专题10.3实数(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》8上(华东师大)_专题10.3实数(讲义)

专题 10.3 实数（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)2024(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:21)....................................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:25)(cid:31)(cid:21)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:21)........................................................................................................................................6
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:21)............................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:21)..........................................................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)..................................................................................................................................13
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:21)..................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:21)..........................................................................................................................15
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:21)..........................................................................................................................19
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:55)(cid:3)(cid:47)(cid:33)(cid:21)..............................................................................................................21
(cid:15)(cid:22)(cid:23)11 (cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:21)..........................................................................................................................23
(cid:15)(cid:22)(cid:23)12 (cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:59)(cid:3)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:22)(cid:21)..................................................................................................................26
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
知识点1 无理数 教
(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:66)(cid:67)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:55)(cid:73)(cid:51)(cid:74)(cid:75)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:78)(cid:63)(cid:80)(cid:28)(cid:26)(cid:28)(cid:59)(cid:57)(cid:79)(cid:81)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:84) 2(cid:83)3 5(cid:85)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:87)(cid:88)(cid:89) (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:55) (cid:28)(cid:26),(cid:84)2 (cid:83) (cid:85)(cid:86)
2
π
π π π
(cid:76)3(cid:77)(cid:73)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:71)(cid:72)(cid:94)(cid:95)(cid:28)(cid:26),(cid:84)0.101 001 000 1…(cid:76)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:91)(cid:97)0)(cid:85)(cid:68)(cid:4)(cid:103)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:38)
(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:104)(cid:26)(cid:24)(cid:62)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:63)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:54)(cid:26)(cid:28)(cid:71)(cid:72)(cid:68)
知识点2 实数的概念及分类
1. (cid:29)(cid:30)(cid:10)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:27)(cid:26)(cid:68)
2. (cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:55)(cid:96)(cid:75)(cid:54)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:116)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:117)(cid:54)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:119)(cid:52)(cid:26)
(cid:119)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:119)(cid:54)(cid:26)
(cid:55)(cid:25)(cid:26) 0
(cid:55)(cid:62)(cid:38)(cid:26)(cid:121)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)
(cid:120) (cid:52) (cid:26)
(cid:120)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:26)
(cid:120)(cid:54)(cid:26)
(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)
(cid:120)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:76)2(cid:77)(cid:116)(cid:119)(cid:120)(cid:34)(cid:54)(cid:113)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:117)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:122)0(cid:122)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:68)
(cid:119)(cid:52)(cid:26)
(cid:119)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:119)(cid:54)(cid:26)
(cid:119)(cid:27)(cid:26)
(cid:119)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:26) 0
(cid:120)(cid:52)(cid:26)
(cid:120)(cid:55)(cid:25)(cid:26)
(cid:120)(cid:27)(cid:26) (cid:120)(cid:54)(cid:26)
(cid:120)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
知识点3 实数与数轴的关系
科AA+
全
号★
众
公
(cid:123)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:117)(cid:73)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:91)(cid:97)(cid:126)(cid:127)(cid:106)(cid:107)(cid:86)关(cid:128)注(cid:129)(cid:127)(cid:83)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:123)(cid:91)(cid:97)(cid:126)(cid:124)(cid:106)(cid:107)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:125)
，
源
资
辅
教
(cid:28)(cid:126)(cid:91)(cid:91)(cid:130)(cid:57).
知识点4 实数范围内的有关概念
(cid:131)(cid:111) (cid:34)(cid:35) (cid:132)(cid:133)
(cid:59)(cid:128)(cid:26) (cid:134)a(cid:36)b(cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:136) + =0 3(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3
(cid:137)(cid:26) (cid:134)a(cid:36)b(cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:136) 𝑎 =1 𝑏 2(cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) 1 −
2
𝑎𝑏
>0)
(cid:138)(cid:139)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:124)(cid:82)(cid:142)(cid:120)(cid:26)(cid:83)(cid:143)| | 0 | | =0)
(cid:140)(cid:130)(cid:141) 𝑎(𝑎 <0)
𝑎 ≥ 𝑎 0(𝑎
(cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:59)(cid:85)(cid:83)(cid:143)| |=| | | 2 |− = 𝑎|(𝑎 2 | = 2
𝑎 −𝑎 −
知识点5 实数的运算
(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:83)(cid:63)(cid:148)(cid:117)(cid:73)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:122)(cid:152)(cid:122)(cid:153)(cid:122)(cid:154)(cid:76)(cid:154)(cid:26)(cid:63)(cid:112)(cid:155)(cid:77)(cid:122)(cid:153)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:156)(cid:157)(cid:117)(cid:73)(cid:149)(cid:150)(cid:78)(cid:158)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:73)(cid:90)
(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:78)(cid:159)(cid:79)(cid:43)(cid:33)(cid:68)
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:109)(cid:43)(cid:33)(cid:61)(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:58)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:36)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:59)(cid:164)(cid:83)
(cid:165)(cid:153)(cid:79)(cid:122)(cid:78)(cid:79)(cid:83)(cid:166)(cid:153)(cid:154)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:151)(cid:152)(cid:68)(cid:164)(cid:169)(cid:43)(cid:33)(cid:116)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:83)(cid:55)(cid:174)(cid:9)(cid:28)(cid:165)(cid:33)(cid:174)(cid:9)(cid:175)(cid:176)(cid:28)(cid:68)知识点6 实数的大小比较
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:144)(cid:27)(cid:26)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:58)(cid:68)
(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:84)(cid:51)(cid:10)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:19)(cid:179)0(cid:83)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:124)(cid:38)(cid:179)0(cid:83)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:179)(cid:91)(cid:180)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:86)(cid:96)(cid:97)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)
(cid:19)(cid:28)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:86)(cid:96)(cid:97)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:19)(cid:28)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:38)(cid:86)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:173)(cid:181)(cid:28)(cid:26)(cid:182)(cid:39)(cid:171)(cid:181)(cid:28)(cid:26)
(cid:19)(cid:68)(cid:183)(cid:184)(cid:83)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:185)(cid:55)(cid:84)(cid:51)(cid:79)(cid:177)(cid:10)
(cid:76)1(cid:77)(cid:186)(cid:129)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:187)(cid:49)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:68)(cid:84)(cid:39)(cid:40) 10(cid:36)3(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:188)(cid:179)( 10) =10
2
，3 =9，10>9(cid:83)(cid:189) 10>3(cid:68)
2
(cid:76)2(cid:77)(cid:58)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:190)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:191)(cid:192)(cid:141)(cid:168)(cid:83)(cid:166)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:68)
(cid:76)3(cid:77)(cid:193)(cid:96)(cid:97)(cid:194)(cid:81)(cid:9)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:38)(cid:195)(cid:83)(cid:117)(cid:57)(cid:58)(cid:84)(cid:51)(cid:196)(cid:197)(cid:10)
> 0 > (cid:68)
① 𝑎>𝑏≥3 ⇔>𝑎3 (cid:68)𝑏
②
【题
𝑎 型1𝑏 ⇔
无
𝑎
理数】
𝑏
(cid:15)(cid:133)1(cid:21)(cid:76)2025·(cid:198)(cid:199)·(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:22)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:26)(cid:200)(cid:83)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 科AA+
全
号★
公 众 2
A(cid:68)0 B(cid:68) 2 C(cid:68)注3.14 D(cid:68)
关
， 3
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)B
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:211)(cid:75)(cid:71)(cid:72)(cid:10) (cid:78)(cid:79)(cid:78)(cid:63)(cid:80)(cid:28)(cid:26)(cid:83) (cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:83) (cid:93)
(cid:55)π(cid:28)(cid:26)(cid:68)(cid:196)(cid:42)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:91)(cid:215)(cid:216)(cid:143)(cid:117)(cid:68) ① ② ③
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)A(cid:122)0(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:218)(cid:179)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
B(cid:122) 2(cid:82)(cid:78)(cid:79)(cid:78)(cid:63)(cid:80)(cid:28)(cid:26)(cid:83)(cid:218)(cid:179)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
C(cid:122)3.14(cid:82)(cid:55)(cid:62)(cid:38)(cid:26)(cid:83)(cid:218)(cid:179)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
2
D(cid:122) (cid:82)(cid:54)(cid:26)(cid:83)(cid:218)(cid:179)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:208)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
3
(cid:189)(cid:212)(cid:10)B(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)1-1(cid:21)(cid:76)2025·(cid:221)(cid:222)·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:77)(cid:7)(cid:227)(cid:228)500(cid:229)(cid:83)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:11)(cid:238)(cid:28)(cid:239)(cid:240)(cid:231)(cid:241)(cid:242)(cid:237)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:181)(cid:246)(cid:112)1
(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:130)(cid:247)(cid:248)(cid:246)(cid:63)(cid:105)(cid:58)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:106)(cid:107)(cid:68)(cid:112)(cid:245)(cid:249)(cid:30)(cid:250)(cid:83)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:92)(cid:26)(cid:255)(cid:131)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:256)(cid:257)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:97)(cid:19)(cid:179)3
(cid:157)(cid:38)(cid:179)4(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) (cid:76)(cid:205)(cid:206)(cid:63)(cid:258)(cid:91)(cid:77)
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)π(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:86)(cid:81)(cid:210)(cid:22)(cid:103)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:143)(cid:117)(cid:68)(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)3< <4(cid:86)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) (cid:76)(cid:205)π(cid:206)(cid:63)(cid:258)(cid:91)(cid:77)(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)1-2(cid:21)π(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:263)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:3)(cid:179) 5(cid:215)(cid:216)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) 5(cid:106)(cid:107)5(cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:81) B(cid:68) 5(cid:63)(cid:117)(cid:73)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:126)(cid:127)(cid:106)(cid:107)
C(cid:68) 5(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:39) (cid:19)(cid:28)(cid:26) D(cid:68) 5(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)D π
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:90)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:28)(cid:3)(cid:178)(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:27)(cid:26)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:109)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)
(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:149)(cid:150)(cid:215)(cid:216)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)A(cid:10) 5(cid:106)(cid:107)5(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:156)(cid:142)(cid:267)(cid:55)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:68)5(cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:112)± 5(cid:83)(cid:189)A(cid:268)(cid:269)(cid:68)
B(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:126)(cid:91)(cid:91)(cid:130)(cid:57)(cid:83) 5(cid:82)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:117)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:126)(cid:106)(cid:107)(cid:83)(cid:189)B(cid:268)(cid:269)(cid:68)
C(cid:10) 5 2.236(cid:83)(cid:156) 3.1416(cid:83)(cid:136) 5< (cid:83)(cid:189)C(cid:268)(cid:269)(cid:68)
D(cid:10) 5(cid:24)≈(cid:177)(cid:106)(cid:107)(cid:112)(cid:96)𝜋(cid:97)≈(cid:52)(cid:26)(cid:98)(cid:39)(cid:83)(cid:157)(cid:82)(cid:24)(cid:62)𝜋 (cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:83)(cid:218)(cid:179)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:189)D(cid:119)(cid:187)(cid:68)
(cid:189)(cid:212)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)1-3(cid:21)(cid:76)2025·(cid:270)(cid:199)(cid:199)(cid:271)·(cid:272)(cid:223)(cid:77)(cid:144)(cid:27)(cid:26)1.414(cid:83) 5(cid:83)0(cid:83)3 9(cid:83) 科(cid:83) 2 A 1 (cid:83)A3 + .1415926(cid:83)1.010010001…((cid:59)
号★ 全 𝜋 2 7
众
公
(cid:273)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)0(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:214)(cid:101)(cid:151)1)(cid:200)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)关(cid:97)注(cid:26)(cid:82) (cid:97)(cid:68) −
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)4
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:83)(cid:276)(cid:277)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:90)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:82)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:83)(cid:69)(cid:70)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:55)(cid:10)(cid:93)(cid:55) (cid:28)(cid:167)(cid:279)(cid:72)(cid:240)(cid:86)(cid:78)(cid:63)(cid:80)(cid:79)(cid:28)(cid:26)(cid:86)(cid:280)(cid:281)(cid:196)(cid:282)(cid:28)(cid:26)(cid:76)(cid:84)
1.010010001…(cid:59)(cid:273)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)0(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:214)(cid:101)(cid:151)1π(cid:77)(cid:83)(cid:188)(cid:183)(cid:143)(cid:117)(cid:190)(cid:31)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 5(cid:83)3 9(cid:83) (cid:83)1.010010001…(cid:76)(cid:59)(cid:273)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)0(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:214)(cid:101)(cid:151)1(cid:77)(cid:82)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)(cid:26)(cid:83)(cid:283)
2
𝜋
−
(cid:252)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:284)4(cid:97)(cid:83)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)4(cid:68)
【题型2 实数的概念理解及其性质】
(cid:15)(cid:133)2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:286)(cid:287)(cid:288)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:253)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:45)(cid:9)(cid:289)(cid:144)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:19)(cid:174)(cid:9)(cid:147)(cid:68)
25(cid:83) (cid:83) 0.31(cid:83) (cid:76)(cid:59)(cid:273)(cid:96)(cid:97)1(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:290)(cid:151)(cid:91)(cid:97)1(cid:77)(cid:83) 3 9(cid:83)
① ②−5𝜋 ③22 ④2.181881888⋯ ⑤
(cid:83) (cid:83) 0(cid:68)
7
⑥(cid:52)(cid:26)−3(cid:10).1 { 4 1 5 9 2 6 ⑦ … ⑧ }(cid:86)
(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10){ …}(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10){ …}(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) (cid:83) (cid:86) (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:86) (cid:83) (cid:83)
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)①(cid:22)(cid:274)⑧(cid:275)(cid:201)①(cid:209)(cid:245)③(cid:27)(cid:26)④(cid:28)(cid:54)(cid:113)⑤(cid:83)(cid:24)⑦(cid:25)(cid:26)⑧(cid:28)(cid:29)②(cid:30)(cid:85)④(cid:291)(cid:292)(cid:126)⑤(cid:83)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:54)(cid:113)(cid:90)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:68)
(cid:81)(cid:210)(cid:52)(cid:26)(cid:122)(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:149)(cid:150)(cid:54)(cid:113)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:52)(cid:26)(cid:10){ (cid:83) …}(cid:86)
(cid:142)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10){ (cid:83) (cid:83)① (cid:83)⑧ (cid:83) (cid:83) …}(cid:86)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10){ ①(cid:83) ③(cid:83) ④…}(cid:68)⑤ ⑦ ⑧
(cid:15)(cid:220)(cid:72)2-1②(cid:21)(cid:76)2④4-25⑤(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:221)(cid:222)(cid:295)(cid:296)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:297)(cid:177)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:109)(cid:120)(cid:27)(cid:26) B(cid:68)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:109)(cid:185)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
C(cid:68) (cid:82)(cid:167)(cid:19)(cid:28)(cid:120)(cid:26) D(cid:68)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:27)(cid:26)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)−1D
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:54)(cid:113)(cid:73)(cid:90)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:54)(cid:113)(cid:73)(cid:90)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:214)(cid:91)(cid:54)(cid:207)(cid:215)(cid:216)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)A(cid:68)(cid:27)(cid:26)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:122)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:109)(cid:155)(cid:68)(cid:267)(cid:73)(cid:298)(cid:54)(cid:113)(cid:268)(cid:269)(cid:83)
科
(cid:189)(cid:183)
A
(cid:212)A(cid:213)+(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:68)
全
号★
B(cid:68)(cid:96)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:109)(cid:117)(cid:105)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:83) 2(cid:36) 2公(cid:28)众(cid:109)(cid:112)0(cid:76)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:83)(cid:267)(cid:73)(cid:298)(cid:297)(cid:177)(cid:268)(cid:269)(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)
注
关
，
源
资
(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:68) 教 辅 −
C(cid:68)(cid:120)(cid:26)(cid:299)(cid:55)(cid:167)(cid:19)(cid:141)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:83) (cid:39) (cid:19)(cid:83)(cid:267)(cid:73)(cid:298)(cid:297)(cid:177)(cid:268)(cid:269)(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:68)
D(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:27)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)−(cid:24)0(cid:25).5(cid:26)(cid:110)−1(cid:111)(cid:112)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:119)(cid:187)(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:68)
(cid:189)(cid:212)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)2-2(cid:21)(cid:51)(cid:203)(cid:297)(cid:177)(cid:119)(cid:187)(cid:28)(cid:55) (cid:68)
(cid:27)(cid:26)(cid:63)(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:300)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86) 2(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:63)(cid:194)(cid:81)(cid:9)(cid:28)(cid:26)(cid:124)(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) (cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:138)
①(cid:91)(cid:126)(cid:124)(cid:130)(cid:57)(cid:91)(cid:97)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:86) 3②(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3(cid:68)③ ④π ⑤
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) / ⑥−
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:81)①(cid:210)⑥(cid:27)⑥(cid:26)①(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:54)(cid:113)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:83)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:28)(cid:93)(cid:50)(cid:214)(cid:91)(cid:54)(cid:207)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:172)(cid:205)(cid:206)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:27)(cid:26)(cid:63)(cid:82)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:300)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:302)(cid:303)(cid:119)(cid:187)(cid:83)(cid:189) (cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
2(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:189) (cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86) ①
(cid:63)(cid:194)(cid:81)(cid:9)(cid:28)(cid:26)(cid:124)(cid:82)②(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:302)(cid:303)(cid:268)(cid:269)(cid:83)(cid:84) (cid:83)(cid:189) (cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:189) (cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86) π ③
π(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:138)(cid:91)(cid:126)(cid:124)④(cid:130)(cid:57)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:189) (cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
⑤3(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3(cid:83)(cid:189) (cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
−(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) (cid:68) ⑥
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:208)①(cid:22)(cid:201)⑥(cid:209)(cid:28)(cid:82)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:54)(cid:113)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:93)(cid:50)(cid:83)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:28)(cid:93)(cid:50)(cid:83)(cid:293)(cid:305)(cid:306)(cid:208)(cid:29)(cid:30)(cid:82)(cid:31)(cid:208)(cid:22)
(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)2-3(cid:21)(cid:76)2025(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:307)(cid:308)·(cid:309)(cid:22)(cid:294)(cid:310)(cid:77)(cid:253)(cid:51)(cid:203)(cid:204)(cid:26)(cid:289)(cid:172)(cid:59)(cid:57)(cid:28)(cid:311)(cid:248)(cid:125)(cid:76)(cid:289)(cid:45)(cid:9)(cid:77)(cid:10)
1
2 3(cid:86) (cid:86) 3 (cid:86) 0.54(cid:86) 0.13(cid:86) (cid:86) 0(cid:86) (cid:86) ( 7) (cid:86) (cid:76)(cid:59)(cid:273)(cid:96)
3 9
π 2
(cid:97)① 2(cid:98)(cid:99)② 0(cid:28)−(cid:97)(cid:26)③(cid:214)(cid:101)−6(cid:151)4(cid:91)(cid:77)④(cid:68) ⑤ ⑥ ⑦ ⑧−23 ⑨ ⑩0.3020020002⋯
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:10) (cid:86)
(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10) (cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)②(cid:209)③(cid:27)④(cid:26)(cid:83)⑤(cid:43)⑦(cid:58)⑧(cid:27)⑨(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)①(cid:149)⑥(cid:150)⑩(cid:214)(cid:91)(cid:54)(cid:113)①(cid:122)④(cid:312)⑤(cid:313)(cid:68)⑥(cid:22)⑨(cid:22)⑩(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)②(cid:276)③(cid:277)⑧(cid:10)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:109)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:110)(cid:111)
(cid:112)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:54)(cid:112)(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:109)(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:73)(cid:90)0(cid:86)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)(cid:314)(cid:24)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:38)科(cid:26)(cid:86)A(cid:52) A (cid:26) + (cid:109)(cid:54)(cid:26)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
全
号★
众
公
注
关
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 3 = (cid:83)( 7) =源7(cid:83)，
资
教
辅2
(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:10) ∵ −64 −4 (cid:86)
∴(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:10) ②③④(cid:86)⑤⑦⑧⑨
(cid:119)(cid:27)(cid:26)(cid:10)①⑥⑩ (cid:86)
(cid:120)(cid:27)(cid:26)(cid:10)①④⑤⑥(cid:68)⑨⑩
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)②(cid:10)③⑧ (cid:86) (cid:86) (cid:86) (cid:68)
【题型3 无 ② 理 ③ 数 ④ 的 ⑤ 估算 ⑦ 】 ⑧⑨ ①⑥⑩ ①④⑤⑥⑨⑩ ②③⑧
(cid:15)(cid:133)3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:286)(cid:88)(cid:315)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:316)(cid:291) 2<| |< 17(cid:83)(cid:157) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:136)(cid:267)(cid:55) (cid:141)(cid:28)(cid:97)(cid:26)(cid:112)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)5 B(cid:68)6 C(cid:68)7 𝑥 D𝑥(cid:68)8 𝑥
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)B
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:28)(cid:82)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:83)(cid:188)(cid:317)(cid:318)(cid:117)(cid:301) 17< < 2(cid:121) 2< < 17(cid:83)(cid:196)(cid:42)
1< 2<2(cid:83)4< 17<5(cid:83) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:170)(cid:156)(cid:117)(cid:301)(cid:205)(cid:206). − 𝑥 − 𝑥
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 2<| |< 1𝑥7(cid:83)
17< <∵ 2(cid:121)𝑥2< < 17(cid:83)
∴− 𝑥 − 𝑥1< 2<2(cid:83)4< 17<5(cid:83) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)
∵ (cid:28)(cid:141)(cid:112) (cid:83) (cid:83) (cid:83)2(cid:83)3𝑥(cid:83)4(cid:86)
∴(cid:267)𝑥 (cid:55) (cid:141)−(cid:28)4(cid:97)(cid:26)−(cid:55)3 6(cid:97)−2(cid:83)
(cid:189)∴ (cid:212)(cid:10)𝑥B(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)3-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:271)(cid:319)(cid:320)(cid:271)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:83) (cid:83) (cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:104)(cid:321)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:83)(cid:136)(cid:105)(cid:106)(cid:107) 3
(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1−
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑑C 𝑐 𝑏 𝑎
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:83)(cid:165)(cid:32)(cid:33)(cid:95) < 3<0(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:26)(cid:37)(cid:301)(cid:172)
< <0= <1< (cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:172)(cid:205)(cid:206)(cid:68) −1 1−
(cid:15)−1(cid:217)(cid:31)𝑏(cid:21)(cid:31)(cid:10) 𝑐 1< 𝑑3< 4(cid:83)
1< 3<2∵(cid:83)
∴ < 3< (cid:83) 全
科AA+
号★
众
公
注
∴ −2<− 3<−01(cid:83) 关
，
源
资
辅
教
(cid:81)∴(cid:210)−(cid:26)1(cid:37)(cid:117)1−(cid:291)(cid:83) < <0= <1< (cid:83)
(cid:136)(cid:105)(cid:106)(cid:107) 3(cid:28)−(cid:82)1 (cid:83)𝑏 𝑐 𝑑
(cid:189)(cid:212)(cid:10)C(cid:68)1− 𝑏
(cid:15)(cid:220)(cid:72)3-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:323)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:325)(cid:326)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:51)(cid:203)(cid:52)(cid:26)(cid:36)3 (cid:167)(cid:327)(cid:191)(cid:28)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68) −67 D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)−5B −4 −3 −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:33)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:81)(cid:210)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:33)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 3 <3 <3 (cid:83)
<3 ∵ <−91(cid:83).125 −67 −64
∴(cid:36)−34.5 (cid:167)(cid:327)−6(cid:191)7(cid:28)(cid:52)−4(cid:26)(cid:82) (cid:83)
(cid:189)∴(cid:212)(cid:10)−B6(cid:68)7 −4
(cid:15)(cid:220)(cid:72)3-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:286)(cid:88)(cid:315)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:144)(cid:26)(cid:11)(cid:200)(cid:83)(cid:328)(cid:252)(cid:117)(cid:73)(cid:186)(cid:129)(cid:329)(cid:99)(cid:32)(cid:47)(cid:177)(cid:32)(cid:33)(cid:91)(cid:97)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:191)(cid:192)
(cid:141)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10)4< 6< 9(cid:83)(cid:143)2< 6<3(cid:83)
∵ 6(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)2(cid:83)
∴ 6(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 6 (cid:68)
(∴1)(cid:190) 17(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:109)−(cid:38)2(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:68)
(2)(cid:316)(cid:291) +2(cid:28)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:82)3(cid:83) + (cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:82)4(cid:83) (cid:82) 12(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:83)(cid:190) + (cid:28)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)5𝑎(1) 17(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)3𝑎4(cid:83) 𝑏(cid:38)−1(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 17 (cid:68) 𝑐 3𝑎−𝑏 𝑐
(2)±4 −4
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:109)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:73)(cid:90)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:330)(cid:331)(cid:22)(cid:103)(cid:276)(cid:277)(cid:59)(cid:3)(cid:29)(cid:30)
(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:79)(cid:177)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:22)(cid:103)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:109)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:190)(cid:95)a(cid:122)b(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:166)(cid:332)(cid:333)(cid:22)(cid:103)(cid:190)(cid:95)c(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:161)(cid:168)(cid:334)(cid:335) + (cid:190)
(cid:336)(cid:141)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:81)(cid:210)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:117)(cid:301)(cid:205)(cid:206)(cid:68) 3𝑎−𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:31)(cid:10)(cid:76)1(cid:77) 16< 17< 25(cid:83)
4< 17<5(cid:83) ∵ 科AA+
全
号★
∴ 17(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)4(cid:83) 公 众
注
关
，
源
资
∴ 17(cid:28)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 17 (cid:68)教 辅
(cid:76)∴ 2(cid:77)(cid:31)(cid:10) +2(cid:28)(cid:158)(cid:79)−4(cid:81)(cid:82)3(cid:83) + (cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:82)4(cid:83)c(cid:82) 12(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:83)
+2=∵35𝑎=27(cid:83) + =43𝑎=𝑏1−6(cid:83)1
3 2
∴5𝑎=5(cid:83) =2(cid:83) 3𝑎 𝑏−1
∴𝑎9< 1𝑏2< 16(cid:83)
∵3< 12<4(cid:83)
∴ 12(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)3(cid:83)
∴ =3(cid:83)
∴𝑐 + = +3=16(cid:83)
∴3𝑎−𝑏+𝑐(cid:28)(cid:159)15(cid:79)−(cid:81)2(cid:82)±4(cid:68)
∴
【
3
题
𝑎−
型
𝑏4 𝑐
实数的性质】
(cid:15)(cid:133)4(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:125)·(cid:337)(cid:338)(cid:198)(cid:339)(cid:340)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83) (cid:83) (cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:26)(cid:83)x(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:112) 3(cid:83)(cid:72)
(cid:240) +( + + ) + + +3 (cid:28)(cid:141)(cid:82) (cid:68)𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
2
(cid:15)𝑥(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑎4±𝑏 3𝑐𝑑 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐𝑑(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:137)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:103)(cid:50)(cid:83)(cid:301)(cid:172)
+ = = =± 3(cid:83)(cid:54) = 3(cid:109) = 3(cid:83)(cid:96)(cid:75)(cid:341)(cid:342)(cid:149)(cid:150)(cid:47)(cid:33)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
𝑎(cid:15)(cid:217)𝑏(cid:31)(cid:21)0(cid:31),𝑐𝑑(cid:10)(cid:188)1(cid:22),𝑥(cid:103)(cid:83)(cid:301)(cid:10) +𝑥 = 𝑥= − =± 3(cid:83)
=3(cid:83) 𝑎 𝑏 0,𝑐𝑑 1,𝑥
2
∴𝑥 +( + + ) + + +3 =3+(0+1)× 3+ 0+3 1=3+ 3+1=4+ 3
2
∴(cid:121)𝑥 +𝑎( +𝑏 +𝑐𝑑 𝑥) + 𝑎 +𝑏 +3𝑐𝑑 =3+(0+1)×( 3)+ 0+3 1= 3+1= 3(cid:86)
2
(cid:189)𝑥(cid:205)(cid:206)(cid:112)𝑎(cid:10)4𝑏± 𝑐3𝑑(cid:68)𝑥 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 − 3− 4−
3
(cid:15)(cid:220)(cid:72)4-1(cid:21)(cid:76)1(cid:77) (cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82)_______(cid:86)
7
(cid:76)2(cid:77)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:124)(cid:112) 5(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:82)_______(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)3 27 (cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82)_____ 3 _ − _(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:82)_______(cid:83)(cid:137)(cid:26)(cid:82)_______(cid:68)
8
7 3 3 2
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(cid:76)1(cid:77) (cid:86)(cid:76)2(cid:77) 5 (cid:86)(cid:76)3(cid:77) (cid:83) (cid:83)
3 2 2 3
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:183)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)−3(cid:35)(cid:83)(cid:158)(cid:79)−(cid:81)(cid:83)(cid:190)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:90)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:119)(cid:187)(cid:25)(cid:31)(cid:204)(cid:49)(cid:50)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)
(cid:278)(cid:68) 科AA+
全
号★
(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:137)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:86) 公 众
注
关
，
源
资
(cid:76)2(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)教(cid:49)辅(cid:50)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:165)(cid:340)(cid:279)3 27 (cid:83)(cid:166)(cid:81)(cid:210)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:122)(cid:137)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
8
3 7
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:76)1(cid:77) (cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) (cid:83)
7 3
7
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) (cid:86)
3
(cid:76)2(cid:77) 5 (cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 5(cid:83)
5 (cid:28)(cid:140)−3(cid:130)(cid:141)(cid:82) 53(cid:83)−
(cid:189)(cid:59)−3(cid:128)(cid:26)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)3(cid:124)−(cid:112) 5(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:82) 5 (cid:83)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) 5 (cid:86) 3− −3
(cid:76)3(cid:77)3 27 = 3 (cid:83) −3
8 2
(cid:189)3 27 (cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 3 (cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:82) 3 (cid:83)(cid:137)(cid:26)(cid:82) 2 (cid:83)
8 2 2 3
3 3−2
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) (cid:83) (cid:83) (cid:68)
2 2 3
−
1
(cid:15)(cid:220)(cid:72)4-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:323)(cid:229)(cid:169)(cid:125)·(cid:343)(cid:344)(cid:345)(cid:346)·(cid:347)(cid:348)(cid:294)(cid:310)(cid:77) 6(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) (cid:83)(cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) (cid:83)| 3 |= (cid:68)
− π −π(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) 6 3/ 3+
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)π(cid:28)(cid:34)(cid:35)π−(cid:83)(cid:24)(cid:25)−(cid:26)(cid:28)(cid:32)π(cid:33)(cid:86)(cid:81)(cid:210)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)“(cid:119)(cid:120)(cid:9)(cid:59)(cid:128)(cid:28)(cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)”(cid:187)(cid:49)
1
6(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:86)(cid:96)(cid:97)(cid:153)(cid:349)(cid:82)1(cid:28)(cid:26)(cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:210)(cid:183)(cid:47)(cid:33) (cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:86)(cid:350)(cid:165)(cid:39)(cid:40) 3(cid:36) (cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:161)(cid:168)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)
(cid:143)−(cid:117)(cid:68) π π
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 6(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:82) 6(cid:83)
1÷ 1 = (cid:83) −
∵ π π
1
(cid:28)(cid:137)(cid:26)(cid:82) (cid:83)
∴π 3< (cid:83) π
∵| 3 π|= 3(cid:68)
∴(cid:189)(cid:205)(cid:206)−π(cid:112)(cid:10) π6−(cid:83) (cid:83) 3(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)4-3(cid:21)(cid:76)24π-25π(cid:259)−(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:351)(cid:352)(cid:286)(cid:78)·(cid:264)(cid:200)(cid:77) 15(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:36) 15(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:109)(cid:85)(cid:179) (cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)0 5− 5−
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:28)(cid:82)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:93)(cid:50)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:165)
科
(cid:190)
A
(cid:31)A+15(cid:28)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:36) 15(cid:28)(cid:140)(cid:130)
全
号★
(cid:141)(cid:83)(cid:166)(cid:203)(cid:72)(cid:190)(cid:109)(cid:143)(cid:117)(cid:68) 公 众 5− 5−
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 15(cid:28)(cid:59)(cid:128)教(cid:26)(cid:112)辅 + 15(cid:83)
15(cid:28)(cid:140)(cid:130)5(cid:141)−(cid:82) 15(cid:83) −5
5− + 15+ 155−=0
(cid:189)∴−(cid:205)5(cid:206)(cid:112)(cid:10)0(cid:68)5−
【题型5 实数与数轴】
(cid:15)(cid:133)5(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:353)(cid:286)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:169)(cid:358)(cid:104)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:27)(cid:26)a(cid:122)b(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:130)(cid:57)(cid:126)(cid:28)(cid:104)(cid:321)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:83)
(cid:340)(cid:279) (cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
2
(𝑎−𝑏) −|𝑎|
A(cid:68)a B(cid:68)b C(cid:68) D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)B 2𝑎−𝑏 𝑏−2𝑎
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:276)(cid:277)(cid:272)(cid:101)(cid:81)(cid:72)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:109)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:68)
(cid:165)(cid:81)(cid:210)(cid:26)(cid:37)(cid:360)(cid:95) <0< (cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:301)(cid:172)| |> (cid:83)(cid:210)(cid:183)(cid:117)(cid:301) <0(cid:83)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:109)(cid:190)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:161)(cid:168)(cid:42)(cid:361)
(cid:164)(cid:113)(cid:213)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:172)𝑎(cid:205)(cid:206)(cid:68) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:188)(cid:26)(cid:37)(cid:117)(cid:291) <0< (cid:83)| |> (cid:83) <0(cid:83)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
( ) | |=( ) ( )= (cid:68)
2
(cid:189)(cid:205) 𝑎− (cid:206) 𝑏 (cid:112)−(cid:10)𝑎 B(cid:68) 𝑏−𝑎 − −𝑎 𝑏
(cid:15)(cid:220)(cid:72)5-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:323)(cid:229)(cid:169)(cid:125)·(cid:222)(cid:362)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:119)(cid:79)(cid:71) (cid:28)(cid:176)(cid:349)(cid:112)3(cid:83)(cid:363)(cid:126) (cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:83)(cid:157)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)
(cid:26)(cid:112)2(cid:83)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:55)(cid:91)(cid:126) (cid:144)(cid:126) (cid:28)(cid:171)(cid:364)(cid:83)(cid:134) = (cid:83)(cid:136)(cid:126)𝐴𝐵(cid:106)𝐶(cid:107)𝐷(cid:28)(cid:26)(cid:112)(cid:76) (cid:77) 𝐴 𝐴
𝐸 𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐸
A(cid:68) 3 B(cid:68) 3 C(cid:68) 3 D(cid:68) 3
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)B 2− − −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:83)(cid:190)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:176)(cid:349)(cid:47)(cid:33)(cid:7)(cid:72)(cid:117)(cid:301) = =
3(cid:83)(cid:166)(cid:81)(cid:210)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:365)(cid:366)(cid:47)(cid:33)(cid:7)(cid:72)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:68) 𝐴𝐸 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) (cid:119)(cid:79)(cid:71) (cid:28)(cid:176)(cid:349)(cid:112)3(cid:83)
科AA+
全
号★
众
公
注
= 3(cid:83) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷 关
，
源
资
辅
教
∴𝐴𝐷= = 3(cid:83)
∴(cid:126)𝐴𝐸 (cid:106)𝐴(cid:107)𝐷(cid:28)(cid:26)(cid:112)2(cid:83)
∵(cid:126)𝐴(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) 3(cid:83)
(cid:189)∴ (cid:212)𝐸(cid:10)B(cid:68) 2−
(cid:15)(cid:220)(cid:72)5-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:221)(cid:286)(cid:367)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:106)(cid:107)2(cid:83) 5(cid:28)(cid:130)(cid:57)(cid:126)(cid:54)(cid:313)(cid:112) (cid:122) (cid:83)(cid:126) (cid:82)
(cid:28)(cid:200)(cid:126)(cid:83)(cid:136)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77) 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴𝐵
𝐴
A(cid:68) 5 B(cid:68) 5 C(cid:68) 5 D(cid:68) 5
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)C 2− 4− 5−
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:26)(cid:37)(cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:83)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:99)(cid:28)(cid:365)(cid:366)(cid:83)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:369)(cid:58)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:28)(cid:26)(cid:106)(cid:107)(cid:96)(cid:126)(cid:99)(cid:28)(cid:365)(cid:366)(cid:68)
(cid:188)(cid:316)(cid:291)(cid:370)(cid:301)(cid:126) (cid:36)(cid:126) (cid:98)(cid:99)(cid:28)(cid:365)(cid:366) (cid:83)(cid:58)(cid:126) (cid:130)(cid:57)(cid:28)(cid:26)(cid:152)(cid:371) (cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)𝐵(cid:144)(cid:26)(cid:37)𝐶 (cid:125)(cid:106)(cid:107)2(cid:122)𝐶5𝐵(cid:28)(cid:130)(cid:57)(cid:126)𝐶(cid:54)(cid:313)(cid:112) (cid:122) (cid:83)𝐶𝐵
= 5 (cid:83)∵ 𝐶 𝐵
∴𝐶𝐵 −2(cid:126) (cid:82) (cid:28)(cid:200)(cid:126)(cid:83)
∵ 𝐶= 𝐴𝐵= 5 (cid:83)
∴(cid:126)𝐴𝐶 (cid:106)𝐶(cid:107)𝐵(cid:28)(cid:26)(cid:82)−22(cid:83)(cid:126) (cid:144)(cid:126) (cid:171)(cid:181)(cid:83)
∵(cid:126)𝐶(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82) 5𝐴 =𝐶 5(cid:83)
∴(cid:189)(cid:212)𝐴(cid:10)C(cid:68) 2− −2 4−
(cid:15)(cid:220)(cid:72)5-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:372)(cid:333)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:316)(cid:291)(cid:126) (cid:83) (cid:82)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:83) =2(cid:83)(cid:126) (cid:144)(cid:126) (cid:28)(cid:173)
(cid:364)(cid:83)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) 2(cid:83)(cid:46)(cid:126) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) (cid:68) 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐴
𝐴 − 𝐵 𝑚
(1)(cid:27)(cid:26) (cid:28)(cid:141)(cid:82)___________(cid:86)
(2)(cid:190)| 𝑚 | | |(cid:28)(cid:141)(cid:86)
(3)(cid:144)(cid:26)𝑚(cid:37)−2(cid:125)−(cid:55)1−(cid:83)𝑚 (cid:96)(cid:126)(cid:54)(cid:313)(cid:106)(cid:107)(cid:27)(cid:26) (cid:109) (cid:83)(cid:157)(cid:55)| +4|(cid:36) (cid:135)(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)(cid:190) + (cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(1) 𝐶2+𝐷2 𝑐 𝑑 2𝑐 𝑑−4 2𝑐 5𝑑
(2)1 −
(3) + (cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:112)4
科AA+
全
号★
众
公
(cid:15)(cid:54)2𝑐(cid:207)(cid:21)5𝑑(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:28)(cid:82)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:83)(cid:142)(cid:120)(cid:26)(cid:28)关(cid:34)注(cid:35)(cid:83)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:93)(cid:50)(cid:85)(cid:291)(cid:292)(cid:126)(cid:68)
，
源
资
辅
教
(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:96)(cid:126)(cid:98)(cid:99)(cid:28)(cid:365)(cid:366)(cid:117)(cid:301)(cid:205)(cid:206)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:188)(cid:26)(cid:37)(cid:117)(cid:291)(cid:10)0< <1(cid:83)(cid:166)(cid:81)(cid:210)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:103)(cid:50)(cid:340)(cid:279)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:142)(cid:120)(cid:26)(cid:28)(cid:34)(cid:35)𝑚(cid:190)(cid:31) = (cid:83) =4(cid:83)(cid:166)(cid:149)(cid:91)(cid:373)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:31)(cid:10) (cid:126)B(cid:144)(cid:26)𝑐(cid:37)(cid:125)−2(cid:126)A𝑑(cid:173)(cid:173)(cid:364)(cid:83)(cid:126)A(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:112) 2(cid:83) =2(cid:83)
= 2+2(cid:86) ∵ − 𝐴𝐵
(cid:76)∴𝑚2(cid:77)(cid:31)−(cid:10)(cid:188)(cid:26)(cid:37)(cid:117)(cid:291)(cid:10)0< <1(cid:83)
<0(cid:83) >0(cid:83) 𝑚
∴𝑚| −2 | | 1−|𝑚= ( )=1(cid:86)
(cid:76)∴ 𝑚3(cid:77)−2(cid:31)−(cid:10)1−| 𝑚+4|2(cid:36)−𝑚− 1(cid:135)−𝑚(cid:112)(cid:59)(cid:128)(cid:26)(cid:83)
| +4|+∵ 2𝑐 =0(cid:83)𝑑−4
∴(cid:374)2|𝑐 +4|(cid:83) 𝑑−4(cid:375)(cid:112)(cid:142)(cid:120)(cid:26)(cid:83)(cid:189) +4=0(cid:157) =0(cid:83)
(cid:143) 2=𝑐 (cid:83) =𝑑−44(cid:83) 2𝑐 𝑑−4
𝑐 +−2=𝑑2×( )+5×4= +20=16(cid:83)
∴2𝑐+5𝑑(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)−(cid:79)2(cid:81)4(cid:68) −4
∴2𝑐 5𝑑【题型6 实数的大小比较】
(cid:15)(cid:133)6(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:262)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:134) =3 7(cid:83) = 5(cid:83) =2(cid:83)(cid:136)a(cid:83)b(cid:83)c(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:3)(cid:178)(cid:112)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) < B(cid:68) < < C𝑎(cid:68) < <𝑏 𝑐 D(cid:68) < <
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑏C≤𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:83)(cid:165)(cid:376)(cid:58)(cid:377)(cid:378)(cid:177)(cid:32)(cid:33)a(cid:83)b(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:166)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:38)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 1<7<8(cid:83)4<5<9(cid:83)
3 1<3 7<3∵8(cid:83) 4< 5< 9(cid:83)
∴(cid:143)1<3 7<2(cid:83)2< 5<3(cid:83)
1< <2(cid:83)2< <3(cid:83)
∴(cid:374) =𝑎2(cid:83) 𝑏
𝑐< < (cid:83)
∴(cid:189)𝑎(cid:212)(cid:10)𝑐C(cid:68)𝑏
(cid:15)(cid:220)(cid:72)6-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:270)(cid:199)(cid:199)(cid:271)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:253)(cid:51)(cid:203)(cid:27)(cid:26)(cid:106)(cid:107)(cid:144)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:122)(cid:361)(cid:39)(cid:40)(cid:283)(cid:252)(cid:28)(cid:19)(cid:38)
(cid:76)(cid:58)“<”(cid:379)(cid:327)(cid:77)(cid:68)
科AA+
全
号★
众
公
8 注
关
16 3 8 源 ，
3 辅 资
教
,− ,−1,
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(cid:70)(cid:31)(cid:207)(cid:83) 8 < <3 8< 16
3
− −1
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:122)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:83)(cid:115)(cid:187)(cid:293)(cid:294)(cid:380)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:381)(cid:172)(cid:204)(cid:26)
(cid:130)(cid:57)(cid:28)(cid:126)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:165)(cid:144)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:381)(cid:172)(cid:204)(cid:26)(cid:130)(cid:57)(cid:28)(cid:126)(cid:83)(cid:382)(cid:383)(cid:26)(cid:37)(cid:143)(cid:117)(cid:39)(cid:40)(cid:283)(cid:252)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 16=4(cid:83)3 8=2(cid:83)
(cid:27)(cid:26)(cid:106)(cid:107)(cid:144)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:10)
(cid:188)(cid:26)(cid:37)(cid:117)(cid:301)(cid:83) 8 < <3 8< 16(cid:68)
3
∴ − −1
(cid:15)(cid:220)(cid:72)6-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:384)(cid:199)(cid:127)(cid:385)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:39)(cid:40)(cid:96)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:10)4 3 25(cid:76)(cid:58)“>”(cid:121)“<”(cid:289)(cid:386)(cid:77)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)>
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:40)(cid:83)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:81)(cid:210)4=3 64(cid:83)3 64>3 25(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:95)(cid:205)(cid:206)(cid:68)(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 4=3 64(cid:83)64>25(cid:83)
3 64>3 25(cid:83)∵
∴4>3 25(cid:83)
(cid:189)∴(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)>(cid:68)
1
(cid:15)(cid:220)(cid:72)6-3(cid:21)(cid:76)2025(cid:387)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:388)(cid:198)(cid:296)(cid:389)·(cid:11)(cid:390)(cid:201)(cid:391)(cid:77)(cid:134) < <0(cid:83)(cid:136) ,3 , (cid:91)(cid:49)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
3
−1 𝑎 𝑎,𝑎 𝑎𝑎
1 1 1
A(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83) (cid:167)(cid:19)B(cid:68)3 (cid:167)(cid:38)(cid:83)a(cid:167)(cid:19) C(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83)a(cid:167)(cid:19) D(cid:68) (cid:167)(cid:38)(cid:83)3 (cid:167)(cid:19)
3
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑎
A
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:83)(cid:212)(cid:392)(cid:91)(cid:97)(cid:42)(cid:162)(cid:28)(cid:26)(cid:334)(cid:335)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:83)(cid:144)(cid:267)(cid:393)(cid:28)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:212)(cid:392)(cid:91)(cid:97)(cid:394)(cid:395)
(cid:28)(cid:26)(cid:334)(cid:335)(cid:168)(cid:39)(cid:40)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21) < <0,
(cid:117)(cid:255) ∵−1 (cid:83) 𝑎 (cid:396)(cid:397) = 3 = 1 =
3
∴𝑎 −0.001 𝑎 −0.000000001, 𝑎 −0.1,𝑎 −1000,
1
(cid:167)(cid:38)(cid:83) (cid:167)(cid:19)(cid:68)
(cid:189)∴(cid:212)𝑎 (cid:10)A(cid:68)𝑎
3 科AA+
全
号★
众
公
注
【题型7 实数的混合运算】 源 ， 关
资
辅
教
(cid:15)(cid:133)7(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:221)(cid:286)(cid:246)(cid:398)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:47)(cid:33)(cid:10)2 +| 6| ( ) (cid:68)
3 2
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)3+ 6 2− − −3
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:165)(cid:33)(cid:153)(cid:79)(cid:122)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:122)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:33)(cid:151)(cid:152)(cid:177)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)2 +| 6| ( )
3 2
2− − −3
=8+ 6
=3+ 6−(cid:68)2−3
(cid:15)(cid:220)(cid:72)7-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:399)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:47)(cid:33)(cid:10)( ) | 2|+ 8= (cid:68)
2025
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) 2 −1 − 1−
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:165)(cid:33)(cid:153)(cid:79)(cid:83)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:83)(cid:272)(cid:101)(cid:81)(cid:72)(cid:83)(cid:166)(cid:33)(cid:151)(cid:152)(cid:143)(cid:117)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:43)(cid:33)
(cid:177)(cid:136)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:298)(cid:72)= ( 2 )+2 2
= 2+1+2 2 −1− −1
=−12−(cid:68)(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) 2(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)7-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:262)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77) 9+| 2|×( ) 3 125= (cid:68)
2024
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) 2 / + 2 1− −1 −
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)−3(cid:274)−(cid:275)3(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:122)(cid:153)(cid:79)(cid:122)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:90)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:254)(cid:92)(cid:26)(cid:11)(cid:29)(cid:30)(cid:28)(cid:49)
(cid:50)(cid:109)(cid:34)(cid:35)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:208)(cid:22)(cid:400)(cid:275)(cid:54)(cid:313)(cid:81)(cid:210)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:122)(cid:153)(cid:79)(cid:122)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:214)(cid:373)(cid:340)(cid:279)(cid:72)(cid:240)(cid:200)
(cid:28)(cid:204)(cid:213)(cid:83)(cid:161)(cid:168)(cid:116)(cid:333)(cid:43)(cid:33)(cid:163)(cid:45)(cid:149)(cid:150)(cid:47)(cid:33)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:298)(cid:72)=3+( 2 ×
=3+ 2 −1) 1−5
= 2 −1−5
(cid:189)(cid:205)(cid:206)−3(cid:112)(cid:10) 2 (cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)7-3(cid:21)(cid:76)−234-25(cid:323)(cid:229)(cid:169)(cid:125)·(cid:285)(cid:286)(cid:88)(cid:315)·(cid:347)(cid:348)(cid:294)(cid:310)(cid:77)(cid:144)(cid:91)(cid:101)“(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:404)”(cid:200)(cid:83)(cid:405)(cid:406)(cid:38)(cid:407)(cid:109)(cid:38)(cid:408)(cid:119)(cid:144)(cid:284)(cid:164)(cid:409)(cid:242)(cid:410)
(cid:411)“(cid:412)(cid:413)”(cid:68)(cid:250)(cid:252)(cid:91)(cid:414)(cid:415)(cid:416)(cid:417)(cid:418)(cid:83)(cid:419)(cid:179)(cid:127)(cid:172)(cid:245)“(cid:412)(cid:413)”(cid:267)(cid:144)(cid:28)“(cid:410)(cid:411)(cid:420)(cid:421)”(cid:68)(cid:161)(cid:156)(cid:83)(cid:250)(cid:252)(cid:422)(cid:172)(cid:245)(cid:91)(cid:97)(cid:423)(cid:22)(cid:83)“(cid:412)(cid:413)”
(cid:28)(cid:104)(cid:321)(cid:188)(cid:27)(cid:26)x(cid:424)(cid:49)(cid:83)(cid:157)(cid:425)(cid:426)(cid:79)(cid:44)| |= 5(cid:68)
(cid:38)(cid:407)(cid:427)(cid:428)(cid:380)(cid:297)(cid:10)“(cid:328)(cid:429)(cid:301)x(cid:28)(cid:141)(cid:57)(cid:430)𝑥(cid:82)−33+ 5(cid:86)” 科AA+
全
号★
(cid:38)(cid:408)(cid:431)(cid:201)(cid:432)(cid:433)(cid:168)(cid:297)(cid:434)(cid:10)“(cid:63)(cid:130)(cid:83)(cid:328)(cid:429)(cid:301)(cid:185)(cid:55)(cid:117)(cid:105)(cid:82)(cid:435)公(cid:91)(cid:97)众(cid:141)(cid:68)”
注
关
，
源
资
(cid:396)(cid:397)(cid:38)(cid:408)(cid:267)(cid:297)(cid:28)(cid:435)(cid:91)(cid:97)(cid:141)(cid:82)教(cid:76) 辅 (cid:77)
A(cid:68) 5 B(cid:68) + 5
C(cid:68)3− 5 D(cid:68)−(cid:73)3(cid:125)(cid:124)(cid:63)(cid:130)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)−3A−
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:183)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:190)(cid:31)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) | |= 5(cid:83)
=± 5(cid:83)∵ 𝑥−3
∴𝑥−=33+ 5(cid:121) = 5(cid:83)
∴(cid:38)𝑥 (cid:408)(cid:267)(cid:297)(cid:28)(cid:435)𝑥(cid:91)(cid:97)3(cid:141)−(cid:82) 5(cid:68)
(cid:189)∴ (cid:212)(cid:10)A(cid:68) 3−
【题型8 程序设计与实数运算】
(cid:15)(cid:133)8(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:222)(cid:362)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:82)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:141)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:76)| |<25(cid:77)
𝑥(1)(cid:193)(cid:439)(cid:335)(cid:28)x(cid:112) (cid:195)(cid:83)(cid:439)(cid:95)(cid:28)y(cid:141)(cid:82)______(cid:86)
(2)(cid:134)(cid:439)(cid:335)(cid:27)(cid:26)x−(cid:168)1(cid:83)4(cid:440)(cid:419)(cid:439)(cid:63)(cid:95)y(cid:141)(cid:83)(cid:136)(cid:267)(cid:55)(cid:425)(cid:426)(cid:275)(cid:190)(cid:28)x(cid:28)(cid:141)(cid:112)______(cid:86)
(3)(cid:134)(cid:439)(cid:95)(cid:28)y(cid:82) 5(cid:83)(cid:190)x(cid:28)(cid:120)(cid:52)(cid:26)(cid:141)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(1) 2(cid:86)
(2)1(cid:83)2(cid:83)3(cid:86)
(3) (cid:121) (cid:68)
(cid:15)(cid:54)−3(cid:207)(cid:21)−(cid:208)23(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:336)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:36)(cid:27)(cid:26)(cid:49)(cid:50)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:76)1(cid:77)(cid:188)(cid:22)(cid:103)(cid:376)(cid:58)(cid:441)(cid:322)(cid:200)(cid:28)(cid:33)(cid:177)(cid:83)(cid:355)(cid:327)(cid:47)(cid:33)(cid:190)(cid:141)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:81)(cid:210)0(cid:109)1(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:82)(cid:283)(cid:208)(cid:442)(cid:83)(cid:187)(cid:49)| |(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:190)(cid:301) (cid:28)(cid:141)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:188) (cid:82) 5(cid:443)(cid:360)| |(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:190)(cid:301) (cid:28)(cid:141)(cid:143)𝑥(cid:117)−2(cid:68) 𝑥
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)𝑦(cid:76)1(cid:77)(cid:31)(cid:10)(cid:193)𝑥−2= (cid:195)(cid:83)| |𝑥=| |=16(cid:83) 16=4(cid:83) 4=2(cid:83) 2(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)
(cid:193)(cid:439)(cid:335)(cid:28) (cid:112) (cid:195)(cid:83)𝑥 (cid:439)−(cid:95)1(cid:28)4 (cid:141)(cid:82)𝑥−22(cid:86) −14−2
∴(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)𝑥2(cid:86)−14 𝑦
(cid:76)2(cid:77) 0(cid:109)1(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:82)(cid:283)(cid:208)(cid:442)(cid:83) 科AA+
全
号★
| ∵|=0(cid:83) 公 众
注
关
，
源
资
(cid:31)∴ 𝑥(cid:301)−2=2(cid:83) 教 辅
|𝑥 |=1(cid:83)
(cid:31)∵(cid:301)𝑥−=23(cid:121) =1(cid:83)
(cid:267)𝑥(cid:55)(cid:425)(cid:426)(cid:275)𝑥(cid:190)(cid:28) (cid:28)(cid:141)(cid:112)1(cid:83)2(cid:83)3(cid:86)
∴(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)1(cid:83)2(cid:83)3𝑥(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:134)(cid:444)1(cid:101)(cid:43)(cid:33)(cid:82) 5(cid:83)
( 5) =5(cid:83)
2
∴| |=5(cid:83)
(cid:31)∴ 𝑥(cid:301)−2=7(cid:121) = (cid:83)
(cid:112)𝑥(cid:120)(cid:52)(cid:26)𝑥(cid:83) −3
∵ (cid:439)𝑥 (cid:335)(cid:28) (cid:141)(cid:112) (cid:86)
∴(cid:134)(cid:444)2(cid:101)(cid:43)𝑥 (cid:33)(cid:82)−35(cid:83)
( 5) =5(cid:83)5 =25(cid:83)
2
2
∴| |=25(cid:83)
∴(cid:31)𝑥(cid:301)−2=27(cid:121) = (cid:83)
(cid:112)𝑥(cid:120)(cid:52)(cid:26)(cid:83)𝑥 −23
∵ (cid:439)𝑥 (cid:335)(cid:28) (cid:141)(cid:112) (cid:83)
∴| |<25𝑥(cid:83) −23
∴ 𝑥(cid:28)(cid:120)(cid:52)(cid:26)(cid:141)(cid:375)(cid:112) (cid:121) (cid:68)
(cid:15)∴𝑥(cid:220)(cid:72)8-1(cid:21)(cid:76)23-2−43(cid:323)(cid:229)−(cid:169)23(cid:125)·(cid:445)(cid:446)(cid:398)(cid:447)(cid:448)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:116)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:83)(cid:105)(cid:449)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)2(cid:28)(cid:82)(cid:76)(cid:450)(cid:450)(cid:77)
A(cid:68) =2(cid:83) =2 B(cid:68) = 5(cid:83) = C(cid:68) = 5(cid:83) =1 D(cid:68) = (cid:83) =
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑥 D 𝑦 𝑥 𝑦 −1 𝑥 − 𝑦 𝑥 −2 𝑦 −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:190)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:212)(cid:213)(cid:200) (cid:83) (cid:28)(cid:141)(cid:83)(cid:212)(cid:392)(cid:130)(cid:57)(cid:28)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:83)(cid:361)(cid:451)x(cid:83)y(cid:28)(cid:141)
(cid:334)(cid:335)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:149)(cid:150)(cid:190)(cid:141)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:95)(cid:196)(cid:359)(cid:68)(cid:25)(cid:31)(cid:22)(cid:103)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:439)(cid:335)(cid:28)𝑥(cid:83)𝑦(cid:28)(cid:141)科(cid:212)A(cid:392)(cid:130) A (cid:57) + (cid:28)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:82)(cid:31)(cid:424)(cid:452)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
全
号★
众
公
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)A(cid:68)(cid:193) =2(cid:83) =2(cid:195)(cid:83)(cid:188)(cid:179) 关= 注(cid:83)(cid:136)(cid:439)(cid:95)(cid:28)𝑥(cid:196)(cid:359)𝑦(cid:112)(cid:10) + =2 +2=6(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)
，
源
资
教 辅 2 2
(cid:22)(cid:103)(cid:86) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
B(cid:68)(cid:193) = 5(cid:83) = (cid:195)(cid:83)(cid:188)(cid:179) > (cid:83)(cid:136)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:10) = 5 ( )=6(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
2
2
𝑥 𝑦 −1 𝑥 𝑦 𝑥 −𝑦 − −1
C(cid:68)(cid:193)(cid:439)(cid:335) = 5(cid:83) =1(cid:195)(cid:83)(cid:188)(cid:179) < (cid:83)(cid:136)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:10) + = 5 +1=6(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)
2
2
(cid:103)(cid:86) 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 −
D(cid:68)(cid:193) = (cid:83) = (cid:195)(cid:83)(cid:188)(cid:179) = (cid:83)(cid:136)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:10) + =( ) +( )=2(cid:83)(cid:189)(cid:183)(cid:212)(cid:213)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:68)
2 2
(cid:189)(cid:212)(cid:10)𝑥D(cid:68)−2 𝑦 −2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 −2 −2
(cid:15)(cid:220)(cid:72)8-2(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:324)(cid:17)(cid:399)(cid:368)·(cid:347)(cid:348)(cid:294)(cid:310)(cid:77)(cid:144)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:200)(cid:83)(cid:439)(cid:335) (cid:28)(cid:141)(cid:82)64(cid:195)(cid:83)(cid:439)(cid:95)(cid:28)
(cid:141)(cid:82) (cid:68) 𝑥
𝑦
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21) 2(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:122)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:190)(cid:141)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:44)(cid:45)(cid:441)(cid:322)(cid:47)(cid:33)(cid:83)(cid:355)(cid:453)(cid:196)(cid:359)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:143)
(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:439)(cid:335)x(cid:28)(cid:141)(cid:82)64(cid:195)(cid:83)
(cid:136) 64=8(cid:83)
(cid:396)(cid:397)3 8=2(cid:83)
(cid:454)(cid:183)2(cid:28)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:112) 2(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:439)(cid:95)y(cid:28)(cid:141)(cid:83)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10) 2(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)8-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:384)(cid:17)(cid:384)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:55)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:141)(cid:436)(cid:437)(cid:438)(cid:83)(cid:46)(cid:49)(cid:28)(cid:439)(cid:335)(cid:141)(cid:112)0(cid:172)100(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:455)(cid:44)
(cid:84)(cid:322)(cid:86)(cid:193)(cid:439)(cid:95) (cid:141)(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:439)(cid:335)(cid:28)x(cid:141)(cid:82) (cid:68)
𝑦
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)2(cid:121)64
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:190)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:190)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)科(cid:81)A(cid:210) A (cid:22)(cid:103) + (cid:117)(cid:301)(cid:456)(cid:55)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)
全
号★
众
公
注
关
(cid:359)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:457)(cid:369)(cid:82) 2(cid:86)源(cid:193)，(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:168)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:136) =( 2) =2(cid:86)(cid:193)
资
教 辅 2
(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:168)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:396)(cid:397)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:134)(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:255)(cid:33)𝑥(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)
(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:136)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)( 2) =2(cid:83)(cid:136)(cid:117)(cid:360)(cid:95)x(cid:28)(cid:141)(cid:86)(cid:134)(cid:444)(cid:211)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:117)(cid:360)(cid:95)
2
(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)8 =512(cid:83)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:83)(cid:210)(cid:183)(cid:117)(cid:301)(cid:205)(cid:206)(cid:68)
3
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) (cid:134)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:168)(cid:267)(cid:301)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:396)(cid:397)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:63)(cid:117)(cid:105)(cid:112) 2(cid:83)
(cid:456)(cid:55)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:82)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:439)(cid:95)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:457)(cid:369)(cid:82) 2(cid:86)
∴
(cid:193)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:168)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:136) =( 2) =2(cid:86)
2
(cid:193)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:168)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:195)(cid:83)(cid:396)(cid:397)𝑥 (cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:83)
(cid:134)(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:136)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)( 2) =2(cid:83)
2
(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)2 =8(cid:83)
3
∴ =8 =64(cid:86)
2
∴𝑥
(cid:134)(cid:444)(cid:211)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112) 2(cid:195)(cid:83)(cid:136)(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)( 2) =2(cid:83)
2
(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:255)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)2 =8(cid:83)(cid:136)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:255)(cid:158)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112)8 =512(cid:83)(cid:63)(cid:219)(cid:42)(cid:22)(cid:103)(cid:86)
3 3
∴(cid:458)(cid:125)(cid:267)(cid:303)(cid:83) =2(cid:121) =64(cid:83)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)𝑥2(cid:121)64(cid:68)𝑥
【题型9 新定义下的实数运算】
1 1 1 1
(cid:15)(cid:133)9(cid:21)(cid:328)(cid:252)(cid:253) (cid:111)(cid:112)(cid:55)(cid:25)(cid:26) ( 1)(cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:83)(cid:84)(cid:10)2(cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:82) = (cid:83)-2(cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:82) = (cid:68)(cid:84)
( ) 3
1−𝑎 𝑎 𝑎≠ 1−2 −1 1− −2
(cid:359) = (cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:83) (cid:82) (cid:28)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:83)…(cid:83)(cid:100)(cid:183)(cid:113)(cid:360)(cid:83)(cid:396)(cid:397) + + +
𝑎1 −3 +𝑎2 𝑎1(cid:28)(cid:141)(cid:82)(cid:76) (cid:77)𝑎3 𝑎2 𝑎4 𝑎3 𝑎1−𝑎2 𝑎3−𝑎4 ⋯⋯
𝑎202 A 3 (cid:68) −𝑎2 1 0 3 24 𝑎2025 B(cid:68) C(cid:68) 11 D(cid:68) 23
12 4 12
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)−
D
−3 −
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:81)(cid:210)(cid:459)(cid:137)(cid:26)(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:47)(cid:33)(cid:228)(cid:74)(cid:213)(cid:243)(cid:244)(cid:26)(cid:203)(cid:460)(cid:244)(cid:88)(cid:264)(cid:34)(cid:64)(cid:65)(cid:83)(cid:88)(cid:264)(cid:112)3(cid:461)(cid:149)(cid:91)(cid:373)(cid:54)(cid:207)(cid:219)(cid:9)(cid:462)(cid:463)(cid:60)(cid:61)(cid:83)
23 23
(cid:187)(cid:49)(cid:123)(cid:211)(cid:97)(cid:213)(cid:28)(cid:109)(cid:462)(cid:463)(cid:112) (cid:109) (cid:83)(cid:182)(cid:213)(cid:26)(cid:112)2025(cid:83)(cid:117)(cid:52)(cid:154)(cid:88)(cid:264)3(cid:83)(cid:301)(cid:172)(cid:182)(cid:109)(cid:28)(cid:106)(cid:234)(cid:72)(cid:68)
12 12
(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:55)(cid:25)(cid:26)−(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:47)(cid:33)(cid:83)(cid:64)(cid:65)(cid:464)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:49)(cid:50)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)1. (cid:47)(cid:33)(cid:26)(cid:203)(cid:228)(cid:74)(cid:213)(cid:10)
= (cid:83) = 1 = 1 (cid:83) = 1 = 4 (cid:83) = 1 = 全
科AA+
( ) 4 1 3 4 号★
4 公3 众
注
𝑎1 −3 𝑎2 1− −3 𝑎3 1− ，𝑎关4 1− −3
(cid:188)(cid:183)(cid:117)(cid:291)(cid:83)(cid:64)(cid:65)(cid:464)(cid:112)3(cid:10) 1 , 4 (cid:68)辅 资 源
教43
2. (cid:54)(cid:207)(cid:219)(cid:9)(cid:462)(cid:463)(cid:60)(cid:61)(cid:10) −3,
(cid:106)(cid:234)(cid:72)(cid:112) + + + + (cid:83)(cid:219)(cid:9)(cid:116)+ + (cid:462)(cid:463)(cid:461)(cid:123)(cid:211)(cid:97)(cid:213)(cid:112)(cid:91)(cid:465)(cid:83)(cid:219)(cid:9)(cid:223)
(cid:72)(cid:100)(cid:101)(cid:112)𝑎+1−𝑎2+(cid:109)𝑎3−+𝑎4 (cid:83)⋯(cid:130)⋯(cid:57)(cid:28)𝑎2(cid:109)02(cid:54)3−(cid:313)𝑎2(cid:112)02(cid:10)4 𝑎2025 ,−, ,−,⋯
(cid:444)(cid:91)(cid:465)(cid:10) ,−, + −, = ,− 1 + 4 = 23 (cid:83)
4 3 12
𝑎1−𝑎2 𝑎3 −3− −
(cid:444)(cid:272)(cid:465)(cid:10) + =3+ 1 4 = 23 (cid:83)
4 3 12
−𝑎4 𝑎5−𝑎6 −
(cid:123)(cid:96)(cid:465)(cid:76)6(cid:213)(cid:77)(cid:28)(cid:109)(cid:112) 23 + 23 =0(cid:83)(cid:466)(cid:182)(cid:213)(cid:26)2025(cid:112)(cid:467)(cid:26)(cid:97)(cid:88)(cid:264)(cid:76)675(cid:465)(cid:77)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:91)(cid:465)(cid:112)(cid:467)(cid:26)(cid:465)(cid:83)(cid:109)(cid:112) 23 (cid:68)
12 12 12
3. (cid:47)(cid:33)(cid:182)(cid:109)(cid:10) − −
23 23
(cid:182)(cid:465)(cid:26)2025÷3=675(cid:465)(cid:83)(cid:467)(cid:26)(cid:465)(cid:76)338(cid:465)(cid:77)(cid:109)(cid:112) (cid:83)(cid:468)(cid:26)(cid:465)(cid:76)337(cid:465)(cid:77)(cid:109)(cid:112) (cid:83)(cid:182)(cid:109)(cid:112)(cid:10)
12 12
23 23 23 −
338× +337× =
12 12 12
(cid:189)(cid:212)(cid:10)D−(cid:68) −
(cid:15)(cid:220)(cid:72)9-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:270)(cid:199)(cid:469)(cid:470)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:244)(cid:130)(cid:27)(cid:26) (cid:83) (cid:49)(cid:50)(cid:91)(cid:75)(cid:43)(cid:33)(cid:10) ※ = (cid:83)(cid:136) 4※3 (cid:85)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏−𝑏 −8(cid:179)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68) B(cid:68) C(cid:68)2 D(cid:68)6
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)−6B −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:183)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:276)(cid:277)(cid:60)(cid:49)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:79)(cid:177)(cid:82)(cid:31)(cid:424)(cid:452)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:393)(cid:95)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:79)(cid:177)(cid:253)(cid:72)(cid:240)
(cid:436)(cid:340)(cid:112)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:149)(cid:91)(cid:373)(cid:47)(cid:33)(cid:301)(cid:95)(cid:205)(cid:206)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) ※ = (cid:83)
4※3 =∵2𝑎※(𝑏 )𝑎=𝑏2−𝑏×( ) ( )= (cid:68)
(cid:189)∴ (cid:212)B(cid:68)−8 −2 −2 − −2 −2
(cid:15)(cid:220)(cid:72)9-2(cid:21)(cid:76)23-24(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:471)(cid:286)(cid:472)(cid:407)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:58)“*”(cid:106)(cid:107)(cid:91)(cid:75)(cid:48)(cid:43)(cid:33)(cid:10)(cid:130)(cid:179)(cid:138)(cid:103)(cid:119)(cid:27)(cid:26)a(cid:83)b(cid:124)(cid:55) =
+ (cid:68)(cid:133)(cid:84)4 9= 9+4=7(cid:83)(cid:396)(cid:397)15 64= (cid:68) 𝑎∗𝑏 𝑏
(cid:15)𝑎(cid:205)(cid:206)(cid:21)23 ∗ ∗
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:276)(cid:277)(cid:316)(cid:291)(cid:48)(cid:43)(cid:33)(cid:177)(cid:136)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:316)(cid:291)(cid:48)(cid:43)(cid:33)(cid:83)
(cid:165)(cid:47)(cid:33)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:83)(cid:166)(cid:47)(cid:33)(cid:151)(cid:177)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)15 64= 64+15=8+15=23(cid:83) 科AA+
全
号★
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)23(cid:68) ∗ 公 众
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:220)(cid:72)9-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)教(cid:51)·辅(cid:221)(cid:222)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:169)(cid:358)(cid:104)·(cid:347)(cid:348)(cid:294)(cid:310)(cid:77)(cid:328)(cid:252)(cid:253) ={ }(cid:66)(cid:473)(cid:42)M(cid:83)(cid:336)(cid:200)1(cid:83)3(cid:83)x
(cid:66)(cid:67)(cid:473)(cid:42)M(cid:28)(cid:227)(cid:474)(cid:68)(cid:473)(cid:42)(cid:200)(cid:28)(cid:227)(cid:474)(cid:394)(cid:55)(cid:187)(cid:49)(cid:34)(cid:76)(cid:84)x(cid:475)(cid:161)(cid:476)(cid:144)(cid:77)(cid:83)(cid:135)(cid:477)𝑀(cid:34)(cid:76)(cid:84)1,3,𝑥 1(cid:83) 3(cid:77)(cid:83)(cid:24)(cid:45)(cid:34)(cid:76)(cid:143)
(cid:478)(cid:220)(cid:227)(cid:474)(cid:28)(cid:163)(cid:45)(cid:83)(cid:473)(cid:42)(cid:63)(cid:220)(cid:77)(cid:68)(cid:134)(cid:473)(cid:42) ={ }(cid:83)(cid:328)(cid:252)(cid:297) = (cid:68)(cid:316)(cid:291)(cid:473)(cid:42) 𝑥=≠{0,| 𝑥| ≠}(cid:83)(cid:473)(cid:42) =
(cid:83)(cid:134) = (cid:83)(cid:136) + (cid:28)(cid:141)(cid:82)𝑁(cid:76) (cid:77)𝑥,1,3 𝑀 𝑁 𝐴 𝑥 ,𝑦 𝐵
𝑥,𝑥A𝑦(cid:68), 𝑥4−𝑦 𝐴 𝐵B(cid:68)2𝑥 𝑦 C(cid:68)0 D(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)D −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:28)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:122)(cid:334)(cid:26)(cid:72)(cid:190)(cid:141)(cid:122)(cid:33)(cid:266)(cid:159)(cid:79)(cid:81)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:83)(cid:196)(cid:42)(cid:316)(cid:291)(cid:317)(cid:318)(cid:190)(cid:95) (cid:28)(cid:141)(cid:82)
(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:81)(cid:210)(cid:473)(cid:42)(cid:28)(cid:135)(cid:477)(cid:34)(cid:117)(cid:301)| | 0(cid:83) 0(cid:83)(cid:360)(cid:95) =0(cid:83)(cid:301)(cid:172) = (cid:83)(cid:166)(cid:81)(cid:210) = (cid:31)𝑥,𝑦(cid:95) (cid:28)(cid:141)
(cid:143)(cid:117)(cid:31)(cid:205)(cid:68) 𝑥 ≠ 𝑦≠ 𝑥−𝑦 𝑥 𝑦 𝐴 𝐵 𝑦
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:188)(cid:473)(cid:42) (cid:28)(cid:135)(cid:477)(cid:34)(cid:117)(cid:301)| | 0(cid:83) 0(cid:83)
0(cid:83) 0(cid:83) 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦≠
∴𝑥(cid:473)≠(cid:42) (cid:200)𝑥(cid:28)𝑦(cid:227)≠(cid:474) =0(cid:83)
∴ 𝐵=0(cid:83)(cid:143) =𝑥−(cid:83)𝑦
(cid:374)∴𝑥−𝑦= (cid:83) 𝑥 𝑦
∵𝐴 𝐵=| |>0(cid:83)
∴𝑥𝑦(cid:109) (cid:124)𝑥(cid:112)(cid:120)(cid:26)(cid:83)
∴𝑥 =𝑦 (cid:83)
(cid:374)∴𝑥𝑦 −0𝑥(cid:83)
∵=𝑥≠ (cid:83)
∴𝑦= −1= (cid:83)
∴𝑥+ 𝑦= −1+( )= (cid:68)
(cid:189)∴(cid:212)𝑥 (cid:10)𝑦D(cid:68)−1 −1 −2
【题型10 无理数整数部分的有关计算】
(cid:15)(cid:133)10(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:271)(cid:319)(cid:271)(cid:446)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:479)(cid:286)(cid:82)(cid:200)(cid:308)(cid:230)(cid:251)(cid:376)(cid:58)(cid:480)(cid:481)(cid:482)(cid:288)(cid:28)(cid:91)(cid:75)(cid:314)(cid:286)(cid:483)(cid:394)(cid:83)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:479)(cid:286)(cid:28)
(cid:71)(cid:484)(cid:485)(cid:91)(cid:253)(cid:486)(cid:487)(cid:83)(cid:283)(cid:28)(cid:246)(cid:488)(cid:36)(cid:167)(cid:19)(cid:489)(cid:488)(cid:98)(cid:39)(cid:112) 26 (cid:83)(cid:134) 26 (cid:490)(cid:179)(cid:96)(cid:97)(cid:379)(cid:491)(cid:52)(cid:26)n(cid:109) +1(cid:98)(cid:99)(cid:83)(cid:136)n(cid:28)
(cid:141)(cid:82) (cid:68) −1 −1 𝑛
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)4 教 辅
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:83)(cid:165)(cid:32)(cid:33)(cid:95)5< 26<6(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:172)4< 26 <5(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:31)(cid:205)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 25<26<36(cid:83) −1
25< 26<∵ 36(cid:83)(cid:143)5< 26<6(cid:83)
∴4< 26 <5(cid:83)
∴(cid:24)(cid:25)(cid:26) −261 (cid:28)(cid:141)(cid:490)(cid:179)(cid:96)(cid:97)(cid:379)(cid:491)(cid:52)(cid:26) (cid:109) +1(cid:98)(cid:99)(cid:83)
∵ =4(cid:83) −1 𝑛 𝑛
(cid:189)∴(cid:205)𝑛 (cid:206)(cid:112)4(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)10-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:222)(cid:492)(cid:324)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:451)(cid:246)(cid:112)8(cid:83)(cid:489)(cid:112)4(cid:28)(cid:246)(cid:79)(cid:71)(cid:493)(cid:432)(cid:54)(cid:494)(cid:108)3(cid:97)(cid:211)(cid:247)(cid:71)
(cid:168)(cid:83)(cid:495)(cid:496)(cid:497)(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:136)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:167)(cid:327)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77)
A(cid:68)4 B(cid:68)5 C(cid:68)6 D(cid:68)7(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)C
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:122)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:177)(cid:136)(cid:83)(cid:165)(cid:376)(cid:58)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:176)(cid:349)(cid:7)(cid:72)(cid:190)(cid:95)(cid:19)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:181)(cid:246)(cid:83)
(cid:166)(cid:376)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:122)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:177)(cid:136)(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:177)(cid:136)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)(cid:188)(cid:22)(cid:103)(cid:301)(cid:83)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:176)(cid:349)(cid:112)4×8=32(cid:83)
(cid:181)(cid:246)(cid:112) 32(cid:83)
∴ 5.5 < 32< 36(cid:83)
2
∵5.5< 32<6(cid:83)
∴(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:167)(cid:327)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:82)6(cid:83)
∴(cid:189)(cid:212)(cid:10)C(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)10-2(cid:21)(cid:76)23-24(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:222)(cid:498)(cid:326)·(cid:264)(cid:265)(cid:77)(cid:134) 6+ 5(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)m(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)n(cid:83)(cid:136)| |(cid:112)
(cid:76) (cid:77) 𝑛−𝑚
A(cid:68) 5 B(cid:68) 5 C(cid:68) 5 D(cid:68)8
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)B−10 10− −2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:183)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:83)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:83)(cid:165)(cid:81)(cid:210)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)
科
(cid:33)
A
(cid:190)A(cid:95)+= =6+ 5 = 5 (cid:83)
全
号★
(cid:166)(cid:340)(cid:279)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:143)(cid:117). 公 众 𝑚 8,𝑛 −8 −2
注
关
，
源
资
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10) 4<5<9 教 辅
2< 5<3 ∵
∴8<6+ 5<9
∴ = =6+ 5 = 5 (cid:83)
∴𝑚| 8|,𝑛=| 5 −|8=| 5−2 |= 5(cid:83)
∴(cid:189)𝑛(cid:212)−(cid:10)𝑚B −2−8 −10 10−
(cid:15)(cid:220)(cid:72)10-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:271)(cid:319)(cid:499)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:500)(cid:501)(cid:502)(cid:503)(cid:10)(cid:91)(cid:97)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)(cid:63)(cid:19)(cid:179)(cid:254)(cid:97)(cid:26)(cid:28)(cid:167)(cid:19)(cid:52)
(cid:26)(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)(cid:254)(cid:97)(cid:26)(cid:36)(cid:283)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:459)(cid:28)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10)1.4(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)1(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)
=0.4(cid:86) 3(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)1(cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) 3 (cid:86)(cid:166)(cid:84)(cid:83) (cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112) (cid:83)(cid:38)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:112)
1|.4−1 ( )|=0.2(cid:68)(cid:188)(cid:183)(cid:301)(cid:172)(cid:10)(cid:134) 3= + (cid:83)(cid:336)−(cid:200)1 x(cid:82)(cid:52)(cid:26)−(cid:83)3(cid:157).80< <1(cid:83)(cid:136)−4=1(cid:83) = 3 (cid:68)(cid:81)(cid:210)
(cid:502)−(cid:503)3.8(cid:83)−(cid:504)−(cid:205)4(cid:51)(cid:203)(cid:452)(cid:22)(cid:10) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 −1
(1)(cid:134) 10= + (cid:83)(cid:336)(cid:200)m(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0< <1(cid:83)(cid:136) = (cid:83) = (cid:86)
(2)(cid:134) =𝑚+ 𝑛26(cid:83)(cid:336)(cid:200)a(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0<𝑛 <1(cid:83)(cid:190)𝑚| + | ( 𝑛 )(cid:28)(cid:141)(cid:86)
(3)(cid:134)8−𝑎17𝑏= + (cid:83)(cid:336)(cid:200)p(cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0<𝑏<1(cid:83)(cid:190) 𝑎 (cid:28)𝑏(cid:141)−(cid:68)𝑏−1
4− 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝−𝑞(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(1)3, 10
(2)3 −3
(3) 17
(cid:15)(cid:54)(cid:207)−(cid:21)6(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:28)(cid:47)(cid:33)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:22)(cid:103)(cid:83)(cid:187)(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:53)(cid:54)(cid:82)(cid:31)
(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)2< 5<3(cid:143)(cid:117)(cid:301)(cid:95)(cid:196)(cid:197)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:165)(cid:301)(cid:95) + = 26(cid:83)(cid:149)(cid:156)(cid:190)(cid:95) =2(cid:83) = 26(cid:83)(cid:334)(cid:335)(cid:190)(cid:95)(cid:141)(cid:143)(cid:117)(cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:165)(cid:190)(cid:95)𝑎=𝑏 8−= 17 =𝑎 17𝑏(cid:83)(cid:334)6−(cid:335)(cid:190)(cid:141)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:76)1𝑝(cid:77)(cid:31)−(cid:10)1,𝑞3<4−10<−4((cid:83)−11)0=5− + (cid:83)(cid:336)(cid:200) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0< <1
(cid:136) = = 10 ∵(cid:86) 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛
(cid:76)𝑚2(cid:77)(cid:31)3(cid:10),𝑛 −=3 + 26(cid:83)
+ = ∵8−2𝑎6(cid:83)𝑏
∴a𝑎(cid:82)(cid:52)𝑏(cid:26)(cid:83)8−5< 26<6(cid:83)
∵ =2(cid:83) = 26(cid:83) 科AA+
全
号★
∴|𝑎+ | (𝑏 6)−= 26 26 = 26 公+ 众 26=3(cid:68)
注
关
，
源
资
∴(cid:76)𝑎3(cid:77)𝑏4−<𝑏−117<58(cid:83)− −教(6−辅−1) 8− −5
<∵ 17<0(cid:83)
∴−1 174−= + (cid:83)(cid:336)(cid:200) (cid:82)(cid:52)(cid:26)(cid:83)(cid:157)0< <1(cid:83)
∵(cid:81)4−(cid:210)(cid:22)(cid:103)(cid:301)𝑝(cid:83)𝑞= 𝑝= 17 𝑞= 17 (cid:83)
∴ = 𝑝 17−)1=,𝑞 174− (cid:68) −(−1) 5−
𝑝
【
−
题
𝑞
型
−111 − (
实
5−
数运算的实际
−
应
6
用】
(cid:15)(cid:133)11(cid:21)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:246)(cid:79)(cid:71) (cid:28)(cid:246)(cid:112)2cm(cid:83)(cid:489)(cid:112)1cm(cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:76)1(cid:77)(cid:451)(cid:246)(cid:79)(cid:71) (cid:149)(cid:150)(cid:162)(cid:193)(cid:28)(cid:54)(cid:494)(cid:76)(cid:505)(cid:95)(cid:54)(cid:494)(cid:248)(cid:77)(cid:83)(cid:449)(cid:54)(cid:494)(cid:168)(cid:28)(cid:322)(cid:71)(cid:105)(cid:497)(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:361)(cid:505)(cid:95)(cid:267)(cid:497)(cid:28)
(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:86)(cid:76)(cid:114)(cid:95)𝐴(cid:3)𝐵𝐶(cid:278)𝐷(cid:126)(cid:109)(cid:26)(cid:210)(cid:77)
(cid:76)2(cid:77)(cid:190)(cid:267)(cid:497)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:28)(cid:181)(cid:246)(cid:68)(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:54)(cid:494)(cid:79)(cid:177)(cid:63)(cid:258)(cid:91)(cid:83)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:70)(cid:31)(cid:207)(cid:86)(cid:76)2(cid:77)(cid:497)(cid:108)(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:112) 2cm.
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)AB=2AD(cid:83)(cid:117)(cid:381)(cid:172)CD(cid:28)(cid:200)(cid:126)(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:54)(cid:108)(cid:96)(cid:97)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:166)(cid:506)(cid:130)(cid:247)(cid:248)(cid:54)(cid:494)(cid:91)(cid:101)(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:507)(cid:307)
(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:48)(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:46)(cid:497)(cid:108)(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:112) cm(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:176)(cid:349)(cid:59)(cid:85)(cid:301)(cid:172)(cid:79)(cid:44)(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:190)(cid:31)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83) 𝑥
AB=2AD(cid:83)(cid:381)(cid:172)CD,AB(cid:28)(cid:200)(cid:126)(cid:83)(cid:84)(cid:322)(cid:267)(cid:107)(cid:83)(cid:117)(cid:253)(cid:508)(cid:71)(cid:54)(cid:494)(cid:108)4(cid:97)(cid:85)(cid:509)(cid:355)(cid:247)(cid:211)(cid:247)(cid:71)(cid:83)(cid:166)(cid:497)(cid:108)(cid:91)(cid:97)(cid:48)(cid:28)(cid:119)(cid:79)
∵(cid:71)(cid:86)
(cid:76)2(cid:77)(cid:46)(cid:497)(cid:108)(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:112) cm(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:22)(cid:103)(cid:301) =1×2=2(cid:83)
2
= 2(cid:76)(cid:120)(cid:141)(cid:510)(cid:371)(cid:77) 𝑥 𝑥
(cid:205)∴𝑥(cid:10)(cid:497)(cid:108)(cid:28)(cid:119)(cid:79)(cid:71)(cid:181)(cid:246)(cid:112) 2cm(cid:68)
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:183)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:34)(cid:35)(cid:28)(cid:57)(cid:58)(cid:83)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:81)(cid:210)(cid:322)(cid:71)(cid:28)(cid:280)科(cid:126)A(cid:149) A (cid:150)(cid:54) + (cid:494)(cid:68)
全
号★
众
公
(cid:15)(cid:220)(cid:72)11-1(cid:21)(cid:227)(cid:511)(cid:264)(cid:99)(cid:512)(cid:513)(cid:514)(cid:360)(cid:95)“(cid:123)(cid:425)100关(cid:227)(cid:152)注 50(cid:227)”(cid:28)(cid:403)(cid:404)((cid:39)(cid:84)(cid:10)(cid:512)(cid:515)(cid:516)(cid:517)(cid:518)230(cid:227)(cid:83)(cid:250)(cid:456)(cid:400)(cid:519)(cid:520)130
，
源
资
辅
教
(cid:227))(cid:83)(cid:513)(cid:514)(cid:369)(cid:521)(cid:136)(cid:522)(cid:523)“(cid:165)(cid:524)9(cid:525)(cid:83)(cid:166)(cid:123)(cid:425)100(cid:227)(cid:152)50(cid:227)”(cid:28)(cid:526)(cid:527)(cid:68)(cid:345)(cid:165)(cid:528)(cid:82)(cid:513)(cid:514)(cid:369)(cid:521)(cid:83)(cid:529)(cid:517)(cid:530)(cid:91)(cid:318)(cid:114)(cid:531)320
(cid:227)(cid:28)(cid:125)(cid:532)(cid:83)(cid:250)(cid:167)(cid:533)(cid:519)(cid:520) (cid:227)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)188
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:165)(cid:47)(cid:33)(cid:369)(cid:521)(cid:526)(cid:527)(cid:83)(cid:301)(cid:172)(cid:369)(cid:521)(cid:522)(cid:523)(cid:369)(cid:521)(cid:526)(cid:527)(cid:168)(cid:28)(cid:531)(cid:534)(cid:83)(cid:166)(cid:47)(cid:33)(cid:425)(cid:152)(cid:526)(cid:527)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)320×0.9=288(cid:76)(cid:227)(cid:77)
(cid:189)(cid:117)(cid:522)(cid:523)(cid:96)(cid:101)“(cid:123)(cid:425)100(cid:227)(cid:152)50(cid:227)”(cid:28)(cid:403)(cid:404)
=188(cid:76)(cid:227)(cid:77)
(cid:189)28(cid:205)8−(cid:206)10(cid:112)0(cid:10)188(cid:68)
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:535)(cid:536)(cid:531)(cid:534)(cid:28)(cid:452)(cid:22)(cid:83)(cid:276)(cid:277)(cid:22)(cid:103)(cid:28)(cid:526)(cid:527)(cid:79)(cid:206)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)11-2(cid:21)(cid:200)(cid:308)(cid:467)(cid:537)(cid:538)(cid:370)(cid:539)(cid:540)(cid:200)(cid:305)(cid:541)(cid:83)(cid:542)(cid:230)(cid:195)(cid:264)(cid:83)(cid:251)(cid:252)(cid:186)(cid:129)(cid:144)(cid:543)(cid:240)(cid:125)(cid:524)(cid:196)(cid:127)(cid:47)(cid:26)(cid:83)(cid:143)“(cid:196)(cid:543)(cid:47)(cid:26)”(cid:68)(cid:84)(cid:322)(cid:83)
(cid:91)(cid:104)(cid:544)(cid:545)(cid:144)(cid:170)(cid:173)(cid:172)(cid:171)(cid:100)(cid:101)(cid:546)(cid:203)(cid:28)(cid:543)(cid:240)(cid:125)(cid:524)(cid:196)(cid:83)(cid:425)5(cid:149)1(cid:83)(cid:58)(cid:127)(cid:305)(cid:547)(cid:548)(cid:240)(cid:549)(cid:95)(cid:528)(cid:168)(cid:28)(cid:351)(cid:26)(cid:68)(cid:188)(cid:322)(cid:117)(cid:291)(cid:83)(cid:548)(cid:240)(cid:549)
(cid:95)(cid:528)(cid:168)(cid:28)(cid:351)(cid:26)(cid:82)(cid:76) (cid:77)A(cid:68)10 B(cid:68)89 C(cid:68)165 D(cid:68)294
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)D
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:113)(cid:39)(cid:550)(cid:149)(cid:482)“(cid:425)(cid:550)(cid:149)(cid:91)”(cid:83)(cid:117)(cid:73)(cid:106)(cid:107)(cid:425)5(cid:149)1(cid:28)(cid:26)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:100)(cid:101)(cid:112)(cid:10)2×5×5×5(cid:83)1×5×5(cid:83)3×5(cid:83)4(cid:83)(cid:161)
(cid:168)(cid:253)(cid:283)(cid:252)(cid:59)(cid:151)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:100)(cid:22)(cid:103)(cid:83)(cid:185)(cid:144)(cid:549)(cid:95)(cid:528)(cid:168)(cid:28)(cid:351)(cid:26)(cid:82)(cid:10)
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294(cid:83)
(cid:189)(cid:212)(cid:10)D(cid:68)
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:83)(cid:31)(cid:205)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:43)(cid:58)(cid:113)(cid:39)(cid:28)(cid:79)(cid:177)(cid:381)(cid:95)(cid:425)5(cid:149)1(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:203)(cid:72)(cid:47)(cid:33)(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)11-3(cid:21)(cid:76)2023·(cid:221)(cid:286)(cid:246)(cid:398)·(cid:91)(cid:223)(cid:77)(cid:551)(cid:91)(cid:552)(cid:553)(cid:125)(cid:554)(cid:168)(cid:83)(cid:112)(cid:245)(cid:106)(cid:555)(cid:144)(cid:556)(cid:264)(cid:100)(cid:557)(cid:558)(cid:202)(cid:559)(cid:108)(cid:26)(cid:11)(cid:288)(cid:390)(cid:28)(cid:38)(cid:560)(cid:109)(cid:38)
(cid:561)(cid:164)(cid:11)(cid:83)(cid:26)(cid:11)(cid:562)(cid:18)(cid:424)(cid:49)(cid:144)(cid:512)(cid:184)(cid:563)(cid:159)(cid:564)(cid:125)(cid:126)2(cid:565)(cid:358)(cid:531)(cid:124)(cid:82)16(cid:227)(cid:28)(cid:566)(cid:567)(cid:568)(cid:569)(cid:250)(cid:252)(cid:68)(cid:170)(cid:566)(cid:567)(cid:570)(cid:172)(cid:11)(cid:553)(cid:28)(cid:123)(cid:571)(cid:572)(cid:358)
(cid:573)(cid:574)(cid:575)(cid:124)(cid:112)1.6(cid:227)(cid:83)(cid:188)(cid:179)(cid:26)(cid:11)(cid:562)(cid:18)(cid:82)(cid:430)(cid:159)(cid:564)(cid:28)(cid:369)(cid:521)(cid:83)(cid:454)(cid:183)(cid:123)(cid:358)(cid:124)(cid:117)(cid:73)科(cid:449)(cid:58)A(cid:91) A (cid:97) + (cid:159)(cid:564)(cid:576)(cid:574)(cid:28)5(cid:227)(cid:159)(cid:564)(cid:577)(cid:578)(cid:130)(cid:123)
全
号★
众
公
(cid:571)(cid:572)(cid:358)(cid:28)(cid:182)(cid:531)(cid:152)(cid:579)5(cid:227)(cid:76)(cid:572)(cid:358)(cid:182)(cid:531)(cid:63)(cid:93)(cid:573)(cid:574)(cid:575)关(cid:83)注(cid:164)(cid:91)(cid:572)(cid:358)(cid:456)(cid:580)(cid:581)(cid:449)(cid:58)(cid:91)(cid:97)(cid:577)(cid:578)(cid:77)(cid:68)(cid:466)(cid:81)(cid:210)(cid:430)(cid:566)(cid:567)(cid:570)(cid:28)(cid:526)(cid:527)
，
源
资
辅
教
(cid:403)(cid:404)(cid:83)(cid:193)(cid:572)(cid:358)(cid:182)(cid:531)(cid:76)(cid:63)(cid:93)(cid:573)(cid:574)(cid:575)(cid:77)(cid:425)30(cid:227)(cid:195)(cid:83)5(cid:227)(cid:28)(cid:159)(cid:564)(cid:577)(cid:578)(cid:117)(cid:582)(cid:437)(cid:112)(cid:91)(cid:97)7(cid:227)(cid:28)(cid:570)(cid:406)(cid:577)(cid:578)(cid:83)(cid:143)(cid:117)(cid:73)(cid:393)(cid:572)
(cid:358)(cid:182)(cid:531)(cid:76)(cid:63)(cid:93)(cid:573)(cid:574)(cid:575)(cid:77)(cid:152)(cid:579)7(cid:227)(cid:193)(cid:26)(cid:11)(cid:562)(cid:18)(cid:164)(cid:195)(cid:126)(cid:245)2(cid:565)(cid:566)(cid:567)(cid:115)(cid:583)(cid:51)(cid:358)(cid:519)(cid:520)(cid:195)(cid:83)(cid:38)(cid:560)(cid:164)(cid:11)(cid:297)(cid:10)“(cid:562)(cid:18)(cid:83)(cid:328)(cid:252)
(cid:117)(cid:73)(cid:437)(cid:91)(cid:75)(cid:51)(cid:358)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:526)(cid:527)(cid:584)(cid:102)(cid:585)”(cid:256)(cid:164)(cid:11)(cid:252)(cid:54)(cid:207)(cid:38)(cid:560)(cid:164)(cid:11)(cid:28)(cid:51)(cid:358)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:361)(cid:47)(cid:33)(cid:95)(cid:208)(cid:101)(cid:184)(cid:563)(cid:182)(cid:575)(cid:58)(cid:76)(cid:578)(cid:93)(cid:573)
(cid:574)(cid:575)(cid:77)(cid:167)(cid:533)(cid:117)(cid:112) (cid:227)(cid:68)
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)25.2
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:54)(cid:313)(cid:47)(cid:33)(cid:96)(cid:75)(cid:51)(cid:358)(cid:28)(cid:79)(cid:72)(cid:83)(cid:39)(cid:40)(cid:586)(cid:91)(cid:75)(cid:182)(cid:575)(cid:58)(cid:584)(cid:533)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:444)(cid:91)(cid:75)(cid:51)(cid:358)(cid:79)(cid:72)(cid:112)(cid:355)(cid:327)(cid:517)(cid:530)(cid:96)(cid:565)(cid:566)(cid:567)
(cid:42)(cid:47)(cid:575)(cid:58)(cid:112)(cid:10)16+16+ =26.6(cid:227)
(cid:444)(cid:272)(cid:75)(cid:51)(cid:358)(cid:79)(cid:72)(cid:112)(cid:51)(cid:96)(cid:97)1(cid:572).6−(cid:358)7(cid:83)(cid:123)(cid:97)(cid:572)(cid:358)(cid:530)(cid:91)(cid:565)(cid:566)(cid:567)
(cid:42)(cid:47)(cid:575)(cid:58)(cid:112)(cid:10)(16+ )×2=25.2(cid:227)
(cid:189)(cid:212)(cid:392)(cid:444)(cid:272)(cid:75)(cid:584)(cid:587)(cid:33)1(cid:83).6(cid:167)−5(cid:533)(cid:575)(cid:58)(cid:112)25.2(cid:227)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)25.2(cid:68)
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:43)(cid:33)(cid:28)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:83)(cid:54)(cid:113)(cid:588)(cid:197)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)【题型12 与实数运算相关的规律题】
(cid:15)(cid:133)12(cid:21)(cid:382)(cid:383)(cid:51)(cid:203)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:361)(cid:504)(cid:205)(cid:452)(cid:22)(cid:10)
| 2|= 2 (cid:86)
①|1−2 3|= −31 2(cid:86)
②| 3− 4|= 4− 3(cid:86)
③| 4− 5|= 5− 4(cid:86)
④…… − −
(1)(cid:256)(cid:94)(cid:95)(cid:444) (cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:10)______(cid:83)(cid:340)(cid:279)(cid:10)| 35 |=______(cid:86)
(2)(cid:94)(cid:95)(cid:257)(cid:589)⑤(cid:529)(cid:28)(cid:444)n(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:10)______(cid:86)(cid:76)(cid:58)(cid:93)−6n(cid:28)(cid:72)(cid:240)(cid:106)(cid:107)(cid:77)
24
(3)(cid:39)(cid:40) (cid:36)1(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:68)
4
−1
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)(1)| 5 6|= 6 5(cid:86) 35
(2)| +1|−= +1 − 6−
24𝑛− 𝑛 𝑛 − 𝑛
(3)
4
<1 科AA+
−1 全
号★
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:81)(cid:210)(cid:316)(cid:291)(cid:85)(cid:72)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:117)(cid:73)(cid:301)(cid:172)(cid:444) (cid:97)公(cid:85)(cid:72)众(cid:83)(cid:188)(cid:179)| 35 |=| 35 36|(cid:83)(cid:117)(cid:73)(cid:81)(cid:210)(cid:60)(cid:61)(cid:301)(cid:172)
注
关
，
源
资
(cid:196)(cid:359)(cid:86) 教 辅 ⑤ −6 −
(cid:76)2(cid:77)(cid:188)(cid:228)4(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:117)(cid:73)(cid:589)(cid:529)(cid:444)n(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:112)| +1|= +1 (cid:86)
(cid:76)3(cid:77)(cid:376)(cid:58)(cid:288)(cid:459)(cid:177)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:38)(cid:68) 𝑛− 𝑛 𝑛 − 𝑛
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:76)1(cid:77)(cid:31)(cid:10)(cid:81)(cid:210)(cid:228)4(cid:97)(cid:72)(cid:240)(cid:117)(cid:301)(cid:444) (cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:112)(cid:10)| 5 6|= 6 5(cid:83)
| 35 |=| 35 36|= 36 35= ⑤35(cid:83) − −
(cid:189)(cid:205)(cid:206)−6(cid:112)(cid:10)| 5 −6|= 6 5−(cid:86) 356(cid:68)−
(cid:76)2(cid:77)(cid:31)(cid:10)(cid:188)(cid:228)−4(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:117)−(cid:73)(cid:589)(cid:529)6(cid:444)−n(cid:97)(cid:85)(cid:72)(cid:112)| +1|= +1 (cid:83)
(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)| +1|= +1 (cid:68) 𝑛− 𝑛 𝑛 − 𝑛
(cid:76)3(cid:77)(cid:31)(cid:10) 2𝑛4− 𝑛 = 24 𝑛4 = −24𝑛 = 24 25<0(cid:83)
4 4 4 4 4
−1 −1 −5 −
∵ −1 −
24 <1(cid:68)
4
−1
∴
(cid:15)(cid:126)(cid:304)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:218)(cid:179)(cid:409)(cid:590)(cid:60)(cid:61)(cid:113)(cid:391)(cid:22)(cid:83)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:140)(cid:130)(cid:141)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:122)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:83)(cid:293)(cid:294)(cid:276)(cid:277)(cid:59)(cid:3)(cid:291)(cid:292)(cid:361)(cid:591)(cid:403)(cid:43)
(cid:58)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)
(cid:15)(cid:220)(cid:72)12-1(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:592)(cid:593)(cid:594)(cid:368)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:328)(cid:252)(cid:60)(cid:49)(cid:91)(cid:97)(cid:48)(cid:26)“ ”(cid:83)(cid:91)(cid:180)(cid:55)(cid:25)(cid:26)(cid:117)(cid:73)(cid:36)(cid:48)(cid:26)(cid:149)(cid:150)(cid:260)(cid:136)(cid:43)
𝑖(cid:33)(cid:83)(cid:157)(cid:298)(cid:55)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:61)(cid:109)(cid:43)(cid:33)(cid:177)(cid:136)(cid:160)(cid:161)(cid:108)(cid:158)(cid:83) = = = = = = ×( )=1(cid:83)(cid:396)
1 2 3 2 4 2 2
(cid:397) + + + + + = (cid:68)𝑖 𝑖,𝑖 −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 2024 2025
(cid:15)𝑖(cid:205)(cid:206)(cid:21)𝑖 𝑖 ⋯ 𝑖 𝑖
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)𝑖(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:83)(cid:26)(cid:595)(cid:220)(cid:340)(cid:28)(cid:60)(cid:61)(cid:83)(cid:376)(cid:58)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:28)(cid:60)(cid:49)(cid:83)(cid:170)(cid:444)(cid:91)(cid:97)(cid:26)(cid:78)(cid:440)(cid:83)(cid:123)4(cid:97)(cid:26)
(cid:28)(cid:109)(cid:112)0(cid:83)(cid:136) + + + + =506×0=0(cid:83)(cid:166)(cid:376)(cid:58)(cid:596)(cid:28)(cid:153)(cid:79)(cid:36)(cid:349)(cid:28)(cid:153)(cid:79)(cid:177)(cid:136)(cid:43)(cid:33)(cid:143)(cid:117)(cid:68)
1 2 3 2024
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:31)(cid:10)𝑖 =𝑖 𝑖= ⋯ 𝑖= = = = ×( )=1(cid:83)
1 2 3 2 4 2 2
+ + +∵𝑖 =𝑖0,𝑖(cid:83) −1,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −𝑖,𝑖 𝑖 ⋅𝑖 −1 −1
1 2 3 4
∴𝑖 +𝑖 +𝑖 +𝑖 = ( + + + )=0(cid:83)
5 6 7 8 4 1 2 3 4
∴𝑖2024𝑖÷4𝑖=50𝑖6(cid:83)𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
∵ + + + + =506×0=0(cid:83)
1 2 3 2024
∴𝑖 𝑖= 𝑖 ⋯= 𝑖 ( ) = ×1 = (cid:83)
2025 2024 4 506 506
∵𝑖 + +𝑖⋅𝑖 + +𝑖⋅ 𝑖 + 𝑖=0+ =𝑖(cid:83)
1 2 3 2024 2025
∴(cid:189)𝑖(cid:205)(cid:206)𝑖(cid:112)(cid:10)𝑖 (cid:68)⋯ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
(cid:15)(cid:220)(cid:72)12-2𝑖(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:221)(cid:222)(cid:597)(cid:598)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:84)(cid:322)(cid:83)(cid:186)(cid:129)(cid:505)(cid:181)(cid:246)(cid:112)
科
1
A
(cid:28)A(cid:119)+(cid:79)(cid:71)(cid:83)(cid:300)(cid:105)(cid:115)(cid:187)(cid:28)(cid:253) 2(cid:106)(cid:107)(cid:144)
全
号★
(cid:26)(cid:37)(cid:125)(cid:126) (cid:599)(cid:83)(cid:305) (cid:173)(cid:364)(cid:167)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:126)(cid:112) (cid:83)(cid:73)(cid:126)公(cid:112)众(cid:87)(cid:600)(cid:83) (cid:601)(cid:602)(cid:505)(cid:601)(cid:87)(cid:83)(cid:462)(cid:26)(cid:37)(cid:179)(cid:126) (cid:83)(cid:305) (cid:173)(cid:364)
注
关
，
源
(cid:167)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)𝐴1(cid:126)(cid:112) 𝐴(cid:83)1(cid:73)(cid:126) 教(cid:112)(cid:87)辅(cid:600) 资 (cid:83) 𝐵(cid:112)1(cid:601)(cid:602)(cid:505)(cid:601)𝐵1(cid:87)(cid:83)(cid:462)(cid:26)(cid:37)𝐴1(cid:179)𝐵1(cid:126) (cid:83)(cid:84)(cid:183)(cid:603)(cid:491)(cid:83)(cid:136) 𝐴(cid:28)2 (cid:246)(cid:112)𝐴(cid:76)2 (cid:77)
𝐵2 𝐵2 𝐴2𝐵2 𝐴3 𝐴11𝐵11
A(cid:68) 2 B(cid:68) 2 C(cid:68) 2 D(cid:68) 2+1
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)2−A −1
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:274)(cid:275)(cid:201)(cid:209)(cid:245)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:122)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:73)(cid:90)(cid:409)(cid:242)(cid:60)(cid:61)(cid:83)(cid:186)(cid:129)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:83)(cid:381)(cid:172)(cid:322)
(cid:71)(cid:220)(cid:340)(cid:60)(cid:61)(cid:82)(cid:31)(cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:68)(cid:376)(cid:58) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:27)(cid:26)(cid:36)(cid:26)(cid:37)(cid:28)(cid:3)(cid:178)(cid:83)(cid:214)(cid:91)(cid:47)(cid:33)(cid:204)(cid:126)(cid:267)(cid:130)(cid:57)(cid:28)(cid:26)(cid:83)(cid:144)(cid:47)(cid:33)
(cid:122) (cid:83)(cid:301)(cid:95)(cid:60)(cid:61)(cid:143)(cid:117)𝐴(cid:31)1(cid:424)(cid:68)
1
(cid:15)𝐴1(cid:217)𝐵1(cid:31)(cid:21)𝐴(cid:31)2𝐵(cid:10)2(cid:188)⋯(cid:22)(cid:103)(cid:117)(cid:301) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82) 2(cid:83)
(cid:173)(cid:364)(cid:167)(cid:191)(cid:28)(cid:52)(cid:26)(cid:126)(cid:112) 𝐴1(cid:83)
∵𝐴1(cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82)2(cid:83) 𝐵1
∴𝐵1 = 2(cid:83)
∴𝐴1𝐵(cid:106)1(cid:107)(cid:28)2−(cid:26)(cid:82)2+ 2= 2(cid:83) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82)3(cid:83)
∴𝐴2 2− 4− 𝐵2= ( 2)= 2 (cid:83)
(cid:164)∴𝐴(cid:25)2𝐵(cid:117)2(cid:301)3−(cid:106)4(cid:107)−(cid:28)(cid:26)(cid:82)3+−12 =2+ 2(cid:83) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)(cid:82)4(cid:83) = (2+ 2)= 2(cid:83)
(cid:106)(cid:107)(cid:28)𝐴(cid:26)3(cid:82)4+ 2= −21(cid:83) (cid:106)(cid:107)(cid:28)(cid:26)𝐵3(cid:82)5(cid:83) = 𝐴(3𝐵3 2)4=− 2 (cid:83) 2−
𝐴4 2− 6− 𝐵4 𝐴4𝐵4 5− 6− −1
⋯(cid:117)(cid:291) (cid:73) 2(cid:83) 2 (cid:96)(cid:97)(cid:26)(cid:91)(cid:65)(cid:95)(cid:244)(cid:83)
11÷𝐴𝑛2𝐵=𝑛 2−(cid:83) −1
∵A B =5⋯12(cid:83)
∴(cid:189)(cid:212)11(cid:10)1A1(cid:68)2−
(cid:15)(cid:220)(cid:72)12-3(cid:21)(cid:76)24-25(cid:259)(cid:229)(cid:169)(cid:51)·(cid:285)(cid:222)(cid:345)(cid:406)(cid:315)·(cid:264)(cid:200)(cid:77)(cid:130)(cid:179)(cid:27)(cid:26) (cid:83)(cid:328)(cid:252)(cid:60)(cid:49)(cid:10)(cid:58){ }(cid:106)(cid:107)(cid:63)(cid:38)(cid:179) (cid:28)(cid:167)(cid:38)(cid:52)
𝑝 (cid:444)1(cid:101) (cid:444)2𝑝(cid:101) (cid:444)3(cid:101)𝑝
(cid:26)(cid:68)(cid:133)(cid:84)(cid:10){ 4}=2(cid:83){ 3}=2(cid:68)(cid:244)(cid:144)(cid:130)72(cid:149)(cid:150)(cid:84)(cid:51)(cid:604)(cid:288)(cid:10)72 { 72}=9 { 9}=3 { 3}=2(cid:83)
(cid:143)(cid:130)72(cid:456)(cid:400)(cid:149)(cid:150)3(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:300)(cid:220)(cid:112)2(cid:68)(cid:113)(cid:39)(cid:125)(cid:303)(cid:604)(cid:288)(cid:83)(cid:134)(cid:130)(cid:119)(cid:52)(cid:26)→(cid:456)(cid:400)(cid:149)(cid:150)3(cid:101)→(cid:604)(cid:288)(cid:300)(cid:220)(cid:112)2→(cid:83)(cid:136) (cid:28)(cid:167)(cid:19)
(cid:141)(cid:112) (cid:68) 𝑛 𝑛
(cid:15)(cid:205)(cid:206)(cid:21)256
(cid:15)(cid:54)(cid:207)(cid:21)(cid:208)(cid:22)(cid:201)(cid:209)(cid:27)(cid:26)(cid:28)(cid:43)(cid:33)(cid:122)(cid:32)(cid:47)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:19)(cid:38)(cid:122)(cid:27)(cid:26)(cid:19)(cid:38)(cid:28)(cid:39)(cid:40)科(cid:83)A(cid:31) A (cid:205)(cid:208) + (cid:22)(cid:28)(cid:3)(cid:278)(cid:82)(cid:407)(cid:187)(cid:22)(cid:103)(cid:83)(cid:381)(cid:95)
全
号★
众
公
(cid:267)(cid:190)(cid:452)(cid:22)(cid:400)(cid:275)(cid:28)(cid:317)(cid:318)(cid:68) 关 注
，
源
资
辅
教
(cid:170)(cid:168)(cid:605)(cid:228)(cid:360)(cid:606)(cid:83)(cid:81)(cid:210){ }(cid:28)(cid:49)(cid:50)(cid:83)(cid:165)(cid:187)(cid:49)(cid:167)(cid:168)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:196)(cid:359)(cid:112)2(cid:195)(cid:228)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:196)(cid:359)(cid:28)(cid:167)(cid:19)(cid:141)(cid:83)(cid:166)(cid:100)(cid:101)(cid:113)(cid:360)(cid:83)
(cid:190)(cid:95)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:228) (cid:28)(cid:167)𝑝(cid:19)(cid:141)(cid:68)
(cid:15)(cid:217)(cid:31)(cid:21)(cid:81)(cid:210)(cid:133)(cid:22)𝑛(cid:604)(cid:288)(cid:117)(cid:291)(cid:10)
(cid:275)(cid:449) (cid:167)(cid:19)(cid:83)(cid:167)(cid:168)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288){ }=2(cid:83)(cid:254)(cid:175)p(cid:82)(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:68)(cid:454)(cid:112){ }=2(cid:83)
(cid:81)(cid:210)𝑛(cid:49)(cid:50)(cid:117)(cid:291)1< 2(cid:83)(cid:96)𝑝(cid:181)(cid:164)(cid:195)(cid:159)(cid:79)(cid:117)(cid:301)1< 4(cid:83) 𝑝
(cid:267)(cid:73)p(cid:167)(cid:19)(cid:255)4(cid:68) 𝑝≤ 𝑝≤
(cid:130)(cid:179)(cid:444)(cid:272)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:83)(cid:46)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:28)(cid:196)(cid:359)(cid:112) (cid:83)(cid:183)(cid:195){ }= =4(cid:83)
(cid:81)(cid:210)(cid:49)(cid:50)3< 4(cid:83)(cid:96)(cid:181)(cid:164)(cid:195)(cid:159)(cid:79)(cid:301)(cid:172)9𝑘< 16𝑘(cid:83) 𝑝
(cid:267)(cid:73) (cid:167)(cid:19)(cid:255)16𝑘(cid:68)≤ 𝑘≤
(cid:130)(cid:179)𝑘(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:83)(cid:46) (cid:539)(cid:129)(cid:444)(cid:91)(cid:101)(cid:604)(cid:288)(cid:168)(cid:220)(cid:112) (cid:83)(cid:183)(cid:195){ }= =16(cid:83)(cid:81)(cid:210)(cid:49)(cid:50)15< 16(cid:83)(cid:96)(cid:181)(cid:164)(cid:195)(cid:159)
(cid:79)(cid:117)(cid:301)225< 256𝑛(cid:83) 𝑘 𝑛 𝑘 𝑛≤
(cid:267)(cid:73) (cid:167)(cid:19)(cid:112)2𝑛56≤(cid:68)
(cid:607)(cid:608)(cid:10)𝑛
(cid:130)256(cid:149)(cid:150)(cid:84)(cid:51)(cid:604)(cid:288)(cid:10)(cid:444)1(cid:101) (cid:444)2(cid:101) (cid:444)3(cid:101)
256 { 256}=16 { 16}=4 { 4}=2
(cid:84)(cid:359)→(cid:456)(cid:400)(cid:149)(cid:150)3(cid:101)(cid:604)(cid:288)→(cid:168)(cid:220)(cid:112)2(cid:28)(cid:267)→(cid:55)(cid:119)(cid:52)(cid:26)(cid:200)(cid:167)(cid:19)(cid:28)(cid:26)(cid:112)(cid:10)256(cid:86)
∴(cid:189)(cid:205)(cid:206)(cid:112)(cid:10)256(cid:68)
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教