文档文本内容
专题 01 因式分解的拓展（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:22)(cid:23)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:7)(cid:31)(cid:32)(cid:19)........................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)1(cid:32)(cid:19).........................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:45)(cid:44)1(cid:32)(cid:19).....................................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:19)....................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:48)(cid:41)(cid:25)(cid:19)....................................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:49)(cid:41)(cid:25)(cid:19)..................................................................................................................................................11
举一反三
+
A
A
科
知识点1 十字相乘法分解因式 ★ 全
号
众
公
注
对于一个二次三项式 + + ， ， 若关存在 = · (cid:50) = · (cid:50)且 + = ，那么二次三项
源
资
辅2
式 + + 可以分教解为𝑎：𝑥 𝑏+𝑥 𝑐+ =( 𝑎 +𝑎1)𝑎(2 𝑐+ 𝑐)1(cid:51)𝑐2 𝑎1𝑐2 𝑎2𝑐1 𝑏
2 2
𝑎𝑥对于𝑏二𝑥 次𝑐项系数a等于1𝑎𝑥时，𝑏即𝑥 𝑐+ +𝑎1𝑥， 若𝑐1存𝑎在2𝑥有 𝑐=2 · (cid:50)且 + = ，则 + + 可分
2 2
解为： + + = + + 𝑥) (cid:51)𝑏𝑥 𝑐 𝑐 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 𝑏 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
知识点
𝑥2
分
𝑏𝑥
组分
𝑐
解因
(𝑥
式
𝑐1)(𝑥 𝑐2
对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提
公因式法或公式法或者十子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。
【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】
(cid:15)(cid:52)1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) +3 (cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19) + + 𝑥 𝑥 −4𝑥−12
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)((cid:65)𝑥(cid:66)(cid:67)3)(cid:41)(𝑥(cid:22)(cid:23)2)(cid:27)(𝑥(cid:67)−2(cid:41))(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:68)(cid:69)(cid:29)(cid:70)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:51)
(cid:75)(cid:20)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:81)(cid:82)(cid:68)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) +3
3 2
= ( +3) 𝑥( +𝑥3)−4𝑥−12
2
𝑥 𝑥 −4 𝑥= ( +3)( )
2
=(𝑥 +3)(𝑥+−24)( )(cid:51)
(cid:15)(cid:87)𝑥(cid:31)1-1(cid:19)𝑥(cid:26)24-2𝑥5−(cid:53)2 (cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) + (cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( +2)( ) 𝑚 −𝑚 𝑛−4𝑚 4𝑛
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑚(cid:20)−(cid:78)𝑛 (cid:79)𝑚(cid:80)(cid:30)(cid:31)𝑚(cid:22)−(cid:24)2(cid:51)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:71)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) +
3 2
= ( ) 𝑚( −𝑚)𝑛−4𝑚 4𝑛
2
=𝑚( 𝑚−)(𝑛 −4 𝑚)−𝑛
2
=(𝑚−𝑛)(𝑚+−24)( )(cid:51)
(cid:15)(cid:87)𝑚(cid:31)−1𝑛-2(cid:19)𝑚(cid:26)24-2𝑚5−(cid:53)2(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:98)(cid:99)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) +
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( + )( ) 8𝑎𝑥−𝑏𝑦 4𝑎𝑦−2𝑏𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:75)2𝑥(cid:20)(cid:78)𝑦(cid:79)(cid:80)4𝑎(cid:30)−𝑏(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:50)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:84)(cid:101)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:10)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:50)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)
(cid:25)(cid:50)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:50)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:106)(cid:51)
+
A
(cid:107)(cid:93)(cid:65)(cid:108)(cid:31)(cid:87)(cid:109)(cid:44) + ( + )(cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:110)(cid:29)科(cid:7)(cid:30)A(cid:31)(cid:111)(cid:112) ( + ) ( + )(cid:50)
全
★
号
众
(cid:68)(cid:113)(cid:114)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:22)8(cid:24)𝑎(cid:97)𝑥 (cid:28)4(cid:51)𝑎𝑦− 2𝑏𝑥 𝑏𝑦 公 4𝑎 2𝑥 𝑦 −𝑏 2𝑥 𝑦
注
关
，
源
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19) + 辅 资
教
= + 8𝑎𝑥−(𝑏𝑦 +4𝑎𝑦−)2𝑏𝑥
=8𝑎(𝑥 4+𝑎𝑦)− 2(𝑏𝑥 +𝑏𝑦)
=4(𝑎 2+𝑥 )𝑦( −𝑏 2)𝑥(cid:51) 𝑦
(cid:15)(cid:87)2(cid:31)𝑥 1-𝑦3(cid:19)4(cid:26)𝑎−24𝑏-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:115)(cid:116)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) ( )+ ( )+ ( )
2 2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( )( ) 𝑎 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐−𝑎 𝑐 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑎−(cid:20)𝑏(cid:78)(cid:79)𝑐−(cid:80)𝑎(cid:22)𝑐(cid:23)−𝑏(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:24)(cid:117)(cid:92)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:84)(cid:68)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:51)(cid:93)(cid:118)(cid:119)(cid:9)(cid:50)(cid:71)(cid:68)(cid:83)(cid:22)(cid:23)(cid:50)(cid:33)
(cid:34)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:50)(cid:97)(cid:28)(cid:24)(cid:62)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) + +
2 2 2
= +𝑎 (𝑏−𝑐) +𝑏 (𝑐−𝑎) 𝑐 (𝑎−𝑏)
2 2 2 2 2 2
=𝑎( 𝑏−𝑎 𝑐 )𝑏(𝑐−𝑏 𝑎 )𝑐+𝑎(−𝑐 𝑏 )
2 2 2 2 2 2
= 𝑎 𝑏−𝑏 𝑎 − 𝑎+𝑐−𝑏 𝑐 +𝑐 𝑎−𝑐 𝑏
2
=𝑎𝑏(𝑎−𝑏)−𝑐(𝑎 +𝑏)(𝑎+−𝑏) 𝑐 (𝑎−𝑏)
2
=((𝑎−𝑏))(𝑎𝑏−𝑐)((𝑎 𝑏))(cid:51) 𝑐
𝑎−𝑏 𝑐−𝑎 𝑐−𝑏【题型2 分组分解法（分组后利用公式）】
(cid:15)(cid:52)2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:120)(cid:83)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) + (cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( + )( +1) 𝑥 −1−𝑦 2𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑥(cid:20)(cid:76)𝑦−(cid:77)1(cid:78)𝑥(cid:79)−(cid:30)𝑦 (cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:93)(cid:121)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:100)(cid:27)(cid:123)(cid:41)(cid:22)(cid:124)(cid:113)(cid:23)(cid:125)(cid:126)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:31)(cid:50)(cid:71)(cid:127)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:68)(cid:83)
(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) +
2 2
= 𝑥+−11−𝑦 2𝑦
2 2
=𝑥 −(𝑦 −2)𝑦
2 2
=𝑥 −+(𝑦−1 ) ( )
=(𝑥 + 𝑦−1)( 𝑥−+𝑦−1)1(cid:51)
(cid:15)(cid:87)𝑥(cid:31)2𝑦-−1(cid:19)1(cid:26)𝑥2−4𝑦-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:115)(cid:116)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( + )( ) 𝑥 −𝑥−2𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑥(cid:20)(cid:76)2𝑦(cid:77)(cid:78)𝑥−(cid:79)2𝑦(cid:80)−(cid:22)1(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:112) ( + )(cid:50)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:128)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:22)(cid:24)
+
A
2 2 科 A
(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51) 𝑥 −4𝑦 − 𝑥 ★2𝑦全
号
众
公
注
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) 关
，
源
2 辅2 资
= 𝑥( −+𝑥−2教)𝑦−4𝑦
2 2
= (𝑥+−4𝑦)(− 𝑥 )2𝑦( + )
=(𝑥 +2𝑦)(𝑥−2𝑦 −)𝑥(cid:51) 2𝑦
(cid:15)(cid:87)𝑥(cid:31)22-𝑦2(cid:19)𝑥(cid:26)−224𝑦-−251(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:129)(cid:130)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)4 +25 (cid:51)
2 2 4
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19) +2 +1 𝑦 𝑥 −1−4𝑦
2 2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)5(cid:20)𝑥 (cid:76)(cid:77)𝑦(cid:78)−(cid:79)1 (cid:80)5(cid:22)𝑥−(cid:24)2𝑦(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:93)(cid:22)(cid:23)(cid:111)(cid:112)25 4 +1 (cid:50)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:31)(cid:128)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)
2 4 2
(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51) 𝑥 − 𝑦 −4𝑦
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)4 +25
2 2 4
=25 4 𝑦 +1𝑥 −1−4𝑦
2 4 2
𝑥 − 𝑦 −4𝑦
=25 2
2
2 2
= 𝑥 +−2 𝑦 −1 +1 (cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:87)5(cid:31)𝑥 2-3(cid:19)𝑦 (cid:26)−124-52𝑥5−(cid:53)2(cid:54)𝑦 (cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:115)(cid:116)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + +
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( +3)( + ) 𝑥 𝑥𝑦−6𝑦 −2𝑥 19𝑦−15
𝑥−2𝑦 𝑥 3𝑦−5(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:93)(cid:121)(cid:39)(cid:40)(cid:123)(cid:41)(cid:31) + (cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
2 2
(cid:92)(cid:20)(cid:78)(cid:79)(cid:100)(cid:84)(cid:33)(cid:34)(cid:22)(cid:23)(cid:22)𝑥(cid:24)(cid:25)(cid:68)𝑥𝑦(cid:83)−6(cid:30)𝑦(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:121)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:68)(cid:83)(cid:81)(cid:82)(cid:100)(cid:22)(cid:23)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:127)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)
(cid:85)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) + +
2 2
= ( )( +𝑥 )𝑥+𝑦−(6𝑦 −+2𝑥 )19𝑦−15
= (𝑥−2𝑦)(𝑥+3𝑦) (−2𝑥 )1+93𝑦(−+15 )
=(𝑥−2𝑦 +𝑥3)(3𝑦+−5 𝑥−)2(cid:51)𝑦 𝑥 3𝑦 −15
【题 𝑥 型 −23𝑦 十字 𝑥 相乘 3 法 𝑦− （ 5 二次项系数为1）】
(cid:15)(cid:52)3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:136)(cid:137)(cid:56)(cid:138)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:10)
(cid:65) + (cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:28)(cid:147)(cid:148)(cid:141)(cid:149)(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:24)(cid:62)(cid:10)
2
(cid:24)𝑥(cid:10)(cid:114)(cid:150)2𝑥(cid:10)−35(cid:151)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:152)(cid:153)(cid:43)(cid:41)(cid:10) = (cid:50) =( )×(+7)(cid:51)
2
(cid:154)(cid:155)(cid:37)(cid:38)①(cid:50)(cid:156)(cid:131)(cid:41)(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥 −35 −5
②
+
A
A
科
全
(cid:51) ★
号
众
公
注
(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + =( +7)关( )(cid:51)
，
源
2 辅 资
③(cid:145)(cid:146)(cid:65)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:154)(cid:155)教𝑥(cid:37)(cid:38)2𝑥(cid:22)−(cid:24)35(cid:30)(cid:31)𝑥(cid:100)(cid:73)(cid:25)𝑥(cid:163)−(cid:164)5(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:51)
(cid:165)(cid:34)(cid:56)(cid:166)(cid:73)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
(1) + +4(cid:167)
2
(2)𝑥 5𝑥 (cid:167)
2
(cid:15)(cid:62)𝑥 (cid:63)−6(cid:19)𝑥(−17)( +1)( +4)
(2)( +1)( 𝑥 ) 𝑥
(cid:15)(cid:22)𝑥(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑥(cid:20)−7(cid:78)(cid:79)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)—(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:50)
(cid:26)1(cid:32)(cid:168)(cid:169)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
(cid:26)2(cid:32)(cid:168)(cid:169)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
(cid:102)(cid:103)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:100)(cid:114)(cid:150)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10) (cid:151)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:152)(cid:153)(cid:43)(cid:41)(cid:10) = (cid:50)4=(+1)×(+4)(cid:50)
2
(cid:154)(cid:155)(cid:37)(cid:38)(cid:50)(cid:156)(cid:131)(cid:41)①(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥
②
(cid:50)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + +4=( +1)( +4)(cid:167)
2
(cid:26)③2(cid:32) (cid:151)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:152)𝑥(cid:153)(cid:43)5(cid:41)𝑥 (cid:10) =𝑥 (cid:50)𝑥 =(+1)×( )(cid:51)
2
(cid:154)(cid:155)①(cid:37)(cid:38)(cid:50)(cid:156)(cid:131)(cid:41)(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥 −7 −7
②
(cid:50)
(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:10) =( +1)( )(cid:51)
2
③(cid:15)(cid:87)(cid:31)3-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)𝑥 (cid:54)−6(cid:55)𝑥−(cid:56)7·(cid:170)(cid:171)𝑥(cid:172)(cid:99)·(cid:60)𝑥−(cid:61)7(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19) +1) 𝑥 −9𝑥−10
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)((cid:92)𝑥−(cid:20)1(cid:78)0)(cid:79)(𝑥(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:111)(cid:62)(cid:63)(cid:50)(cid:101)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:100)
(cid:73)(cid:25)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)
2
= +𝑥1−)(cid:51)9𝑥−10
(cid:15)(cid:87)(𝑥(cid:31)−130-2)((cid:19)𝑥(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
+
A
(1) +6(cid:167) 科 A
全
★
2 众 号
(2)𝑥3 −5+𝑥 (cid:51) 公
注
关
，
2 源
(cid:15)(cid:62)𝑥(cid:63)(cid:19)2(𝑥1−)(8 )( ) 辅 资
教
(2)( )( +𝑥−22) 𝑥−3
(cid:15)(cid:22)3(cid:64)𝑥−(cid:19)4(cid:92)𝑥(cid:20)(cid:78)(cid:79)(cid:100)(cid:84)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:51)
(cid:26)1(cid:32)(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
(cid:26)2(cid:32)(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10) +6
2
=( )( )(cid:167) 𝑥 −5𝑥
(cid:26)2(cid:32)𝑥−(cid:24)2(cid:10)𝑥3−3+
2
=( )(𝑥+22)𝑥(cid:51)−8
(cid:15)(cid:87)3(cid:31)𝑥−34-3(cid:19)𝑥(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:179)(cid:180)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)( + ) ( + )+12
2 2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( +2)( )( +3)( ) 𝑥 𝑥 −8 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑥(cid:20)(cid:78)(cid:79)𝑥(cid:35)−1(cid:36)(cid:37)𝑥 (cid:38)(cid:25)(cid:22)𝑥−(cid:24)2(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:93)(cid:121)( + )(cid:181)(cid:126)(cid:113)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:68)(cid:83)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:71)(cid:185)(cid:182)(cid:119)(cid:9)(cid:68)(cid:83)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
2
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)( + ) ( + )+12 𝑥 𝑥
2 2 2
= ( + 𝑥 )(𝑥 +−8 𝑥 ) 𝑥
2 2
𝑥 𝑥−2 𝑥 𝑥−6=( +2)( )( +3)( )(cid:51)
【题 𝑥 型4 十 𝑥− 字 1 相 𝑥 乘法（ 𝑥 二 − 次 2 项系数不为1）】
(cid:15)(cid:52)4(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:56)(cid:57)(cid:115)(cid:116)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)4 .
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( + ) 𝑥 −11𝑥𝑦−3𝑦
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)𝑥−(cid:20)3(cid:78)𝑦(cid:79)4(cid:80)𝑥(cid:33)𝑦(cid:34)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:100)(cid:22)(cid:24)(cid:108)(cid:186)(cid:84)(cid:3)(cid:85)(cid:51)(cid:65)4(cid:187)
(cid:44)1×4(cid:50) (cid:187)(cid:44) × (cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
2
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)−(cid:10)3𝑦4 −3𝑦 𝑦 = ( + ).
2 2
(cid:15)(cid:87)(cid:31)4-1(cid:19)(cid:26)𝑥24-−2151(cid:188)𝑥𝑦(cid:54)−(cid:55)3𝑦(cid:56)·(cid:99)((cid:189)𝑥−(cid:190)3𝑦(cid:191))·(cid:88)4𝑥(cid:89)(cid:90)𝑦(cid:91)(cid:32)2 + (cid:51)
2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( +2) 𝑥 𝑥−6
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)2𝑥(cid:20)−(cid:76)3(cid:77)𝑥(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:50)(cid:173)(cid:174)(cid:168)(cid:169)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)2 +
2
=( )( +𝑥2)(cid:51)𝑥−6
2𝑥−3 𝑥 1
(cid:15)(cid:87)(cid:31)4-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:99)(cid:189)(cid:192)(cid:57)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)3 + (cid:167) +
3 A A
科
2 全
号𝑥 −★2𝑥
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( ) 1 公 众
3 注
关
，
源
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:92)3𝑥(cid:20)−(cid:78)1(cid:79)𝑥(cid:80)−(cid:22)(cid:24)辅(cid:30)(cid:31)资(cid:50)(cid:101)(cid:193)(cid:194)(cid:168)(cid:7)(cid:31)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:167)
教
(cid:173)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:167)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)3 + 1
3
2
1𝑥 −2𝑥
= ( )
3
(cid:15)(cid:87)3(cid:31)𝑥−41-3(cid:19)𝑥−(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:198)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
(1)6 (cid:167)
2
(2) 𝑎 −7+𝑎−+53(cid:51)
2
(cid:15)(cid:62)−2(cid:63)𝑥(cid:19)(1𝑥) +
(2) (2𝑎+1)1)(3𝑎−5)
(cid:15)(cid:22)−((cid:64)2𝑥(cid:19)−(cid:75)3)(cid:20)(𝑥(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)-(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:128)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:50)(cid:101)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:84)(cid:24)(cid:92)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:26)1(cid:32)(cid:108)(cid:31)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
(cid:26)2(cid:32)(cid:108)(cid:31)(cid:29)(cid:70) (cid:50)(cid:71)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)−(cid:24)1(cid:10)(cid:108)(cid:31)= + (cid:167)
(2𝑎 1)(3𝑎−5)(cid:26)2(cid:32)(cid:24)(cid:10)(cid:108)(cid:31)= (2 )
2
= +1−)(cid:51)𝑥 −𝑥−3
【题
−
型
(2𝑥5− 3
换
)(𝑥
元法】
(cid:15)(cid:52)5(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:199)(cid:200)(cid:200)(cid:198)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
(1) + + +81(cid:167)
2
(2) ((𝑚 𝑛)+−21)8((𝑚 𝑛)+6)+4(cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)𝑥 (cid:19)−4(1𝑥) +𝑥 −4𝑥 + +81= +
2 2
(2)( +(𝑚2)( 𝑛) −1+8(6𝑚)+4𝑛)=( )(𝑚 𝑛−9)
2 2 4
(cid:15)(cid:22)𝑥(cid:64)−(cid:19)4𝑥(cid:92)(cid:20)(cid:78)(cid:79)𝑥 (cid:80)−4(cid:46)𝑥(cid:47)(cid:25)(cid:132)(cid:7)(cid:31)(cid:25)𝑥(cid:68)−2(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:51)(cid:101)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:132)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)
(cid:22)(cid:24)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:26)1(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:132)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
(cid:26)2(cid:32)(cid:93)(cid:46)(cid:47)(cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:38)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:201)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10) + + +81(cid:50)
+
A
2 科 A
(cid:202) + = (cid:50)(cid:186)(cid:108)(cid:31)(𝑚= 𝑛) −18(+𝑚81𝑛=) = + (cid:50) ★ 全
号
众
2 2 公 2
注
𝑚+𝑛 𝑥 + +𝑥81−=18𝑥 + (𝑥关(cid:167)−9) (𝑚 𝑛−9)
，
源
2 辅 资 2
∴(cid:26)(𝑚2(cid:32)(cid:24)𝑛(cid:10)) (−18(𝑚 +𝑛2教))( (+𝑚6)+𝑛−4(cid:50)9)
2 2
(cid:202) =𝑥 −(cid:50)4(cid:186)𝑥(cid:108)(cid:31)=𝑥 (−4𝑥+2)( +6)+4
2
=𝑥 −+4𝑥 +𝑚16 𝑚 𝑚
2
=𝑚( +48)𝑚
2
=(𝑚 +4)
2 2
=(𝑥 −4)𝑥(cid:167)
4
( 𝑥−2 +2)( +6)+4=( ) (cid:51)
2 2 4
∴(cid:15)𝑥(cid:87)(cid:31)−45𝑥-1(cid:19)(cid:26)𝑥24−-245𝑥(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:196)(cid:203)𝑥−(cid:137)2(cid:204)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:34)“(cid:46)(cid:47)(cid:25)”(cid:205)(cid:122)(cid:41)(cid:31)( + + +2)+( + +1)(
2 2 2 2
+ +1(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24) 𝑥 𝑥)(𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)𝑥(cid:62)−(cid:63)1)(cid:19) +1)( + +1)
2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)2(cid:34)𝑥(cid:46)(𝑥(cid:47)(cid:25)(cid:202)𝑥 +𝑥 = (cid:50)(cid:206)(cid:207)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:208)(cid:209)(cid:20)(cid:210)(cid:100)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:24)(cid:62)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
2
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)(cid:202) +𝑥 = 𝑥(cid:50) 𝑡
2
(cid:65) + = (cid:206)(cid:207)𝑥( +𝑥 𝑡 + +2)+( + +1)( + +1(cid:131)(cid:111)(cid:10) +2)+ + +1
2 2 2 2 2
(cid:108)𝑥(cid:31)=𝑥 +𝑡 + 𝑥 𝑥+)(1𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−1) 𝑡(𝑡 (𝑡 1)(𝑡−1)
2 2
𝑡 2𝑡 𝑡 −1=2 +
2
= 𝑡 +21𝑡)
=22𝑡((𝑡 + + +1)
2 2
= 𝑥 +𝑥1))((𝑥 +𝑥+1)
2
(cid:15)(cid:211)2𝑥(cid:212)(𝑥(cid:19)(cid:92)(cid:20)𝑥(cid:78)(cid:79)𝑥(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:128)(cid:127)(cid:34)(cid:50)(cid:24)(cid:20)(cid:3)(cid:85)(cid:84)(cid:133)(cid:134)(cid:127)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:25)(cid:205)(cid:213)(cid:44)(cid:214)(cid:215)(cid:100)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)
(cid:24)(cid:50)(cid:216)(cid:112)(cid:118)(cid:217)(cid:187)(cid:218)(cid:100)(cid:219)(cid:220)(cid:51)
(cid:15)(cid:87)(cid:31)5-2(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:221)(cid:137)(cid:200)(cid:176)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
( )( )( +1)( +3)+9 (cid:51)
2
(cid:15)𝑥−(cid:62)6(cid:63)(cid:19)𝑥−(2 𝑥 )𝑥 𝑥
2 2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:168)𝑥(cid:169)−(cid:31)2𝑥(cid:222)−(cid:223)6 (cid:211)(cid:65)(cid:108)(cid:31)(cid:87)(cid:109)(cid:44) ( )( +1) ( )( +3) +9 (cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:183)(cid:224)(cid:111)( )( + )
2 2 2
+9 (cid:50)(cid:202) = (cid:50)(cid:183)(cid:224)(cid:111)( )𝑥(cid:50)−(cid:201)6 (cid:27)𝑥(cid:121) 𝑥=−2 (cid:206)𝑥(cid:207)(cid:97)(cid:28)(cid:111)𝑥(cid:160)(cid:62)(cid:63)(cid:51) 𝑥 −5𝑥−6 𝑥 𝑥−6
2 2 2 2
(cid:15)(cid:86)𝑥(cid:24)(cid:19)(cid:24)𝑥(cid:10)−(cid:108)6(cid:31)𝑀= ( )( 𝑀+−1)2𝑥( )( +3𝑥)−+69 𝑀
2
=( )( + 𝑥−)6+9𝑥 (cid:50) 𝑥−2 𝑥 𝑥
2 2 2 A +
(cid:202) 𝑥 −5=𝑥−6(cid:50)𝑥 𝑥−6 𝑥 科 A
全
★
2 众 号
(cid:108)𝑥(cid:31)−6=( 𝑀 )( + )+9 公
注
关
，
2 源
∴= 𝑀−5𝑥 +𝑀9 𝑥 辅𝑥资
教
2 2 2
=𝑀 −4𝑀𝑥−+54𝑥 𝑥
2 2
=𝑀( −4𝑀)𝑥 𝑥
2
=(𝑀−2𝑥 )
2 2
=(𝑥 −6−2𝑥 ) (cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:211)𝑥(cid:212)−(cid:19)2(cid:92)𝑥−(cid:20)6(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:121)(cid:113)(cid:182)(cid:122)(cid:41)(cid:31)(cid:187)(cid:126)(cid:225)(cid:182)(cid:183)(cid:31)(cid:100)(cid:38)(cid:226)(cid:100)(cid:109)(cid:31)(cid:50)(cid:163)(cid:164)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:51)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:153)(cid:34)
(cid:100)(cid:73)(cid:25)(cid:227)(cid:10) (cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:167) (cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:167) (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:25)(cid:167) (cid:22)(cid:23)(cid:22)(cid:24)(cid:25)(cid:51)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:228)(cid:229)(cid:22)(cid:24)(cid:112)(cid:230)(cid:182)(cid:30)(cid:31)(cid:231)(cid:45)
(cid:232)(cid:71)(cid:22)(cid:24)(cid:44)(cid:233)①(cid:51) ② ③ ④
(cid:15)(cid:87)(cid:31)5-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:141)·(cid:175)(cid:176)(cid:234)(cid:189)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:235)(cid:173)(cid:174)(cid:159)(cid:160)(cid:201)(cid:236)(cid:237)(cid:220)(cid:51)
(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)( +3)( +4)( +5)( +6) =_______
①(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)(𝑥 )(𝑥 +3)(𝑥 +5)+𝑥16=−_3_6__0___(cid:51)
2
②(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19) ( 𝑥+−91)( 𝑥+ +𝑥 38)(cid:167) ( + )
2 2 2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)①(cid:92)(cid:20)𝑥(cid:78)𝑥 (cid:79)(cid:183)(cid:31)𝑥(cid:100)(cid:38)9(cid:25)𝑥 (cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:22)②(cid:24)𝑥(cid:100)(cid:238)(cid:34)4𝑥(cid:50)−1(cid:24)(cid:117)(cid:92)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:84)(cid:168)(cid:169)(cid:239)(cid:52)(cid:100)(cid:123)(cid:162)(cid:73)(cid:25)(cid:68)(cid:83)(cid:24)(cid:62)(cid:51)
(cid:168)(cid:169)(cid:73)(cid:25)(cid:39)(cid:50)( +3)( +4)( +5)( +6) =( + +18)( + +20) (cid:50)(cid:240) =
2 2 2
① 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −360 𝑥 9𝑥 𝑥 9𝑥 −360 𝑡 𝑥+ +18(cid:50)(cid:108)(cid:31)= ( +2) =( +20)( )(cid:50)(cid:65) (cid:206)(cid:207)(cid:187)(cid:218)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
9(cid:168)𝑥(cid:169)(cid:73)(cid:25)(cid:113)(cid:50)( 𝑡 𝑡)( +−33)6(0+5𝑡)+16 =𝑡−(18+ 𝑡+3)( + )+16(cid:50)(cid:240) = + (cid:50)(cid:65) (cid:206)(cid:207)(cid:50)
2 2 2 2
②(cid:241)(cid:242)(cid:50)(cid:243)(cid:244)(cid:31)(cid:222)(cid:84)𝑥(cid:113)−(cid:182)1(cid:104)𝑥(cid:105)(cid:72)(cid:73)𝑥(cid:7)(cid:31)(cid:51) 𝑥 4𝑥 𝑥 4𝑥−5 𝑡 𝑥 4𝑥 𝑡
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10) ( +3)( +4)( +5)( +6)
= ( +3)( +①6)𝑥 ( +𝑥4)( +𝑥5) 𝑥 −360
=(𝑥 + 𝑥+18)( 𝑥+ +𝑥20) −3(cid:50)60
2 2
(cid:240) =𝑥 9+𝑥 +18(cid:50)𝑥 9𝑥 −360
2
(cid:111)𝑡( +𝑥2) 9𝑥
=𝑡 𝑡+ +−360
2
=𝑡( +12)𝑡 1−361
2
= (𝑡 +1+−1396)1( + )
= (𝑡+20)( 𝑡) 1−19
= (𝑡 + +𝑡−1188+20)( + + )
2 2 A +
= 𝑥( +99𝑥)( + +38𝑥)(cid:51)9𝑥 18−18 科 A
全
★
2 众 号
(cid:245)(cid:62)𝑥(cid:63)𝑥(cid:44)(cid:10) 𝑥( +99𝑥)( + +38)(cid:51) 公
注
关
，
2 源
( )(𝑥+𝑥3)( +𝑥5)+辅91𝑥6资
教
2
②= (𝑥 +−11)(𝑥 +3)𝑥 ( )( +5) +16
=(𝑥 + 𝑥+3)( +𝑥−1 𝑥)+16(cid:50)
2 2
(cid:240) =𝑥 4+𝑥 (cid:50) 𝑥 4𝑥−5
2
(cid:111)𝑡(cid:10)( 𝑥+3)4(𝑥 )+16
= 𝑡 𝑡+−516
2
=𝑡( −2)𝑡−15
2
=(𝑡−1+ ) (cid:50)
2 2
(cid:245)(cid:62)𝑥(cid:63)(cid:44)4(cid:10)𝑥(−1 + ) (cid:51)
2 2
【题型6 添 𝑥 项法 4 】 𝑥−1
(cid:15)(cid:52)6(cid:19)(cid:26)2025·(cid:221)(cid:137)(cid:246)(cid:247)·(cid:39)(cid:248)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:122)(cid:41)(cid:31) (cid:100)(cid:237)(cid:220)(cid:84) (cid:51)
5
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( + + + +1) 𝑎 −1
4 3 2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:173)𝑎−(cid:174)1(cid:168)(cid:169)𝑎 (cid:48)(cid:41)𝑎(cid:100)(cid:73)𝑎(cid:25)(cid:68)𝑎(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:24)(cid:10)
5
𝑎 −1= + + + +
5 4 4 3 3 2 2
=𝑎 −( 𝑎 )+𝑎 −𝑎( 𝑎)+−𝑎 ( 𝑎 )−+𝑎 (𝑎−1)+
4 3 2
=𝑎( 𝑎−)1( +𝑎 𝑎+−1 +𝑎 +𝑎1−)1(cid:50) 𝑎 𝑎−1 𝑎−1
4 3 2
(cid:245)(cid:62)𝑎(cid:63)−(cid:44)1 (cid:10)𝑎( 𝑎)( 𝑎+ 𝑎+ + +1)
4 3 2
(cid:15)(cid:211)(cid:212)(cid:19)(cid:92)(cid:20)𝑎−(cid:78)1(cid:79)(cid:48)𝑎 (cid:41)(cid:25)𝑎(cid:205)(cid:122)𝑎(cid:41)(cid:31)𝑎(cid:68)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:50)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:84)(cid:101)(cid:90)(cid:127)(cid:34)(cid:29)(cid:7)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:50)(cid:249)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:11)(cid:250)(cid:100)(cid:251)
(cid:252)(cid:232)(cid:253)(cid:128)(cid:183)(cid:184)(cid:254)(cid:255)(cid:51)
(cid:15)(cid:87)(cid:31)6-1(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)·(cid:256)(cid:137)(cid:257)(cid:258)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:127)(cid:34)(cid:48)(cid:41)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + (cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( )( + )(cid:51) 𝑎 −4𝑎𝑚−𝑛 4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:108)𝑎−(cid:31)𝑛=𝑎−4𝑚 𝑛+4 +
2 2 2 2
= ( +4 𝑎 )−4(𝑎4𝑚 +𝑚 −4𝑚 −) 𝑛 4𝑚𝑛
2 2 2 2
=(𝑎 −4𝑎)𝑚 ( 𝑚 −) 𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
2 2
= (𝑎−2𝑚 +− 2𝑚−)𝑛( + )
=(𝑎−2𝑚)( 2𝑚−+𝑛n)𝑎. −2𝑚−2𝑚 𝑛
+
A
(cid:15)(cid:87)a(cid:31)−n6-2a(cid:19)−4(cid:26)m24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:141)·(cid:256)(cid:137)(cid:137)(cid:259)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31) 科 A
全
★
号
众
(1) +4 (cid:167) 公
注
关
，
4 4 源
(2)𝑥 +4𝑦 辅 资
教
4
(cid:15)(cid:62)𝑎(cid:63)(cid:19)(1) +2 + +2
2 2 2 2
(2)( + +𝑥2)( 𝑦 2+𝑥2𝑦) 𝑥 𝑦 −2𝑥𝑦
2 2
(cid:15)(cid:22)𝑎(cid:64)(cid:19)2(cid:26)𝑎1(cid:32)(cid:260)(cid:261)𝑎 (cid:48)−2(cid:41)𝑎4 (cid:194)(cid:24)(cid:167)
2 2
(cid:26)2(cid:32)(cid:93)(cid:48)(cid:262)4 (cid:263)(cid:126)(cid:104)(cid:105)𝑥(cid:72)𝑦(cid:73)(cid:31)(cid:50) (cid:94)(cid:27)(cid:264)4 (cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31) =( + )( )(cid:68)(cid:113)(cid:114)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)
2 2 2 2
(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:63)(cid:51) 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10) +4
4 4
= +4 +4 𝑥 𝑦
4 2 2 4 2 2
𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 −4𝑥 𝑦
= +2
2
2 2 2 2
= 𝑥 +2𝑦 +−4𝑥 𝑦 +2 (cid:51)
2 2 2 2
(cid:26)2(cid:32)𝑥(cid:24)(cid:10)𝑦 +42𝑥𝑦 𝑥 𝑦 −2𝑥𝑦
4
= +4 𝑎+ (cid:50)
4 2 2
=𝑎( +𝑎2) 4(−4)𝑎(cid:50)
2 2 2
=(𝑎 + +−22)𝑎( +2)(cid:51)
2 2
𝑎 2𝑎 𝑎 −2𝑎(cid:15)(cid:87)(cid:31)6-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:141)·(cid:259)(cid:265)(cid:266)(cid:247)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:51)
(1) + (cid:51)
2 2
(2)𝑥 +2𝑎𝑥−8+𝑎 (cid:51)
4 2 2 4
(cid:15)(cid:62)𝑎(cid:63)(cid:19)𝑎(1𝑏) +𝑏
(2)( + +(𝑥 4𝑎)(+𝑥−2𝑎)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:22)𝑎(cid:64)(cid:19)𝑏(cid:26)1(cid:32)𝑎𝑏(cid:267))((cid:262)𝑎(cid:267)(cid:264)𝑏(cid:113)−(cid:41)𝑎𝑏(cid:268))(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:71)(cid:168)(cid:169)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:63)(cid:167)
(cid:26)2(cid:32)(cid:267)(cid:262)(cid:267)(cid:264)(cid:113)(cid:41)(cid:268)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:71)(cid:168)(cid:169)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:97)(cid:28)(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:63)(cid:167)
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10)(cid:108)(cid:31)= + +
2 2 2 2
=(cid:26) + + (cid:32) 𝑥 2𝑎𝑥 𝑎 −8𝑎 −𝑎
2 2 2
= 𝑥+ 2𝑎𝑥 𝑎 −9𝑎
2 2
=(𝑥+𝑎)+−9𝑎 +
=(𝑥 +𝑎 3𝑎)(𝑥 (cid:167)𝑎−3𝑎)
(cid:26)2((cid:32)𝑥(cid:24)4(cid:10)𝑎(cid:108))(𝑥(cid:31)−2=𝑎) + + +
4 2 2 4 2 2 2 2 A +
=(cid:26) +2 +𝑎 (cid:32)𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 −𝑎 𝑏 科 A
全
★
4 2 2 4 2 2 众 号
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 −𝑎 𝑏 公
=(cid:26) + (cid:32) 注
关
，
2 2 2 2 2 资 源
=(
𝑎
+
𝑏
+
−𝑎 𝑏教+ 辅
(cid:51)
2 2 2 2
【题 𝑎 型7 𝑏 拆项 𝑎𝑏 法 )( 】 𝑎 𝑏 −𝑎𝑏)
(cid:15)(cid:52)7(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:99)(cid:189)(cid:269)(cid:270)·(cid:60)(cid:131)(cid:32)(cid:235)(cid:104)(cid:126)(cid:141)(cid:142)(cid:271)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10) + (cid:167)
3
(2)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)𝑥 9𝑥−10 +6(cid:51)
3 2
(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)(1)( 𝑥 −)(2𝑥 +−5𝑥+10)
2
(2)( )( +𝑥2−)1( 𝑥 ) 𝑥
(cid:15)(cid:22)𝑥(cid:64)−3(cid:19)(cid:92)𝑥(cid:20)(cid:76)(cid:77)𝑥−(cid:78)1(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:10)
(cid:26)1(cid:32)(cid:93)(cid:121)(cid:108)(cid:31)(cid:87)(cid:109)(cid:44) + + (cid:50)(cid:71)(cid:208)(cid:209)(cid:20)(cid:272)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
3 2 2
(cid:26)2(cid:32)(cid:93)(cid:121)(cid:108)(cid:31)(cid:87)(cid:109)(cid:44)𝑥 −𝑥 +𝑥 9𝑥−+106(cid:50)(cid:71)(cid:208)(cid:209)(cid:20)(cid:272)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
3 2 2
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)(cid:26)1(cid:32)(cid:24)(cid:10) 𝑥+−3𝑥 𝑥 −5𝑥
3
= + + 𝑥 9𝑥−10
3 2 2
=𝑥 −( 𝑥 )+𝑥 ( 9𝑥)−(10+10)
2
𝑥 𝑥−1 𝑥−1 𝑥=( )( + +10)(cid:167)
2
(cid:26)2(cid:32)𝑥−(cid:24)1(cid:10)𝑥 𝑥 +6
3 2
= 𝑥+−2𝑥 −5+𝑥6
3 2 2
=𝑥 −( 3𝑥 )+𝑥(−5𝑥)( )
2
=𝑥( 𝑥−)3( +𝑥−2) 𝑥−3
2
=(𝑥−3)(𝑥+2𝑥)(−2 )(cid:51)
(cid:15)(cid:87)𝑥(cid:31)−37-1𝑥(cid:19)(cid:26)24𝑥-2−51(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:199)(cid:200)(cid:273)(cid:274)(cid:275)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10)
(1) + (cid:167)
2 2
(2)𝑥 4𝑥𝑦−+5𝑦9 (cid:167)
2 2
(3)𝑥 −+10𝑥𝑦 𝑦 (cid:51)
2 2
(cid:15)(cid:62)𝑥 (cid:63)(cid:19)14(𝑥1𝑦)(−3+2𝑦 )( )
(2)( )( 𝑥 )5𝑦 𝑥−𝑦
(3)(𝑥−+𝑦 𝑥−)(9𝑦 )
+
A
(cid:15)(cid:86)𝑥(cid:24)(cid:19)16(cid:26)𝑦1(cid:32)𝑥−(cid:24)2(cid:10)𝑦 + 科 A
全
★
2 2 众 号
= + +4 𝑥 4𝑥𝑦−5𝑦 公
注
关
，
2 2 2 源
=𝑥( + 4𝑥)𝑦 𝑦 −9𝑦 辅 资
教
2 2
= [𝑥( +2𝑦 )−+9𝑦 ][( + ) ]
=(𝑥+ 2𝑦)( 3𝑦)(cid:167)𝑥 2𝑦 −3𝑦
(cid:26)2(cid:32)𝑥(cid:24)5(cid:10)𝑦 𝑥−𝑦 +9
2 2
= 𝑥+−2150𝑥𝑦 𝑦
2 2 2
=𝑥( −10)𝑥𝑦 𝑦 −16𝑦
2 2
= [𝑥(−5𝑦 )−+16𝑦][( ) ]
=(𝑥−5)𝑦( 4𝑦)(cid:167)𝑥−5𝑦 −4𝑦
(cid:26)3(cid:32)𝑥−(cid:24)𝑦(cid:10)𝑥−9+𝑦
2 2
= + 𝑥 +1449𝑥𝑦−32𝑦
2 2 2
=𝑥( + 14)𝑥𝑦 𝑦 −81𝑦
2 2
= [𝑥( +7𝑦 )−+81𝑦][( + ) ]
=(𝑥+ 7𝑦 )( 9𝑦 )𝑥(cid:51) 7𝑦 −9𝑦
(cid:15)(cid:87)𝑥(cid:31)71-62𝑦(cid:19)(cid:26)𝑥−242-𝑦25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:99)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:30)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:10) + (cid:51)
4 2 2 4
𝑎 −3𝑎 𝑏 𝑏(cid:15)(cid:62)(cid:63)(cid:19)( + )( )(cid:51)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:22)(cid:64)(cid:19)(cid:93)𝑎(cid:121) 𝑎𝑏−𝑏(cid:22)(cid:126)𝑎(cid:67)−(cid:41)𝑎𝑏−𝑏 (cid:128) (cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31) =( + )( )(cid:68)(cid:113)(cid:114)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)
2 2 2 2 2
(cid:97)(cid:28)(cid:111)(cid:112)(cid:62)(cid:63)−(cid:51)3𝑎 𝑏 −2𝑎 𝑏 −𝑎 𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19) + (cid:50)
4 2 2 4
= 𝑎 −3+𝑎 𝑏 𝑏 (cid:50)
4 2 2 4 2 2
=𝑎( −2𝑎 )𝑏 𝑏 −(cid:50)𝑎 𝑏
2 2 2 2
=(𝑎 −+𝑏 −(𝑎)𝑏() )(cid:51)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:211)𝑎(cid:212)(cid:19)𝑎(cid:75)𝑏(cid:20)−𝑏(cid:78)(cid:79)𝑎(cid:80)−(cid:30)𝑎(cid:31)𝑏−(cid:22)𝑏(cid:24)(cid:50)(cid:101)(cid:90)(cid:102)(cid:103)(cid:7)(cid:31)(cid:25)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:84)(cid:24)(cid:20)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51)
(cid:15)(cid:87)(cid:31)7-3(cid:19)(cid:26)24-25(cid:135)(cid:54)(cid:55)(cid:56)·(cid:99)(cid:189)(cid:276)(cid:176)·(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:235)(cid:104)(cid:126)(cid:141)(cid:142)(cid:20)(cid:277)(cid:10)
(1) + + (cid:167)
2 2
(2)𝑎 −𝑏 2+𝑎1(cid:51)6𝑏−8
4 2
(cid:15)(cid:62)𝑥 (cid:63)−2(cid:19)3(𝑥1)( + )( +4)
(2)( +1+𝑎 )(𝑏−2+ 𝑎−𝑏)
2 2 A +
(cid:15)(cid:22)𝑥(cid:64)(cid:19)(cid:92)(cid:20)5(cid:78)𝑥 (cid:79)𝑥(cid:30)(cid:31)1(cid:22)−(cid:24)5𝑥(cid:50)(cid:224)(cid:24)(cid:20)(cid:131)(cid:49)(cid:41)(cid:25)(cid:84)(cid:24)(cid:62)(cid:100)(cid:3)(cid:85)(cid:51) 科 A
全
★
号
众
(cid:26)1(cid:32)(cid:65) (cid:49)(cid:126) (cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:278)(cid:279)(cid:23)(cid:280)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)公(cid:7)(cid:31)(cid:128)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:167)
注
关
，
源
(cid:26)2(cid:32)(cid:65)−8 (cid:49)1−(cid:126)92 辅 资(cid:50)(cid:94)(cid:27)(cid:278)(cid:279)(cid:23)(cid:280)(cid:50)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:72)(cid:73)(cid:7)(cid:31)(cid:128)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:7)(cid:31)(cid:22)(cid:24)(cid:30)(cid:31)(cid:97)(cid:28)(cid:51)
教
2 2 2
(cid:15)(cid:86)(cid:24)(cid:19)−(cid:26)231𝑥(cid:32)(cid:24)(cid:10) 𝑥 −25+𝑥 +
2 2
= + + 𝑎+−𝑏 2𝑎 6𝑏−8
2 2
=𝑎( −+𝑏 2+𝑎1) 6(𝑏 1−9+9)
2 2
=(𝑎+1)2𝑎 ( −)𝑏 −6𝑏
2 2
= (𝑎 +1+− 𝑏−)3( + +3)
=(𝑎 + 𝑏)−(3 𝑎+41)−(cid:167)𝑏
(cid:26)2(cid:32)𝑎(cid:24)𝑏(cid:10)−2 𝑎−𝑏 +1
4 2
= +2 𝑥 −23𝑥+1
4 2 2
=𝑥( +2𝑥 −+251𝑥)
4 2 2
=(𝑥 +1)𝑥 ( )−25𝑥
2 2 2
=(𝑥 +1+− 5)𝑥( + )(cid:51)
2 2
𝑥 5𝑥 𝑥 1−5𝑥
