文档文本内容
专题 01 菱形与翻折、最值、动点、定值的交互问题（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)............................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:31)60(cid:32)(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:20).......................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:20)........................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:28)(cid:25)(cid:37)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:20)............................................................................................................................................8
【题型1 菱形的翻折】
(cid:15)(cid:42)1(cid:20)(cid:43)2024·(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:25) (cid:41)(cid:55)(cid:56)(cid:36)E(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:59) (cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:61)(cid:62)
(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:63)(cid:64) =4(cid:53) =90°𝐴(cid:53)𝐵𝐶𝐷 𝐷=𝐶15°(cid:53)(cid:65)(cid:66)(cid:67) (cid:25)𝐴(cid:68)𝐸(cid:69)(cid:43)(cid:70)△(cid:70)𝐴𝐷(cid:50)𝐸 𝐴𝐸
′ ′ ′ ′
△𝐴𝐷 𝐸 𝐷 𝐶 𝐴𝐵 ∠𝐷𝐸𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 𝐷 𝐶
A(cid:63) 3 B(cid:63) 3 C(cid:63)4 3 D(cid:63)4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)81−-14(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)4−(cid:76)2·(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:45)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)−(cid:54)4 (cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =50°(cid:53)(cid:36)E(cid:82) (cid:41)(cid:55)(cid:25)(cid:83)(cid:36)(cid:53)
(cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:84)(cid:85)(cid:68)(cid:53)(cid:86) (cid:87)(cid:36)F(cid:63)𝐴𝐵(cid:65)𝐶𝐷 (cid:25)∠𝐴(cid:88)(cid:89)(cid:82) (cid:63)𝐴𝐵
′ ′
△𝐵𝐶𝐸 𝐶𝐸 △𝐵 𝐶𝐸 𝐷𝐵 𝐶𝐸 ∠𝐷𝐹𝐶
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-2(cid:20)(cid:51)(cid:52)①(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:90)(cid:91) (cid:53) =45°(cid:63)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:51)(cid:76)(cid:96)(cid:97)(cid:10)
(cid:59) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:98)(cid:36)A(cid:99)(cid:36)D(cid:100)𝐴(cid:101)𝐵𝐶(cid:53)𝐷(cid:27)∠(cid:102)𝐴(cid:69) (cid:103)(cid:59) (cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:98)(cid:36)C(cid:99)(cid:36)D(cid:100)(cid:101)(cid:53)(cid:27)(cid:102)(cid:69) (cid:43)(cid:51)(cid:52)
2(cid:50)△(cid:53)𝐴(cid:57)𝐸𝐺(cid:58) (cid:53) (cid:63)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:27)(cid:102)(cid:25)(cid:85)(cid:68)(cid:66)(cid:86)(cid:87)𝐸𝐺(cid:36)O(cid:63)△𝐶𝐹𝐻 𝐹𝐻
𝐷𝐺 𝐷𝐻(1)(cid:107)(cid:54)(cid:52)②(cid:28)(cid:108)(cid:52)(cid:24)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:53)(cid:84)(cid:113) (cid:25)(cid:88)(cid:89)(cid:103)
(2)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:114)(cid:115)(cid:107)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)∠(cid:63)𝐸𝑂𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)1-3𝐷(cid:20)𝐺𝑂(cid:43)𝐻2025·(cid:120)(cid:121)(cid:68)(cid:122)·(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:41)(cid:68)(cid:69)4(cid:25)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) (cid:82) (cid:55)(cid:25)(cid:83)(cid:36)(cid:53)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷 𝐸 𝐶𝐷
(cid:108) (cid:60) (cid:26)(cid:27)(cid:61)(cid:62) (cid:53) (cid:86) (cid:87)(cid:36) (cid:63)(cid:64) = (cid:53)(cid:65) (cid:25)(cid:30)(cid:69) (cid:63)
𝐶𝑃
△𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐹𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐶 𝑃 𝐷𝐸 3𝐶𝐸 𝑃𝐵
【题型2 菱形中的最值】
(cid:15)(cid:42)2(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:36)P(cid:54) (cid:55)(cid:53)(cid:36)E(cid:69) (cid:28)(cid:36)(cid:53)(cid:126) + =2(cid:53)(cid:65)(cid:41) (cid:25)
(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:127)(cid:87)(cid:43) (cid:50) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐸 𝐴𝐵
4 3
A(cid:63)2 B(cid:63) C(cid:63) 3 D(cid:63)2 3
3
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:128)(cid:129)(cid:68)(cid:130)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:15)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:20)(cid:51)(cid:52)①(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =2
(cid:63)(cid:36)E(cid:82)(cid:41) (cid:55)(cid:83)(cid:36)(cid:53)(cid:36)F(cid:82)(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:55)(cid:83)(cid:36)(cid:53) = (cid:53)(cid:134)(cid:135)(cid:136) + (cid:25)𝐴(cid:29)𝐵𝐶(cid:137)𝐷(cid:30)(cid:63)∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷
𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:131)(cid:21)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(cid:51)(cid:52)②(cid:53)(cid:137)(cid:117)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:36)C(cid:97)(cid:53)(cid:98) (cid:53) = =2(cid:53)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:95)(cid:66)(cid:25)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:61)(cid:62)
= = (cid:53)(cid:94)(cid:147)(cid:146)(cid:141)(cid:142) 𝐶𝑀∥𝐵𝐷(cid:53)(cid:108)𝐶𝑀 +𝐴𝐷 (cid:148)(cid:149)(cid:69) + (cid:53)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:108)(cid:131)(cid:21)(cid:148)(cid:149)(cid:69)
∠𝑀𝐶𝐵 ∠𝐶𝐵𝐷 ∠𝐴𝐷𝐹 △𝐴𝐷𝐹≌△𝑀𝐶𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝑀𝐸(cid:153)(cid:154)(cid:36)E(cid:155)(cid:156)(cid:25)(cid:131)(cid:21)(cid:63)
(cid:157)(cid:76)(cid:82)(cid:137)(cid:117)(cid:158)(cid:117) = (cid:25)(cid:159)(cid:160)(cid:140)(cid:161)(cid:10)
(cid:158)(cid:117)(cid:10)(cid:140)(cid:36)C(cid:97)𝐴C𝐹M(cid:53)𝑀(cid:98)𝐸 (cid:53) = =2(cid:53)(cid:57)(cid:162) (cid:63)
(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:82)(cid:23)(cid:24)(cid:53) 𝐶𝑀∥𝐵𝐷 𝐶𝑀 𝐴𝐷 𝑀𝐸
∵ 𝐴𝐵 𝐶𝐷 = (cid:63)
(cid:158)∴(cid:117)𝐴𝐷(cid:140)∥(cid:161)𝐵𝐶(cid:163), (cid:164)∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐶(cid:63)𝐵𝐷
(cid:107)(cid:165)(cid:109)(cid:166)(cid:163)(cid:164)(cid:25)∴(cid:158)𝐴𝐹(cid:117)(cid:140)𝑀(cid:161)𝐸(cid:63)
(cid:15)(cid:167)(cid:168)(cid:131)(cid:21)(cid:20)(cid:162)(cid:101)(cid:55)(cid:169)(cid:135)(cid:136)(cid:140)(cid:161)(cid:53)(cid:142)(cid:170)(cid:171)(cid:88)(cid:25)(cid:172)(cid:173)(cid:53)(cid:54)(cid:52)③(cid:28)(cid:97)(cid:174)(cid:15)(cid:131)(cid:21)(cid:132)(cid:22)(cid:20)(cid:28)(cid:25)(cid:36)E(cid:25)(cid:155)(cid:156)(cid:53)(cid:98) +
(cid:25)(cid:30)(cid:29)(cid:137)(cid:53)(cid:175)(cid:176) + (cid:25)(cid:29)(cid:137)(cid:30)(cid:82)___________(cid:63)(cid:43)(cid:177)(cid:178)(cid:97)(cid:52)(cid:102)(cid:179)(cid:50) 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2-2(cid:20)(cid:43)2𝐴4-𝐸25(cid:73)𝐴𝐹(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:183)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:82)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:53)(cid:36) (cid:184)(cid:36) (cid:160)(cid:185)(cid:82) (cid:184)
(cid:55)(cid:25)(cid:36)(cid:53) =120°(cid:63) 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐶 𝐶𝐷
∠𝐴𝐵𝐶
(cid:43)1(cid:50)(cid:64) =20°(cid:53)(cid:65) (cid:25)(cid:88)(cid:89)(cid:69) °(cid:103)
(cid:43)2(cid:50)(cid:64)∠𝐴𝐷=𝐸4(cid:53) = ∠(cid:53)𝐶𝐸(cid:65)𝐷 + (cid:25)(cid:29)(cid:137)(cid:30)(cid:69) (cid:63)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)2𝐴-3𝐵(cid:20)(cid:43)24-𝐴2𝐸5(cid:186)(cid:74)𝐶𝐹(cid:75)(cid:55)·(cid:187)𝐷𝐸(cid:188)(cid:189)𝐵(cid:97)𝐹·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)4(cid:53) =60°(cid:53)(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:99)
(cid:190)(cid:86)(cid:87)(cid:36) (cid:53)(cid:36) (cid:69)(cid:66)(cid:67) (cid:55)(cid:83)(cid:35)(cid:36)(cid:43)(cid:191)(cid:99)(cid:36) (cid:100)(cid:101)(cid:50)(cid:63)(cid:57)(cid:58)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:53)(cid:108)(cid:66)(cid:67) (cid:192)∠(cid:36)𝐴𝐵(cid:193)𝐶(cid:176)(cid:194)(cid:195)(cid:148)60°(cid:61)(cid:62)𝐴𝐶 (cid:53)𝐵𝐷
(cid:65)(cid:66)(cid:67) 𝑂(cid:25)(cid:29)(cid:137)𝐸(cid:30)(cid:69) 𝐵 𝐷(cid:53)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:69) (cid:63)𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴 𝐴𝐹
𝑂𝐹
【题型3 含60°的菱形】
(cid:15)(cid:42)3(cid:20)(cid:43)24-25(cid:186)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:200)(cid:11)(cid:201)(cid:134)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =6(cid:53) (cid:82)(cid:83)(cid:106)
(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:53) (cid:82) (cid:55)(cid:83)(cid:36)(cid:53)(cid:140)(cid:36) (cid:97) (cid:53)(cid:38)(cid:202)(cid:69) (cid:53)(cid:57)(cid:58) 𝐴(cid:63)𝐵(cid:64)𝐶𝐷 =∠𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:65) (cid:25)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵(cid:43) (cid:50)𝐴𝐶
𝐸 𝐴𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸A(cid:63) 26 B(cid:63)3 3 C(cid:63)2 7 D(cid:63) 29
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:40)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60 (cid:53) (cid:53) (cid:53)
∘
(cid:38)(cid:202)(cid:160)(cid:185)(cid:69)B(cid:53)D(cid:53)(cid:64) =2 3cm(cid:53)(cid:65) = cm(cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐵𝐸⊥𝐴𝐵 𝐷𝐹⊥𝐶𝐷
𝐵𝐸 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-2(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:187)(cid:16)(cid:206)(cid:45)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =2(cid:53)E(cid:82)(cid:41) (cid:55)(cid:83)
(cid:36)(cid:43)(cid:191)(cid:99)(cid:36)A(cid:53)B(cid:100)(cid:101)(cid:50)(cid:53)(cid:97) (cid:86) (cid:87)(cid:36)F(cid:53)(cid:126) =6𝐴0𝐵°(cid:53)𝐶𝐷(cid:57)(cid:58) ∠𝐴(cid:63)(cid:3)(cid:87)(cid:162)(cid:207)𝐴𝐵Ⅰ(cid:208)Ⅱ(cid:53)(cid:76)(cid:209)(cid:210)𝐴𝐵(cid:211)(cid:212)
(cid:213)(cid:25)(cid:82)(cid:43) (cid:50) ∠𝐸𝐷𝐹 𝐵𝐶 ∠𝐸𝐷𝐹 𝐸𝐹
(cid:162)(cid:207)Ⅰ(cid:10)(cid:57)(cid:58) (cid:53) (cid:82)(cid:127)(cid:41)(cid:214)(cid:133)(cid:24)(cid:103)
(cid:162)(cid:207)Ⅱ(cid:10) 𝐵𝐷(cid:25)(cid:215)△(cid:68)𝐴(cid:25)𝐵𝐷(cid:29)(cid:137)(cid:30)(cid:82)3
A(cid:63)(cid:216)(cid:56)△(cid:162)𝐷𝐸(cid:207)𝐹Ⅰ(cid:212)(cid:213) B(cid:63)(cid:216)(cid:56)(cid:162)(cid:207)Ⅱ(cid:212)(cid:213)
C(cid:63)(cid:162)(cid:207)Ⅰ(cid:208)Ⅱ(cid:205)(cid:212)(cid:213) D(cid:63)(cid:162)(cid:207)Ⅰ(cid:208)Ⅱ(cid:205)(cid:191)(cid:212)(cid:213)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)3-3(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:40)(cid:203)(cid:217)(cid:183)·(cid:80)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =4(cid:53) (cid:82)(cid:83)(cid:106)
(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:53) (cid:82) (cid:55)(cid:83)(cid:36)(cid:53)(cid:140)(cid:36) (cid:97) (cid:53)(cid:38)(cid:202)(cid:69) (cid:53)(cid:57)(cid:58) 𝐴(cid:63)𝐵𝐶(cid:64)𝐷 =∠𝐴𝐵(cid:53)𝐶(cid:65) (cid:25)(cid:68)𝐴(cid:69)𝐵 (cid:63)𝐴𝐶
𝐸 𝐴𝐶 𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐹 𝐷𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐹 𝐷𝐸【题型4 菱形中的面积】
(cid:15)(cid:42)4(cid:20)(cid:43)2024·(cid:218)(cid:188)(cid:219)(cid:183)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2(cid:53) =60 (cid:53)(cid:65)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:82)2 3(cid:103)
∘
(cid:157)(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:69)(cid:41)(cid:97)(cid:220)(cid:48)(cid:221)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:98) 𝐴𝐵𝐶𝐷=60 (cid:53)(cid:65)(cid:23)(cid:24)∠𝐷𝐴𝐵 (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:82)6 𝐴3𝐵(cid:103)𝐶(cid:157)𝐷(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:69)(cid:41)
∘
(cid:97)(cid:220)(cid:214)(cid:221)(cid:23)𝐴𝐶(cid:24) (cid:53)(cid:98) 𝐴𝐶𝐶1𝐷= 1 60°(cid:53)∠(cid:65)𝐷1(cid:23)𝐴𝐶(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)𝐴(cid:82)𝐶𝐶118𝐷1 3(cid:103)…(cid:63)(cid:222)(cid:175)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:97)(cid:25)(cid:220)𝐴𝐶(cid:221) 1 (cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:82) 𝐴𝐶(cid:63)1𝐶2𝐷2 ∠𝐷2𝐴𝐶1 𝐴𝐶1𝐶2𝐷2 𝑛
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:229)·(cid:230)(cid:67)(cid:231)(cid:232)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:36)D(cid:53)F(cid:59)(cid:66)(cid:67) (cid:160)(cid:204)(cid:214)(cid:106)(cid:66)(cid:67) (cid:53) (cid:53) (cid:53)
(cid:160)(cid:185)(cid:157)(cid:150)(cid:214)(cid:106)(cid:66)(cid:67)(cid:69)(cid:83)(cid:106)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:97)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:53)(cid:57)𝐵(cid:162)𝐻 (cid:53) (cid:53) 𝐵(cid:53)𝐷 𝐷(cid:233)𝐹(cid:204)(cid:40)𝐹𝐻(cid:41)
(cid:24) (cid:63)(cid:64)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)17(cid:53) 𝐴𝐵=𝐶𝐷44(cid:53) 𝐷=𝐸3𝐹0𝐺(cid:53)(cid:65)(cid:40)(cid:41)𝐹𝑀(cid:24)𝐻𝑁 (cid:25)(cid:33)𝐶(cid:34)𝐸 (cid:82)𝐸 𝑀 𝑀 𝐺 𝐺𝐶(cid:63)
𝐶𝐸𝑀𝐺 𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐵𝐻 𝐷𝐹 𝐶𝐸𝑀𝐺
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-2(cid:20)(cid:43)2025·(cid:234)(cid:121)(cid:121)(cid:180)·(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:108)(cid:235)(cid:23)(cid:24)(cid:192)(cid:36) (cid:54)(cid:143)(cid:33)(cid:236)(cid:237)
(cid:176)(cid:194)(cid:238)(cid:239)(cid:195)(cid:148)30°(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:24) (cid:53) (cid:99) (cid:86)(cid:87)(cid:36) (cid:53)(cid:126)𝐴𝐵𝐶𝐷=1(cid:53)∠(cid:65)𝐵(cid:195)𝐴𝐷(cid:148)(cid:240)(cid:25)(cid:52)(cid:24)(cid:99)(cid:132)(cid:52)(cid:24)(cid:100)(cid:241)𝐴(cid:159)(cid:160)(cid:25)(cid:33)(cid:34)
(cid:82) (cid:63) 𝐴𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐹 𝐶𝐷 𝑀 𝐷𝑀
(cid:15)(cid:71)(cid:72)4-3(cid:20)(cid:43)2024·(cid:242)(cid:188)(cid:242)(cid:243)·(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:82)(cid:41)(cid:68)(cid:69)2(cid:25)(cid:23)(cid:24)(cid:53) =120°(cid:53)(cid:108)(cid:23)(cid:24) (cid:192)(cid:36)
A(cid:193)(cid:176)(cid:194)(cid:195)(cid:148)(cid:53)(cid:98)(cid:36)B(cid:25)(cid:92)(cid:244)(cid:36) (cid:245)(cid:54)(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:55)𝐴(cid:53)𝐵(cid:65)𝐶𝐷 = °(cid:53) ∠𝐵(cid:86) (cid:87)(cid:36)E(cid:53)(cid:65)(cid:40)𝐴(cid:41)𝐵𝐶(cid:24)𝐷
′ ′ ′ ′ ′
(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:127)(cid:87) (cid:63) 𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐵 𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴𝐵
𝐸【题型5 菱形中的动点】
(cid:15)(cid:42)5(cid:20)(cid:43)24-25(cid:186)(cid:74)(cid:75)(cid:55)·(cid:187)(cid:188)(cid:6)(cid:183)·(cid:80)(cid:28)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24) (cid:25)(cid:40)(cid:221)(cid:246)(cid:36)(cid:247)(cid:54)(cid:248)(cid:249)(cid:250)(cid:55)(cid:53)(cid:36) ( )(cid:53)
(0,4)(cid:53) (6,0)(cid:63)(cid:36) (cid:82)(cid:23)(cid:24) (cid:41)(cid:55)(cid:25)(cid:83)(cid:221)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:57)(cid:58)𝐴𝐵𝐶(cid:53)𝐷(cid:59) (cid:192)(cid:251)(cid:36) (cid:237)(cid:176)(cid:194)(cid:195)(cid:148)90°(cid:61)𝐴(cid:62)−3,(cid:53)0 (cid:57)𝐵(cid:58)
(cid:63)(cid:64)(cid:36)𝐸 (cid:252)(cid:36) (cid:174)𝑃(cid:253)(cid:53)(cid:157)(cid:254)𝐴(cid:255)𝐵𝐶5𝐷(cid:221)(cid:256)(cid:155)(cid:68)(cid:88)(cid:60)(cid:23)(cid:24)(cid:41)(cid:68)(cid:193)𝑃(cid:176)𝐸 (cid:194)(cid:238)𝑃(cid:239)𝐸(cid:257)(cid:35)(cid:53)(cid:65)𝐸 (cid:220)2025(cid:255)(cid:176)(cid:53)(cid:36) (cid:25)𝐹(cid:248)𝐸 (cid:249)(cid:82)(cid:43) (cid:50)
𝑃𝐹 𝑃 𝐶 𝐹
A(cid:63)(10,6) B(cid:63)( ) C(cid:63)(6,9) D(cid:63)(2,6)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)1(cid:76)0,·−(cid:196)6(cid:121)(cid:44)(cid:258)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =8(cid:53)(cid:35)(cid:36) (cid:252) (cid:36)(cid:174)(cid:253)(cid:53)(cid:157)(cid:254)(cid:255)
1(cid:221)(cid:256)(cid:155)(cid:68)(cid:88)(cid:25)(cid:259)(cid:88)(cid:60) (cid:239) (cid:36)(cid:257)(cid:35)(cid:103)(cid:35)(cid:36) (cid:252) (cid:36)(cid:174)(cid:253)(cid:53)(cid:157)(cid:254)𝐴(cid:255)𝐵𝐶2𝐷(cid:221)(cid:256)(cid:155)𝐴𝐵(cid:68)(cid:88)(cid:25)(cid:259)(cid:88)(cid:60)𝑀 𝐴(cid:239) (cid:36)(cid:257)(cid:35)(cid:63)(cid:64)
(cid:257)(cid:35) (cid:255)(cid:240)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝐴𝐵(cid:82)𝐵(cid:143)(cid:95)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:65)𝑁(cid:25)𝐶(cid:30)(cid:69)(cid:43) (cid:50) 𝐶𝐷 𝐷
𝑡 𝐴𝑀𝑁𝐷 𝑡
2 8
A(cid:63)2 B(cid:63) C(cid:63)4 D(cid:63)
3 3
(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-2(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:227)(cid:260)(cid:261)(cid:45)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =120°(cid:53) (cid:69) (cid:41)(cid:55)(cid:83)(cid:36)(cid:53)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐶𝐷 3
=30°(cid:63)(cid:36) (cid:54) (cid:41)(cid:55)(cid:257)(cid:35)(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:36) (cid:82) (cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:53)(cid:97) (cid:87) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:64) (cid:29)(cid:137)(cid:30)(cid:69) (cid:53)
5
∠(cid:65)𝐷(cid:23)𝐴𝐸(cid:24) (cid:25)(cid:41)𝐹(cid:68)(cid:69)𝐴 𝐷 (cid:63) 𝐵𝐹 𝐺 𝐵𝐹 𝐹𝐻⊥𝐴𝐸 𝐻 𝐺𝐻 𝐺𝐻
𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:15)(cid:71)(cid:72)5-3(cid:20)(cid:43)2025·(cid:227)(cid:260)(cid:188)(cid:262)·(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =3(cid:53)(cid:36)P(cid:82) (cid:41)(cid:55)(cid:83)
(cid:221)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:54) (cid:85)(cid:68)(cid:66)(cid:55)(cid:154)(cid:83)(cid:36)Q(cid:53)(cid:98)(cid:61)(cid:36)P(cid:184)(cid:36)Q(cid:3)(cid:87)𝐴(cid:36)𝐵𝐶C𝐷(cid:92)(cid:263)∠(cid:53)𝐴(cid:57)𝐵𝐶(cid:58) (cid:86)𝐴(cid:87)𝐵(cid:36)M.(cid:264)(cid:36)P(cid:252)𝐵𝐶B(cid:36)(cid:257)
(cid:35)(cid:62)C(cid:36)(cid:176)𝐵(cid:53)𝐶(cid:36)M(cid:25)(cid:257)(cid:35)(cid:265)(cid:266)(cid:68)(cid:69) . 𝐷𝑃,𝐴𝑄
【题型6 菱形中的定值】
(cid:15)(cid:42)6(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:267)(cid:228)(cid:268)(cid:183)·(cid:230)(cid:67)(cid:231)(cid:232)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:23)(cid:24) (cid:28)(cid:53) =60°(cid:53) =4(cid:53)(cid:36)E(cid:208)F(cid:160)(cid:185)
(cid:69) (cid:208) (cid:55)(cid:25)(cid:35)(cid:36)(cid:53) =60°(cid:53)(cid:36)E(cid:252)(cid:36)A(cid:239)(cid:36)D(cid:257)(cid:35)(cid:140)𝐴(cid:161)𝐵𝐶(cid:28)𝐷(cid:53) ∠+𝐴 (cid:25)(cid:68)(cid:88)𝐴(cid:43)𝐵 (cid:50)
𝐴𝐷 𝐷𝐶 ∠𝐸𝐵𝐹 𝐴𝐸 𝐶𝐹
A(cid:63)(cid:269)(cid:270)(cid:271)(cid:272) B(cid:63)(cid:139)(cid:273)(cid:137)(cid:274)(cid:271)(cid:272)
C(cid:63)(cid:275)(cid:127)(cid:87)4 3 D(cid:63)(cid:275)(cid:127)(cid:87)4
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-1(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:24)ABCD(cid:25)(cid:24)(cid:276)(cid:184)(cid:18)(cid:137)(cid:177)(cid:277)(cid:191)(cid:71)(cid:53)(cid:108)(cid:23)(cid:24)ABCD(cid:192)(cid:36)B(cid:195)(cid:148)(cid:278)(cid:264)(cid:133)(cid:88)(cid:61)(cid:62)(cid:23)(cid:24)
A'BC'D'(cid:53)(cid:41)A'D(cid:99)AD(cid:53)DC(cid:86)(cid:87)E(cid:53)F(cid:43)D(cid:53)E(cid:53)F(cid:191)(cid:100)(cid:101)(cid:50)(cid:53)(cid:57)(cid:58)EB(cid:53)FB(cid:63)(cid:54)(cid:195)(cid:148)(cid:140)(cid:161)(cid:28)(cid:10)①EB(cid:143)(cid:160)
1
AED'(cid:103)②FB(cid:143)(cid:160) A'FC(cid:103)③ DEF(cid:25)(cid:215)(cid:68)(cid:82)(cid:83)(cid:221)(cid:37)(cid:30)(cid:103)④S +2S (cid:279) S (cid:53)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:25)(cid:82) (cid:63)
DEF BEF 2 (cid:23)(cid:24)ABCD
△ △
∠ ∠ △
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-2(cid:20)(cid:43)2025·(cid:226)(cid:227)(cid:280)(cid:120)·(cid:83)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:281)(cid:24) (cid:215)(cid:68)(cid:69)8(cid:53)(cid:126) > (cid:63)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:97)(cid:36)C(cid:3)(cid:87) (cid:25)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐵𝐷(cid:92)(cid:263)(cid:36)E(cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:53)(cid:57)(cid:58) (cid:86) (cid:87)(cid:36)P(cid:53)(cid:97) (cid:86) (cid:87)(cid:36)G(cid:53)(cid:76)(cid:209)(cid:116)(cid:282)(cid:28)(cid:212)(cid:213)(cid:25)(cid:56)(cid:43) (cid:50)(cid:221)(cid:63)
𝐷𝐸 𝐵𝐸 𝐴𝐷 𝑃𝐺⊥𝐵𝐷 𝐵𝐶
①2< <4(cid:103)②(cid:214)(cid:133)(cid:24) (cid:25)(cid:215)(cid:68)(cid:69)(cid:37)(cid:30)4
③(cid:264) 𝐵(cid:71)𝐶(cid:18)(cid:176)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24) 𝐴𝐵𝑃(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:139)(cid:71)(cid:18)(cid:240)(cid:71)(cid:137)(cid:103)④(cid:264) (cid:71)(cid:18)(cid:176)(cid:53) (cid:283)(cid:147)(cid:71)(cid:137)
A(cid:63)𝐵𝐶1 B(cid:63)𝑃𝐴2𝐵𝐺 C(cid:63)3 𝐵𝐶 D(cid:63)𝐴4𝑃
(cid:15)(cid:71)(cid:72)6-3(cid:20)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:143)(cid:33)(cid:172)(cid:133)(cid:248)(cid:249)(cid:284)xOy(cid:28)(cid:53)(cid:23)(cid:24)AOBC(cid:25)(cid:41)(cid:68)(cid:69)8(cid:53) AOB=60°(cid:63) (cid:36)D(cid:82)(cid:41)OB(cid:55)(cid:83)(cid:35)
(cid:36)(cid:53)(cid:36)E(cid:54)BC(cid:55)(cid:53)(cid:126) DAE=60°(cid:63) ∠
(cid:56)(cid:76)(cid:209)(cid:162)(cid:207)(cid:10) ∠
①(cid:36)C(cid:25)(cid:248)(cid:249)(cid:69)(cid:43)12(cid:53)4 3(cid:50)(cid:103)②BD=CE(cid:103)
③(cid:40)(cid:41)(cid:24)ADBE(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:69)(cid:37)(cid:30)(cid:103)
④(cid:264)D(cid:69)OB(cid:25)(cid:28)(cid:36)(cid:176)(cid:53) DBE(cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:29)(cid:137)(cid:63)
(cid:93)(cid:28)(cid:212)(cid:213)(cid:25)(cid:56) (cid:63)(cid:43)(cid:59)△(cid:165)(cid:285)(cid:69)(cid:212)(cid:213)(cid:162)(cid:207)(cid:25)(cid:286)(cid:9)(cid:205)(cid:287)(cid:55)(cid:50)
【题型7 垂美四边形】
(cid:15)(cid:42)7(cid:20)(cid:288)(cid:289)(cid:118)(cid:167)(cid:10)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:290)(cid:190)(cid:38)(cid:172)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:291)(cid:292)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)
(cid:43)1(cid:50)(cid:144)(cid:145)(cid:135)(cid:136)(cid:10)(cid:51)(cid:52)1(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:24)ABCD(cid:82)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:172)(cid:58)(cid:293)(cid:174)AB2(cid:208)CD2(cid:208)AD2(cid:208)BC2(cid:25)(cid:89)(cid:294)(cid:3)(cid:284)(cid:10)(cid:70) (cid:70)(cid:63)
(cid:43)2(cid:50)(cid:167)(cid:168)(cid:131)(cid:21)(cid:10)(cid:51)(cid:52)2(cid:53)(cid:160)(cid:185)(cid:157)Rt ACB(cid:25)(cid:172)(cid:133)(cid:41)AC(cid:184)(cid:295)(cid:41)AB(cid:69)(cid:41)(cid:239)(cid:296)(cid:97)(cid:212)(cid:238)(cid:24)ACFG(cid:184)(cid:212)(cid:238)(cid:24)
ABDE(cid:53)(cid:57)(cid:162)CE(cid:208)BG(cid:208)GE(cid:63)(cid:64)AC(cid:279)△4(cid:53)AB(cid:279)5(cid:53)(cid:113)GE(cid:25)(cid:68)(cid:43)(cid:146)(cid:172)(cid:58)(cid:141)(cid:142)(cid:43)1(cid:50)(cid:28)(cid:144)(cid:145)(cid:50)(cid:15)(cid:71)(cid:72)7-1(cid:20)(cid:43)24-25(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)·(cid:227)(cid:260)(cid:261)(cid:45)·(cid:80)(cid:81)(cid:50)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:290)(cid:190)(cid:38)(cid:172)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:291)(cid:292)“(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:53)(cid:237)(cid:297)(cid:57)(cid:58)“(cid:38)(cid:39)
(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:298)(cid:41)(cid:28)(cid:36)(cid:225)(cid:61)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:82) (cid:63)
(cid:15)(cid:71)(cid:72)7-2(cid:20)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:290)(cid:190)(cid:38)(cid:172)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:291)(cid:292)“(cid:38)(cid:39)”(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:299)(cid:56)(cid:51)(cid:52)(cid:225)(cid:300)(cid:25)“(cid:38)(cid:39)”(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:53)(cid:92)(cid:133)(cid:66)
(cid:208) (cid:86)(cid:87)(cid:36) (cid:63)(cid:64) =2(cid:53) =4(cid:53)(cid:65) + = (cid:63) 𝐴𝐵𝐶𝐷
2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐷
(cid:15)(cid:71)(cid:72)7-3(cid:20)(cid:43)2025·(cid:187)(cid:188)(cid:188)(cid:183)·(cid:83)(cid:49)(cid:50)(cid:301)(cid:101)(cid:99)(cid:302)(cid:303)(cid:10)
(cid:54)(cid:11)(cid:232)(cid:304)(cid:305)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:25)(cid:140)(cid:161)(cid:28)(cid:53)(cid:306)(cid:307)(cid:34)(cid:308)(cid:309)(cid:83)(cid:37)(cid:25)(cid:310)(cid:136)(cid:311)(cid:312)(cid:53)(cid:107)(cid:257)(cid:142)(cid:313)(cid:56)(cid:25)(cid:311)(cid:312)(cid:92)“(cid:92)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)”(cid:94)(cid:95)(cid:310)
(cid:136)(cid:63)(cid:37)(cid:47)(cid:10)(cid:92)(cid:133)(cid:66)(cid:190)(cid:127)(cid:126)(cid:38)(cid:172)(cid:25)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:291)(cid:97)(cid:92)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:63)
(1)(cid:37)(cid:47)(cid:118)(cid:167)
(cid:52)1(cid:28)(cid:53) (cid:208) (cid:208) (cid:214)(cid:36)(cid:247)(cid:54)(cid:314)(cid:36)(cid:55)(cid:53)(cid:107)(cid:54)(cid:314)(cid:36)(cid:55)(cid:213)(cid:37)(cid:36) (cid:53)(cid:98)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:69)(cid:92)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:63)
(2)(cid:198)(cid:315)(cid:135)𝐴(cid:136)𝐵 𝐷 𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:51)(cid:52)2(cid:53)(cid:54)(cid:92)(cid:127)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:28)(cid:53)(cid:92)(cid:133)(cid:66) (cid:99) (cid:86)(cid:87)(cid:36) (cid:53)(cid:126) = (cid:53) = (cid:53)(cid:108) (cid:192)(cid:36) (cid:193)
(cid:176)(cid:194)(cid:195)(cid:148)(cid:43)0° (cid:195)(cid:148)(cid:133)<4𝐴5𝐵°(cid:50)𝐶𝐷(cid:53) (cid:208) (cid:25)(cid:92)(cid:244)𝐴𝐶(cid:36)(cid:160)𝐵𝐷(cid:185)(cid:69) (cid:208)𝑂 (cid:53)(cid:51)𝑂(cid:52)𝐴 3(cid:53)𝑂𝐷(cid:107)(cid:210)𝑂(cid:211)𝐵(cid:40)(cid:41)𝑂𝐶(cid:24) △𝐶(cid:82)𝑂𝐵(cid:316)(cid:69)(cid:92)𝑂(cid:127)
′ ′ ′ ′
≤ 𝐵 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐷(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:24)(cid:53)(cid:84)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:63)(cid:43)(cid:317)(cid:152)(cid:52)3(cid:25)(cid:318)(cid:319)(cid:158)(cid:117)(cid:320)(cid:146)(cid:50)
(3)(cid:321)(cid:322)(cid:257)(cid:142)
(cid:54)(cid:43)2(cid:50)(cid:25)(cid:106)(cid:323)(cid:76)(cid:53)(cid:64) =3(cid:53) =5(cid:53)(cid:264) (cid:69)(cid:172)(cid:133)(cid:214)(cid:133)(cid:24)(cid:176)(cid:53)(cid:172)(cid:58)(cid:293)(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:24) (cid:25)(cid:33)(cid:34)(cid:63)
′ ′ ′
𝑂𝐵 𝑂𝐴 △𝑂𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
