文档文本内容
专题 02 因式分解的应用（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:19)................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:19)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)(cid:19)................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:38)(cid:39)(cid:19)........................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:19)........................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:34)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:37)(cid:20)(cid:19)......................................................................................................12
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:20)(cid:19)..........................................................................................................15
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:56)(cid:37)(cid:20)(cid:19)..................................................................................................20
【题型1 利用因式分解求值】
+
A
(cid:15)(cid:57)1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73) = +2024(cid:74) =科 A +2025(cid:74) = +2026(cid:74)(cid:75)(cid:76)
全
★
号
众
(cid:77)(cid:25) + + (cid:45)(cid:29)(cid:78)(cid:58)(cid:79)(cid:79)(cid:71) 注 公𝑎 𝑚 𝑏 𝑚 𝑐 𝑚
关
，
2 2 2 源
资
A𝑎(cid:80)5 𝑏 𝑐 −𝑎𝑏−B𝑏(cid:80)𝑐辅−6𝑎𝑐 C(cid:80)3 D(cid:80)8
教
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)C
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含 、 、 的形
式是关键．由 = +2024(cid:74) = +2025(cid:74) = +2026，得 = ， = 𝑎−，𝑏 𝑏−=𝑐 𝑎−，𝑐将
+ + 𝑎 𝑚 进行因𝑏式分𝑚解变形，即𝑐可得𝑚结论． 𝑎−𝑏 −1 𝑏−𝑐 −1 𝑎−𝑐 −2
2 2 2
(cid:15)𝑎 (cid:84)(cid:27)𝑏(cid:19)解𝑐：−𝑎𝑏 −𝑏=𝑐−𝑐𝑎+2024(cid:74) = +2025(cid:74) = +2026，
= ，∵ 𝑎 =𝑚 ， =𝑏 ，𝑚 𝑐 𝑚
∴𝑎−+𝑏 −+1 𝑏−𝑐 −1 𝑎−𝑐 −2
2 2 2
∴𝑎1 𝑏 𝑐 −𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑐𝑎
= (2 +2 +2
2
2 2 2
1 𝑎 𝑏1 𝑐 −2𝑎𝑏1−2𝑏𝑐−2𝑐𝑎)
= + +
2 2 2
2 2 2
1(𝑎−𝑏) 1(𝑏−𝑐) (1𝑎−𝑐)
= × + × + ×
2 2 2
2 2 2
1 (1−1) (−1) (−2)
= + +2
2 2
=3，故选：C．
(cid:15)(cid:85)(cid:25)1-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:96)1+ + + =0(cid:74)(cid:75)1+ + + +…+
2 3 2 3 2023
+ (cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:80) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
2024
(cid:15)(cid:81)𝑥(cid:82)(cid:19)1
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:27)(cid:81)(cid:97)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:45)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:80)(cid:115)(cid:116)(cid:28)(cid:76)
(cid:77)(cid:25)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:78)(cid:117)(cid:118)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:119)(cid:120)(cid:76)(cid:121)(cid:72)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) 1+ + + =0(cid:74)
2 3
(cid:107)(cid:25)=1+(∵+ 𝑥+𝑥 +𝑥 )+…+( + + + )
2 3 4 2021 2022 2023 2024
∴=1+ (1+ 𝑥+ 𝑥+ 𝑥)+…𝑥 + (1𝑥+ + 𝑥 + )𝑥 𝑥
2 3 2021 2 3
=1+𝑥0+…𝑥+0𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
=1(cid:80)
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)1(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)1-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)(cid:72)(cid:73)2 + +4=0(cid:74)(cid:132) 1(cid:74)(cid:75) + (cid:45)(cid:29)(cid:78)
2 +
(cid:58) (cid:71) 𝑥 −𝑥𝑦−5𝑥 𝑦 科 A
A
𝑥≥𝑦≥ 𝑥 𝑦
全
★
号
众
A(cid:80)1 B(cid:80)2 C(cid:80)3公 D(cid:80)4
注
关
，
源
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)D 辅 资
教
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:133)(cid:23)(cid:74)(cid:134)(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:80)(cid:138)(cid:107)(cid:25)(cid:125)(cid:139)(cid:85)(cid:44)(cid:78)( ) +( )( )=0(cid:74)(cid:140)(cid:141)
2
(cid:134)(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:142)(cid:122)(cid:123)(cid:125)(cid:139)(cid:143)(cid:144)(cid:74)( ) 0(cid:74) 1(cid:74)( )( ) 0𝑥(cid:74)−(cid:145)2(cid:146)(cid:125)(cid:139)𝑥−(cid:28)𝑦(cid:144)𝑥x−(cid:147)1y(cid:45)(cid:29)(cid:80)
2
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) 2 + +𝑥4−=2 0(cid:74)≥ 𝑥≥𝑦≥ 𝑥−𝑦 𝑥−1 ≥
2
+ ∵ 𝑥 −𝑥+𝑦−5+𝑥4=𝑦0(cid:74)
2 2
∴𝑥 𝑥 +−𝑥4𝑦+−4(𝑥−𝑥 ) 𝑦( )=0(cid:74)
2
∴𝑥( −4)𝑥 +( 𝑥)𝑥(−𝑦 −)=𝑥−0𝑦(cid:74)
2
∴(𝑥−2) 0𝑥(cid:74)−𝑦 𝑥−1 1(cid:74)
2
∵(𝑥−2)( ≥ ) 𝑥0≥(cid:74)𝑦≥
∴(cid:148)𝑥−(cid:112)𝑦(cid:149)(cid:134)𝑥−(cid:135)1(cid:74)≥(cid:150)(cid:151)(cid:149)(cid:78)0(cid:74)
∵( ) =0(cid:74)( )( )=0(cid:74)
2
∴ 𝑥=−2 =2(cid:74) 𝑥−𝑦 𝑥−1
∴𝑥+ 𝑦=4(cid:80)
∴(cid:126)𝑥(cid:152)(cid:10)𝑦D(cid:80)(cid:15)(cid:85)(cid:25)1-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:153)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:154)(cid:155)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:72)(cid:73) + + +1=0(cid:74)(cid:75) + +1(cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:80)
4 2 5 4 3
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)2 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23),(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:156)(cid:157)(cid:28)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:78)(cid:158)(cid:159)(cid:72)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74)(cid:156)(cid:157)(cid:28)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:78)
( )+ +1(cid:74)(cid:160)(cid:156)(cid:72)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:85)(cid:44)(cid:78) = (cid:74)(cid:76)(cid:121)(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:27)(cid:80)
4 3 4 2
𝑎(cid:15)(cid:84)𝑎(cid:27)−1(cid:19)(cid:27)𝑎(cid:10) + + +1=0(cid:74) 𝑎 −𝑎 −𝑎−1
4 2
= ∵𝑎(cid:74) 𝑎 𝑎
4 2
∴𝑎 −+𝑎 −𝑎+−11
5 4 3
∴=𝑎 −(𝑎 )𝑎+ +1
4 3
=𝑎( 𝑎−1 )𝑎( )+ +1
2 3
= −𝑎+−𝑎−1 𝑎+−1 +𝑎1+ +1
3 2 2 3
=−2𝑎(cid:74) 𝑎 −𝑎 𝑎−𝑎 𝑎
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)2(cid:80)
【题型2 利用因式分解进行简算】 +
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:57)2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:166)(cid:33)公(cid:10)众 号1
×
1
×
1
× ×
1
×
1
关 注 2 3 4 98 99
源 ， 2 2 2 2 2
(cid:45)(cid:167)(cid:168)(cid:105)(cid:58) (cid:71) 辅 资 1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
教
101 100 50 99
A(cid:80) B(cid:80) C(cid:80) D(cid:80)
200 99 99 200
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)C
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:107)(cid:25)(cid:169)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:173)(cid:32)(cid:74)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:174)(cid:167)(cid:168)(cid:80)
1 1 1 1 1
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19) × × × ×
2 3 4 98 99
2 2 2 2 2
1 1− 1 1− 1 1− 1 ⋯ 1 1 − 1− 1 1 1 1 1
= × 1+ × × 1+ × × 1+ × × × 1+ × × 1+ (cid:74)
2 2 3 3 4 4 98 98 99 99
11−3 2 4 3 5 1− 97 100 1− ⋯ 1− 1−
= × × × × × × × × (cid:74)
2 2 3 3 4 4 98 99
1 100 ⋯
= × (cid:74)
2 99
50
= (cid:74)
99
(cid:126)(cid:152)(cid:10)C(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:177)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:142)(cid:181)(cid:133)(cid:33)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)2-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:162)(cid:182)(cid:183)(cid:51)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:166)(cid:33)(cid:10)101×1022﹣101×982=(cid:58) (cid:71)A(cid:80)404 B(cid:80)808 C(cid:80)40400 D(cid:80)80800
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)D
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:184)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:160)(cid:133)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:119)(cid:120)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10)101×1022﹣101×982
=101(cid:58)1022﹣982(cid:71)
=101(cid:58)102+98(cid:71)(cid:58)102﹣98(cid:71)
=101×200×4=80800(cid:185)
(cid:126)(cid:152)D(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:173)(cid:166)(cid:33)(cid:74)(cid:27)(cid:81)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:160)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:80)
1013 1011 2022×1013
(cid:15)(cid:85)(cid:25)2-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)(cid:166)(cid:33)(cid:10) = (cid:80)
21013 21011
+ +
2 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)1012 −
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:91)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:74)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(1013 1011)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10)(cid:107)(cid:25)= +
(1013 1011)( 2 ) A A
+ 科
全
1013+1011 + 1013−1011 号 ★
= 公 众
注
关
，
源
2024 资
= 1013−1011 教 辅
2
=1012(cid:185)
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)1012(cid:80)
10 9
(cid:15)(cid:85)(cid:25)2-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:192)(cid:193)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:166)(cid:33)(cid:10) = (cid:80)
10 130×93 9
−
2 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)1 + +
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:106)(cid:26)(cid:194)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:120)(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:27)(cid:80)
10 9
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)
10 130×93 9
−
2 2
10 9 ++10 ×+ 10 ×9
=
3 103 +102×9+9 2
− 9−
10 ( 2 )+9 (102 9 )
=
2 10 +10×9+92 2
⋅ 10−9 ⋅ −
10 ( 2 )+9 ( 2 ) (10+9)
=
2 10 +10×9+9
⋅ 10−9 ⋅ 10−9 ⋅
( )[102 +9 (10+92)]
=
10 +210×9+9
10−9 ⋅ ⋅
2 2( )(10 10×9 9 )
= =1(cid:80)
10 120×9 9 2
10−9 + +
2 2
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)+ 1(cid:80)+
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:195)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:105)(cid:27)(cid:81)(cid:97)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
【题型3 利用因式分解解决整除问题】
(cid:15)(cid:57)3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:162)(cid:163)(cid:163)(cid:197)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:96) (cid:78)(cid:35)(cid:77)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:25)( +3)( +3) (cid:45)(cid:29)(cid:117)(cid:51)(cid:125)(cid:139)(cid:58) (cid:71)
A(cid:80)(cid:198)9(cid:35)(cid:36) B(cid:80)(cid:198)6(cid:35)(cid:36) C𝑛(cid:80)(cid:198)3(cid:35)(cid:36) 3𝑛D(cid:80)(cid:198)𝑛2(cid:35)(cid:36)−6
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)C
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:25)(cid:45)(cid:111)(cid:75)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:147)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:200)(cid:73)(cid:201)(cid:175)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:35)(cid:25)(cid:45)(cid:111)(cid:75)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:202)(cid:75)
(cid:203)(cid:78)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:184)(cid:133)(cid:23)(cid:35)(cid:25)(cid:45)(cid:111)(cid:75)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:173)(cid:32)(cid:74)(cid:160)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:119)(cid:120)(cid:40)(cid:41)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:78)( +3)( +3)
=3 + + 3𝑛 𝑛 −6
2
=3𝑛 +12𝑛+93−6 +
A
A
科
2 全
★
=3𝑛( +12𝑛 +1)(cid:74) 众 号
公
2 关 注
(cid:116)(cid:139)(cid:204)𝑛(cid:76)(cid:77)4(cid:25)𝑛 (cid:45)(cid:29)(cid:117)(cid:51)(cid:125)(cid:139)(cid:198)3(cid:35)源(cid:36)(cid:80)，
资
辅
教
(cid:126)(cid:152)(cid:10)C(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)3-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:205)(cid:182)(cid:206)(cid:207)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:208)(cid:151)(cid:198)2021 (cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:105)(cid:58) (cid:71)
3
A(cid:80)2019 B(cid:80)2020 C(cid:80)2021 −2D02(cid:80)12022
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)A
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:177)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:184)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:160)(cid:22)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:143)(cid:174)2021
3
=2021×(2021+1)( )=2021×2022×2020(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:209)(cid:144)(cid:40)(cid:41)(cid:91)(cid:152)(cid:210)(cid:80)
(cid:15)−2(cid:84)02(cid:27)1(cid:19)(cid:27)(cid:10) 2021 =2022012−1(12021 )=2021×(2021+1)( )=2021×2022×2020(cid:74)
3 2
(cid:208)(cid:151)(cid:198)2021∵ (cid:35)−2(cid:36)02(cid:45)1(cid:105)2019(cid:74) −1 2021−1
3
(cid:126)∴ (cid:152)(cid:10)A(cid:80) −2021
(cid:15)(cid:85)(cid:25)3-2(cid:19)(cid:58)2025·(cid:162)(cid:182)(cid:211)(cid:66)·(cid:212)(cid:213)(cid:71)(cid:96)n(cid:78)(cid:214)(cid:215)(cid:35)(cid:77)(cid:74)(cid:216)(cid:168)( +2) (cid:45)(cid:29)(cid:217)(cid:151)(cid:198)4(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:35)(cid:77)k(cid:208)
2 2
(cid:151)(cid:114)(cid:58) (cid:71) 𝑛 −𝑘𝑛
A(cid:80) B(cid:80)1 C(cid:80)2 D(cid:80)5
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)−3C(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:184)(cid:22)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:166)(cid:33)(cid:74)(cid:160)(cid:156)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:26)(cid:118)(cid:78)(cid:117)(cid:51)(cid:198)4(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:117)(cid:118)
(cid:91)(cid:218)(cid:99)(cid:196)(cid:51)(cid:219)(cid:220)(cid:45)(cid:117)(cid:118)(cid:74)(cid:221)(cid:174)(cid:151)(cid:198)(cid:35)(cid:36)(cid:45)(cid:77)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:81)(cid:82)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) +2)
2 2
= + + (𝑛 −𝑘𝑛
2 2
=𝑛 4𝑛 +44−(𝑘𝑛+1)(cid:80)
2
( (1+−2𝑘))𝑛 (cid:45)𝑛(cid:29)(cid:217)(cid:151)(cid:198)4(cid:35)(cid:36)(cid:74)n(cid:78)(cid:214)(cid:215)(cid:35)(cid:77)(cid:74)
2 2
∵ 𝑛 (cid:217)−(cid:151)𝑘(cid:198)𝑛4(cid:35)(cid:36)(cid:80)
(cid:35)∴(1(cid:77)−k𝑘)(cid:78) (cid:147)1(cid:147)5(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:122)(cid:123)(cid:74)(cid:126)(cid:152)(cid:112)A(cid:147)B(cid:147)D(cid:208)(cid:225)(cid:129)(cid:20)(cid:215)(cid:74)
(cid:35)(cid:77)k(cid:78)−2(cid:74)3 = (cid:74)(cid:208)(cid:151)(cid:223)(cid:224)n(cid:78)(cid:214)(cid:215)(cid:35)(cid:77)(cid:226)( +2) (cid:45)(cid:29)(cid:217)(cid:151)(cid:198)4(cid:35)(cid:36)(cid:74)
2 2
(cid:126)(cid:152)(cid:10)C(cid:80) 1−𝑘 −1 𝑛 −𝑘𝑛
(cid:15)(cid:85)(cid:25)3-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73) =4+ (cid:74) =2+ (cid:74)n(cid:78)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:80)
𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
(1)(cid:28)5 ÷5 (cid:45)(cid:29)(cid:80)
𝑎 𝑏
(2)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:227)(cid:39)(cid:10)2 2 (cid:151)(cid:198)24(cid:35)(cid:36)(cid:80) +
A
A
𝑎 𝑏 科
全
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)25 −
众
号 ★
公
注
关
(2)(cid:228)(cid:27)(cid:83) 源 ，
资
辅
教
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:229)(cid:230)(cid:77)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:202)(cid:45)(cid:233)(cid:133)(cid:33)(cid:74)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:178)(cid:73)(cid:229)(cid:230)(cid:77)(cid:231)(cid:232)(cid:36)(cid:202)(cid:45)(cid:233)(cid:133)(cid:33)(cid:202)(cid:75)(cid:105)(cid:27)(cid:20)
(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:58)1(cid:71)(cid:140)(cid:141)5 ÷5 =5 (cid:166)(cid:33)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
(cid:58)2(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:229)(cid:230)(cid:77)(cid:231)(cid:232)(cid:202)(cid:45)(cid:233)(cid:133)(cid:33)(cid:202)(cid:75)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:78)2 2 2 2 (cid:74)(cid:160)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:77)2 (cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:143)(cid:174)12 2 (cid:74)
4 𝑛 2 𝑛 𝑛 𝑛
(cid:141)(cid:177)(cid:125)(cid:38)(cid:39)(cid:167)(cid:234)(cid:80) ⋅ − ⋅ ⋅
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10) =4+ (cid:74) =2+ (cid:74)
5 ÷5 ∵𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
𝑎 𝑏
∴=5
𝑎−𝑏
=5
4+𝑛−2−𝑛
=5
2
=25(cid:185)
(cid:58)2(cid:71)(cid:38)(cid:39)(cid:10) =4+ (cid:74) =2+ (cid:74)
2 2 ∵𝑎 𝑛 𝑏 𝑛
𝑎 𝑏
∴ −=2 2
4+𝑛 2+𝑛
=2 2− 2 2
4 𝑛 2 𝑛
= (2⋅ 2−) 2⋅
4 2 𝑛
= ( − ) ⋅2
𝑛
=1126−24 (cid:74)⋅
𝑛
2 (cid:105)⋅(cid:235)(cid:77)(cid:74)(cid:117)(cid:51)(cid:151)(cid:198)24(cid:35)(cid:36)(cid:74)
𝑛
∵12 2 (cid:117)(cid:51)(cid:151)(cid:198)24(cid:35)(cid:36)(cid:80)
𝑛
∴ 【题 ⋅ 型4 利用因式分解进行证明】
(cid:15)(cid:57)4(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:186)(cid:187)(cid:236)(cid:66)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)“(cid:35)(cid:237)(cid:238)(cid:239)”(cid:240)(cid:77)(cid:11)(cid:27)(cid:20)(cid:131)(cid:133)(cid:23)(cid:241)(cid:242)(cid:74)(cid:62)(cid:243)(cid:57)(cid:20)(cid:105)(cid:133)(cid:23)“(cid:35)(cid:237)(cid:238)(cid:239)”
(cid:115)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)( +1)( +2)( +3)( +4)+1(cid:80)
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:27)(cid:10)(cid:107)(cid:25)= ( +1)( +4) ( +2)( +3) +1
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
= ( + +4)( + +6)+1
2 2
=(𝑥 + 5𝑥) +10𝑥( +5𝑥 )+24+1
A
+
A
科
2 2 2 全
★
=(𝑥 +5𝑥) +10(𝑥 +5𝑥)+25
众
号
公
注
2 2 2 关
=(𝑥 +5𝑥+5) 𝑥 5𝑥 源 ，
资
辅
2 2 教
(1)(cid:139)𝑥(cid:86)(cid:57)5(cid:20)𝑥 (cid:27)(cid:81)(cid:245)(cid:246)(cid:131)(cid:106)___________(cid:247)(cid:209)(cid:117)(cid:248)(cid:35)(cid:237)(cid:74)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:120)(cid:74)(cid:133)(cid:23)_________(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:185)
(2)(cid:249)(cid:250)(cid:251)(cid:139)(cid:86)(cid:171)(cid:202)(cid:115)(cid:62)(cid:243)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)( )( +2)( )( +4)+25(cid:185)
(3)(cid:252)(cid:253)(cid:103)(cid:23)(cid:10) 𝑥−1 𝑥 𝑥−3 𝑥
(cid:28)(cid:38)(cid:10)(cid:111)(cid:248)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:119)(cid:77) (cid:147) +1(cid:147) +2(cid:147) +3(cid:45)(cid:257)(cid:258)1(cid:45)(cid:91)(cid:200)(cid:259)(cid:117)(cid:248)(cid:260)(cid:77)(cid:45)(cid:170)(cid:171)(cid:80)
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)( + )(cid:185)𝑛(cid:190)(cid:191)𝑛(cid:170)(cid:171)(cid:7)𝑛(cid:25) 𝑛
2
(2)( + 𝑥) 5𝑥
2 2
(3)(cid:38)𝑥(cid:39)(cid:228)𝑥(cid:27)−7(cid:83)
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:10)
(cid:58)1(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:27)(cid:20)(cid:245)(cid:246)(cid:125)(cid:143)(cid:27)(cid:81)(cid:245)(cid:246)(cid:131)(cid:106)( + )(cid:247)(cid:209)(cid:117)(cid:248)(cid:35)(cid:237)(cid:74)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:120)(cid:74)(cid:133)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)
2
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:185) 𝑥 5𝑥
(cid:58)2(cid:71)(cid:184)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:118)(cid:78) ( )( +2) ( )( +4) +25(cid:74)(cid:160)(cid:250)(cid:251)(cid:20)(cid:131)(cid:57)(cid:194)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
𝑥−1 𝑥 𝑥−3 𝑥
(cid:58)3(cid:71)(cid:184)(cid:106)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:118)(cid:78) ( +3) ( +1)( +2) +1(cid:74)(cid:160)(cid:250)(cid:251)(cid:20)(cid:131)(cid:57)(cid:194)(cid:261)(cid:144)(cid:107)(cid:25)=( + +1) (cid:74)(cid:141)(cid:177)(cid:38)
2 2
(cid:39)(cid:124)(cid:125)(cid:80) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 3𝑛(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:74)(cid:139)(cid:86)(cid:57)(cid:20)(cid:27)(cid:81)(cid:245)(cid:246)(cid:131)(cid:106)( + )(cid:247)(cid:209)(cid:117)(cid:248)(cid:35)(cid:237)(cid:74)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:120)(cid:74)(cid:133)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)
2
(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74) 𝑥 5𝑥
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)( + )(cid:185)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:185)
2
(cid:58)2(cid:71)(cid:27)(cid:10)( 𝑥 )(5𝑥+2)( )( +4)+25
= [( )(𝑥+−12)]𝑥[( )𝑥(−3+4𝑥)]+25
= ( 𝑥−+1 𝑥 )( +𝑥−3 )𝑥+25
2 2
=(𝑥 + 𝑥)−2 𝑥( +𝑥−)12+24+25
2 2 2
=(𝑥 +𝑥) −14(𝑥 +𝑥)+49
2 2 2
=(𝑥 +𝑥 −)14(cid:185)𝑥 𝑥
2 2
(cid:58)3(cid:71)𝑥(cid:38)(cid:39)𝑥−(cid:10)7 ( +1)( +2)( +3)+1
= [ ( +3)]𝑛[(𝑛+1)(𝑛 +2)]𝑛+1
= (𝑛 𝑛+ )( 𝑛+ +𝑛2)+1
2 2
=(𝑛 + 3𝑛) +𝑛 2( 3𝑛+ )+1
2 2 2 +
A
=(𝑛 +3𝑛 +1) (cid:74)𝑛 3𝑛 科 A
全
★
2 2 号
众
n(cid:105)𝑛(cid:256)(cid:119)3(cid:77)𝑛(cid:74) 公
注
关
，
源
∵ ( +3)(cid:117)(cid:51)(cid:105)(cid:235)(cid:77)(cid:74) 辅 资
教
∴𝑛 𝑛+ = ( +3)(cid:105)(cid:235)(cid:77)(cid:74)
2
∴𝑛 +3𝑛+1𝑛(cid:105)𝑛(cid:260)(cid:77)(cid:74)
2
∴(cid:111)𝑛 (cid:248)(cid:254)3𝑛(cid:255)(cid:256)(cid:119)(cid:77) (cid:147) +1(cid:147) +2(cid:147) +3(cid:45)(cid:257)(cid:258)1(cid:45)(cid:91)(cid:200)(cid:259)(cid:117)(cid:248)(cid:260)(cid:77)(cid:45)(cid:170)(cid:171)(cid:80)
(cid:15)∴ (cid:85)(cid:25)4-1(cid:19)(cid:58)20𝑛25·(cid:262)𝑛(cid:154)(cid:263)(cid:197)𝑛·(cid:213)(cid:264)(cid:265)𝑛(cid:266)(cid:71)(cid:28)(cid:38)(cid:10)(cid:247) (cid:105)(cid:35)(cid:77)(cid:226)(cid:74)(cid:148)(cid:248)(cid:254)(cid:255)(cid:260)(cid:77)(cid:45)(cid:170)(cid:171)(cid:172) +1)
2 2
(cid:105)(cid:267)(cid:148)(cid:248)(cid:260)(cid:77)(cid:45)(cid:91)(cid:45)2(cid:268)(cid:80) 𝑛 (2𝑛 −(2𝑛−1)
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(cid:228)(cid:27)(cid:83)
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:177)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:10) +1)
2 2
= [( +1)+((2𝑛 )][( −(+2𝑛1−)1)( )]
=2[2(𝑛 +1)+2(𝑛−1 )] 2𝑛 − 2𝑛−1
(cid:124)(cid:10)(cid:148)2𝑛(cid:248)(cid:254)(cid:255)(cid:260)(cid:77)2𝑛(cid:45)−(cid:170)1 (cid:171)(cid:172) +1) (cid:105)(cid:267)(cid:148)(cid:248)(cid:260)(cid:77)(cid:45)(cid:91)(cid:45)2(cid:268)(cid:80)
2 2
(2𝑛 −(2𝑛−1) 1
(cid:15)(cid:85)(cid:25)4-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:86)(cid:269)·(cid:270)(cid:20)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:96) (cid:147) (cid:147) (cid:78)(cid:134)(cid:271)(cid:272)(cid:77)(cid:74)(cid:132) ( ) =( )( )(cid:74)(cid:28)(cid:38)(cid:10)
4
2
= + (cid:80) 𝑚 𝑛 𝑝 𝑚−𝑛 𝑝−𝑛 𝑚−𝑝
2𝑝 𝑚 𝑛(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(cid:228)(cid:27)(cid:83)
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:184)(cid:26)(cid:118)(cid:160)(cid:273)(cid:129)(cid:133)(cid:23)(cid:113)(cid:114)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:202)(cid:91)(cid:7)
(cid:25)(cid:202)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:174)(cid:81)(cid:82)(cid:74)(cid:55)(cid:27)(cid:26)(cid:118)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:238)(cid:239)(cid:171)(cid:202)(cid:105)(cid:27)(cid:34)(cid:37)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
1
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:10) ( ) =( )( )(cid:74)
4
2
+ = 𝑚 4 −(𝑛 𝑝−𝑛 + 𝑚− ) 𝑝 (cid:74)
2 2 2
∴𝑚 −2𝑚𝑛+𝑛 = 𝑝𝑚−𝑝 −𝑚𝑛 +𝑝𝑛 (cid:74)
2 2 2
∴𝑚 −2𝑚𝑛+𝑛 + 4𝑝𝑚−4𝑝 −4𝑚𝑛+44𝑝𝑛=0(cid:74)
2 2 2
∴𝑚( −+2𝑚𝑛 +𝑛 )4𝑚(𝑛−4𝑝+𝑚−4𝑝)𝑛+4 𝑝=0(cid:74)
2 2 2
∴(𝑚+ 2)𝑚𝑛 (𝑛 +− 4)𝑝+𝑚4 4=𝑝𝑛0(cid:74) 𝑝
2 2
∴[(𝑚 +𝑛 )−4𝑝]𝑚=0𝑛(cid:74) 𝑝
2
∴( 𝑚+ 𝑛) −2𝑝=0(cid:74)
∴ 𝑚= 𝑛 −+2𝑝(cid:80)
(cid:15)∴2(cid:85)𝑝 (cid:25)𝑚4-3(cid:19)𝑛(cid:58)2025·(cid:274)(cid:275)(cid:207)(cid:131)·(cid:212)(cid:213)(cid:71)(cid:72)(cid:73) = +2(cid:74) = +2(cid:74)(cid:132) (cid:80)(cid:28)(cid:38)(cid:10) + = (cid:80)
+
A
2 2 科 A
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:228)(cid:27)(cid:83) 𝑚 𝑛 𝑛 𝑚★ 全𝑚≠𝑛 𝑚 𝑛 −1
号
众
公
注
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:106)(cid:148)关(cid:25)(cid:109)(cid:276)(cid:143) = (cid:74)(cid:106)(cid:277)(cid:25)(cid:278)(cid:112)(cid:174)(cid:279)(cid:280)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)
，
源
资 2 2
辅
(cid:91)(cid:113)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:202)(cid:115)(cid:200)(cid:25)(cid:45)教(cid:279)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:140)(cid:141)(cid:148)(cid:25)(cid:109)(cid:232)𝑚(cid:257)(cid:78)−0𝑛(cid:74)(cid:281)𝑛(cid:159)−(cid:117)𝑚(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:78)0(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:27)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)
(cid:103)(cid:23)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:10) = +2(cid:74) = +2(cid:74)
2 2
(cid:148)(cid:25)(cid:109)(cid:276)(cid:143)(cid:74) ∵𝑚 =𝑛 (cid:74)𝑛 𝑚
2 2
∴( + )( 𝑚)+−(𝑛 )𝑛=−𝑚0(cid:74)
∴(𝑚 𝑛)( 𝑚+−𝑛+1)𝑚=−0𝑛(cid:74)
∴ 𝑚−𝑛(cid:74)𝑚 𝑛
∵𝑚≠𝑛 0(cid:74)
∴𝑚m−+𝑛n≠+1=0(cid:74)
∴m+n= (cid:80)
∴ 【题型5 − 利 1 用因式分解判断三角形的形状】
(cid:15)(cid:57)5(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:205)(cid:182)(cid:282)(cid:283)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:72)(cid:73)a(cid:147)b(cid:147)c(cid:105) ABC(cid:45)(cid:42)(cid:280)(cid:45)(cid:284)(cid:74)(cid:132)(cid:223)(cid:224)a2+b2+c2=ab+bc+ac(cid:74)
(cid:3)(cid:259)(cid:177)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:159)(cid:62)(cid:285)(cid:40)(cid:41)(cid:10)①(cid:105)(cid:286)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:185)②(cid:105)(cid:287)△(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:185)③(cid:105)(cid:288)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:185)④(cid:105)(cid:200)(cid:280)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:80)(cid:181)(cid:131)(cid:195)(cid:196)(cid:227)(cid:202)(cid:45)(cid:105) (cid:80)((cid:106)(cid:289)(cid:290)(cid:78)(cid:195)(cid:196)(cid:167)(cid:234)(cid:45)(cid:291)(cid:9)(cid:149)(cid:292)(cid:86))
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)①④
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:184)(cid:156)(cid:107)(cid:25)(cid:293)(cid:173)(cid:78)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:160)(cid:140)(cid:141)(cid:134)(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:143)(cid:144)a=b=c(cid:80)(cid:30)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) a2+b2+c2=ab+bc+ca(cid:74)
2a2+2b2+2c2=∵2ab+2bc+2ca(cid:74)
∴(cid:124)(cid:58)a-b(cid:71)2+(cid:58)b-c(cid:71)2+(cid:58)a-c(cid:71)2=0(cid:74)
a=b=c(cid:74)
∴(cid:177)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:78)(cid:200)(cid:280)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:74)(cid:229)(cid:226)(cid:294)(cid:105)(cid:286)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:80)
∴(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:105)(cid:10)①④(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:177)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:194)(cid:93)(cid:175)(cid:74)(cid:156)(cid:107)(cid:25)(cid:293)(cid:173)(cid:78)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)5-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:295)(cid:296)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:74) (cid:74) (cid:105) (cid:45)(cid:42)(cid:280)(cid:74)(cid:132)(cid:223)(cid:224) + = + (cid:74)(cid:75)
2 2
(cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:105) (cid:80) 𝑥 𝑦 𝑧 △𝐴𝐵𝐶 2𝑥𝑦 𝑥 2𝑦𝑧 𝑧 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
+
A
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:298)(cid:184)(cid:106) + = + (cid:85)(cid:44)(cid:78) + + =0(cid:74)(cid:138)(cid:20)科(cid:215)(cid:143)A(cid:144) + + 0(cid:74) =0(cid:74)
全
★
2 2 号
众
(cid:143)(cid:144) = (cid:74)(cid:124)(cid:125)2(cid:143)𝑥𝑦(cid:144)(cid:167)𝑥(cid:234)(cid:80)2𝑦𝑧 𝑧 (𝑥−注𝑧)(𝑥公𝑧 2𝑦) 𝑥 𝑧 2𝑦≠ 𝑥−𝑧
关
，
源
(cid:15)(cid:84)𝑥(cid:27)(cid:19)𝑧 + = 辅+ 资(cid:74)
教
2 2
+ ∵2𝑥𝑦 𝑥 =20𝑦(cid:74)𝑧 𝑧
2 2
(cid:24)∴2(cid:25)𝑥𝑦(cid:26)(cid:27)𝑥(cid:143)−(cid:10)2𝑦𝑧−𝑧 + + =0(cid:74)
(cid:74) (cid:74) (cid:105) A(𝑥B−C𝑧(cid:45))((cid:42)𝑥 (cid:280)𝑧(cid:74) 2𝑦)
∵𝑥+𝑦 +𝑧 △ 0(cid:74)
∴𝑥 𝑧=02(cid:74)𝑦≠
∴𝑥−=𝑧 (cid:74)
∴𝑥 AB𝑧C(cid:105)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:185)
∴(cid:126)△(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:147)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:40)(cid:51)(cid:185)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:171)(cid:202)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)5-2(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:111)(cid:299)(cid:300)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)a(cid:74)b(cid:74)c(cid:78) (cid:45)(cid:42)(cid:122)(cid:280)(cid:45)(cid:284)(cid:80)
(1)(cid:247) + = + (cid:226)(cid:74)(cid:301)(cid:40)(cid:41) (cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:185) △𝐴𝐵𝐶
2 2
(2)(cid:40)(cid:41)𝑏 2𝑎𝑏 𝑐 2𝑎(cid:45)𝑐 (cid:29)(cid:45)(cid:225)(cid:9)(cid:74)△(cid:302)𝐴(cid:227)𝐵(cid:39)𝐶(cid:55)(cid:138)(cid:80)
2 2 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)𝑎 (−1)𝑏 −2𝑏𝑐(cid:105)−𝑐(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
△𝐴𝐵𝐶(2) (cid:45)(cid:29)(cid:45)(cid:225)(cid:9)(cid:105)“ ”(cid:74)(cid:55)(cid:138)(cid:228)(cid:27)(cid:83)
2 2 2
(cid:15)(cid:26)𝑎 (cid:83)−𝑏(cid:19)−(cid:97)2(cid:20)𝑏𝑐(cid:100)−(cid:101)𝑐 (cid:102)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:45)(cid:24)(cid:25)−(cid:26)(cid:27)(cid:91)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:42)(cid:280)(cid:3)(cid:303)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:171)(cid:202)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:185)
(cid:58)1(cid:71)(cid:184)(cid:156)(cid:200)(cid:25)(cid:85)(cid:44)(cid:78) + =0(cid:74)(cid:30)(cid:146)(cid:279)(cid:280)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:78)( )( + + )=0(cid:74)(cid:167)(cid:129)a(cid:74)b(cid:74)c(cid:78)
2 2
(cid:45)(cid:42)(cid:122)(cid:280)(cid:45)(cid:284)(cid:124)𝑏(cid:125)−(cid:209)𝑐 (cid:144)(cid:40)2𝑎(cid:41)𝑏−(cid:185)2𝑎𝑐 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐 2𝑎
(cid:58)△2𝐴(cid:71)𝐵(cid:140)𝐶 (cid:141)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:42)(cid:280)(cid:3)(cid:303)(cid:125)(cid:143) + + > <0(cid:74)(cid:160)(cid:156)(cid:107)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:120)(cid:124)(cid:125)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41).
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10) + = 𝑎+𝑏 (cid:74)𝑐 0,𝑎−𝑏−𝑐
2 2
+ ∵=𝑏0(cid:74)2𝑎𝑏 𝑐 2𝑎𝑐
2 2
∴𝑏( −+𝑐 )( 2𝑎𝑏)−+2𝑎𝑐( )=0(cid:74)
∴(𝑏 𝑐)( 𝑏+−𝑐+ 2𝑎)𝑏=−0𝑐(cid:74)
∴a𝑏(cid:74)−b𝑐(cid:74)𝑏c(cid:78)𝑐 2𝑎 (cid:45)(cid:42)(cid:122)(cid:280)(cid:45)(cid:284)(cid:74)
∵ + + >△0𝐴(cid:74)𝐵𝐶
∴𝑏 𝑐=02(cid:74)𝑎(cid:124) = (cid:74)
∴𝑏−𝑐 (cid:105)(cid:200)(cid:297)𝑏(cid:42)(cid:43)𝑐(cid:44)(cid:185)
+
A
(cid:58)∴△2(cid:71)𝐴𝐵(cid:27)𝐶(cid:10) (cid:45)(cid:29)(cid:45)(cid:225)(cid:9)(cid:105)“ ”(cid:74)(cid:55)(cid:138)(cid:216)(cid:62)(cid:10) 科 A
全
★
2 2 2 号
众
a(cid:74)b(cid:74)c(cid:78)𝑎 −𝑏 −2(cid:45)𝑏𝑐(cid:42)−𝑐(cid:122)(cid:280)(cid:45)(cid:284)(cid:74) − 注 公
关
，
源
∵ + + >△𝐴𝐵𝐶 <0辅(cid:74) 资
教
∴𝑎 𝑏 𝑐 0,𝑎−𝑏−𝑐
2 2 2
=∴𝑎 −𝑏(−2+𝑏𝑐−𝑐+ )
2 2 2
=𝑎 −(𝑏+ )2𝑏𝑐 𝑐
2 2
=𝑎( −+𝑏 +𝑐)( )<0.
(cid:15)(cid:85)𝑎(cid:25)5𝑏-3(cid:19)𝑐(cid:58)𝑎24−-𝑏2−5𝑐(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:72)(cid:73) (cid:45)(cid:42)(cid:280) (cid:74) (cid:74) (cid:223)(cid:224) | + | =0(cid:74)(cid:75)
(cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:78)(cid:58) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑐 −𝑏𝑐−𝑎𝑏 △𝐴𝐵𝐶
A(cid:80)(cid:200)(cid:280)(cid:42)(cid:43)(cid:44) B(cid:80)(cid:287)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44) C(cid:80)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44) D(cid:80)(cid:200)(cid:297)(cid:287)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)C
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:74)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:151)(cid:308)(cid:115)(cid:20)(cid:309)(cid:113)(cid:310)(cid:45)(cid:25)(cid:194)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:80)(cid:184)(cid:38)(cid:39)( )( + )=0(cid:74)(cid:30)(cid:146)(cid:143)(cid:144) =0(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:40)(cid:41) (cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) 𝑎−𝑏 𝑎(cid:45)(cid:42)𝑐 (cid:280) (cid:74) (cid:74) (cid:74) 𝑎−𝑏 △𝐴𝐵𝐶
+ >0(cid:74) ∵△𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐
∴𝑎| +𝑐 | =0(cid:74)
∵𝑎 𝑎 𝑐 −𝑏𝑐−𝑎𝑏( + ) =0(cid:74)
∴𝑎 𝑎( +𝑐 −) 𝑏(𝑐−𝑎+𝑏 )= ( + ) ( + )=( )( + )=0(cid:74)
∴𝑎a(cid:147)𝑎b(cid:147)𝑐c−(cid:105)𝑏𝑐 𝑎𝑏(cid:45)(cid:42)𝑎(cid:280)𝑎(cid:74) 𝑐 −𝑏 𝑎 𝑐 𝑎−𝑏 𝑎 𝑐
∵ =0(cid:74)△𝐴𝐵𝐶
∴𝑎−=𝑏 (cid:74)
∴𝑎 𝑏 (cid:45)(cid:44)(cid:46)(cid:78)(cid:200)(cid:297)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:74)
(cid:126)∴△(cid:152)𝐴(cid:10)𝐵C𝐶(cid:80)
【题型6 利用因式分解解决几何图形问题】
(cid:15)(cid:57)6(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:77)(cid:11)(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:86)(cid:74)(cid:314)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:102)(cid:96)(cid:318)(cid:248)(cid:216)(cid:49)1(cid:45)(cid:42)(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:74)A(cid:319)
(cid:320)(cid:321)(cid:105)(cid:280)(cid:284)(cid:78)a(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:74)B(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:105)(cid:280)(cid:284)(cid:78)b(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:74)C(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:105)(cid:284)(cid:78)b(cid:147)(cid:322)(cid:78)a(cid:45)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:80)(cid:23)A(cid:319)(cid:320)
(cid:321)(cid:117)(cid:323)(cid:74)B(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:117)(cid:323)(cid:74)C(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:148)(cid:323)(cid:125)(cid:324)(cid:203)(cid:216)(cid:49)2(cid:45)(cid:325)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:80)
+
A
A
科
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:49)2(cid:325)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:326)(cid:125)(cid:139)(cid:327)(cid:328)(cid:78) (cid:74)(cid:329)(cid:125)(cid:139)(cid:327)(cid:328)(cid:78) (cid:74)(cid:116)(cid:139)(cid:125)(cid:143)(cid:200)(cid:25) (cid:80)
(2)(cid:249)(cid:22)(cid:23)A(cid:21)(cid:74)B(cid:21)(cid:74)C(cid:21)(cid:96)(cid:318)(cid:323)(cid:324)(cid:144)(cid:117)(cid:248)(cid:243)(cid:257)(cid:78)2 + + (cid:45)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:74)(cid:302)(cid:240)(cid:49)3(cid:45)(cid:171)(cid:330)(cid:131)(cid:331)(cid:144)(cid:328)(cid:215)
2 2
(cid:49)(cid:80)(cid:332)(cid:333)(cid:324)(cid:49)(cid:334)(cid:335)(cid:125)(cid:156)2 + + (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78) (cid:80)𝑎 3𝑎𝑏 𝑏
2 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)( + ) (cid:74) 𝑎 + 3𝑎𝑏+ 𝑏(cid:74) ( + ) = + +
2 2 2 2 2 2
(2)(cid:209)(cid:49)(cid:228)(cid:27)(cid:83)𝑎(cid:74)(𝑏 + 𝑎)( +2𝑎𝑏) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)2(cid:47)𝑎 (cid:48)𝑏(cid:336)(cid:337)𝑎(cid:62)𝑏(cid:45)(cid:35)(cid:25)(cid:45)(cid:232)(cid:202)(cid:258)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:179)(cid:180)(cid:77)(cid:44)(cid:167)(cid:129)(cid:45)(cid:238)(cid:239)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:58)1(cid:71)(cid:49)2(cid:125)(cid:338)(cid:209)(cid:105)(cid:280)(cid:284)(cid:78)( + )(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:74)(cid:294)(cid:125)(cid:139)(cid:338)(cid:209)4(cid:248)(cid:339)(cid:26)(cid:118)(cid:203)(cid:74)(cid:125)(cid:26)(cid:340)(cid:327)(cid:328)(cid:144)(cid:243)(cid:257)(cid:74)(cid:160)(cid:140)(cid:141)(cid:212)(cid:341)(cid:243)
(cid:257)(cid:109)(cid:200)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:209)(cid:81)(cid:185) 𝑎 𝑏
(cid:58)2(cid:71)(cid:324)(cid:203)(cid:45)(cid:325)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:218)(cid:99)2(cid:323)A(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:74)1(cid:323)B(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:74)3(cid:323)C(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:74)(cid:141)(cid:177)(cid:124)(cid:125)(cid:209)(cid:49)(cid:74)(cid:160)(cid:138)(cid:243)(cid:257)(cid:3)(cid:303)(cid:124)
(cid:125)(cid:27)(cid:81)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:49)2(cid:325)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:326)(cid:125)(cid:139)(cid:327)(cid:328)(cid:78)( + ) (cid:74)(cid:329)(cid:125)(cid:139)(cid:327)(cid:328)(cid:78) + + (cid:74)(cid:116)(cid:139)(cid:125)(cid:143)(cid:200)
2 2 2
(cid:25)( + ) = + + (cid:80) 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏
2 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10) ( + ) (cid:74) + + (cid:74) ( + ) = + + (cid:80)
2 2 2 2 2 2
(cid:58)2(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:216)(cid:49)𝑎(cid:74)𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏
(cid:138)(cid:49)(cid:125)(cid:73)(cid:74)(cid:324)(cid:203)(cid:45)(cid:325)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:284)(cid:78) + (cid:74)(cid:322)(cid:78) + (cid:74)(cid:124)( + )( + )=2 + + (cid:74)
2 2
(cid:125)(cid:156)2 + + (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:78)( 2𝑎+ 𝑏)( + )(cid:80)𝑎 𝑏 2𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 3𝑎𝑏 𝑏
2 2
(cid:126)∴ (cid:81)(cid:82)(cid:78)𝑎 (cid:10)(3𝑎𝑏+ 𝑏)( + ) 2𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:85)(cid:25)6-1(cid:19)2(cid:58)𝑎24-𝑏25𝑎(cid:59)(cid:60)𝑏(cid:61)(cid:62)·(cid:64)(cid:342)(cid:343)(cid:344)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:216)(cid:49)(cid:74)(cid:280)(cid:284)(cid:78) +3(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:320)(cid:321)(cid:345)(cid:144)(cid:117)(cid:248)(cid:280)(cid:284)(cid:78) +2(cid:45)
(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:346)(cid:120)(cid:74)(cid:347)(cid:348)(cid:339)(cid:26)(cid:125)(cid:345)(cid:324)(cid:203)(cid:117)(cid:248)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:74)(cid:96)(cid:324)(cid:203)(cid:45)(cid:284)(cid:171)(cid:44)2(cid:117)𝑚(cid:280)(cid:284)(cid:78) +1(cid:74)(cid:75)(cid:349)(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:78) 𝑚(cid:80)
𝑚
+
A
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19) +5 科 A
全
★
号
众
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)3(cid:97)𝑚(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:27)(cid:34)(cid:97)(cid:20)(cid:45)(cid:3)公(cid:104)(cid:105)(cid:178)(cid:350)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:147)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:26)(cid:7)(cid:25)(cid:80)(cid:138)(cid:259)(cid:280)(cid:284)(cid:78) +3
注
关
，
源
(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:320)(cid:321)(cid:345)(cid:144)(cid:117)(cid:248)(cid:280)辅(cid:284)(cid:78)资+2(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:346)(cid:120)(cid:74)(cid:347)(cid:348)(cid:339)(cid:26)(cid:329)(cid:345)(cid:324)(cid:203)(cid:117)(cid:248)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:58)(cid:208)(cid:295)(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:71)2𝑚(cid:74)(cid:355)(cid:356)
教
(cid:140)(cid:141)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:347)(cid:348)(cid:339)(cid:26)(cid:45)𝑚(cid:243)(cid:257)(cid:125)(cid:139)(cid:28)(cid:144)(cid:74)(cid:146)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:78) +1(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:7)(cid:25)(cid:124)(cid:125)(cid:28)(cid:144)(cid:349)
(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:80) 𝑚
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10)(cid:357)(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:347)(cid:348)(cid:339)(cid:26)(cid:78)(cid:10)
( +3) ( +2) =4 + + =3 + +5(cid:74)
2 2 2 2 2
2(cid:324)𝑚(cid:203)(cid:45)(cid:284)−(cid:171)(cid:44)𝑚(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:78) 𝑚+1(cid:74)12𝑚 9−𝑚 −4𝑚−4 𝑚 8𝑚
∵(cid:349)(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:78)(cid:10)(3 + 𝑚+5)÷( +1)
2
∴ ( +1)( +𝑚5)=83𝑚 + +𝑚5
2
∵(3𝑚 + 3𝑚+5)÷( +𝑚1) =8𝑚 +5
2
∴ (cid:96)𝑚(cid:324)(cid:203)(cid:45)8𝑚(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:117)(cid:280)𝑚(cid:284)(cid:78) +31𝑚(cid:74)(cid:75)(cid:349)(cid:117)(cid:280)(cid:284)(cid:78)(cid:10) +5(cid:74)
(cid:126)∴(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10) +5(cid:80) 𝑚 3𝑚
(cid:15)(cid:85)(cid:25)6-2(cid:19)3𝑚(cid:58)2025·(cid:63)(cid:64)(cid:154)(cid:155)·(cid:117)(cid:213)(cid:71)(cid:216)(cid:49)(cid:74)4(cid:323)(cid:216)(cid:49)1(cid:45)(cid:284)(cid:78)a(cid:74)(cid:322)(cid:78)b(cid:58)a(cid:358)b(cid:71)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:320)(cid:321)(cid:74)(cid:359)(cid:49)2(cid:45)(cid:171)
(cid:25)(cid:360)(cid:361)(cid:74)(cid:362)(cid:363)(cid:339)(cid:26)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:78)S (cid:74)(cid:364)(cid:365)(cid:339)(cid:26)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:78)S (cid:74)(cid:96)S (cid:366)2S (cid:74)(cid:75)a(cid:74)b(cid:223)(cid:224)(cid:58)(cid:79)(cid:79)(cid:71)
1 2 2 13 5
A(cid:80)a(cid:366) B(cid:80)a(cid:366)2b C(cid:80)a(cid:366) b D(cid:80)a(cid:366)3b
2 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)B 𝑏
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:145)(cid:49)(cid:44)(cid:125)(cid:73)(cid:364)(cid:365)(cid:339)(cid:26)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:78)S (cid:105)(cid:131)(cid:367)(cid:280)(cid:284)(cid:78)(cid:58)a﹣b(cid:71)(cid:45)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:243)(cid:257)(cid:258)(cid:86)(cid:62)(cid:148)(cid:248)(cid:287)(cid:43)(cid:280)(cid:78)(cid:58)a+b(cid:71)
2
(cid:91)b(cid:45)(cid:287)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:74)(cid:160)(cid:258)(cid:279)(cid:277)(cid:148)(cid:248)(cid:287)(cid:43)(cid:280)(cid:78)a(cid:91)b(cid:45)(cid:287)(cid:43)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:243)(cid:257)(cid:45)(cid:217)(cid:91)(cid:74)(cid:362)(cid:363)(cid:339)(cid:26)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:78)S
1
(cid:105)(cid:325)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:243)(cid:257)(cid:258)(cid:364)(cid:365)(cid:339)(cid:26)(cid:243)(cid:257)(cid:346)(cid:172)(cid:74)(cid:160)(cid:138)S (cid:366)2S (cid:74)(cid:368)(cid:125)(cid:143)(cid:27)(cid:80)
2 1
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:138)(cid:49)(cid:44)(cid:125)(cid:73)(cid:74)
S =(cid:58)a-b(cid:71)2+b(cid:58)a+b(cid:71)+ab=a2+2b2(cid:74)
2
S =(cid:58)a+b(cid:71)2-S =2ab-b2(cid:74)
1 2
+
A
S 2 (cid:366)2S 1 (cid:74) 全 科 A
★
号
众
∵a2+2b2(cid:366)2(cid:58)2ab﹣b2(cid:71)(cid:74) 公
注
关
，
源
∴a2﹣4ab+4b2(cid:366)0(cid:74) 辅 资
教
∴(cid:124)(cid:58)a﹣2b(cid:71)2(cid:366)0(cid:74)
a(cid:366)2b(cid:74)
∴(cid:126)(cid:152)B(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:28)(cid:362)(cid:363)(cid:339)(cid:26)(cid:243)(cid:257)(cid:91)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:74)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:195)(cid:196)(cid:285)(cid:144)(cid:362)(cid:363)(cid:339)(cid:26)(cid:258)(cid:364)(cid:365)(cid:339)(cid:26)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:91)(cid:195)(cid:196)
(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)
(cid:15)(cid:85)(cid:25)6-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:127)(cid:128)(cid:127)(cid:296)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:216)(cid:49)(cid:74)(cid:325)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:280)(cid:284)(cid:78)m(cid:74)(cid:369)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:280)(cid:284)(cid:78)n(cid:74)(cid:96)
(cid:23)x(cid:147)y(cid:327)(cid:328)(cid:111)(cid:248)(cid:325)(cid:369)(cid:109)(cid:229)(cid:45)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:148)(cid:280)(cid:284) > (cid:74)(cid:370)(cid:371)(cid:49)(cid:82)(cid:142)(cid:139)(cid:62)(cid:3)(cid:303)(cid:25)(cid:10) = (cid:185) = (cid:185)
24 2
𝑚 −𝑛
(𝑥 𝑦) ①𝑥−𝑦 𝑛 ②𝑥𝑦
= (cid:185) + = .(cid:181)(cid:131)(cid:195)(cid:196)(cid:45)(cid:3)(cid:303)(cid:25)(cid:45)(cid:248)(cid:77)(cid:159)((cid:79)(cid:79))
22 2
2 2 2 2 𝑚 −𝑛
③𝑥 −𝑦 𝑚𝑛 ④𝑥 𝑦
A(cid:80)1(cid:248) B(cid:80)2(cid:248) C(cid:80)3(cid:248) D(cid:80)4(cid:248)(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)C
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:140)(cid:141)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:284)(cid:91)(cid:322)(cid:74)(cid:167)(cid:129)(cid:49)(cid:44)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:41)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:144)(cid:152)(cid:112)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)①x-y(cid:200)(cid:259)(cid:369)(cid:195)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:280)(cid:284)(cid:74)(cid:124)x-y=n(cid:74)(cid:195)(cid:196)(cid:185)
② xy(cid:78)(cid:369)(cid:284)(cid:171)(cid:44)(cid:45)(cid:243)(cid:257)(cid:74)
∵
= (cid:74)
24 2
𝑚 −𝑛
∴(cid:126)𝑥(cid:97)𝑦 (cid:112)(cid:195)(cid:196)(cid:185)
③x2-y2=(cid:58)x+y(cid:71)(cid:58)x-y(cid:71)=mn(cid:74)(cid:126)(cid:97)(cid:112)(cid:195)(cid:196)(cid:185)
④x2+y2=(cid:58)x+y(cid:71)2-2xy=m2-2×
24 2
=
22 2
(cid:74)(cid:126)(cid:97)(cid:112)(cid:372)(cid:373)(cid:80)
𝑚 −𝑛 𝑚 +𝑛
(cid:75)(cid:195)(cid:196)(cid:45)(cid:159)3(cid:248)(cid:80)
(cid:126)(cid:152)C(cid:80)
(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:25)(cid:45)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:139)(cid:142)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:11)(cid:374)(cid:45)(cid:166)(cid:33)(cid:151)(cid:375)(cid:91)(cid:370)(cid:371)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:151)(cid:375)(cid:80)
【题型7 利用因式分解解决新定义问题】
+
A
(cid:15)(cid:57)7(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:262)(cid:154)(cid:263)(cid:197)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:96)(cid:117)(cid:248)(cid:35)(cid:77)(cid:151)(cid:327)(cid:328)(cid:203)科+ A(cid:58)a(cid:74)b(cid:105)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:71)(cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74)
全
★
号 2 2
众
(cid:75)(cid:376)(cid:267)(cid:248)(cid:77)(cid:78)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)” 公 𝑎 𝑏
注
关
，
源
(cid:57)(cid:216)(cid:10)(cid:24)(cid:78)13=3 +2 (cid:74)辅(cid:116)(cid:139)资 13(cid:105)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:185)
教
2 2
(cid:160)(cid:216)(cid:10)(cid:24)(cid:78) + +2 =( + ) + (cid:74)(cid:116)(cid:139) + +2 (cid:294)(cid:105)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:80)
2 2 2 2 2 2
(1)(cid:292)(cid:364)(cid:10) 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 2𝑎𝑏 𝑏
①(cid:249)(cid:287)(cid:377)(cid:378)(cid:144)(cid:117)(cid:248)(cid:369)(cid:259)10(cid:45)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:74)(cid:267)(cid:248)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:105)______(cid:185)
②(cid:40)(cid:41)45(cid:105)(cid:379)(cid:78)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”______(cid:58)(cid:249)(cid:292)(cid:378)“(cid:105)”(cid:380)“(cid:379)”(cid:71)(cid:185)
(2)(cid:72)(cid:73) = + + (cid:58)x(cid:105)(cid:35)(cid:77)(cid:74)k(cid:105)(cid:381)(cid:77)(cid:74)(cid:132) <10(cid:71)(cid:74)(cid:99)(cid:382)M(cid:78)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:74)(cid:28)(cid:144)k(cid:29)(cid:185)
2
(3)(cid:216)(cid:168)(cid:77)𝑀 m(cid:74)𝑥n(cid:149)4(cid:105)𝑥 “(cid:115)𝑘(cid:376)(cid:77)”(cid:74)(cid:301)(cid:227)(cid:39) (cid:294)(cid:105)“(cid:115)𝑘(cid:376)(cid:77)”(cid:80)
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)①2(cid:380)5(cid:380)8②(cid:105) 𝑚𝑛
(2) =5(cid:380) =8
(3)(cid:228)𝑘 (cid:27)(cid:83) 𝑘
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:74)(cid:105)(cid:27)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:10)
(cid:58)1(cid:71)①(cid:140)(cid:141)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:74)(cid:378)(cid:144)(cid:117)(cid:248)(cid:115)(cid:376)(cid:77)(cid:124)(cid:125)(cid:185)②45=36+9=6 +3 (cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:143)(cid:144)(cid:167)(cid:234)(cid:185)
2 2
(cid:58)2(cid:71)(cid:167)(cid:129)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:156) (cid:293)(cid:173)(cid:78) + (cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74)(cid:30)(cid:31)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
2 2
(cid:58)3(cid:71)(cid:383) = + = +𝑀 (cid:74)(cid:28)(cid:144)𝑎 𝑏(cid:74)(cid:302)(cid:30)(cid:31)(cid:293)(cid:173)(cid:74)(cid:40)(cid:41)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
2 2 2 2
𝑚 𝑎 𝑏 ,𝑛 𝑐 𝑑 𝑚𝑛(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10)①2=1 +1 ,5=1 +2 ,8=2 +2 (cid:185)
2 2 2 2 2 2
(cid:126)(cid:267)(cid:248)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:125)(cid:139)(cid:105)2(cid:380)5(cid:380)8(cid:185)
② 45=36+9=6 +3 (cid:74)
2 2
45∵(cid:105)“(cid:115)(cid:376)(cid:77)”(cid:185)
∴(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)(cid:105)(cid:185)
(cid:58)2(cid:71) = + + = + +4+ =( +2) + (cid:74)
2 2 2
M(cid:78)𝑀“(cid:115)(cid:376)𝑥(cid:77)”(cid:74)4𝑥 𝑘 𝑥 4𝑥 𝑘−4 𝑥 𝑘−4
∵ (cid:78)(cid:117)(cid:248)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:77)(cid:74)
∴𝑘−<410(cid:74)
∵𝑘=5(cid:380) =8(cid:80)
(cid:58)∴𝑘3(cid:71)(cid:383) 𝑘= + = + (cid:74)
2 2 2 2
(cid:75)(cid:10) 𝑚=( 𝑎+ 𝑏)(,𝑛 +𝑐 ) 𝑑
2 2 2 2
= 𝑚𝑛+ 𝑎 +𝑏 𝑐+ 𝑑
2 2 2 2 2 2 2 2 +
A
=𝑎 𝑐 +𝑎 𝑑 +𝑏 𝑐 +𝑏 𝑑 + 科 A
全
★
2 2 2 2 2 2 2 2 号
众
=𝑎( 𝑐 + 𝑎)𝑑+(𝑏 𝑐 )𝑏(cid:185)𝑑 2𝑎𝑏𝑐𝑑−2𝑎𝑏𝑐𝑑 注 公
关
2 2 源 ，
𝑎(cid:294)𝑐(cid:105)𝑏“(cid:115)𝑑 (cid:376)(cid:77)”𝑎(cid:80)𝑑−𝑏𝑐 辅 资
教
∴(cid:15)𝑚(cid:85)𝑛(cid:25)7-1(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:241)(cid:305)(cid:241)(cid:66)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:214)(cid:215)(cid:148)(cid:248)(cid:77) (cid:74) (cid:74)(cid:359)(cid:384)(cid:75) =( +1)( +1)(cid:133)(cid:33)
(cid:143)(cid:174)(cid:117)(cid:248)(cid:50)(cid:77) (cid:74)(cid:376)(cid:116)(cid:143)(cid:45)(cid:50)(cid:77) (cid:78) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)”(cid:80) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
(1)(cid:96) =4(cid:74) 𝑐= (cid:74)(cid:28) (cid:74) (cid:45)𝑐“(cid:91)𝑎(cid:257)(cid:77)𝑏” (cid:185)
𝑎 1 𝑏 −2 𝑎 𝑏 𝑐
(2)(cid:96) = (cid:74) + =8(cid:74)(cid:28) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)” (cid:185)
2
2 2
(3)(cid:72)(cid:73)𝑎𝑏 = + 𝑎 1(cid:74) 𝑏 (cid:132) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)𝑎(cid:257)𝑏(cid:77)” = +4 𝑐 + +2(cid:74)(cid:28) (cid:58)(cid:23)(cid:158) (cid:45)(cid:25)(cid:194)(cid:327)(cid:328)(cid:71)(cid:80)
3 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)𝑎 (1)𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑥 5𝑥 𝑏 𝑥
9−5 3
(2) (cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:380)
2 2
(3)𝑐 = + −
2
(cid:15)(cid:26)𝑏 (cid:83)𝑥(cid:19)(cid:97)2(cid:20)𝑥(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:159)(cid:55)(cid:77)(cid:45)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:147)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:147)(cid:22)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:147)(cid:28)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:45)(cid:29)(cid:74)
(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:139)(cid:86)(cid:73)(cid:201)(cid:175)(cid:302)(cid:385)(cid:311)(cid:133)(cid:23)(cid:105)(cid:27)(cid:177)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:58)1(cid:71)(cid:140)(cid:141)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)”(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
(cid:58)2(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:45)(cid:85)(cid:44)(cid:28)(cid:144) + =3(cid:380) + = (cid:74)(cid:160)(cid:138) =( +1)( +1)= + + +1(cid:74)(cid:76)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −3 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏(cid:121)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
(cid:58)3(cid:71)(cid:106) = +4 + +2(cid:45)(cid:277)(cid:280)(cid:22)(cid:23)(cid:113)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:202)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:160)(cid:140)(cid:141) =( +1)( +1)(cid:74)(cid:115)(cid:103)(cid:109)(cid:200)(cid:124)(cid:125)(cid:143)
3 2
(cid:144)(cid:81)(cid:82)(cid:80)𝑐 𝑥 𝑥 5𝑥 𝑐 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:10) =(4+1)( +1)= (cid:74)
(cid:74) (cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)” (cid:78) (cid:185) 𝑐 −2 −5
(cid:58)∴2(cid:71)𝑎 (cid:27)𝑏(cid:10)(cid:138)(cid:20)(cid:215)(cid:143)𝑐(cid:10) −=5( +1)( +1)= + + +1(cid:74)
1 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
= (cid:74) + =8(cid:74)
2
2 2
∵𝑎(𝑏+ ) 𝑎 = 𝑏 + + =8+1=9(cid:74)
2 2 2
∴ 𝑎+ 𝑏=3(cid:380)𝑎 + 𝑏= 2𝑎(cid:74)𝑏
∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −3 1 9
(cid:247) + =3(cid:226)(cid:74) =( +1)( +1)= + + +1= +3+1= (cid:74)
2 2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 1 3
(cid:247) + = (cid:226)(cid:74) =( +1)( +1)= + + +1= +1= (cid:74)
2 2
𝑎 𝑏 −3 𝑐9 𝑎3 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 −3 −
(cid:273)(cid:86)(cid:116)(cid:386)(cid:74) (cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:380) (cid:185)
2 2
+
A
A
科
(cid:58)3(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)𝑐(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:10) −=( +1)( +1)(cid:74)
★
全
号
众
公
注
= +1(cid:74) 𝑐 𝑎 𝑏 关
，
源
资
辅
∵𝑎=(𝑥 +2)( +1)(cid:74)教
∴𝑐= 𝑥+4 𝑏+ +2
3 2
∵=𝑐 +𝑥2 +𝑥2 5+𝑥 +2
3 2 2
=𝑥 ( +𝑥2)+(𝑥 +51𝑥)( +2)
2
=𝑥( 𝑥+2)( +2𝑥 +1)(cid:74)𝑥
2
( 𝑥+2)( 𝑥+1)2=𝑥 ( +2)( + +1)(cid:74)
2
∴ 𝑥+1=𝑏 + +1𝑥(cid:74) 𝑥 2𝑥
2
∴𝑏= +𝑥 (cid:80)2𝑥
2
(cid:15)∴(cid:85)𝑏 (cid:25)𝑥7-2(cid:19)2𝑥(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:304)(cid:305)(cid:387)(cid:66)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:214)(cid:215)(cid:148)(cid:248)(cid:77) (cid:74) (cid:74)(cid:359)(cid:384)(cid:75) =( +1)( +1)(cid:133)(cid:33)(cid:143)(cid:174)
(cid:117)(cid:248)(cid:50)(cid:77) (cid:74)(cid:376)(cid:116)(cid:143)(cid:45)(cid:50)(cid:77) (cid:78) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)”(cid:80) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
(1)(cid:96) =4𝑐(cid:74) = (cid:74)(cid:75) (cid:74)𝑐 (cid:45)𝑎 “(cid:91)𝑏(cid:257)(cid:77)” =_____(cid:185)
𝑎 1 𝑏 −2 𝑎 𝑏 𝑐
(2)(cid:96) = (cid:74) + =8(cid:74)(cid:28) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)” (cid:185)
2
2 2
(3)(cid:72)(cid:73)𝑎𝑏 = + 𝑎 1(cid:74)𝑏(cid:132) (cid:74) (cid:45)“(cid:91)𝑎(cid:257)𝑏(cid:77)” = +4𝑐 + +2(cid:74)(cid:96) (cid:74)(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:58)(cid:23)(cid:158) (cid:45)(cid:25)(cid:194)(cid:327)(cid:328)(cid:71)(cid:80)
3 2
𝑎 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑥 5𝑥 𝑥≠−2 𝑏 𝑥(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)
9−5 3
(2)c(cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:380)
2 2
(3) = + −
2
(cid:15)(cid:26)𝑏 (cid:83)𝑥(cid:19)(cid:97)2(cid:20)𝑥(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:159)(cid:55)(cid:77)(cid:45)(cid:199)(cid:129)(cid:133)(cid:33)(cid:147)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:147)(cid:22)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:147)(cid:28)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:45)(cid:29)(cid:74)
(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:139)(cid:86)(cid:73)(cid:201)(cid:175)(cid:302)(cid:385)(cid:311)(cid:133)(cid:23)(cid:105)(cid:27)(cid:177)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:58)1(cid:71)(cid:140)(cid:141)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)”(cid:45)(cid:51)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
(cid:58)2(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:45)(cid:85)(cid:44)(cid:28)(cid:144) + =3(cid:380) + = (cid:74)(cid:160)(cid:138) =( +1)( +1)= + + +1(cid:74)(cid:76)
(cid:121)(cid:77)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:166)(cid:33)(cid:124)(cid:125)(cid:185) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −3 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:58)3(cid:71)(cid:106) = +4 + +2(cid:45)(cid:277)(cid:280)(cid:22)(cid:23)(cid:113)(cid:7)(cid:24)(cid:25)(cid:202)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:160)(cid:140)(cid:141) =( +1)( +1)(cid:74)(cid:115)(cid:103)(cid:109)(cid:200)(cid:124)(cid:125)(cid:143)
3 2
(cid:144)(cid:81)(cid:82)(cid:80)𝑐 𝑥 𝑥 5𝑥 𝑐 𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:10) =(4+ +1)= (cid:74)
(cid:45)“(cid:91)(cid:257)(cid:77)”c(cid:78) (cid:185) 𝑐 1)(−2 −5
(cid:126)∴𝑎(cid:81),𝑏(cid:82)(cid:78)(cid:10) (cid:185) −5
+
A
A
科
(cid:58)2(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)−(cid:20)5(cid:215)(cid:143)(cid:10) =( +1)( +1)= + + +1(cid:74) ★ 全
号
众
公
注
1 𝑐 𝑎 𝑏 关𝑎𝑏 𝑎 𝑏
= 2 (cid:74) + =8(cid:74)(cid:74) 资 源 ，
2 2 教 辅
∵𝑎(𝑏+ ) 𝑎 = 𝑏 + + =8+1=9(cid:74)
2 2 2
∴ 𝑎+ 𝑏=3(cid:380)𝑎 + 𝑏= 2𝑎(cid:74)𝑏
∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −3 1 9
(cid:247) + =3(cid:226)(cid:74) =( +1)( +1)= + + +1= +3+1= (cid:74)
2 2
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 1 3
(cid:247) + = (cid:226)(cid:74) =( +1)( +1)= + + +1= +1= (cid:74)
2 2
𝑎 𝑏 −3 𝑐 9 𝑎3 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 −3 −
(cid:273)(cid:86)(cid:116)(cid:386)(cid:74)c(cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:380) (cid:185)
2 2
(cid:58)3(cid:71)(cid:27)(cid:10)(cid:138)(cid:20)(cid:215)(cid:143)(cid:10) −= + +1)(cid:74)
= +1(cid:74) 𝑐 (𝑎 1)(𝑏
∵𝑎= 𝑥 + +1)(cid:74)
∴𝑐=(𝑥 +42)(𝑏+ +2
3 2
=∵𝑐 +𝑥 2 𝑥+2 5𝑥+ +2
3 2 2
=𝑥 ( +𝑥2)+(𝑥 +51𝑥)( +2)
2
=𝑥( 𝑥+2)( +2𝑥 +1)(cid:74)𝑥
2
𝑥 𝑥 2𝑥( +2)( +1)=( +2)( + +1)(cid:74)
2
∴ 𝑥 (cid:74)𝑏 𝑥 𝑥 2𝑥
∵𝑥+≠1−=2 + +1(cid:74)
2
∴𝑏= +𝑥 (cid:80)2𝑥
2
(cid:15)∴𝑏(cid:85)(cid:25)𝑥 7-32(cid:19)𝑥(cid:58)24-25(cid:153)(cid:60)(cid:61)(cid:62)·(cid:304)(cid:305)(cid:388)(cid:389)·(cid:94)(cid:131)(cid:71)(cid:51)(cid:52)(cid:10)(cid:216)(cid:168)(cid:117)(cid:248)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:151)(cid:327)(cid:328)(cid:78)(cid:148)(cid:248)(cid:195)(cid:35)(cid:77)m(cid:74)n(cid:45)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:74)
(cid:132) >1(cid:74)(cid:75)(cid:376)(cid:267)(cid:248)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:78)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:80)(cid:57)(cid:216)(cid:74)16=5 3 (cid:74)16(cid:393)(cid:105)(cid:117)(cid:248)(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)(cid:74)(cid:125)(cid:139)(cid:22)(cid:23)
2 2 2 2
=𝑚−𝑛+ (cid:30)(cid:31)(cid:332)(cid:333)(cid:80)(cid:96)(cid:156)(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)(cid:145)(cid:369)(cid:174)(cid:325)(cid:394)(cid:285)(cid:74)(cid:75)−(cid:395)7(cid:248)(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)(cid:105) (cid:80) 𝑚 −𝑛
(cid:15)(cid:81)(𝑚(cid:82)(cid:19)𝑛2)4(𝑚−𝑛)
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:140)(cid:141) >1(cid:74) (cid:147)(cid:222)(cid:78)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:74)(cid:143)(cid:144) =2(cid:74) =3(cid:74)
=4(cid:74) =5(cid:74)…(cid:74)(cid:145)(cid:146)(cid:143)(cid:144) = +𝑚2−(cid:74)𝑛 = 𝑚+3(cid:74)𝑛 = +4(cid:74) = 𝑚+−𝑛5(cid:74)…(cid:74)(cid:106)𝑚(cid:170)−𝑛(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:131)
𝑚(cid:45)−(cid:396)𝑛(cid:203)(cid:91) (cid:109)𝑚(cid:3)−(cid:45)𝑛 (cid:25)(cid:194)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:50)(cid:45)(cid:25)(cid:194)𝑚(cid:74)(cid:119)𝑛(cid:120)(cid:156) 𝑚=1(cid:74)𝑛2(cid:74)3(cid:74)𝑚…(cid:117)𝑛(cid:397)(cid:76)(cid:121)(cid:166)𝑚(cid:33)(cid:124)𝑛(cid:125)(cid:74)(cid:55)(cid:27)(cid:20)(cid:215)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:170)
(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)𝑛(cid:105)(cid:27)(cid:177)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80) 𝑛
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:27)(cid:10) >1(cid:74) (cid:147)(cid:222)(cid:78)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:74)
+
A
=2(cid:74)∵𝑚−=𝑛 3(cid:74) 𝑚 =𝑛4(cid:74) =5(cid:74)…(cid:74) 科 A
全
★
号
众
∴𝑚−=𝑛 +2(cid:74)𝑚−=𝑛 +3(cid:74)𝑚−𝑛= +4𝑚(cid:74)−𝑛= +5(cid:74)公…(cid:74)
注
关
，
源
∴𝑚 𝑛 =( 𝑚+ )𝑛( 辅)(cid:74)𝑚资𝑛 𝑚 𝑛
教
2 2
∵𝑚(cid:247) −𝑛= +2𝑚(cid:226)(cid:74)𝑛 𝑚−𝑛=( +2) =( +2+ )( + )=2( +2)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
8∴(cid:74)1𝑚2(cid:74)1𝑛6(cid:74)20(cid:74)2𝑚4(cid:74)−2𝑛8(cid:74)32𝑛(cid:74)36(cid:74)−40𝑛(cid:74)44(cid:74)𝑛48(cid:74)52𝑛(cid:74)5𝑛6(cid:74)26−0𝑛(cid:74)64(cid:74)628𝑛(cid:74)72(cid:74)76(cid:74)80(cid:74)…(cid:74)
(cid:247) = +3(cid:226)(cid:74) =( +3) =( +3+ )( + )=3( +3)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
15𝑚(cid:74)21𝑛(cid:74)27(cid:74)33(cid:74)𝑚3−9(cid:74)𝑛 45(cid:74)𝑛51(cid:74)57−(cid:74)𝑛63(cid:74)6𝑛9(cid:74)75(cid:74)𝑛81𝑛(cid:74)…3(cid:74)−𝑛 2𝑛
(cid:247) = +4(cid:226)(cid:74) =( +4) =( +4+ )( + )=4( +4)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
24𝑚(cid:74)32𝑛(cid:74)40(cid:74)48(cid:74)𝑚5−6(cid:74)𝑛 64(cid:74)𝑛72(cid:74)80−(cid:74)𝑛…(cid:74) 𝑛 𝑛 𝑛 4−𝑛 2𝑛
(cid:247) = +5(cid:226)(cid:74) =( +5) =( +5+ )( + )=5( +5)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
35𝑚(cid:74)45𝑛(cid:74)55(cid:74)65(cid:74)𝑚7−5(cid:74)𝑛 85(cid:74)𝑛…(cid:74) −𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 5−𝑛 2𝑛
(cid:247) = +6(cid:226)(cid:74) =( +6) =( +6+ )( + )=6( +6)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
48𝑚(cid:74)60𝑛(cid:74)72(cid:74)84(cid:74)𝑚…−(cid:74)𝑛 𝑛 −𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 6−𝑛 2𝑛
(cid:247) = +7(cid:226)(cid:74) =( +7) =( +7+ )( + )=7( +7)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
63𝑚(cid:74)77𝑛(cid:74)91(cid:74)…(cid:74)𝑚 −𝑛 𝑛 −𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 7−𝑛 2𝑛
(cid:247) = +8(cid:226)(cid:74) =( +8) =( +8+ )( + )=8( +8)(cid:74)(cid:143)(cid:174)(cid:45)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:26)(cid:340)(cid:78)(cid:10)
2 2 2 2
𝑚 𝑛 𝑚 −𝑛 𝑛 −𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 8−𝑛 2𝑛80(cid:74)…(cid:74)
(cid:106)(cid:267)(cid:398)“(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)”(cid:145)(cid:369)(cid:174)(cid:325)(cid:394)(cid:285)(cid:78)(cid:10)8(cid:74)12(cid:74)15(cid:74)16(cid:74)20(cid:74)21(cid:74)24(cid:74)27(cid:74)28(cid:74)32(cid:74)33(cid:74)35(cid:74)36(cid:74)39(cid:74)
4∴0(cid:74)44(cid:74)45(cid:74)48(cid:74)51(cid:74)52(cid:74)…(cid:74)
(cid:395)7(cid:248)(cid:390)(cid:391)(cid:392)(cid:77)(cid:105)24(cid:74)
(cid:126)∴(cid:81)(cid:82)(cid:78)(cid:10)24(cid:80)
【题型8 利用因式分解解决阅读理解类问题】
(cid:15)(cid:57)8(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:205)(cid:163)(cid:399)(cid:197)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:78) + =( +3)( )(cid:74)(cid:267)(cid:227)(cid:39)(cid:244)(cid:112)(cid:25) + (cid:159)
2 2
(cid:117)(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:78) (cid:74)(cid:400)(cid:401)(cid:106) =1(cid:76)(cid:121)(cid:177)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:334)(cid:335) =𝑥1(cid:151)(cid:382)2𝑥(cid:244)−(cid:112)3 (cid:25) 𝑥 + 𝑥−(cid:45)1(cid:29)(cid:78)0(cid:80) 𝑥 2𝑥−3
2
(cid:22)(cid:23)(cid:86)(cid:386)(cid:53)(cid:54)𝑥−(cid:402)1(cid:403)(cid:28)(cid:27)(cid:10)𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥−3
(1)(cid:96) (cid:105)(cid:244)(cid:112)(cid:25) + +12(cid:45)(cid:117)(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:185)
2
(2)(cid:96)𝑥(−2 )(cid:91)( 𝑥)(cid:105)(cid:244)𝑘(cid:112)𝑥 (cid:25) + + + (cid:45)𝑘(cid:148)(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:301)(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:80)
3 2
(3)(cid:240)(cid:58)𝑥−2(cid:71)2(cid:45)(cid:122)𝑥(cid:123)−4(cid:62)(cid:74)(cid:106)(cid:244)(cid:112)𝑥(cid:25) 𝑚+𝑥 8+𝑥 𝑛+ (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80) 𝑚,𝑛
3 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1) 𝑥 𝑚𝑥 8𝑥 𝑛
+
A
A
科
(2) (cid:45)(cid:29)(cid:78)−8(cid:74) (cid:45)(cid:29)(cid:78)0 ★ 全
号
众
公
注
(3)𝑚( )(−6 )𝑛 关
，
源
资
辅
(cid:15)(cid:26)𝑥 (cid:83)𝑥−(cid:19)2(cid:97)𝑥(cid:20)−(cid:100)4 (cid:101)(cid:24)(cid:25)教(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:404)(cid:50)(cid:103)(cid:23)(cid:147)(cid:212)(cid:405)(cid:117)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:118)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:200)(cid:73)(cid:201)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:107)(cid:55)(cid:105)(cid:27)(cid:20)
(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
(cid:58)1(cid:71)(cid:156) =2(cid:76)(cid:121)(cid:244)(cid:112)(cid:25) + +12(cid:302)(cid:382)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:200)(cid:259)0(cid:74)(cid:28)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:406)(cid:143)(cid:81)(cid:82)(cid:185)
2
(cid:58)2(cid:71)(cid:156)𝑥=2(cid:91) =4(cid:26)(cid:340)𝑥(cid:76)(cid:121)𝑘(cid:244)𝑥 (cid:112)(cid:25) + + + (cid:302)(cid:382)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:200)(cid:259)0(cid:74)(cid:27)(cid:212)(cid:405)(cid:117)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:118)(cid:74)(cid:124)(cid:125)(cid:406)(cid:143)(cid:81)
3 2
(cid:82)(cid:185) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑚𝑥 8𝑥 𝑛
(cid:58)3(cid:71)(cid:156)(cid:58)2(cid:71)(cid:131)(cid:27)(cid:143)(cid:45) (cid:45)(cid:29)(cid:76)(cid:121)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:74)(cid:119)(cid:120)(cid:30)(cid:31)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:124)(cid:125)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10) 𝑚,(cid:105)𝑛(cid:244)(cid:112)(cid:25) + +12(cid:45)(cid:117)(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
2
(cid:247) =2(cid:226)(cid:74)(cid:125)(cid:159) ∵𝑥+−2 +12=2𝑥 +𝑘𝑥+12=0(cid:74)
2 2
∴(cid:27)(cid:143)𝑥 = (cid:185) 𝑥 𝑘𝑥 2𝑘
(cid:58)2(cid:71)𝑘 ( −8)(cid:91)( )(cid:105)(cid:244)(cid:112)(cid:25) + + + (cid:45)(cid:148)(cid:248)(cid:24)(cid:25)(cid:74)
3 2
∵2𝑥−+22 ×𝑥−4+8×2+ 𝑥=0𝑚𝑥 8𝑥 𝑛 + =
(cid:125)(cid:159) 4 +4 × +8×4+ =0(cid:74)(cid:35)(cid:55)(cid:125)(cid:143) + = (cid:74)
3 2
3 2 𝑚 𝑛 4𝑚 𝑛 −24
∴ = 𝑚 𝑛 16𝑚 𝑛 −96
(cid:27)(cid:143) =0 (cid:74)(cid:124) (cid:45)(cid:29)(cid:78) (cid:74) (cid:45)(cid:29)(cid:78)0(cid:185)
𝑚 −6
(cid:58)3(cid:71)(cid:138)𝑛(cid:58)2(cid:71)(cid:125)(cid:73)(cid:74)𝑚 (cid:45)(cid:29)(cid:78)−6 (cid:74)𝑛 (cid:45)(cid:29)(cid:78)0(cid:74)
𝑚 −6 𝑛(cid:244)(cid:112)(cid:25) + + + (cid:78) + (cid:74)
3 2 3 2
∴ 𝑥+ 𝑚=𝑥 (8𝑥 𝑛+𝑥8)−=6𝑥( 8𝑥)( )(cid:80)
3 2 2
∴(cid:15)𝑥(cid:85)−(cid:25)6𝑥8-1(cid:19)8𝑥(cid:58)24𝑥-2𝑥5(cid:59)−6(cid:60)𝑥(cid:61)(cid:62)·(cid:241)(cid:275)𝑥(cid:407)𝑥−(cid:408)2·(cid:94)𝑥(cid:131)−4(cid:71)(cid:53)(cid:54)(cid:402)(cid:403)(cid:74)(cid:409)(cid:81)(cid:37)(cid:20)(cid:80)
(cid:115)(cid:259)(cid:244)(cid:112)(cid:25) + +10(cid:74)(cid:216)(cid:168)(cid:400)(cid:401)(cid:106) =2(cid:76)(cid:121)(cid:177)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:74)(cid:334)(cid:335)(cid:244)(cid:112)(cid:25)
3 2 3 2
+ +10=𝑥0(cid:74)−(cid:267)5𝑥(cid:226)(cid:125)𝑥(cid:139)(cid:41)(cid:51)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:131)(cid:159)(cid:24)𝑥(cid:25)( )(cid:58)(cid:4)(cid:10)(cid:106) = (cid:76)(cid:121)(cid:244)(cid:112)(cid:25)𝑥 (cid:151)−5(cid:382)𝑥(cid:244)(cid:112)(cid:25)
(cid:45)𝑥(cid:29)(cid:78)0(cid:74)(cid:75)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:158)(cid:159)(cid:24)(cid:25)( )(cid:74)(cid:259)(cid:105)(cid:400)(cid:401)𝑥(cid:125)−(cid:139)2 (cid:106)(cid:244)(cid:112)(cid:25)𝑥(cid:378)(cid:203)𝑎(cid:10) + +10=
3 2
( )( + + )(cid:267)(cid:319)(cid:24)(cid:25)(cid:26)𝑥−(cid:27)𝑎(cid:45)(cid:171)(cid:202)(cid:410)(cid:301)(cid:140)(cid:202)(cid:80)(cid:71) 𝑥 −5𝑥 𝑥
2
𝑥−2 𝑥 𝑚𝑥 𝑛
(1)(cid:25)(cid:194)(cid:131) = (cid:185) = (cid:185)
(2)(cid:249)(cid:289)(cid:23)“𝑚(cid:301)(cid:140)(cid:202)”𝑛(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) +9(cid:80)(cid:58)(cid:378)(cid:245)(cid:246)(cid:71)
3 2
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1) (cid:74) (cid:185) 𝑥 −2𝑥 −8𝑥
(2) −3+−95=( )( )(cid:80)
3 2 2
(cid:15)(cid:26)𝑥 (cid:83)−2(cid:19)𝑥(cid:97)−(cid:20)8𝑥(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)𝑥(cid:25)−(cid:26)1 (cid:27)𝑥(cid:45)−(cid:103)𝑥−(cid:23)9(cid:74)(cid:27)(cid:212)(cid:405)(cid:117)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:118)(cid:74)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:232)(cid:139)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:74)(cid:178)(cid:69)(cid:179)(cid:180)(cid:133)(cid:33)(cid:202)(cid:75)(cid:105)(cid:27)(cid:20)
(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:80)
+
A
A
科
(cid:58)1(cid:71)(cid:140)(cid:141) ( )( + + )= +( ) +( ) ★(cid:74)全(cid:143)(cid:144)(cid:159)(cid:3) (cid:74) (cid:45)(cid:171)(cid:246)(cid:118)(cid:28)(cid:144)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
号
众
2 3 2 公
注
(cid:58)2(cid:71)(cid:106) =1𝑥(cid:76)−2(cid:121)𝑥 𝑚𝑥 𝑛+9(cid:143)𝑥(cid:181)
，
(cid:29)(cid:78)𝑚关−0(cid:74)2 (cid:75)𝑥 (cid:244)(cid:112)𝑛(cid:25)−(cid:158)2𝑚(cid:159)𝑥(cid:24)−(cid:25)2𝑛( )(cid:74)(cid:75)(cid:26)𝑚(cid:27)(cid:78)𝑛( )( + + )(cid:45)(cid:44)
源
3 2辅 资 2
(cid:25)(cid:74)(cid:119)(cid:120)𝑥(cid:28)(cid:144) =𝑥 − 教(cid:74)2𝑥=−8𝑥(cid:124)(cid:125)(cid:80) 𝑥−1 𝑥−1 𝑥 𝑎𝑥 𝑏
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)𝑎(cid:138) −1 𝑏 +−+910=( )( + + )(cid:74)
3 2 2
(cid:143)( )( + 𝑥+−5)𝑥= 𝑥+( )𝑥−+2 (𝑥 𝑚)𝑥 𝑛(cid:74)
2 3 2
𝑥−2=𝑥 𝑚𝑥 𝑛 𝑥 𝑚−2 𝑥 𝑛−2𝑚 𝑥−2𝑛
=1 (cid:74)
𝑚−2=1−05
∴
𝑛−2𝑚
−2𝑛 =
(cid:27)(cid:143)(cid:10) = (cid:74)
𝑚 −3
(cid:126)(cid:81)(cid:82)(cid:78)𝑛(cid:10) −5(cid:74) (cid:185)
(cid:58)2(cid:71)(cid:106) =−13(cid:76)(cid:121)−5 +9(cid:143)(cid:181)(cid:29)(cid:78)0(cid:74)(cid:75)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:158)(cid:159)(cid:24)(cid:25)( )(cid:74)
3 2
(cid:244)(cid:112)(cid:25)𝑥(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:78)(𝑥 −2)(𝑥 −+8𝑥 + )(cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74) 𝑥−1
2
∴(cid:23)(cid:86)(cid:386)(cid:171)(cid:202)(cid:125)(cid:28)(cid:143)𝑥−(cid:10)1 =𝑥 (cid:74)𝑎𝑥 =𝑏 (cid:74)
∴ +9=( 𝑎 )−(1 𝑏 )−(cid:80)9
3 2 2
∴(cid:15)𝑥(cid:85)−(cid:25)2𝑥8-−2(cid:19)8𝑥(cid:58)24-25(cid:161)𝑥−(cid:60)1(cid:61)𝑥(cid:62)−·(cid:262)𝑥−(cid:154)9(cid:263)(cid:197)·(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:53)(cid:54)(cid:402)(cid:403)(cid:10)(cid:96) +2 +9=0(cid:74)(cid:28) (cid:147) (cid:45)
2 2
(cid:29)(cid:80) 𝑚 −2𝑚𝑛 𝑛 −6𝑛 𝑚 𝑛(cid:27)(cid:10) +2 +9=0(cid:74)
2 2
( ∵𝑚 −2𝑚+𝑛 )+𝑛(−6𝑛 +9)=0(cid:74)
2 2 2
∴ 𝑚 −2𝑚+𝑛 𝑛 =𝑛0(cid:74)−6𝑛
2 2
∴(𝑚−𝑛) =(0𝑛(cid:74)−3) =0(cid:74)
2 2
∴(𝑚=−3𝑛(cid:74)) =3(cid:80)(𝑛−3)
(cid:140)∴(cid:141)𝑛 (cid:289)(cid:45)(cid:370)𝑚(cid:371)(cid:74)(cid:411)(cid:333)(cid:62)(cid:243)(cid:45)(cid:37)(cid:20)(cid:10)
(1)(cid:72)(cid:73) +2 + +16=0(cid:74)(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:185)
2 2
(2)(cid:72)(cid:73)𝑥 −2𝑥𝑦(cid:45)(cid:42)(cid:280)𝑦 (cid:284)8(cid:147)𝑦 (cid:147) (cid:149)(cid:105)(cid:195)(cid:35)𝑥(cid:77)𝑦(cid:74)(cid:132)(cid:223)(cid:224) + +100=0(cid:74)(cid:28) (cid:45)(cid:164)(cid:284)(cid:45)(cid:412)(cid:325)
2 2
(cid:29)(cid:80) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 −12𝑎−16𝑏 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19)(1)16
(2)27
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:171)(cid:202)(cid:45)(cid:103)(cid:23)(cid:74)(cid:27)(cid:81)(cid:177)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:99)(cid:39)(cid:196)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:171)(cid:202)(cid:156)(cid:25)(cid:194)(cid:85)(cid:44)
(cid:226)(cid:74)(cid:140)(cid:141)(cid:72)(cid:73)(cid:122)(cid:123)(cid:74)(cid:85)(cid:44)(cid:45)(cid:125)(cid:139)(cid:105)(cid:35)(cid:248)(cid:76)(cid:77)(cid:25)(cid:74)(cid:294)(cid:125)(cid:139)(cid:105)(cid:181)(cid:131)(cid:45)(cid:117)(cid:339)(cid:26)(cid:80)
+
A
(cid:58)1(cid:71)(cid:184)(cid:156)(cid:171)(cid:246) +2 + +16=0(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:44)(cid:74)(cid:413)(cid:245)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)科(cid:25)(cid:173)A(cid:32)(cid:78)(cid:148)(cid:248)(cid:170)(cid:171)(cid:91)(cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74)(cid:124)
全
★
2 2 号
众
( ) +( +4𝑥)−=2𝑥0𝑦(cid:74)(cid:160)𝑦(cid:22)(cid:23)8(cid:134)𝑦(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:74)
注
(cid:148)(cid:248)公(cid:170)(cid:171)(cid:91)(cid:200)(cid:259)(cid:271)(cid:74)(cid:227)(cid:39)(cid:108)(cid:117)(cid:248)(cid:170)(cid:171)(cid:112)(cid:149)(cid:200)(cid:259)(cid:271)(cid:74)(cid:124)
关
2 2 源 ，
(𝑥−𝑦) =0𝑦(cid:74)( +4) =0辅(cid:74)(cid:30)资(cid:146)(cid:28)(cid:144) (cid:147) (cid:45)(cid:29)(cid:74)(cid:412)(cid:120)(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:185)
教
2 2
(cid:58)𝑥−2(cid:71)𝑦(cid:184)(cid:156)(cid:171)(cid:246)𝑦 + +10𝑥0=𝑦0(cid:30)(cid:31)(cid:85)(cid:44)(cid:74)(cid:413)𝑥𝑦(cid:245)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:173)(cid:32)(cid:78)(cid:148)(cid:248)(cid:170)(cid:171)(cid:91)(cid:45)(cid:44)(cid:25)(cid:74)(cid:124)
2 2
( ) +( 𝑎) =𝑏0(cid:74)−(cid:160)12(cid:22)𝑎−(cid:23)1(cid:134)6𝑏(cid:135)(cid:77)(cid:45)(cid:136)(cid:137)(cid:74)(cid:148)(cid:248)(cid:170)(cid:171)(cid:91)(cid:200)(cid:259)(cid:271)(cid:74)(cid:227)(cid:39)(cid:108)(cid:117)(cid:248)(cid:170)(cid:171)(cid:112)(cid:149)(cid:200)(cid:259)(cid:271)(cid:74)(cid:124)
2 2
(𝑎−6) =0𝑏(cid:74)−(8 ) =0(cid:74)(cid:30)(cid:146)(cid:28)(cid:144) (cid:147) (cid:45)(cid:29)(cid:74)(cid:412)(cid:120)(cid:140)(cid:141)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:280)(cid:3)(cid:303)(cid:124)(cid:214)(cid:215)(cid:148)(cid:280)(cid:346)(cid:91)(cid:325)(cid:259)(cid:395)(cid:42)(cid:280)(cid:74)(cid:214)
2 2
(cid:215)𝑎−(cid:148)6(cid:280)(cid:346)(cid:172)(cid:369)(cid:259)𝑏−(cid:395)8(cid:42)(cid:280)(cid:74)(cid:28)(cid:144)(cid:280)(cid:284) (cid:45)𝑎(cid:412)(cid:325)𝑏 (cid:29)(cid:74)(cid:30)(cid:146)(cid:28)(cid:144) (cid:45)(cid:164)(cid:284)(cid:45)(cid:412)(cid:325)(cid:29)(cid:80)
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:27)(cid:10) +2 𝑐 + +16=0(cid:74) △𝐴𝐵𝐶
2 2
( + )+(∵𝑥 +−2𝑥𝑦+16𝑦)=08(cid:74)𝑦
2 2 2
∴(𝑥 −2)𝑥𝑦+( 𝑦+4) 𝑦=0(cid:74)8𝑦
2 2
∴(𝑥−𝑦) =0𝑦(cid:74)( +4) =0(cid:74)
2 2
∴ 𝑥−𝑦=0(cid:74) +𝑦4=0(cid:74)
∴𝑥−=𝑦 (cid:74) 𝑦= (cid:74)
∴𝑥 =−4 ×𝑦( −)4=16(cid:185)
(cid:58)∴2𝑥(cid:71)𝑦 −4+ −4 +100=0(cid:74)
2 2
( ∵𝑎 +𝑏36−)1+2𝑎(−16𝑏 +64)=0(cid:74)
2 2
∴ 𝑎 −12𝑎 𝑏 −16𝑏( ) +( ) =0(cid:74)
2 2
∴(𝑎−6) =0𝑏(cid:74)−(8 ) =0(cid:74)
2 2
∴ 𝑎=−66(cid:74) =8(cid:74)𝑏−8
∴𝑎 (cid:45)𝑏(cid:280)(cid:284) (cid:45)(cid:219)(cid:220)(cid:78)(cid:10) < <8+6(cid:74)
(cid:124)∴△2<𝐴𝐵𝐶<14(cid:74)𝑐 8−6 𝑐
(cid:147) 𝑐(cid:147) (cid:149)(cid:105)(cid:195)(cid:35)(cid:77)(cid:74)
∵𝑎(cid:45)(cid:412)𝑏 (cid:325)𝑐(cid:29)(cid:78)13(cid:74)
∴𝑐 ABC(cid:45)(cid:164)(cid:284)(cid:45)(cid:412)(cid:325)(cid:29)(cid:78)6+8+13=27(cid:80)
(cid:15)∴△(cid:85)(cid:25)8-3(cid:19)(cid:58)24-25(cid:161)(cid:60)(cid:61)(cid:86)·(cid:50)(cid:414)(cid:415)(cid:416)·(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:53)(cid:54)(cid:402)(cid:403)(cid:10)(cid:140)(cid:141)(cid:76)(cid:77)(cid:25) (cid:45)(cid:93)(cid:417)(cid:30)(cid:31)(cid:216)(cid:62)(cid:85)(cid:44)(cid:120)(cid:125)(cid:156)
2
(cid:181)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80) 𝑥 −6𝑥−7
(cid:57)(cid:216)(cid:10)
2
= 𝑥 −+6𝑥−7
2
=𝑥( −6)𝑥 49−9−7
2 2 +
A
= (𝑥−3 +−4)( ) 科 A
全
★
号
众
= (𝑥−+31)( 𝑥−) 3−4 公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:411)𝑥(cid:333)(cid:19)(cid:249)𝑥(cid:289)−(cid:250)7 (cid:251)(cid:86)(cid:243)(cid:45)辅(cid:171)(cid:202)资(cid:74)(cid:106)(cid:76)(cid:77)(cid:25) +15(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:185)
教
2
(cid:15)(cid:252)(cid:253)(cid:19)(cid:58)1(cid:71)(cid:106)(cid:76)(cid:77)(cid:25) + (cid:24)(cid:25)𝑥(cid:26)−(cid:27)8𝑥(cid:185)
2 2
𝑥 2𝑥𝑦−3𝑦
(cid:58)2(cid:71)(cid:247) + =0(cid:226)(cid:74)(cid:28)(cid:144) (cid:45)(cid:29)(cid:80)
2 2 𝑥
(cid:15)(cid:81)(cid:82)(cid:19) 𝑥 (cid:15)(cid:411) 2 (cid:333) 𝑥𝑦 (cid:19) −3(𝑦 )( )(cid:185) 𝑦
(cid:15)(cid:252)(cid:253)(cid:19)(1) ( )𝑥(−5+ 𝑥−)(cid:185)3 (2) 1(cid:380) (cid:80)
(cid:15)(cid:26)(cid:83)(cid:19)(cid:97)(cid:20)(cid:98)𝑥−(cid:99)𝑦(cid:100)𝑥(cid:101)(cid:102)3(cid:24)𝑦(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:147)(cid:24)−(cid:25)3(cid:26)(cid:27)(cid:202)(cid:27)(cid:117)(cid:405)(cid:212)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:80)(cid:27)(cid:34)(cid:97)(cid:20)(cid:45)(cid:3)(cid:104)(cid:105)(cid:54)(cid:418)(cid:53)(cid:54)(cid:402)(cid:403)(cid:131)(cid:45)(cid:27)
(cid:20)(cid:238)(cid:419)(cid:74)(cid:22)(cid:23)(cid:402)(cid:403)(cid:131)(cid:113)(cid:310)(cid:45)(cid:238)(cid:419)(cid:27)(cid:20)(cid:80)
(cid:15)(cid:411)(cid:333)(cid:19)(cid:54)(cid:418)(cid:402)(cid:403)(cid:131)(cid:45)(cid:27)(cid:20)(cid:238)(cid:419)(cid:74)(cid:140)(cid:141)(cid:402)(cid:403)(cid:131)(cid:45)(cid:27)(cid:20)(cid:238)(cid:419)(cid:184)(cid:85)(cid:44)(cid:78)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:74)(cid:106)(cid:244)(cid:112)(cid:25)(cid:131)(cid:45)(cid:117)(cid:339)(cid:26)(cid:22)
(cid:23)(cid:190)(cid:191)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:74)(cid:119)(cid:120)(cid:160)(cid:22)(cid:23)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:7)(cid:25)(cid:420)(cid:255)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:185)
(cid:15)(cid:252)(cid:253)(cid:19)(1)(cid:250)(cid:251)(cid:402)(cid:403)(cid:131)(cid:45)(cid:27)(cid:20)(cid:238)(cid:419)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:124)(cid:125)(cid:185)
(2)(cid:140)(cid:141)(1)(cid:131)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:45)(cid:27)(cid:168)(cid:125)(cid:73)( )( + )=0(cid:74)(cid:106)(cid:212)(cid:405)(cid:212)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:293)(cid:173)(cid:78)(cid:148)(cid:248)(cid:212)(cid:405)(cid:117)(cid:397)(cid:171)(cid:246)(cid:74)(cid:145)(cid:146)(cid:125)
𝑥−𝑦 𝑥 3𝑦
(cid:28) (cid:45)(cid:29)(cid:80)
𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:84)(cid:27)(cid:19)(cid:15)(cid:411)(cid:333)(cid:19)(cid:27)(cid:10) +15
2
𝑥 −8𝑥= + +15
2
=𝑥( −8)𝑥 116−16
2 2
= (𝑥−4 −)( +1)
=(𝑥−4−)(1 𝑥−)(cid:185)4
(cid:15)(cid:252)𝑥(cid:253)−(cid:19)5 (𝑥1−)(cid:27)3(cid:10) +
2 2
= + + 𝑥 2𝑥𝑦−3𝑦
2 2 2 3
=𝑥( + 2)𝑥𝑦 𝑦 −𝑦 −3𝑦
2 2
= (𝑥 +𝑦 −4)𝑦( + + )
=(𝑥 𝑦)−(2𝑦+ 𝑥)(cid:185)𝑦 2𝑦
(2) 𝑥−𝑦 +𝑥 3𝑦 =0(cid:74)
2 2
( ∵𝑥)( +2𝑥𝑦−)3=𝑦0(cid:74)
∴ 𝑥−𝑦=𝑥 3(cid:380)𝑦 + = (cid:74)
(cid:138)∴𝑥−(cid:125)𝑦 (cid:143)0(cid:10)①=𝑥(cid:74)3𝑦 0②
+
A
(cid:138)①(cid:125)(cid:143)(cid:10)𝑥=𝑦 (cid:74) 科 A
全
★
号
众
② 𝑥 −3𝑦 公
= =1(cid:380) = = (cid:80) 注
关
𝑥 𝑦 𝑥 −3𝑦 源 ，
资
∴𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 教−辅3
