专题23.4相似三角形的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(华东师大)

专题 23.4 相似三角形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)................................................................................................................1
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:21)....................................................................................................3
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:21)..................................................................................................10
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:46)(cid:21)..............................................................................17
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................23
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..........................................................................29
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:57)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................37
(cid:15)(cid:22)(cid:23)8 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:58)(cid:59)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................43
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..............................................................................49
(cid:15)(cid:22)(cid:23)10 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:63)(cid:35)(cid:51)(cid:22)(cid:21)..................................................................................57
知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比
1. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
2. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
3. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:64)(cid:65)(cid:73)(cid:43)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
知识点2 相似三角形的周长比、面积比
1. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:70)
2. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:31)(cid:71)(cid:78)(cid:70)
【题型1 利用相似三角形的性质求值】
(cid:15)(cid:79)1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)·(cid:73)(cid:86)(cid:87)(cid:22)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:75)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:93)10cm(cid:94)6cm(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:100)(cid:94)
(cid:101)48cm(cid:95)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)14cm B(cid:70)18cm C(cid:70)30cm D(cid:70)34cm
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:63)(cid:75)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:101)10cm(cid:94)6cm(cid:113)(cid:37)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:67)(cid:68)
(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:95)(cid:114)(cid:111)(cid:112)(cid:74)(cid:75)(cid:100)(cid:94)(cid:101)48cm(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:89)(cid:90)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:75)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:101)10cm(cid:94)6cm(cid:95)
(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:101)10:6∵=5:3(cid:95)
∴(cid:104)(cid:19)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:104)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:67)(cid:101)(cid:10)5:3(cid:95)
∴(cid:98)(cid:99)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:100)(cid:94)(cid:101)48cm(cid:95)
∵ (cid:104)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:101)(cid:10)48× 3 =18(cm)(cid:95)
5 3
∴ +
(cid:118)(cid:119)(cid:10)B(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-1(cid:21)(cid:122)ΔABC ΔDEF,(cid:123)(cid:124)A(cid:125)B(cid:125)C(cid:72)(cid:92)(cid:38)D(cid:125)E(cid:125)F(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:97)AB:DE=1:4(cid:95)(cid:126)(cid:127)(cid:89)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:65)
(cid:73)(cid:43)(cid:100)(cid:67)(cid:101)(cid:80) (cid:88) ∼
A(cid:70)1:2 B(cid:70)1:4 C(cid:70)1:8 D(cid:70)1:16
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:64)(cid:65)(cid:73)(cid:43)(cid:100)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:128)(cid:129)(cid:61)(cid:130).
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21) ΔABC ΔDEF,A(cid:125)B(cid:125)C(cid:72)(cid:92)(cid:38)D(cid:125)E(cid:125)F(cid:64)(cid:65)(cid:95)(cid:97)AB:BE=1:4
(cid:64)(cid:65)(cid:73)(cid:43)∵(cid:100)(cid:67)=∽1:4.
(cid:118)∴ (cid:119)B.
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:64)(cid:65)(cid:43)(cid:44)(cid:100)(cid:67)(cid:132)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67).
(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:83)(cid:137)(cid:136)(cid:138)·(cid:139)(cid:140)(cid:88)(cid:122) ABC DEF(cid:95)AB=6,DE=4(cid:95)(cid:126)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70) B= E B(cid:70)D △ F= 2 AC ∽△
3
∠ ∠
C(cid:70)S = 9 S D(cid:70)BC= 9 EF
ABC 4 DEF 4
△ △
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:64)(cid:65)(cid:29)(cid:26)(cid:68)(cid:95)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:95)(cid:76)(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:31)(cid:71)(cid:78)
(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:154)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) ABC DEF(cid:95)
B= E(cid:95) EF = ∵D△F = DE = ∽4 = △2 (cid:95) S ABC= AB 2 = 9 (cid:95)
BC AC AB 6 3 S △DEF DE 4
∴∠ ∠ △
DF= 2 AC(cid:95)S = 9 S (cid:95)BC= 3 EF
3 ABC 4 DEF 2
∴ △ △
(cid:118)A(cid:125)B(cid:125)C(cid:155)(cid:113)(cid:95)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:160)D(cid:145)(cid:146)(cid:95)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:95)
(cid:118)(cid:119)(cid:10)D(cid:70)(cid:15)(cid:120)(cid:121)1-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:161)(cid:162)(cid:158)(cid:163)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:95)Rt ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95)AC=BC(cid:95)(cid:124)D(cid:169)AB(cid:136)(cid:95)(cid:97)AD=
AC(cid:95)(cid:124)E(cid:101) ABC(cid:170)(cid:171)(cid:124)(cid:95)(cid:172)(cid:173)DE(cid:125)AE(cid:95)(cid:122) ADE △CDB(cid:95)(cid:126)∠CDE(cid:31)(cid:174)(cid:57)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
△ △ ∽△ ∠
A(cid:70)45° B(cid:70)36° C(cid:70)30° D(cid:70)22.5°
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:176)(cid:29)(cid:94)(cid:37)(cid:177)(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:178)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128) CAB= ABC=45°(cid:95)(cid:178)(cid:68)(cid:91)(cid:64)(cid:68)(cid:29)(cid:61)(cid:158)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:176)(cid:29)(cid:94)(cid:37)(cid:177)(cid:116)(cid:128) ADC=67.5°(cid:95)(cid:34)(cid:180) BDC
=112.5°(cid:95)(cid:178)(cid:26)∠(cid:27)(cid:28)(cid:29)∠(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128) ADE= BDC=112.5°(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:47)(cid:70) ∠ ∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) Rt ABC(cid:73)(cid:95) ACB=∠90°(cid:95)AC∠=BC(cid:95)
CAB= ABC∵=45△°(cid:95) ∠
∴A∠D=AC∠(cid:95)
∵ ADC= 1 ×(180°− CAB)=67.5°(cid:95)
2
∴∠ ∠
BDC=180°− ADC=112.5°(cid:95)
∴∠ADE CD∠B(cid:95)
∵△ADE=∽△BDC=112.5°(cid:95)
∴∠CDE=∠ADE− ADC=45°(cid:95)
∴(cid:118)∠(cid:119)(cid:10)A(cid:70)∠ ∠
【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】
(cid:15)(cid:79)2(cid:21)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95)D(cid:95)E(cid:72)(cid:92)(cid:101)AB(cid:95)AC(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)BE(cid:95)CD(cid:181)(cid:69)(cid:124)F(cid:70)
△
(1)(cid:182) ABE(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S (cid:95) ACD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S (cid:95)(cid:97)S =S (cid:70)
1 2 1 2
△ △(cid:166)(cid:55) (cid:95)(cid:172)(cid:173)DE(cid:70)(cid:122) A=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE BC(cid:160)
① ① ∠ EF∥
(cid:166)(cid:55) (cid:95)(cid:122) FBC=45°(cid:95) FCB=30°(cid:95)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
DF
② (2)(cid:166)(cid:55)②(cid:95)(cid:122) ∠ A=90°(cid:95)CE= ∠ kAB(cid:95)BD=kAE(cid:95)DC=2BE(cid:95)(cid:179)(cid:173)(cid:183)(cid:180)k(cid:31)(cid:35)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21) ③ (1) ∠ (cid:184)(cid:47)(cid:108)(cid:160) 2
2
① ②
(2)k= 3
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88) (cid:178)S =S (cid:116)(cid:39)ABAE=ACAD(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:39) ADE ABC(cid:95)(cid:116)(cid:185)(cid:171)(cid:186)(cid:187)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:160) (cid:172)(cid:173)DE(cid:95)(cid:54)
1 2
① ⋅ ⋅ △ ∽△ EF BF ②
BM AC(cid:69)(cid:124)M(cid:95)(cid:54)CN AB(cid:69)(cid:124)N(cid:95)(cid:188)(cid:124)F(cid:54)FH BC(cid:69)(cid:124)H(cid:70)(cid:116)(cid:39)DE BC(cid:95)(cid:187)(cid:180) = (cid:95)(cid:182)FH=BH=x(cid:95)(cid:126)BF= 2
DF CF
⊥ ⊥ ⊥ ∥
x(cid:95)(cid:126)(cid:116)(cid:72)(cid:92)(cid:34)(cid:180)BF(cid:95)CF(cid:31)(cid:75)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:188)(cid:124)B(cid:54)BP EC(cid:95)(cid:97)BP=EC(cid:95)(cid:172)(cid:173)DP(cid:95)CP(cid:95)(cid:189)(cid:190)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)BPCE(cid:95)(cid:39) BPD ABE(cid:95)(cid:187)(cid:180) EB = AE = 1 (cid:95)
DP BD k
∥ △ ∽△
(cid:39)(cid:40) EB = CP = 1 (cid:114)(cid:39)(cid:40) DPC(cid:101)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:97)(cid:116)(cid:34)(cid:180)(cid:193)(cid:28)(cid:91)(cid:31)(cid:67)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:180)k(cid:31)(cid:35)(cid:70)
DP DP k
△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:47)(cid:10) A=90°(cid:95)
S =S = 1 ABAE ①(cid:95) ∵ S ∠ =S = 1 ACAD(cid:70)
1 ABE 2 2 ACD 2
∴ △ ⋅ △ ⋅
S =S (cid:95)
1 2
∵ AE AD
ABAE=ACAD(cid:95)(cid:115) = (cid:70)
AC AB
∴ ⋅ ⋅
(cid:194) A= A(cid:95)
A∵D∠E ∠ABC
∴△ AED∽=△ACB(cid:95)
∴D∠E BC(cid:70)∠
∴(cid:166)(cid:55)∥ (cid:95)(cid:172)(cid:173)DE(cid:95)(cid:54)BM AC(cid:69)(cid:124)M(cid:95)(cid:54)CN AB(cid:69)(cid:124)N(cid:95)(cid:188)(cid:124)F(cid:54)FH BC(cid:69)(cid:124)H(cid:70)
② ⊥ ⊥ ⊥
S =S (cid:95)
1 2
∵1 ADCN= 1 AEBM(cid:95)
2 2
∴ ⋅ ⋅
AE CN
=
AD BM
∴
(cid:194) S = 1 ABCN= 1 ACBM(cid:95)
ABC 2 2
∵ △ ⋅ ⋅
AC = CN (cid:95)
AB BM
∴
AE = AC (cid:70)
AD AB
∴
(cid:194) A= A(cid:95)
∵A∠DE∠ ABC(cid:95)
∴D△E BC∽(cid:95)△
∴EF
=
∥DF
(cid:95)
BF CF
∴EF BF
=
DF CF
∴
(cid:182)FH=BH=x(cid:95)(cid:126)BF= 2x(cid:95)CF=2FH=2x
EF = BF = 2 (cid:70)
DF CF 2
∴
(cid:80)2(cid:88)
(cid:166)(cid:106)(cid:55)(cid:80)2(cid:88)(cid:95)(cid:188)(cid:124)B(cid:54)BP EC(cid:95)(cid:97)BP=EC(cid:95)(cid:172)(cid:173)DP(cid:95)CP(cid:95)
∥
(cid:126)(cid:192)(cid:91)(cid:30)BPCE(cid:101)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:70)
CE=kAB(cid:95)
∵BP = CE =k(cid:70)
AB AB
∴
BD=kAE(cid:95)
∵BD
=k(cid:95)
AE
∴BP = BD (cid:70)
AB AE
∴
(cid:194) DBP= A=90°(cid:95)
B∵P∠D A∠BE
∴△EB
=
AE∽
=
△1
(cid:95) ABE= BPD
DP BD k
∴ ∠ ∠
ABE+ PBF=90°
∴∠ BPD∠+ PBF=90°(cid:95)(cid:115) EFP=90°(cid:70)
∴B∠E PC(cid:95)∠ ∠
∵ D∥PC=180°− EFP=90°(cid:70)
∴∠EB = PC = 1 (cid:95) ∠
DC DC 2
∵
(cid:182)PC=a(cid:95)DC=2a(cid:95)
∴(cid:126)(cid:169)Rt DPC(cid:73)(cid:95)PD= DC2−PC2= 3a(cid:70)
EB = CP△ = 1 (cid:95)
DP DP k
∵
a = 1 (cid:95)
3a k
∴
k= 3(cid:70)
(cid:15)∴(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:22)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:188)(cid:54)(cid:180)(cid:158)(cid:198)(cid:31)(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:189)(cid:190)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
(cid:96)(cid:97)(cid:195)(cid:196)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-1(cid:21)(cid:80)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:85)·(cid:139)(cid:140)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:95)CE:EF:FD=1:2:3(cid:95)AE(cid:95)BF
(cid:26)(cid:181)(cid:69)(cid:124)G(cid:70)(cid:182) EFG(cid:94) ABG(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:72)(cid:92)(cid:101)S (cid:95)S (cid:95)(cid:122)S =3(cid:95)(cid:126)S =(cid:80) (cid:88)
1 2 1 2
△ △
A(cid:70)6 B(cid:70)9 C(cid:70)18 D(cid:70)27
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:207)(cid:208)(cid:86)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:39)(cid:40) EFG ABG(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:209)(cid:93)(cid:67)(cid:31)(cid:71)(cid:78)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129)(cid:106)(cid:107)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)△(cid:47)(cid:21) C∽E△:EF:FD=1:2:3(cid:95)
∵(cid:182)CE=x(cid:95)(cid:126)EF=2x(cid:95)FD=3x(cid:95)
(cid:194) (cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:95)
A∵B=CD=CE+EF+FD=x+2x+3x=6x(cid:95)AB CD(cid:95)
∴EF = 2x = 1 (cid:95) ∥
AB 6x 3
∴
AB CD(cid:95)
∵ EF∥G ABG(cid:95)
∴△S
1
E∽F△ 2 1 2 1
= = =
S AB 3 9
2
∴
S =3(cid:95)
1
∵S =27(cid:95)
2
∴(cid:118)(cid:119)D(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-2(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:210)(cid:211)(cid:73)(cid:95) ABC(cid:125) EDF(cid:31)(cid:123)(cid:124)(cid:132)(cid:169)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:210)(cid:211)(cid:31)(cid:211)(cid:124)(cid:136)(cid:95) ABC EDF(cid:95)(cid:126)
ABC+ ACB(cid:31)(cid:174)(cid:57)(cid:101)(cid:80) (cid:88) △ △ △ ∽△
∠ ∠
A(cid:70)75° B(cid:70)60° C(cid:70)55° D(cid:70)45°
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)D
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)(cid:111)(cid:112)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:116)(cid:128) ABC= EDF(cid:95) ACB= EFD(cid:95)(cid:212)(cid:213) ABC+ ACB= EDF+ EFD(cid:95)(cid:114)(cid:111)(cid:112)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:170)
(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:128)(cid:106)(cid:107)∠(cid:70) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) DE(cid:93)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:64)(cid:29)(cid:43)
EDB=45° ∵
∴∠ABC EDF(cid:95)
∵△ABC=∽△EDF(cid:95) ACB= EFD(cid:95)
∴∠ABC+∠ACB= ∠EDF+ ∠EFD(cid:95)
∴∠ ∠ ∠ ∠EDB=45°= EDF+ EFD(cid:95)
∵∠ABC+ ACB∠=45°(cid:70)∠
(cid:118)∴∠(cid:119)(cid:10)D∠(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)2-3(cid:21)(cid:166)(cid:55) (cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AC=BC(cid:95) ACB=90°(cid:95)(cid:124)D(cid:101)BC(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:171)(cid:124)(cid:95)(cid:172)(cid:173)AD(cid:95)(cid:188)(cid:124)C(cid:54)
CE AD(cid:69)(cid:124)F(cid:95)(cid:181)①AB(cid:69)(cid:124)E△(cid:95)(cid:172)(cid:173)DE(cid:70) ∠
⊥
(1)(cid:122)AE=2BE(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)AF=2CF(cid:160)
BE
(2)(cid:166)(cid:55) (cid:95)(cid:122)AB= 2(cid:95)DE BC(cid:95)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
AE
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)② (1)(cid:106)(cid:107)(cid:184)(cid:117)(cid:47) ⊥
(2)
5−1
2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:208)(cid:39)AE=2BE(cid:95)(cid:188)(cid:124)B(cid:54)BH CE(cid:95)(cid:181)CE(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:69)H(cid:95)(cid:39)(cid:128) AFE BHF(cid:95)(cid:128)(cid:180)AF(cid:38)BH(cid:31)
(cid:57)(cid:215)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:114)(cid:39)(cid:128) AFC CHB(cid:95)(cid:128)(cid:180)CF⊥=BH(cid:111)(cid:112)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:39)(cid:160)△ ∽△
BE △ ≌△ BD BE BD
(cid:80)2(cid:88)(cid:208)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:174)(cid:45)(cid:31)(cid:216)(cid:85)(cid:95)(cid:128)(cid:180) CAD DCE(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:180) (cid:31)(cid:35)(cid:95)(cid:111)(cid:112)DE AC(cid:95)(cid:187)(cid:180) = (cid:95)
AE CD AE CD
△ ∽△ ∥
(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129)(cid:63)(cid:217)(cid:61)(cid:130)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:188)(cid:124)B(cid:54)BH CE(cid:95)(cid:181)CE(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:69)H(cid:95)
AD CE(cid:95) ⊥
∵AF⊥BH(cid:95)
∴ ∥AFE BHE(cid:95)
∴A△F
=
AE
(cid:95)
∽△
BH BE
∴
CE AD(cid:95)
∵ C⊥FD=90°(cid:95)
∴∠ACB=90°(cid:95) ADC= CDF(cid:95)
∵∠ACD CF∠D(cid:95) ∠
∴△CAF=∽△BCH(cid:95)
∴∠AFC=∠CHB=90°,AC=BC(cid:95)
∵∠ ∠AFC CHB (AAS)(cid:95)
∴△CF=BH≌(cid:95)△
∴AF=2BH=2CF(cid:70)
∴
(cid:80)2(cid:88)(cid:47)(cid:10) DE BC(cid:95) ACB=90°(cid:95)
DE AC(cid:95)∵ ⊥ ∠
∴ AC∥E= CED(cid:95)
(cid:178)∴∠(cid:80)1(cid:88)(cid:116)∠(cid:168) ACD CFD(cid:95)
CAF= DC△F(cid:95) ∽△
∴∠AFC=∠CFD(cid:95)
∵∠AFC ∠ CFD(cid:95)
∴△ACE=∽△CDA(cid:95)
∴∠CDA=∠CED(cid:95)
∴∠ACD=∠CDE=90°(cid:95)
∵∠CAD ∠ DCE(cid:95)
∴△AC
=
CD
(cid:95)
∽△
CD DE
∴
AB=BC(cid:95)AB= 2(cid:95)
∵ B= CAB=45°(cid:95)AC=BC=1(cid:95)
∴(cid:182)∠CD=∠x(cid:95)(cid:126)BD=BC−CD=1−x(cid:95)
DE BC(cid:95) B=45°,
∵DE⊥=BD=1∠−x(cid:95)
∴1 x
=
x 1−x
∴
(cid:47)(cid:128)x =−1− 5<0(cid:80)(cid:218)(cid:219)(cid:88)(cid:95)x = 5−1(cid:95)
1 2 2 2
BD
=
DE
=
CD
=
5−1(cid:95)
CD CD AC 2
∴(cid:194) DE AC(cid:95)
B∵E
=
BD∥
=
5−1(cid:70)
AE CD 2
∴
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:94)(cid:220)(cid:68)(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:221)(cid:180)(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:222)(cid:223)
(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:57)(cid:34)(cid:29)(cid:95)(cid:93)(cid:47)(cid:109)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】
(cid:15)(cid:79)3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:161)(cid:162)(cid:224)(cid:161)·(cid:28)(cid:165)(cid:88)O(cid:101)(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:176)(cid:171)(cid:124)(cid:95)OA=OD(cid:95)OB=OC(cid:95) AOD+ BOC=180°(cid:70)
∠ ∠
(1)(cid:166)(cid:55)1(cid:95) AOB=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)AB=CD(cid:70)
(2)(cid:166)(cid:55)2(cid:95)E∠(cid:101)CD(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)(cid:97) OED= AOB(cid:70)
OC ∠ ∠
(cid:80)i(cid:88)(cid:34) (cid:31)(cid:35)(cid:160)
CD
AB OD
(cid:80)ii(cid:88)(cid:34)(cid:39)(cid:10) = (cid:70)
CD OC
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:39)(cid:40)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
OC 2
(2)(cid:80)i(cid:88) = (cid:95)(cid:80)ii(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
CD 2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:207)(cid:208)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)
(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:80)1(cid:88) (cid:111)(cid:112)(cid:29)(cid:31)(cid:94)(cid:225)(cid:116)(cid:128) AOB= DOC(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:116)(cid:39)(cid:128) AOB DOC(SAS)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:61)
(cid:62)(cid:160) ∠ ∠ △ ≌△
(cid:80)2(cid:88)(cid:80)i(cid:88)(cid:227)(cid:178)(cid:167)(cid:168)(cid:228)(cid:229)(cid:116)(cid:128) EDO= EOC(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:116)(cid:39)(cid:128) OCE DCO(cid:95)(cid:114)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:116)(cid:128)(cid:61)(cid:62)(cid:160)
(cid:80)ii(cid:88)(cid:214)(cid:75)OE(cid:230)(cid:124)F(cid:95)(cid:231)EF=EO∠(cid:95)(cid:116)(cid:128)(cid:192)∠(cid:91)(cid:30)FDOC(cid:93)(cid:71)(cid:191)(cid:192)△(cid:91)(cid:30)∽(cid:95)△(cid:178)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)DF=OC=OB(cid:95) FDC=
OCD(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:116)(cid:34)(cid:128) ODF= AOB(cid:95)(cid:232)(cid:226)(cid:39)(cid:128) ODF AOB(SAS)(cid:95)(cid:34)(cid:128) OED= AOB(cid:95)(cid:185)(cid:171)(cid:186)(cid:39)(cid:128) ∠OED ∠
AOB(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:94)∠(cid:43)(cid:44)(cid:31)∠(cid:68)(cid:215)(cid:216)(cid:233)(cid:128)(cid:180)(cid:61)△(cid:62)(cid:70) ≌△ ∠ ∠ △ ∽△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10) AOB=90°(cid:95) AOD+ BOC=180°(cid:95)
∵∠ ∠ ∠DOC=360°− AOB−( AOD+ BOC)=90°(cid:95)
∴∠AOB= DOC∠(cid:95) ∠ ∠
(cid:194)∴∠ OA=O∠D(cid:95)OB=OC(cid:95)
∵AOB DOC(SAS)(cid:95)
∴A△B=CD≌(cid:70)△
∴(cid:80)2(cid:88)(cid:80)i(cid:88)(cid:47)(cid:10) AOD+ BOC=180°(cid:95)
DOC+ AOB=∵1∠80°(cid:95) ∠
∴(cid:194)∠ OED∠= AOB(cid:95)
∵D∠OC+ O∠ED=180°(cid:95)(cid:115) DOE+ EOC+ OED=180°(cid:95)
∴(cid:194)∠ DOE∠+ EDO+ OED=∠180°(cid:95)∠ ∠
∵E∠DO= E∠OC(cid:95) ∠
(cid:194)∴∠ OCE∠= DCO(cid:95)
∵O∠CE ∠DCO(cid:95)
∴△ OC= CE (cid:95) ∽△ (cid:115) OC = 1 2 DC (cid:95) OC2 = 1 (cid:95)
DC CO DC CO DC2 2
∴ OC= 2 (cid:70)
CD 2
∴(cid:80)ii(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10)(cid:214)(cid:75)OE(cid:230)(cid:124)F(cid:95)(cid:231)EF=EO(cid:95)
E(cid:101)CD(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∵(cid:192)(cid:91)(cid:30)FDOC(cid:93)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:95)
∴DF=OC=OB(cid:95) FDC= OCD(cid:95)
∴(cid:194) ODF= FD∠C+ ED∠O(cid:95) DEO= OCD+ EOC(cid:95) EDO= EOC(cid:95)
∵O∠DF= O∠ED= A∠OB(cid:95) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴(cid:194)∠ DF=O∠B(cid:95)OA∠=DO(cid:95)
∵ODF AOB(SAS)(cid:95)
∴△DOF=≌△OAB(cid:95)AB=OF(cid:95)
∴(cid:194)∠ OED∠= AOB(cid:95)
∵O∠ED ∠AOB(cid:95)
∴△OE= ED
(cid:95)
∽ △
AO OB
∴
(cid:194) OE= 1 OF= 1 AB(cid:95)ED= 1 CD(cid:95)OA=OD(cid:95)OB=OC(cid:95)
2 2 2
1 ∵ AB 1CD AB CD
2 =2 (cid:95)(cid:115) = (cid:95)
OD OC OD OC
∴AB= OD
(cid:70)
CD OC
∴ (cid:15)(cid:120)(cid:121)3-1(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:234)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AD BC(cid:70)E(cid:93)(cid:91)AB(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)CE(cid:38)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:181)(cid:69)(cid:124)F(cid:95)(cid:97)BE2=EFEC(cid:70)
∥ ⋅
(cid:34)(cid:39)(cid:10)
(1) ABD FCB(cid:160)
(2)B△DBE∼=A△DCE(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)⋅(cid:21)(1)(cid:184)⋅(cid:47)(cid:108)
(2)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:178)BE2=EFEC(cid:116)(cid:39) BEF CEB(cid:95)(cid:128)(cid:129) EBF= ECB(cid:95)(cid:114)(cid:178)AD BC(cid:128)(cid:129) ADB= DCB(cid:95)(cid:115)(cid:116)
(cid:39)(cid:40) ABD FCB(cid:160) ⋅ △ ∼△ ∠ ∠ ∥ ∠ ∠
(cid:80)2(cid:88) △ (cid:178) B ∼ EF △ CEB(cid:128)(cid:129) BF = BE (cid:95) ABD FCB(cid:128)(cid:129) AB = BD = AD (cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:128)(cid:129) BE = AD (cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129)BDBE=ADCE(cid:70)
BC CE FC BC BF CE BD
△ ∼△ △ ∼△ ⋅ ⋅
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88) BE2=EFEC(cid:95)
BE= CE ∵ ⋅
EF BE
∴
BEF= CEB(cid:95)
∵∠BEF ∠ CEB
∴△EBF=∼△ECB
∴A∠D BC∠(cid:95)
∵ AD∥B= DCB
∴∠ ∠ABD FCB(cid:160)
∴(cid:80)△2(cid:88) ∼B△EF CEB(cid:95)
BF= B∵E△ ∼△
BC CE
∴
ABD FCB(cid:95)
∵△AB= BD
=
∼A△D
FC BC BF
∴
BF= AD
BC BD
∴
BE= AD
CE BD
∴
BEBD=ADCE(cid:70)
∴(cid:15)(cid:124)⋅(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)⋅ (cid:86)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:144)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)3-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:141)·(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:205)·(cid:139)(cid:73)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:73)P(cid:101)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:136)(cid:171)(cid:58)(cid:124)(cid:95)(cid:188)P(cid:124)(cid:54)PE
CD(cid:181)AC(cid:69)(cid:69)(cid:124)E(cid:95)(cid:54)PF AC(cid:181)AD(cid:69)(cid:124)F(cid:95)(cid:172)(cid:173)DE(cid:125)BE(cid:70) ∥
∥
(1)(cid:122)FP=EP(cid:95)
(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE(cid:71)(cid:72) BDC(cid:160)
① (cid:34)(cid:39)(cid:10) 1 + 1 = ∠1(cid:160)
AB AO FP
②
(2)(cid:167)(cid:168)DO=DE=4(cid:95) (cid:97)P(cid:101)DO(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95) (cid:34)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1) (cid:184)(cid:47)(cid:108)(cid:160) (cid:184)(cid:47)(cid:108)
(2)4 10+4 6① ②
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:239)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:36)(cid:37)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:95)
(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:150)(cid:151)(cid:213)(cid:136)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:70)
(cid:80)1(cid:88) (cid:178)(cid:238)(cid:30)(cid:128)(cid:129)OA=OD(cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:111)(cid:112)(cid:68)(cid:91)(cid:64)(cid:68)(cid:29)(cid:94)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:128)(cid:129)PF=PD(cid:95)(cid:68)(cid:215)(cid:244)(cid:233)(cid:128)(cid:129)PD=PE(cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:61)(cid:158)
PE CD①(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:160)
∥ OP PE
(cid:39)(cid:40)(cid:180) OPE ODC(cid:95)(cid:128)(cid:129) = (cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:68)(cid:215)(cid:244)(cid:233)(cid:115)(cid:116)(cid:39)(cid:40)(cid:160)
OD CD
② △ ∽△(cid:80)2(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:95)(cid:188)(cid:124)D(cid:54)DG AC(cid:95)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:128)(cid:129) OP = OE (cid:95)(cid:244)(cid:57)(cid:34)(cid:180)OE=2(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:43)(cid:158)(cid:171)(cid:34)(cid:180)OG=EG= 1 OE
OD OC 2
⊥
=1(cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:24)(cid:25)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:34)(cid:47)(cid:115)(cid:116)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10) (cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
OA=OD(cid:95) ①∵
∴ OAD= ODA(cid:95)
∴P∠F AC(cid:95)∠
∵ P∥FD= OAD(cid:95)
∴∠PFD=∠PDF(cid:95)
∴P∠F=PD(cid:95)∠
∴FP=EP(cid:95)
∵PD=PE(cid:95)
∴ PED= PDE(cid:95)
∴P∠E CD(cid:95)∠
∵ P∥ED= CDE(cid:95)
∴∠ODE=∠CDE(cid:95)
∴D∠E(cid:71)(cid:72)∠BDC(cid:160)
∴ PE C∠D(cid:95)
②∵OPE∥ ODC(cid:95)
∴△OP= PE
(cid:95)
∽△
OD CD
∴
AB=CD(cid:80)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:95)OP=OD−PD=OA−PF(cid:95)PE=PF(cid:95)
∵OA−PF= PF
(cid:95)
OA AB
∴
1− PF = PF (cid:95)
OA AB
∴
1 − 1 = 1
PF OA AB
∴
(cid:246)(cid:177)(cid:128)(cid:95) 1 + 1 = 1 (cid:160)
AB AO FP
∴
(cid:80)2(cid:88)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:95)(cid:188)(cid:124)D(cid:54)DG AC(cid:95)
⊥DO=DE=4(cid:95)(cid:97)P(cid:101)DO(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∵ OP=PD= 1 OD=2(cid:95)OC=OD=4(cid:95)BD=2OD=8(cid:80)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:88)(cid:95)
2
∴
OPE ODC(cid:95)
∵△OP= OE
(cid:95)
∽△
(cid:115)
2
=
OE
(cid:95)
OD OC 4 4
∴
OE=2(cid:95)
∴EC=OC−OE=2(cid:95)
∴DG AC(cid:95)
∵ OG ⊥ =EG= 1 OE=1(cid:95)
2
∴
DG= OD2−OG2= 15(cid:95)GC=GE+EC=1+2=3(cid:95)
∴CD= GC2+DG2=2 6(cid:95)
∴AD= AC2−CD2=2 10(cid:95)
∴(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:74)(cid:75)=2(AD+CD)=2(2 10+2 6)=4 10+4 6(cid:70)
∴(cid:15)(cid:120)(cid:121)3-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:247)(cid:248)(cid:137)(cid:249)·(cid:171)(cid:165)(cid:88)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:10)(cid:254)(cid:255)(cid:55)(cid:30)(cid:73)(cid:256)(cid:257)(cid:60)(cid:256)(cid:258)(cid:31)(cid:165)(cid:23)(cid:95)“(cid:171)(cid:43)(cid:28)(cid:68)(cid:29)”(cid:93)(cid:193)(cid:73)(cid:259)(cid:260)
(cid:254)(cid:255)(cid:261)(cid:262)(cid:187)(cid:177)(cid:31)(cid:263)(cid:79)(cid:95)(cid:167)(cid:168)A,E,B(cid:28)(cid:124)(cid:264)(cid:43)(cid:95)(cid:97) A= DEC= B(cid:31)(cid:265)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:100)(cid:101)“(cid:171)(cid:43)(cid:28)(cid:68)(cid:29)”(cid:160)(cid:269)(cid:270)(cid:99)(cid:171)(cid:271)(cid:272)
(cid:41)(cid:42)(cid:98)(cid:273)(cid:256)(cid:274)(cid:275)(cid:254)(cid:255)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:276)(cid:277) ∠ ∠ ∠
(1)(cid:15)(cid:222)(cid:79)(cid:41)(cid:42)(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:167)(cid:168)A,E,B(cid:28)(cid:124)(cid:169)(cid:278)(cid:171)(cid:228)(cid:179)(cid:43)(cid:136)(cid:95) A= B= DEC=90°(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)Rt ADE Rt BEC
(2)(cid:15)(cid:53)(cid:279)(cid:280)(cid:61)(cid:21)(cid:166)(cid:130) A= B= DEC(cid:95)(cid:281)(cid:282)(cid:195)(cid:39)(cid:40)(cid:127)(cid:89)(cid:90)(cid:28)∠ (cid:29)∠(cid:30)(cid:26)∠(cid:27)(cid:283)(cid:277)(cid:34)(cid:39)(cid:10) ADE △ BEC∽ △
(3)(cid:15)(cid:284)(cid:79)(cid:65)(cid:25)(cid:21)(cid:166)(cid:130)∠A=∠B=∠DEC(cid:95)(cid:122)(cid:124)E(cid:93)AB(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)(cid:34)(cid:39)(cid:10)DE2=ADDC △ ∽△
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:184)(cid:47)(cid:108) ∠ ∠ ∠ ⋅(2)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(3)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:144)(cid:95)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:171)(cid:43)
(cid:28)(cid:68)(cid:29)(cid:165)(cid:23)(cid:95)(cid:71)(cid:285)(cid:208)(cid:60)(cid:77)(cid:286)(cid:280)(cid:61)(cid:70)
(cid:80)1(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:167)(cid:168)(cid:128)(cid:180) D= CEB(cid:95)(cid:213)(cid:287) A= B(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:180) ADE BEC(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:24)(cid:25)(cid:167)(cid:168)(cid:128)(cid:180)∠D=∠CEB(cid:95)(cid:185)(cid:226)∠(cid:34)(cid:180)∠ ADE BE△C; ∽△
(cid:80)3(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) ∠ (cid:30)(cid:31) ∠ (cid:36)(cid:37)(cid:128)(cid:180) ADE △ BEC(cid:95) ∽△ (cid:113)(cid:37) DE = AD = AE (cid:95)(cid:61)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:128)(cid:180) DE = AD (cid:95)(cid:114)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
EC BE BC EC AE
△ ∽△
(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:39)(cid:40)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10) A= B= DEC=90°(cid:95)
DEA+ CEB=90°(cid:95)∵∠ ∠ ∠
∴∠DEA+∠D=90°(cid:95)
∵∠D= C∠EB(cid:95)
∴∠Rt A∠DE Rt BEC(cid:160)
∴(cid:80)2(cid:88)△ A∽= B△= DEC(cid:95) DEB= A+ D= DEC+ CEB(cid:95)
D=∵∠CEB∠(cid:95) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠AD∠E BEC(cid:70)
(cid:80)∴△3(cid:88) ∽A△= B= DEC(cid:95) DEB= A+ ADE= DEC+ CEB(cid:95)
AD∵E∠= C∠EB(cid:95)∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠ADE ∠ BEC(cid:70)
∴D△E= AD = ∽A△E (cid:95)
EC BE BC
∴
(cid:124)E(cid:93)AB(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∵AE=BE(cid:95)
∴DE= AD
(cid:95)
EC AE
∴
A= DEC(cid:95)
∵∠AE∠D ECD(cid:95)
∴D△E= CD
(cid:95)
∽△
AD DE
∴ DE2=ADDC(cid:70)
∴ ⋅【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】
(cid:15)(cid:79)4(cid:21)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:94)Rt ADE(cid:73)(cid:95) BAC= DAE=90°(cid:95)AC= 21(cid:95)AB= 7(cid:95) AE= 3(cid:95)AD=1(cid:95)(cid:288) DAE
(cid:289)(cid:124)A(cid:169)(cid:71)(cid:76)(cid:176)(cid:290)(cid:285)(cid:291)△(cid:292)(cid:216)α(0°≤△α≤360°)(cid:95)(cid:172)∠ (cid:173)CE∠(cid:95)BD(cid:70) △
(1)(cid:34)(cid:39)(cid:10) ADB AEC(cid:160)
(2)(cid:293)(cid:36)(cid:154)△(cid:43)(cid:44)CE∽(cid:94)△BD(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:143)(cid:40)(cid:177)(cid:178)(cid:160)
(3)(cid:294)(cid:124)B(cid:125)D(cid:125)E(cid:169)(cid:278)(cid:171)(cid:228)(cid:179)(cid:43)(cid:136)(cid:285)(cid:95)(cid:179)(cid:173)(cid:183)(cid:180)(cid:43)(cid:44)CE(cid:31)(cid:75)(cid:160)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:39)(cid:40)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(2)CE BD(cid:160)CE= 3BD(cid:160)(cid:177)(cid:178)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(3)3 3⊥(cid:295)2 3
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:292)(cid:216)(cid:120)(cid:233)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:95)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)
(cid:93)(cid:11)(cid:296)(cid:297)(cid:298)(cid:299)(cid:25)(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:95)(cid:189)(cid:190)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:70)
AC AE
(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40) = (cid:95) CAE= DAB(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:160)
AB AD
∠ ∠
(cid:80)2(cid:88)(cid:178) ADB AEC(cid:95)(cid:128)(cid:129) ECA= ABD(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:34)(cid:47)(cid:160)
(cid:80)3(cid:88)(cid:178) △ (cid:80)1(cid:88)(cid:168) ∽ (cid:95) △ CE= 3BD(cid:95) ∠ (cid:294)B ∠ (cid:125)E(cid:125)D(cid:28)(cid:124)(cid:264)(cid:43)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:34)(cid:180)HB= AB2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:95)(cid:128)(cid:129)
4 2
①
BD=BH+DH=3(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:160) (cid:294)B(cid:125)D(cid:125)E(cid:264)(cid:43)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)2(cid:95)(cid:278)(cid:177)(cid:116)(cid:47)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10)(cid:182)(cid:179)(cid:43)②AB(cid:181)CE(cid:69)(cid:124)M(cid:95)(cid:179)(cid:43)CE(cid:181)BD(cid:69)(cid:124)N(cid:95)AC= 21= 3(cid:95)AE = 3(cid:95)
AB 7 AD
∵
AC= AE (cid:95)
AB AD
∴
CAB= EAD=90°(cid:95)
∵∠CAE=∠DAB(cid:95)
∴∠ADB ∠ AEC(cid:160)
(cid:80)∴△2(cid:88)(cid:47)∽(cid:10)△CE BD(cid:95)(cid:177)(cid:178)(cid:10)
ADB AE⊥C(cid:95)
∵△ECA=∽△ABD(cid:95)
∴∠BME=∠CMA(cid:95)
∵∠BNM=∠BAC=90°(cid:95)
∴∠CE BD(cid:160)∠
(cid:80)∴ 3(cid:88)⊥(cid:47)(cid:10)(cid:169)Rt ADE(cid:73)(cid:95)AD=1(cid:95)AE= 3(cid:95)(cid:126)DE=2(cid:95) EDA=60°(cid:95)
(cid:178)(cid:80)1(cid:88)(cid:168)(cid:95) A△DB AEC(cid:95) ∠
BD= AB = 1 (cid:95) △ ∽△
EC AC 3
∴
(cid:126)CE= 3BD(cid:160)
(cid:294)B(cid:125)E(cid:125)D(cid:28)(cid:124)(cid:264)(cid:43)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)
①
(cid:188)(cid:124)A(cid:54)AH BD(cid:69)(cid:124)H(cid:95)
(cid:169)Rt ADH(cid:73) ⊥ (cid:95)AD=1(cid:95) D=60°(cid:95)(cid:126)DH= 1(cid:95)AH= 3 (cid:95)
2 2
△ ∠
(cid:169)Rt AHB(cid:73)(cid:95)HB= AB2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:95)
4 2
△
(cid:126)BH+DH= 5 + 1 =3(cid:95)
2 2
(cid:126)EC= 3BD=3 3(cid:160)
(cid:294)B(cid:125)D(cid:125)E(cid:264)(cid:43)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)
②(cid:188)(cid:124)A(cid:54)AH BD(cid:181)(cid:69)(cid:124)H(cid:95)
(cid:169)Rt AHE(cid:73) ⊥ (cid:95)AE= 3(cid:95) E=30°(cid:95)(cid:126)AH= 1 AE= 3(cid:95)EH= 3 (cid:95)
2 2 2
△ ∠
(cid:169)Rt ADE(cid:73)(cid:95)AD=1(cid:95) E=30°(cid:95)(cid:126)ED=2(cid:95)
(cid:169)Rt △ ABH(cid:73)(cid:95)BH= AB ∠ 2−AH2= 7− 3 = 5 (cid:95)
4 2
△
(cid:126)BE=BH−BH+EH= 5 + 3 =4(cid:95)
2 2
(cid:126)BD=BE−DE=4−2=2(cid:95)
CE= 3BD(cid:95)
∵(cid:115)CE=2 3(cid:160)
(cid:300)(cid:136)(cid:95)CE=3 3(cid:295)CE=2 3
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-1(cid:21)(cid:301)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:80)(cid:156)(cid:93)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:88)(cid:171)(cid:90)(cid:123)(cid:124)(cid:302)(cid:171)(cid:228)(cid:303)(cid:43)(cid:38)(cid:64)(cid:91)(cid:26)(cid:181)(cid:95)(cid:123)(cid:124)(cid:38)(cid:181)(cid:124)(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:304)(cid:127)(cid:90)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:72)(cid:305)(cid:152)(cid:89)(cid:90)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:166)(cid:130)(cid:72)(cid:128)(cid:31)(cid:89)(cid:90)(cid:105)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:171)(cid:90)(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:306)(cid:171)(cid:90)(cid:38)(cid:307)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:95)(cid:270)
(cid:99)(cid:304)(cid:127)(cid:228)(cid:43)(cid:44)(cid:308)(cid:221)(cid:127)(cid:90)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:70)
(1)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:169)ΔABC(cid:73)(cid:95) A=46°(cid:95)CD(cid:93)ΔABC(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)(cid:97)AD=CD(cid:95)(cid:34) ACB(cid:31)(cid:174)(cid:57)(cid:70)
(2)(cid:166)(cid:55)2(cid:95)(cid:169)ΔABC(cid:73)(cid:95)A∠C=3(cid:95)BC= 2(cid:95)CD(cid:93)ΔABC(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)(cid:97)ΔACD∠(cid:93)(cid:213)CD(cid:101)(cid:311)(cid:91)(cid:31)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
(cid:312)(cid:180)CD(cid:38)BD(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)92°(cid:160)(2)BD= 2CD(cid:160)
3
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:10)
(cid:80)1(cid:88)(cid:111)(cid:112)AD=CD(cid:287)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)(cid:128)(cid:129) CDB ACB(cid:95)(cid:128)(cid:129)(cid:26)(cid:65)(cid:31)(cid:29)(cid:174)(cid:3)(cid:46)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129)(cid:106)(cid:107)(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:111)(cid:112)ΔACD(cid:93)(cid:213)CD(cid:101)(cid:311)(cid:91)(cid:31)(cid:68)(cid:175)(cid:28) △ (cid:29)(cid:30)(cid:309) ∽△ (cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)(cid:128)(cid:129) CDB ACB(cid:95)(cid:301)(cid:226)(cid:128)(cid:129) AC = BC = AB (cid:115)(cid:116)(cid:128)
CD BD BC
△ ∽△
(cid:129)(cid:106)(cid:107)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:47)(cid:10) A=46°(cid:95)AD=CD(cid:95)
A= ACD=46°(cid:95) ∵∠
∴∠CD(cid:93)∠ΔABC(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)
∵ CDB ACB(cid:95)
∴△DCB=∽△A=46°(cid:95)
∴∠ACB=4∠6°×2=92°(cid:160)
∴ (cid:80) ∠ 2(cid:88)(cid:47)(cid:10)BD= 2CD(cid:95)(cid:177)(cid:178)(cid:166)(cid:141)(cid:95)
3
CD(cid:93)ΔABC(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:72)(cid:305)(cid:43)(cid:95)(cid:97)ΔACD(cid:93)(cid:213)CD(cid:101)(cid:311)(cid:91)(cid:31)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∵ CDB ACB(cid:95)
∴△AC= BC = ∽A△B (cid:95)
CD BD BC
∴
AC=3(cid:95)BC= 2(cid:95)
∵ 3 = 2= 3 BD (cid:95)
CD BD 2
+
∴
BD= 2CD(cid:70)
3
∴
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-2(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:304)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:313)(cid:314)GE(cid:125)EC(cid:125)GF(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:231)(cid:128)(cid:124)A(cid:125)B(cid:125)D(cid:315)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:169)(cid:124)O(cid:318)(cid:95)(cid:97)(cid:124)G(cid:125)O(cid:125)C
(cid:169)(cid:278)(cid:171)(cid:228)(cid:179)(cid:43)(cid:136)(cid:95)(cid:278)(cid:285)(cid:124)E(cid:125)O(cid:125)F(cid:169)(cid:306)(cid:171)(cid:228)(cid:179)(cid:43)(cid:136)(cid:70)(cid:156)(cid:319)(cid:320)AD=m(cid:125)AB=n(cid:95)(cid:293)(cid:183)(cid:180)m(cid:125)n(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:68)(cid:215)(cid:3)
(cid:46) (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)n2=2m2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:313)(cid:314)GE(cid:125)EC(cid:125)GF(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:231)(cid:128)(cid:124)A(cid:125)B(cid:125)D(cid:315)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:169)(cid:124)O(cid:318)(cid:128)(cid:129)DG=OG=AG(cid:95)AE=OE=BE(cid:95)OC=CB(cid:95) EOG= FOG=90°(cid:95) AEG= OEG(cid:95) OEC= BEC(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129) GEC=90°(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129) GEO
ECO(cid:95)(cid:301)(cid:226)(cid:128)(cid:129)E∠O2=OG∠OC(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)∠(cid:129)(cid:106)(cid:107)∠. ∠ ∠ ∠ △ ∽△∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:238)(cid:30)ABCD⋅(cid:313)(cid:314)GE(cid:125)EC(cid:125)GF(cid:49)(cid:50)(cid:95)(cid:231)(cid:128)(cid:124)A(cid:125)B(cid:125)D(cid:315)(cid:316)(cid:132)(cid:317)(cid:169)(cid:124)O(cid:318)(cid:95)
DG=OG=AG(cid:95)∵ AE=OE=BE(cid:95)OC=CB(cid:95) EOG= FOG=90°(cid:95) AEG= OEG(cid:95) OEC= BEC(cid:95)
∴ GEC=90°(cid:95) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠
∴∠CEO+ GEO= CEO+ OCE=90°(cid:95)
∴∠GEO=∠OCE(cid:95)∠ ∠
∴∠GEO ∠ ECO(cid:95)
∴E△O2=G∽O△O∠C(cid:95)
∴AD=m(cid:125)A⋅B=n(cid:95)
∵ m n
DG=OG=AG= (cid:95)AE=OE=BE= (cid:95) OC=CB=m(cid:95)
2 2
∴ n2=2m2(cid:95)
∴(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)n2=2m2
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:238)(cid:30)(cid:73)(cid:50)(cid:321)(cid:51)(cid:22)(cid:287)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:111)(cid:112)(cid:127)(cid:128)(cid:128)(cid:129)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:287)
(cid:43)(cid:44)(cid:31)(cid:75)(cid:174)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)4-3(cid:21)(cid:300)(cid:158)(cid:284)(cid:322)(cid:323)(cid:136)(cid:95)(cid:105)(cid:324)(cid:304)(cid:171)(cid:325)(cid:75)(cid:78)(cid:30)(cid:326)(cid:327)ABCD(cid:313)(cid:314)(cid:328)(cid:43)EB(cid:329)(cid:330)(cid:95)(cid:166)(cid:55) (cid:212)(cid:245)(cid:95)(cid:326)(cid:327)Rt CB′E′(cid:104)
(cid:105)(cid:331)(cid:29)(cid:31)(cid:123)(cid:124)E′(cid:169)DE(cid:136)(cid:95)(cid:104)(cid:75)(cid:179)(cid:29)(cid:91)(cid:38)(cid:332)(cid:91)(cid:72)(cid:92)(cid:181)(cid:91)AB(cid:69)(cid:124)G(cid:95)(cid:97)B′E′ AB(cid:101)(cid:333)(cid:334)①(cid:335)(cid:336)(cid:95)(cid:304)Rt CB△′E′(cid:313)(cid:314)DE
(cid:78)(cid:337)(cid:71)(cid:338)(cid:95)(cid:294)(cid:124)E′(cid:129)(cid:339)(cid:124)E(cid:217)(cid:340)(cid:341)(cid:289)(cid:124)E(cid:342)(cid:285)(cid:291)(cid:292)(cid:216)(cid:95)(cid:166)(cid:55) (cid:95)(cid:179)(cid:129)(cid:124)H⊥(cid:38)(cid:124)B(cid:343)(cid:158)(cid:344)(cid:345)(cid:70)(cid:101)(cid:147)(cid:41)△(cid:34)BH(cid:38)AG
(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:120)(cid:85)(cid:3)(cid:46)(cid:95)(cid:182)AG=m(cid:95)(cid:293)(cid:25)(cid:346)m(cid:31)(cid:244)(cid:57)(cid:121)(cid:347)(cid:245)BH(cid:70) ③
(cid:80)1(cid:88)(cid:169)(cid:71)(cid:338)(cid:188)(cid:348)(cid:73)(cid:95)BH= (cid:95)
(cid:80)2(cid:88)(cid:169)(cid:292)(cid:216)(cid:188)(cid:348)(cid:73)(cid:95)BH= (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)
15
−m
63−12m
2 9−m
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:187)(cid:180)Rt E′HG Rt E′CB′(cid:95)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:39)(cid:40) EGH B△GE(cid:95)(cid:187)∽(cid:180)E△G2=(9−m)GH(cid:95)(cid:54)GI DE(cid:181)DE(cid:69)(cid:124)I(cid:95)(cid:169)Rt EGI(cid:73)(cid:95)(cid:178)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:34)(cid:128)EG2=
△ ∽△ ⋅ ⊥ △32+(3−m)2(cid:95)(cid:112)(cid:239)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:80)1(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:168)EC=E′C=6cm(cid:95)BC=B′C=AD=3cm(cid:95)
B′E′ AB(cid:95)
∵ E′H⊥G=90°(cid:95)Rt E′HG Rt E′CB′(cid:95)
∴∠GH=E′H= 3 = 1 (cid:95) △ ∽ △
B′C E′C 6 2
∴
GH= 1 ×B′C= 3 (cid:95)
2 2
∴
BH=AB−AG−GH=9−m− 3 = 15 −m(cid:160)
2 2
∴
(cid:80)2(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:168) HEG= EBG(cid:95)
(cid:194) EGH= BGE(cid:95)∠ ∠
∵E∠GH ∠BGE(cid:95)
∴E△G= GH = ∽E△G (cid:95)
BG GE 9−m
∴ EG2=(9−m)GH(cid:95)
∴(cid:54)GI DE(cid:181)D⋅E(cid:69)(cid:124)I(cid:95)
⊥
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ADIG(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∴GI=AD=3cm(cid:95)
(cid:169)∴ Rt EGI(cid:73)(cid:95)EG2=32+(3−m)2(cid:95)
(9−
△
m)GH=32+(3−m)2(cid:95)(cid:115)GH=
18−6m m2
(cid:95)
9−m
+
∴ BH=A ⋅ B−AG−GH=9−m− 18−6m m2 = 63−12m (cid:160)
9−m 9−m
+
∴
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)
15
−m (cid:160)
63−12m
(cid:70)
2 9−m
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:86)(cid:110)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:49)(cid:50)(cid:120)(cid:233)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:95)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)
(cid:153)(cid:93)(cid:155)(cid:113)(cid:349)(cid:312)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:11)(cid:296)(cid:24)(cid:25)(cid:350)(cid:57)(cid:189)(cid:351)(cid:78)(cid:348)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:352)(cid:69)(cid:73)(cid:86)(cid:353)(cid:354)(cid:22)(cid:73)(cid:31)(cid:355)(cid:356)(cid:22)(cid:70)【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】
(cid:15)(cid:79)5(cid:21)(cid:80)2025·(cid:204)(cid:357)(cid:358)(cid:359)·(cid:165)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:88)(cid:169)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:136)(cid:363)(cid:171)(cid:124)E(cid:95)(cid:231)(cid:128)DE=2BE(cid:95)(cid:172)(cid:173)CE(cid:95)(cid:288) CEB
(cid:313)CE(cid:49)(cid:50)(cid:128)(cid:129) CEF(cid:95)(cid:172)(cid:173)AF,BF(cid:70) △
△
(cid:80)1(cid:88) AFB= (cid:160)
(cid:80)2(cid:88)∠(cid:122)AB=6,BC=9(cid:95)(cid:126)AF= (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21) 90°/90(cid:174) 3 10
5
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:214)(cid:75)CE(cid:181)AB(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:181)BF(cid:69)(cid:124)G(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:50)(cid:321)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:124)G(cid:93)BF(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)CH BF(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:238)(cid:30)
(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:39) BEH DEC(cid:95)(cid:128)(cid:129)AB=2BH(cid:95)(cid:116)(cid:128)GH(cid:93)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:95)(cid:178)(cid:239)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:160) ⊥
△ ∽△ AB AF 6 AF
(cid:80)2(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:128)(cid:129)BH=3,CH=3 10(cid:95)(cid:39)(cid:40) ABF HCB(cid:95)(cid:128)(cid:129) = (cid:95)(cid:115) = (cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
CH HB 3 10 3
△ ∽△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:80)1(cid:88)(cid:214)(cid:75)CE(cid:181)AB(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:181)BF(cid:69)(cid:124)G(cid:95)
(cid:288) CEB(cid:313)CE(cid:49)(cid:50)(cid:128)(cid:129) CEF(cid:95)
∵EB△=EF(cid:95)CH BF(cid:95)(cid:364)(cid:365)△(cid:101)(cid:124)G(cid:95)BG=FG(cid:95)(cid:115)(cid:124)G(cid:93)BF(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∴(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD⊥(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵AB CD(cid:95)AB=CD(cid:95)
∴ B∥EH DEC(cid:95)(cid:97)
∴△BH= BE
(cid:95)
∽△
CD DE
∴
DE=2BE(cid:95)
∵CD=2BH(cid:95)
∴AB=2BH(cid:95)(cid:115)(cid:124)H(cid:93)AB(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∴GH AF(cid:95)
∴ ∥BGH= AFB=90°(cid:95)
∴(cid:118)∠(cid:106)(cid:107)(cid:101)∠(cid:10)90°(cid:160)
(cid:80)2(cid:88) CG BG(cid:95)
GB∵C+ G⊥CB=90°(cid:95)
∴(cid:192)∠ (cid:91)(cid:30)A∠BCD(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵ ABC=90°(cid:95)(cid:115) ABF+ GBC=90°(cid:95)
∴∠ABF= HCB(cid:95)∠ ∠
∴(cid:178) ∠ (cid:80)1(cid:88)(cid:128) ∠ (cid:129) AFB=90°= HBC(cid:95)BH= 1 AB=3(cid:95)(cid:126)CH= BC2+BH2= 92+32=3 10(cid:95)
2
∠ ∠
ABF HCB(cid:95)
∴△AB= AF
(cid:95)
∽△
(cid:115)
6
=
AF
(cid:95)
CH HB 3 10 3
∴
3 10
(cid:47)(cid:128)(cid:95)AF= (cid:95)
5
3 10
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) (cid:160)
5
3 10
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) 90°(cid:160) (cid:70)
5
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)①(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)②(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:50)(cid:321)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)
(cid:33)(cid:95)(cid:150)(cid:151)(cid:238)(cid:30)(cid:38)(cid:50)(cid:321)(cid:95)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:158)(cid:177)(cid:54)(cid:180)(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:93)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:366)(cid:367)(cid:368)·(cid:171)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95) ABC(cid:31)(cid:73)(cid:335)(cid:43)DE=5cm(cid:95)(cid:304) ABC(cid:313)DE(cid:50)(cid:321)(cid:95)(cid:231)(cid:124)A(cid:317)(cid:169)(cid:91)BC
(cid:136)(cid:31)(cid:124)F(cid:318)(cid:95)(cid:122)A(cid:125)F(cid:89)(cid:124)(cid:45)(cid:31)(cid:369)(cid:370)(cid:93)8cm(cid:95)△(cid:126) DEF(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)(cid:80) (cid:88) △
△
A(cid:70)5cm2 B(cid:70)10cm2 C(cid:70)20cm2 D(cid:70)40cm2
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:268)(cid:356)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:64)(cid:65)(cid:124)(cid:172)(cid:43)(cid:95)(cid:116)(cid:128)AF(cid:115)(cid:93) ABC(cid:31)(cid:66)(cid:95)(cid:114)(cid:178)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:180)BC(cid:95)(cid:232)(cid:226)(cid:116)(cid:128)
ABC(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:37)(cid:177)(cid:115)△(cid:116)(cid:128)(cid:129)(cid:61)(cid:62)(cid:70)
△(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:49)(cid:50)(cid:120)(cid:233)((cid:50)(cid:321)(cid:51)(cid:22))(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)
(cid:50)(cid:321)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) DE(cid:93) ABC(cid:31)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:95)
∵ △
DE BC(cid:95)BC=2DE=10(cm)(cid:70)
∴(cid:178)(cid:50)∥(cid:321)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:10)AF DE(cid:95) DEF DEA(cid:95)
AF BC(cid:95) ⊥ △ ≌△
∴ S ⊥ = 1 BC×AF= 1 ×10×8=40(cm2)(cid:95)
ABC 2 2
∴ △
DE BC(cid:95)
∵ A∥DE ABC(cid:95)
∴△S ADE= ∽D△E 2 = 1 2 = 1 (cid:95)
S BC 2 4
△ABC
∴ △
S =S = 1 S =10(cm2)(cid:70)
DEF ADE 4 ABC
∴ △ △ △
(cid:118)(cid:119)(cid:10)B (cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:204)(cid:357)(cid:371)(cid:372)·(cid:171)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB<BC(cid:95)AB=4(cid:95)E(cid:101)BC(cid:91)(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)(cid:97)BE=2(cid:95)(cid:288)
ABE(cid:313)(cid:179)(cid:43)AE(cid:49)(cid:50)(cid:217)(cid:95)(cid:124)B(cid:317)(cid:169)(cid:124)F(cid:318)(cid:95) ABC(cid:31)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:181)(cid:43)(cid:44)AF(cid:95)AD(cid:72)(cid:92)(cid:69)(cid:124)H(cid:95)G(cid:95)(cid:126)(cid:43)(cid:44)FH(cid:31)
△(cid:75)(cid:101) (cid:70) ∠
8
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)
7
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:238)(cid:30)(cid:50)(cid:321)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:54)(cid:180)
(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:188)(cid:124)F(cid:54)FM AB(cid:181)BC(cid:69)M(cid:95)(cid:54)FP BC(cid:181)AB(cid:95)(cid:181)BG(cid:69)Q(cid:95)(cid:116)(cid:39)(cid:128)(cid:192)(cid:91)(cid:30)BMFP(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)(cid:128)(cid:129)PF=BM(cid:95)BP=
FM(cid:95) BPF= ∥ EMF= PFM=90°(cid:95)(cid:114) ∥ (cid:39)(cid:40) APF EMF(cid:95)(cid:128)(cid:180) AP = PF = AF = 4 =2(cid:95)(cid:126)AP=2ME(cid:95)PF=2FM(cid:95)(cid:182)
ME MF EF 2
∠ ∠ ∠ △ ∽△
ME=x(cid:95)FM=y(cid:95)(cid:126)AP=2x(cid:95)PF=2y(cid:95)BP=FM=y(cid:95)(cid:232)(cid:226)(cid:116)(cid:128)2x+y=4(cid:95)(cid:115)y=4−2x (cid:95)x2+y2=22=4(cid:95)(cid:47)(cid:128)x(cid:125)y(cid:35)(cid:95)8
6 12 16 8 HF QF HF
(cid:301)(cid:226)(cid:128)(cid:129)EM= (cid:95)AP= (cid:95)PF= (cid:95)BP= (cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:39)(cid:40) FQH AGH(cid:95)(cid:128)(cid:129) = (cid:95)(cid:115) =5(cid:95)(cid:34)(cid:47)(cid:115)(cid:116)(cid:70)
5 5 5 5 AH AG 4−HF 4
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:188)(cid:124)F(cid:54)FM AB(cid:181)BC(cid:69)M(cid:95)(cid:54)FP B△C(cid:181)AB∽(cid:95)△(cid:181)BG(cid:69)Q(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)
∥ ∥
(cid:238)(cid:30)ABCD
∵ ABC=90°(cid:95)AD BC(cid:95)
∴F∠M AB(cid:95)FP BC∥
∵(cid:192)(cid:91)∥(cid:30)BMFP∥(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∴PF=BM(cid:95)BP=FM(cid:95) BPF= EMF= PFM=90°(cid:95)
∴ PFE+ MFE=90°(cid:95)∠ ∠ ∠
∴(cid:178)∠(cid:50)(cid:321)(cid:116)∠(cid:128)(cid:10)AF=AB=4(cid:95)EF=BE=2(cid:95) AFE= ABC=90°(cid:95)
AFP+ PFE=90° ∠ ∠
∴∠AFP=∠MFE
∴∠APF=∠EMF=90°
∵∠APF ∠ EMF
∴△AP= PF∽
=
A△F
=
4
=2
ME MF EF 2
∴
AP=2ME(cid:95)PF=2FM(cid:95)
(cid:182)∴ ME=x(cid:95)FM=y(cid:95)(cid:126)AP=2x(cid:95)PF=2y(cid:95)BP=FM=y(cid:95)
AP+PB=AB
∵2x+y=4(cid:95)(cid:115)y=4−2x
∴ME2+FM2=EF2
∵x2+y2=22=4
∴x2+(4−2x)2=4
∴ 6
(cid:47)(cid:128)(cid:10)x = (cid:95)x =2(cid:80)(cid:218)(cid:219)(cid:88)(cid:95)
1 5 2
8
y=4−2x= (cid:95)
5
∴EM= 6 (cid:95)AP= 12 (cid:95)PF= 16 (cid:95)BP= 8
5 5 5 5
∴
BG(cid:93) ABC(cid:31)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:95)
∵ ABG∠= CBG
∴A∠D BC∠
∵ AG∥B= CBG
∴∠AGB=∠ABG
∴A∠G=AB=∠4
∴FP BC
∵ P∥QB= CBQ
∴∠PQB=∠PBQ
∴P ∠ Q=BP= ∠8
5
∴
8
QF=PF−PQ=
5
∴
FP BC(cid:95)AD BC
∵PF∥AD ∥
∴ F∥QH AGH
∴H△F= QF ∽△
AH AG
∴ 8
HF =5
4−HF 4
∴ 8
HF=
7
∴
8
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) (cid:70)
7
(cid:15)(cid:120)(cid:121)5-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:373)(cid:249)(cid:109)(cid:374)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95) BAC=90°(cid:95)AD(cid:101)BC(cid:136)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:95)(cid:288) ADC(cid:313)(cid:179)(cid:43)AD
△ ∠ BE 2 △
(cid:49)(cid:50)(cid:128)(cid:129) ADC′(cid:95)C′D(cid:38)AB(cid:181)(cid:69)(cid:124)F(cid:95)(cid:172)(cid:173)C′C(cid:38)AB,AD(cid:72)(cid:92)(cid:181)(cid:69)(cid:124)E,O(cid:95)(cid:172)(cid:173)C′B(cid:95)(cid:122) = (cid:95)(cid:126)(cid:141)(cid:142)(cid:61)(cid:62)(cid:155)
AE 3
△
(cid:113)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)AF=2BF B(cid:70)(cid:122)AD=2(cid:95)(cid:126) ADC=60°
∠C(cid:70)2S =S D(cid:70)CC′(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)AD
BFC′ ADF
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)A△ △
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:50)(cid:321)(cid:128)(cid:129)DC=DC'=DB(cid:95)AD(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)CC'(cid:95)(cid:116)(cid:36)(cid:37)D(cid:119)(cid:375)(cid:160)(cid:182) DCC'= DC'C=α, DBC'= DC'B=
β(cid:95)(cid:126)α+β= DC'B+ DC'C=90°= DOC(cid:95)(cid:178)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:129)OD= 1 BC ∠ '(cid:95)(cid:182)OD ∠ =x(cid:95)(cid:126)BC ∠'=2x(cid:95)(cid:39) ∠ (cid:40) B
2
∠ ∠ ∠ △
C'E AOE(cid:95) BC'F ADF(cid:95)(cid:116)(cid:36)(cid:37)A(cid:95)C(cid:119)(cid:375)(cid:160)(cid:111)(cid:112)(cid:331)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:56)(cid:57)(cid:31)(cid:376)(cid:377)(cid:116)(cid:128) BDC'≠60°(cid:95)(cid:61)(cid:158)(cid:50)(cid:321)(cid:31)
(cid:32)(cid:33)∽(cid:116)△(cid:36)(cid:37)B△(cid:119)(cid:375)(cid:95)∽(cid:178)△(cid:239)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70) ∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95) BAC=90°(cid:95)AD(cid:101)BC(cid:136)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:95)
BD=CD(cid:95) △ ∠
∴(cid:50)(cid:321)(cid:95)
∵DC=DC'=DB(cid:95)AD(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)CC'(cid:95)(cid:126)CC' AD(cid:95)(cid:378)(cid:156)(cid:71)(cid:72)AD(cid:95)(cid:118)D(cid:119)(cid:375)(cid:145)(cid:146)(cid:95)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:95)
∴ DCC'= DC'C, DBC'= DC'B(cid:95)OC=OC⊥', DOC= DOC'=90°(cid:95)
∴(cid:182)∠ DCC'=∠ DC'C∠=α, DB∠C'= DC'B=β(cid:95) ∠ ∠
∠BDC'= ∠DCC'+ D∠C'C=2α(cid:95)∠
∴(cid:169)∠ BDC'∠(cid:73)(cid:95) DB∠C'+ DC'B+ BDC'=180°(cid:95)
2△α+2β=180°(cid:95)∠(cid:126)α+β=∠ DC'B+∠ DC'C=90°= DOC(cid:95)
∴BC' AD(cid:95) ∠ ∠ ∠
∴(cid:124)O∥,D(cid:72)(cid:92)(cid:93)CC',CB(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∵ OD= 1 BC'(cid:95)
2
∴ (cid:182)OD=x(cid:95)(cid:126)BC'=2x(cid:95)
BC' AD(cid:95)
∵ BC∥'E AOE(cid:95)
∴B△C' = BE = ∽2 (cid:95) △ (cid:115) 2x = 2 (cid:95)
AO AE 3 AO 3
∴
AO=3x(cid:95)
∴AD=AO+OD=3x+x=4x(cid:95)
∴BC' AD(cid:95)
∵ BC∥'F ADF(cid:95)
∴B△C'
=
BF
(cid:95)
∽
(cid:115)
△2x
=
BF
,
AD AF 4x AF
∴
AF=2BF(cid:95)(cid:118)A(cid:119)(cid:375)(cid:155)(cid:113)(cid:95)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:160)
∴2
S BC'F= 1 = 1 (cid:95)
S 2 4
△ADF
∴ △
S =4S (cid:95)(cid:118)C(cid:119)(cid:375)(cid:145)(cid:146)(cid:95)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:160)
ADF BFC'
∴(cid:122)A△D=2(cid:95)(cid:126)△ CD=BD=AD=2(cid:95)
1
(cid:111)(cid:112)(cid:136)(cid:379)(cid:376)(cid:377)(cid:95)AD=4x=2(cid:95)(cid:126)x= (cid:95)
2
BC'=2x=1(cid:95)
∴ sin BCC'= BC' = 1 ≠ 1 =sin30°(cid:95)
BC 4 2
∴ D ∠ CC'≠30°, DC'C≠30°(cid:95)
∴∠BDC'≠60°(cid:95)∠
∴(cid:194)∠ (cid:50)(cid:321)(cid:95) ADC= ADC'(cid:95) ADC+ ADC'+ BDC'=180°(cid:95)
∵ADC+ A∠DC'≠12∠0°(cid:95) ∠ ∠ ∠
∴∠ADC≠6∠0°(cid:95)(cid:118)B(cid:119)(cid:375)(cid:145)(cid:146)(cid:95)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:160)
∴(cid:118)∠(cid:119)(cid:10)A (cid:70)
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:50)(cid:321)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:43)(cid:44)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:91)(cid:73)(cid:43)(cid:68)(cid:69)(cid:332)(cid:91)(cid:171)(cid:380)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:376)(cid:377)(cid:95)(cid:150)(cid:151)(cid:50)(cid:321)(cid:31)(cid:32)
(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:376)(cid:377)(cid:93)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】
(cid:15)(cid:79)6(cid:21)(cid:80)2025·(cid:381)(cid:351)(cid:249)(cid:382)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:95)AB=a(cid:95)BC=b(cid:95)(cid:171)(cid:383)(cid:384)(cid:43)(cid:301)AB(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:124)E(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:313)
EP(cid:31)(cid:78)(cid:337)(cid:303)(cid:180)(cid:95)(cid:386)BC(cid:91)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:95)(cid:128)(cid:129)(cid:387)(cid:303)(cid:384)(cid:43)PQ(cid:95)(cid:194)(cid:386)CD(cid:91)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:95)(cid:128)(cid:129)(cid:387)(cid:303)(cid:384)(cid:43)QK…(cid:111)(cid:112)(cid:384)(cid:31)(cid:387)(cid:303)(cid:307)
(cid:177)(cid:95)(cid:388)(cid:171)(cid:389)(cid:31)(cid:387)(cid:303)(cid:95)(cid:387)(cid:303)(cid:31)(cid:29)(cid:174)(cid:68)(cid:69)(cid:390)(cid:303)(cid:31)(cid:29)(cid:174)(cid:95)(cid:79)(cid:166)(cid:10) QPC= EPB(cid:70)
∠ ∠
(1)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:156)(cid:391)(cid:385)(cid:260)(cid:10)(cid:384)(cid:43)EP(cid:386)(cid:188)(cid:89)(cid:389)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:95)(cid:128)(cid:129)(cid:387)(cid:303)(cid:384)(cid:43)QK(cid:38)(cid:307)(cid:390)(cid:303)(cid:384)(cid:43)EP(cid:71)(cid:191)(cid:70)(cid:293)(cid:298)(cid:213)(cid:39)(cid:40)(cid:160)
(2)(cid:293)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:169)(cid:55)2(cid:54)(cid:180)(cid:387)(cid:303)(cid:124)F(cid:95)(cid:231)(cid:128)(cid:384)(cid:43)EF(cid:386)BC(cid:91)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:128)(cid:129)(cid:31)(cid:387)(cid:303)(cid:384)(cid:43)(cid:195)(cid:386)(cid:188)CD(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:124)G(cid:160)(cid:80)(cid:392)(cid:393)
(cid:54)(cid:55)(cid:394)(cid:395)(cid:95)(cid:156)(cid:183)(cid:54)(cid:144)(cid:88)
(3)(cid:166)(cid:130)(cid:208)(cid:269)(cid:384)(cid:43)EF(cid:396)(cid:389)(cid:386)BC(cid:95)CD(cid:95)AD(cid:91)(cid:28)(cid:389)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:397)(cid:129)(cid:180)(cid:385)(cid:124)E(cid:95)(cid:126)(cid:390)(cid:303)(cid:384)(cid:43)(cid:31)(cid:29)(cid:174)(cid:65)(cid:398)(cid:365)(cid:399)(cid:400)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:277)(cid:293)(cid:143)(cid:40)(cid:177)(cid:178)(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(2)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(3)(cid:294) BFE= ACB(cid:285)(cid:95)(cid:384)(cid:43)EF(cid:386)(cid:188)(cid:28)(cid:389)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:397)(cid:129)(cid:180)(cid:385)(cid:124)E
(cid:15)(cid:72)(cid:108)∠(cid:21)(cid:80)1∠(cid:88)(cid:227)(cid:34)(cid:128) EPQ=180°−2 EPB(cid:95) PQK=2 EPB(cid:95)(cid:187)(cid:180) EPQ+ PQK=180°(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:129)EP KQ(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:401)(cid:180)(cid:55)∠(cid:30)(cid:115)(cid:116)(cid:160) ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∥
(cid:80)3(cid:88)(cid:227)(cid:39)(cid:40)(cid:192)(cid:91)(cid:30)EFGH(cid:93)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:95)(cid:128)(cid:129)EF=GH(cid:95)(cid:39)(cid:40) BEF DGH(cid:95)(cid:187)(cid:180)EF=GH(cid:95)(cid:114)(cid:39)(cid:40) BEF
CF CG a △ ≌△ △ ∽△
CGF(cid:95)(cid:187)(cid:180) = (cid:95)(cid:246)(cid:177)(cid:128)tan BFE=tan ACB= (cid:95)(cid:34)(cid:128) BFE= ACB(cid:95)(cid:112)(cid:239)(cid:34)(cid:47)(cid:115)(cid:116)(cid:70)
BF BE b
∠ ∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10)(cid:178)(cid:22)(cid:159)(cid:128) EPB= QPC(cid:95) PQC= KQD(cid:70)
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:238)(cid:30)(cid:95) ∠ ∠ ∠ ∠
∵ B= C=90°(cid:70)
∴∠ ∠
QPC+ PQC=90°(cid:95)
∴∠PQC=∠90°− QPC=90°− EPB(cid:95)
∴∠EPB+ EPQ∠+ QPC=18∠0°(cid:95)
∵∠EPQ=∠180°−2∠EPB(cid:95)
∴∠PQC+ PQK+∠ KQD=180°(cid:95)
∵∠PQK=∠180°−2∠PQC=180°−2(90°− EPB)=2 EPB(cid:95)
∴∠EPQ+ PQK=∠180°(cid:95) ∠ ∠
∴E∠P KQ(cid:160)∠
∴(cid:80)2(cid:88)∥(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:124)G(cid:101)(cid:34)(cid:54)(cid:31)(cid:124)(cid:70)(cid:160)
(cid:80)3(cid:88)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:384)(cid:43)EF(cid:386)(cid:188)(cid:28)(cid:389)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:397)(cid:129)(cid:180)(cid:385)(cid:124)E(cid:95)(cid:387)(cid:303)(cid:124)(cid:72)(cid:92)(cid:93)F(cid:95)G(cid:95)H(cid:95)(cid:128)(cid:129)(cid:192)(cid:91)(cid:30)EFGH(cid:95)(cid:172)(cid:173)AC(cid:70)
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵ B= BCD= D=90°(cid:95)AB=CD(cid:95)
(cid:178)∴∠(cid:80)1∠(cid:88)(cid:61)(cid:62)(cid:128)∠ FGC=HGD(cid:95)EF HG(cid:95)FG EH(cid:95)
(cid:192)(cid:91)(cid:30)EFGH(cid:93)∠(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:95) ∥ ∥
∴EF=GH(cid:95)
∴ BFE= GFC(cid:95) HGD= FGC(cid:95) GFC+ FGC=90°(cid:95)
∵∠EFB+∠HGD=9∠0°(cid:95) ∠ ∠ ∠
∴∠EFB+∠BEF=90°(cid:95)
∵∠BEF=∠HGD(cid:95)
∴∠BEF ∠ DGH(cid:95)
∴E△F=GH≌(cid:95)△
∴(cid:178)(cid:80)1(cid:88)(cid:128)(cid:95) B= BCD=90°(cid:95) EFB= GFC(cid:95)
BEF CG∠F(cid:95)∠ ∠ ∠
∴△CF= CG
(cid:95)
∽△
BF BE
∴
BC−BF= CD−DG (cid:95)
BF BE
∴
BC−BF= AB−BE (cid:95)
BF BE
∴
BC= AB (cid:95)(cid:115) BE = AB = a (cid:95)
BF BE BF BC b
∴a
tan BFE=tan ACB= (cid:95)
b
∴ ∠ ∠
BFE= ACB(cid:95)
∴(cid:294)∠ BFE∠= ACB(cid:285)(cid:95)(cid:384)(cid:43)EF(cid:386)(cid:188)(cid:28)(cid:389)(cid:387)(cid:303)(cid:217)(cid:397)(cid:129)(cid:180)(cid:385)(cid:124)E(cid:70)
∴(cid:15)(cid:124)∠(cid:131)(cid:21)(cid:109)∠(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:25)(cid:212)(cid:11)(cid:168)(cid:242)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)6-1(cid:21)(cid:80)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:141)·(cid:381)(cid:351)(cid:402)(cid:403)·(cid:404)(cid:44)(cid:149)(cid:405)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95) ACB(cid:31)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:181)AB(cid:69)(cid:124)D(cid:70)
△ ∠
(1)(cid:293)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:169)AC(cid:91)(cid:136)(cid:34)(cid:54)(cid:124)E(cid:95)(cid:231)(cid:128)EC=ED(cid:80)(cid:156)(cid:183)(cid:54)(cid:144)(cid:95)(cid:392)(cid:393)(cid:54)(cid:55)(cid:394)(cid:395)(cid:88)(cid:160)
(2)(cid:169)(cid:80)1(cid:88)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:141)(cid:95)(cid:122) AD = 1(cid:95)BC=10(cid:95)(cid:34)DE(cid:31)(cid:75)(cid:70)
BD 3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:184)(cid:47)(cid:108)
(2)2.5
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:54)DC(cid:31)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:181)AC(cid:69)E(cid:95)(cid:124)E(cid:115)(cid:101)(cid:212)(cid:54)(cid:31)(cid:124)(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:39)(cid:40) ADE ABC(cid:95)(cid:212)(cid:213) AD = DE (cid:95)(cid:114)(cid:178) AD = 1(cid:95)BC=10(cid:95)(cid:156)(cid:391)(cid:34)(cid:128)DE(cid:31)(cid:35)(cid:70)
AB BC BD 3
△ ∽△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:47)(cid:10)(cid:54)DC(cid:31)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:181)AC(cid:69)(cid:124)E(cid:70)
(cid:124)E(cid:267)(cid:93)(cid:212)(cid:34)(cid:54)(cid:31)(cid:124)(cid:70)
∴
(cid:80)2(cid:88)(cid:47)(cid:160)(cid:172)(cid:173)DE(cid:95)(cid:178)(cid:80)1(cid:88)(cid:168)DE=EC(cid:70)EDC= ECD(cid:95)
∴∠ CD(cid:71)(cid:72)∠ ACB(cid:95)
∵ ECD= B∠CD(cid:95)
∴∠EDC=∠BCD(cid:95)
∴D∠E BC(cid:95)∠
∴ AD∥E= B
(cid:194)∴∠ A= ∠A(cid:95)
∵A∠DE∠ ABC(cid:70)
∴A△D
=
DE
(cid:70)
∽△
AB BC
∴
AD = 1 (cid:95)BC=10(cid:95)
BD 3
∵
AD = 1 (cid:70)
AB 4
∴
DE = 1 (cid:70)
10 4
∴
DE=2.5(cid:70)
∴(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:43)(cid:44)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:37)(cid:406)(cid:287)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)
(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:177)(cid:47)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:406)(cid:94)(cid:37)(cid:177)(cid:93)(cid:47)(cid:109)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)6-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:407)(cid:134)(cid:135)(cid:141)·(cid:343)(cid:408)·(cid:139)(cid:140)(cid:88)(cid:105)(cid:409)(cid:169)(cid:11)(cid:405)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:285)(cid:95)(cid:410)(cid:180)(cid:51)(cid:22)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:171)(cid:228)(cid:176)(cid:29)(cid:29)(cid:71)(cid:72)
(cid:43)(cid:95)(cid:288)(cid:193)(cid:64)(cid:91)(cid:212)(cid:72)(cid:152)(cid:31)(cid:89)(cid:228)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:127)(cid:90)(cid:29)(cid:31)(cid:89)(cid:91)(cid:93)(cid:411)(cid:64)(cid:65)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:277)(cid:101)(cid:147)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:412)(cid:413)(cid:330)(cid:147)(cid:213)(cid:141)(cid:41)(cid:42)(cid:70)
(1)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:309)(cid:152)(cid:213)(cid:141)(cid:414)(cid:109)(cid:54)(cid:55)(cid:10)(cid:54) ABC(cid:31)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)BM(cid:181)AC(cid:69)(cid:124)D(cid:95)(cid:169)(cid:303)(cid:43)BM(cid:136)(cid:363)(cid:171)(cid:124)E(cid:95)(cid:231)(cid:128)AE=AB(cid:95)(cid:172)
(cid:173)AE(cid:80)(cid:392)(cid:393)(cid:54)(cid:55)(cid:394)(cid:395)(cid:95)(cid:156)(cid:183)(cid:54)(cid:144)△(cid:95)(cid:156)(cid:141)(cid:61)(cid:62)(cid:88)(cid:70)
(2)(cid:34)(cid:39)(cid:10) AD = AB
CD CB
(cid:39)(cid:40)(cid:10)BM(cid:71)(cid:72) ABC
∠ (cid:160)
①(cid:194) AE=AB
∵AEB= ABE
∴∠ ∠ (cid:160)
②AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:194) AE=AB
∵ (cid:160)
③(cid:396)(cid:112)(cid:136)(cid:379)(cid:39)(cid:40)(cid:95)(cid:105)(cid:409)(cid:116)(cid:213)(cid:128)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:10) (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(1)(cid:184)(cid:47)(cid:108) ④
(2) ABE= CBE AEB= CBE AD =AB (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:171)(cid:228)(cid:176)(cid:29)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:95)(cid:288)(cid:193)(cid:64)(cid:91)(cid:212)(cid:72)(cid:152)(cid:31)(cid:89)(cid:228)(cid:43)(cid:44)
CD CB
①∴∠ ∠ ②∴∠ ∠ ③∴ ④
(cid:38)(cid:127)(cid:90)(cid:29)(cid:31)(cid:89)(cid:91)(cid:64)(cid:65)(cid:152)(cid:67)(cid:79)
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:414)(cid:109)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)-(cid:54)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:95)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:37)(cid:406)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)
(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:177)(cid:47)(cid:22)(cid:159)(cid:95)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:25)(cid:212)(cid:11)(cid:168)(cid:242)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:70)
(cid:80)1(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:208)(cid:34)(cid:54)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:94)(cid:415)(cid:363)(cid:43)(cid:44)(cid:115)(cid:116)(cid:160)
(cid:80)2(cid:88)(cid:169)(cid:80)1(cid:88)(cid:31)(cid:55)(cid:30)(cid:141)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:94)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:37)AE(cid:94)BC(cid:71)(cid:191)(cid:95)(cid:178)(cid:239)(cid:36)(cid:37) AED CBD(cid:95)(cid:111)
(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:68)(cid:215)(cid:244)(cid:233)(cid:128)(cid:180)(cid:22)(cid:182)(cid:61)(cid:62)(cid:70) △ ∽△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:303)(cid:43)BM(cid:95)(cid:124)D(cid:125)(cid:124)E(cid:115)(cid:101)(cid:212)(cid:34)(cid:10)
(cid:80)2(cid:88)(cid:39)(cid:40)(cid:10)BM(cid:71)(cid:72) ABC
ABE= CBE(cid:160) ∠
(cid:194)∴∠ AE=A∠B
∵AEB= ABE
∴∠AEB=∠CBE(cid:160)
∴∠ ∠AE BC
∴ A∥ED CBD
∴△AD AE∽△
=
CD CB
∵
(cid:194) AE=AB
∵AD
=
AB
(cid:70)
CD CB
③(cid:396)(cid:112) ∴ (cid:136)(cid:379)(cid:39)(cid:40)(cid:95)(cid:105)(cid:409)(cid:116)(cid:213)(cid:128)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:10) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:171)(cid:228)(cid:176)(cid:29)(cid:29)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:95)(cid:288)(cid:193)(cid:64)(cid:91)(cid:212)(cid:72)(cid:152)(cid:31)(cid:89)(cid:228)(cid:43)(cid:44)(cid:38)(cid:127)(cid:90)(cid:29)
(cid:31)(cid:89)(cid:91)(cid:93)(cid:64)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:70) ④
(cid:15)(cid:120)(cid:121)6-3(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:95)(cid:123)(cid:29)(cid:68)(cid:69)36 (cid:31)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:268)(cid:101)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95)(cid:167)(cid:168)(cid:10)AB=AC(cid:95)
∘
(cid:97) A=36 ． △
∘
(1)∠(cid:169)(cid:55)1(cid:73)(cid:95)(cid:25)(cid:52)(cid:53)(cid:54)AB(cid:31)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:181)AC(cid:69)D(cid:95)(cid:96)(cid:172)(cid:173)BD(cid:80)(cid:392)(cid:393)(cid:54)(cid:55)(cid:394)(cid:395)(cid:95)(cid:156)(cid:183)(cid:54)(cid:144)(cid:88)(cid:160)
(2) BCD(cid:93)(cid:156)(cid:93)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:277)(cid:166)(cid:130)(cid:93)(cid:95)(cid:293)(cid:417)(cid:180)(cid:39)(cid:40)(cid:160)(cid:166)(cid:130)(cid:156)(cid:93)(cid:95)(cid:293)(cid:143)(cid:40)(cid:177)(cid:178)(cid:160)
△BC
(3)(cid:182) =k(cid:95)(cid:418)(cid:34)k(cid:31)(cid:35)(cid:160)
AC
BC
(4)(cid:166)(cid:55)2(cid:95)(cid:169) A B C (cid:73)(cid:95)(cid:167)(cid:168)A B =A C ， A =108 (cid:95)(cid:97)A B =AB(cid:95)(cid:293)(cid:179)(cid:173)(cid:183)(cid:180) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B C
1 1
∘
△ ∠
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:117)(cid:184)(cid:47)(cid:108)(cid:160)(cid:80)2(cid:88)(cid:117)(cid:184)(cid:47)(cid:108)(cid:160)(cid:80)3(cid:88)
5−1(cid:160)(cid:80)4(cid:88)3− 5
(cid:70)
2 2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:80)1(cid:88)(cid:111)(cid:112)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:31)(cid:78)(cid:144)(cid:54)(cid:55)(cid:115)(cid:116)(cid:160)(cid:80)2(cid:88)(cid:72)(cid:92)(cid:34)(cid:128) BCD(cid:419)(cid:90)(cid:29)(cid:31)(cid:174)(cid:57)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:358)(cid:416)(cid:28)
(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:37)(cid:406)(cid:115)(cid:116)(cid:47)(cid:106)(cid:160)(cid:80)3(cid:88)(cid:197)(cid:188)(cid:39)(cid:40) BDC ABC(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)△(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:47)(cid:115)(cid:116)(cid:160)(cid:80)4(cid:88)(cid:214)(cid:75)BC(cid:129)E(cid:95)
(cid:231)CE=AC(cid:95)(cid:172)(cid:173)AE(cid:95)(cid:39)(cid:40) ACE B △ A C (cid:95) ∽ (cid:116) △ (cid:128)AE=B C (cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:80)3(cid:88)(cid:116)(cid:128) BC = BC = 5−1， AB = 5−1，(cid:178)(cid:239)(cid:115)
1 1 1 1 1 AB AC 2 AE 2
△ ≅△
BC
(cid:116)(cid:34)(cid:128) (cid:31)(cid:35)(cid:70)
B C
1 1
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(1)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:160)(2) BCD(cid:93)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:70)
(cid:39)(cid:40)△(cid:166)(cid:141)(cid:10) (cid:124)D(cid:169)AB(cid:31)(cid:364)(cid:179)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:136)(cid:95)
AD=BD，∵
∴ ABD= A．
∴∠A=36 ∠，AB=AC，
∘
∵∠ABC= C=72 ，
∘
∴∠ABD=∠DBC=36 ．
∘
∴(cid:194)∠ BDC∠= A+ ABD=72 ，
∘
∵B∠DC= C∠， ∠
∴B∠D=BC，∠
∴ BCD(cid:93)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:70)
∴(3△)(cid:182)BC=x，AC=y，
(cid:178)(2)(cid:168)(cid:95)AD=BD=BC=x．
DBC= A， C= C，
∵∠BDC ∠ AB∠C，∠
∴B△C= DC
(cid:95)
∽△
(cid:115)
x
=
y−x
，
AC BC y x
∴ (cid:246)(cid:177)(cid:95)(cid:128)x2+xy−y2=0，
(cid:47)(cid:128)x=−1± 5y．
2
(cid:420)(cid:101)x、y(cid:421)(cid:101)(cid:155)(cid:57)(cid:95)(cid:212)(cid:213)k= x = 5−1．
y 2
(4)3− 5 ．
2
(cid:177)(cid:178)(cid:10)(cid:214)(cid:75)BC(cid:129)E(cid:95)(cid:231)CE=AC(cid:95)(cid:172)(cid:173)AE．
A=36 ，AB=AC，
∘
∵∠ACB= B=72 ，
∘
∴∠ACE=∠180 −72 =108 ，
∘ ∘ ∘
∴∠ACE= B A C ．
1 1 1
∴A∠ B =A∠B，
1 1
∵AC=CE=A B =A C ，
1 1 1 1
∴ ACE B A C ，
1 1 1
∴△ ≅△AE=B C ．
1 1
∴(cid:178)(3)(cid:168)(cid:95)
BC= BC = 5−1， AB = 5−1，
AB AC 2 AE 2
∴
BC = BC = BC × AB = 5−1× 5−1=3− 5 ．
B C AE AB AE 2 2 2
1 1
∴
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:168)(cid:242)(cid:95)(cid:195)(cid:196)(cid:148)(cid:422)(cid:358)(cid:416)(cid:67)(cid:31)(cid:35)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:358)(cid:416)(cid:67)(cid:185)(cid:191)(cid:376)(cid:377)(cid:70)(cid:4)(cid:159)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:423)(cid:73)(cid:37)(cid:406)
(cid:31)(cid:358)(cid:416)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:185)(cid:191)(cid:72)(cid:108)(cid:376)(cid:377)(cid:70)
【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】
(cid:15)(cid:79)7(cid:21)(cid:80)24-25(cid:407)(cid:134)(cid:135)(cid:141)·(cid:424)(cid:17)(cid:425)(cid:426)·(cid:330)(cid:11)(cid:86)(cid:418)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AB=3,BC=4(cid:95)(cid:124)D(cid:301)(cid:124)C(cid:180)(cid:385)(cid:313)CB
(cid:78)(cid:337)(cid:213)1cm/s(cid:337)(cid:124)B(cid:427)(cid:428)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:188)(cid:124)D(cid:54)DE BC(cid:69)(cid:124)D(cid:70)(cid:213)△DE(cid:212)(cid:169)(cid:179)(cid:43)(cid:101)(cid:64)(cid:268)(cid:356)(cid:95)(cid:288) CDE(cid:50)(cid:321)(cid:95)(cid:124)C(cid:31)
(cid:64)(cid:65)(cid:124)(cid:101)C′(cid:95)(cid:338)(cid:58)(cid:188)(cid:348)(cid:73) EDC′(cid:38) ABC(cid:343)(cid:321)⊥(cid:429)(cid:72)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)S(cm2)(cid:95)(cid:203)(cid:58)(cid:285)(cid:45)t(s)(cid:95)(cid:126)△S(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)
(cid:31)(cid:55)(cid:430)(cid:19)(cid:431)(cid:93)(cid:80)(cid:432)(cid:432)(cid:88) △ △
A(cid:70) B(cid:70)
C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:58)(cid:124)(cid:51)(cid:22)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:95)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:72)(cid:44)(cid:34)(cid:180)S(cid:38)t(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:47)(cid:108)(cid:121)(cid:70)
(cid:227)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:180)DE= 3 CD(cid:94)BF= 3 BC′(cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:178)(cid:55)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:7)(cid:121)(cid:34)(cid:180)S(cid:38)t(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:47)(cid:108)(cid:121)(cid:95)
4 4
(cid:301)(cid:226)(cid:128)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) AB=3,BC=4(cid:95)
(cid:294)D(cid:169)BC(cid:73)∵(cid:124)(cid:285)(cid:95)C′(cid:94)B(cid:343)(cid:158)(cid:95)
∴DE BC,AB BC(cid:95)
∵ ⊥ ⊥AB DE(cid:95)
∴ C∥DE CBA(cid:95)
∴D△E= CD
(cid:95)
∽△
BA CB
∴
DE= CDBA = 3 CD= 3 t(cid:95)
CB 4 4
⋅
∴
(cid:294)0≤x≤2(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:10)
①
EDC EDC′(cid:95)
∵△S =≌S△ (cid:95)
EDC EDC′
∴ S △ =S = △ 1 DCDE= 1 t 3 t= 3 t2(cid:95)
EDC
2 2 4 8
△
∴ ⋅ ⋅
(cid:239)(cid:285)(cid:95)S(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)(cid:31)(cid:55)(cid:430)(cid:93)(cid:123)(cid:124)(cid:169)(cid:307)(cid:124)(cid:95)(cid:330)(cid:433)(cid:337)(cid:136)(cid:31)(cid:434)(cid:435)(cid:43)(cid:160)
(cid:294)2<x≤4(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:10)
②
(cid:239)(cid:285)S=S梯形DBFE = 1 (DE+BF)BD(cid:95)
2
⋅
DC=t(cid:95)
∵BD=BC−DC=4−t,BC′=DC′−BD=DC−BD=t−(4−t)=2t−4(cid:95)
∴(cid:178) (cid:168)(cid:95)DE= 3 DC(cid:95)
4
①
(cid:278)(cid:177)(cid:116)(cid:168)(cid:95)BF= 3 BC′(cid:95)
4
DE= 3 t(cid:95)BF= 3 (2t−4)(cid:95)
4 4
∴ 2
S= 1 3 t+ 3 (2t−4) ×(4−t)=− 9 t2+6t−6=− 9 t− 8 +2(cid:95)
2 4 4 8 8 3
∴
8
(cid:294)t= (cid:285)(cid:95)S(cid:256)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101)2(cid:95)
3
∴
8
(cid:239)(cid:285)(cid:95)S(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)(cid:31)(cid:55)(cid:430)(cid:93)(cid:330)(cid:433)(cid:337)(cid:141)(cid:31)(cid:434)(cid:435)(cid:43)(cid:95)(cid:97)(cid:294)t= (cid:285)(cid:95)S(cid:363)(cid:128)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:70)
3(cid:118)(cid:119)(cid:10)A(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)7-1(cid:21)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:169)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)(cid:58)(cid:124)E(cid:301)(cid:124)A(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:313)AB→BC(cid:78)(cid:337)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:294)(cid:124)E(cid:129)(cid:339)(cid:124)C(cid:285)(cid:344)(cid:345)
(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:188)(cid:124)E(cid:54)FE AE(cid:95)(cid:181)CD(cid:69)(cid:124)F(cid:95)(cid:182)(cid:124)E(cid:31)(cid:203)(cid:58)(cid:436)(cid:348)(cid:101)x(cid:95)FC=y(cid:95)(cid:166)(cid:55)2(cid:212)(cid:347)(cid:245)(cid:31)(cid:93)y(cid:38)x(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:3)
⊥ 4
(cid:46)(cid:31)(cid:19)(cid:431)(cid:55)(cid:430)(cid:95)(cid:294)(cid:124)E(cid:169)BC(cid:136)(cid:203)(cid:58)(cid:285)(cid:95)FC(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:75)(cid:174)(cid:93) (cid:95)(cid:126)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
5
A(cid:70)20 B(cid:70)16 C(cid:70)6 5 D(cid:70)8 5
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)A
CF CE
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:178)(cid:22)(cid:159)(cid:116)(cid:168)(cid:95)(cid:437)(cid:39) CFE BEA(cid:95)(cid:116)(cid:128) = (cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:164)(cid:389)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:64)(cid:268)(cid:32)(cid:116)(cid:128)E(cid:169)BC(cid:73)(cid:124)(cid:285)(cid:95)CF(cid:256)
BE AB
△ ∽△
(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)(cid:142)(cid:180)(cid:78)(cid:348)(cid:121)(cid:115)(cid:116)(cid:47)(cid:22)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:122)(cid:124)E(cid:169)BC(cid:136)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)
EFC+ AEB=90°(cid:95) FEC+ EFC=90°(cid:95)
∵∠ ∠ ∠ ∠
CFE= AEB(cid:95)
∴∠(cid:169) CF∠E(cid:94) BEA(cid:73)(cid:95) CFE= AEB(cid:95) C= B=90°(cid:95)
∵ C△FE B△EA(cid:95) ∠ ∠ ∠ ∠
∴△ ∽△ CF CE
(cid:178)(cid:164)(cid:389)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:64)(cid:268)(cid:32)(cid:116)(cid:128)E(cid:169)BC(cid:73)(cid:124)(cid:285)(cid:95)CF(cid:256)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)(cid:239)(cid:285) = (cid:95)
BE AB
BE=CE=x−5(cid:95)
y x−5
(cid:115) = (cid:95)
x−5 5
y= 1 (x−5)2(cid:95)
5
∴
4
(cid:294)y= (cid:285)(cid:95)(cid:244)(cid:390)(cid:78)(cid:348)(cid:121)
5(cid:47)(cid:128)(cid:10)x =3((cid:218)(cid:219))(cid:95)x =7(cid:95)
1 2
BE=CE=2(cid:95)
∴BC=4(cid:95)AB=5(cid:95)
∴(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:101)4×5=20(cid:160)
∴(cid:118)(cid:119)(cid:10)A(cid:70)
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:164)(cid:389)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:124)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:238)(cid:30)(cid:76)(cid:77)(cid:31)(cid:376)(cid:377)(cid:95)(cid:109)(cid:22)
(cid:73)(cid:178)(cid:55)(cid:430)(cid:128)(cid:180)E(cid:101)BC(cid:73)(cid:124)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)7-2(cid:21)(cid:166)(cid:55)1(cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95) C=90°(cid:95)BC=8(cid:95)(cid:124)D(cid:93)BC(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)(cid:193)(cid:73) ACD BCA(cid:70)(cid:124)P(cid:313)BC(cid:301)(cid:124)
C(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)B(cid:95)(cid:182)CP(cid:31)(cid:75)(cid:174)△(cid:101)x(cid:95)PA+P∠D=y(cid:95)(cid:55)2(cid:93)(cid:124)P(cid:203)(cid:58)(cid:285)y(cid:438)x(cid:120)(cid:85)(cid:31)(cid:3)(cid:46)(cid:55)△(cid:430)(cid:95)∽(cid:126)△(cid:55)2(cid:73)(cid:63)(cid:439)(cid:124)M(cid:31)(cid:440)
(cid:441)(cid:101)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)(3,4) B(cid:70)(2,2 5) C(cid:70)(3,2 5) D(cid:70)(2,4)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)B
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:95)(cid:150)(cid:151)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:31)(cid:65)(cid:25)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:178)(cid:22)(cid:55)2(cid:95)(cid:116)(cid:168)(cid:294)x=0(cid:95)(cid:115)P(cid:169)C(cid:124)(cid:285)(cid:95)AC+CD=6(cid:95)(cid:294)(cid:124)P(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)D(cid:285)(cid:95)y(cid:31)(cid:35)(cid:63)(cid:105)(cid:95)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:101)AD(cid:31)(cid:75)(cid:95)(cid:182)
AC CD m 6−m
AC=m(cid:95)(cid:126)CD=6−m(cid:95)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:128)(cid:180) = (cid:95)(cid:115) = (cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:34)(cid:180)m(cid:31)(cid:35)(cid:95)(cid:114)(cid:178)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
BC CA 8 m
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:178)(cid:22)(cid:55)2(cid:95)(cid:116)(cid:168)(cid:294)x=0(cid:95)(cid:115)P(cid:169)C(cid:124)(cid:285)(cid:95)AC+CD=6(cid:95)
PA+PD>AD(cid:95)
∵(cid:294)(cid:124)P(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)D(cid:285)(cid:95)y(cid:31)(cid:35)(cid:63)(cid:105)(cid:95)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:101)AD(cid:31)(cid:75)(cid:95)
∴(cid:182)AC=m(cid:95)(cid:126)CD=6−m(cid:95)
ACD BCA(cid:95)
∵A△C= CD
(cid:95)
∽△
(cid:115)
m
=
6−m
(cid:95)
BC CA 8 m
∴
(cid:47)(cid:128)m=4(cid:80)(cid:442)(cid:35)(cid:167)(cid:218)(cid:219)(cid:88)(cid:95)AC=4(cid:95) CD=2(cid:95)
∴AD= AC2+CD2= 42+22=2 5(cid:95)(cid:115)y=2 5(cid:95)
∴(cid:124)M(cid:31)(cid:440)(cid:441)(cid:101)(2,2 5)(cid:95)
∴(cid:118)(cid:119)(cid:10)B(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)7-3(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:234)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB DC(cid:95)DE AB(cid:95)CF AB(cid:95)(cid:364)(cid:365)(cid:72)(cid:92)(cid:101)E(cid:125)F(cid:95)(cid:97)AE=EF=FB=5(cid:95)DE
=12(cid:95)(cid:58)(cid:124)P(cid:301)(cid:124)C(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:313)C→B→A∥→D(cid:31)(cid:78)(cid:337)⊥(cid:213)(cid:388)(cid:443)1⊥(cid:90)(cid:444)(cid:335)(cid:75)(cid:174)(cid:31)(cid:428)(cid:174)(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)D(cid:344)(cid:345)(cid:95)(cid:182)(cid:203)(cid:58)(cid:285)(cid:45)
(cid:101)t(cid:443)(cid:95)y=S (cid:95)(cid:126)y(cid:38)t(cid:100)(cid:45)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:19)(cid:431)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
CDP
△
A． B(cid:70)
C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)A
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:72)(cid:28)(cid:445)(cid:265)(cid:266)(cid:86)(cid:446)(cid:10)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)CB(cid:136)(cid:160)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)BA(cid:136)(cid:160)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)AD(cid:136)(cid:160)(cid:72)(cid:92)(cid:34)(cid:180)(cid:388)(cid:445)(cid:265)(cid:266)(cid:31)
(cid:56)(cid:57)(cid:121)(cid:115)(cid:116)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)CB(cid:136)(cid:285)(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:126)CP=t(cid:95)(cid:97)0≤t<13(cid:160)
(cid:188)(cid:124)P(cid:54)CD(cid:31)(cid:364)(cid:43)(cid:95)(cid:181)DC(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:69)(cid:124)G(cid:95)
AB DC(cid:95)DE AB(cid:95)CF AB(cid:95)
∵DE∥CF(cid:95) ⊥ ⊥
∴(cid:192)(cid:91)∥(cid:30)CDEF(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∴CF=DE=12(cid:95)CD=EF=5(cid:160)
(cid:178)∴ (cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:128)(cid:10)BC= CF2+BF2=13(cid:160)
AB CD(cid:95)
∵ B∥= BCG(cid:95)
∴∠G=∠CFB=90°(cid:95)
∵∠ ∠PGC CFB(cid:95)
∴P△G= CP
(cid:95)
∽△
CF BC
∴
12t
PG= (cid:95)
13
∴
y=S = 1 CD×PG= 30 t (0≤t<13)(cid:95)(cid:193)(cid:55)(cid:209)(cid:101)(cid:171)(cid:228)(cid:188)(cid:307)(cid:124)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:160)
PCD 2 13
∴ △
(cid:294)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)BA(cid:136)(cid:285)(cid:95)(cid:126)13≤t<28(cid:160)
(cid:239)(cid:285) PCD(cid:31)CD(cid:91)(cid:136)(cid:66)(cid:101)12(cid:95)(cid:115)y= 1 CD×CF=30(cid:95)(cid:239)(cid:285)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:209)(cid:101)(cid:71)(cid:191)x(cid:356)(cid:31)(cid:171)(cid:228)(cid:43)(cid:44)(cid:160)
2
△
(cid:294)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)AD(cid:136)(cid:285)(cid:95)
AE=BF(cid:95) DEA= CFB=90°(cid:95)DE=CF(cid:95)
∵ CFB ∠DEA(cid:95)∠
∴A△D=BC≌=△13(cid:95)
∴28≤t≤41(cid:95)(cid:97)PD=13×2+15−t=41−t(cid:160)
∴(cid:188)(cid:124)P(cid:54)CD(cid:31)(cid:364)(cid:43)(cid:95)(cid:181)CD(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:95)
12(41−t)
(cid:38)(cid:124)P(cid:169)(cid:43)(cid:44)CB(cid:136)(cid:265)(cid:266)(cid:447)(cid:177)(cid:26)(cid:278)(cid:95)(cid:128)PG= (cid:95)
13
y=S = 1 CD×PH= 30 (41−t) (28≤t≤41)(cid:95)(cid:193)(cid:55)(cid:209)(cid:101)(cid:171)(cid:228)(cid:43)(cid:44)(cid:160)
PCD 2 13
∴ △
(cid:126)(cid:124)y(cid:38)x(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:430)(cid:166)(cid:141)(cid:10)
(cid:118)(cid:119)(cid:10)A(cid:70)(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:58)(cid:124)(cid:51)(cid:22)(cid:56)(cid:57)(cid:55)(cid:209)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)
(cid:4)(cid:159)(cid:72)(cid:448)(cid:449)(cid:62)(cid:70)
【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】
(cid:15)(cid:79)8(cid:21)2025·(cid:424)(cid:137)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:70)(cid:169)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB=6cm(cid:95)BC=8cm(cid:95)(cid:64)(cid:29)(cid:43)AC(cid:125)BD(cid:181)(cid:69)(cid:124)O(cid:70)(cid:124)P(cid:301)(cid:124)A
(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:313)AD(cid:78)(cid:337)(cid:427)(cid:428)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:428)(cid:174)(cid:101)1cm/s(cid:160)(cid:278)(cid:285)(cid:124)Q(cid:301)(cid:124)D(cid:180)(cid:385)(cid:313)DC(cid:78)(cid:337)(cid:427)(cid:428)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:428)(cid:174)(cid:101)1cm/s(cid:70)(cid:294)(cid:171)(cid:90)
(cid:124)(cid:344)(cid:345)(cid:203)(cid:58)(cid:285)(cid:95)(cid:306)(cid:171)(cid:90)(cid:124)(cid:450)(cid:344)(cid:345)(cid:203)(cid:58)(cid:70)(cid:172)(cid:173)PO(cid:96)(cid:214)(cid:75)(cid:181)BC(cid:69)(cid:124)E(cid:95)(cid:188)(cid:124)Q(cid:54)QF AC(cid:95)(cid:181)BD(cid:69)(cid:124)F(cid:70)(cid:182)(cid:203)(cid:58)
(cid:285)(cid:45)(cid:101)t(s)(0<t<6)(cid:70)(cid:122)(cid:451)(cid:91)(cid:30)OECQF(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ACD(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:100)(cid:67)(cid:101)9:16(cid:95)(cid:126)∥t=
3
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)3(cid:295)
2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:128)(cid:129)AC=10(cid:95)(cid:188)(cid:124)O(cid:54)OH BC(cid:181)BC(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:167)(cid:168)BE=PD(cid:95)(cid:126)(cid:116)(cid:34) BOE
(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:160)(cid:116)(cid:39)(cid:128) DFQ DOC(cid:95)(cid:178)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:67)(cid:116)(cid:34)⊥(cid:128) DFQ(cid:31)(cid:76)(cid:77)(cid:95)(cid:301)(cid:226)(cid:116)(cid:34)(cid:451)(cid:91)(cid:30)OEC△QF(cid:31)
△ ∽△ 3 △
(cid:76)(cid:77)(cid:70)(cid:111)(cid:112)(cid:22)(cid:159)(cid:142)(cid:78)(cid:348)(cid:128)(cid:129)t=3(cid:295)t= (cid:95)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
2
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:128)AC= AB2+BC2= 62+82=10(cm).
1 △
OA= AC=5(cm).
2
∴
(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:188)(cid:124)O(cid:54)OH BC(cid:181)BC(cid:69)(cid:124)H(cid:95)
⊥
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵OB=OC(cid:95)
∴BH=CH(cid:95)
∴OH(cid:93) BCD(cid:31)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:95)
∴ OH= 1 C △ D= 1 AB=3cm(cid:95)
2 2
∴(cid:178)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:168) PDO= EBO(cid:95)DO=BO(cid:95)
(cid:194) DOP= BOE(cid:95)∠ ∠
∵D∠OP ∠BOE(ASA)(cid:95)
∴B△E=PD≌=△8−t(cid:95)
∴ (cid:126)S = 1 BEOH= 1 ×3(8−t)=12− 3 t(cid:95)
BOE 2 2 2
△ ⋅
FQ AC(cid:95)
∵ ∥ DQ t
DFQ DOC(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:101) = (cid:95)
DC 6
∴△
S DFQ= t
∽2
(cid:95)
△
S 36
△DOC
∴ △
S = 1 S = 1 ×6×8=12cm2(cid:95)
DOC 4 矩形ABCD 4
∵ △
S =12×
t2
=
t2
(cid:95)
DFQ 36 3
∴ △
S =S −S −S = 1 ×6×8− 12− 3 t − t2 =− 1 t2+ 3 t+12(cid:160)
五边形OECQF DBC BOE DFQ 2 2 3 3 2
∴ △ △ △
S(cid:38)t(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)(cid:121)(cid:101)S=− 1 t2+ 3 t+12(cid:160)
3 2
∴
S = 1 ×6×8=24(cid:95)
ACD 2
∵ △
S :S = − 1 t2+ 3 t+12 :24=9:16(cid:95)
五边形OECQF ACD 3 2
∴ △
3
(cid:47)(cid:128)t=3(cid:95)(cid:295)t= (cid:95)
2
3
(cid:294)S :S =9:16(cid:285)(cid:95)t=3(cid:295) (cid:70)
五边形OECQF ACD 2
∴ △
3
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)3(cid:295) (cid:70)
2
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:93)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:300)(cid:158)(cid:22)(cid:95)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:142)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:46)(cid:121)(cid:95)
(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:47)(cid:171)(cid:452)(cid:164)(cid:389)(cid:78)(cid:348)(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:31)(cid:242)(cid:92)
(cid:55)(cid:30)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)8-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:453)(cid:83)(cid:454)(cid:455)·(cid:165)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ABC(cid:73)(cid:95)BC=8(cid:95)D(cid:93)BC(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)BD<
CD(cid:95)(cid:172)(cid:61)(cid:173)AD(cid:95)(cid:54)DE AD(cid:95)(cid:181)BC(cid:31)(cid:364)(cid:43)CE(cid:69)(cid:124)E(cid:70)(cid:172)(cid:173)AE(cid:95)(cid:181)BC(cid:69)F(cid:95)(cid:122)(cid:182)CF=x, CE=y(cid:95)(cid:169)D(cid:31)(cid:203)(cid:58)(cid:188)
(cid:348)(cid:73)(cid:95)(cid:141)(cid:142)(cid:244)(cid:57)(cid:121)(cid:31)(cid:35)(cid:156)⊥(cid:120)(cid:31)(cid:93)(cid:80) (cid:88)A(cid:70)x+y B(cid:70)xy C(cid:70)x2+y2 D(cid:70) 1 − 1
x y
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)D
4y
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:36)(cid:37)(cid:95)(cid:188)(cid:124)A(cid:54)AG BC(cid:69)(cid:124)G(cid:95)(cid:39)(cid:40) AGF ECF(cid:128)(cid:180)x= (cid:95)(cid:185)
y 4
⊥ △ ∽△ +
(cid:226)(cid:456)(cid:375)(cid:72)(cid:108)(cid:36)(cid:154)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:95)(cid:188)(cid:124)A(cid:54)AG BC(cid:69)(cid:124)G(cid:95)
⊥
(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ABC(cid:73)(cid:95)BC=8(cid:95)
∵ AG= 1 BC=4(cid:95)
2
∴
(cid:194) CE BC
A∵G E⊥C
∴ A∥GF ECF
∴A△G= FG (cid:115) ∽△4 =4−x
CE FC y x
∴
4y
(cid:47)(cid:128)(cid:10)x=
y 4
x+y= 4y + + y= 4y y2 4y = y2 8y (cid:95)xy= 4y2 (cid:95)x2+y2= 4y 2 +y2= 16y2 +y2(cid:132)(cid:156)(cid:93)(cid:37)(cid:35)(cid:95)
y 4 y 4 y 4 y 4 y 4 y2 8y 16
+ + +
∴ + + + + + + +
1 − 1 = y 4 − 1 = y 4−4= 1 (cid:93)(cid:37)(cid:35)(cid:95)
x y 4y y 4y 4
+ +
∴
(cid:118)(cid:119)(cid:10)D(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)8-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:366)(cid:457)(cid:455)·(cid:28)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:167)(cid:168) ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95)AC=8(cid:95)BC=6(cid:95)(cid:124)M(cid:93)(cid:43)(cid:44)CB(cid:136)(cid:171)
(cid:58)(cid:124)(cid:95)(cid:188)(cid:124)M(cid:54)MN AM(cid:181)AB(cid:69)(cid:124)N(cid:95)(cid:294)(cid:124)M(cid:301)(cid:124)C△(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)B∠(cid:31)(cid:188)(cid:348)(cid:73)(cid:95)(cid:124)N(cid:386)(cid:188)(cid:31)(cid:436)(cid:458)(cid:75)(cid:93) (cid:70)
⊥20
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)
9
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:459)(cid:395)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:171)(cid:452)(cid:164)(cid:389)(cid:78)(cid:348)(cid:31)(cid:36)(cid:92)(cid:121)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:95)(cid:188)(cid:124)N(cid:54)NJ BC(cid:69)J(cid:95)
(cid:182)BN=y(cid:95)CM=x(cid:95)(cid:189)(cid:351)(cid:171)(cid:452)(cid:164)(cid:389)(cid:78)(cid:348)(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:36)(cid:92)(cid:121)(cid:34)(cid:180)y(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)(cid:116)(cid:128)(cid:61)(cid:62)(cid:70)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:93)(cid:11)(cid:296)⊥(cid:24)(cid:25)(cid:350)(cid:57)
(cid:189)(cid:351)(cid:78)(cid:348)(cid:47)(cid:48)(cid:51)(cid:22)(cid:95)(cid:352)(cid:69)(cid:73)(cid:86)(cid:353)(cid:354)(cid:22)(cid:73)(cid:31)(cid:355)(cid:356)(cid:22)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:188)(cid:124)N(cid:54)NJ BC(cid:69)J(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:10)
⊥
(cid:182)BN=y(cid:95)CM=x(cid:95)
ACB=90°(cid:95)AC=8(cid:95)BC=6(cid:95)
∵A∠B= AC2+BC2= 82+62=10(cid:95)
∴NJ AC(cid:95)
∵ B∥NJ BAC(cid:95)
∴B△N= BJ = ∽N△J (cid:95)
AB CB AC
∴
y= BJ = NJ (cid:95)
10 6 8
∴
BJ= 3 y(cid:95)NJ= 4 y(cid:95)
5 5
∴
MJ(cid:460)BC−CM−BJ=6−x− 3 y(cid:95)
5
∴
C= AMN= NJM=90°(cid:95)
∵∠AM∠C+ NM∠J=90°(cid:95) NMJ+ MNJ=90°(cid:95)
∴∠AMC=∠MNJ(cid:95) ∠ ∠
∴∠ACM ∠ MJN(cid:95)
∴A△C= CM
(cid:95)
∽△
MJ NJ
∴ 8 = x (cid:95)
6−x− 3y 4y
5 5
∴x2+ 3 y−6 x+ 32 y=0(cid:95)
5 5
∴ Δ≥0(cid:95)
∵ 3 y−6 2 − 128 y≥0(cid:95)
5 5
∴ 9y2−820y+900≥0(cid:95)
∴(9y−10)(y−90)≥0(cid:95)
∴ 10
y≤ (cid:295)y≥90(cid:80)90>10=AB(cid:95)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:95)(cid:218)(cid:219)(cid:88)(cid:95)
9
∴
10
y≤ (cid:95)
9
∴
10
BN(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101) (cid:95)
9
∴(cid:294)(cid:124)M(cid:301)(cid:124)C(cid:203)(cid:58)(cid:129)(cid:124)B(cid:31)(cid:188)(cid:348)(cid:73)(cid:95)(cid:124)N(cid:386)(cid:188)(cid:31)(cid:436)(cid:458)(cid:75)(cid:93)2(cid:461)(cid:31)BN(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)
20
(cid:124)N(cid:386)(cid:188)(cid:31)(cid:436)(cid:458)(cid:75)(cid:93) (cid:95)
9
∴
20
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) (cid:70)
9
(cid:15)(cid:120)(cid:121)8-3(cid:21)(cid:80)24-25(cid:407)(cid:134)(cid:135)(cid:141)·(cid:453)(cid:83)(cid:416)(cid:16)·(cid:139)(cid:73)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95) ACB=90°(cid:95) B=30°(cid:95)AB=20(cid:70)(cid:124)P
(cid:301)(cid:124)B(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:213)(cid:388)(cid:443)2 3(cid:90)(cid:444)(cid:335)(cid:75)(cid:174)(cid:31)(cid:428)(cid:174)(cid:313)BC(cid:337)(cid:462)(cid:124)C(cid:203)△(cid:58)(cid:95)(cid:278)(cid:285)(cid:124)∠M(cid:301)(cid:124)A(cid:180)∠(cid:385)(cid:95)(cid:213)(cid:388)(cid:443)4(cid:90)(cid:444)(cid:335)(cid:31)
(cid:428)(cid:174)(cid:313)AB(cid:337)(cid:462)(cid:124)B(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:188)(cid:124)P(cid:54)PQ AB(cid:69)(cid:124)Q(cid:95)(cid:172)(cid:61)PQ(cid:95)(cid:213)PQ(cid:125)MQ(cid:101)(cid:463)(cid:91)(cid:54)(cid:238)(cid:30)PQMN(cid:95)(cid:294)(cid:124)P(cid:203)(cid:58)
(cid:129)(cid:462)(cid:124)(cid:285)(cid:95)(cid:246)(cid:90)(cid:203)(cid:58)(cid:344)(cid:345)(cid:95)(cid:124)P(cid:31)(cid:203)(cid:58)⊥(cid:285)(cid:45)(cid:101)t(cid:443)(cid:70)(cid:294)(cid:188)(cid:124)Q(cid:94)(cid:124)N(cid:31)(cid:179)(cid:43)(cid:364)(cid:179)(cid:69)Rt ABC(cid:31)(cid:171)(cid:91)(cid:285)(cid:95)t
= (cid:70) △
10
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)2(cid:295)
3
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:70)(cid:72)(cid:89)(cid:445)(cid:265)(cid:266)(cid:449)(cid:62)(cid:95)(cid:178)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:34)(cid:47)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:169)Rt PBQ(cid:73)(cid:95) PQB=90°(cid:95) B=30°(cid:95)PB=2 3t(cid:95)AB=20(cid:95)
PQ= 1 PB= 3t(cid:95)BQ △ =3t(cid:95)AC= 1∵ A ∠ B=10(cid:160) ∠
2 2
∴
(cid:178)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:128)(cid:10)BC= AB2−AC2=10 3(cid:160)(cid:124)M(cid:301)(cid:124)A(cid:180)(cid:385)(cid:95)(cid:213)(cid:388)(cid:443)4(cid:90)(cid:444)(cid:335)(cid:31)(cid:428)(cid:174)(cid:313)AB(cid:337)(cid:462)(cid:124)B(cid:203)(cid:58)(cid:95)
∵AM=4t(cid:95)
∴MQ=AB−AM−BQ=20−7t(cid:95)
∴(cid:192)(cid:91)(cid:30)PQMN(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵PN=QM=20−7t(cid:95)
∴(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:122)NQ AC(cid:95)
⊥
NQ CB(cid:95)
∴ B=∥ MQN(cid:95)
∴∠AC∠B= NMQ=90°(cid:95)
∵∠ABC ∠ NQM(cid:95)
∴A△C= MN
(cid:95)
∽△
BC MQ
∴
3= 3t (cid:95)
3 20−7t
∴ t=2(cid:160)
∴(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:122)NQ BC(cid:95)
⊥
NQ AC(cid:95)
∴ A=∥ BQN(cid:95)
∴∠AC∠B= QMN=90°(cid:95)
∵∠ACB ∠ QMN(cid:95)
∴B△C= MN
(cid:95)
∽△
AC MQ
∴3t
3= (cid:95)
7t−20
∴ 10
t= (cid:95)
3
∴
10
(cid:300)(cid:136)(cid:212)(cid:379)(cid:10)(cid:294)t=2(cid:295) (cid:285)(cid:95)(cid:188)(cid:124)Q(cid:94)(cid:124)N(cid:31)(cid:179)(cid:43)(cid:364)(cid:179)(cid:69)Rt ABC(cid:31)(cid:171)(cid:91)(cid:70)
3
△
10
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)2(cid:295) (cid:70)
3
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】
(cid:15)(cid:79)9(cid:21)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:464)(cid:465)(cid:83)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95)AB=AC, BAC=90°(cid:95)M(cid:93)AC(cid:91)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)
CD BM(cid:181)BM(cid:31)(cid:69)(cid:124)D(cid:95)E(cid:101)DC(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)(cid:97)△CE=BD(cid:95)N(cid:93)BE(cid:73)∠(cid:124)(cid:95)(cid:172)(cid:173)AE,AN(cid:95)(cid:141)(cid:142)(cid:61)(cid:62)(cid:73)(cid:10) CEA
=45⊥°(cid:160) AN BD(cid:160) (cid:122)AC=CM(cid:95)(cid:126)AE=2 2CD(cid:160) CD=2AN(cid:160) AC2=AEAF(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:61)(cid:62)(cid:31)(cid:466)(cid:9)(cid:93)(cid:80) ① (cid:88)∠
② ∥ ③ ④ ⑤ ⋅
A(cid:70) B(cid:70) C(cid:70) D(cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)①A②③④⑤ ①②⑤ ③④⑤ ①②④⑤
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:111)(cid:112)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:89)(cid:331)(cid:29)(cid:467)(cid:468)(cid:128)(cid:180) MCD= ECA= ABD(cid:95)(cid:24)(cid:25)SAS(cid:39)(cid:40) ECA DBA(cid:95)(cid:128)(cid:180)AE=AD(cid:95)
CAE= DAB(cid:95) CEA= ADB(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:180) ∠(cid:155)(cid:113)(cid:95)∠(cid:111)(cid:112) C∠EA=45°(cid:95)DE BM(cid:39)(cid:40)△AE=A≌P△(cid:95)AD PE(cid:95)(cid:128)(cid:180)DE=
P∠D(cid:95)PB∠=CD(cid:95)(cid:111)∠(cid:112)(cid:73)(cid:335)∠(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:180)① (cid:155)(cid:113)(cid:95)(cid:111)∠(cid:112)AQ BM(cid:95)DE⊥BM(cid:95)(cid:39)(cid:40) MCD ⊥MAQ(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:61)(cid:158)AC=CM(cid:128)(cid:180)AQ=2②CD④(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)⊥(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)⊥(cid:128)(cid:180) (cid:155)(cid:113)△(cid:95)(cid:111)(cid:112)∽△CEA= ABF
=45°(cid:95) CAE= DAB(cid:95)(cid:39)(cid:40) CEA BFA(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:180) (cid:155)③(cid:113)(cid:95)(cid:300)(cid:136)(cid:115)(cid:116)∠(cid:128)(cid:106)(cid:107)∠(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)∠(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:166)∠(cid:55)(cid:95)(cid:188)(cid:124)A(cid:54)△AQ ∽B△M(cid:69)Q(cid:95)(cid:214)(cid:75)EA(cid:181)MB(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:69)P(cid:95) ⑤
⊥BAC=90°(cid:95)CD BM(cid:95)
∵∠AMB+ ABM= ⊥AMB+ MCD=90°(cid:95)
∴∠MCD=∠ECA=∠ABD(cid:95)∠
∴∠ ∠ ∠
CE=BD
(cid:169) ECA(cid:94) DBA(cid:73)(cid:95) ECA= ABD(cid:95)
AC=AB
△ △ ∠ ∠
ECA DBA(cid:95)
∴A△E=AD≌(cid:95)△ CAE= DAB(cid:95) CEA= ADB(cid:95)
∴ CEA= A ∠ DE= A ∠ DB= 1 E ∠ DB=45 ∠ °(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:95)
2
∴∠ ∠ ∠ ∠ ①
CEA=45°(cid:95)DE BM(cid:95)
∵∠P=45°(cid:95)DE=PD⊥(cid:95)
∴A∠E=AP(cid:95)AD PE(cid:95)
∴CE=BD(cid:95) ⊥
∵DE−CE=PD−BD(cid:95)(cid:115)PB=CD(cid:95)
∴N(cid:93)BE(cid:73)(cid:124)(cid:95)
∵ AN BD(cid:95)AN= 1 PB= 1 CD(cid:95)(cid:115)CD=2AN(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:95)
2 2
∴ ∥ ②④
AQ BM(cid:95)DE BM(cid:95)
∵AQ⊥DE(cid:95) ⊥
∴ M∥CD MAQ(cid:95)
∴△CD= CM
(cid:95)
∽△
AQ AM
∴
AC=CM(cid:95)
∵AQ=2CD(cid:95)
∴ADQ=45°(cid:95)AQ BM(cid:95)
∵∠ADQ(cid:93)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)⊥(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∴A△D= 2AQ=2 2CD(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:95)
∴ CEA= ABF=45°(cid:95) CA③E= DAB(cid:95)
∵∠CEA ∠ BFA(cid:95) ∠ ∠
∴A△C= AE
(cid:95)
∽△
AF AB
∴
AB=AC(cid:95)
∵AC2=AEAF(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:95)
∴(cid:300)(cid:136)(cid:212)(cid:379)(cid:10)⋅ (cid:155)(cid:113)(cid:31)⑤(cid:61)(cid:62)(cid:256) (cid:70)
(cid:118)(cid:119)(cid:10)A(cid:70) ①②③④⑤
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:73)(cid:335)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:287)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:287)(cid:36)(cid:37)(cid:37)(cid:177)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:469)(cid:470)(cid:471)·(cid:28)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)(cid:238)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AB:BC=2:3(cid:95)(cid:124)E(cid:95)F(cid:72)(cid:92)(cid:169)(cid:91)AB(cid:95)BC(cid:136)(cid:95)
EF(cid:181)(cid:69)(cid:124)G(cid:95)(cid:122)G(cid:93)EF(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)(cid:141)(cid:142)(cid:192)(cid:90)(cid:61)(cid:62)(cid:73)(cid:10) AB2+BC2=BD2(cid:160) BG= 1 EF(cid:160) ADB= BFE(cid:160) AE
2
① ② ③∠ ∠ ④
:CF=2:3(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:31)(cid:93) (cid:80)(cid:353)(cid:466)(cid:9)(cid:115)(cid:116)(cid:88)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)①(cid:172)(cid:173)②A③C(cid:95)④(cid:111)(cid:112)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:115)(cid:116)(cid:39)(cid:40) (cid:160)(cid:111)(cid:112)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:93)(cid:332)(cid:91)(cid:31)(cid:171)(cid:380)(cid:115)(cid:116)(cid:39)(cid:40) (cid:160)(cid:111)
① HE EB ②
(cid:112)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:94)(cid:68)(cid:91)(cid:64)(cid:68)(cid:29)(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:154) (cid:160)(cid:54)EH AD(cid:181)BD(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:126) BEH BAD(cid:95)(cid:212)(cid:213) = (cid:95)(cid:178)AB:BC
DA AB
③ ∥ △ ∽△
=2:3(cid:95)(cid:126)HE= DA·EB =6(cid:95)(cid:114)(cid:39)(cid:40) BGF GHE(AAS)(cid:95)(cid:128)BF=HE= 3 EB(cid:95)(cid:39)(cid:40) EBF ABC(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:72)(cid:43)
AB 2
△ ≌△ △ ∽△
(cid:44)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:115)(cid:116)(cid:39)(cid:40) .
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:172)(cid:173)AC ④
(cid:238)(cid:30)ABCD
∵ ABC=90°
∴A∠B2+BC2=AC2(cid:95)AC=BD
∵AB2+BC2=BD2(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴G(cid:93)EF(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95) ①
∵ BG= 1 EF(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
2
∴ ②
BG=EG=GF(cid:95)
∴ DBF= BFE
∴A∠D BC∠
∵ AD∥B= DBF
∴∠ADB=∠BFE(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
(cid:54)∴∠EH AD∠(cid:181)BD(cid:69)(cid:124)③H(cid:95)(cid:126) BEH BAD(cid:95)
∥ △ ∽△
HE= EB (cid:95)
DA AB
∴
AB:BC=2:3(cid:95)AD=BC
∵AB:AD=2:3
∴HE= 3 EB(cid:95)
2
∴
BC AD(cid:95)EH AD(cid:95)
∵BC∥EH(cid:95) ∥
∴ G∥BF= GHE(cid:95) GFB= GEH(cid:95)
∴G∠ (cid:93)EF∠(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)∠ ∠
∵GF=GE(cid:95)
∴ BGF GHE(AAS)(cid:95)
∴ B △ F=HE ≌ = △3 EB(cid:95)
2
∴
(cid:115)EB:BF=2:3
AB:BC=2:3
∵ EBF ABC
∴E△F AC∽△
∴ ∥AE:CF=EB:BF=2:3(cid:95)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) . ④
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)①(cid:86)②(cid:110)③(cid:147)④(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:95)(cid:240)
(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:72)(cid:43)(cid:44)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:419)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153).
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-2(cid:21)(cid:80)2025·(cid:472)(cid:473)(cid:75)(cid:474)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95) DBC=45°(cid:95)DE BC(cid:69)(cid:124)E(cid:95)BF CD(cid:69)
(cid:124)F(cid:95)(cid:97)DE(cid:125)BF(cid:181)(cid:69)(cid:124)H(cid:95)AD(cid:125)BF(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:181)(cid:69)(cid:124)G(cid:70) ∠ ⊥ ⊥
A+ EDC=90°(cid:160) BG(cid:71)(cid:72) DBC(cid:160) ABG HEB(cid:95) (cid:122)FC=2DF(cid:95)(cid:126)S =11S (cid:95) (cid:122)(cid:124)F
四边形ABCD DFG
①(cid:101)D∠C(cid:73)∠(cid:124)(cid:95)(cid:126)BE=(②2+1)CE ∠ ③△ ∽△ ④ △ ⑤
(cid:126)(cid:136)(cid:379)(cid:61)(cid:62)(cid:155)(cid:113)(cid:31)(cid:93) (cid:70)(cid:80)(cid:353)(cid:466)(cid:9)(cid:115)(cid:116)(cid:88)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)①(cid:71)(cid:191)③(cid:192)⑤(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:187)(cid:180) A+ ADC=180°(cid:95)DE BC(cid:95)(cid:187)(cid:180)DE AD(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:128)(cid:129) ADE=90°(cid:95)(cid:128)(cid:129) A+
EDC= A+ ADC− ADE=90°(cid:95)(cid:36)(cid:154)∠ (cid:95)∠(cid:475)(cid:144)(cid:36)(cid:154)BG(cid:71)(cid:72)⊥ DBC(cid:95)(cid:36)(cid:154)⊥ (cid:95)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:31)(cid:32)∠(cid:33)(cid:95)(cid:364)(cid:179)(cid:187)(cid:180) G=∠ ∠
EBH(cid:95)∠ AB∠G= BE∠H=90°(cid:95)(cid:128)(cid:129) AB①G HEB(cid:39)(cid:40) (cid:95)(cid:39)∠(cid:40) DFG ②CFB(cid:95)(cid:128)(cid:129)S =4S (cid:95)(cid:278)∠(cid:66)(cid:28)∠(cid:29)
CFB DFG
(cid:30)(cid:31)(cid:76)∠(cid:77)(cid:67)(cid:68)(cid:69)∠(cid:311)(cid:91)(cid:67)(cid:34)(cid:180)S △=S ∽△+S =6S③ (cid:95)(cid:185)△(cid:226)(cid:128)(cid:129)∽S△ =2S △=12S △(cid:95)(cid:36)(cid:154) (cid:95)(cid:73)
BDC BDF CDF DFG ABCD BDC DFG
(cid:124)(cid:298)(cid:364)(cid:179)(cid:187)(cid:180)BD=BC(cid:95)(cid:39)(cid:40) △BED(cid:101)△(cid:68)(cid:175)(cid:179)△(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)△(cid:95)(cid:128)(cid:129)BD= 2BE▱(cid:95)(cid:185)(cid:226)(cid:187)△(cid:180)CE=BC△ −BE=( 2−1)④BE(cid:95)
(cid:36)(cid:154) (cid:70) △
(cid:15)(cid:117)⑤(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) (cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:95)
AB CD,AD B∵C(cid:95)
∴ A∥+ ADC=∥180°(cid:95)
∴D∠E ∠BC(cid:95)
∵DE⊥AD(cid:95)
∴ AD⊥E=90°(cid:95)
∴∠A+ EDC= A+ ADC− ADE=90°(cid:160)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
(cid:228)∴∠(cid:229)(cid:156)∠(cid:365)(cid:95)(cid:156)∠(cid:195)(cid:128)∠(cid:129)BG(cid:71)∠(cid:72) DBC(cid:160)(cid:118)①(cid:145)(cid:146)(cid:160)
AB CD,AD BC(cid:95)BF CD(cid:95)∠ ②
∵ ∥ ∥ ⊥BF AB, G= EBH(cid:95)
∴DE⊥BC(cid:95)∠ ∠
∵ AB⊥G= BEH=90°(cid:95)
∴∠ABG ∠ HEB(cid:160)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴A△D BC∽(cid:95)△ ③
∵ D∥FG CFB(cid:95)
∴F△C=2D∽F△(cid:95)
2
∵ S :S = DF = 1 (cid:95)
DFG CFB CF 4
∴ S △ =4 △ S (cid:95)
CFB DFG
∴F△C=2DF(cid:95)△
∵ S = 1 S =2S (cid:95)
BFD 2 BCF DFG
∴ △ △ △
S =S +S =6S (cid:95)
BDC BDF CDF DFG
∴S △ =△2S △=12S △(cid:160)(cid:118) (cid:145)(cid:146)(cid:160)
ABCD BDC DFG
∴(cid:124)▱F(cid:101)DC(cid:73)△(cid:124)(cid:95)BF △CD(cid:95) ④
∵BD=BC(cid:95) ⊥
∴ DBC=45°(cid:95)DE BC(cid:95)
∵∠BED(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)⊥(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∴B△D= 2BE(cid:95)
∴BC= 2BE(cid:95)
∴CE=BC−BE=( 2−1)BE(cid:95)
∴BE= CE =( 2+1)CE(cid:160)(cid:118) (cid:155)(cid:113)(cid:160)
2−1
∴ ⑤
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) (cid:70)
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)①(cid:22)(cid:86)③(cid:110)⑤(cid:71)(cid:191)(cid:192)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)
(cid:177)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:3)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:95)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:15)(cid:120)(cid:121)9-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:476)(cid:17)(cid:247)(cid:477)·(cid:165)(cid:360)(cid:361)(cid:362)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)(cid:155)(cid:78)(cid:30)ABCD(cid:73)(cid:95)AD=6,E(cid:101)AD(cid:91)(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)DE= 1 AD,F(cid:101)AB
3
(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:136)(cid:171)(cid:124)(cid:95)BF=DE(cid:95)(cid:172)(cid:173)EF(cid:95)(cid:181)(cid:64)(cid:29)(cid:43)BD(cid:69)(cid:124)O(cid:70)(cid:213)(cid:141)(cid:61)(cid:62)(cid:10) CEF(cid:93)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:160) OED
OFB(cid:160) OD=2OB(cid:160) OC=2 5(cid:70)(cid:193)(cid:73)(cid:95)(cid:155)(cid:113)(cid:61)(cid:62)(cid:31)(cid:90)(cid:57)(cid:93)(cid:80) (cid:88) ①△ ②△ ∽△
③ ⑤A(cid:70)1 B(cid:70)2 C(cid:70)3 D(cid:70)4
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)C
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)
(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:64)(cid:388)(cid:90)(cid:61)(cid:62)(cid:185)(cid:191)(cid:456)(cid:171)(cid:36)(cid:154)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:180)(cid:61)(cid:62)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:182)EF(cid:38)BC(cid:181)(cid:69)(cid:124)G(cid:95)(cid:188)(cid:124)E(cid:54)EH AD(cid:181)BD(cid:69)(cid:124)H(cid:95)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:10)
⊥
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:95)
∵CD=CD(cid:95) CDE= CBF=90°(cid:70)
∴(cid:169) CDE(cid:94)∠CBF(cid:73)∠(cid:95)
△ △
CD=CB
CDE= CBF(cid:95)
DE=BF
∠ ∠
CDE CBF(SAS)(cid:95)
∴△CE=CF≌(cid:95)△
∴ CEF(cid:93)(cid:68)(cid:175)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:70)
∴△ (cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴(cid:192)①(cid:91)(cid:30)ABCD(cid:101)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:95)
∵ ADB= ABD=45°(cid:95)
∴∠DOE=∠BOF(cid:95) BFO≠45°(cid:95)
∵∠OED(cid:94)∠ OFB(cid:156)∠(cid:93)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∴△ (cid:31)(cid:61)(cid:62)△(cid:156)(cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴②DE= 1 AD(cid:95)BF=DE(cid:95)AB=AD(cid:95)
3
∵
BF= 1 AB(cid:95)AE= 2 AB(cid:95)
3 3
∴
BF= 1 (cid:70)
FA 4
∴
BC AD(cid:95)
∵ F∥BG FAE(cid:95)
∴B△G= BF = ∽1 (cid:95) △
AE AF 4
∴
BG= 1 AE= 1 AB(cid:95)
4 6
∴
BE= 1 DE(cid:70)
2
∴
AD BC(cid:95)
∵ O∥DE OBG(cid:95)
∴△OD= DE = ∽ 2 △ (cid:95)
OB BG
∴
OD=2OB(cid:70)
∴ (cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:155)(cid:113)(cid:160)
∴③ADB=45°(cid:95)
∵∠DEH(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∴D△E=EH(cid:95)
∴EH=BF(cid:70)
∴EH AD(cid:95)AB AD(cid:95)
∵EH⊥AB(cid:95) ⊥
∴ H∥EO BFO(cid:95)
∴E△O= EH = ∽ 1 △ (cid:95)
FO BF
∴
OE=OF(cid:70)
∴(cid:178) (cid:168)(cid:10) CDE CBF(cid:95)
C①E=CF(cid:95)△ DCE≌=△BCF(cid:95)
∴ ECF= E∠CB+ B∠CF= ECB+ DCE= DCB=90°(cid:95)
∴∠ECF(cid:101)∠(cid:68)(cid:175)(cid:179)∠(cid:29)(cid:28)(cid:29)∠(cid:30)(cid:95) ∠ ∠
∴△OC EF(cid:95)
∴ O⊥CE(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
∴△
OC= 2CE(cid:70)
2
∴
AD=6(cid:95)DE= 1 AD(cid:95)
3
∵
DE=2(cid:95)
∴CE= DE2+CD2=2 10(cid:95)
∴ OC= 2×2 10=2 5(cid:70)
2
∴ (cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:155)(cid:113)(cid:70)
∴(cid:155)④(cid:113)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:93)(cid:10) (cid:70)
(cid:118)∴ (cid:119)(cid:10)C(cid:70) ①③④
(cid:15)(cid:124)(cid:131)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:207)(cid:208)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:220)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)
(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)(cid:71)(cid:191)(cid:43)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:155)(cid:78)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】
(cid:15)(cid:79)10(cid:21)(cid:80)2025·(cid:161)(cid:162)(cid:478)(cid:357)·(cid:164)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95) ABC ADE, BAC= DAE=90°,AB=6,AC=8,F(cid:101)DE(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)(cid:122)(cid:124)D
(cid:169)(cid:179)(cid:43)BC(cid:136)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:172)(cid:173)CF(cid:95)(cid:126)(cid:169)(cid:124)D(cid:203)△(cid:58)(cid:188)(cid:348)∽(cid:73)△(cid:95)(cid:43)(cid:44)∠CF(cid:31)(cid:63)∠(cid:105)(cid:35)(cid:93)(cid:80) (cid:88)
A(cid:70)2.4 B(cid:70)3 C(cid:70)4 D(cid:70)4.8
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)C
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:207)(cid:208)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:91)(cid:136)(cid:73)(cid:43)(cid:68)(cid:69)(cid:332)(cid:91)(cid:31)(cid:171)(cid:380)(cid:95)(cid:240)(cid:241)(cid:37)(cid:177)(cid:95)
(cid:76)(cid:77)(cid:144)(cid:95)(cid:479)(cid:129)(cid:288)(cid:34)CF(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:35)(cid:216)(cid:233)(cid:101)(cid:34)DE(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:95)(cid:420)(cid:479)(cid:129)(cid:172)(cid:173)CE(cid:39)(cid:40) DCE=90°(cid:95)(cid:34)DE(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:126)(cid:65)
(cid:480)(cid:34)AD(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:95)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70) ∠
(cid:172)(cid:173)CE(cid:288)AC(cid:38)DE(cid:31)(cid:181)(cid:124)(cid:422)(cid:101)G(cid:95)(cid:24)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:185)(cid:191)(cid:29)(cid:174)(cid:216)(cid:233)(cid:39)(cid:40) DCE=90°(cid:95)F(cid:93)DE(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)
(cid:116)(cid:128)CF= 1 DE(cid:95)(cid:114)(cid:111)(cid:112)(cid:294)AD BC(cid:285)(cid:95)AD(cid:63)(cid:481)(cid:95)(cid:239)(cid:285)DE(cid:63)(cid:481)(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31) ∠ (cid:76)(cid:77)(cid:213)(cid:287)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)
2
⊥
(cid:34)(cid:128)DE(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:95)(cid:115)(cid:116)(cid:128)(cid:180)CF(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:70)
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:172)(cid:173)CE(cid:288)AC(cid:38)DE(cid:31)(cid:181)(cid:124)(cid:422)(cid:101)G(cid:95)ABC ADE(cid:95)
ACD= AEG(cid:95) ∵△ ∽△
∴∠AGE=∠DGC(cid:95)
∵∠AGE ∠ DGC(cid:95)
∴△AG
=
EG
(cid:95)
∽△
DG GC
∴
AGD= EGC(cid:95)
∵∠AGD ∠ EGC(cid:95)
∴△ADG=∽△ECG(cid:95)
∴∠Rt ADE∠(cid:73)(cid:95) ADG+ AEG=90°(cid:95)
∵ E△CG+ ACD∠=90°(cid:95)(cid:115)∠ DCE=90°(cid:95)
∴F∠(cid:93)DE(cid:31)∠ (cid:73)(cid:124)(cid:95) ∠
∵ CF= 1 DE(cid:95)
2
∴
ABC ADE(cid:95)
∵A△D= DE∽△
AB BC
∴
(cid:169)Rt ABC(cid:73)(cid:95) BAC=90°,AB=6,AC=8,
BC=△ AB2+AC2∠=10(cid:95)
∴AD= DE (cid:95)(cid:115)DE= 5 AD(cid:95)
6 10 3
∴
(cid:294)AD BC(cid:285)(cid:95)AD(cid:63)(cid:481)(cid:95)(cid:239)(cid:285)DE(cid:450)(cid:63)(cid:481)(cid:95)
∴ (cid:294)AD ⊥ BC(cid:285)(cid:95)S = ADBC = ABAC (cid:95)
ABC 2 2
⋅ ⋅
⊥ △
AD= 6×8 = 24 (cid:95)
10 5
∴
DE= 5 AD=8(cid:95)
3
∴
CF= 1 DE=4(cid:95)
2
∴
(cid:115)(cid:43)(cid:44)CF(cid:31)(cid:63)(cid:105)(cid:35)(cid:93)4(cid:70)
(cid:118)(cid:119)C(cid:70)(cid:15)(cid:120)(cid:121)10-1(cid:21)(cid:80)2025·(cid:83)(cid:366)(cid:482)(cid:483)·(cid:171)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95) ABC=90°(cid:95)AB=BC=8(cid:95)P(cid:93)(cid:43)(cid:44)BC(cid:170)(cid:171)(cid:58)(cid:124)(cid:95)
BP=6(cid:95)(cid:172)(cid:173)CP(cid:95)(cid:288)(cid:43)(cid:44)CP(cid:289)(cid:124)P(cid:342)(cid:285)(cid:291)(cid:292)(cid:216)90°△(cid:128)(cid:129)(cid:43)(cid:44)D∠P(cid:95)(cid:172)(cid:173)BD(cid:95)(cid:126)BD(cid:31)(cid:75)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101) (cid:70)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)6 2+8/8+6 2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:47)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:94)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:78)(cid:144)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)
(cid:153)(cid:70)(cid:294)(cid:124)D(cid:169)BA(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:136)(cid:285)(cid:80)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:88)(cid:95)BD(cid:31)(cid:75)(cid:174)(cid:363)(cid:128)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:95)(cid:114)(cid:178) ABC, CDP(cid:421)(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)
BC PC △ △
(cid:30)(cid:95)(cid:116)(cid:128) = (cid:95)(cid:116)(cid:39) BCP ACD(cid:95)(cid:111)(cid:112)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:152)(cid:67)(cid:79)(cid:47)(cid:22)(cid:115)(cid:116)(cid:70)
AC CD
△ ∽△
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:172)(cid:173)AD,CD(cid:95)
BD≤AB+AD(cid:95)
∵(cid:294)(cid:124)D(cid:169)BA(cid:31)(cid:214)(cid:75)(cid:43)(cid:136)(cid:285)(cid:80)(cid:166)(cid:55)(cid:212)(cid:245)(cid:88)(cid:95)BD(cid:31)(cid:75)(cid:174)(cid:363)(cid:128)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:70)
∴(cid:178)(cid:22)(cid:159)(cid:128)(cid:10) ABC, CDP(cid:421)(cid:101)(cid:68)(cid:175)(cid:179)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:95)
ACB= D△CP=45°△(cid:95)
∴∠ACB−∠ACP= DCP− ACP(cid:95)
(cid:115)∴∠ PCB=∠ DCA(cid:95)∠ ∠
c ∠ os ACB ∠ = BC = 2,cos DCP= PC = 2 (cid:95)
AC 2 CD 2
∵ BC= ∠ PC (cid:95) ∠
AC CD
∴
BCP ACD(cid:95)
∴△ BP= BC = ∽△2 (cid:95)
AD AC 2
∴BP=6(cid:95)
∵AD=6 2(cid:95)
∴AB=BC=8(cid:95)
∵BD(cid:31)(cid:75)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101)6 2+8(cid:70)
∴(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10)6 2+8
(cid:15)(cid:120)(cid:121)10-2(cid:21)(cid:80)24-25(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)·(cid:476)(cid:17)(cid:484)(cid:483)·(cid:139)(cid:73)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95) ABC ADE(cid:95) BAC= DAE=90°(cid:95)AB=2(cid:95)AC=
5(cid:95)(cid:124)D(cid:169)(cid:43)(cid:44)BC(cid:136)(cid:203)(cid:58)(cid:95)(cid:124)P(cid:101)(cid:43)(cid:44)DE(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)(cid:169)(cid:124)D△(cid:31)(cid:203)(cid:58)∽△(cid:188)(cid:348)(cid:73)(cid:95)∠CP(cid:31)(cid:63)∠(cid:105)(cid:35)(cid:93)
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21) 5 / 1 5
2 2
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:287)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:332)(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:73)(cid:43)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:148)(cid:485)(cid:203)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:351)
(cid:340)(cid:67)(cid:35)(cid:3)(cid:46)(cid:93)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)
(cid:24)(cid:25) ABC ADE(cid:95) BAC= DAE=90°(cid:95)(cid:36)(cid:37)(cid:180) ABD ACE(cid:95)(cid:197)(cid:188)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:128)(cid:129) ACE+ ACB
=90°= △ ECD ∽ (cid:95) △ (cid:178)P(cid:101)(cid:43) ∠ (cid:44)DE(cid:31) ∠ (cid:73)(cid:124)(cid:187)(cid:180)CP= 1 DE △ (cid:95)(cid:114)(cid:24) ∽ (cid:25) △ (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:67)(cid:35)(cid:3)(cid:46)(cid:34)(cid:180)DE(cid:31)(cid:75)(cid:115) ∠ (cid:116)(cid:70) ∠
2
∠
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:47)(cid:10) ABC ADE(cid:95)
AB= AC = BC (cid:95) ∵△ ∽△
AD AE DE
∴
AB= AD (cid:95)
AC AE
∴
BAC= DAE=90°(cid:95)
∵∠BAC−∠DAC= DAE− DAC(cid:95) ABD+ ACB=90°(cid:95)
∴∠BAD=∠CAE(cid:95)∠ ∠ ∠ ∠
∴∠ABD ∠ ACE(cid:95)
∴△ABD=∽△ACE(cid:95)
∴∠ABD+∠ACB=90°(cid:95)
∵∠ACE+∠ACB=90°= ECD(cid:95)
∴P∠(cid:101)(cid:43)(cid:44)∠DE(cid:31)(cid:73)(cid:124)(cid:95)∠
∵ CP= 1 DE(cid:95)
2
∴
(cid:294)DE(cid:63)(cid:105)(cid:285)CP(cid:63)(cid:105)(cid:95)
∴ (cid:194) DE= AD (cid:95)
BC AB
∵AD
DE=BC× (cid:95)BC(cid:38)AB(cid:132)(cid:101)(cid:37)(cid:35)(cid:95)(cid:115)AD(cid:63)(cid:105)(cid:285)(cid:95)DE(cid:63)(cid:105)(cid:95)(cid:126)AD BC(cid:285)(cid:157)(cid:158)(cid:22)(cid:159)(cid:95)AD(cid:101)BC(cid:91)(cid:136)(cid:31)(cid:66)(cid:95)
AB
∴ ⊥
2
(cid:169)Rt BAC(cid:73)(cid:95)AB=2(cid:95)AC= 5(cid:95)(cid:126)(cid:10)BC= AB2+AC2= 22+( 5) =3(cid:95)
△
S = 1 AB×AC= 1 BC×AD(cid:95)(cid:115)(cid:10) 1 ×2× 5= 1 ×3×AD(cid:95)
ABC 2 2 2 2
∵ △
2 5
(cid:47)(cid:128)(cid:10)AD= (cid:95)
3
2 5
AD
DE=BC× =3× 3 = 5
AB 2
∴ CP= 1 DE= 1 × 5= 5 (cid:160)
2 2 2
∴
5
(cid:118)(cid:106)(cid:107)(cid:101)(cid:10) (cid:70)
2
(cid:15)(cid:120)(cid:121)10-3(cid:21)(cid:80)2025·(cid:486)(cid:137)(cid:487)(cid:372)·(cid:171)(cid:165)(cid:88)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169) ABC(cid:73)(cid:95)AC=3(cid:95)BC=6(cid:95)(cid:213)AB(cid:101)(cid:91)(cid:337)(cid:136)(cid:54)(cid:238)(cid:30)ABDE(cid:95)(cid:64)(cid:29)
(cid:43)AD(cid:38)BE(cid:26)(cid:181)(cid:69)(cid:124)O(cid:95)(cid:97) AOE=60°(cid:95)(cid:172)(cid:173)OC(cid:95)△(cid:126)OC(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101) (cid:70)
∠
(cid:15)(cid:106)(cid:107)(cid:21)3 3
(cid:15)(cid:72)(cid:108)(cid:21)(cid:109)(cid:22)(cid:207)(cid:208)(cid:86)(cid:110)(cid:147)(cid:68)(cid:91)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:125)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:168)(cid:242)(cid:124)(cid:95)(cid:11)(cid:296)(cid:297)(cid:298)
(cid:299)(cid:25)(cid:199)(cid:200)(cid:43)(cid:95)(cid:189)(cid:190)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:152)(cid:101)(cid:47)(cid:22)(cid:31)(cid:3)(cid:153)(cid:70)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)AC(cid:31)(cid:488)(cid:489)(cid:363)(cid:171)(cid:124)J(cid:95)(cid:231)(cid:128)JA=JC(cid:95) AJC=120°(cid:95)(cid:172)
∠
3
(cid:173)AJ,JC,OJ,(cid:188)(cid:124)J(cid:54)JH AC(cid:69)(cid:124)H(cid:70)(cid:227)(cid:377)(cid:180)JH= (cid:95)(cid:243)(cid:217)(cid:111)(cid:112)(cid:238)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:128)OA=OB(cid:95)(cid:114)(cid:39)(cid:40) CAB
2
⊥ △ ∽△
JAO(cid:95)(cid:114)(cid:61)(cid:158)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:95)(cid:142)(cid:121) OJ = JA = 3 (cid:95)(cid:115)JO=2 3(cid:95)(cid:185)(cid:191)(cid:47)(cid:106)(cid:70)
BC AC 3
(cid:15)(cid:117)(cid:47)(cid:21)(cid:166)(cid:55)(cid:95)(cid:169)AC(cid:31)(cid:488)(cid:489)(cid:363)(cid:171)(cid:124)J(cid:95)(cid:231)(cid:128)JA=JC(cid:95) AJC=120°
∠
(cid:70)
(cid:172)(cid:173)AJ,JC,OJ,(cid:188)(cid:124)J(cid:54)JH AC(cid:69)(cid:124)H(cid:70)
AC=3(cid:95) ⊥
∵3
AH=CH= (cid:70)
2
∴
AJC=120°(cid:95)
∵∠JAH= JCH=30°(cid:95)
∴∠CJ=2JH∠(cid:95)
∴CJ = 3(cid:95)
∴
3
(cid:126)JH= (cid:70)
2
(cid:192)(cid:91)(cid:30)ABDE(cid:93)(cid:238)(cid:30)(cid:95)
∵OA=OB(cid:70)
∴ AOE=60°(cid:95)
∵∠AOB=120°(cid:95)
∴∠OAB= OBA=30°(cid:95)
∴∠CAJ=∠BAO(cid:95)
∴∠CAB=∠JAO(cid:70)
∴∠
AJ = AO =
∠3
(cid:95)
AC AB 3
∵
CAB JAO(cid:95)
∴△
OJ = JA =
∽△3
(cid:95)
BC AC 3
∴
JO=2 3(cid:70)
∴OC≤JO+JC=2 3+ 3=3 3(cid:95)
∵OC(cid:31)(cid:63)(cid:19)(cid:35)(cid:101)3 3(cid:70)
∴