid:24) (cid:25)(cid:161)(cid:89)(cid:35)(cid:46)(cid:45)4
③(cid:111) 𝐵(cid:77)𝐶(cid:18)(cid:110)(cid:63)(cid:71)(cid:66)(cid:24) 𝐴𝐵𝑃(cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:300)(cid:77)(cid:18)(cid:301)(cid:77)(cid:291)(cid:109)④(cid:111) (cid:77)(cid:18)(cid:110)(cid:63) (cid:302)(cid:303)(cid:77)(cid:291)
A𝐵(cid:75)𝐶1 B(cid:75)𝑃𝐴2𝐵𝐺 C(cid:75)3 𝐵𝐶 D(cid:75)𝐴4𝑃
(cid:15)(cid:77)(cid:78)8-3(cid:20)(cid:48)23-24(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)·(cid:118)(cid:251)(cid:304)(cid:54)·(cid:57)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:63)(cid:43) (cid:101)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:92)(cid:32)(cid:93)(cid:67)(cid:103)(cid:42)(cid:43)(cid:63)(cid:115)(cid:43) (cid:116) (cid:25)(cid:245)
(cid:93)(cid:63)(cid:38)(cid:65)(cid:94)(cid:66) (cid:95)(cid:43) (cid:63)(cid:68)(cid:69) (cid:63)(cid:135)(cid:52)(cid:194)(cid:191)(cid:41)(cid:10)𝑃①(cid:71)(cid:66)(cid:24)𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:25)(cid:165)(cid:166)(cid:101)(cid:46)(cid:45)(cid:109)② +𝑃 𝐴(cid:25)𝐶(cid:45)(cid:125)
(cid:77)(cid:109)③ + 𝐴𝐷(cid:25),𝐵(cid:45)𝐶(cid:125)(cid:77)𝐸(cid:109),𝐹④ 𝐶+𝐸,𝐴𝐹= + (cid:63)(cid:76)(cid:52)(cid:194)(cid:191)(cid:41)𝐴(cid:103)𝐹𝐶(cid:46)𝐸(cid:213)(cid:305)(cid:25)(cid:296)(cid:9)(cid:135) 𝐴(cid:75)𝐸 𝐶𝐹
2 2 2 2
𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐸
