文档文本内容
专题 2.3 二次根式（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:20)....................................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:20)........................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 =| |(cid:20)...............................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 ( 2) = ( 0)(cid:20)..................................................................................................................................9
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:40)(cid:41)(cid:42)2 (cid:43)(cid:20)..............................................................................................................................................11
𝑎 𝑎 𝑎≥
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:20)..............................................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:20)..............................................................................................................................................16
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:50)(cid:51)(cid:25)(cid:26)(cid:20)..............................................................................................................................................18
知识点1 二次根式的概念
1.(cid:52)(cid:32)(cid:10)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61) (cid:62) (cid:63)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)“ ”(cid:65)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:9)(cid:56)a(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
𝑎 𝒂≥𝟎
2.(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:62)1(cid:63)(cid:49)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:9)“ ”(cid:82)(cid:62)2(cid:63)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:74)(cid:75)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:62)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:70)(cid:86)(cid:87)(cid:84)(cid:85)(cid:83)(cid:49)(cid:30)(cid:86)(cid:88)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:63)(cid:71)
知识点2 二次根式有无意义的条件
当 0时，二次根式 有意义；
当 <0(cid:77)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 无意义．
𝑎≥ 𝑎
(cid:89)(cid:61)𝑎(cid:10)(cid:90)(cid:91) + +1=𝑎( +1) 0(cid:56)(cid:92)(cid:85)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) + +1(cid:93)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:71)
2 2 2
知识点3 二 𝑥 次根 2𝑥 式的性质 𝑥 ≥ 𝑥 2𝑥
被开方数 0(cid:56)
1.(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:94)(cid:30)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:10)
二次根式 0．
𝑎≥
𝑎
2.( ) = （ 0）(cid:56)(cid:95)(cid:53)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:96)(cid:97) 𝑎 (cid:98) ≥ (cid:69)(cid:25)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:56)(cid:61)( 5) =5(cid:71)
2
科AA+ 2
全
3. 𝑎 =| 𝑎 |= 𝑎≥ < 0 0 ) ) (cid:56) (cid:56)关 (cid:95)注(cid:53)(cid:81)公(cid:104) 众 (cid:31) 号 (cid:105) ★ (cid:70)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:27)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:69)(cid:25)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:27)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:71)
，
源
2 辅𝑎(资𝑎≥
𝑎 𝑎 教 −𝑎(𝑎
(cid:61) (±11) =|±11|=11(cid:71)
2
(cid:72)(cid:73)(cid:10)( ) ( 0)(cid:108) (cid:27)(cid:109)(cid:110)
2 2
𝑎 𝑎≥ 𝑎0)
运算结果 ( ) = =
<0)
2 2 𝑎(𝑎≥
𝑎 𝑎 𝑎
−𝑎(𝑎
a的取值 0 任意实数
𝑎≥ (cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:9)(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
用来去根号，化简二次根式；
(cid:114)(cid:25)(cid:9)(cid:115)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:90)(cid:26)(cid:98)(cid:69)(cid:116)(cid:117)(cid:118)
作用 可用 =( ) 将任意一个非负实数 ①
① (cid:25)(cid:9)(cid:119). (cid:89)(cid:61)(cid:10)(cid:120) 0,(cid:121) 2 =
写成一个数的平方2 的形式 ②
② 𝑎 𝑎
2𝑎≥ 𝑎
2
【题型1 二次根式的概念】 𝑎
(cid:15)(cid:89)1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)·(cid:130)(cid:21)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:53)(cid:52)(cid:135)(cid:100)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) | |+1 D(cid:71)
2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)−C4 𝑥 𝑥 𝑥 −1
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:142)(cid:110)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:25)(cid:148)(cid:60)(cid:61) ( 0)(cid:56)(cid:149)(cid:150)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)𝑎(cid:10)𝑎A≥(cid:158)(cid:90)(cid:91) <0(cid:56)(cid:121) (cid:159)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
B(cid:158)(cid:165) <0(cid:77)(cid:56)(cid:121) (cid:159)−(cid:31)4(cid:32)(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)−(cid:24)4 (cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
𝑥 𝑥
C(cid:158)(cid:90)(cid:91)| |+1 1>0(cid:56)(cid:161) | |+1(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:152)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
D(cid:158)(cid:165) 𝑥 < < ≥ 1(cid:77)(cid:56)(cid:121) 𝑥 <0(cid:56) (cid:159)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
2 2
(cid:161)(cid:163)(cid:10)−C1(cid:71) 𝑥 𝑥 −1 𝑥 −1
(cid:15)(cid:166)(cid:26)1-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:53)(cid:52)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
A(cid:71)3 5 B(cid:71) C(cid:71) 6 D(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)C −3 𝑎
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:56)(cid:165) 0(cid:77)(cid:56) (cid:176)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:146)(cid:177)(cid:102)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:71) 𝑎≥ 𝑎
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)A(cid:163)(cid:152)(cid:10)3 5(cid:83)(cid:178)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)A(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
B(cid:163)(cid:152)(cid:10) (cid:172)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70) <0(cid:56)(cid:92)(cid:85) (cid:159)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:161)B(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
C(cid:163)(cid:152)(cid:10) −6(cid:164)3(cid:51)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)−(cid:27)3(cid:52)(cid:32)(cid:56)(cid:161)C(cid:163)−(cid:152)3全(cid:164)(cid:51)科(cid:21)A(cid:31) A (cid:82) +
号★
众
公
注
D(cid:163)(cid:152)(cid:10) (cid:172)(cid:165) <0源 (cid:77)，(cid:56)关(cid:159)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)D(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:71)
资
辅
教
(cid:161)(cid:163)(cid:10)C(cid:71)𝑎 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:166)(cid:26)1-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:53)(cid:52)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:62) (cid:63)A(cid:71) +1 B(cid:71) C(cid:71) 3 D(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)𝑥C 3−π −1
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:83)(cid:146)(cid:136)(cid:102)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:151)(cid:152)(cid:155)(cid:156)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)A(cid:158)(cid:160)(cid:182)(cid:183)(cid:52) +1(cid:27)(cid:184)(cid:38)(cid:56)(cid:161)A(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
B(cid:158) <0(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:185)(cid:30)𝑥(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:161)B(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
C(cid:158)3−3(cid:83)π (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:161)C(cid:163)(cid:152)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
D(cid:158) <0(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:185)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:161)D(cid:163)(cid:152)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
(cid:161)(cid:163)−(cid:10)1C(cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)1-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:167)(cid:186)(cid:187)(cid:188)·(cid:130)(cid:21)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:125)(cid:133)(cid:134)(cid:26)(cid:172)(cid:56)(cid:189)(cid:190)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:191)(cid:189)(cid:190)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:191)(cid:192)
(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:71)
(cid:62)1(cid:63) 8 (cid:82)(cid:62)2(cid:63) (cid:82)(cid:62)3(cid:63) +1 (cid:82)(cid:62)4(cid:63)3 (cid:82)(cid:62)5(cid:63) + +4 (cid:82)
2 2
−15 𝑎 1 −8 𝑥 4𝑥
(cid:62)6(cid:63) 3 | | (cid:82)(cid:62)7(cid:63) 1+ < (cid:71)
4
𝑚 4𝑥 𝑥 −
1
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 8(cid:56) +1(cid:56) + +4(cid:56)3 (cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82) (cid:56)(cid:63)3 (cid:56) 1+ < (cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)
4
2 2
(cid:26)(cid:71) 𝑎 𝑥 4𝑥 |𝑚| −15 −8 4𝑥 𝑥 −
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:151)(cid:53)(cid:197)(cid:198)(cid:95)(cid:84)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:184)(cid:183)(cid:195)(cid:146)(cid:78)(cid:79)(cid:23)
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:30)(cid:178)(cid:81)(cid:10) (cid:49)(cid:30)(cid:25)(cid:9)(cid:82) (cid:25)(cid:199)(cid:70)(cid:83)2(cid:82) (cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:56)(cid:178)(cid:81)(cid:33)(cid:34)(cid:200)(cid:53)(cid:160)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:62)1(cid:63) 8(cid:83)①(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82) ② ③
(cid:62)2(cid:63) (cid:172) <0(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
(cid:62)3(cid:63) −1+5 1(cid:172)−15 +1>0(cid:56)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
2 2
(cid:62)4(cid:63)3 𝑎 (cid:201)(cid:69)(cid:25)𝑎(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
(cid:62)5(cid:63) −8+ +4(cid:172) + +4=( +2) 0(cid:56)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
2 2 2
𝑥 4𝑥 𝑥 4𝑥 𝑥 ≥
(cid:62)6(cid:63)3 | |(cid:172)| | 0(cid:56)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
𝑚 𝑚 ≥
1
(cid:62)7(cid:63) 1+ < (cid:172)1+ <0(cid:56)(cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:82)
4
8(cid:56) a + 4𝑥 1(cid:56) 𝑥 x − +4x+4(cid:56) 4𝑥 3 |m|(cid:83) 号 (cid:23)★(cid:24)全(cid:25)(cid:26) 科 (cid:82)
AA+
(cid:56)3 (cid:56) 1+4x x< 1 (cid:160)(cid:83)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:71)
公 众 4
注
2 2 ， 关
∴ 资 源 −15 −8 −
【题型2 二教次 辅 根式有意义的条件】
(cid:15)(cid:89)2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:202)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:204)(cid:205)(cid:180)(cid:206)(cid:207)(cid:180)·(cid:68)(cid:11)(cid:140)(cid:208)(cid:63)(cid:120)(cid:26)(cid:64) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:121)(cid:105)(cid:70)(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83) (cid:71)
| |
𝑥−1
𝑥−2(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 1(cid:212) 2
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)𝑥(cid:102)≥(cid:21)(cid:140)(cid:141)𝑥(cid:175)≠(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:85)(cid:213)(cid:138)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:144)(cid:145)(cid:214)(cid:3)(cid:215)(cid:142)(cid:216)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:3)(cid:147)(cid:71)(cid:25)(cid:148)
(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:18)(cid:100)(cid:99)(cid:100)0(cid:56)(cid:217)(cid:118) 0(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:138)(cid:26)(cid:27)(cid:138)(cid:88)(cid:160)(cid:91)0(cid:56)(cid:217)(cid:118)| | 0(cid:56)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
𝑥−1≥ 𝑥 −2≠
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) (cid:26)(cid:64) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)
| |
𝑥−1
0(cid:56)| ∵ | 𝑥 0 −(cid:56)2
∴𝑥−11≥(cid:56)(cid:212) 𝑥 −22(cid:56)≠
(cid:161)∴(cid:136)𝑥≥(cid:137)(cid:91)(cid:10) 𝑥≠1(cid:212) 2
(cid:15)(cid:166)(cid:26)2-1(cid:20)𝑥(cid:62)≥24-25𝑥(cid:122)≠(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:218)(cid:168)(cid:219)(cid:220)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:120)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 2025+ (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:121)(cid:105)(cid:70)x(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83) (cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 𝑥
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)𝑥(cid:102)≥(cid:21)−(cid:140)2(cid:141)02(cid:175)5(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:60)(cid:61) ( 0)(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:65)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:172)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:74)
(cid:75)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:56)(cid:221)(cid:121)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:159)(cid:31)(cid:32)(cid:71)(cid:25)(cid:148)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:83)𝑎(cid:37)𝑎(cid:38)≥(cid:70)(cid:133)(cid:26)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) 2025+ (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)
2025+ 0∵(cid:56) 𝑥
∴ 𝑥≥(cid:71)
(cid:161)∴𝑥(cid:136)≥(cid:137)−(cid:91)20(cid:10)25 (cid:71)
𝑥≥−2025
(cid:15)(cid:166)(cid:26)2-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:167)(cid:168)(cid:180)(cid:222)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:172)(cid:86)(cid:88)x(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83) (cid:71)
𝑥−1
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 1 𝑥
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)𝑥≥(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:138)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)(cid:25)
(cid:148)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:56)(cid:138)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:225)(cid:96)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)
𝑥−1
0(cid:212) ∵ 0(cid:56) 𝑥
∴(cid:146)𝑥(cid:217)−1≥ 1(cid:71)𝑥≠
(cid:161)(cid:136)𝑥(cid:137)≥(cid:91)(cid:10) 1(cid:71)
𝑥≥ 2
(cid:15)(cid:166)(cid:26)2-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:203)(cid:226)(cid:227)(cid:228)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:165) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:56) (cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83) (cid:71)
3
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 0(cid:212) 3 科AA+ 𝑥− 𝑥
全
号★
众
公
注
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20) 𝑥 (cid:102) ≥ (cid:21)(cid:140)(cid:141) 𝑥 资 (cid:175) ≠ (cid:23)源(cid:24)，(cid:25) 关 (cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:56)(cid:138)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:25)(cid:148) 2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:56)(cid:84)(cid:217) 3 0(cid:56)(cid:212)
教 辅 3
0(cid:56)(cid:148)(cid:162)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:71) 𝑥− 𝑥− ≠
𝑥≥2
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:77)(cid:56)
3
3 0(cid:56) ∵ (cid:212)𝑥− 0(cid:56)
∴ 𝑥−3(cid:56)(cid:212)≠ 0(cid:56)𝑥≥
(cid:161)∴𝑥(cid:136)≠(cid:137)(cid:91) 𝑥≥0(cid:212) 3(cid:71)
【题型3 𝑥 二 ≥ 次根 𝑥 式 ≠ 的双重非负性】
(cid:15)(cid:89)3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:179)(cid:180)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:107)(cid:92)(cid:30)(cid:105)(cid:70) (cid:56)(cid:78)(cid:79) | +1|+ 3 = | | (cid:56)(cid:121)
2
(cid:27)(cid:230)(cid:231)(cid:47)(cid:91) (cid:71) 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑚− 𝑥−2 𝑚
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)3
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:108)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)
3
(cid:233)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:84)(cid:217) (cid:56)(cid:234)(cid:138)(cid:80)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:95)(cid:84)(cid:217)(cid:240)(cid:136)(cid:137)(cid:71)
2
𝑥≥
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:25)(cid:148)(cid:21)(cid:31)(cid:56)(cid:217) 3 0(cid:56)
2
𝑥− ≥
3
(cid:146)(cid:217) (cid:71)
2
𝑥≥
(cid:165) 3 <2(cid:77)(cid:56) = +1+ 3 + = 3 +3(cid:56)
2 2 2
≤𝑥 𝑚 𝑥 𝑥− 2−𝑥 𝑥−
3 0(cid:56)
2
∵ 𝑥− ≥
3(cid:82)
(cid:165) ∴𝑚≥ 2(cid:77)(cid:56) = +1+ 3 + = 3 + (cid:56)
2 2
𝑥≥ 𝑚 𝑥 𝑥− 𝑥−2 𝑥− 2𝑥−1
3 + =3+ 2 (cid:71)
2 2
∴(cid:241)𝑚(cid:203)≥(cid:92)(cid:242) 2 (cid:56) − m(cid:27)4−(cid:230)1(cid:231)(cid:47)(cid:91)3(cid:71)
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10)3(cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)3-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:105)(cid:70)x(cid:56)y(cid:78)(cid:79) = + +2 (cid:56)(cid:121)( )
2025
(cid:27)(cid:47)(cid:91) (cid:71) 𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑦−𝑥
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)−(cid:102)1(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:158)(cid:146)(cid:53)(cid:247)科(cid:53)A(cid:24) A (cid:160) + (cid:99)(cid:26)(cid:248)(cid:158)(cid:249)(cid:70)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
全
号★
公
众
注
， 关 0
(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)
辅
(cid:3)资(cid:147)(cid:71)源(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:217)(cid:118)
0
(cid:56)(cid:146)(cid:240) (cid:27)(cid:47)(cid:56)(cid:153)(cid:250)(cid:46)(cid:240) (cid:27)(cid:47)(cid:56)(cid:234)(cid:249)(cid:251)(cid:249)
教
𝑥−3≥
(cid:70)(cid:26)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:71) 3−𝑥≥ 𝑥 𝑦0
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:217)(cid:56) (cid:56)
0
𝑥−3≥
(cid:146)(cid:217)(cid:10) =3(cid:56) 3−𝑥≥
= 𝑥 + +2=2(cid:56)
∴𝑦( )𝑥−3 =(3−𝑥) =( ) = (cid:71)
2025 2025 2025
(cid:161)∴(cid:136)𝑦−(cid:137)𝑥(cid:91)(cid:10) (cid:71)2−3 −1 −1
−1
(cid:15)(cid:166)(cid:26)3-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:252)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:171)(cid:256)(cid:63)(cid:120)a(cid:56)b(cid:91)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:212)(cid:78)(cid:79) + +3) =0(cid:56)(cid:121) (cid:98)
2
(cid:69)(cid:25)(cid:83) (cid:71) |𝑎−5| (𝑏 𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)± 8
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:133)(cid:240)(cid:69)(cid:257)(cid:46)(cid:240)a(cid:158)b(cid:27)(cid:47)(cid:56)(cid:249)(cid:251)(cid:92)(cid:46)(cid:249)(cid:70)(cid:26)(cid:225)(cid:96)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) + +3) =0(cid:56)
2
=0(cid:56) ∵ + |𝑎 3 − = 5| 0(cid:56) (𝑏
∴𝑎−=55(cid:56) =𝑏 (cid:56)
∴(cid:121)𝑎 =𝑏 (−3)=8(cid:56)
𝑎−(cid:98)𝑏(cid:69)(cid:25)5−(cid:91)−±3 8(cid:71)
𝑎(cid:161)−(cid:136)𝑏(cid:137)(cid:91)(cid:10)± 8(cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)3-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:105)(cid:70)x(cid:78)(cid:79) 2012 + + = (cid:56)
2 2
(cid:121) 2012 = (cid:71) −4024𝑥 𝑥 𝑥−2013 𝑥
2
(cid:15)𝑥(cid:136)−(cid:137)(cid:20)2013
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:134)(cid:215)(cid:142)(cid:216)(cid:83)(cid:146)(cid:136)(cid:102)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)(cid:233)
(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:240)x(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:56)(cid:234)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:44)(cid:45)(cid:217) =2012(cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:80)(cid:261)
(cid:98)(cid:69)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:71) 𝑥−2013
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 0(cid:56)
2013(cid:56) ∵𝑥−2013≥
∴𝑥≥>2012(cid:71)
∴𝑥2012 + + = (cid:56) 科AA+
全
2 2 号★
众
∵
(
−4
)
02
+
4𝑥 𝑥 𝑥
关=
−2注(cid:56) 01公3 𝑥
，
源
资
教2 辅
∴ 2012−𝑥 𝑥−2013 𝑥
| |+ = (cid:56)
∴ 2012−𝑥+ 𝑥−2013= (cid:56)𝑥
∴𝑥−2012 𝑥−2013 𝑥=2012(cid:56)
(cid:95)∴ 𝑥−2013=2012 (cid:56)
2
(cid:161)𝑥−22001132 =2013(cid:71)
2
(cid:161)𝑥(cid:136)−(cid:137)(cid:91)(cid:10)2013(cid:71)
【题型4 =| |】
𝟐
𝒂 𝒂
(cid:15)(cid:89)4(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:120)(cid:44)(cid:45)| | + +16(cid:27)(cid:263)(cid:264)(cid:91) (cid:56)(cid:121) (cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)
2
(cid:83)(cid:62)(cid:265)(cid:265)(cid:63) 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3 𝑥
A(cid:71) =0 B(cid:71) 1 C(cid:71) 1 D(cid:71) 4
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)𝑥 A 𝑥≤ 𝑥≥ 𝑥≤
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:158)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:99)(cid:215)(cid:142)(cid:216)(cid:56)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:85)(cid:213)(cid:138)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:267)(cid:268)(cid:128)(cid:91)
(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:233)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:84)(cid:217)| | | +4|= (cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:138)(cid:126)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:138)(cid:110)(cid:113)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) | | +1−𝑥+−16𝑥= (cid:56)−3
2
∵ 1−𝑥 − 𝑥 8𝑥 −3
| | ( +4) = (cid:56)(cid:95)| | | +4|= (cid:56)
2
∴(cid:165)1−𝑥 − 0(cid:56) 𝑥 +4 0 −(cid:56)3(cid:95) 4 1−𝑥 − 𝑥 1(cid:77)(cid:56)(cid:121) −3 = (cid:56)(cid:146)(cid:217)(cid:10) =0(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
(cid:165)1−𝑥≥0(cid:56)𝑥+4≥0(cid:56)(cid:95)− ≤𝑥(cid:77)≤(cid:56)(cid:121) 1−𝑥(−𝑥+−44) =−3 (cid:56)(cid:69)(cid:257)(cid:159)𝑥 (cid:146)(cid:56)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
(cid:165)1−𝑥≥0(cid:56)𝑥+4≤0(cid:56)(cid:95)𝑥≤−1(cid:77)4(cid:56)(cid:121) 1−𝑥− −=𝑥 (cid:56)(cid:69)(cid:257)−3(cid:159)(cid:146)(cid:56)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
(cid:165)1−𝑥≤0(cid:56)𝑥+4≥0(cid:56)(cid:95)𝑥≥ 𝑥(cid:56)−1(cid:121)−𝑥−4+ −+34= (cid:56)(cid:146)(cid:217)(cid:10) = (cid:56)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:71)
(cid:241)(cid:203)1−(cid:56)𝑥≤=0(cid:71)𝑥 ≤ 𝑥≥1,𝑥≤−4 𝑥−1 𝑥 −3 𝑥 −3
(cid:161)(cid:163)A(cid:71)𝑥
(cid:15)(cid:166)(cid:26)4-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:252)(cid:16)(cid:269)(cid:270)·(cid:171)(cid:256)(cid:63)(cid:229)(cid:215)1< <2(cid:56)(cid:44)(cid:45) +1+ +4 = (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)1 𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑥 −4𝑥
( 0)
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:144)(cid:145) = ( >0) (cid:128)(cid:91)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
2 −𝑎 𝑎≤
(cid:233)(cid:271)(cid:111)(cid:272)(cid:273)(cid:98)(cid:69)(cid:7)(cid:26)(cid:107)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:90)(cid:26)(cid:138)(cid:146)(cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:234)𝑎(cid:25)(cid:148)(cid:23)𝑎(cid:24)𝑎(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:44)(cid:45)(cid:95)(cid:84)(cid:146)(cid:136)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 1< <2(cid:56) 科AA+
全
号★
众
> ∵<0(cid:56)𝑥 注 公
关
，
源
资
辅
∴𝑥−1 0,𝑥−教2
+1+ +4= ( ) + ( ) = + =1(cid:71)
2 2 2 2
(cid:161)∴ (cid:136)𝑥(cid:137)−(cid:91)2𝑥(cid:10)1(cid:71) 𝑥 −4𝑥 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−1 2−𝑥(cid:15)(cid:166)(cid:26)4-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:180)(cid:186)(cid:274)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:271)(cid:111)(cid:138)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:27)(cid:69)(cid:275)(cid:56)(cid:192)(cid:276)(cid:146)(cid:136)(cid:125)(cid:133)(cid:277)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:165)3 7(cid:77)(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:10) ( ) + ( ) =______(cid:82)
2 2
≤𝑎≤ 𝑎−3 7−𝑎
(2)(cid:120)(cid:99)(cid:26) ( ) ( +9) =14(cid:128)(cid:201)(cid:56)(cid:121)a(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83)______(cid:82)
2 2
𝑎−5 − 𝑎
(3)(cid:120) ( +1) + ( ) =8(cid:56)(cid:46)a(cid:27)(cid:47)(cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 𝑎 (1)4 𝑎−5
(2)
(3)𝑎≤=−9(cid:278) =6
(cid:15)(cid:138)𝑎(cid:139)(cid:20)−2(cid:102)(cid:21)𝑎(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:85)(cid:213)(cid:138)(cid:266)(cid:238)(cid:239)(cid:27)(cid:267)(cid:268)(cid:56)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:10)
(cid:62)1(cid:63)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:263)(cid:51) (cid:27)(cid:210)(cid:211)(cid:56)(cid:153)(cid:154)(cid:44)(cid:45)(cid:95)(cid:84)(cid:82)
(cid:62)2(cid:63)(cid:138) (cid:56) < <5(cid:108) 𝑎 5(cid:178)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:153)(cid:154)(cid:238)(cid:239)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:82)
(cid:62)3(cid:63)(cid:138)𝑎≤<−9(cid:56)−9 𝑎 5(cid:108)𝑎≥>5(cid:178)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:153)(cid:154)(cid:238)(cid:239)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)𝑎(cid:62)1−(cid:63)1(cid:146)(cid:10)−13≤𝑎≤ 7(cid:56)𝑎
∵ ≤𝑎≤
( ) + ( ) =| |+| |
2 2
∴ 𝑎−3 7−𝑎 𝑎−3 7−𝑎
= +
=𝑎4−(cid:82)3 7−𝑎
(cid:62)2(cid:63) ( ) ( +9) =| | | +9|(cid:56)
2 2
(cid:165) 𝑎 (cid:77) −5 (cid:56)(cid:203)−(cid:26)𝑎 = + 𝑎 + − 9 5 = − 1 𝑎 4(cid:82)
(cid:165)𝑎≤<−9<5(cid:77)(cid:56)(cid:203)(cid:26)5−=𝑎 𝑎 = (cid:56)
−9< 𝑎<5(cid:56) 5−𝑎−𝑎−9 −2𝑎−4
∵−9 <𝑎 <14(cid:56)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
(cid:165)∴−14 5(cid:77)−(cid:56)2𝑎(cid:203)−4(cid:26)= = (cid:56)(cid:160)(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:82)
a𝑎(cid:27)≥(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83) 𝑎−5(cid:82)−𝑎−9 −14
∴ 𝑎≤−9
(cid:62)3(cid:63) ( +1) + ( ) =| +1|+| |
2 2
(cid:165) < 𝑎 (cid:77)(cid:56)| +1| 𝑎 + − | 5 |= 𝑎 𝑎 + −5 5=
科
8(cid:56)
A
(cid:146)
A
(cid:217)+(cid:10) = (cid:82)
全
号★
众
(cid:165)𝑎 −1 5(cid:77)𝑎(cid:56)| +1𝑎|−+5| 注−公|𝑎=−1−+𝑎 +5=6 8(cid:56)𝑎 −2
关
，
源
资
辅
(cid:165)−1>≤5(cid:77)𝑎(cid:56)≤教| +1|𝑎+| |=𝑎−5+1+𝑎 1−=𝑎 8(cid:56)(cid:146)(cid:217)≠(cid:10) =6(cid:82)
(cid:241)𝑎(cid:203)(cid:10) = 𝑎(cid:278) =6(cid:71)𝑎−5 𝑎 𝑎−5 𝑎
𝑎 −2 𝑎(cid:15)(cid:166)(cid:26)4-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:279) = 2021 ×2022(cid:56) =
2
2021 ×2022+2022 (cid:56)(cid:121) (cid:280) (cid:27)(cid:3)(cid:281)(cid:91)(cid:62) 𝑀 (cid:63) −2020 𝑁
2 2
A(cid:71)−4>042 B(cid:71) < 𝑀 𝑁 C(cid:71) = D(cid:71) =±
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)𝑀C 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:114)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:282)(cid:111)(cid:98)(cid:69)(cid:283)(cid:7)(cid:26)(cid:108)(cid:272)(cid:273)(cid:98)(cid:69)(cid:7)(cid:26)(cid:225)(cid:96)(cid:158)(cid:44)(cid:45)(cid:84)(cid:217)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) = 2021 ×2022(cid:56)
2
∵𝑀 −2020
= 2021 ( )(2021+1)(cid:56)
2
− 2021−1
= 2021 2021 +1(cid:56)
2 2
−
=1(cid:56)
= 2021 ×2022+2022 (cid:56)
2 2
𝑁= 2021 −×42004221×2022+2022 (cid:56)
2 2
−2
= ( ) (cid:56)
2
2021−2022
=1(cid:56)
M=N(cid:56)
∴(cid:161)(cid:163)C(cid:71)
(cid:15)(cid:216)(cid:284)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:280)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:98)(cid:69)(cid:283)(cid:7)(cid:26)(cid:108)(cid:272)(cid:273)(cid:98)(cid:69)(cid:7)(cid:26)(cid:213)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:71)
【题型5 ( ) = ( )】
𝟐
𝐚 𝒂 𝒂≥𝟎
(cid:15)(cid:89)5(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:179)(cid:180)(cid:285)(cid:286)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215) (cid:27)(cid:178)(cid:261)(cid:287) (cid:158) (cid:158) (cid:78)(cid:79) + =3
+3 1 (cid:56)(cid:46) (cid:27)(cid:288)(cid:287)(cid:71) △𝐴𝐵𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2
2
𝑐 − 𝑐−8 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)14
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:289)(cid:290)(cid:21)(cid:291)(cid:6)(cid:292)(cid:56)(cid:195)(cid:146)“(cid:272)(cid:293)(cid:70)”(cid:27)(cid:52)(cid:32)(cid:294)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:272)(cid:273)
(cid:98)(cid:69)(cid:7)(cid:26)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:282)(cid:111)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:71)
科AA+
全
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) + 众 号 = ★ 3 +3 1 (cid:56)
公
关 注 2
，
源
资
教∵辅𝑎 𝑏−2 𝑎−1−4 𝑏−2 𝑐 − 𝑐−8
( +( + 1 ( +3 =0(cid:56)
2
2 2 2
∴ 𝑎−1−1) 𝑏−2−2) 𝑐 −3)
=0(cid:56) =0(cid:56) +3 =0(cid:56)
∴ 𝑎−1−1 𝑏−2−2 𝑐 −3=2(cid:56) =6(cid:56) =6(cid:56)
∴𝑎+ +𝑏=14(cid:71)𝑐
∴𝑎 𝑏 𝑐
(cid:15)(cid:166)(cid:26)5-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:295)(cid:296)(cid:108)(cid:98)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:120)1(cid:56) (cid:56)3(cid:83)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:27)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:56)(cid:44)(cid:45)( ) +16
2
2
= (cid:71) 𝑎 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)2(cid:102)𝑎(cid:21)−6(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:281)(cid:46)(cid:240) (cid:27)(cid:210)(cid:211)(cid:56)(cid:234)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:108)(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:27)
(cid:39)(cid:232)(cid:153)(cid:154)(cid:44)(cid:45)(cid:95)(cid:84)(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:281)(cid:183)(cid:52)(cid:240) (cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)𝑎(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 1(cid:56) (cid:56)3(cid:83)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:27)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:56) 𝑎
< <1∵+3(cid:56)𝑎
(cid:95)∴23−<1 <𝑎4(cid:56)
𝑎
( ) +16=
2
2 2 2
∴ 𝑎−2 − 𝑎 −8𝑎 (𝑎−2) − (𝑎−4)
=| | | |
= 𝑎−2 −( 𝑎−4)
=𝑎−2− 4+−𝑎
=𝑎−2−(cid:56)4 𝑎
(cid:161)(cid:136)2(cid:137)𝑎−(cid:91)6(cid:10) (cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)5-2(cid:20)
2𝑎
（
−6
24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:302)(cid:303)(cid:277)(cid:21)(cid:172)(cid:27)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:146)(cid:136)(cid:125)(cid:133)(cid:277)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:229)(cid:215) ( ) = (cid:56)(cid:46) (cid:27)(cid:47)(cid:82)
2
2
(2)(cid:229)(cid:215)a(cid:56) (𝑥− b 3 (cid:83) ) (cid:105)−(cid:70)(cid:56)2−(cid:212)𝑥 > 2𝑥 𝑥 +1(cid:56)(cid:44)(cid:45) + (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(1) = 1 𝑏 𝑎−2−2 2−𝑎 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎
2
𝑥
(2)
(cid:15)(cid:138)𝑏−(cid:139)3(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:213)(cid:282)(cid:111)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:302)(cid:303)(cid:240)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:71)
(cid:62)1(cid:63)(cid:196)(cid:25)(cid:9)(cid:119)(cid:27)(cid:70)(cid:148)(cid:18)(cid:100)(cid:99)(cid:100)0(cid:56)(cid:217)
号★ 全
0(cid:56)
科
(cid:56)
A
(cid:146)
A
(cid:217)
+
2(cid:56)(cid:234)(cid:25)(cid:148)
2
( )
2
= (cid:56)(cid:113)(cid:25)(cid:9)(cid:56)
(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:82) 公 众2−𝑥≥ 𝑥≤ (𝑥−3) − 2−𝑥 2𝑥
注
关
，
源
资
辅
(cid:62)2(cid:63)(cid:196)(cid:25)(cid:9)教(cid:119)(cid:27)(cid:70)(cid:148)(cid:18)(cid:100)(cid:99)(cid:100)0(cid:56)(cid:217) 0(cid:56)(cid:212) 0(cid:56)(cid:146)(cid:217) =2(cid:56)(cid:114) (cid:27)(cid:47)(cid:249)(cid:251)(cid:26)(cid:64)
+1(cid:56)(cid:217) (cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:56)(cid:234)(cid:107) +𝑎−2≥ (cid:153)(cid:154)(cid:113)2−(cid:25)𝑎(cid:9)≥(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:95)𝑎(cid:84)(cid:71) 𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎
2 2
𝑏 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:62)1(cid:63)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:56)(cid:217) 0(cid:56)
2(cid:56) 2−𝑥≥
∴𝑥≤ <0(cid:56)
∴𝑥−3
( ) =| | = + =
2
2
∴ 1 ( = 𝑥−3(cid:56)) − 2−𝑥 𝑥−3 −(2−𝑥) 3−𝑥−2 𝑥 2𝑥
∴ 21𝑥
(cid:146)(cid:217) = (cid:71)
2
(cid:62)2(cid:63)𝑥(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:56)(cid:217) 0(cid:56)(cid:212) 0(cid:56)
2(cid:212) 2(cid:56) 𝑎−2≥ 2−𝑎≥
∴ 𝑎=≥2(cid:56) 𝑎≤
∴𝑎 > +1(cid:56) +1= +1=1(cid:56)
∵ 𝑏>1(cid:56)𝑎−2−2>20−(cid:56)𝑎 𝑎−2−2 2−𝑎 2−2−2 2−2
∴ 𝑏 𝑏−1
+ = =| | = = (cid:71)
2 2 2 2
∴ 1−2𝑏 𝑏 − 𝑎 (1−𝑏) − 𝑎 1−𝑏 −2 𝑏−1−2 𝑏−3
(cid:15)(cid:166)(cid:26)5-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:126)(cid:127)(cid:304)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:229)(cid:215) + + =2 +4 +6 +3 (cid:56)(cid:46)a(cid:158)b(cid:158)c
(cid:27)(cid:47)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2 𝑏−1 𝑐 −14
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) = = =6
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)𝑎 (cid:21)3(cid:173),𝑏(cid:174)(cid:140)5(cid:141),𝑐 (cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:232)(cid:71)
(cid:25)(cid:148) + + =2 +4 +6 +3 (cid:56)(cid:217)(cid:240)( ) + +( +3 ) =0(cid:56)(cid:95)(cid:84)
2 2 2
(cid:217)(cid:240)𝑎 𝑏=1𝑐(cid:56) 𝑎=−24(cid:56) +𝑏−31=9(cid:56)(cid:46)𝑐 (cid:240)(cid:263)−1(cid:264)4(cid:95)(cid:84)(cid:71) 𝑎−2−1 𝑏−1−2 𝑐 −3
(cid:15)(cid:157)𝑎(cid:146)−(cid:20)2(cid:146)(cid:10) 𝑏−+1 + =𝑐2 +4 +6 +3 (cid:56)
+ + ∵𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−2+3+𝑏1−41=0(cid:56)𝑐 −14
∴𝑎 𝑏 𝑐−2 𝑎+−12+−4 𝑏−1−6 𝑐+4+ + +3+9=0(cid:56)
∴𝑎−2−2 𝑎−2 𝑏−1−4 𝑏−1 𝑐 3−6 𝑐
( ) + +( +3 ) =0(cid:56)
2 2 2
∴ 𝑎−2−1 =0(cid:56) 𝑏−1−2 =0(cid:56) 𝑐 +3 −3 =0(cid:56)
∴ 𝑎−2=−11(cid:56) =𝑏−4(cid:56)1−2+3=9(cid:56)𝑐 −3
科AA+
全
∴(cid:146)𝑎(cid:217)−2(cid:10) =3𝑏(cid:56)−1=5(cid:56)𝑐=6(cid:71) 号★
众
公
注
关
，
源
【题型
𝑎6
规教律
𝑏辅
探究
资
】
𝑐
(cid:15)(cid:89)6(cid:20)(cid:62)24-25(cid:305)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:306)(cid:253)(cid:307)(cid:308)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:61)(cid:309)(cid:83)(cid:53)(cid:81)(cid:310)(cid:311)(cid:235)(cid:40)(cid:41)(cid:197)(cid:133)(cid:27)(cid:70)(cid:312)(cid:10)(cid:25)(cid:148)(cid:70)(cid:312)(cid:197)(cid:133)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:313) (cid:62) (cid:83)(cid:314)(cid:70)(cid:56)(cid:212) 4(cid:63)(cid:154)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)(cid:70)(cid:313)( )(cid:81)(cid:70)(cid:83)(cid:62)(cid:111)(cid:49) (cid:27)(cid:249)(cid:70)(cid:26)(cid:319)(cid:320)(cid:63)(cid:62) (cid:63)
𝑛 𝑛 𝑛≥ 𝑛−4 𝑛
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)
2 2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)𝑛A−4 𝑛 −2 𝑛 −3 𝑛−4
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:213)(cid:70)(cid:86)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:213)(cid:70)(cid:86)(cid:40)(cid:41)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:82)
(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:321)(cid:217)(cid:322)(cid:53)(cid:154)(cid:27)(cid:230)(cid:116)(cid:53)(cid:81)(cid:70)(cid:86)(cid:83) ( +1)(cid:56)(cid:212)(cid:322)(cid:53)(cid:154)(cid:30) (cid:81)(cid:70)(cid:86)(cid:56)(cid:196)(cid:162)(cid:277)(cid:21)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:71)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:70)(cid:312)(cid:84)(cid:215)(cid:10)(cid:322)(cid:53)(cid:154)(cid:27)(cid:230)(cid:116)(cid:53)(cid:81)(cid:70)(cid:86)(cid:83) ( +1)(cid:56)(cid:212)(cid:322)(cid:53)(cid:154)(cid:30) (cid:81)(cid:70)(cid:86)(cid:56)
𝑛 𝑛 2𝑛
(cid:313) (cid:62) (cid:83)(cid:314)(cid:70)(cid:56)(cid:212) 4(cid:63)(cid:154)(cid:230)(cid:116)(cid:53)(cid:81)(cid:70)(cid:83) ( +1)(cid:56)(cid:313)(cid:53)(cid:81)(cid:70)(cid:86)(cid:83) ( +1) +1= +1(cid:56)
2
∴(cid:315)(cid:316)𝑛 (cid:317)𝑛(cid:318)(cid:70)(cid:313)( 𝑛 )(cid:81)≥(cid:70)(cid:83) +1+ 𝑛 = 𝑛 (cid:82) 𝑛 𝑛 −2𝑛 𝑛 −𝑛
2 2
(cid:161)∴ (cid:163)A(cid:71) 𝑛−4 𝑛 −𝑛 𝑛−5 𝑛 −4
(cid:15)(cid:166)(cid:26)6-1(cid:20)(cid:62)2025·(cid:306)(cid:253)(cid:323)(cid:324)·(cid:23)(cid:325)(cid:63)(cid:326)(cid:53)(cid:24)(cid:327)(cid:328)(cid:73)(cid:329)(cid:330)(cid:203)(cid:56)(cid:331)(cid:332)(cid:333)(cid:282)(cid:111)(cid:334)(cid:257)(cid:73)(cid:320)(cid:175)(cid:53)(cid:248)(cid:310)(cid:40)(cid:41)(cid:197)(cid:133)(cid:27)(cid:335)(cid:152)
(cid:26)(cid:60)(cid:26)(cid:6)(cid:9)(cid:249)(cid:336)(cid:56)(cid:337)(cid:335)(cid:152) (cid:26)(cid:338)(cid:24)(cid:91)(cid:10) (cid:56)4 2 (cid:56)6 3 (cid:56)8 4 (cid:56)10 5 ……(cid:56)(cid:121)(cid:313)n (cid:81)(cid:335)(cid:152)(cid:26)(cid:83)(cid:62) (cid:63)
2 3 4 5
A(cid:71) 2𝑎 B𝑎(cid:71) 𝑎+1 𝑎 𝑎
𝑛 𝑛
C(cid:71)22(𝑛 +𝑛𝑎1) D(cid:71)22𝑛( 𝑛 ) 𝑎
𝑛 𝑛−1
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)A𝑛 𝑛𝑎 𝑛−1 𝑛𝑎
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:335)(cid:152)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:339)(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:21)(cid:340)(cid:92)(cid:341)(cid:335)(cid:152)(cid:26)(cid:217)(cid:240)(cid:40)(cid:41)(cid:95)(cid:84)(cid:56)(cid:184)(cid:183)(cid:217)(cid:240)(cid:40)(cid:41)(cid:83)(cid:146)(cid:162)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:84)(cid:217)(cid:10) =(2×1)× 1× (cid:56)4 2 =(2×2)× 2× (cid:56)6 3 =(2×3)× 3×
1 2 2 3
(cid:56)8 4 =(2×4)× 42×𝑎 (cid:56)10 5 =(2×𝑎5)× 5𝑎× (cid:56)…(cid:56) 𝑎 𝑎
3 4 4 5 5
𝑎(cid:313)n (cid:81)(cid:335)𝑎 (cid:152)(cid:26)(cid:83) (cid:56) 𝑎 𝑎 𝑎
𝑛
(cid:161)∴ (cid:163)(cid:10)A(cid:71) 2𝑛 𝑛𝑎
1 1 2 2 3
(cid:15)(cid:166)(cid:26)6-2(cid:20)(cid:62)2025·(cid:342)(cid:16)(cid:343)(cid:52)·(cid:53)(cid:325)(cid:63)(cid:231)(cid:194)(cid:66)(cid:70)(cid:11)(cid:21)(cid:77)(cid:56)(cid:344)(cid:345)(cid:40)(cid:41)(cid:10) = (cid:82) =2 (cid:82) =3
2 2 5 5 10
3 (cid:82) 4 =4 4 (cid:82)… 号★ 全
科AA+
1− 2− 3−
10 17 17 众
公
注
关
，
(cid:62)1(cid:63)(cid:313) 4 5 − (cid:81)(cid:99)(cid:26)辅(cid:91)资 源 (cid:82)
教
8 8
(cid:62)2(cid:63)(cid:120) = (cid:62)a(cid:56)b(cid:91)(cid:184)(cid:314)(cid:70)(cid:63)(cid:56)(cid:121) = (cid:71)
𝑎−𝑏 𝑎 𝑏 𝑎⋅𝑏5 5
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) =5 520
26 26
5−
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:162)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:70)(cid:86)(cid:266)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:346)(cid:240)(cid:53)(cid:281)(cid:133)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:91) = 1(cid:27)(cid:184)(cid:314)(cid:70)(cid:63)(cid:56)(cid:347) =8
1 1
𝑛 𝑛
2 2
(cid:46)(cid:240) (cid:280) (cid:27)(cid:47)(cid:56)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:217) (cid:27)(cid:47)(cid:71) 𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥ 𝑛
𝑎 𝑏 1 1𝑎⋅𝑏
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) = (cid:82)
2 2
1−
2 =2 2 (cid:82)
5 5
2−
3 =3 3 (cid:82)
10 10
3−
4 =4 4 (cid:82)
17 17
4−
(cid:313)5(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:91) 5 =5 5
26 26
5−
(cid:25)(cid:148)(cid:21)(cid:172)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:217)(cid:10) = 1(cid:27)(cid:184)(cid:314)(cid:70)(cid:63)(cid:56)
1 1
𝑛 𝑛
2 2
𝑛−𝑛 + 𝑛 𝑛 + (𝑛≥
8 8
= (cid:56)
∵ = 𝑎− 8(cid:56)𝑏 =𝑎8⋅ 𝑏 +1=65(cid:56)
2
(cid:121)∴𝑎 =8𝑏×65=520(cid:71)
𝑎⋅𝑏 5 5
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10) =5 (cid:56)520(cid:71)
26 26
(cid:15)(cid:166)(cid:26)6-3(cid:20)(cid:62)5− 24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:348)(cid:349)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:350)(cid:351)(cid:125)(cid:133)(cid:99)(cid:26)(cid:56)(cid:294)(cid:352)(cid:136)(cid:277)(cid:21)(cid:10)
3 = 1 = 1 (cid:82) 5 = 4 = 2 (cid:82) 7 = 9 = 3 (cid:82)…
4 4 2 9 9 3 16 16 4
(
① 1)(cid:25)1(cid:148)−(cid:203)(cid:242)(cid:40)(cid:41)(cid:56)(cid:353)②(cid:240)(cid:313)1
5
−(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:10)_____ ③ ___(cid:71)1−
(2)(cid:192)(cid:353)(cid:240)(cid:313) (cid:81)(cid:62) (cid:91)(cid:184)(cid:314)(cid:70)(cid:63)(cid:99)(cid:26)(cid:10)________(cid:56)(cid:294)(cid:354)(cid:194)(cid:276)(cid:27)(cid:263)(cid:239)(cid:71)
𝑛 𝑛 3 5 7 89
(3)(cid:271)(cid:111)(cid:203)(cid:242)(cid:263)(cid:239)(cid:56)(cid:225)(cid:96)(cid:10) … (cid:71)
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(1) 11 = 25 = 5
36 36 6
1−
1
(2) = =
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
1
(3)
45 科AA+
全
号★
众
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:70)(cid:86)(cid:27)(cid:166)(cid:44)公(cid:40)(cid:41)(cid:158)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:39)(cid:232)(cid:108)(cid:271)(cid:96)(cid:275)(cid:121)(cid:56)(cid:146)(cid:136)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:196)(cid:92)(cid:341)(cid:27)(cid:99)(cid:26)(cid:355)(cid:263)(cid:240)(cid:356)
注
关
，
源
资
辅
(cid:326)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:71)教
(cid:62)1(cid:63)(cid:25)(cid:148)(cid:92)(cid:341)(cid:27)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:26)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:82)(cid:62)2(cid:63)(cid:138)(cid:139)(cid:92)(cid:341)(cid:27)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:26)(cid:56)(cid:355)(cid:263)(cid:240)(cid:40)(cid:41)(cid:95)(cid:84)(cid:82)
(cid:62)3(cid:63)(cid:282)(cid:111)(cid:62)2(cid:63)(cid:172)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:153)(cid:154)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:62)1(cid:63)(cid:146)(cid:10)(cid:25)(cid:148)(cid:21)(cid:31)(cid:217)(cid:313)5(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:91)(cid:10)
11 = 25 = 5 (cid:82)
36 36 6
1−
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10) 11 = 25 = 5 (cid:82)
36 36 6
1−
(cid:62)2(cid:63)(cid:146)(cid:10)(cid:313)1(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:10) 3 = 2×1 1 (cid:82) 3 = 1 = 1 (cid:56)
4 (1 1) 4 4 2
+
2
1− 1− + 1−
(cid:313)2(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:10) 5 = 2×2 1 (cid:82) 5 = 4 = 2 (cid:56)
9 (2 1) 9 9 3
+
2
1− 1− + 1−
(cid:313)3(cid:81)(cid:99)(cid:26)(cid:10) 7 = 2×3 1 (cid:82) 7 = 9 = 3 (cid:56)
16 (3 1) 16 16 4
+
2
(cid:196)(cid:85)(cid:203)(cid:99)(cid:26)(cid:84)(cid:85) 1 (cid:357) − (cid:268)(cid:313)n(cid:81) 1− (cid:99)(cid:26)+(cid:83)(cid:10) 1−
1 = = (cid:82)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:354)(cid:194)(cid:10) 1 = 1 1 = = (cid:82)
1) 2 1) 1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 +2𝑛+ 2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2 2 2
1−(𝑛+ 1 (𝑛+ −(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10) = = (cid:82)
1) 21) 1
2𝑛+ 𝑛 𝑛
2 2
1−(𝑛+ (𝑛+ 𝑛+
3 5 7 89
(cid:62)3(cid:63)(cid:146)(cid:10) …
4 9 16 2025
1− 1− 1− 1−
(cid:358)= 3 × 5 × 7 ×……× 2×44 1
4 9 16 (44 1)
+
2
(cid:358) 1 × 2 1 × − 3 ……× 1 4 − 4 1− 1− +
2 3 4 45
1
(cid:358) (cid:71)
45
【题型7 化简求值】
(cid:15)(cid:89)7(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:105)(cid:70)a(cid:78)(cid:79)6< <20(cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:10) ( ) + ( ) (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)7 2𝑎−2 𝑎−4 𝑎−11
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:359)(cid:233)(cid:146)(cid:160)(cid:99)(cid:26)(cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:25)(cid:148)(cid:7)(cid:26) = (cid:56)(cid:44)(cid:45)(cid:95)(cid:84)(cid:71)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:158)(cid:160)(cid:99)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)
2
(cid:106)(cid:107)(cid:47)(cid:27)(cid:45)(cid:99)(cid:215)(cid:142)(cid:56)(cid:360)(cid:361) = (cid:56)(cid:135)(cid:100)𝑎(cid:362)(cid:363)|(cid:21)𝑎|(cid:56)(cid:172)(cid:140)(cid:254)(cid:140)(cid:21)(cid:22)(cid:71)
2 全
科AA+
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 6< <𝑎 20(cid:56)|𝑎| 号★
众
公
注
关
，
源
8< <22∵辅 资2𝑎−2
教
∴ 4<2𝑎<11(cid:56)
∴ 𝑎(cid:364)(cid:26)= +
=∴ + |𝑎−4| |𝑎−11|
=𝑎7−(cid:71)4 11−𝑎
(cid:15)(cid:166)(cid:26)7-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:180)(cid:258)(cid:258)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:229)(cid:215) =3 ( )+2 ( )+2(cid:56)(cid:46) ( )+ (cid:27)(cid:47)(cid:71)
2
𝑦 2𝑥−1 1−2𝑥 𝑥𝑦 𝑥
5
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
4
0
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:56)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:217) (cid:56)(cid:95)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
(cid:217) = (cid:56)(cid:153)(cid:250)(cid:217)(cid:118) =2(cid:56)(cid:234)(cid:249)(cid:251)(cid:249)(cid:70)(cid:26)(cid:225)(cid:96)(cid:95)(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:56)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
2
𝑥 𝑦 0
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:217) (cid:56)
0
2𝑥−1≥
1 1−2𝑥≥
= (cid:56)
2
∴𝑥 y=2(cid:56)
∴ (xy)+x = 1 ×2+ 1 =1+ 1 = 5 (cid:71)
2 2 2 4 4
2
(cid:15)∴ (cid:166)(cid:26)7-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:27)(cid:80)(cid:261)(cid:287)(cid:138)(cid:110)(cid:91)3(cid:108)5(cid:56)(cid:313)(cid:178)(cid:261)(cid:287)(cid:91)c(cid:56)(cid:44)
1
(cid:45) + +16(cid:71)
4
2 2
𝑐 43−4𝑐− 𝑐 −4𝑐
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
2
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:162)𝑐−(cid:21)6(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:27)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:281)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:359)(cid:233)(cid:282)(cid:111)(cid:178)(cid:297)(cid:60)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:281)(cid:217)
(cid:240)c(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:210)(cid:211)(cid:56)(cid:153)(cid:250)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:240)(cid:136)(cid:137)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:178)(cid:261)(cid:3)(cid:281)(cid:52)(cid:195)(cid:56)(cid:217)3+5> (cid:56) < (cid:56)(cid:95)2< <8(cid:56)
(cid:364)(cid:26)= ( ) 1 ( ) =| | 1 | 𝑐 5 | − = 3 𝑐 1 ( ) 𝑐 = 3 (cid:71)
4 2 2 2
2 2
∴ 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2 − 𝑐−8 𝑐−2− 8−𝑐 𝑐−6
(cid:15)(cid:166)(cid:26)7-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:202)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:253)(cid:262)·(cid:365)(cid:173)(cid:366)(cid:367)(cid:63)(cid:229)(cid:215) = =3(cid:56) = = 3(cid:56) = (cid:56) =
2 22 2
𝑎+𝑏 𝑎 +𝑏
2 𝑀 𝑁 𝑎𝑏 𝑃 𝑄
(cid:71)(cid:46)P(cid:158)Q(cid:27)(cid:47)(cid:71)
1 1
𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) = 15(cid:56) =1
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)𝑃(cid:162)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)𝑄(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:158)(cid:138)(cid:26)(cid:27)(cid:46)
科
(cid:47)
A
(cid:99)
A
(cid:215)+(cid:142)(cid:56)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:84)(cid:217) + =6(cid:56) =3(cid:56)(cid:25)(cid:148)(cid:272)(cid:273)(cid:98)(cid:69)
全
号★
众
(cid:7)(cid:26)(cid:166)(cid:60)(cid:116)(cid:249)(cid:251) 辅 资 = 源 𝑎 2 ， + 2 𝑏 2 关(cid:95)(cid:84)注(cid:46) 公 (cid:240)P(cid:27)(cid:47)(cid:56)(cid:59) = 1 2 1 (cid:44)(cid:45)(cid:116)(cid:56)(cid:234)(cid:153)(cid:154) 𝑎 (cid:314)(cid:368) 𝑏 (cid:249)(cid:251)(cid:95) 𝑎 (cid:84) 𝑏 (cid:46)(cid:240)Q(cid:27)(cid:47)(cid:71)
教
𝑃 𝑄 𝑎+𝑏
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) = =3(cid:56) = = 3(cid:56)
2
𝑎+𝑏
∵𝑀 𝑁 𝑎𝑏+ =6(cid:56) =3(cid:56)
∴𝑎 𝑏 𝑎𝑏
+ ( + ) 6 ×3
= = = = 15
2 2 2 22 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏 −2
𝑃
2 2×3
= = = =1
1 1 + 6
+
2𝑎𝑏
𝑄
𝑎 𝑏
【题型 𝑎 8 𝑏 隐含条件】
(cid:15)(cid:89)8(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:203)·(cid:180)(cid:258)(cid:369)(cid:170)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:120) (cid:78)(cid:79)(cid:3)(cid:281)(cid:26) + + + =
𝑚 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚 1−𝑥−𝑦⋅
+ (cid:56)(cid:121) = (cid:71)
(cid:15) 𝑥 (cid:136) − (cid:137) 1 (cid:20) 𝑦 3 𝑚
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:56)(cid:146)(cid:23)(cid:247)(cid:53)(cid:24)(cid:69)(cid:257)(cid:248)(cid:56)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)
(cid:27)(cid:33)(cid:34)(cid:217) = + =0(cid:56)(cid:95)(cid:217) + =1(cid:56) + + + =0(cid:56)(cid:234)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥 5𝑦−2−𝑚 2𝑥 3𝑦−+𝑚 =1
(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:217) + =0(cid:56) + =0(cid:56)(cid:95)(cid:217) + =2(cid:56)(cid:234)(cid:146)(cid:69)(cid:257)(cid:248) + =2 (cid:46)(cid:240) (cid:158)(cid:27)(cid:47)(cid:95)
𝑥 𝑦
(cid:84)(cid:46)(cid:146)(cid:56)3(cid:144)𝑥(cid:145)(cid:23)5𝑦(cid:24)−(cid:25)2−(cid:26)𝑚(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:27)2𝑥(cid:33)(cid:34)3𝑦(cid:213)−(cid:39)𝑚(cid:232)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)𝑥(cid:3)(cid:147)2(cid:71)𝑦 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑦
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:196)(cid:21)(cid:31)(cid:217)(cid:56) 0(cid:56) + 0(cid:56)
= + =0(cid:56)1−𝑥−𝑦≥ 𝑥−1 𝑦≥
∴1−𝑥−𝑦 𝑥−1 𝑦
+ =1(cid:56) + + + =0(cid:56)
∴𝑥 + 𝑦 3𝑥 =0(cid:56) 5𝑦−2 + −𝑚 2 = 𝑥 0(cid:56)3𝑦−𝑚
∴3𝑥+ 5𝑦=−22−(cid:56)𝑚 2𝑥 3𝑦−𝑚
∴𝑥 2+𝑦 =1 =0
(cid:196) (cid:56)(cid:146)(cid:217) (cid:56)
+ =2 =1
𝑥 𝑦 𝑥
0+𝑥 3×2𝑦 =0(cid:56) 𝑦
∴ =3(cid:56)1−𝑚
∴(cid:161)𝑚(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10)3(cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)8-1(cid:20)(cid:62)24-25(cid:305)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:252)(cid:16)(cid:300)(cid:370)·(cid:171)(cid:172)(cid:63)(cid:229)(cid:215) (cid:83)(cid:80)(cid:80)(cid:160)(cid:214)(cid:99)(cid:27)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:212)(cid:78)(cid:79) ( )+ ( )
科AA+
= (cid:56)(cid:121) 3 (cid:27) 公 (cid:47)(cid:91)众 号 ★ 全 (cid:71) 𝑚,𝑥,𝑦 𝑚 𝑥−𝑚 𝑚 𝑦−𝑚
2 关5注2
资
源𝑥
2
，+𝑥𝑦−𝑦
2
𝑥−𝑚
1
− 教𝑚−辅𝑦 𝑥 −𝑥𝑦+ 𝑦
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)
7
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:25)(cid:148)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:56)(cid:183)(cid:52)(cid:240) =0(cid:56) = (cid:56)(cid:249)(cid:251)(cid:364)(cid:26)(cid:95)(cid:84)(cid:146)(cid:177)(cid:277)(cid:21)(cid:71)
𝑚 𝑥 −𝑦(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) (cid:56) (cid:56) (cid:83)(cid:80)(cid:80)(cid:160)(cid:214)(cid:99)(cid:27)(cid:105)(cid:70)(cid:212)(cid:78)(cid:79) + = (cid:56)
∵𝑚0 𝑥 𝑦 𝑚(𝑥−𝑚) 𝑚(𝑦−𝑚) 𝑥−𝑚− 𝑚−𝑦
0
(cid:371)
𝑚−𝑦≥ 0
(cid:56)
𝑥−𝑚≥ 0
∵ 𝑚(𝑦−𝑚)≥
=0(cid:56) = (cid:56) 0(cid:56) 0(cid:56)
𝑚(𝑥−𝑚)≥
∴𝑚 (cid:364)(cid:26)=3𝑥 −𝑦
=
𝑥1≠
(cid:71)
𝑦≠
2 25 2 7
𝑦 −𝑦 −𝑦
2 2 2
∴ 𝑦 +𝑦 + 𝑦
1
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10)
7
(cid:15)(cid:216)(cid:284)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:158)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:25)(cid:148)(cid:33)(cid:34)(cid:183)(cid:52)(cid:240) =0(cid:56) = (cid:56)(cid:360)(cid:361)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:69)
(cid:70)(cid:83)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:149)(cid:81)(cid:48)(cid:49)(cid:33)(cid:34)(cid:56)(cid:135)(cid:100)(cid:172)(cid:140)(cid:254)(cid:140)(cid:21)(cid:22)(cid:71) 𝑚 𝑥 −𝑦
(cid:15)(cid:166)(cid:26)8-2(cid:20)(cid:120) (cid:158) (cid:158) (cid:91)(cid:105)(cid:70)(cid:56)(cid:212)(cid:78)(cid:79) + + =2 +1+4 +1+6 (cid:56)(cid:46) + + +3
(cid:27)(cid:47)(cid:91) (cid:71)𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐−2−14 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)6
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:25)(cid:148)(cid:372)(cid:69)(cid:275)(cid:27)(cid:195)(cid:239)(cid:338)(cid:148)(cid:56)(cid:95)(cid:7)(cid:26) ± + = ± (cid:56)(cid:114)(cid:364)(cid:69)(cid:257)(cid:373)(cid:44)(cid:91) + +1
2 2 2
+1+ + +1+4+ +𝑎9=02(cid:95)𝑎𝑏(cid:84)(cid:146)𝑏(cid:136)(cid:71)(𝑎 𝑏) 𝑎 1−2 𝑎
(cid:15)(cid:157)(cid:146)𝑏(cid:20)(cid:146)1−(cid:10)4 𝑏+ + =2𝑐−2−+61+𝑐−42 +1+6 (cid:56)
+ +∵1𝑎+1𝑏+ 𝑐+ 𝑎 +1+4𝑏+ 𝑐−2−1+49=0(cid:56)
∴𝑎 1−2 𝑎 𝑏 1−4 𝑏 𝑐−2−6 𝑐−2
( +1 +( +1 +( =0(cid:56)
2 2 2
∴ 𝑎 +1 −1 = ) 0(cid:56) 𝑏 +1 −2) =0(cid:56) 𝑐−2−3) =0(cid:56)
∴ 𝑎=0(cid:56)−1=3(cid:56) =𝑏11(cid:56)−2 𝑐−2−3
∴𝑎 + 𝑏+ +𝑐3
∴= 𝑎0𝑏+3𝑏3𝑐+𝑐0𝑎+3
=6(cid:56)
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)(cid:10)6(cid:71)
(cid:15)(cid:216)(cid:284)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:27)(cid:83)(cid:372)(cid:69)(cid:275)(cid:27)(cid:374)(cid:111)(cid:158)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:108)(cid:105)(cid:70)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:372)(cid:69)(cid:275)(cid:27)(cid:195)(cid:239)
(cid:338)(cid:148)(cid:71)
(cid:15)(cid:166)(cid:26)8-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:305)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:295)(cid:296)(cid:108)(cid:98)·(cid:171)(cid:172) 全 (cid:63)科(cid:120)(cid:105)A(cid:70)
A+
a(cid:56)b(cid:56)c(cid:78)(cid:79)(cid:3)(cid:281)(cid:26) + = +
号★
众
公
注
+ (cid:56)(cid:121)c(cid:358) (cid:71)， 关 𝑎−199 199−𝑎 2𝑎 𝑏−𝑐
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:136)𝑏(cid:137)−(cid:20)6 404
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:46)(cid:217)a(cid:358)199(cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:196)(cid:37)(cid:38)(cid:70)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:46)(cid:217)b(cid:158)c(cid:27)(cid:47)(cid:71)=0
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10)(cid:25)(cid:148)(cid:21)(cid:31)(cid:56)(cid:217) (cid:56)
=0
𝑎−199
(cid:146)(cid:217)a(cid:358)199(cid:56) 199−𝑎
(cid:121) + + =0(cid:56)
2𝑎2×𝑏1−9𝑐9+ 𝑏−6=0
(cid:92)(cid:85) (cid:56)
=0
𝑏−𝑐
=𝑏6−6
(cid:146)(cid:217) (cid:56)
=404
𝑏
(cid:161)(cid:136)(cid:137)𝑐(cid:91)(cid:10)404(cid:71)
(cid:15)(cid:216)(cid:284)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:108)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:143)(cid:215)(cid:214)(cid:3)(cid:215)(cid:142)(cid:216)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
【题型9 复合根式】
(cid:15)(cid:89)9(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:180)(cid:258)(cid:259)(cid:170)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:229)(cid:215)(cid:184)(cid:314)(cid:70) (cid:158) (cid:158)(cid:78)(cid:79) 5= (cid:71)(cid:121)(cid:149)(cid:150)(cid:27)
2
(cid:158) (cid:158)(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:62) (cid:63)(cid:71) 𝑎 𝑚 𝑛 𝑎 −4 𝑚− 𝑛
𝑎 A𝑚(cid:71)(cid:30)𝑛(cid:53)(cid:248) B(cid:71)(cid:30)(cid:23)(cid:248) C(cid:71)(cid:375)(cid:100)(cid:23)(cid:248) D(cid:71)(cid:160)(cid:356)(cid:326)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)A
(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:83)(cid:143)(cid:131)(cid:144)(cid:145)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:376)(cid:51)(cid:271)(cid:96)(cid:275)(cid:121)(cid:153)(cid:154)(cid:225)(cid:96)(cid:71)(cid:25)(cid:148)
5= (cid:56)(cid:217)(cid:240) 5= + (cid:56)(cid:95)(cid:84)(cid:217)(cid:240) = + (cid:56) =20(cid:56) > (cid:56)(cid:25)(cid:148)
2 2 2
20𝑎=−240×1=𝑚10−×𝑛2=5×𝑎4(cid:56)−4(cid:138)(cid:178)(cid:235)(cid:236)𝑚(cid:237)(cid:46)𝑛−(cid:240)2 𝑚(cid:27)𝑛(cid:47)(cid:153)(cid:154)(cid:377)(cid:354)𝑎(cid:95)(cid:84)(cid:71)𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚 𝑛
2
𝑎
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 5= (cid:56)
2
5= ∵+𝑎 −4 (cid:56) 𝑚− 𝑛
2
∴𝑎 −=4 + 𝑚(cid:56) 𝑛−=220𝑚(cid:56)𝑛 > (cid:56)
2
(cid:371)∴𝑎 20𝑚=20𝑛×1𝑚=𝑛10×2=𝑚5×𝑛4(cid:56)
(cid:165)∵ = =1(cid:77)(cid:56) =21(cid:160)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:56)
2
(cid:165)𝑚=20,𝑛=2(cid:77)(cid:56)𝑎 =12(cid:160)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:56)
2
(cid:165)𝑚=10,𝑛=4(cid:77)(cid:56) 𝑎=9(cid:164)(cid:51)(cid:21)(cid:31)(cid:56)
2
𝑚(cid:78)(cid:79)(cid:33)5,𝑛(cid:34)(cid:27)(cid:209)(cid:47)(cid:378)𝑎(cid:30)1(cid:248)(cid:71)
(cid:161)∴(cid:163)(cid:10)A(cid:71)
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
(cid:15)(cid:166)(cid:26)9-1(cid:20)(cid:62)24-资25源(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:379)(cid:380)(cid:381)(cid:252)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:225)(cid:96) 2025 2024(cid:27)(cid:263)(cid:264)(cid:83) (cid:71)
辅
教
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20) 23 22 −
−(cid:15)(cid:138)(cid:139)(cid:20)(cid:4)(cid:31)(cid:118) 2025=45(cid:56)(cid:161)(cid:84)(cid:114)(cid:364)(cid:26)(cid:44)(cid:91) 506(cid:56)(cid:260)(cid:116)(cid:42)(cid:382) 506=( 23 22) (cid:56)(cid:153)(cid:250)(cid:217)
2
(cid:146)(cid:71) 45−2 45−2 −
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:146)(cid:10) 2025 2024
−
= 506
45−2
= ( 23 22)
2
= 23 −22(cid:82)
(cid:161)(cid:136)(cid:137)(cid:91)−(cid:10) 23 22(cid:71)
−
(cid:15)(cid:216)(cid:284)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:70)(cid:86)(cid:383)(cid:384)(cid:18)(cid:56)(cid:184)(cid:183)(cid:346)(cid:118) 506=( 23 22) (cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147).
2
(cid:15)(cid:166)(cid:26)9-2(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:342)(cid:253)(cid:385)(cid:386)·(cid:171)(cid:256)(cid:63)(cid:233)(cid:387)(cid:289)(cid:234)(cid:46)(cid:47)(cid:71)45−2 −
(cid:326)(cid:225)(cid:96) 10(cid:27)(cid:388)(cid:257)(cid:172)(cid:56)(cid:231)(cid:194)(cid:108)(cid:231)(cid:389)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:263)(cid:264)(cid:160)(cid:53)(cid:150)(cid:71)
7−2
(cid:231)(cid:194)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:388)(cid:257)(cid:61)(cid:125)(cid:10) (cid:231)(cid:389)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:388)(cid:257)(cid:61)(cid:125)(cid:10)
10 10
7−2 7−2
(cid:358) 2×5+5 (cid:358) 2×5+5
(cid:358) 2−2 (cid:358) 2−2
( 2) 2× 5+ 5 ( 2) 2× 5+ 5
2 2 2 2
−2 −2
(cid:358) 2 5 (cid:358) 2 5
2 2
(cid:358) 2 −5 (cid:358) 5 −2
− −
(1)(cid:192)(cid:155)(cid:156)(cid:231)(cid:194)(cid:280)(cid:231)(cid:389)(cid:390)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:56)(cid:294)(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:82)
(2)(cid:225)(cid:96)(cid:10) 5(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(1)6(cid:231)−(cid:389)2 (cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:56)(cid:391)(cid:146)(cid:139)
(2) 5
(cid:15)(cid:138)(cid:139)−(cid:20)1 (cid:102)(cid:21)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:50)(cid:51)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:56)(cid:143)(cid:131)
科
(cid:144)
A
(cid:145)
A
(cid:23)+(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:83)(cid:146)(cid:136)(cid:102)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:71)
全
号★
众
(cid:62)1(cid:63)(cid:25)(cid:148)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:263)(cid:51)注(cid:231)公(cid:194)(cid:280)(cid:231)(cid:389)(cid:390)(cid:27)(cid:225)(cid:96)(cid:388)(cid:257)(cid:138)(cid:139)(cid:95)(cid:84)(cid:82)
关
，
源
资
辅
(cid:62)2(cid:63)(cid:392)(cid:393)(cid:231)教(cid:389)(cid:27)(cid:146)(cid:136)(cid:388)(cid:257)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:62)1(cid:63)(cid:231)(cid:389)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:263)(cid:264)(cid:184)(cid:183)(cid:56)(cid:195)(cid:196)(cid:61)(cid:125)(cid:10)2 5 = | 2 5| = 5 2
2
− − −
(cid:62)2(cid:63)(cid:364)(cid:26)= × 1×5+5
1−2
= 1 × 1×5+ 5
2
2
−2
= 5
2
= | 1−5|
= 15−
(cid:15)(cid:166)(cid:26)−19-3(cid:20)(cid:62)24-25(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:125)·(cid:218)(cid:168)(cid:259)(cid:379)·(cid:223)(cid:224)(cid:131)(cid:132)(cid:63)(cid:15)(cid:387)(cid:289)(cid:394)(cid:395)(cid:20)(cid:231)(cid:194)(cid:326)(cid:11)(cid:132)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:77)(cid:56)(cid:344)(cid:345)(cid:53)(cid:190)(cid:49)(cid:25)(cid:9)
(cid:27)(cid:26)(cid:64)(cid:84)(cid:85)(cid:44)(cid:128)(cid:396)(cid:53)(cid:81)(cid:26)(cid:64)(cid:27)(cid:98)(cid:69)(cid:56)(cid:61)(cid:10)5+2 6=(2+3)+2 2×3=( 2) +( 3) +2 2× 3=
2 2
( 2+ 3) (cid:82)
2
8+2 7=(1+7)+2 1×7=1 +( 7) +2×1× 7=(1+ 7) (cid:71)
2 2
2
(cid:15)(cid:266)(cid:383)(cid:397)(cid:398)(cid:20)
(1)(cid:231)(cid:286)(cid:392)(cid:393)(cid:231)(cid:194)(cid:27)(cid:69)(cid:275)(cid:114)4+2 3(cid:44)(cid:128)(cid:175)(1+ ) (cid:56)(cid:121) =__________(cid:56) 4+2 3=__________(cid:71)
2
𝑥 𝑥
(2)(cid:192)(cid:271)(cid:111)(cid:231)(cid:194)(cid:27)(cid:69)(cid:275)(cid:44)(cid:45) 3(cid:71)
(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:20)(1)3(cid:82) 3+1 7−4
(2) 3
(cid:15)(cid:138)2−(cid:139)(cid:20)(cid:102)(cid:21)(cid:173)(cid:174)(cid:140)(cid:141)(cid:175)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:39)(cid:232)(cid:108)(cid:272)(cid:273)(cid:98)(cid:69)(cid:7)(cid:26)(cid:27)(cid:399)(cid:111)(cid:56)(cid:146)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:147)(cid:326)(cid:100)(cid:182)(cid:400)(cid:401)(cid:183)(cid:289)(cid:290)(cid:21)(cid:31)(cid:71)
(cid:62)1(cid:63)(cid:114)4(cid:402)(cid:128)(cid:83)1+3(cid:56)(cid:121)2 3=2×1× 3(cid:56)(cid:196)(cid:162)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:82)
(cid:62)2(cid:63)(cid:114)7(cid:402)(cid:128)(cid:83)4+3(cid:56)(cid:121)4 3=2×2× 3(cid:56)(cid:196)(cid:162)(cid:46)(cid:146)(cid:95)(cid:84)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:146)(cid:20)(cid:62)1(cid:63)(cid:146)(cid:10)4+2 3=(3+1)+2 1×3
=( 3) +1 +2×1× 3
2
2
=( 3+1) (cid:56)
2
=3(cid:82)
科AA+
全
∴𝑥 号★
4+2 3= ( 3+1) = 3+公1(cid:82)众
注
关
源
，2
资
辅
∴ 教
(cid:62)2(cid:63)(cid:146)(cid:10) 3
7−4= 4+ 3
3−4
= 2 +( 3) ×2× 3
2
2
−2
= ( 3)
2
= 2−3(cid:71)
2−
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
