文档文本内容
专题 21.2 二次根式的乘除（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)
题型归纳
(cid:15)(cid:22)(cid:23)1 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:21)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:22)(cid:23)2 (cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:21)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:22)(cid:23)3 (cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:41)(cid:42)(cid:21)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:22)(cid:23)4 (cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)............................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:22)(cid:23)5 (cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:21)............................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:22)(cid:23)6 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:21)..........................................................................................................................13
(cid:15)(cid:22)(cid:23)7 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:21)..........................................................................................................................16
(cid:15)(cid:22)(cid:23)9 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:21)..........................................................................................................................19
知识点1 二次根式的乘法
1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)
(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:63)(cid:71) = 0， 0)(cid:72)
(cid:73)(cid:74)(cid:10) 2 32= 2×32= 64=8(cid:72) 𝑎∙ 𝑏 𝑎𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)∙ (cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)(cid:32)(cid:75)(cid:76)
(cid:77)1(cid:78)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:7)(cid:27)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)(cid:28)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) = 0， 0， 0)(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:88)(cid:70)(cid:89)(cid:63)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:28)(cid:55)(cid:63)(cid:94)(cid:26)(cid:9)(cid:86)(cid:32)(cid:88)(cid:70)𝑎(cid:84)∙ (cid:28)𝑏(cid:63)∙ (cid:95)𝑐(cid:96)(cid:62)𝑎(cid:32)𝑏(cid:88)𝑐(𝑎(cid:70)≥(cid:63)(cid:71) 𝑏≥ 𝑐≥=
0， 0)(cid:72) 𝑚 𝑎∙𝑛 𝑏 𝑚𝑛
知
𝑎
识
𝑏(
点
𝑎≥2
积
𝑏
的
≥
算术平方根
1. (cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:62)(cid:97)(cid:98)(cid:58)(cid:40)(cid:27)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:62)(cid:63)(cid:71) = 0， 0)(cid:72)
(cid:49)(cid:54)(cid:99)(cid:7)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:30)(cid:28)(cid:62)(cid:32)(cid:104)(cid:27)(cid:72) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:105)(cid:55)(cid:56)(cid:79)(cid:106)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:32)(cid:62)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) = 0， 0， 0)(cid:72)
3. (cid:53)(cid:54)(cid:10)(cid:47)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:109)(cid:94)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:110)(cid:111)(cid:40)(cid:70)(cid:43)(cid:112)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)𝑎(cid:63)𝑏𝑐(cid:114)(cid:115)(cid:54)𝑎∙ 𝑏∙=𝑐(𝑎≥ 𝑏≥0， 𝑐≥0)(cid:116)
= 0)(cid:63)(cid:94)(cid:102)(cid:69)(cid:117)(cid:118)(cid:61)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:69)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:72) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2
知
𝑎
识点
𝑎3( 𝑎
二
≥
次根式的除法1. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:29)(cid:55)(cid:55)(cid:56)
(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:119)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:119)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:63)(cid:71) = 0， >0)(cid:72)
𝑎 𝑎
2. (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:29)(cid:55)(cid:7)(cid:27)(cid:79)(cid:106)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:58)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:84)(cid:29)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:71) 𝑏 ÷ 𝑏(𝑎 ÷ ≥ = 𝑏 ÷ ÷ 0， >0
， >0)(cid:72) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐(𝑎≥ 𝑏
3. 𝑐(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:45)(cid:88)(cid:70)(cid:89)(cid:63)(cid:79)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:120)(cid:92)(cid:93)(cid:27)(cid:84)(cid:29)(cid:32)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:121)(cid:88)(cid:70)(cid:116)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:43)(cid:122)(cid:84)(cid:29)(cid:95)(cid:96)(cid:62)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:63)
(cid:71) ÷ = ÷ ÷ (cid:72)
知
𝑚
识点
𝑎4 𝑛
商
𝑏
的算
(𝑚
术平
𝑛
方
)
根
∙ 𝑎 𝑏
(cid:119)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:119)(cid:97)(cid:98)(cid:58)(cid:40)(cid:27)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:26)(cid:32)(cid:119)(cid:63)(cid:71) = 0， >0)(cid:72)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏(𝑎≥ 𝑏
知识点5 最简二次根式
1. (cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:63)(cid:125)(cid:126)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:102)(cid:69)(cid:117)(cid:118)(cid:61)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:77)(cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:78)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:26)(cid:9)(cid:63)(cid:127)(cid:128)(cid:32)(cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:129)(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
2. (cid:47)(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:130)(cid:131)
(cid:77)1(cid:78)(cid:121)(cid:26)(cid:9)(cid:132)(cid:32)(cid:133)(cid:43)(cid:70)(cid:47)(cid:96)(cid:134)(cid:43)(cid:70)(cid:63)(cid:121)(cid:135)(cid:136)(cid:52)(cid:137)(cid:65)1(cid:32)(cid:137)(cid:70)(cid:47)(cid:96)(cid:43)(cid:70)(cid:63)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:138)(cid:83)(cid:93)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:109)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:94)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:102)(cid:69)(cid:118)(cid:32)(cid:40)(cid:70)((cid:113)(cid:40)(cid:27)(cid:78)(cid:110)(cid:111)(cid:69)(cid:61)(cid:139)
(cid:77)3(cid:78)(cid:115)(cid:54) = 0， >0)(cid:63)(cid:140)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:97)(cid:123)(cid:124)(cid:43)(cid:44)(cid:139)
𝑎 𝑎
(cid:77)4(cid:78)(cid:43)(cid:44)(cid:45)𝑏(cid:46)(cid:47)𝑏(cid:63)(𝑎(cid:47)≥(cid:141)(cid:43)(cid:44)𝑏(cid:97)(cid:32)(cid:26)(cid:9)(cid:139)
(cid:77)5(cid:78)(cid:142)(cid:43)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:143)(cid:46)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
(cid:15)(cid:73)1(cid:21)(cid:77)2023·(cid:144)(cid:145)·(cid:97)(cid:146)(cid:147)(cid:22)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:63)(cid:45) = (cid:72)(cid:105)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:77) (cid:78) 𝑎⋅ 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:72) > >0 B(cid:72) < <0 C(cid:72) 0 D(cid:72) 0
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)𝑎 D 0,𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑎≤0,𝑏≤ 𝑎≥0,𝑏≥
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:117)(cid:157)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:63)(cid:114)(cid:112)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:157)(cid:159)(cid:160)(cid:72)
0
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:117) 0 (cid:63)
𝑎≥ 0
𝑏≥
0(cid:63) 𝑎𝑏≥
(cid:162)∴(cid:163)𝑎≥(cid:10)0D,𝑏(cid:72)≥(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:166)(cid:112)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:63)(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:96)(cid:107)(cid:108)(cid:70)(cid:138)(cid:169)(cid:22)
(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)1-1(cid:21)(cid:77)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:175)(cid:17)(cid:176)(cid:177)·(cid:178)(cid:179)(cid:78)(cid:102)(cid:140)(cid:64)(cid:27) = (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138)(cid:77) (cid:78)
𝑥 𝑥
A(cid:72) 0 B(cid:72) 3 C(cid:72) >3 𝑥−3 𝑥−D3(cid:72) >3(cid:113) <0
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)𝑥≥C 𝑥≥ 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:117)(cid:157) 0(cid:63) >0(cid:63)(cid:110)(cid:182)(cid:51)(cid:157)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
𝑥≥ 𝑥−3
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) = (cid:30)(cid:31)(cid:63)
𝑥 𝑥
0(cid:63) ∵ >0(cid:63)𝑥−3 𝑥−3
(cid:112)∴(cid:117)𝑥≥(cid:10) >𝑥3−(cid:72)3
(cid:162)(cid:163)(cid:10)𝑥C(cid:72)
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:99)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:187)(cid:188)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:51)(cid:157)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)1-2(cid:21)(cid:64)(cid:27) = · +3(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) 3. 𝑏 −9 𝑏−3 𝑏
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)𝑏(cid:26)≥(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)(cid:116)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:117)(cid:157)(cid:3)(cid:65)b(cid:32)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:63)(cid:112)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:157)
(cid:151)(cid:152).
0
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:63)(cid:117)(cid:10) +3 0 (cid:63)(cid:112)(cid:117)(cid:10) 3.
𝑏−3≥
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96) 3. 𝑏 ≥ 𝑏≥
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)𝑏(cid:169)≥(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:32)(cid:138)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:63)(cid:189)(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:107)(cid:108)(cid:138)(cid:112)(cid:99)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170).
(cid:15)(cid:171)(cid:27)1-3(cid:21)(cid:77)22-23(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:175)(cid:17)(cid:192)(cid:193)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:137)(cid:194)(cid:195)(cid:11)(cid:196)(cid:186) = (cid:197)(cid:63) (cid:198)(cid:96) = (cid:199)(cid:30)(cid:31)(cid:63)(cid:40)(cid:99)(cid:200)(cid:198)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:96)(cid:148)(cid:58)(cid:47)(cid:36)(cid:201)(cid:202)(cid:10) = = ×4= 4= 4=2(cid:138)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:72)
−20 −20 −5 −5⋅
(1)(cid:203)(cid:198)(cid:96)(cid:200)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:136)(cid:204)−5(cid:205) (cid:74)(cid:160)−5(cid:123)(cid:136)(cid:63)−(cid:206)5 (cid:103)(cid:157)(cid:187)−5(cid:188)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:201)(cid:202)(cid:139)
(2)(cid:207)(cid:208) = (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:72)
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)𝑏 (1)(cid:123)𝑏(cid:136)(cid:63)(cid:209)(cid:112)(cid:153)
(2) 0(cid:126) >0
(cid:15)(cid:43)𝑎(cid:153)≥(cid:21)(cid:169)𝑏(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:77)1(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:180)(cid:79)(cid:117)(cid:200)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:123)(cid:136)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:32)(cid:107)(cid:108)(cid:180)(cid:38)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:123)(cid:102)(cid:64)(cid:65)0(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:72)(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:77)1(cid:78)(cid:112)(cid:10)(cid:40)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:123)(cid:102)(cid:137)(cid:65)0(cid:63)(cid:211)(cid:106)(cid:200)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:123)(cid:136)(cid:72)
(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:201)(cid:202)(cid:74)(cid:132)(cid:10)
20
=
5
−20
−250
=
5
5×4
=
5
5× 4
=
5
= 4
=2(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)(cid:112)(cid:10)(cid:40)(cid:96)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:123)(cid:102)(cid:137)(cid:65)0(cid:38)(cid:43)(cid:27)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:123)(cid:102)(cid:64)(cid:65)0(cid:63)
(cid:211)(cid:106) = (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:138) 0(cid:126) >0(cid:72)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑎≥ 𝑏
【题型2 最简二次根式】
7
(cid:15)(cid:73)2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:144)(cid:212)(cid:213)(cid:214)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:132)(cid:215)(cid:98)(cid:27) 8(cid:139) 0.3(cid:139) (cid:139) 3(cid:139) +1(cid:77)a(cid:96)(cid:187)(cid:143)
2
2
(cid:70)(cid:78)(cid:63)(cid:216)(cid:97)(cid:148)(cid:217)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:45)(cid:77) (cid:78) ① ② ③ ④ ⑤ 𝑎
A(cid:72)4 (cid:58) B(cid:72)3 (cid:58) C(cid:72)2(cid:58) D(cid:72)1(cid:58)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)C
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)(cid:26)(cid:154)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:217)(cid:156)(cid:110)
(cid:111)(cid:218)(cid:217)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) 8=2 2(cid:63)(cid:123)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:139)
30
0.3= (cid:63)(cid:123)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:139)
10
7 = 14 (cid:63)(cid:123)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:139)
2 2
3(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:139)
+1(cid:77)a(cid:96)(cid:187)(cid:143)(cid:70)(cid:78)(cid:138)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:139)
2
(cid:162)𝑎(cid:163)C(cid:72)
2
(cid:15)(cid:171)(cid:27)2-1(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:175)(cid:219)(cid:49)(cid:220)·(cid:178)(cid:179)(cid:78)(cid:121) (cid:47)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:96) .
5
10
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)
5(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:110)(cid:111)(cid:47)(cid:36)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
2 10
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) = (cid:63)
5 5
10
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:72)
5
(cid:15)(cid:171)(cid:27)2-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:47)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:227)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) +1(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:84)
𝑛−1
(cid:64)(cid:63)(cid:56) = (cid:72) = (cid:72) 2𝑛 4𝑛−𝑚
(cid:15)(cid:151)(cid:152)𝑛(cid:21) 3 𝑚 5
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:217)(cid:156)(cid:63)(cid:228)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:229)(cid:230)(cid:63)(cid:228)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:138)(cid:47)(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:197)(cid:63)(cid:68)
(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:84)(cid:228)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:129)(cid:96)(cid:228)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:72)
(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:79)(cid:190)(cid:63)(cid:228)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:84)(cid:228)(cid:63)(cid:26)(cid:231)(cid:70)(cid:84)(cid:228)(cid:63)(cid:79)(cid:117)(cid:151)(cid:152)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) +1(cid:120)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) (cid:84)(cid:64)(cid:63)
𝑛−1
=2(cid:63) +1= 2𝑛 4𝑛−𝑚
∴(cid:112)𝑛(cid:117)−1(cid:10) =32(cid:63)𝑛 =5(cid:72)4𝑛−𝑚
(cid:162)(cid:151)(cid:152)𝑛(cid:96)(cid:10)3(cid:63)𝑚5(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)2-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:232)(cid:233)(cid:232)(cid:234)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:235)(cid:190) (cid:138)(cid:148)(cid:58)(cid:187)(cid:143)(cid:70)(cid:63) (cid:199)(cid:138)(cid:187)(cid:143)(cid:70)(cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)4 B(cid:72)5 C(cid:72)10𝑎 D2(cid:72)0𝑎20 𝑎
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)B
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:47)(cid:36)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)(cid:236) (cid:138)(cid:187)(cid:143)(cid:70)(cid:126)
=2 (cid:63)(cid:117)(cid:82) (cid:138)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:70)(cid:63)(cid:71)(cid:79)(cid:51)(cid:157) (cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:52)(cid:72) 20𝑎
(cid:15)2(cid:161)0𝑎(cid:112)(cid:21)(cid:112)5(cid:10)𝑎 5(cid:138)𝑎(cid:187)(cid:143)(cid:70)(cid:63) =2 (cid:63)𝑎
(cid:138)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)∵ (cid:70)2(cid:63)0𝑎 20𝑎 5𝑎
∴5 𝑎(cid:32)(cid:35)(cid:137)(cid:52)(cid:96)5(cid:72)
(cid:162)∴(cid:163)𝑎(cid:10)B(cid:72)
【题型3 根号内、外的因式互移】
1
(cid:15)(cid:73)3(cid:21)(cid:77)2023(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:238)(cid:239)·(cid:240)(cid:22)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:121)( ) (cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:159)(cid:160)(cid:96) (cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)−(cid:26)(cid:154)𝑏−(cid:24)𝑎(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:110)(cid:111)(cid:47)(cid:36)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) 1 >0(cid:63)
∵−𝑎−𝑏<0(cid:63)
∴𝑎−𝑏 1 1
( ) = ( )
∴ 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏 − 𝑏−𝑎 −𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− 𝑏−𝑎 ⋅ −
𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− ⋅ 𝑏−𝑎
𝑎−𝑏
= (cid:72)
(cid:162)(cid:151)−(cid:152)𝑏(cid:96)−𝑎(cid:10) (cid:72)
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)−(cid:22)(cid:183)𝑏−(cid:184)𝑎(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:138)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:117)(cid:157) <0(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)3-1(cid:21)(cid:227)(cid:121) 3(cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:63)(cid:117)(cid:77) (cid:78) 𝑎−𝑏
A(cid:72) 12 −4 B(cid:72) 12 C(cid:72) 48 D(cid:72) 48
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)C − −
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:121)4(cid:103)(cid:30) 16(cid:32)(cid:104)(cid:27)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:82)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) 3= 16× 3= 48(cid:72)
(cid:162)(cid:163)(cid:10)C(cid:72) −4 − −
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:106)(cid:166)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:138)(cid:241)(cid:242)(cid:157)(cid:243)(cid:244)(cid:9)(cid:245)(cid:246)(cid:32)(cid:247)(cid:22)(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)3-2(cid:21)(cid:94) (cid:97)(cid:32)a(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:37)(cid:63)(cid:159)(cid:160)(cid:138)(cid:77)(cid:248)(cid:248)(cid:78)
A(cid:72) −𝑎 −𝑎B(cid:72) C(cid:72) D(cid:72)
3 3 3 3
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)−𝑎B −𝑎 −𝑎 − 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:72)(cid:109)(cid:218)(cid:249)(cid:157) 0(cid:63)(cid:114)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:71)(cid:79)(cid:51)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21) 0(cid:63) 𝑎≤
0(cid:63)∵−𝑎≥
∴𝑎≤ =| | = = (cid:72)
2 3
(cid:162)∴−(cid:163)𝑎(cid:10)−B𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋅ −𝑎 −𝑎
1
(cid:15)(cid:171)(cid:27)3-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:250)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:175)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:121)( ) (cid:26)(cid:9)(cid:39)(cid:87)(cid:32)(cid:40)(cid:27)(cid:42)(cid:82)(cid:26)(cid:9)(cid:254)(cid:87)(cid:47)(cid:36)(cid:32)(cid:159)(cid:160)
(cid:138) (cid:72) 1−𝑥 𝑥−1
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) / +
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)−(cid:169)(cid:22)𝑥−(cid:183)1(cid:184)−(cid:146)−(cid:185)1(cid:186)(cid:47)𝑥(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:166)(cid:43)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:79)(cid:117)>0(cid:63)(cid:154)(cid:99)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
𝑥(cid:15)−(cid:161)1(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) >0(cid:63)
<0(cid:63) ∵𝑥−1
∴1 ( −𝑥 ) 1 = 1 ( ) = (cid:63)
2
(cid:162) ∴ (cid:151) 1 (cid:152) − (cid:96) 𝑥 (cid:10)𝑥−1 − (cid:72)𝑥−1⋅ 𝑥−1 − 𝑥−1
【题型4 分 − 母 𝑥 有 −1 理化】
(cid:15)(cid:73)4(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:193)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:45)(cid:46)(cid:70) (cid:116) (cid:63)(cid:217)(cid:156)(cid:186)(cid:148)(cid:259)(cid:260)(cid:49)(cid:50)(cid:10) ※ = (cid:63)(cid:73)
𝑎+𝑏
(cid:74)6※3= 6 3 = 9 = 9× 3 =3 3(cid:63)(cid:56)3※ 1 (cid:96) 𝑎 (cid:72) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
+ 3 3× 3 2
−
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)
56−
1
3
4/ 5 14
14 14
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:26)(cid:154)(cid:260)(cid:217)(cid:156)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:236)(cid:22)(cid:155)(cid:117)(cid:10)3※ 1 = 3 1 2 = 5 2 = 5 14(cid:63)
2 + − 1 7 14
2 2
−
3− −
5
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) 14(cid:72)
14
(cid:15)(cid:171)(cid:27)4-1(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:191)(cid:266)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:103)(cid:157) (cid:32)(cid:148)(cid:58)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27) (cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)2(cid:22)𝑎−(cid:183)𝑏(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:267)(cid:267)(cid:138)(cid:28)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:169)(cid:268)(cid:77)(cid:43)(cid:44)(cid:269)(cid:45)(cid:148)(cid:93)(cid:78)(cid:113)(cid:120)(cid:270)(cid:43)
(cid:44)(cid:158)(cid:30)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:72)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:51)(cid:112)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) × = (cid:63)
(cid:32)(cid:148)(cid:58)∵(cid:45)(cid:46)2𝑎(cid:47)−𝑏(cid:40)(cid:27)(cid:96)2𝑎−𝑏 (cid:63)2𝑎−𝑏
∴(cid:162)(cid:151)2𝑎(cid:152)−(cid:96)𝑏 (cid:10) (cid:77)(cid:151)(cid:152)(cid:123)(cid:272)(cid:148)2𝑎(cid:78)−𝑏
(cid:15)(cid:171)(cid:27)4-2(cid:21)(cid:77)2𝑎2−4𝑏-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:175)(cid:17)(cid:273)(cid:214)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:235)(cid:190) = + +5(cid:63)(cid:56) = (cid:72)
𝑦
𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑥
5 3
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)
3
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:112)(cid:123)(cid:64)(cid:27)(cid:158)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:72)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:109)(cid:215)(cid:157)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:89)(cid:32)x
(cid:274)(cid:52)(cid:275)(cid:276)(cid:63)(cid:277)(cid:182)(cid:51)(cid:117)y(cid:52)(cid:63)(cid:114)(cid:263)(cid:264)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:71)(cid:79)(cid:51)(cid:157)(cid:169)(cid:22)(cid:151)(cid:152)(cid:72)
0
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:236)(cid:22)(cid:155)(cid:117)(cid:63) (cid:63)
0
𝑥−3≥
3 3−𝑥≥
(cid:63)
3
𝑥≥
∴ 𝑥≤= =5(cid:63)
∴𝑥
=
3,5𝑦
=
5 3
(cid:63)
3 3
𝑦
∴ 𝑥
5 3
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:72)
3
(cid:15)(cid:171)(cid:27)4-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:232)(cid:233)(cid:262)(cid:278)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:136)(cid:65)(cid:279)(cid:155)(cid:123)(cid:84)(cid:64)(cid:32)(cid:57)(cid:58)(cid:187)(cid:280)(cid:70)a(cid:63)b(cid:63)(cid:217)(cid:156)(cid:148)(cid:259)(cid:49)(cid:50)
“※”(cid:74)(cid:132)(cid:10) ※ = (cid:63)(cid:73)(cid:74)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:72)
𝑎+𝑏 +
(cid:77)1(cid:78)3※6= 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 (cid:139) 5−4
(cid:77)2(cid:78)( 3)※ 7※5 = (cid:72)
2−
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) 2 6
4
+
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)−(cid:185)1(cid:217)(cid:156)(cid:260)−(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:63)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:64)(cid:72)
(cid:77)1(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:115)(cid:54)(cid:22)(cid:97)(cid:73)(cid:48)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:109)(cid:94) 7※5 (cid:76)(cid:69)(cid:265)(cid:50)(cid:63)(cid:114)(cid:265)(cid:50)( 3)※ 3(cid:63)(cid:35)(cid:197)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
2−
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:77)1(cid:78)(cid:236)(cid:217)(cid:156)(cid:260)(cid:49)(cid:50)(cid:190)3※6= 3 6= (cid:63)
+
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:139) 3−6 −1
−1
(cid:77)2(cid:78)( 3)※ 7※5
2− 7+5
= ( 3)※
2− 12
= ( 3)※ 7−5
2
= (2− 3)※ 3
2−
3+ 3
=
3 3
2−
2−2 −
=
3
2×(2+2 3)
= 2−2
( 3)(2+2 3)
2 2+2 6
= 2−2
2 2+2 6
= 4−12
2 6
= −8 (cid:63)
4
+
−2 6
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:72)
4
+
−
【题型5 分子有理化】
(cid:15)(cid:73)5(cid:21)(cid:77)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:281)(cid:212)(cid:282)(cid:283)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:15)(cid:61)(cid:55)(cid:284)(cid:159)(cid:21)(cid:74)(cid:285)(cid:91)(cid:286)(cid:57)(cid:58)(cid:70)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:287)(cid:67)(cid:267)(cid:288)(cid:54)(cid:95)(cid:271)(cid:113)
(cid:95)(cid:119)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:63)(cid:216)(cid:280)(cid:45)(cid:89)(cid:289)(cid:54)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:290)(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:199)(cid:291)(cid:274)(cid:117)(cid:292)(cid:293)(cid:32)(cid:294)(cid:160)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:63)(cid:91)(cid:286) =2 3(cid:116) =3 2(cid:32)(cid:19)
(cid:137)(cid:63)(cid:287)(cid:67)(cid:79)(cid:106)(cid:121)a(cid:116)b(cid:43)(cid:122)(cid:60)(cid:61)(cid:72) =12, =18(cid:63)(cid:56) < , < (cid:72) 𝑎 𝑏
2 2 2 2
(cid:206)(cid:115)(cid:54)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:112)(cid:295)(cid:132)(cid:87)(cid:247)(cid:22)(cid:10) ∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∴𝑎 𝑏
(cid:77)1(cid:78)(cid:91)(cid:286) =4 2 =2 7(cid:19)(cid:137)(cid:63)c______d(cid:77)(cid:296)(cid:103)“>”“<”(cid:113)“=”(cid:78)(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)(cid:297)(cid:298)𝑐 =2 5,𝑑+ 6 =2 3+ 14(cid:299)(cid:300)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:125)(cid:207)(cid:208)(cid:46)(cid:236)(cid:72)
(cid:15)(cid:75)(cid:76)(cid:301)(cid:302)𝑚(cid:21)(cid:85)(cid:303)(cid:29)(cid:186)“(cid:60),𝑛(cid:61)(cid:55)”(cid:39)(cid:63)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:290)(cid:91)(cid:286)(cid:304)(cid:305)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:63)
1 1
(cid:91)(cid:286) 7 6(cid:116) 6 5(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:79)(cid:106)(cid:109)(cid:94)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:74)(cid:132)(cid:10) 7 6= (cid:63) 6 5= (cid:72) 7+ 6
7 6 6 5
> 6+ − 5(cid:63) − 7 6< 6 5(cid:72) − + − + ∵
(cid:77)3(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:306)(cid:307)∴(cid:63)(cid:206)−(cid:163)(cid:308)(cid:262)(cid:309)(cid:32)−(cid:61)(cid:55)(cid:91)(cid:286) 2025 2024(cid:120) 2024 2023(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:103)(cid:157)(cid:310)(cid:311)(cid:91)(cid:286)(cid:201)(cid:202)(cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)(cid:77)1(cid:78) > (cid:77)2(cid:78) > (cid:77)3(cid:78) 2025− 2024< 202−4 2023
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)𝑐(cid:185)(cid:186)𝑑(cid:60)(cid:61)(cid:55)𝑛(cid:38)(cid:43)𝑚(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:38)(cid:312)(cid:70)−(cid:91)(cid:286)(cid:280)(cid:70)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)−(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:138)(cid:51)(cid:157) 1
>
2025 2024
1 −
(cid:72)
2024 2023
(cid:77)1(cid:78)−(cid:313)(cid:314)(cid:22)(cid:315)(cid:97)(cid:32)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:313)(cid:314)(cid:22)(cid:315)(cid:97)(cid:32)“(cid:60)(cid:61)(cid:55)”(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:77)3(cid:78)(cid:79)(cid:115)(cid:54)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:70)(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:77)1(cid:78) =(4 2) =32, =(2 7) =28,32>28(cid:63)
2 2
2 2
> ∵𝑐 𝑑
2 2
∴𝑐 > 𝑑(cid:139)
∴𝑐 𝑑
(cid:77)2(cid:78) = 2 5+ 6 =26+4 30, =(2 3+ 14) =26+4 42,26+4 42>26+4 30(cid:63)
2 2
2 2
>∵𝑚 (cid:63) 𝑛
2 2
∴𝑛> 𝑚(cid:139)
(cid:77)∴ 3 𝑛(cid:78) 𝑚 1 = 2025+ 2024, 1 = 2024+ 2023(cid:63)(cid:316) 2025+ 2024
2025 2024 2024 2023
∵ − − −
( 2024+ 2023)= 2025 2023>0
−1 > 1 (cid:63)
2025 2024 2024 2023
∴ 202 − 5 2024< − 2024 2023(cid:72)
(cid:15) ∴ (cid:171)(cid:27)5- − 1(cid:21)(cid:77)2025(cid:172)(cid:173)(cid:174) − (cid:132)·(cid:238)(cid:239)·(cid:240)(cid:22)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:94)(cid:43)(cid:48)(cid:317)(cid:47)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:70)(cid:63)(cid:318)(cid:129)(cid:96)“(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)”(cid:63)(cid:73)(cid:74)(cid:10) 2= 2
1
=( 2) = 2 (cid:139)
2 2 2
3 =( 3 )×( 3 1)= ( 3) 1 = = 2 (cid:72)(cid:26)(cid:154)(cid:191)(cid:319)(cid:190)(cid:320)(cid:63)(cid:206)(cid:203)(cid:237)(cid:30)(cid:132)(cid:215)(cid:247)(cid:22)(cid:10)
3 3×( 3 1) ( 3) 2 32 3 3 3 3
−1 −1 + − 3−1
2
+1 1+ + +
(1)(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:10) _______ (cid:77)(cid:296)“>”(cid:63)“<”(cid:113)“=”(cid:78)(cid:139)
7 11
(2)(cid:265)(cid:50)(cid:10) 1 3 + − 1 + 1−3 + + 1 (cid:139)
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+2 + + ⋯ +
(3)(cid:227) = (cid:63)(cid:51)5 +15(cid:32)(cid:52)(cid:72)
3
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152) 𝑎 (cid:21)(1) − < 1 𝑎 −10𝑎
(2)44
(3)25
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:167)(cid:168)(cid:216)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
1 3 7 1 11 3
(cid:77)1(cid:78)(cid:109)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:117)(cid:82) = (cid:63) = (cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:91)(cid:286)(cid:19)(cid:137)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
7 2 11 2
+ +
(cid:77)2(cid:78)(cid:109)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:63)(cid:303)3(cid:197)−(cid:262)(cid:125)(cid:228)(cid:90)(cid:24)(cid:25)(cid:26)−3(cid:27)(cid:139)
(cid:77)3(cid:78)(cid:109)(cid:115)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:117)(cid:82) = 3+1(cid:63)(cid:56)(cid:42)(cid:93)(cid:117)(cid:82) = 3(cid:63)(cid:114)(cid:57)(cid:321)(cid:60)(cid:61)(cid:79)(cid:117)(cid:82) =2(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:121)5
2 2
+15(cid:171)(cid:104)(cid:322)5( )+𝑎15(cid:63)(cid:35)(cid:197)(cid:115)(cid:54)(cid:143)(cid:311)(cid:263)(cid:264)𝑎(cid:32)−(cid:61)1(cid:55)(cid:265)(cid:50)(cid:72) 𝑎 −2𝑎 𝑎
2
− (cid:15) 1 (cid:161) 0𝑎 (cid:112)(cid:21)(cid:77)1(cid:78)(cid:112)(cid:10) 𝑎1−2 = 𝑎 3 7 =3 7= 3 7 (cid:63) 1 = 11 3 = 11 3= 11 3 (cid:63)
7 ( 7)(3 7) 2 11 ( 11 )( 11 3) 2
+ + + + + +
3− 3− + 9−7 −3 −3 + 11−9
3 7< 11 3 (cid:63)
2 2
+ +
∵ 1 < 1 (cid:139)
7 11
∴ (cid:162)3−(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10)−
<
3(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:112)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+ + + ⋯ +
= 2 + 3 2+ 4 3+ + 2025 2024
= 2−0215 − − ⋯⋯ −
= −1
=4454−(cid:139)1(cid:77)3(cid:78)(cid:112)(cid:10) = 2 = 2( 3 1) = 3+1(cid:63)
3 ( 3 )( 3 1)
+
= 3 ∵ (cid:63) 𝑎 −1 −1 +
∴𝑎(−1 ) =3(cid:63)
2
∴ 𝑎−1 +1=3(cid:63)
2
∴𝑎 −2𝑎=2(cid:63)
2
∴𝑎5 −2𝑎 +15=5( )+15=5×2+15=25(cid:72)
2 2
∴(cid:15)(cid:171)𝑎 (cid:27)−150-𝑎2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)𝑎 (cid:173)−2(cid:174)𝑎(cid:191)·(cid:212)(cid:323)(cid:324)(cid:156)·(cid:178)(cid:179)(cid:78)(cid:206)(cid:112)(cid:295)(cid:132)(cid:215)(cid:247)(cid:22)(cid:10)
(1)(cid:121)(cid:132)(cid:215)(cid:98)(cid:27)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:10)
3 2=_________(cid:139) 5 3=_________(cid:139)
①(2)(cid:91)(cid:286)− 13 11(cid:116) 11② (cid:32)−(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:125)(cid:207)(cid:208)(cid:46)(cid:236)(cid:139)
(3)(cid:94)(cid:27)(cid:48) −+1 −(cid:43)3(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:96)__________(cid:63)(cid:105)(cid:27)(cid:48)(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:96)__________(cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)(1 𝑥 ) −1 𝑥(cid:139)− 1 2
3 2 5 3
(2) 13 11 ① < + 11 (cid:63) ② (cid:46)(cid:236)+(cid:209)(cid:112)(cid:153)
(3) −2 (cid:63) 2 −3
1
(cid:15)(cid:161) 𝑥 (cid:112) + (cid:21) + (cid:77) 𝑥− 1 1 (cid:78)(cid:112)(cid:10) 3 2=( 3 2)( 3 2)=( 3) ( 2) = 1 (cid:63)
3 2 3 2 2 2 3 2
+ − −
5 3= 5 3 ① 5 − 3 = 5 ( 3) + = 2 (cid:63) + +
5 3 5 2 3 2 5 3
+ − −
② − 1 +2 + +
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:63) (cid:139)
3 2 5 3
(cid:77)2(cid:78)(cid:112)(cid:10)(cid:236) + 13 11 + =( 13 11)( 13 11)= 2 (cid:63) 11 =( 11 9)( 11 9)= 2 (cid:63)
13 11 13 11 11 9 11 9
− + − +
(cid:316) 13+ 11> − 11+ 9(cid:63) + + −3 + +
∵ 2 < 2 (cid:72)
13 11 11 9
∴ 13 + 11< + 11 (cid:63)
∴(cid:77)3(cid:78)−(cid:112)(cid:10) +1 −3 =( 1 )( 1 )
1
𝑥+ + 𝑥−1 𝑥+ − 𝑥−1
( +1) 𝑥 ( − 𝑥)−1 𝑥+ + 𝑥−1
=
2 2
+1+
𝑥 − 𝑥−1
+ +1
=
𝑥 𝑥−1
+1+
𝑥 1−𝑥
2
= 𝑥 (cid:63)𝑥−1
1
𝑥+ + 𝑥−1+1 0
(cid:63)
0
𝑥 ≥
∵ 𝑥−11(cid:63)≥
∴𝑥≥ 2 2
(cid:85) =1(cid:89)(cid:63) (cid:45)(cid:35)(cid:19)(cid:52) = 2(cid:63)(cid:71) +1 (cid:45)(cid:35)(cid:19)(cid:52) 2(cid:63)
1 2
∴ 𝑥 𝑥+2 + 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−1
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:63) 2(cid:72)
1
(cid:15)(cid:171)(cid:27)5-3(cid:21)𝑥(cid:77)+
2
+
4-
𝑥
2
−
5
1(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:212)(cid:323)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:325)(cid:326)(cid:132)(cid:319)(cid:306)(cid:307)(cid:10)
(cid:287)(cid:67)(cid:195)(cid:11)(cid:196)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:89)(cid:63)(cid:11)(cid:196)(cid:186)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:106)(cid:166)(cid:53)(cid:54)(cid:72)(cid:216)(cid:280)(cid:63)(cid:45)(cid:148)(cid:58)(cid:90)(cid:327)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:328)(cid:329)“(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)”(cid:139)(cid:120)(cid:43)(cid:44)
(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:90)(cid:327)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:116)(cid:43)(cid:48)(cid:330)(cid:28)(cid:106)(cid:43)(cid:48)(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:331)(cid:182)(cid:332)(cid:333)(cid:43)(cid:48)(cid:97)(cid:32)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:91)(cid:74)(cid:10) 7 6=( 7 6)( 7 6)
7 6
− +
1 − +
= (cid:63)
7 6
(cid:43)(cid:48)(cid:45)+(cid:46)(cid:47)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:290)(cid:91)(cid:286)(cid:304)(cid:305)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:63)(cid:199)(cid:79)(cid:106)(cid:54)(cid:290)(cid:334)(cid:46)(cid:148)(cid:305)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:35)(cid:52)(cid:247)(cid:22)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:10)
(cid:91)(cid:286) 7 6(cid:116) 6 5(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:72)(cid:79)(cid:106)(cid:109)(cid:94)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:48)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:74)(cid:132)(cid:10)
7 6 − = 1 (cid:63)− 6 5= 1 (cid:63)
7 6 6 5
(cid:40)(cid:96) − 7+ 6 + > 6+ − 5(cid:63) 7 + 6< 6 5(cid:72)
(cid:114)(cid:73)(cid:74)(cid:10)(cid:51) = +2 −(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:72)−(cid:329)(cid:55)(cid:74)(cid:132)(cid:10)
(cid:112)(cid:10)(cid:236) +2 𝑦 0(cid:63)𝑥 − 𝑥 0 −(cid:79)2(cid:190) 2(cid:63)(cid:182) = +2 = 4 (cid:63)
2
(cid:85) =2 𝑥 (cid:89)(cid:63)(cid:43) ≥ (cid:44) 𝑥− + 2 2 ≥ + 𝑥 (cid:45) ≥ (cid:35)(cid:137)(cid:52)2 𝑦 (cid:63)(cid:211)(cid:106) 𝑥 (cid:32) − (cid:35)(cid:19) 𝑥− (cid:52) 2 (cid:138)2(cid:72)𝑥+ + 𝑥−2
(cid:112)𝑥(cid:295)(cid:132)(cid:319)(cid:247)(cid:22)(cid:10) 𝑥 𝑥−2 𝑦
(1)3 2 =(3 2 )( )=________(cid:139)
( )
−4
−4
(2)(cid:91)(cid:286) (cid:116) +1 (cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:139)
(3)(cid:51) =𝑎− 𝑎+−41 𝑎 +1−(cid:32)(cid:35)𝑎(cid:19)(cid:52)(cid:72)
𝑦 2𝑥 − 2𝑥 2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)(1)3 2+4(cid:63)3 2+4(cid:63)
3 2 4
+
(2) +1 <
(3) 𝑎3 − 𝑎 𝑎− 𝑎−1
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:10)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:138)(cid:231)(cid:121)(cid:43)(cid:44)(cid:97)(cid:32)(cid:26)(cid:9)(cid:47)(cid:141)(cid:72)(cid:199)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:72)
(3 2 )(3 2 4)
(cid:77)1(cid:78)(cid:115)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:117)(cid:82)3 2 = (cid:63)(cid:71)(cid:79)(cid:112)(cid:151)(cid:139)
3 2 4
−4 +
−4 +
( )( ) ( 1 )( 1 )
(cid:77)2(cid:78)(cid:94) (cid:171)(cid:104)(cid:96) (cid:63) +1 (cid:171)(cid:104)(cid:96) (cid:63)(cid:115)(cid:54) +1+ > +
1
𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1 𝑎+ − 𝑎 𝑎+ + 𝑎
𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1 𝑎 − 𝑎 𝑎+ + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎>0(cid:71)(cid:335)(cid:218)(cid:249)(cid:139)
𝑎−1 1
(cid:77)3(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:117)(cid:82)(cid:236) +4 +1 0(cid:63)(cid:56) (cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:117)(cid:82) =
2
3 1 2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥ 𝑥≥− 𝑦
(cid:63)(cid:236)(cid:65) = (cid:89)(cid:63) +4+ +1(cid:45)(cid:35)(cid:137)(cid:52)3(cid:63)(cid:331)(cid:182)(cid:117)(cid:82)y(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:72)
4 1 2
(cid:15) 2𝑥 (cid:161) + (cid:112) + (cid:21) 2𝑥 (cid:77) + 1(cid:78)(cid:112)(cid:10) 𝑥 3 2 − =(3 2 2 𝑥 4)(3 2 2𝑥 = 2 (cid:139)
3 2 4 3 2 4
+ −4)
(cid:77)2(cid:78)(cid:112)(cid:10) =
−
(
4
)(
+
)=
1+
(cid:63)
𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1
+1 𝑎 = − ( 𝑎− 1 1 )( 1 𝑎+ )= 𝑎−1 1 (cid:63) 𝑎+ 𝑎−1
1 1
𝑎+ − 𝑎 𝑎+ + 𝑎
𝑎 + − 1+ 𝑎 > + 𝑎+ + 𝑎 >0(cid:63) 𝑎+ + 𝑎
∵ 𝑎1
<
𝑎 1 𝑎(cid:139) 𝑎−1
1
∴ 𝑎+ + + 1 𝑎 𝑎 < + 𝑎−1 (cid:139)
∴(cid:77)3𝑎(cid:78)(cid:112)(cid:10)− 𝑎 +4𝑎− 𝑎−1+1 0(cid:63)
1 ∵2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥
(cid:63)
2
∴𝑥≥ = − +4 +1=( 4 1)( 4 1)= 3 (cid:63)
4 1 4 1
2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ − 2𝑥+
∵𝑦 2 1 𝑥 − 2𝑥 2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ + 2𝑥+
= (cid:89)(cid:63) +4+ +1(cid:45)(cid:35)(cid:137)(cid:52) 3(cid:63)
2
∴𝑥 − 2𝑥 2𝑥 3
= +4 +1(cid:32)(cid:35)(cid:19)(cid:52)(cid:96) = 3(cid:72)
3
∴𝑦 2𝑥 − 2𝑥
【题型6 二次根式的乘除运算】
(cid:15)(cid:73)6(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:212)(cid:323)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:132)(cid:215)(cid:265)(cid:50)(cid:187)(cid:188)(cid:32)(cid:138)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)6÷ 2 × 3=3 B(cid:72) ( )×( )= ×
3
−9 −4 −9 −4
C(cid:72) + = + D(cid:72) ( ) =( 1.7)
2
2 2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)𝑎D 𝑏 𝑎 𝑏 −1.7
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:167)(cid:168)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:43)(cid:122)(cid:218)(cid:249)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)A(cid:38)6÷ 2 × 3=6× 3× 3=9(cid:63)(cid:270)(cid:163)(cid:93)(cid:245)(cid:246)(cid:63)(cid:123)(cid:244)(cid:262)(cid:22)(cid:155)(cid:139)
3 2
B(cid:38) ( )×( ) × (cid:63)(cid:236)(cid:65)(cid:64)(cid:9)(cid:336)(cid:321)(cid:68)(cid:69)(cid:61)(cid:70)(cid:138)(cid:108)(cid:70)(cid:63)(cid:123)(cid:244)(cid:262)(cid:22)(cid:155)(cid:139)
C(cid:38) −9 + −4 + ≠ (cid:63)−(cid:123)9 (cid:244)(cid:262)−(cid:22)4(cid:155)(cid:139)
2 2
𝑎 𝑏 ≠𝑎 𝑏D(cid:38) ( ) =( 1.7) =1.7(cid:63)(cid:244)(cid:262)(cid:22)(cid:155)(cid:139)
2
2
−1.7
(cid:162)(cid:163)(cid:10)D(cid:72)
6
(cid:15)(cid:171)(cid:27)6-1(cid:21)(cid:77)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)·(cid:238)(cid:239)·(cid:134)(cid:178)(cid:95)(cid:337)(cid:78)(cid:265)(cid:50) 15÷4 3× (cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:138)(cid:77)(cid:248)(cid:248)(cid:78)
5
A(cid:72)1 B(cid:72)3 5 C(cid:72) 1 6 D(cid:72)3
4 4
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)C
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:324)(cid:338)(cid:116)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:110)(cid:111)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:270)(cid:27)= 5× 6
4 5
= 1 6(cid:72)
4
(cid:162)(cid:163)(cid:10)C(cid:72)
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:261)(cid:262)(cid:120)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:138)(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:116)
(cid:49)(cid:50)(cid:324)(cid:338)(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)6-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:250)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:175)(cid:17)(cid:339)(cid:266)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:265)(cid:50)(cid:10)
1
(1) 3 20+ 45 × 5(cid:139)
5
−
(2) 3 5 ÷ 4 (cid:139)
5 6 15 2
𝑏
2 3
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
(3)(cid:235)(cid:190) =5 +1(cid:63) =3 +3(cid:63) = + (cid:63)A(cid:38)B(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)(cid:126) + = (cid:63)(cid:51) (cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)𝐴(1)442𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 10𝑥 3𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 2𝑦−𝑥
(2) 15
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(3)14
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:120)(cid:47)(cid:36)(cid:38)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:64)(cid:190)(cid:320)(cid:164)(cid:63)(cid:340)
(cid:341)(cid:49)(cid:54)(cid:84)(cid:3)(cid:180)(cid:181)(cid:116)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:77)1(cid:78)(cid:109)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:77)2(cid:78)(cid:109)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:180)(cid:181)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:29)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:139)
(cid:77)3(cid:78)(cid:26)(cid:154)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:217)(cid:156)(cid:79)(cid:117) +1= +3(cid:63)(cid:79)(cid:117)(cid:10) =2(cid:63)(cid:110)(cid:182)(cid:79)(cid:117) =5 5(cid:38) =3 5(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:51)(cid:157)
2𝑥 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵
=8 5= 320(cid:63)(cid:331)(cid:182)(cid:79)(cid:117) + =320(cid:63)(cid:110)(cid:182)(cid:79)(cid:117) =100(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:121)x(cid:63)y(cid:32)(cid:52)(cid:263)(cid:264) (cid:97)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
2
𝐶 10𝑥 3𝑦 𝑦 2𝑦−𝑥
1
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:77)1(cid:78)(cid:112)(cid:10) 3 20+ 45 × 5
5
−5
= 6 5+3 5 × 5
5
44 5 −
= × 5
5
=44(cid:72)
(cid:77)2(cid:78)= 3 5 ÷ 4
5 6 15 2
2 3 𝑏
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
3 5 4
= × ÷
5 6 15 2
2 3 𝑏
− 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷ ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
1 15 𝑎
= × ×
2 4
4 3 𝑎
−15 𝑎 𝑏 2
= 𝑏
8
5
− 𝑎 𝑏
= 15 (cid:72)
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(cid:77)3(cid:78)(cid:112)(cid:10) A(cid:38)B(cid:96)(cid:35)(cid:36)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:63)
+1=∵ +3(cid:63)(cid:79)(cid:117)(cid:10) =2(cid:63)
∴2𝑥=5 5(cid:38)𝑥 =3 5(cid:63) 𝑥
∴𝐴+ = (cid:63)𝐵
∵𝐴=𝐵8 5𝐶= 320(cid:63)
∴𝐶
= + (cid:63)
∵𝐶 + 10𝑥 =3 3 2 𝑦 0(cid:63)
∴1200𝑥+ 3𝑦=320(cid:63)
(cid:112)∴ (cid:117)(cid:10)3𝑦=100(cid:63)
𝑦
= 2× 2 196=14(cid:63)
2 2
∴ 2𝑦−𝑥 100− −
(cid:32)(cid:52)(cid:96)14(cid:72)
2
∴(cid:15)(cid:171) 2𝑦 (cid:27) −𝑥 6-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:281)(cid:212)(cid:342)(cid:343)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:344)(cid:61)(cid:138)(cid:148)(cid:259)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:63)(cid:90)(cid:91)(cid:344)(cid:61)(cid:63)(cid:287)(cid:67)(cid:349)(cid:157)(cid:74)(cid:350)(cid:211)(cid:351)(cid:32)
(cid:61)(cid:352)(cid:63)(cid:184)(cid:140)(cid:61)(cid:352)(cid:97)(cid:353)(cid:354)(cid:38)(cid:355)(cid:354)(cid:166)(cid:136)(cid:356)(cid:357)(cid:61)(cid:354)(cid:191)(cid:32)(cid:280)(cid:70)(cid:84)(cid:28)(cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:330)(cid:84)(cid:64)(cid:63)(cid:56)( + ) + (cid:32)(cid:52)(cid:96) (cid:72)
𝐴 𝐵 ⋅𝐷 𝐶5 2
𝐴 𝐵
5 10
𝐶
2 10
𝐷
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)12+ 5/ 5+12
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:109)(cid:26)(cid:154)(cid:344)(cid:61)(cid:358)(cid:56)(cid:116)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:261)(cid:262)(cid:49)(cid:50)(cid:43)(cid:122)(cid:51)(cid:117)A(cid:38)B(cid:38)C(cid:38)D(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:263)
(cid:52)(cid:51)(cid:112)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) (cid:61)(cid:352)(cid:97)(cid:353)(cid:354)(cid:38)(cid:355)(cid:354)(cid:166)(cid:136)(cid:356)(cid:357)(cid:61)(cid:354)(cid:191)(cid:32)(cid:280)(cid:70)(cid:84)(cid:28)(cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:330)(cid:84)(cid:64)(cid:63)
= 2× 10×5∵2=2 5(cid:63)
5× 2
∴𝐴
= 2× 10×5 2=1(cid:63)
10× 10
𝐵
= 2× 10×5 2=2(cid:63)
5× 10
𝐶
= 2× 10×5 2= 5(cid:63)
10× 2
𝐷
( + ) +
∴=𝐴2 5𝐵+⋅1𝐷 ×𝐶5+2
=10+ 5+2
=12+ 5(cid:72)
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10)12+ 5(cid:72)
【题型7 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:73)7(cid:21)(cid:235)(cid:190) 4+ 9+ = (cid:63)(cid:56) 4+ + 9+ (cid:32)(cid:52)(cid:96) (cid:72)
2 2 2 2
5 𝑥 − 𝑥 −4 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)
4
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:26)(cid:154) 4+ 9+ (cid:120) 4+ + 9+ (cid:41)(cid:96)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:51)(cid:117)
2 2 2 2
𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥 5
4+ + 9+ 4+ 9+ = (cid:63)(cid:71)(cid:79)(cid:51)(cid:117) 4+ + 9+ = (cid:72)
4
2 2 2 2 2 2
(cid:15)(cid:161)(cid:112)𝑥(cid:21)(cid:112)(cid:10) 𝑥 4+ + 𝑥 9 − + 𝑥 4+ −5 9+ =(4+ 𝑥 ) (9+ 𝑥 )=4+ = (cid:63)
2 2 2 2 2 2 2 2
4+ 9+∵ = 𝑥(cid:63) 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 −9−𝑥 −5
2 2
4𝑥+− + 9𝑥+ −4×( )= (cid:63)
2 2
∴ 𝑥 𝑥 5 −4 −5
4+ + 9+ = (cid:63)
4
2 2
∴ 𝑥 𝑥5
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10) (cid:72)
4
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:166)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)7-1(cid:21)(cid:77)23-24(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:175)(cid:17)(cid:359)(cid:214)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:235)(cid:190) 1 =2(cid:63)(cid:56) + 1 (cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
A(cid:72)2 2 B(cid:72)±2 2 C(cid:72)2 3 𝑎− 𝑎 D(cid:72)± 𝑎 2 3 𝑎
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)A
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:63)(cid:26)(cid:154) 1 =2(cid:80)(cid:157) + 1 >0(cid:63)(cid:114)(cid:94) + 1 (cid:47)(cid:96)
𝑎− 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1
+4(cid:63)(cid:35)(cid:197)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:72)(cid:167)(cid:168)(cid:84)(cid:53)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:38)(cid:180)(cid:181)(cid:166)(cid:7)(cid:27)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
2
(cid:15)(cid:161) 𝑎 (cid:112) − (cid:21) 𝑎 (cid:112)(cid:10) 1 =2(cid:63)
0(cid:126) 0 ∵ (cid:63) 𝑎− 𝑎
∴𝑎≥>0(cid:63)𝑎≠
∴𝑎 >0(cid:63)
∴ 𝑎 + 1 >0(cid:63)
∴ 𝑎 𝑎
+ 1 = + 1 = 1 +4= 2 +4=2 2(cid:63)
2 2
2
∴ 𝑎 1𝑎 𝑎 𝑎 𝑎− 𝑎
+ (cid:52)(cid:96)2 2(cid:72)
(cid:162) ∴ (cid:163) 𝑎 (cid:10)A 𝑎(cid:72)
(cid:15)(cid:171)(cid:27)7-2(cid:21)(cid:109)(cid:47)(cid:36)(cid:63)(cid:114)(cid:51)(cid:52)(cid:10) ( ÷ 1 )(cid:63)(cid:216)(cid:97)(cid:280)(cid:70)x(cid:38)y(cid:360)(cid:361) = + +2(cid:72)
𝑥 𝑦
2𝑥⋅ 𝑦⋅ 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥−3 6−2𝑥
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) (cid:63)2 3
2𝑥𝑦
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:109)(cid:26)(cid:154)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:51)(cid:157)x(cid:63)y(cid:32)(cid:52)(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:121)(cid:211)(cid:349)(cid:263)(cid:70)(cid:27)(cid:47)(cid:36)(cid:197)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:50)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:236)(cid:22)(cid:155)(cid:117) (cid:63)(cid:112)(cid:117) =3(cid:63)(cid:65)(cid:138) =2(cid:63)
𝑥−3⩾0
(cid:270)(cid:27)= 2 6−2𝑥⩾0 𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦
∴ 𝑦 ⋅ 𝑥
2
= = .
2 2
𝑥 𝑦
(cid:270)(cid:27)𝑦
=
⋅
2
𝑥
×3×
2
2
𝑥 𝑦
=2 3.
∴(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:45)(cid:155)(cid:156)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:106)(cid:166)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:47)(cid:36)(cid:51)(cid:52)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:55)(cid:56)(cid:138)
(cid:112)(cid:151)(cid:169)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)(cid:15)(cid:171)(cid:27)7-3(cid:21)(cid:227)(cid:362)(cid:58)(cid:187)(cid:70)a(cid:63)b(cid:63)c(cid:360)(cid:361)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:363)0(cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:52)(cid:138) (cid:72)
𝑎+ 𝑏
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)1 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:26)(cid:154)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:7)(cid:27)(cid:110)(cid:111)(cid:364)(cid:365)(cid:366)(cid:93)(cid:94)(cid:270)(cid:27)(cid:367)(cid:30)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:7)(cid:27)(cid:63)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:157)(cid:151)(cid:152)(cid:187)(cid:70)(cid:72)
(cid:15)(cid:112)(cid:151)(cid:21)(cid:112)(cid:10)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:363)0(cid:63)
+4 + ( 𝑎+𝑏2 + 𝑏)𝑐=0(cid:63)
𝑎 𝑎𝑏 4𝑏− 𝑏 𝑏𝑐 𝑐
+2 = + (cid:63)
2 2
a(cid:63)𝑎 b(cid:63)c𝑏(cid:138)(cid:187)(cid:70)(cid:63)𝑏 𝑐
∵ +2 = + (cid:63)
∴ 𝑎+ 𝑏= 𝑏(cid:63) 𝑐
∴ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 1(cid:72)
𝑎+ 𝑏 𝑐
∴ (cid:162)(cid:151)𝑐(cid:152)(cid:96)(cid:10)𝑐1(cid:72)
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:7)(cid:27)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:63)(cid:167)(cid:168)(cid:368)(cid:61)(cid:55)(cid:63)(cid:116)(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:7)(cid:27)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
【题型8 实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:73)8(cid:21)(cid:195)(cid:280)(cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10) (cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)( +2 3)( 3)𝑥 −6𝑥−3
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:26)𝑥−(cid:154)3(cid:237)(cid:238)(cid:60)(cid:61)(cid:7)𝑥−(cid:27)3−(cid:116)2(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:51)(cid:112)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)
2
= + 𝑥 −6𝑥−3
2
=𝑥 −6𝑥 9−9−3
2
(𝑥−3) −12
= (2 3)
2
2
=((𝑥−3)+−2 3)( 3)(cid:72)
𝑥−3 𝑥−3−2
(cid:15)(cid:164)(cid:165)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:195)(cid:280)(cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:189)(cid:369)(cid:7)(cid:27)(cid:63)(cid:102)(cid:94)12(cid:103)(cid:30)(2 3) (cid:138)(cid:115)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
2
(cid:15)(cid:171)(cid:27)8-1(cid:21)(cid:77)2025·(cid:223)(cid:370)(cid:371)(cid:214)·(cid:362)(cid:313)(cid:78)(cid:195)(cid:280)(cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10)2 = (cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)2( +2 2)( 2) 𝑎 −16
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)𝑎(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:40)𝑎−(cid:27)2(cid:43)(cid:112)(cid:63)(cid:372)(cid:262)(cid:49)(cid:54)(cid:373)(cid:7)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:120)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:63)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:32)(cid:130)(cid:131)(cid:148)(cid:149)(cid:138)(cid:10)(cid:109)(cid:146)(cid:374)(cid:373)(cid:7)
(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:63)(cid:216)(cid:25)(cid:146)(cid:374)(cid:7)(cid:27)(cid:55)(cid:63)(cid:127)(cid:138)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:32)(cid:57)(cid:259)(cid:375)(cid:169)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:72)
(cid:109)(cid:373)(cid:7)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:114)(cid:115)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:110)(cid:111)(cid:43)(cid:112)(cid:71)(cid:79)(cid:72)(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)2 =2( )=2( +2 2)( 2)
2 2
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10)2( 𝑎+−2126)( 𝑎 2−)8(cid:72) 𝑎 𝑎−2
(cid:15)(cid:171)(cid:27)8-2(cid:21)(cid:77)𝑎2025·(cid:223)(cid:370)𝑎−(cid:376)2(cid:377)·(cid:148)(cid:313)(cid:78)(cid:195)(cid:280)(cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:10)4 = (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)4 + 6 6 𝑥 −6𝑦
2 2
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)𝑥 (cid:146)(cid:185)𝑦(cid:186)(cid:40)𝑥−(cid:27)(cid:43)𝑦(cid:112)(cid:32)(cid:61)(cid:55)(cid:63)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:373)(cid:7)(cid:40)(cid:27)(cid:55)(cid:116)(cid:7)(cid:27)(cid:55)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:138)(cid:169)(cid:22)(cid:32)(cid:112)(cid:22)
(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:109)(cid:373)(cid:378)(cid:7)(cid:40)(cid:27)(cid:63)(cid:303)(cid:197)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:271)(cid:7)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)4 =4 3 =4 + 6 6 (cid:63)
2 2 2
2 2 2 2
𝑥 −6𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10)4 + 6 6 (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:171)(cid:27)8-3(cid:21)(cid:77)𝑥 2024· 𝑦(cid:191)(cid:266) 𝑥 (cid:379) − (cid:380)· 𝑦 (cid:362)(cid:313)(cid:78)(cid:195)(cid:280)(cid:70)(cid:275)(cid:276)(cid:37)(cid:43)(cid:112)(cid:40)(cid:27)(cid:63) +1= (cid:72)
2 2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21) 3 5 5 𝑥 𝑦 −3𝑥𝑦
2 2
+ 3−
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169) 𝑥 (cid:22) 𝑦− (cid:146)(cid:185)(cid:40)(cid:27)𝑥𝑦(cid:43)−(cid:112)(cid:63)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:63)(cid:189)(cid:210)(cid:167)(cid:168)(cid:7)(cid:27)(cid:55)(cid:110)(cid:111)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:138)(cid:112)(cid:295)(cid:169)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)(cid:26)(cid:154)(cid:22)
(cid:155)(cid:63)(cid:115)(cid:54)(cid:381)(cid:382)(cid:84)(cid:28)(cid:40)(cid:27)(cid:43)(cid:112)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10) +1
2 2
𝑥 𝑦3−+3𝑥5𝑦 5
=( ) + ×
2 2
2 3−
𝑥𝑦 −3𝑥𝑦
= 3 5 5 (cid:72)
2 2
+ 3−
𝑥𝑦− 𝑥𝑦−
【题型9 二次根式乘除的应用】
(cid:15)(cid:73)9(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:81)(cid:17)(cid:81)(cid:214)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:74)(cid:350)(cid:63)(cid:45)(cid:148)(cid:383)(cid:321)(cid:384)(cid:96) 6 3cm (cid:32)(cid:187)(cid:61)(cid:104)(cid:385)(cid:386)(cid:63)(cid:243)(cid:94)(cid:105)(cid:385)(cid:386)(cid:32)(cid:251)
(cid:58)(cid:356)(cid:387)(cid:333)(cid:63)(cid:388)(cid:95)(cid:148)(cid:58)(cid:45)(cid:389)(cid:376)(cid:390)(cid:32)(cid:384)(cid:61)(cid:311)(cid:391)(cid:48)(cid:63)(cid:387)(cid:333)(cid:32)(cid:251)(cid:58)(cid:356)(cid:138)(cid:87)(cid:62)(cid:84)(cid:64)(cid:32)(cid:137)(cid:187)(cid:61)(cid:104)(cid:63)(cid:392)(cid:58)(cid:137)(cid:187)(cid:61)(cid:104)(cid:32)(cid:321)(cid:384)
(cid:96) 3cm(cid:72)(cid:51)(cid:387)(cid:333)(cid:251)(cid:58)(cid:356)(cid:197)(cid:63)(cid:388)(cid:95)(cid:384)(cid:61)(cid:311)(cid:391)(cid:48)(cid:32)(cid:385)(cid:386)(cid:32)(cid:87)(cid:62)(cid:72)
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)96cm
2
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:183)(cid:184)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:63)(cid:393)(cid:188)(cid:32)(cid:265)(cid:50)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)(cid:115)(cid:54)(cid:19)(cid:187)(cid:61)(cid:104)(cid:32)(cid:87)(cid:62)(cid:366)(cid:141)(cid:251)(cid:58)(cid:137)(cid:187)(cid:61)(cid:104)(cid:32)(cid:87)(cid:62)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:157)(cid:151)(cid:152)(cid:139)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:236)(cid:22)(cid:155)(cid:63)(cid:117) (6 3) ×( 3) =96(cm )
2 2
2
(cid:162)(cid:387)(cid:333)(cid:251)(cid:58)(cid:356)(cid:197)(cid:63)(cid:388)(cid:95)(cid:384)(cid:61)(cid:311)(cid:391)(cid:48)−(cid:32)4(cid:385)(cid:386)(cid:32)(cid:87)(cid:62)(cid:96)96cm
2
(cid:15)(cid:171)(cid:27)9-1(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:191)·(cid:394)(cid:214)(cid:395)(cid:396)·(cid:178)(cid:179)(cid:78)“(cid:266)(cid:397)(cid:398)(cid:223)(cid:399)(cid:63)(cid:400)(cid:401)(cid:19)(cid:402)(cid:213)(cid:72)”(cid:266)(cid:402)(cid:32)(cid:19)(cid:137)(cid:120)(cid:400)(cid:403)(cid:116)(cid:400)(cid:404)(cid:45)(cid:292)
(cid:19)(cid:32)(cid:3)(cid:88)(cid:63)(cid:54)(cid:400)(cid:403)(cid:405)(cid:265)(cid:400)(cid:404)(cid:32)(cid:406)(cid:54)(cid:7)(cid:27)(cid:96) = (cid:63)(cid:216)(cid:97) (cid:96)(cid:400)(cid:404)(kN m )(cid:63)v(cid:96)(cid:400)(cid:403)(m/s)(cid:63)(cid:85)(cid:400)(cid:404)(cid:96)
16020
𝑣
2
𝑤𝑝 𝑤𝑝
0.25kN/m (cid:89)(cid:63)(cid:405)(cid:265)(cid:400)(cid:403)(cid:96) m s(cid:72)
2
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)20
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:186)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:28)(cid:55)(cid:49)(cid:50)(cid:63)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:97)(cid:32)(cid:406)(cid:54)(cid:7)(cid:27)(cid:407)(cid:351)(cid:157)(cid:400)(cid:403)(cid:32)(cid:407)(cid:408)(cid:27)(cid:63)(cid:51)(cid:112)(cid:71)(cid:79)(cid:117)(cid:157)(cid:151)(cid:152)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112)(cid:10)(cid:236)(cid:22)(cid:97)(cid:349)(cid:157)(cid:32)(cid:7)(cid:27)(cid:79)(cid:190)(cid:63)
(cid:85)(cid:400)(cid:404)(cid:96)0.25kN/m (cid:89)(cid:63)(cid:400)(cid:403)(cid:96) = 1600×0.25=20(m/s)(cid:63)
2
(cid:162)(cid:151)(cid:152)(cid:96)(cid:10)20(cid:72) 𝑣
(cid:15)(cid:171)(cid:27)9-2(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:409)(cid:410)(cid:411)(cid:412)·(cid:178)(cid:97)(cid:78)(cid:413)(cid:414)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:138)(cid:231)(cid:413)(cid:414)(cid:331)(cid:69)(cid:418)(cid:415)(cid:414)(cid:82)(cid:237)(cid:238)(cid:419)(cid:420)(cid:211)(cid:111)(cid:421)(cid:32)(cid:416)(cid:417)(cid:63)
(cid:66)(cid:422)(cid:53)(cid:186)(cid:413)(cid:414)(cid:32)(cid:388)(cid:423)(cid:180)(cid:102)(cid:116)(cid:111)(cid:421)(cid:232)(cid:238)(cid:180)(cid:63)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:424)(cid:425)(cid:63)(cid:207)(cid:208)(cid:413)(cid:414)(cid:32)(cid:388)(cid:423)(cid:180)(cid:102)(cid:424)(cid:293)(cid:63)(cid:111)(cid:421)(cid:424)(cid:232)(cid:238)(cid:63)(cid:415)(cid:414)(cid:416)
(cid:417)(cid:120)(cid:111)(cid:421)(cid:403)(cid:426)(cid:299)(cid:300)(cid:32)(cid:3)(cid:88)(cid:79)(cid:106)(cid:407)(cid:351)(cid:96)(cid:7)(cid:27) =16 (cid:63)(cid:216)(cid:97)v(cid:407)(cid:351)(cid:414)(cid:427)(cid:111)(cid:421)(cid:403)(cid:426)(cid:77)(cid:92)(cid:322)km/h(cid:78)(cid:63) (cid:407)(cid:351)(cid:415)(cid:414)
(cid:197)(cid:414)(cid:428)(cid:429)(cid:201)(cid:32)(cid:416)(cid:417)(cid:77)(cid:92)(cid:322)m(cid:78)f(cid:407)(cid:351)(cid:423)(cid:430)(cid:431)𝑣(cid:40)(cid:70)(cid:63)(cid:26) 𝑑 (cid:154) 𝑓 (cid:287)(cid:239)(cid:239)(cid:432)(cid:433)(cid:393)(cid:63)100(cid:7)(cid:254)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:195)42(cid:434)(cid:106)𝑑(cid:37)(cid:138)(cid:91)(cid:286)
(cid:435)(cid:436)(cid:32)(cid:63)(cid:77)100(cid:7)(cid:254)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:407)(cid:351)(cid:413)(cid:414)(cid:111)(cid:421)(cid:403)(cid:426)100km/h(cid:32)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:78)(cid:63)(cid:154)(cid:437)(cid:438)(cid:63)(cid:304)(cid:413)(cid:414)(cid:32)(cid:423)(cid:430)(cid:431)(cid:40)(cid:70)
=1.25(cid:63)(cid:439)(cid:218)(cid:249)(cid:105)(cid:413)(cid:414)(cid:32)100(cid:7)(cid:254)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:138)(cid:440)(cid:244)(cid:262)(cid:287)(cid:239)(cid:32)(cid:435)(cid:436)(cid:433)(cid:393)(cid:72)
𝑓(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)(cid:105)(cid:413)(cid:414)(cid:32)100(cid:7)(cid:254)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:244)(cid:262)(cid:287)(cid:239)(cid:32)(cid:435)(cid:436)(cid:433)(cid:393)
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)(cid:169)(cid:22)(cid:146)(cid:185)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:32)(cid:280)(cid:441)(cid:53)(cid:54)(cid:63)(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:51)(cid:157)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:138)(cid:112)(cid:22)(cid:32)(cid:3)(cid:170)(cid:72)
(cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:63)(cid:263)(cid:264)(cid:70)(cid:154)(cid:265)(cid:50)(cid:71)(cid:79)(cid:72)
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)(cid:112) (cid:26)(cid:154)(cid:22)(cid:155)(cid:117)100=16 (cid:63)
125∶ 1.25𝑑
(cid:112)(cid:117) = (cid:63)
4
𝑑
125 <42(cid:63)
4
∵
(cid:105)(cid:413)(cid:414)(cid:32)100(cid:7)(cid:254)(cid:415)(cid:414)(cid:416)(cid:417)(cid:244)(cid:262)(cid:287)(cid:239)(cid:32)(cid:435)(cid:436)(cid:433)(cid:393)(cid:72)
(cid:15)∴(cid:171)(cid:27)9-3(cid:21)(cid:77)24-25(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:132)·(cid:255)(cid:256)(cid:19)(cid:442)·(cid:225)(cid:226)(cid:210)(cid:196)(cid:78)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:447)(cid:216)(cid:448)(cid:449)(cid:63)(cid:138)(cid:287)(cid:67)(cid:100)(cid:101)(cid:450)(cid:135)(cid:32)(cid:111)(cid:96)(cid:72)(cid:154)(cid:451)(cid:452)(cid:63)
(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:132)(cid:453)(cid:32)(cid:89)(cid:300)t(cid:77)(cid:92)(cid:322)(cid:10)s(cid:78)(cid:116)(cid:443)(cid:426)h(cid:77)(cid:92)(cid:322)(cid:10)m(cid:78)(cid:454)(cid:327)(cid:360)(cid:361)(cid:7)(cid:27) = (cid:77)(cid:123)(cid:146)(cid:374)(cid:400)(cid:403)(cid:32)(cid:455)(cid:456)(cid:78)(cid:72)(cid:457)(cid:331)
5
ℎ
𝑡
m)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:82)(cid:453)(cid:150)(cid:211)(cid:458)(cid:89)(cid:300)(cid:96) (cid:63)(cid:331) m)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:82)(cid:453)(cid:150)(cid:211)(cid:458)(cid:89)(cid:300)(cid:96) (cid:63)(cid:56) (cid:32)(cid:52)(cid:96)(cid:77) (cid:78)
𝑡2
𝑎( 𝑡1 2𝑎( 𝑡2 𝑡12 2 5
A(cid:72) 2 B(cid:72) 5 C(cid:72) D(cid:72)
2 5
(cid:15)(cid:151)(cid:152)(cid:21)A
(cid:15)(cid:43)(cid:153)(cid:21)本题考查了二次根式的应用，根据题意求出 、 ，再计算 与 的比值即可得解．正确进行计算
是解此题的关键． 𝑡1 𝑡2 𝑡2 𝑡1
(cid:15)(cid:161)(cid:112)(cid:21)解：由题意得： = ÷ = 5 = 2，
𝑡2 2 5 𝑎 𝑎 5 2 5 𝑎
故选：A．
𝑡1 ⋅𝑎
