文档文本内容
专题 04 因式分解的拓展（举一反三专项训练）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:7)(cid:33)(cid:34)(cid:21)........................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)1(cid:34)(cid:21).........................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:47)(cid:46)1(cid:34)(cid:21).....................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:21)....................................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:50)(cid:43)(cid:27)(cid:21)....................................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:51)(cid:43)(cid:27)(cid:21)..................................................................................................................................................11
知识点1 十字相乘法分解因式
对于一个二次三项式 + + ，若存在 = · (cid:52) = · (cid:52)且 + = ，那么二次三项
2 全
科AA+
式 + + 可以分解为𝑎：𝑥 𝑏+𝑥 𝑐+ =( 𝑎 +𝑎1)𝑎(2 号 𝑐+ ★ 𝑐)1(cid:53)𝑐2 𝑎1𝑐2 𝑎2𝑐1 𝑏
众
公
注
2 2 ， 关
𝑎𝑥对于𝑏二𝑥 次𝑐项系数a等于1𝑎𝑥时，𝑏资即𝑥 源𝑐+ +𝑎1𝑥， 若𝑐1存𝑎在2𝑥有 𝑐=2 · (cid:52)且 + = ，则 + + 可分
辅
教
2 2
解为： + + = + + 𝑥) (cid:53)𝑏𝑥 𝑐 𝑐 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 𝑏 𝑥 𝑏𝑥 𝑐
2
知识点
𝑥2
分
𝑏𝑥
组分
𝑐
解因
(𝑥
式
𝑐1)(𝑥 𝑐2
对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提
公因式法或公式法或者十子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。
【题型1 分组分解法（分组后可提公因式）】
(cid:15)(cid:54)1(cid:21)(cid:28)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10) +3 (cid:53)
3 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21) + + 𝑥 𝑥 −4𝑥−12
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)((cid:67)𝑥(cid:68)(cid:69)3)(cid:43)(𝑥(cid:24)(cid:25)2)(cid:29)(𝑥(cid:69)−2(cid:43))(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:70)(cid:71)(cid:31)(cid:72)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:53)
(cid:77)(cid:22)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:83)(cid:84)(cid:70)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) +3
3 2
= ( +3) 𝑥( +𝑥3)−4𝑥−12
2
=𝑥( +𝑥3)( −4 𝑥)
2
=(𝑥 +3)(𝑥+−24)( )(cid:53)
𝑥 𝑥 𝑥−2(cid:15)(cid:89)(cid:33)1-1(cid:21)(cid:28)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10) + (cid:53)
3 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( +2)( ) 𝑚 −𝑚 𝑛−4𝑚 4𝑛
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑚(cid:22)−(cid:80)𝑛 (cid:81)𝑚(cid:82)(cid:32)(cid:33)𝑚(cid:24)−(cid:26)2(cid:53)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:73)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)(cid:97)(cid:98)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) +
3 2
= ( ) 𝑚( −𝑚)𝑛−4𝑚 4𝑛
2
=𝑚( 𝑚−)(𝑛 −4 𝑚)−𝑛
2
=(𝑚−𝑛)(𝑚+−24)( )(cid:53)
(cid:15)(cid:89)𝑚(cid:33)−1𝑛-2(cid:21)𝑚(cid:28)24-2𝑚5−(cid:55)2(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:100)(cid:101)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10) +
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( + )( ) 8𝑎𝑥−𝑏𝑦 4𝑎𝑦−2𝑏𝑥
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:77)2𝑥(cid:22)(cid:80)𝑦(cid:81)(cid:82)4𝑎(cid:32)−𝑏(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:52)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:86)(cid:103)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:10)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)
(cid:27)(cid:52)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:108)(cid:53)
(cid:109)(cid:95)(cid:67)(cid:110)(cid:33)(cid:89)(cid:111)(cid:46) + ( + )(cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:112)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:113)(cid:114) ( + ) ( + )(cid:52)
(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:24)8(cid:26)𝑎(cid:99)𝑥 (cid:30)4(cid:53)𝑎𝑦− 2𝑏𝑥 𝑏𝑦 4𝑎 2𝑥 𝑦 −𝑏 2𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21) + 科AA+
全
号★
= + 8𝑎𝑥−(𝑏𝑦 +4𝑎𝑦−)2𝑏𝑥 公 众
注
关
，
源
资
=8𝑎(𝑥 4+𝑎𝑦)− 2(𝑏𝑥 +𝑏𝑦) 教 辅
=4(𝑎 2+𝑥 )𝑦( −𝑏 2)𝑥(cid:53) 𝑦
(cid:15)(cid:89)2(cid:33)𝑥 1-𝑦3(cid:21)4(cid:28)𝑎−24𝑏-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:117)(cid:118)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10) ( )+ ( )+ ( )
2 2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( )( ) 𝑎 𝑏−𝑐 𝑏 𝑐−𝑎 𝑐 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑎−(cid:22)𝑏(cid:80)(cid:81)𝑐−(cid:82)𝑎(cid:24)𝑐(cid:25)−𝑏(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:26)(cid:119)(cid:94)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:53)(cid:95)(cid:120)(cid:121)(cid:9)(cid:52)(cid:73)(cid:70)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:52)(cid:35)
(cid:36)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:99)(cid:30)(cid:26)(cid:64)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) + +
2 2 2
= +𝑎 (𝑏−𝑐) +𝑏 (𝑐−𝑎) 𝑐 (𝑎−𝑏)
2 2 2 2 2 2
=𝑎( 𝑏−𝑎 𝑐 )𝑏(𝑐−𝑏 𝑎 )𝑐+𝑎(−𝑐 𝑏 )
2 2 2 2 2 2
= 𝑎 𝑏−𝑏 𝑎 − 𝑎+𝑐−𝑏 𝑐 +𝑐 𝑎−𝑐 𝑏
2
=𝑎𝑏(𝑎−𝑏)−𝑐(𝑎 +𝑏)(𝑎+−𝑏) 𝑐 (𝑎−𝑏)
2
=((𝑎−𝑏))(𝑎𝑏−𝑐)((𝑎 𝑏))(cid:53) 𝑐
【题
𝑎
型
−𝑏2 𝑐
分
−𝑎
组分
𝑐−
解
𝑏
法（分组后利用公式）】
(cid:15)(cid:54)2(cid:21)(cid:28)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:122)(cid:85)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10) + (cid:53)
2 2
𝑥 −1−𝑦 2𝑦(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( + )( +1)
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑥(cid:22)(cid:78)𝑦−(cid:79)1(cid:80)𝑥(cid:81)−(cid:32)𝑦 (cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:95)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:102)(cid:29)(cid:125)(cid:43)(cid:24)(cid:126)(cid:115)(cid:25)(cid:127)(cid:128)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:33)(cid:52)(cid:73)(cid:129)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)(cid:70)(cid:85)
(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) +
2 2
= 𝑥+−11−𝑦 2𝑦
2 2
=𝑥 −(𝑦 −2)𝑦
2 2
=𝑥 −+(𝑦−1 ) ( )
=(𝑥 + 𝑦−1)( 𝑥−+𝑦−1)1(cid:53)
(cid:15)(cid:89)𝑥(cid:33)2𝑦-−1(cid:21)1(cid:28)𝑥2−4𝑦-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:117)(cid:118)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)
2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( + )( ) 𝑥 −𝑥−2𝑦−4𝑦
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑥(cid:22)(cid:78)2𝑦(cid:79)(cid:80)𝑥−(cid:81)2𝑦(cid:82)−(cid:24)1(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114) ( + )(cid:52)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)(cid:130)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:24)(cid:26)
2 2
(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53) 𝑥 −4𝑦 − 𝑥 2𝑦
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)
2 2
= 𝑥( −+𝑥−2)𝑦−4𝑦 科AA+
全
2 2 号★
= (𝑥+−4𝑦)(− 𝑥 )2𝑦( + ) 公 众
注
关
，
源
资
=(𝑥 +2𝑦)(𝑥−2𝑦 −)𝑥(cid:53) 2𝑦教 辅
(cid:15)(cid:89)𝑥(cid:33)22-𝑦2(cid:21)𝑥(cid:28)−224𝑦-−251(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:131)(cid:132)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)4 +25 (cid:53)
2 2 4
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21) +2 +1 𝑦 𝑥 −1−4𝑦
2 2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)5(cid:22)𝑥 (cid:78)(cid:79)𝑦(cid:80)−(cid:81)1 (cid:82)5(cid:24)𝑥−(cid:26)2𝑦(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:113)(cid:114)25 4 +1 (cid:52)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:33)(cid:130)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)
2 4 2
(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53) 𝑥 − 𝑦 −4𝑦
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)4 +25
2 2 4
=25 4 𝑦 +1𝑥 −1−4𝑦
2 4 2
𝑥 − 𝑦 −4𝑦
=25 2
2
2 2
= 𝑥 +−2 𝑦 −1 +1 (cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:89)5(cid:33)𝑥 2-3(cid:21)𝑦 (cid:28)−124-52𝑥5−(cid:55)2(cid:56)𝑦 (cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:117)(cid:118)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10) + +
2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( +3)( + ) 𝑥 𝑥𝑦−6𝑦 −2𝑥 19𝑦−15
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:95)𝑥−(cid:123)2(cid:41)𝑦(cid:42)(cid:125)(cid:43)𝑥(cid:33)3𝑦−+5 (cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:97)(cid:98)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
2 2
(cid:94)(cid:22)(cid:80)(cid:81)(cid:102)(cid:86)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:24)𝑥(cid:26)(cid:27)(cid:70)𝑥𝑦(cid:85)−6(cid:32)𝑦(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:70)(cid:85)(cid:83)(cid:84)(cid:102)(cid:24)(cid:25)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:129)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)
(cid:87)(cid:53)(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) + +
2 2
= ( )( +𝑥 )𝑥+𝑦−(6𝑦 −+2𝑥 )19𝑦−15
= (𝑥−2𝑦)(𝑥+3𝑦) (−2𝑥 )1+93𝑦(−+15 )
=(𝑥−2𝑦 +𝑥3)(3𝑦+−5 𝑥−)2(cid:53)𝑦 𝑥 3𝑦 −15
【题 𝑥 型 −23𝑦 十字 𝑥 相乘 3 法 𝑦− （ 5 二次项系数为1）】
(cid:15)(cid:54)3(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:138)(cid:139)(cid:58)(cid:140)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:10)
(cid:67) + (cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:147)(cid:148)(cid:30)(cid:149)(cid:150)(cid:143)(cid:151)(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:10)
2
(cid:26)𝑥(cid:10)(cid:116)(cid:152)2𝑥(cid:10)−35(cid:153)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:154)(cid:155)(cid:45)(cid:43)(cid:10) = (cid:52) =( )×(+7)(cid:53)
2
(cid:156)(cid:157)(cid:39)(cid:40)①(cid:52)(cid:158)(cid:133)(cid:43)(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥 −35 −5
②
(cid:53)
(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) + =( +7)( )(cid:53)
2
③(cid:147)(cid:148)(cid:67)(cid:163)(cid:164)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:156)(cid:157)𝑥(cid:39)(cid:40)2𝑥(cid:24)−(cid:26)35(cid:32)(cid:33)𝑥(cid:102)(cid:75)(cid:27)𝑥(cid:165)−(cid:166)5(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:53)
(cid:167)(cid:36)(cid:58)(cid:168)(cid:75)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)
科AA+
全
号★
众
公
(1) + +4(cid:169) 关 注
，
源
资
2 教 辅
(2)𝑥 5𝑥 (cid:169)
2
(cid:15)(cid:64)𝑥 (cid:65)−6(cid:21)𝑥(−17)( +1)( +4)
(2)( +1)( 𝑥 ) 𝑥
(cid:15)(cid:24)𝑥(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑥(cid:22)−7(cid:80)(cid:81)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)—(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:52)
(cid:28)1(cid:34)(cid:170)(cid:171)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:170)(cid:171)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:104)(cid:105)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:102)(cid:116)(cid:152)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10) (cid:153)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:154)(cid:155)(cid:45)(cid:43)(cid:10) = (cid:52)4=(+1)×(+4)(cid:52)
2
(cid:156)(cid:157)(cid:39)(cid:40)(cid:52)(cid:158)(cid:133)(cid:43)①(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥
②
(cid:52)
(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) + +4=( +1)( +4)(cid:169)
2
③(cid:28)2(cid:34) (cid:153)(cid:24)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:154)𝑥(cid:155)(cid:45)5(cid:43)𝑥 (cid:10) =𝑥 (cid:52)𝑥 =(+1)×( )(cid:53)
2
(cid:156)(cid:157)①(cid:39)(cid:40)(cid:52)(cid:158)(cid:133)(cid:43)(cid:10) 𝑥 𝑥⋅𝑥 −7 −7
②(cid:52)
(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:69)(cid:32)(cid:33)(cid:10) =( +1)( )(cid:53)
2
③(cid:15)(cid:89)(cid:33)3-1(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)𝑥 (cid:56)−6(cid:57)𝑥−(cid:58)7·(cid:172)(cid:173)𝑥(cid:174)(cid:101)·(cid:62)𝑥−(cid:63)7(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)
2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21) +1) 𝑥 −9𝑥−10
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)((cid:94)𝑥−(cid:22)1(cid:80)0)(cid:81)(𝑥(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:113)(cid:64)(cid:65)(cid:52)(cid:103)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:102)
(cid:75)(cid:27)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)
2
= +𝑥1−)(cid:53)9𝑥−10
(cid:15)(cid:89)(𝑥(cid:33)−130-2)((cid:21)𝑥(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)
(1) +6(cid:169)
2
(2)𝑥3 −5+𝑥 (cid:53)
2
(cid:15)(cid:64)𝑥(cid:65)(cid:21)2(𝑥1−)(8 )( )
(2)( )( +𝑥−22) 𝑥−3 科AA+
全
号★
(cid:15)(cid:24)3(cid:66)𝑥−(cid:21)4(cid:94)𝑥(cid:22)(cid:80)(cid:81)(cid:102)(cid:86)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:53) 公 众
注
关
，
源
资
(cid:28)1(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)教(cid:32)辅(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10) +6
2
=( )( )(cid:169) 𝑥 −5𝑥
(cid:28)2(cid:34)𝑥−(cid:26)2(cid:10)𝑥3−3+
2
=( )(𝑥+22)𝑥(cid:53)−8
(cid:15)(cid:89)3(cid:33)𝑥−34-3(cid:21)𝑥(cid:28)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:181)(cid:182)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)( + ) ( + )+12
2 2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( +2)( )( +3)( ) 𝑥 𝑥 −8 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑥(cid:22)(cid:80)(cid:81)𝑥(cid:37)−1(cid:38)(cid:39)𝑥 (cid:40)(cid:27)(cid:24)𝑥−(cid:26)2(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:95)(cid:123)( + )(cid:183)(cid:128)(cid:115)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:70)(cid:85)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:73)(cid:187)(cid:184)(cid:121)(cid:9)(cid:70)(cid:85)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
2
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)( + ) ( + )+12 𝑥 𝑥
2 2 2
= ( + 𝑥 )(𝑥 +−8 𝑥 ) 𝑥
2 2
=(𝑥 +2𝑥)−(2 𝑥)( +𝑥3−)6( )(cid:53)
【题 𝑥 型4 十 𝑥− 字 1 相 𝑥 乘法（ 𝑥 二 − 次 2 项系数不为1）】
(cid:15)(cid:54)4(cid:21)(cid:28)24-25(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:58)(cid:59)(cid:117)(cid:118)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)4 .
2 2
𝑥 −11𝑥𝑦−3𝑦(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( + )
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)𝑥−(cid:22)3(cid:80)𝑦(cid:81)4(cid:82)𝑥(cid:35)𝑦(cid:36)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:102)(cid:24)(cid:26)(cid:110)(cid:188)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:53)(cid:67)4(cid:189)
(cid:46)1×4(cid:52) (cid:189)(cid:46) × (cid:52)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
2
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)−(cid:10)3𝑦4 −3𝑦 𝑦 = ( + ).
2 2
(cid:15)(cid:89)(cid:33)4-1(cid:21)(cid:28)𝑥24-−2151(cid:190)𝑥𝑦(cid:56)−(cid:57)3𝑦(cid:58)·(cid:101)((cid:17)𝑥−(cid:191)3𝑦(cid:192))·(cid:90)4𝑥(cid:91)(cid:92)𝑦(cid:93)(cid:34)2 + (cid:53)
2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( +2) 𝑥 𝑥−6
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)2𝑥(cid:22)−(cid:78)3(cid:79)𝑥(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:175)(cid:176)(cid:170)(cid:171)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)2 +
2
=( )( +𝑥2)(cid:53)𝑥−6
2𝑥−3 𝑥 1
(cid:15)(cid:89)(cid:33)4-2(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:101)(cid:17)(cid:193)(cid:59)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)3 + (cid:169)
3
2
𝑥 −2𝑥
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( ) 1
3
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:94)3𝑥(cid:22)−(cid:80)1(cid:81)𝑥(cid:82)−(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:52)(cid:103)(cid:194)(cid:195)(cid:170)(cid:7)(cid:33)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:169)
(cid:175)(cid:176)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:169)
科AA+
全
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)3 + 1 众 号★
3 注 公
关
2 ，
源
1𝑥 −2𝑥 辅 资
教
= ( )
3
(cid:15)(cid:89)3(cid:33)𝑥−41-3(cid:21)𝑥−(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:196)(cid:197)(cid:198)(cid:199)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)
(1)6 (cid:169)
2
(2) 𝑎 −7+𝑎−+53(cid:53)
2
(cid:15)(cid:64)−2(cid:65)𝑥(cid:21)(1𝑥) +
(2) (2𝑎+1)1)(3𝑎−5)
(cid:15)(cid:24)−((cid:66)2𝑥(cid:21)−(cid:77)3)(cid:22)(𝑥(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)-(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:130)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:103)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:86)(cid:26)(cid:94)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:28)1(cid:34)(cid:110)(cid:33)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:110)(cid:33)(cid:31)(cid:72) (cid:52)(cid:73)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)−(cid:26)1(cid:10)(cid:110)(cid:33)= + (cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:26)(cid:10)(cid:110)(cid:33)= (2 (2𝑎) 1)(3𝑎−5)
2
= +1−)(cid:53)𝑥 −𝑥−3
−(2𝑥−3)(𝑥【题型5 换元法】
(cid:15)(cid:54)5(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:200)(cid:201)(cid:201)(cid:199)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)
(1) + + +81(cid:169)
2
(2) ((𝑚 𝑛)+−21)8((𝑚 𝑛)+6)+4(cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)𝑥 (cid:21)−4(1𝑥) +𝑥 −4𝑥 + +81= +
2 2
(2)( +(𝑚2)( 𝑛) −1+8(6𝑚)+4𝑛)=( )(𝑚 𝑛−9)
2 2 4
(cid:15)(cid:24)𝑥(cid:66)−(cid:21)4𝑥(cid:94)(cid:22)(cid:80)(cid:81)𝑥 (cid:82)−4(cid:48)𝑥(cid:49)(cid:27)(cid:134)(cid:7)(cid:33)(cid:27)𝑥(cid:70)−2(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:40)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:53)(cid:103)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:134)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)
(cid:24)(cid:26)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:28)1(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:134)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:95)(cid:48)(cid:49)(cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:40)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:52)(cid:202)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10) + + +81(cid:52)
2
(cid:203) + = (cid:52)(cid:188)(cid:110)(cid:33)(𝑚= 𝑛) −18(+𝑚81𝑛=) = + (cid:52)
2 2 2
𝑚+𝑛 𝑥 + +𝑥81−=18𝑥 + (𝑥(cid:169)−9) (𝑚 𝑛−9)
∴(cid:28)(𝑚2(cid:34)(cid:26)𝑛(cid:10))
2
(−18(𝑚 +𝑛2))( (+𝑚6)+𝑛−4(cid:52)9)
2 科AA+
全
号★
2 2 公 众
(cid:203) =𝑥 −(cid:52)4(cid:188)𝑥(cid:110)(cid:33)=𝑥 (−4𝑥+2)( +6)+4关 注
，
源
资
2 教 辅
=𝑥 −+4𝑥 +𝑚16 𝑚 𝑚
2
=𝑚( +48)𝑚
2
=(𝑚 +4)
2 2
=(𝑥 −4)𝑥(cid:169)
4
( 𝑥−2 +2)( +6)+4=( ) (cid:53)
2 2 4
∴(cid:15)𝑥(cid:89)(cid:33)−45𝑥-1(cid:21)(cid:28)𝑥24−-245𝑥(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:197)(cid:204)𝑥−(cid:139)2(cid:205)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:36)“(cid:48)(cid:49)(cid:27)”(cid:206)(cid:124)(cid:43)(cid:33)( + + +2)+( + +1)(
2 2 2 2
+ +1(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26) 𝑥 𝑥)(𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)𝑥(cid:64)−(cid:65)1)(cid:21) +1)( + +1)
2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)2(cid:36)𝑥(cid:48)(𝑥(cid:49)(cid:27)(cid:203)𝑥 +𝑥 = (cid:52)(cid:207)(cid:208)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:209)(cid:210)(cid:22)(cid:211)(cid:102)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
2
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)(cid:203) +𝑥 = 𝑥(cid:52) 𝑡
2
(cid:67) + = (cid:207)(cid:208)𝑥( +𝑥 𝑡 + +2)+( + +1)( + +1(cid:133)(cid:113)(cid:10) +2)+ + +1
2 2 2 2 2
(cid:110)𝑥(cid:33)=𝑥 +𝑡 + 𝑥 𝑥+)(1𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−1) 𝑡(𝑡 (𝑡 1)(𝑡−1)
2 2
=2 +𝑡 2𝑡 𝑡 −1
2
= 𝑡 +21𝑡)
2𝑡(𝑡=2( + + +1)
2 2
= 𝑥 +𝑥1))((𝑥 +𝑥+1)
2
(cid:15)(cid:212)2𝑥(cid:213)(𝑥(cid:21)(cid:94)(cid:22)𝑥(cid:80)(cid:81)𝑥(cid:82)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:130)(cid:129)(cid:36)(cid:52)(cid:26)(cid:22)(cid:3)(cid:87)(cid:86)(cid:135)(cid:136)(cid:129)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:27)(cid:206)(cid:214)(cid:46)(cid:215)(cid:216)(cid:102)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)
(cid:26)(cid:52)(cid:217)(cid:114)(cid:120)(cid:218)(cid:189)(cid:219)(cid:102)(cid:220)(cid:221)(cid:53)
(cid:15)(cid:89)(cid:33)5-2(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:222)(cid:139)(cid:201)(cid:178)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)
( )( )( +1)( +3)+9 (cid:53)
2
(cid:15)𝑥−(cid:64)6(cid:65)(cid:21)𝑥−(2 𝑥 )𝑥 𝑥
2 2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:170)𝑥(cid:171)−(cid:33)2𝑥(cid:223)−(cid:224)6 (cid:212)(cid:67)(cid:110)(cid:33)(cid:89)(cid:111)(cid:46) ( )( +1) ( )( +3) +9 (cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:185)(cid:225)(cid:113)( )( + )
2 2 2
+9 (cid:52)(cid:203) = (cid:52)(cid:185)(cid:225)(cid:113)( )𝑥(cid:52)−(cid:202)6 (cid:29)𝑥(cid:123) 𝑥=−2 (cid:207)𝑥(cid:208)(cid:99)(cid:30)(cid:113)𝑥(cid:162)(cid:64)(cid:65)(cid:53) 𝑥 −5𝑥−6 𝑥 𝑥−6
2 2 2 2
(cid:15)(cid:88)𝑥(cid:26)(cid:21)(cid:26)𝑥(cid:10)−(cid:110)6(cid:33)𝑀= ( )( 𝑀+−1)2𝑥( )( +3𝑥)−+69 𝑀
2
=( )( + 𝑥−)6+9𝑥 (cid:52) 𝑥−2 𝑥 𝑥
2 2 2
(cid:203) 𝑥 −5=𝑥−6(cid:52)𝑥 𝑥−6 𝑥
2
(cid:110)𝑥(cid:33)−6=( 𝑀 )( + )+9
2
∴= 𝑀−5𝑥 +𝑀9 𝑥 𝑥 科AA+
全
2 2 2 号★
=𝑀 −4𝑀𝑥−+54𝑥 𝑥 公 众
注
关
，
2 2 源
资
=𝑀( −4𝑀)𝑥 𝑥 教 辅
2
=(𝑀−2𝑥 )
2 2
=(𝑥 −6−2𝑥 ) (cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:212)𝑥(cid:213)−(cid:21)2(cid:94)𝑥−(cid:22)6(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:123)(cid:115)(cid:184)(cid:124)(cid:43)(cid:33)(cid:189)(cid:128)(cid:226)(cid:184)(cid:185)(cid:33)(cid:102)(cid:40)(cid:227)(cid:102)(cid:111)(cid:33)(cid:52)(cid:165)(cid:166)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:155)(cid:36)
(cid:102)(cid:75)(cid:27)(cid:228)(cid:10) (cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:169) (cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:169) (cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:27)(cid:169) (cid:24)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:229)(cid:230)(cid:24)(cid:26)(cid:114)(cid:231)(cid:184)(cid:32)(cid:33)(cid:232)(cid:47)
(cid:233)(cid:73)(cid:24)(cid:26)(cid:46)(cid:234)①(cid:53) ② ③ ④
(cid:15)(cid:89)(cid:33)5-3(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:143)·(cid:177)(cid:178)(cid:235)(cid:17)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:236)(cid:175)(cid:176)(cid:161)(cid:162)(cid:202)(cid:237)(cid:238)(cid:221)(cid:53)
(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)( +3)( +4)( +5)( +6) =_______
①(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)(𝑥 )(𝑥 +3)(𝑥 +5)+𝑥16=−_3_6__0___(cid:53)
2
②(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21) ( 𝑥+−91)( 𝑥+ +𝑥 38)(cid:169) ( + )
2 2 2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)①(cid:94)(cid:22)𝑥(cid:80)𝑥 (cid:81)(cid:185)(cid:33)𝑥(cid:102)(cid:40)9(cid:27)𝑥 (cid:52)(cid:32)(cid:33)(cid:24)②(cid:26)𝑥(cid:102)(cid:239)(cid:36)4𝑥(cid:52)−1(cid:26)(cid:119)(cid:94)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:86)(cid:170)(cid:171)(cid:240)(cid:54)(cid:102)(cid:125)(cid:164)(cid:75)(cid:27)(cid:70)(cid:85)(cid:26)(cid:64)(cid:53)
(cid:170)(cid:171)(cid:75)(cid:27)(cid:41)(cid:52)( +3)( +4)( +5)( +6) =( + +18)( + +20) (cid:52)(cid:241) =
2 2 2
①+ +18(cid:52)(cid:110)(cid:33)𝑥= ( +𝑥2) 𝑥 =( +𝑥20)(−360)(cid:52)(cid:67)𝑥 (cid:207)(cid:208)9𝑥(cid:189)(cid:219)(cid:99)(cid:30)𝑥(cid:169) 9𝑥 −360 𝑡 𝑥
9(cid:170)𝑥(cid:171)(cid:75)(cid:27)(cid:115)(cid:52)( 𝑡 𝑡)( +−33)6(0+5𝑡)+16 =𝑡−(18+ 𝑡+3)( + )+16(cid:52)(cid:241) = + (cid:52)(cid:67) (cid:207)(cid:208)(cid:52)
2 2 2 2
② 𝑥 −1 𝑥 𝑥 𝑥 4𝑥 𝑥 4𝑥−5 𝑡 𝑥 4𝑥 𝑡(cid:242)(cid:243)(cid:52)(cid:244)(cid:245)(cid:33)(cid:223)(cid:86)(cid:115)(cid:184)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:33)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10) ( +3)( +4)( +5)( +6)
= ( +3)( +①6)𝑥 ( +𝑥4)( +𝑥5) 𝑥 −360
=(𝑥 + 𝑥+18)( 𝑥+ +𝑥20) −3(cid:52)60
2 2
(cid:241) =𝑥 9+𝑥 +18(cid:52)𝑥 9𝑥 −360
2
(cid:113)𝑡( +𝑥2) 9𝑥
=𝑡 𝑡+ +−360
2
=𝑡( +12)𝑡 1−361
2
= (𝑡 +1+−1396)1( + )
= (𝑡+20)( 𝑡) 1−19
= (𝑡 + +𝑡−1188+20)( + + )
2 2
= 𝑥( +99𝑥)( + +38𝑥)(cid:53)9𝑥 18−18
2
(cid:246)(cid:64)𝑥(cid:65)𝑥(cid:46)(cid:10) 𝑥( +99𝑥)( + +38)(cid:53)
2
( )(𝑥+𝑥3)( +𝑥5)+91𝑥6 科AA+
全
2 号★
②= (𝑥 +−11)(𝑥 +3)𝑥 ( )( +5) +16 公 众
注
关
，
源
资
=(𝑥 + 𝑥+3)( +𝑥−1 教𝑥)+辅16(cid:52)
2 2
(cid:241) =𝑥 4+𝑥 (cid:52) 𝑥 4𝑥−5
2
(cid:113)𝑡(cid:10)( 𝑥+3)4(𝑥 )+16
= 𝑡 𝑡+−516
2
=𝑡( −2)𝑡−15
2
=(𝑡−1+ ) (cid:52)
2 2
(cid:246)(cid:64)𝑥(cid:65)(cid:46)4(cid:10)𝑥(−1 + ) (cid:53)
2 2
【题型6 添 𝑥 项法 4 】 𝑥−1
(cid:15)(cid:54)6(cid:21)(cid:28)2025·(cid:222)(cid:139)(cid:247)(cid:248)·(cid:41)(cid:249)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:124)(cid:43)(cid:33) (cid:102)(cid:238)(cid:221)(cid:86) (cid:53)
5
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( + + + +1) 𝑎 −1
4 3 2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:175)𝑎−(cid:176)1(cid:170)(cid:171)𝑎 (cid:50)(cid:43)𝑎(cid:102)(cid:75)𝑎(cid:27)(cid:70)𝑎(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:26)(cid:10)
5
= + 𝑎 −1+ + +
5 4 4 3 3 2 2
=𝑎 −( 𝑎 )+𝑎 −𝑎( 𝑎)+−𝑎 ( 𝑎 )−+𝑎 (𝑎−1)+
4 3 2
𝑎 𝑎−1 𝑎 𝑎−1 𝑎 𝑎−1 𝑎 𝑎−1 𝑎−1=( )( + + + +1)(cid:52)
4 3 2
(cid:246)(cid:64)𝑎(cid:65)−(cid:46)1 (cid:10)𝑎( 𝑎)( 𝑎+ 𝑎+ + +1)
4 3 2
(cid:15)(cid:212)(cid:213)(cid:21)(cid:94)(cid:22)𝑎−(cid:80)1(cid:81)(cid:50)𝑎 (cid:43)(cid:27)𝑎(cid:206)(cid:124)𝑎(cid:43)(cid:33)𝑎(cid:70)(cid:85)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:52)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:86)(cid:103)(cid:92)(cid:129)(cid:36)(cid:31)(cid:7)(cid:32)(cid:33)(cid:27)(cid:52)(cid:250)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:11)(cid:251)(cid:102)(cid:252)
(cid:253)(cid:233)(cid:254)(cid:130)(cid:185)(cid:186)(cid:255)(cid:256)(cid:53)
(cid:15)(cid:89)(cid:33)6-1(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)·(cid:257)(cid:139)(cid:258)(cid:259)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:129)(cid:36)(cid:50)(cid:43)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10) + (cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( )( + )(cid:53) 𝑎 −4𝑎𝑚−𝑛 4𝑚𝑛
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:110)𝑎−(cid:33)𝑛=𝑎−4𝑚 𝑛+4 +
2 2 2 2
= ( +4 𝑎 )−4(𝑎4𝑚 +𝑚 −4𝑚 −) 𝑛 4𝑚𝑛
2 2 2 2
=(𝑎 −4𝑎)𝑚 ( 𝑚 −) 𝑚 𝑛 −4𝑚𝑛
2 2
= (𝑎−2𝑚 +− 2𝑚−)𝑛( + )
=(𝑎−2𝑚)( 2𝑚−+𝑛n)𝑎. −2𝑚−2𝑚 𝑛
(cid:15)(cid:89)a(cid:33)−n6-2a(cid:21)−4(cid:28)m24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:143)·(cid:257)(cid:139)(cid:139)(cid:260)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)
(1) +4 (cid:169)
4 4
(2)𝑥 +4𝑦 科AA+
全
4 号★
(cid:15)(cid:64)𝑎(cid:65)(cid:21)(1) +2 + +2 公 众
注
关
，
2 2 2 资 源2
(2)( + +𝑥2)( 𝑦 2+𝑥2𝑦教) 𝑥辅 𝑦 −2𝑥𝑦
2 2
(cid:15)(cid:24)𝑎(cid:66)(cid:21)2(cid:28)𝑎1(cid:34)(cid:261)(cid:262)𝑎 (cid:50)−2(cid:43)𝑎4 (cid:195)(cid:26)(cid:169)
2 2
(cid:28)2(cid:34)(cid:95)(cid:50)(cid:263)4 (cid:264)(cid:128)(cid:106)(cid:107)𝑥(cid:74)𝑦(cid:75)(cid:33)(cid:52) (cid:96)(cid:29)(cid:265)4 (cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33) =( + )( )(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)
2 2 2 2
(cid:113)(cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:53) 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10) +4
4 4
= +4 +4 𝑥 𝑦
4 2 2 4 2 2
𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 −4𝑥 𝑦
= +2
2
2 2 2 2
= 𝑥 +2𝑦 +−4𝑥 𝑦 +2 (cid:53)
2 2 2 2
(cid:28)2(cid:34)𝑥(cid:26)(cid:10)𝑦 +42𝑥𝑦 𝑥 𝑦 −2𝑥𝑦
4
= +4 𝑎+ (cid:52)
4 2 2
=𝑎( +𝑎2) 4(−4)𝑎(cid:52)
2 2 2
=(𝑎 + +−22)𝑎( +2)(cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:89)𝑎(cid:33)6-23𝑎(cid:21)(cid:28)24-𝑎25−(cid:55)2𝑎(cid:56)(cid:57)(cid:143)·(cid:260)(cid:266)(cid:267)(cid:248)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:53)
(1) + (cid:53)
2 2
𝑥 2𝑎𝑥−8𝑎(2) + + (cid:53)
4 2 2 4
(cid:15)(cid:64)𝑎(cid:65)(cid:21)𝑎(1𝑏) +𝑏
(2)( + +(𝑥 4𝑎)(+𝑥−2𝑎)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:24)𝑎(cid:66)(cid:21)𝑏(cid:28)1(cid:34)𝑎𝑏(cid:268))((cid:263)𝑎(cid:268)(cid:265)𝑏(cid:115)−(cid:43)𝑎𝑏(cid:269))(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:52)(cid:73)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:113)(cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:268)(cid:263)(cid:268)(cid:265)(cid:115)(cid:43)(cid:269)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:52)(cid:73)(cid:170)(cid:171)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:99)(cid:30)(cid:113)(cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:169)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10)(cid:110)(cid:33)= + +
2 2 2 2
=(cid:28) + + (cid:34) 𝑥 2𝑎𝑥 𝑎 −8𝑎 −𝑎
2 2 2
= 𝑥+ 2𝑎𝑥 𝑎 −9𝑎
2 2
=(𝑥+𝑎)+−9𝑎 +
=(𝑥 +𝑎 3𝑎)(𝑥 (cid:169)𝑎−3𝑎)
(cid:28)2((cid:34)𝑥(cid:26)4(cid:10)𝑎(cid:110))(𝑥(cid:33)−2=𝑎) + + +
4 2 2 4 2 2 2 2
=(cid:28) +2 +𝑎 (cid:34)𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 −𝑎 𝑏
4 2 2 4 2 2
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 −𝑎 𝑏
=(cid:28) + (cid:34)
2 2 2 2 2
=(
𝑎
+
𝑏
+
−𝑎 𝑏
+ (cid:53)
科AA+
全
号★
2 2 2 2 公 众
注
【题 𝑎 型7 𝑏 拆项 𝑎𝑏 法 )( 】 𝑎 𝑏 −𝑎𝑏) 源 ， 关
资
辅
教
(cid:15)(cid:54)7(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:101)(cid:17)(cid:270)(cid:271)·(cid:62)(cid:133)(cid:34)(cid:236)(cid:106)(cid:128)(cid:143)(cid:144)(cid:272)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10) + (cid:169)
3
(2)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)𝑥 9𝑥−10 +6(cid:53)
3 2
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)(1)( 𝑥 −)(2𝑥 +−5𝑥+10)
2
(2)( )( +𝑥2−)1( 𝑥 ) 𝑥
(cid:15)(cid:24)𝑥(cid:66)−3(cid:21)(cid:94)𝑥(cid:22)(cid:78)(cid:79)𝑥−(cid:80)1(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:10)
(cid:28)1(cid:34)(cid:95)(cid:123)(cid:110)(cid:33)(cid:89)(cid:111)(cid:46) + + (cid:52)(cid:73)(cid:209)(cid:210)(cid:22)(cid:273)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
3 2 2
(cid:28)2(cid:34)(cid:95)(cid:123)(cid:110)(cid:33)(cid:89)(cid:111)(cid:46)𝑥 −𝑥 +𝑥 9𝑥−+106(cid:52)(cid:73)(cid:209)(cid:210)(cid:22)(cid:273)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
3 2 2
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)(cid:28)1(cid:34)(cid:26)(cid:10) 𝑥+−3𝑥 𝑥 −5𝑥
3
= + + 𝑥 9𝑥−10
3 2 2
=𝑥 −( 𝑥 )+𝑥 ( 9𝑥)−(10+10)
2
=𝑥( 𝑥−)1( +𝑥−+110𝑥)(cid:169)
2
(cid:28)2(cid:34)𝑥−(cid:26)1(cid:10)𝑥 𝑥 +6
3 2
𝑥 −2𝑥 −5𝑥= + +6
3 2 2
=𝑥 −( 3𝑥 )+𝑥(−5𝑥)( )
2
=𝑥( 𝑥−)3( +𝑥−2) 𝑥−3
2
=(𝑥−3)(𝑥+2𝑥)(−2 )(cid:53)
(cid:15)(cid:89)𝑥(cid:33)−37-1𝑥(cid:21)(cid:28)24𝑥-2−51(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:200)(cid:201)(cid:274)(cid:275)(cid:276)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10)
(1) + (cid:169)
2 2
(2)𝑥 4𝑥𝑦−+5𝑦9 (cid:169)
2 2
(3)𝑥 −+10𝑥𝑦 𝑦 (cid:53)
2 2
(cid:15)(cid:64)𝑥 (cid:65)(cid:21)14(𝑥1𝑦)(−3+2𝑦 )( )
(2)( )( 𝑥 )5𝑦 𝑥−𝑦
(3)(𝑥−+𝑦 𝑥−)(9𝑦 )
(cid:15)(cid:88)𝑥(cid:26)(cid:21)16(cid:28)𝑦1(cid:34)𝑥−(cid:26)2(cid:10)𝑦 +
2 2
= + +4 𝑥 4𝑥𝑦−5𝑦
2 2 2
=𝑥( + 4𝑥)𝑦 𝑦 −9𝑦 科AA+
全
2 2 号★
= [𝑥( +2𝑦 )−+9𝑦 ][( + ) ] 公 众
注
关
，
源
资
=(𝑥+ 2𝑦)( 3𝑦)(cid:169)𝑥 2𝑦 教−3𝑦辅
(cid:28)2(cid:34)𝑥(cid:26)5(cid:10)𝑦 𝑥−𝑦 +9
2 2
= 𝑥+−2150𝑥𝑦 𝑦
2 2 2
=𝑥( −10)𝑥𝑦 𝑦 −16𝑦
2 2
= [𝑥(−5𝑦 )−+16𝑦][( ) ]
=(𝑥−5)𝑦( 4𝑦)(cid:169)𝑥−5𝑦 −4𝑦
(cid:28)3(cid:34)𝑥−(cid:26)𝑦(cid:10)𝑥−9+𝑦
2 2
= + 𝑥 +1449𝑥𝑦−32𝑦
2 2 2
=𝑥( + 14)𝑥𝑦 𝑦 −81𝑦
2 2
= [𝑥( +7𝑦 )−+81𝑦][( + ) ]
=(𝑥+ 7𝑦 )( 9𝑦 )𝑥(cid:53) 7𝑦 −9𝑦
(cid:15)(cid:89)𝑥(cid:33)71-62𝑦(cid:21)(cid:28)𝑥−242-𝑦25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:101)(cid:17)(cid:191)(cid:192)·(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:34)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:10) + (cid:53)
4 2 2 4
(cid:15)(cid:64)(cid:65)(cid:21)( + )( )(cid:53) 𝑎 −3𝑎 𝑏 𝑏
2 2 2 2
(cid:15)(cid:24)(cid:66)(cid:21)(cid:95)𝑎(cid:123) 𝑎𝑏−𝑏(cid:24)(cid:128)𝑎(cid:69)−(cid:43)𝑎𝑏−𝑏 (cid:130) (cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:35)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33) =( + )( )(cid:70)(cid:115)(cid:116)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)
2 2 2 2 2
−3𝑎 𝑏 −2𝑎 𝑏 −𝑎 𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏(cid:99)(cid:30)(cid:113)(cid:114)(cid:64)(cid:65)(cid:53)
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21) + (cid:52)
4 2 2 4
= 𝑎 −3+𝑎 𝑏 𝑏 (cid:52)
4 2 2 4 2 2
=𝑎( −2𝑎 )𝑏 𝑏 −(cid:52)𝑎 𝑏
2 2 2 2
=(𝑎 −+𝑏 −(𝑎)𝑏() )(cid:53)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:212)𝑎(cid:213)(cid:21)𝑎(cid:77)𝑏(cid:22)−𝑏(cid:80)(cid:81)𝑎(cid:82)−(cid:32)𝑎(cid:33)𝑏−(cid:24)𝑏(cid:26)(cid:52)(cid:103)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:7)(cid:33)(cid:27)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:86)(cid:26)(cid:22)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:15)(cid:89)(cid:33)7-3(cid:21)(cid:28)24-25(cid:137)(cid:56)(cid:57)(cid:58)·(cid:101)(cid:17)(cid:277)(cid:178)·(cid:62)(cid:63)(cid:34)(cid:236)(cid:106)(cid:128)(cid:143)(cid:144)(cid:22)(cid:278)(cid:10)
(1) + + (cid:169)
2 2
(2)𝑎 −𝑏 2+𝑎1(cid:53)6𝑏−8
4 2
(cid:15)(cid:64)𝑥 (cid:65)−2(cid:21)3(𝑥1)( + )( +4)
(2)( +1+𝑎 )(𝑏−2+ 𝑎−𝑏)
2 2
(cid:15)(cid:24)𝑥(cid:66)(cid:21)(cid:94)(cid:22)5(cid:80)𝑥 (cid:81)𝑥(cid:32)(cid:33)1(cid:24)−(cid:26)5𝑥(cid:52)(cid:225)(cid:26)(cid:22)(cid:133)(cid:51)(cid:43)(cid:27)(cid:86)(cid:26)(cid:64)(cid:102)(cid:3)(cid:87)(cid:53)
(cid:28)1(cid:34)(cid:67) (cid:51)(cid:128) (cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:279)(cid:280)(cid:25)(cid:281)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:33)(cid:130)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:7)(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:169)
(cid:28)2(cid:34)(cid:67)−8 (cid:51)1−(cid:128)92 (cid:52)(cid:96)(cid:29)(cid:279)(cid:280)(cid:25)(cid:281)(cid:52)(cid:35)(cid:36)(cid:106)(cid:107)(cid:74)(cid:75)(cid:7)(cid:33)(cid:130)
科
(cid:74)
A
(cid:75)(cid:76)A(cid:7)+(cid:33)(cid:24)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:99)(cid:30)(cid:53)
全
2 2 2 号★
(cid:15)(cid:88)(cid:26)(cid:21)−(cid:28)231𝑥(cid:34)(cid:26)(cid:10) 𝑥 −25+𝑥 + 公 众
注
关
，
2 2 源
资
= + + 𝑎+−𝑏 教2𝑎辅6𝑏−8
2 2
=𝑎( −+𝑏 2+𝑎1) 6(𝑏 1−9+9)
2 2
=(𝑎+1)2𝑎 ( −)𝑏 −6𝑏
2 2
= (𝑎 +1+− 𝑏−)3( + +3)
=(𝑎 + 𝑏)−(3 𝑎+41)−(cid:169)𝑏
(cid:28)2(cid:34)𝑎(cid:26)𝑏(cid:10)−2 𝑎−𝑏 +1
4 2
= +2 𝑥 −23𝑥+1
4 2 2
=𝑥( +2𝑥 −+251𝑥)
4 2 2
=(𝑥 +1)𝑥 ( )−25𝑥
2 2 2
=(𝑥 +1+− 5)𝑥( + )(cid:53)
2 2
𝑥 5𝑥 𝑥 1−5𝑥
