专题1.3矩形的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(北师大)

专题 1.3 矩形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)........................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:20)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:20)..........................................................................................................................14
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:20)..........................................................................................................................................21
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:20)..........................................................................................................................................25
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:20)..........................................................................................................................................29
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:20)..................................................................................................................................33
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:25)(cid:26)(cid:51)(cid:27)(cid:52)(cid:53)(cid:20)......................................................................................................................................39
(cid:15)(cid:21)(cid:22)10 (cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:20)................................................................................................................43
知识点1 矩形的定义
1. (cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:31)(cid:62)(cid:54)(cid:31)(cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:26)(cid:66)(cid:67)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:69)(cid:70)(cid:27)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:57)(cid:26)(cid:71)
2. (cid:72)(cid:11)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79) ABCD(cid:51)(cid:68)(cid:80) (cid:68)(cid:81) ABCD(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:71)
▱ 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷 ▱
知识点2 矩形的性质
图示 性质 数学语言描述
对边(cid:63)(cid:64) AB CD，AD BC
边
对边(cid:82)(cid:45) = ∥ (cid:68) ∥ =
角 四个角都是(cid:54)(cid:31) = 𝐴𝐵 =𝐶𝐷 𝐴𝐷= 𝐵𝐶 =90°
(cid:83)(cid:31)(cid:33) 对角线(cid:82)(cid:45)(cid:84)(cid:85)(cid:82)(cid:63)(cid:47) ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶(cid:68)𝐷 ∠ = 𝐶𝐷𝐴 = ∠𝐷𝐴 = 𝐵
轴对称图形，(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:27)(cid:86)𝐴(cid:87)𝐶是它𝐵𝐷的对𝑂称𝐴轴，𝑂𝐶共有𝑂两𝐵条 𝑂𝐷
对称性
中心对称图形，对称中心是(cid:88)(cid:89)(cid:83)(cid:31)(cid:33)7的交点
知识点3 直角三角形的性质定理1. (cid:90)(cid:91)(cid:10)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:71)
2. (cid:72)(cid:11)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)Rt (cid:51)(cid:68) =90°(cid:68)D(cid:94)AC (cid:27)(cid:51)(cid:87),(cid:81) = 1 (cid:71)
2
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶
3. (cid:90)(cid:91)(cid:27)(cid:95)(cid:96)(cid:21)(cid:10)(cid:77)(cid:97)(cid:60)(cid:61)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:60)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:98)(cid:89)(cid:57)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:68)(cid:99)(cid:100)(cid:98)(cid:61)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:62)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:71)
(cid:79) (cid:51)(cid:68)(cid:80) = 1 (cid:68)(cid:84)D(cid:94)AC(cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:81) (cid:94)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:71)
2
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶
【题型1 利用矩形的性质求角度】
(cid:15)(cid:101)1(cid:20)(cid:102)2025·(cid:103)(cid:16)(cid:104)(cid:105)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:11)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:113)(cid:114)(cid:72)(cid:11)(cid:115)(cid:21)(cid:68)(cid:116)(cid:117)(cid:77)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:10)(cid:102)1(cid:110)(cid:123)(cid:87)
B(cid:94)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:123)(cid:57) (cid:35)(cid:94)(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:86) (cid:92)(cid:87)E(cid:130)(cid:102)2(cid:110) 𝐴 (cid:47) 𝐵𝐶 (cid:131) 𝐷 (cid:123)(cid:87)C(cid:68)E(cid:94)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:123)(cid:18)(cid:92) 1 (cid:35)(cid:94)(cid:93)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:68)(cid:88)
2
(cid:129)(cid:86)(cid:92)(cid:87)F(cid:130)(cid:102)3 𝐵(cid:110)𝐶(cid:122)(cid:132)(cid:33) (cid:47)(cid:131)(cid:86)𝐵(cid:57)𝐷 (cid:68)(cid:57) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:92)(cid:87)G(cid:68)H(cid:71) (cid:80) =44 𝐶 ° 𝐸(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:18)(cid:134)(cid:62)
(cid:102) (cid:110) 𝐵𝐹 𝐶𝐷 𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐷𝐺𝐻
A(cid:71)60° B(cid:71)66° C(cid:71)68° D(cid:71)70°
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:138)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:122)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:148) = =44°(cid:68)(cid:149)(cid:145)(cid:146)(cid:143)
(cid:144)(cid:122)(cid:78)(cid:147)(cid:148) =22°(cid:68)(cid:149)(cid:145)(cid:146)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:150)(cid:31)(cid:142)(cid:90)(cid:91)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71) ∠𝐷𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)∠(cid:10)𝐶𝐵(cid:65)𝐺(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
=∵90°(cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶=,∠𝐶 =44°(cid:68)
(cid:145) ∴∠ (cid:146) 𝐷𝐵 (cid:122) 𝐶 (cid:78)(cid:152) ∠ (cid:147) 𝐴𝐷𝐵 = 1 =22°(cid:68)
2
∠𝐶𝐵𝐺 ∠𝐷𝐵𝐶
= = = =68°(cid:68)
∴(cid:155)∠(cid:156)𝐷𝐺(cid:10)𝐻C(cid:71)∠𝐶𝐺𝐵 90°−∠𝐶𝐵𝐺 90°−22°
(cid:15)(cid:157)(cid:158)1-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:133)(cid:35)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:57) (cid:167)(cid:87) (cid:68)(cid:168) = (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)
(cid:77)(cid:97) =40°(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:32)(cid:72)(cid:62)(cid:102) (cid:110) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐶𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐸
∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐸A(cid:71)45° B(cid:71)30° C(cid:71)20° D(cid:71)15°
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:71)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) = (cid:126) = = (cid:68)(cid:175) = (cid:68)
(cid:176) = =40°(cid:68)(cid:152)(cid:147) (cid:32)(cid:72)(cid:71)𝐴𝐶 ∠𝐸 ∠𝐷𝐴𝐸 𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐶𝐸 ∠𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸
(cid:15)∠(cid:154)𝐴(cid:153)𝐷𝐵(cid:20)(cid:153)∠(cid:10)𝐶(cid:169)𝐴𝐷(cid:170) (cid:68) ∠𝐸
𝐴𝐶
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷 = (cid:68)(cid:84) = =40°(cid:68)
∴𝐴𝐷∥=𝐵𝐸 𝐴(cid:68)𝐶 𝐵𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷
(cid:177)∴∠𝐸 ∠=𝐷𝐴𝐸(cid:68)
∵𝐵=𝐷 𝐶(cid:68)𝐸
∴𝐶𝐸 =𝐶𝐴 (cid:68)
∴∠𝐸 ∠=𝐶𝐴𝐸 + (cid:68)
∵∠𝐶𝐴+𝐷 ∠=𝐶4𝐴0𝐸°(cid:68)(cid:151)∠𝐷𝐴𝐸=20°(cid:71)
(cid:155)∴(cid:156)∠𝐸(cid:10)C∠(cid:71)𝐸 ∠𝐸
(cid:15)(cid:157)(cid:158)1-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:63)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:68) (cid:82)(cid:86)(cid:92)(cid:87)O(cid:68)
(cid:181)(cid:87)O(cid:122) (cid:27)(cid:182)(cid:33)(cid:86) (cid:92)(cid:87)F(cid:68) (cid:80) =34°(cid:68)(cid:81) (cid:27)𝐴(cid:32)𝐵(cid:72)𝐶𝐷(cid:94)(cid:102) (cid:110) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐵𝐷 𝐵𝐶 ∠𝐹𝑂𝐶 ∠𝐹𝐵𝑂
A(cid:71)28° B(cid:71)30° C(cid:71)34° D(cid:71)36°
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)A
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:21)(cid:183)(cid:152)(cid:147) =124°(cid:68)(cid:149)(cid:184)(cid:181)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) = (cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:135)(cid:68)
∠𝐵𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:181)(cid:87)O(cid:122) (cid:27)(cid:182)(cid:33)(cid:86) (cid:92)(cid:87)F(cid:68) =34°(cid:68)
=90°∵+34°=12𝐵4𝐷°(cid:68) 𝐵𝐶 ∠𝐹𝑂𝐶
∴∠(cid:65)𝐵(cid:57)𝑂𝐶(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵 (cid:68) 𝐶𝐷1 = 1 (cid:68)
2 2
(cid:151)∴𝐴𝐶
=
𝐵𝐷(cid:68) 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝑂𝐵 𝑂𝐶
= =28°(cid:68)
2
180°−124°
∴∠𝐹𝐵𝑂
(cid:155)(cid:156)(cid:10)A(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)1-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:58)(cid:189)(cid:190)(cid:191)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68)(cid:87) (cid:94)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:27)(cid:86)(cid:87)(cid:68) =120°(cid:68)
(cid:63)(cid:47) (cid:86) (cid:92)(cid:87)E(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:32)(cid:72)(cid:62) (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 ∠𝐴𝑂𝐷
𝐴(cid:15)𝐸(cid:135)(cid:136)(cid:20)∠𝐵30𝐴°𝐷/30𝐵(cid:32)𝐶 ∠𝐴𝐸𝑂
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:57)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:195)(cid:148) (cid:94)(cid:45)(cid:57)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
(cid:147)(cid:196) = (cid:68) =60°(cid:68)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:30)(cid:148) =45°(cid:68)(cid:147)(cid:196) = (cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:147)(cid:196)△𝐴𝑂=𝐵 (cid:68)(cid:45)(cid:57)(cid:83)(cid:45)(cid:31)
(cid:198)(cid:199)𝐴(cid:31)𝐵(cid:27)(cid:142)𝑂(cid:200)𝐵(cid:3)∠(cid:201)𝐴(cid:68)𝐵𝑂(cid:30)(cid:148) (cid:27)(cid:32)(cid:72)(cid:151)(cid:152)(cid:71)∠𝐵𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝑂𝐵 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:65)(cid:57)(cid:26) ∠𝐴(cid:62)𝐸𝑂(cid:25)(cid:26)(cid:68)
= = ∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷 = =90°(cid:68)
∴𝑂𝐴 𝑂=𝐵120𝑂°𝐶(cid:68) 𝑂𝐷,∠𝐵𝐴𝐷 90°,∠𝐴𝐵𝐶
∵∠𝐴𝑂𝐷=60°(cid:68)
∴∠𝐴𝑂𝐵 (cid:94)(cid:45)(cid:57)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
∴△𝐴𝑂𝐵=60°(cid:68) = (cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝑂= 𝐴𝐵 𝑂𝐵=30°(cid:68)
∴∠𝑂(cid:63)𝐵𝐸(cid:47) ∠𝐴𝐵𝐶(cid:86)−∠𝐴(cid:92)𝐵(cid:87)𝑂 E(cid:68)
∵𝐴𝐸
=
∠1𝐵𝐴𝐷 𝐵
=
𝐶
45°(cid:68)
2
∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:94)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
∴△𝐴=𝐵𝐸 =45°(cid:68)
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐸,(cid:68)∠𝐵𝐸𝐴
∴𝑂𝐵 𝐵
=
𝐸1
( )=75°(cid:68)
2
∴∠𝐵𝐸𝑂 180°−∠𝑂𝐵𝐸
= =30°(cid:130)
∴∠𝐴𝐸𝑂 ∠𝐵𝐸𝑂−∠𝐴𝐸𝐵(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)30°(cid:71)
【题型2 利用矩形的性质求线段长】
(cid:15)(cid:101)2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:87)F(cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:84)
= (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:86)(cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:92)(cid:87) (cid:68) = =3(cid:68)(cid:169)𝐴𝐵(cid:170)𝐶𝐷 (cid:68)(cid:80) 𝐸=𝐴𝐷(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:35)(cid:94)𝐵 𝐶 (cid:71)
𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐵𝐷 𝑂 𝐵𝐷 5,𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐹 𝐸𝐹
15
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)
4
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)(cid:57)(cid:60)(cid:93)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)
(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:27)(cid:187)(cid:24)(cid:68)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)
(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:147) =4(cid:68)(cid:152)(cid:38) ( )(cid:68)(cid:147)(cid:196) = = (cid:68)(cid:81)(cid:87) (cid:62)(cid:33)
(cid:34) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:174)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)
𝐵𝐶
(cid:57)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)
△
(cid:57)
𝐵
(cid:60)
𝐹𝑂
(cid:93)
≌
(cid:147)
△
(cid:196)
𝐷𝐸𝑂
=
𝐴1𝐴𝑆
(cid:68)(cid:211)
𝐸𝑂
=
𝐹𝑂
=
,𝐷𝑂
(cid:68)(cid:81)
𝐵𝑂 𝑂
2
𝐵𝐷,𝐸𝐹 𝑂𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐹 𝐷𝐸 𝑥
7 25
= = (cid:68)(cid:79) (cid:51)(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:196) = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:21)(cid:183)(cid:152)(cid:147) (cid:62)(cid:45)(cid:46)(cid:55)
8 8
𝐶𝐹 𝐵𝐶−𝐵𝐹 4−𝑥 𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸 𝐵𝐹 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
15
(cid:31)(cid:26)(cid:68) (cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:196) = (cid:68)(cid:174) = (cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71)
8
(cid:15)(cid:154)(cid:153)𝐶(cid:20)𝑂(cid:153)⊥(cid:10)𝐸𝐹(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)𝑂(cid:68)𝐹 𝐸𝐹 2𝑂𝐹
(cid:68) ∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷=90°(cid:68)
∴𝐴𝐷=∥𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 =∠𝐶5𝐷𝐴 3 =4(cid:68)
2 2 2 2
∴𝐵𝐶 𝐵(cid:68)𝐷 −𝐶𝐷 −
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:68)
(cid:177)∴∠𝐸𝐷𝑂 =∠𝐹𝐵𝑂 = (cid:68)
∵∠𝐷𝑂𝐸 ∠𝐵𝑂𝐹(,A𝐵A𝐹S)(cid:68)𝐷𝐸
∴△𝐵𝐹𝑂≌△𝐷𝐸𝑂= = (cid:68)
∴(cid:87)𝐸𝑂 (cid:62)𝐹(cid:33)𝑂(cid:34),𝐷𝑂 𝐵𝑂(cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)
∴(cid:77)(cid:78)𝑂(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:169)𝐵𝐷(cid:170),𝐸𝐹(cid:68)
𝑂𝐶
= 1 = 5 (cid:68)
2 2
(cid:211)∴𝑂𝐶 = 𝐵𝐷 = (cid:68)(cid:81) = = (cid:68)
𝐵𝐹= 𝐷𝐸(cid:68) 𝑥 𝐶𝐹 𝐵𝐶−𝐵𝐹 4−𝑥
∵𝐶𝐸=𝐶𝐹 (cid:68)
∴(cid:79)𝐶R𝐸t 4−𝑥(cid:51)(cid:68) = = =3(cid:68)
△=𝐶𝐷𝐸 + 𝐷𝐸(cid:68)(cid:151)𝑥(,𝐶𝐸 )4−=𝑥,𝐶𝐷+3 (cid:68)
2 2 2 2 2 2
∴𝐶𝐸 𝐷𝐸7 𝐶𝐷 4−𝑥 𝑥
(cid:153)(cid:147)(cid:68) = (cid:68)
8
𝑥
= 7 (cid:68)(cid:81) = 7 = 25 (cid:68)
8 8 8
∴𝐵𝐹
=
𝐶𝐹
=
4(cid:68)−
∵𝐸𝑂 𝐹(cid:62)𝑂,𝐶(cid:45)𝐸(cid:46)(cid:55)𝐶(cid:31)𝐹(cid:26)(cid:68) (cid:68)
∴ (cid:79) △ Rt 𝐶𝐸𝐹 (cid:51)(cid:68) = 𝐶𝑂⊥𝐸𝐹 = 25 5 = 15 (cid:68)
8 2 2 2 8
2 2
=
△𝐶𝑂𝐹
=2×
𝑂𝐹15
=
1𝐶5𝐹
(cid:68)
−𝐶𝑂 −
8 4
∴𝐸𝐹 2𝑂𝐹
15
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10) (cid:71)
4
(cid:15)(cid:157)(cid:158)2-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:150)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:142)(cid:217)(cid:69)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) = (cid:68)(cid:87) (cid:62)(cid:83)(cid:31)(cid:33)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 𝑂 𝐴𝐶
(cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:218) (cid:219)AC(cid:220)(cid:40)(cid:68)(cid:147)(cid:196) (cid:68)(cid:221)(cid:51)(cid:68) (cid:42) (cid:82)(cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:81) (cid:94)(cid:102) (cid:110)
𝑂𝐹
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐷 𝐶𝐸 𝐹 𝑂𝐹 𝐷𝐹3 5 5
A(cid:71) B(cid:71)1 C(cid:71) D(cid:71)
4 3 5
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:194)(cid:90)(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:123)
(cid:58)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:211) = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:198)(cid:199) = (cid:68)(cid:147)(cid:148) = = (cid:68)(cid:79)Rt (cid:51)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)
(cid:148) = 5 (cid:68)(cid:81)
𝐴𝐵
=
5𝑎
(cid:68)(cid:145)
𝐶
(cid:146)
𝐷
(cid:40)(cid:41)
𝑎
(cid:152)(cid:147)(cid:10)
𝐵𝐶
=
2𝐴𝐵
=
𝐵
=
𝐶 2
=
𝑎 𝐴𝐷
=
△𝐴𝐵𝐶
= (cid:68)(cid:38)(cid:148)
2
𝐴 = 𝐶 (cid:68)𝑎(cid:145)(cid:146)(cid:45)𝑂(cid:46)𝐶(cid:55)(cid:31)(cid:26)𝑎 (cid:55)(cid:33)(cid:199)(cid:60)(cid:147)(cid:148) 𝐴𝐸 (cid:68)𝐴(cid:211)𝐵 𝑎 = ,𝐶𝐸(cid:68)(cid:81)𝐵𝐶 = 2𝑎,∠𝐸 = ∠𝐵,∠𝐵𝐶 = 𝐴 ∠𝐸(cid:68)𝐶𝐴
𝐹𝐶
=
𝐹𝐴
= ( )= (cid:68)(cid:79)Rt
𝐹𝑂⊥
(cid:51)
𝐴𝐶
(cid:68)(cid:145)(cid:146)
𝐷
(cid:207)
𝐹
(cid:208)
𝑥
(cid:90)(cid:91)(cid:147)
𝐶
(cid:148)
𝐹
=
𝐴𝐹3
(cid:68)
𝐴
(cid:79)
𝐷
R
−
t
𝐷𝐹 2𝑎
(cid:51)
−
(cid:68)
𝑥
(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)
4
𝐸𝐹 𝐶𝐸−𝐶𝐹 2𝑎− 2𝑎−𝑥 𝑥 △𝐴𝐸𝐹 𝑥 𝑎 △𝑂𝐹𝐶
(cid:148) = 5 (cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71)
4
(cid:15)(cid:154)𝑂𝐹(cid:153)(cid:20)(cid:153)𝑎(cid:10)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) = = = = = = (cid:68)
= (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,𝐴𝐵 𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐵𝐶,∠𝐷 ∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 90°,𝐴𝑂 𝐶𝑂
∴(cid:211)∠𝐵𝐶𝐴= (cid:68)∠𝐷(cid:81)𝐴𝐶 = (cid:68)
𝐴𝐵= 𝑎 (cid:68)𝐶𝐷 𝑎
∵𝐵𝐶=2𝐴𝐵= = (cid:68)
(cid:79)∴𝐵R𝐶t 2𝐴𝐵(cid:51)(cid:68)2𝑎 =𝐴𝐷 + = +2 = 5 (cid:68)
2 2 2 2
(cid:87) △(cid:62)𝐴(cid:83)𝐵(cid:31)𝐶(cid:33) 𝐴(cid:27)𝐶(cid:51)(cid:87)𝐴(cid:68)𝐵 𝐵𝐶 𝑎 𝑎 𝑎
∵ 𝑂 = 1 = 𝐴5𝐶 (cid:68)
2 2
∴(cid:145)𝑂(cid:146)𝐶(cid:40)(cid:41)𝐴(cid:152)𝐶(cid:147)(cid:10)𝑎 = = = = = = (cid:68)
= (cid:68)𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝑎,𝐶𝐸 𝐵𝐶 2𝑎,∠𝐸 ∠𝐵,∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐸𝐶𝐴
∴∠𝐷𝐴=𝐶 (cid:68)∠𝐸𝐶𝐴
∴(cid:87)𝐹𝐶 (cid:62)𝐹(cid:83)𝐴(cid:31)(cid:33) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68) = (cid:68)
∵ 𝑂 (cid:68) 𝐴𝐶 𝐹𝐶 𝐹𝐴
∴(cid:211)𝐹𝑂⊥=𝐴𝐶(cid:68)(cid:81) = = = (cid:68) = = ( )= (cid:68)
(cid:79)𝐷Rt𝐹 𝑥 (cid:51)(cid:68)𝐶𝐹 𝐴+𝐹 𝐴𝐷=−𝐷𝐹(cid:68)2𝑎−𝑥 𝐸𝐹 𝐶𝐸−𝐶𝐹 2𝑎− 2𝑎−𝑥 𝑥
2 2 2
(cid:81) △+𝐴𝐸𝐹=( 𝐴𝐸) (cid:68)𝐸𝐹 𝐴𝐹
2 2 2
(cid:153)(cid:147) 𝑎 (cid:10) 𝑥 = 3 (cid:68) 2𝑎−𝑥
4
𝑥 𝑎
(cid:79)Rt (cid:51)(cid:68) = = ( ) 5 = 5 5 = 5 (cid:68)
2 2 4 2 2 2 4
2 2 2
△𝑂𝐹𝐶 𝑂𝐹 𝐹𝐶 −𝑂𝐶 2𝑎−𝑥 − 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎5 5
(cid:81) = 4 = (cid:71)
𝑎 3
𝑂𝐹 4
3𝑎
𝐷𝐹
(cid:155)(cid:156)(cid:10)C
(cid:15)(cid:157)(cid:158)2-2(cid:20)(cid:102)2025·(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:180)·(cid:55)(cid:106)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =5(cid:68) (cid:63)(cid:47) (cid:86) (cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)
1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶 𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐸
(cid:86) (cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:80) = (cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:35)(cid:32)(cid:94) (cid:71)
2
𝐷𝐹
𝐸𝐹⊥𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐵
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)3
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:68)(cid:226)(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:45)
(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:228)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:196)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:32)(cid:227)(cid:54)(cid:31)(cid:68)(cid:149)(cid:174)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:28)(cid:29)(cid:227)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:229)(cid:90) (cid:62)(cid:45)(cid:46)
(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)(cid:230)(cid:176)(cid:147)(cid:196) = =6(cid:68)(cid:79)Rt (cid:51)(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147) (cid:27)(cid:35)(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:68)(cid:185)△(cid:186)𝐷𝐶(cid:209)𝐸(cid:210)(cid:82)(cid:3)
(cid:231)(cid:232)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:233)(cid:234)(cid:187)(cid:24)(cid:207)𝐶(cid:208)𝐷(cid:90)(cid:91)𝐶(cid:30)𝐸(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:62)(cid:153)△(cid:235)𝐴(cid:115)𝐵(cid:21)𝐸(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71) 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:211) = (cid:68)(cid:81) = (cid:68) = (cid:71)
(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)𝐷(cid:68)𝐹 𝑥 (cid:68)𝐶𝐹 2𝑥 𝐶𝐷 3𝑥
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:68) 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐸𝐶(cid:68)
∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸(cid:68)
∴∠𝐷𝐸=𝐶 ∠=𝐶𝐷𝐸= (cid:71)
∴𝐶𝐷 =𝐶𝐸 =𝐴90𝐵 (cid:68)3𝑥
∘
∵∠𝐵 ∠+𝐶 =90°(cid:71)
∴∠𝐵𝐴𝐸 (cid:68)∠𝐴𝐸𝐵
∵𝐴𝐸⊥𝐸+𝐹 =90°(cid:68)
∴∠𝐶𝐸𝐹 =∠𝐴𝐸𝐵(cid:71)
∴∠𝐵𝐴=𝐸 ∠=𝐶𝐸90𝐹°(cid:68)
∵∠𝐵 ∠𝐶 AAS)(cid:68)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌=△𝐸𝐶(cid:68)𝐹(
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹+ 2𝑥 = = =5(cid:68)
∴𝐵𝐶=1(cid:68)𝐵𝐸 𝐶𝐸 5𝑥 𝐴𝐷
∴𝑥= =3(cid:71)
∴(cid:155)𝐶(cid:135)𝐷(cid:136)(cid:94)𝐴𝐵3(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)2-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:236)(cid:162)(cid:237)(cid:238)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =30(cid:68) =40(cid:68)(cid:87)E(cid:79)(cid:83)(cid:31)(cid:33)
(cid:58)(cid:102)(cid:239)(cid:42)(cid:87)A(cid:68)C(cid:240)(cid:199)(cid:110)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:71)(cid:80) = (cid:68)(cid:81)𝐴𝐵𝐶(cid:27)𝐷(cid:35)(cid:94)𝐴 𝐵 (cid:71) 𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐸𝐶 2∠𝐵𝐶𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)11
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:169)(cid:170) (cid:86) (cid:92)O(cid:68)(cid:122) (cid:92)(cid:87)F(cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91) =50(cid:68) = = =25(cid:68)
(cid:23)(cid:24)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:45)𝐵(cid:36)𝐷(cid:37)(cid:187)𝐴𝐶(cid:241)(cid:30)(cid:147) =𝐵𝐹2⊥4(cid:68)𝐴𝐶(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:147) =7(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:55)(cid:31)𝐴𝐶(cid:26)(cid:27)(cid:242)(cid:31)𝑂(cid:28)𝐴(cid:29)(cid:142)𝑂(cid:45)𝐶(cid:46)(cid:55)𝑂𝐵(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)
(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:147) = 𝐵=𝐹7(cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71) 𝑂𝐹
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)𝐸(cid:212)𝐹(cid:213)(cid:68)𝑂(cid:169)𝐹(cid:170) (cid:86) (cid:92)O(cid:68)(cid:122) (cid:92)(cid:87)F(cid:68)
𝐵𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝐶
(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =30(cid:68) =40(cid:68) = = (cid:68)
∵ 𝐴=𝐵𝐶90𝐷°(cid:68)(cid:81)𝐴𝐵 = 𝐵𝐶+ =𝑂50𝐵(cid:68) 𝑂𝐴 𝑂𝐶
2 2
∴∠𝐴𝐵=𝐶 = =𝐴2𝐶5(cid:68) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:174) ∴𝑂𝐵 𝑂 = 𝐴1 𝑂𝐶 = 1 (cid:147) = = 30×40 =24(cid:68)
2 2 50
𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶⋅𝐵𝐹 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 𝐵𝐹 𝐴𝐶
= = 25 24 =7(cid:68)
2 2 2 2
∴𝑂𝐹 = 𝑂(cid:68)𝐵 −𝐵𝐹 −
∵𝑂𝐵 𝑂=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐶𝐵𝑂 =∠𝐵𝐶𝐸 (cid:68)(cid:177) = (cid:68)
∴∠𝐵𝑂𝐸= 2∠𝐵𝐶𝐸(cid:68) ∠𝐵𝐸𝐶 2∠𝐵𝐶𝐸
∴∠𝐵𝐸=𝐶 ∠(cid:68)𝐵𝑂𝐸
∴𝐵𝑂= 𝐵𝐸=7(cid:68)
∴𝐸𝐹 =𝑂𝐹 = =11(cid:68)
∴𝐴𝐸 𝑂𝐴−𝑂𝐹−𝐸𝐹 25−7−7(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)11(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:242)(cid:31)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:244)(cid:245)(cid:54)
(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:62)(cid:153)(cid:246)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
【题型3 利用矩形的性质求面积】
(cid:15)(cid:101)3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:225)(cid:223)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =5(cid:68) =12(cid:68)E(cid:62) (cid:57)(cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:68)
(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:219) (cid:220)(cid:40) (cid:68)(cid:147)(cid:196) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:71)(cid:247) 𝐴(cid:35)𝐵𝐶(cid:32)𝐷(cid:52)(cid:134)(cid:248)𝐴𝐷(cid:68) 𝐶𝐷(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:62)(cid:102) 𝐶(cid:110)𝐷
𝐴𝐸 𝐴𝐸 △𝐴𝐷𝐸 △𝐴𝐹𝐸 𝐶𝐹 𝐶𝐹 △𝐶𝐸𝐹
5 40 3
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)20
4 3 2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)B
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:196) = (cid:68) = (cid:68)(cid:247)(cid:87) (cid:126) (cid:126) (cid:55)(cid:87)(cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68) + (cid:52)
(cid:134)(cid:68)(cid:246)(cid:248) (cid:27)𝐴(cid:52)𝐶(cid:134)(cid:53)= + = 𝐴(cid:68)𝐹(cid:145)(cid:146)𝐴𝐷(cid:207)(cid:208)𝐷(cid:90)𝐸 (cid:91)𝐸(cid:147)𝐹(cid:196) =𝐴 𝐹 +𝐶 =13(cid:68)(cid:147)𝐴(cid:196)𝐹 𝐶(cid:35)𝐹(cid:32)
2 2
𝐶𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐹−𝐴𝐹 𝐴𝐶−𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐷 1𝐶0𝐷 𝐶𝐹
(cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)= =8(cid:68)(cid:211) = = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:196) = (cid:145)(cid:146)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:158)
3
(cid:147)(cid:196) (cid:27) 13 (cid:36) − (cid:37) 5 (cid:62) 1 × 10 𝐷 × 𝐸 8= 𝐸4𝐹0 (cid:71) 𝑥 𝐶𝐸 12−𝑥 𝐸𝐹
2 3 3
(cid:15)(cid:154)(cid:153)△(cid:20)𝐶𝐸(cid:153)𝐹(cid:10)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)
𝐴𝐶
(cid:219) (cid:220)(cid:40)(cid:167) (cid:68)
∵△𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐸 (cid:68) △𝐴𝐹𝐸
∴△𝐴𝐷=𝐸≌△(cid:68)𝐴𝐹𝐸= (cid:68)
∴𝐴𝐹+ 𝐴𝐷 𝐷𝐸(cid:68) 𝐸𝐹
∵𝐴(cid:247)𝐹(cid:87) 𝐶(cid:126)𝐹≥(cid:126)𝐴𝐶(cid:55)(cid:87)(cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68) + (cid:52)(cid:134)(cid:68)(cid:246)(cid:248) (cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)= + = (cid:68)
∴(cid:65)(cid:57)𝐴(cid:26) 𝐹 𝐶(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68) 𝐴𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐹 𝐴𝐹 𝐶𝐹−𝐴𝐹 𝐴𝐶−𝐴𝐷
∵ =9𝐴0𝐵°(cid:68)𝐶𝐷
∴∠𝐷=5(cid:68) =12(cid:68)
∵𝐴𝐷 𝐶𝐷= + =13(cid:68)
2 2
∴𝐴𝐶(cid:35)(cid:32)𝐴(cid:27)𝐷(cid:52)(cid:134)(cid:53)𝐶𝐷= =8(cid:68)
(cid:211)∴𝐶𝐹 = = (cid:68)(cid:81) 13=−5 (cid:68)
𝐷𝐸 𝐸=𝐹 𝑥=90°𝐶(cid:68)𝐸 12−𝑥
∵∠𝐴𝐹𝐸=9∠0𝐷°(cid:68)
∴∠𝐶𝐹𝐸= + (cid:68)
2 2 2
∵𝐶𝐸 𝐸𝐹= 𝐶+𝐹 8 (cid:68)
2 2 2
∴(12−𝑥) 10 𝑥
(cid:153)(cid:147)(cid:68) = (cid:68)
3
𝑥10
=
3
∴𝐸𝐹 (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:62) 1 × 10 ×8= 40 (cid:68)
2 3 3
(cid:155)∴△(cid:156)𝐶(cid:10)𝐸
B
𝐹(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:220)(cid:40)(cid:157)(cid:250)(cid:102)(cid:40)(cid:41)(cid:115)(cid:21)(cid:110)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:52)(cid:53)(cid:115)(cid:21)(cid:71)(cid:171)(cid:21)(cid:27)(cid:251)(cid:199)(cid:28)(cid:252)(cid:68)
(cid:253)(cid:92)(cid:254)(cid:255)(cid:27)(cid:51)(cid:139)(cid:256)(cid:257)(cid:21)(cid:71)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)3-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:236)(cid:162)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68) (cid:68) (cid:258)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:176)(cid:84)(cid:87) (cid:79)(cid:57) (cid:58)(cid:68)(cid:221)(cid:51)
=2(cid:68) = (cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:94) (cid:71)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐹𝐶 𝐵 𝐸𝐹
𝐴𝐵 𝐵𝐶 2𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐶
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)8
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:63)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)(cid:174) =2(cid:68)
= (cid:68)(cid:147)(cid:148) =4(cid:68)(cid:30)(cid:148) (cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:148) =2 (cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71)𝐴𝐵
矩形
𝐵(cid:15)𝐶(cid:154)(cid:153)2(cid:20)𝐴𝐵(cid:153)(cid:10) 𝐵𝐶=2(cid:68) = 𝑆△𝐴𝐵(cid:68)𝐶 𝑆 𝐴𝐸𝐹𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐶
=4(cid:68) ∵𝐴𝐵 𝐵𝐶 2𝐴𝐵
∴(cid:65)𝐵𝐶(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ =𝐴𝐵9𝐶0𝐷°(cid:68)
∴∠𝐴𝐵𝐶 = 1 =4(cid:68)
2
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ 𝐴𝐸𝐹𝐶(cid:68)
∴𝐴𝐶∥𝐸𝐹 = =2× 1 =2 =8(cid:68)
矩形
2
∴𝑆 𝐴𝐸𝐹𝐶 𝐴𝐶⋅𝐶𝐹 𝐴𝐶⋅𝐶𝐹 𝑆△𝐴𝐵𝐶
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)8(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)3-2(cid:20)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:87) (cid:62)(cid:25)(cid:26) (cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:181)(cid:87) (cid:67) (cid:68)(cid:47)(cid:131)(cid:86) (cid:68) (cid:92)(cid:87) (cid:68) (cid:68)(cid:169)(cid:170)
(cid:71)(cid:80) =2(cid:68) 𝑃=9(cid:68)(cid:81)𝐴𝐵(cid:78)𝐶(cid:51)𝐷(cid:259)(cid:260)(cid:261)𝐴(cid:47)𝐶(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:94) 𝑃(cid:71)𝐸𝐹∥𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐸 𝐹
𝑃𝐵,𝑃𝐷 𝐴𝐸 𝑃𝐹
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)18
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:181)(cid:87) (cid:122) (cid:47)(cid:131)(cid:86) (cid:126) (cid:92)(cid:87) (cid:126) (cid:68)(cid:38)(cid:39) = (cid:68)(cid:230)
四边形 四边形
(cid:176) 1 = 1 (cid:68)(cid:151) 𝑃 = 𝐺𝐻 (cid:68)(cid:30)(cid:148) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 (cid:27)(cid:53)(cid:151) 𝐺 (cid:152) 𝐻 (cid:30)(cid:148)(cid:262)(cid:61) 𝑆 (cid:259)(cid:260)(cid:261) 𝐺𝑃 (cid:47) 𝐹𝐵 (cid:27)(cid:36) 𝑆 (cid:37)(cid:68)(cid:185) 𝐸𝑃𝐻 (cid:186) 𝐷 (cid:209)(cid:210)
2 四边形 2 四边形
(cid:25)(cid:26)𝑆(cid:27)(cid:28)(cid:29) 𝐺𝑃 (cid:90) 𝐹𝐵 (cid:91)(cid:62)𝑆(cid:153)(cid:21)(cid:3) 𝐸𝑃 (cid:188) 𝐻𝐷 (cid:71) 𝑆△𝐷𝑃𝐸 𝑆△𝑃𝐹𝐵 𝑆△𝑃𝐹𝐵
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:181)(cid:87) (cid:122) (cid:47)(cid:131)(cid:86) (cid:126) (cid:92)(cid:87) (cid:126) (cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:10)
𝑃 𝐺𝐻 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐺 𝐻
(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:175)(cid:68) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)
𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝑃𝐹𝐶 𝑆△𝑃(cid:68)𝐻𝐶(cid:151)𝑆△𝐴𝐺𝑃 𝑆△=𝐴𝐸𝑃 (cid:68)
四边形 四边形
∴𝑆 1△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝑃𝐹𝐶
=
−𝑆1 △𝐴𝐺𝑃 𝑆△𝐴
(cid:68)
𝐷𝐶
(cid:151)
−𝑆△𝑃𝐻𝐶−
=
𝑆△𝐴𝐸𝑃
(cid:68)
𝑆 𝐺𝑃𝐹𝐵 𝑆 𝐸𝑃𝐻𝐷
2 四边形 2 四边形
∴ 𝑆 𝐺𝑃𝐹𝐵 𝑆 𝐸𝑃𝐻𝐷 𝑆△𝐷𝑃𝐸 𝑆△𝑃𝐹𝐵
= =2(cid:68) =9(cid:68)
∵𝐺𝑃 𝐴
=
𝐸1
×2×
𝑃
9
𝐹
=9= (cid:68)(cid:151)(cid:78)(cid:51)(cid:259)(cid:260)(cid:36)(cid:37)(cid:94) + =9+9=18(cid:68)
2
∴𝑆△𝑃𝐹𝐵 𝑆△𝐷𝑃𝐸 𝑆△𝐷𝑃𝐸 𝑆△𝑃𝐹𝐵
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)18(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)3-3(cid:20)(cid:102)22-23(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:180)(cid:263)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) (cid:94) (cid:58)(cid:264)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68) (cid:94)
(cid:51)(cid:33)(cid:68) (cid:94) (cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:84) = (cid:68) (cid:68) (cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:71)(cid:80)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)𝐷 𝐸(cid:27)𝐴(cid:36)𝐷(cid:37)(cid:94)12(cid:68)(cid:81)(cid:65)(cid:57)𝐵(cid:26)𝐸 𝐶𝐸(cid:27)𝐸(cid:36)𝐺(cid:37)(cid:94)△𝐸𝐵𝐶
𝐹 𝐵𝐸 𝐵𝐹 2𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐸𝐺 𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹𝐵𝐺𝑃(cid:102) (cid:110)
A(cid:71)2.5 B(cid:71)5 C(cid:71) 5 D(cid:71)(cid:123)(cid:58)(cid:135)(cid:136)(cid:258)(cid:239)(cid:265)(cid:229)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)A
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) =6(cid:68)(cid:145)(cid:146) (cid:94) (cid:51)(cid:33)(cid:68)(cid:152)(cid:147) = 1 =3(cid:68)
2
𝐵𝑃 𝑆△𝐸𝐵𝐶 𝐸𝐺 △𝐸𝐵𝐶 𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝐸𝐵𝐶
= (cid:68)(cid:145)(cid:146) = (cid:68)(cid:152)(cid:147) = 1 =3(cid:68) = 2 =4(cid:68) =2 (cid:68)(cid:151)(cid:59)
2 3
𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝑃𝐺𝐶 𝐵𝐹 2𝐸𝐹 𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝐸𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐹𝐶 𝑆△𝐸𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐹𝑃 𝑆△𝐸𝐹𝑃
=1(cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:152)(cid:147) =1+ (cid:68) = =1+ (cid:68) = + +
𝑆△𝐵𝐹𝐶−𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝑃𝐺𝐶
1
𝑆△𝐸𝐹𝑃 𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝑃𝐺𝐶 𝑆△𝐸𝐹𝑃 𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝐵𝐹𝑃 𝑆△𝐸𝐹𝑃
=4 +1(cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:147) = (cid:68)(cid:115)(cid:21)(cid:266)(cid:267)(cid:147)(cid:153)(cid:71)
2
𝑆(cid:15) △ (cid:154) 𝐵𝑃 (cid:153) 𝐺 (cid:20)(cid:169)𝑆△ (cid:170) 𝐸𝐹𝑃 (cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68) 𝑆△𝐸𝐹𝑃
𝐵𝑃
(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:25)(cid:26) (cid:36)(cid:37)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:68)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:94)12(cid:68)
∵△𝐸𝐵𝐶=6(cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑆△𝐸(cid:94)𝐵𝐶 (cid:51)(cid:33)(cid:68)
∵𝐸𝐺 △
=
𝐸1𝐵𝐶
=3(cid:68) = (cid:68)
2
∴𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝐸𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝑃𝐺𝐶
= (cid:68)
∵𝐵𝐹 2
=
𝐸𝐹2
=4(cid:68) =2 (cid:68)
3
∴𝑆△𝐵𝐹𝐶 𝑆△𝐸𝐵𝐶 𝑆△𝐵𝐹𝑃 𝑆△𝐸𝐹𝑃
=1(cid:68)
∴𝑆△𝐵𝐹𝐶−𝑆△𝐸𝐵𝐺=1(cid:68)
∴𝑆△𝑃𝐺𝐶−=𝑆△1𝐸+𝐹𝑃 (cid:68)
∴𝑆△𝑃𝐺𝐶 = 𝑆△𝐸=𝐹𝑃1+ (cid:68)
∴𝑆△𝐵𝑃𝐺 =𝑆△𝑃𝐺𝐶 + 𝑆△+𝐸𝐹𝑃 =4 +1(cid:68)
∴𝑆△𝐸𝐵𝐺 𝑆△𝐵𝐹𝑃 𝑆△𝐸𝐹𝑃 𝑆△𝐵𝑃𝐺 𝑆△𝐸𝐹𝑃=3(cid:68)
∵𝑆4△𝐸𝐵𝐺 +1=3(cid:68)
∴ 𝑆△𝐸𝐹𝑃 1
= (cid:68)
2
∴(cid:65)𝑆△
(cid:57)
𝐸𝐹
(cid:26)
𝑃
(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:10) = + =3 +1=2.5(cid:68)
四边形
∴(cid:155)(cid:156)(cid:10)A𝐹(cid:71)𝐵𝐺𝑃 𝑆 𝐹𝐵𝐺𝑃 𝑆△𝐹𝐵𝑃 𝑆△𝐺𝐵𝑃 𝑆△𝐸𝐹𝑃
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:51)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:147)(cid:148)S S =1(cid:68)(cid:84)(cid:45)(cid:268)(cid:27)(cid:88)(cid:61)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:36)
(cid:37)(cid:267)(cid:269)(cid:45)(cid:92)(cid:221)(cid:270)(cid:267)(cid:269)(cid:68)(cid:62)(cid:153)(cid:135)(cid:171)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71) △BFC− △EBG
【题型4 利用矩形的性质证明】
(cid:15)(cid:101)4(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:240)(cid:271)(cid:272)(cid:16)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) (cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:68) (cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:71)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐸 𝐴𝐷 𝐸𝐶
(1)(cid:77)(cid:78)1(cid:68)(cid:80) =45°(cid:68) = (cid:68) =1(cid:68)(cid:30) (cid:130)
(2)(cid:77)(cid:78)2(cid:68) ∠𝐷𝐶𝐸(cid:68) = 𝐵𝐶(cid:68)(cid:169)𝐶(cid:170)𝐸 𝐶(cid:86)𝐷 (cid:92) (cid:68)𝐵(cid:247)𝐷 (cid:94) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:248)(cid:68)(cid:30)(cid:38)(cid:10) = (cid:71)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(1)𝐶𝐹3⊥𝐸𝐶 𝐶𝐹 𝐶𝐷 𝐵𝐹 𝐸𝐶 𝐻 𝐻 𝐵𝐹 𝐷𝐸 2𝐻𝐶
(2)(cid:38)(cid:39)(cid:255)(cid:153)(cid:137)
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:102)1(cid:110)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147) = =90°(cid:68)(cid:273)(cid:94) =45°(cid:68)(cid:212)(cid:123) = =45°(cid:68)(cid:81)
= =1(cid:68)(cid:212)(cid:123) = =∠𝐴𝐷𝐶 +∠𝐵𝐶𝐷= 2 = 2(cid:68)∠𝐷(cid:30)𝐶(cid:147)𝐸 = +∠𝐷𝐸𝐶 =∠𝐷3(cid:130)𝐶𝐸
2 2 2 2
𝐸(cid:102)𝐷2(cid:110)(cid:122)𝐶𝐷 (cid:92)(cid:87)𝐵𝐶(cid:68)(cid:81)𝐶𝐸 𝐸=𝐷 𝐶𝐷=90°(cid:68)𝐵(cid:174)𝐷 (cid:68)(cid:147)𝐵𝐷 =𝐵𝐶 𝐶=𝐷90°(cid:68)(cid:174) (cid:68)(cid:147)
=𝐵𝑃⊥𝐶(cid:68)𝐸 (cid:176) 𝑃 = ∠𝐶(cid:68)𝐷𝐸 ∠𝐵=𝑃𝐶 (cid:68)(cid:152)(cid:145)𝐶(cid:146)𝐹“⊥AA𝐸S𝐶”(cid:38)(cid:39)∠𝐹𝐶𝐻 ∠𝐵𝑃𝐻 (cid:68)(cid:147) =𝐴𝐷∥(cid:68)𝐶𝐵
∠𝐷𝐸=𝐶 ∠(cid:68)𝑃(cid:273)𝐶𝐵(cid:94) 𝐹=𝐻 (cid:68)𝐵𝐻(cid:212)(cid:123)∠𝐶𝐻=𝐹 ∠(cid:68)𝑃𝐻(cid:152)𝐵(cid:145)(cid:146)“AAS”(cid:38)(cid:39) △𝐶𝐻𝐹≌△(cid:68)𝑃(cid:81)𝐻𝐵 =𝐶𝐹 =𝑃𝐵 (cid:71)
𝐻(cid:15)𝐶(cid:154)(cid:153)𝐻(cid:20)𝑃(cid:102)1(cid:110)(cid:153)𝐶(cid:10)𝐹 𝐶(cid:65)𝐷(cid:57)(cid:26) 𝐶𝐷(cid:62)(cid:25)𝑃𝐵(cid:26)(cid:68) △𝐷𝐸𝐶≌△𝑃𝐶𝐵 𝐷𝐸 𝑃𝐶 2𝐻𝐶
= =∵90°(cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐷𝐶=4∠5𝐵°𝐶(cid:68)𝐷
∵∠𝐷𝐶𝐸= =45°(cid:68)
∴∠𝐷𝐸=𝐶 ∠=𝐷1𝐶(cid:68)𝐸
∴𝐸𝐷 𝐶𝐷= = + = 2 = 2(cid:68)
2 2
∴𝐵𝐶 𝐶𝐸 𝐸𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐷
= + = ( 2) +1 = 3(cid:68)
2
2 2 2
∴𝐵𝐷(cid:27)(cid:35)𝐵(cid:62)𝐶 3(cid:130)𝐶𝐷
(cid:102)∴2𝐵(cid:110)𝐷(cid:38)(cid:39)(cid:10)(cid:77)(cid:78)2(cid:68)(cid:122) (cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:81) = =90°(cid:68)
𝐵𝑃⊥𝐶𝐸 𝑃 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐵𝑃𝐶
(cid:68)
= =90°(cid:68)
∵𝐶𝐹⊥𝐸𝐶
∴∠𝐹𝐶𝐻 (cid:68)∠𝐵𝑃𝐻
∵𝐴𝐷∥𝐶𝐵= (cid:68)
∴∠𝐷(cid:94)𝐸𝐶 (cid:27)∠(cid:51)𝑃(cid:87)𝐶𝐵(cid:68)
∵𝐻 =𝐵𝐹 (cid:68)
(cid:79)∴𝐹𝐻 𝐵(cid:142)𝐻 (cid:51)(cid:68)
△𝐶𝐻=𝐹 △𝑃𝐻𝐵
= (cid:68)
∠𝐶𝐻𝐹 =∠𝑃𝐻𝐵
∠𝐹𝐶𝐻 ∠𝐵𝑃𝐻
𝐹𝐻 𝐵𝐻 AAS)(cid:68)
∴ △=𝐶𝐻𝐹≌(cid:68)△𝑃𝐻=𝐵( (cid:68)
∴𝐶𝐹 =𝑃𝐵 (cid:68)𝐻𝐶 𝐻𝑃
∴𝑃𝐶= 2𝐻(cid:68)𝐶
∵𝐶𝐹 =𝐶𝐷(cid:68)
(cid:79)∴𝐶𝐷 𝑃(cid:142)𝐵 (cid:51)(cid:68)
△𝐷𝐸=𝐶 △𝑃𝐶𝐵
= (cid:68)
∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝑃𝐶𝐵
∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐵𝑃𝐶
𝐶𝐷 𝐵𝑃 AAS)(cid:68)
∴ △=𝐷𝐸𝐶≌(cid:68)△𝑃𝐶𝐵(
∴𝐷𝐸=𝑃𝐶 (cid:71)
∴𝐷𝐸 2𝐻𝐶(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:246)(cid:21)(cid:240)(cid:87)(cid:139)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:126)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)
(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:265)(cid:229)(cid:274)(cid:122)(cid:148)(cid:275)(cid:276)(cid:33)(cid:244)(cid:245)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)4-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:190)(cid:238)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:68) (cid:63)(cid:47)
(cid:84) = (cid:68) (cid:68)(cid:182)(cid:277)(cid:94)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷
𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐷𝐸⊥𝐴𝐹 𝐸 𝐷𝐹 𝐸𝐶
(1)(cid:30)(cid:38)(cid:10) = (cid:130)
(2)(cid:30)(cid:38)(cid:10)∠𝐴𝐹(cid:182)𝐷(cid:54)(cid:84)∠(cid:63)𝐶𝐹(cid:47)𝐷 (cid:71)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(𝐷1)𝐹(cid:255)(cid:153)(cid:137) 𝐸𝐶
(2)(cid:255)(cid:153)(cid:137)
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:102)1(cid:110)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:148) (cid:68) =90°(cid:68)(cid:147)(cid:148) = (cid:68)(cid:174)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:151)(cid:152)
(cid:147)(cid:148) = (cid:130) 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐹 ∠𝐶𝐹𝐷
(cid:102)2(cid:110)∠(cid:38)𝐴𝐹(cid:39)𝐷Rt ∠𝐴𝐷𝐹 Rt (cid:102)HL(cid:110)(cid:68)(cid:174)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:148) = (cid:68)(cid:174)(cid:33)(cid:34)(cid:182)(cid:54)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)
(cid:147)(cid:148)(cid:198)(cid:50)(cid:71) △𝐷𝐸𝐹≌ △𝐷𝐶𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐹
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:102)1(cid:110)(cid:153)(cid:10) (cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:68) =∵90°(cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷(cid:68)
∴∠𝐴𝐷=𝐹 (cid:68)∠𝐶𝐹𝐷
∵𝐴𝐷 𝐴=𝐹 (cid:68)
∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐷𝐹(cid:130)
(cid:102)∴∠2𝐴(cid:110)𝐹𝐷(cid:153)(cid:10)∠𝐶𝐹𝐷 = (cid:68) (cid:68) (cid:68)
= (cid:68)∵∠𝐴𝐹𝐷 ∠𝐶𝐹𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐹 𝐷𝐶⊥𝐵𝐶
∴D𝐷𝐸(cid:79) 𝐷(cid:27)𝐶(cid:182)(cid:54)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:68)
∴(cid:79)Rt 𝐶𝐸 (cid:142)Rt (cid:51)(cid:68)
=△𝐷𝐸𝐹 △𝐷𝐶𝐹
(cid:68)
=
𝐷𝐸 𝐷𝐶
𝐷R𝐹t 𝐷𝐹 Rt (cid:102)HL(cid:110)(cid:68)
∴ △=𝐷𝐸𝐹(cid:68)≌ △𝐷𝐶𝐹
∴𝐸𝐹 𝐶𝐹(cid:87)F(cid:79) (cid:27)(cid:182)(cid:54)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:68)
∴ (cid:182)(cid:54)𝐶(cid:84)𝐸(cid:63)(cid:47) .
(cid:15)∴𝐷(cid:87)𝐹(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)𝐸(cid:173)𝐶(cid:139)(cid:140)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:33)(cid:34)(cid:182)(cid:54)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)4-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:278)(cid:203)(cid:279)(cid:280)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:68) (cid:82)(cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:87) (cid:68) (cid:79)
(cid:58)(cid:68)(cid:84) = (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐸 𝐹 𝐵𝐷
𝐵𝐹 𝐷𝐸
(1)(cid:30)(cid:38)(cid:10) = (cid:130)
(2)(cid:80) =𝐴𝐸 =𝐶𝐹 =3(cid:68)(cid:30) (cid:27)(cid:35)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)𝐴𝐵(cid:20)(1𝐴)(cid:255)𝐸(cid:153)(cid:137)1,𝐴𝐷 𝐸𝐹
3 10
(2)
5
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:102)1(cid:110)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:196) = (cid:68) = (cid:68)(cid:147)(cid:196) = (cid:68)(cid:145)(cid:146) = (cid:68)(cid:147)(cid:196)
= (cid:68)(cid:38)(cid:39) (SA𝐴S)𝑂(cid:68)(cid:151)𝐶(cid:152)𝑂(cid:147)𝐵(cid:148)𝑂(cid:198)(cid:50)𝐷(cid:130)𝑂 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐶𝑂𝐷 𝐵𝐹 𝐷𝐸
𝐸(cid:102)𝑂2(cid:110)(cid:181)𝐹𝑂(cid:87)A(cid:122) △𝐴𝑂𝐸≌(cid:68)△(cid:182)𝐶(cid:277)𝑂𝐹(cid:94) (cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147) = 1 +3 = 10(cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:147)(cid:196)
2 2
10 𝐴𝐻⊥𝐵𝐷 𝐻 𝐴3𝐵𝐶10𝐷 1𝐵0𝐷 10
= (cid:68)(cid:149)(cid:145)(cid:146)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:158)(cid:30)(cid:148) = (cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147) = (cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:147)(cid:196) = = (cid:68)(cid:79)
2 10 10 10
𝑂𝐵 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐵𝐻 𝐸𝐻
3 10
(cid:30)(cid:148) = = (cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:135)(cid:71)
10
(cid:15)(cid:154)(cid:153)𝑂(cid:20)𝐸(cid:102)1𝑂(cid:110)𝐹(cid:38)(cid:39)(cid:10) (cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
= (cid:68) = (cid:68)∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐶(cid:68)𝑂 𝐵 𝑂𝐷
∵𝐵𝐹 𝐷𝐸= (cid:68)
∴𝐵𝐹−=𝑂𝐵 (cid:68)𝐷𝐸−𝑂𝐷
(cid:177)∴𝑂𝐸 𝑂𝐹= (cid:68)
∵∠𝐴𝑂𝐸 ∠𝐶𝑂𝐹(SAS)(cid:68)
∴△𝐴=𝑂𝐸≌(cid:130)△𝐶𝑂𝐹
∴(cid:102)𝐴2𝐸(cid:110)(cid:153)𝐶(cid:10)𝐹(cid:181)(cid:87)A(cid:122) (cid:68)(cid:182)(cid:277)(cid:94) (cid:68)
𝐴𝐻⊥𝐵𝐷 𝐻(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵 9 𝐶 0 𝐷 °(cid:68) = 1 (cid:68)
2
∴∠𝐵𝐴𝐷 𝑂𝐵 𝐵𝐷
(cid:79)Rt (cid:51)(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:10) + = (cid:68)
2 2 2
△= 𝐴𝐵1𝐷+3 = 10(cid:68) 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷
2 2
∴𝐵𝐷 10
= (cid:68)
2
∴𝑂1 × 𝐵 × = 1 × × (cid:151) 1 ×1×3= 1 × 10× (cid:68)
2 2 2 2
∵ 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐻 𝐴𝐻
3 10
= (cid:68)
10
∴(cid:79)𝐴R𝐻t (cid:51)(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:10) + = (cid:68)
2 2 2
△𝐴𝐵𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐵
3 10 + =1(cid:68)
10 2
2
∴ 𝐵𝐻
=
10
(cid:68)
10
∴𝐵𝐻= (cid:68)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐸,𝐴𝐻⊥10𝐵𝐷
= = (cid:68)
10
∴𝐵𝐻 𝐸𝐻
= = 10 × 10=3 10= (cid:68)
2 10 10
∴ 𝑂𝐸 𝑂𝐵−𝐵𝐸 −2 𝑂𝐹
= + =3 10+3 10=6 10= 3 10 (cid:71)
10 10 10 5
∴(cid:15)(cid:87)𝐸𝐹(cid:243)(cid:20)𝑂(cid:171)𝐸(cid:21)(cid:139)𝑂𝐹(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:206)(cid:45)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:27)(cid:187)(cid:24)(cid:68)
(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)4-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:58)·(cid:150)(cid:214)(cid:215)(cid:184)(cid:282)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:283)(cid:175)(cid:10)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68)(cid:284)(cid:25)(cid:26) (cid:285)(cid:87)C(cid:286)(cid:287)(cid:68)
(cid:147)(cid:196)(cid:25)(cid:26) (cid:68)(cid:84)(cid:87)E(cid:288)(cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:86) (cid:92)(cid:87)H(cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐹𝐸𝐶𝐺 𝐴𝐷 𝐵𝐺 𝐶𝐸(1)(cid:77)(cid:78)1(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:30)(cid:38)(cid:10) (cid:63)(cid:47) (cid:130)
(2)(cid:77)(cid:78)2(cid:68)(cid:169)(cid:170)𝐵𝐸(cid:68)(cid:80) (cid:63)𝐵(cid:47)𝐸 ∠(cid:68)𝐴𝐸(cid:194)𝐶(cid:289) (cid:42) (cid:267)(cid:290)(cid:27)(cid:72)(cid:291)(cid:3)(cid:201)(cid:68)(cid:292)(cid:293)(cid:39)(cid:91)(cid:174)(cid:71)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(1)(cid:38)(cid:39)𝐹(cid:255)𝐻(cid:153)(cid:137)𝐹𝐻 ∠𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐻 𝐴𝐸
(2) = (cid:68)(cid:91)(cid:174)(cid:255)(cid:153)(cid:137)
(cid:15)(cid:47)𝐶𝐻(cid:137)(cid:20)2(cid:102)𝐴𝐸1(cid:110)(cid:174)(cid:286)(cid:287)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) = (cid:68)(cid:174)(cid:45)(cid:57)(cid:83)(cid:45)(cid:31)(cid:152)(cid:147) = (cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) (cid:68)
(cid:174)(cid:88)(cid:54)(cid:33)(cid:63)(cid:64)(cid:150)(cid:294)(cid:31)(cid:82)(cid:45)(cid:152)(cid:147) 𝐸𝐶= 𝐵𝐶 (cid:68)(cid:197)(cid:176)(cid:152)(cid:147) =∠𝐶𝐸𝐵 (cid:68)∠𝐶(cid:92)𝐵(cid:62)𝐸(cid:198)(cid:50)(cid:147)(cid:38)(cid:130) 𝐴𝐷∥𝐵𝐶
(cid:102)2(cid:110)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:181)(cid:87) (cid:122) ∠𝐴(cid:92)𝐸(cid:87)𝐵 (cid:68)∠(cid:174)𝐶𝐵(cid:286)𝐸(cid:287)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐶(cid:68)𝐸𝐵 = (cid:68) = (cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)
(cid:147) = 𝐵𝐸= 𝐵=9𝐵0𝐼°(cid:68)⊥𝐶𝐸= 𝐼(cid:68) = = 𝐹𝐸 𝐴=𝐵90𝐸°(cid:68)𝐶 𝐵=𝐶 𝐶(cid:68)𝐺(cid:23)(cid:24)𝐶𝐷AAS(cid:152)(cid:38)(cid:147)
∠𝐴 (cid:68)∠(cid:92)𝐷(cid:62)(cid:152)∠𝐺(cid:147)𝐶𝐻 = (cid:68)𝐵𝐶= 𝐴𝐷=∠𝐸𝐹=𝐺 ∠(cid:68)𝐹𝐸(cid:23)𝐻(cid:24)AA∠S𝐺(cid:177)𝐶𝐻(cid:152)(cid:38)(cid:147) 𝐹𝐸 𝐶𝐺 (cid:68)(cid:92)(cid:62)(cid:152)(cid:147) △=𝐼𝐸𝐵≌(cid:68)
(cid:23)△(cid:24)𝐴𝐸(cid:45)𝐵(cid:158)(cid:27)(cid:28)(cid:29)1(cid:152)𝐼(cid:147)𝐸 𝐴=𝐸 𝐼𝐵(cid:68)(cid:211)𝐴𝐵= 𝐹𝐸= 𝐶𝐺(cid:68) = = (cid:68) △𝐵𝐻𝐼≌△𝐺𝐻𝐶 𝐼𝐻 𝐶𝐻
(cid:81) = + (cid:68) =𝐼𝐶 =𝐸𝐷 (cid:68) 𝐼𝐸= 𝐴𝐸= 𝑚 =𝐼𝐻 =𝐶𝐻 +𝑛(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:147) + = (cid:68)(cid:151)
2 2 2
( 𝐶)𝐸 +𝑚( +2𝑛) 𝐸=𝐷( +𝐼𝐶 )2𝑛(cid:68)(cid:262)𝐶(cid:91)𝐷(cid:152)(cid:147)𝐶𝐺 =𝐹𝐸 (cid:68)𝐻(cid:92)𝐸(cid:62)(cid:198)𝑚(cid:50)(cid:147)𝑛(cid:38)(cid:71) 𝐸𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐸
2 2 2
(cid:15)2𝑛(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:102)𝑚1(cid:110)𝑛(cid:38)(cid:39)(cid:10)𝑚(cid:77)(cid:78)21𝑛(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) 𝑛 2𝑚
𝐵𝐸
(cid:174)(cid:286)(cid:287)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:10) = (cid:68)
= (cid:68) 𝐸𝐶 𝐵𝐶
∴∠(cid:65)𝐶(cid:57)𝐸𝐵(cid:26) ∠𝐶𝐵(cid:62)𝐸(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ 𝐴(cid:68)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 (cid:68)
∴∠𝐴𝐸𝐵 ∠𝐶𝐵𝐸= (cid:68)
∴∠𝐴(cid:63)𝐸𝐵(cid:47) ∠𝐶𝐸𝐵(cid:130)
(cid:102)∴2𝐵(cid:110)𝐸(cid:153)(cid:10)∠𝐴𝐸=𝐶 (cid:68)(cid:91)(cid:174)(cid:77)(cid:118)(cid:10)
(cid:77)(cid:78)2(cid:68)(cid:169)𝐶(cid:170)𝐻 (cid:68)2𝐴(cid:181)𝐸(cid:87) (cid:122) (cid:92)(cid:87) (cid:68)
𝐵𝐸 𝐵 𝐵𝐼⊥𝐶𝐸 𝐼
(cid:81) = =90°(cid:68)
(cid:174)∠(cid:286)𝐵(cid:287)𝐼𝐻(cid:27)(cid:28)∠(cid:29)𝐵(cid:152)𝐼𝐸(cid:147)(cid:10) = (cid:68) = (cid:68) = (cid:68)
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:142) 𝐹𝐸(cid:62)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐵(cid:68)𝐸𝐶 𝐵𝐶 𝐶𝐺 𝐶𝐷
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 𝐹𝐸𝐶=𝐺90°(cid:68) = (cid:68) = = =90°(cid:68) = (cid:68)
∴∠𝐴 ∠=𝐷 ∠𝐺(cid:68)𝐶𝐻 = 𝐵(cid:68)𝐶 𝐴𝐷 ∠𝐸𝐹𝐺 ∠𝐹𝐸𝐻 ∠𝐺𝐶𝐻 𝐹𝐸 𝐶𝐺
(cid:174)∴(cid:102)∠𝐵1𝐼(cid:110)𝐻(cid:152)(cid:147)∠𝐺(cid:10)𝐶𝐻 (cid:63)∠(cid:47)𝐵𝐼𝐸 ∠(cid:68)𝐴
= 𝐵𝐸(cid:68) ∠𝐴𝐸𝐶
(cid:79)∴∠𝐼𝐸𝐵 (cid:142)∠𝐴𝐸𝐵 (cid:51)(cid:68)
△𝐼𝐸𝐵= △𝐴𝐸𝐵
= (cid:68)
∠𝐵𝐼𝐸= ∠𝐴
∠𝐼𝐸𝐵 ∠𝐴𝐸𝐵
𝐵𝐸 𝐵𝐸 (AAS)(cid:68)
∴△𝐼𝐸=𝐵≌△(cid:68)𝐴𝐸𝐵= = = (cid:68)
∴𝐼𝐸 𝐴=𝐸 𝐼𝐵 =𝐴𝐵 𝐹𝐸=9𝐶0𝐺°(cid:68) (cid:63)(cid:47) (cid:68)
∵∠𝐸𝐹𝐺 = ∠𝐹𝐸𝐻 = ∠1𝐺𝐶𝐻 = 1 ×9 𝐹 0 𝐻 °=45 ∠ °(cid:68) 𝐸𝐹𝐺
2 2
∴∠𝐸𝐹𝐻 ∠𝐺𝐹𝐻 ∠𝐸𝐹𝐺
= = =45°(cid:68)
∴∠𝐸𝐻𝐹=90°−∠𝐸=𝐹4𝐻5°(cid:68)90°−45°
∴∠𝐸𝐻=𝐹 (cid:68)∠𝐸𝐹𝐻
(cid:79)∴𝐹𝐸 𝐻(cid:142)𝐸 (cid:51)(cid:68)
△𝐵𝐻𝐼 △𝐺𝐻𝐶=
= (cid:68)
∠𝐵𝐻𝐼=∠𝐺𝐻𝐶
∠𝐵𝐼𝐻 ∠𝐺𝐶𝐻
𝐼𝐵 𝐶𝐺 (AAS)(cid:68)
∴△𝐵=𝐻𝐼≌△(cid:68)𝐺𝐻𝐶
∴𝐼𝐻 =𝐶𝐻 = (cid:68) = (cid:68)
∵𝐸𝐶 𝐵𝐶= 𝐴𝐷 𝐼(cid:68)𝐸 𝐴𝐸
∴𝐸𝐶−=𝐼𝐸 (cid:68)𝐴𝐷−𝐴𝐸
(cid:211)∴𝐼𝐶 =𝐸𝐷= (cid:68) = = (cid:68)
(cid:81)𝐼𝐸 =𝐴𝐸 +𝑚 +𝐼𝐻 =𝐶𝐻+ 𝑛+ = + (cid:68)
𝐶𝐸= 𝐶=𝐻 𝐼𝐻+ 𝐼𝐸= +𝑛 𝑛= 𝑚(cid:68) 𝑚 2𝑛
𝐸𝐷= 𝐼𝐶 =𝐶𝐻 =𝐼𝐻 =𝑛 𝑛+ 2=𝑛 + = + (cid:68)
𝐶𝐷 𝐶=𝐺90°𝐹(cid:68)𝐸 𝐻𝐸 𝐼𝐻 𝐼𝐸 𝑛 𝑚 𝑚 𝑛
∵∠(cid:145)𝐷(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:147)(cid:10)
∴ + = (cid:68)
2 2 2
𝐸(cid:151)𝐷(cid:10)( 𝐶𝐷) +(𝐶𝐸+ ) =( + ) (cid:68)
2 2 2
(cid:262)(cid:91)(cid:68)2𝑛(cid:147)(cid:10) =𝑚 𝑛(cid:68) 𝑚 2𝑛
= 𝑛(cid:71) 2𝑚
(cid:15)∴(cid:87)𝐶𝐻(cid:243)(cid:20)2(cid:171)𝐴𝐸(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:286)(cid:287)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:57)(cid:83)(cid:45)(cid:31)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:68)
(cid:185)(cid:186)(cid:79)(cid:209)(cid:210)(cid:82)(cid:3)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:68)(cid:295)(cid:296)(cid:275)(cid:276)(cid:33)(cid:244)(cid:245)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
【题型5 矩形的折叠】
(cid:15)(cid:101)5(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:297)(cid:298)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:134)(cid:39)(cid:112)(cid:11)(cid:299)(cid:51)(cid:59)(cid:60)(cid:300)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302) (cid:68) =9cm(cid:68) =6cm(cid:68)
(cid:116)(cid:197)(cid:64)(cid:141)(cid:77)(cid:118)(cid:121)(cid:122)(cid:10) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷
(cid:303)(cid:60)(cid:119)(cid:68)(cid:77)(cid:78) (cid:68)(cid:218)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302)(cid:83)(cid:40)(cid:68)(cid:168) (cid:42) (cid:240)(cid:199)(cid:68)(cid:147)(cid:196)(cid:40)(cid:304) (cid:68)(cid:218)(cid:301)(cid:302)(cid:305)(cid:63)(cid:71)
(cid:303)(cid:306)(cid:119)(cid:68)(cid:77)(cid:78)① (cid:68)(cid:149)(cid:60)(cid:307)(cid:40)(cid:41)(cid:301)(cid:302)(cid:68)(cid:284)𝐴𝐷 𝐵𝐶(cid:219) (cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:196) 𝑀𝑁 (cid:68) (cid:86)(cid:40)(cid:304) (cid:92)(cid:87)E(cid:68)(cid:81)(cid:33)(cid:34)
′ ′
(cid:27)(cid:35)(cid:94)(cid:102) (cid:110)② △𝐴𝐷𝑁 𝐴𝑁 △𝐴𝐷 𝑁 𝐴𝐷 𝑀𝑁 𝐸𝑁9
A(cid:71)3cm B(cid:71) cm C(cid:71)5cm D(cid:71)6cm
2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:126)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:152)(cid:147)
(cid:182)(cid:54)(cid:63)(cid:47) (cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:147)(cid:148) = =9cm(cid:68) = =3cm(cid:68)(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:198)(cid:199)(cid:63)(cid:64)(cid:33)𝑀𝑁
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)𝐴(cid:147)𝐵 = 𝐴𝑀𝑁𝐷(cid:68)(cid:230)(cid:176)(cid:147)(cid:148) =𝑀𝑁 (cid:68)𝐴(cid:149)𝐷(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)𝐴𝑀(cid:308)(cid:241)𝐵(cid:151)𝑀(cid:152)(cid:147)(cid:153)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:123)(cid:58)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:292)(cid:233)(cid:234)
(cid:187)(cid:24)(cid:62)(cid:153)(cid:246)∠(cid:21)𝐸(cid:27)𝐴𝑁(cid:3)(cid:188)∠(cid:71)𝐸𝑁𝐴 𝐸𝐴 𝐸𝑁
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:218)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302)(cid:83)(cid:40)(cid:68)(cid:168) (cid:42) (cid:240)(cid:199)(cid:68)(cid:147)(cid:196)(cid:40)(cid:304) (cid:68)
(cid:87) (cid:42)(cid:87) (cid:3)(cid:92)∵ (cid:54)(cid:33) (cid:83)(cid:309)(cid:68) 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝑀𝑁
∴ 𝐴(cid:182)(cid:54)(cid:63)𝐵 (cid:47) (cid:68) 𝑀𝑁
∴𝑀𝑁 = 𝐴𝐵 = =90°(cid:68)
∴(cid:65)∠𝐴(cid:57)𝑀(cid:26)𝑁 ∠𝑀𝐴(cid:94)𝐷(cid:25)(cid:26)∠(cid:68)𝐷
∴ = 𝐴𝑀𝑁 = 𝐷 9cm(cid:68) = = 1 =3cm(cid:68)
2
∴ (cid:284) 𝑀𝑁 𝐴𝐷 (cid:219) (cid:40)(cid:41) 𝐴 (cid:147) 𝑀 (cid:196) 𝐵𝑀 𝐴 (cid:68) 𝐵 (cid:86)(cid:40)(cid:304) (cid:92)(cid:87)E(cid:68)
′ ′
∵ △𝐴𝐷=𝑁 𝐴𝑁(cid:68) △𝐴𝐷 𝑁 𝐴𝐷 𝑀𝑁
∴∠𝐸𝐴𝑁 (cid:68)∠𝐷𝐴𝑁
∵𝑀𝑁∥𝐴𝐷= (cid:68)
∴∠𝐸𝑁𝐴=∠𝐷𝐴𝑁(cid:68)
∴∠𝐸𝐴=𝑁 (cid:68)∠𝐸𝑁𝐴
∴𝐸𝐴 +𝐸𝑁 = (cid:68)
2 2 2
∵𝐴3𝑀+( 𝐸𝑀 ) 𝐸=𝐴 (cid:68)
2 2 2
∴ =59c−m𝐸(cid:68)𝑁(cid:151)(cid:33)(cid:34)𝐸𝑁 (cid:27)(cid:35)(cid:94)5cm(cid:68)
∴(cid:155)𝐸(cid:156)𝑁(cid:10)C(cid:71) 𝐸𝑁
(cid:15)(cid:157)(cid:158)5-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:65)(cid:310)(cid:150)(cid:162)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:301)(cid:302)(cid:51)(cid:68)(cid:87) (cid:62) (cid:57)(cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:219)(cid:54)
(cid:33) (cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:87) (cid:288)(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:150)(cid:261)(cid:27)(cid:87) (cid:311)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:292)(cid:133)(cid:35)(cid:86) (cid:92)(cid:87)𝐴𝐵(cid:71)𝐶(cid:283)𝐷(cid:175) =4(cid:68)𝐸 𝐵=𝐶5(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:35)
′ ′
(cid:94)𝐴 𝐸 (cid:71) 𝐵 𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐹 𝐶𝐹 𝐷𝐹 𝐴𝐷(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)12
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:227)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:87)(cid:68)(cid:199)(cid:91)(cid:122)(cid:148)(cid:275)(cid:276)(cid:33)(cid:62)(cid:153)(cid:21)
(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:38)(cid:148)Rt Rt (cid:68)(cid:147)(cid:196) (cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:187)(cid:241)(cid:30)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:71)
′
(cid:15)(cid:154)𝐸(cid:153)𝐹(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:169)(cid:170)△𝐵(cid:77)𝐸𝐹(cid:78)≌(cid:212)(cid:213)△(cid:10)𝐶𝐸𝐹 𝐴𝐹
𝐸𝐹
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 + =4+5=9(cid:68) = =90°(cid:68)
∴𝐴(cid:94)𝐵 𝐶(cid:51)𝐷(cid:87)(cid:68)𝐶𝐹 𝐷𝐹 ∠𝐵 ∠𝐶
∵𝐸 =𝐵𝐶 (cid:68)
∴(cid:40)𝐸𝐶(cid:41)(cid:68)𝐵𝐸
∵ = =9(cid:68) = = (cid:68) = = (cid:68)
′ ′ ′
∴(cid:79)𝐴𝐵Rt 𝐴𝐵 (cid:142)R𝐵t 𝐸 𝐵(cid:51)𝐸(cid:68)𝐶𝐸 ∠𝐵 ∠𝐴𝐵 𝐸 ∠𝐶
′
∴ =△𝐵 𝐸𝐹 △𝐶𝐸𝐹
(cid:68)
=
′
𝐵 𝐸 𝐶𝐸
R𝐸t𝐹 𝐸𝐹 Rt (HL)(cid:68)
′
∴ △=𝐵 𝐸𝐹=≌4(cid:68)△𝐶𝐸𝐹
′
∴𝐵 𝐹= 𝐶𝐹+ =9+4=13(cid:68)
′ ′
∴𝐴𝐹 =𝐴𝐵 𝐵 𝐹 = 13 5 =12(cid:68)
2 2 2 2
∴(cid:155)𝐴(cid:135)𝐷(cid:136)(cid:94)𝐴(cid:10)𝐹12−(cid:71)𝐷𝐹 −
(cid:15)(cid:157)(cid:158)5-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:163)(cid:312)(cid:238)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302) (cid:51)(cid:68) =3(cid:68) =6(cid:68)(cid:87)E(cid:94)
(cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:102)(cid:87)E(cid:239)(cid:42)B(cid:126)C(cid:240)(cid:199)(cid:110)(cid:68)(cid:218)(cid:301)(cid:302)(cid:219) (cid:220)(cid:40)(cid:147)(cid:196) (cid:71)(cid:87)F𝐴𝐵(cid:79)𝐶𝐷 (cid:58)(cid:68)𝐴(cid:219)𝐵 (cid:149)(cid:307)𝐵(cid:40)𝐶 (cid:41)(cid:301)(cid:302)(cid:68)(cid:168)(cid:87)𝐵C𝐶
′
(cid:27)(cid:83)(cid:313)(cid:87) (cid:288)(cid:79) (cid:58)(cid:68)(cid:80)E(cid:126) (cid:126) (cid:55)(cid:87)(cid:79)𝐴(cid:112)𝐸(cid:60)(cid:54)(cid:33)(cid:58)(cid:68)△(cid:81)𝐴𝐸𝐵(cid:27)(cid:35)(cid:94) 𝐶 𝐷 (cid:71) 𝐸𝐹
′ ′ ′
𝐶 𝐴𝐷 𝐵 𝐶 𝐵𝐸(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)1(cid:314)3
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:126)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)
(cid:68) = =90°(cid:68)(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) = =3(cid:68) = (cid:68) = = (cid:68)
′ ′ ′ ′
𝐴𝐷=∥𝐵𝐶 =∠9𝐵0°(cid:68)∠𝐶 = (cid:68)(cid:38)(cid:39) 𝐴=𝐵 𝐴𝐵(cid:68)(cid:147)(cid:148)𝐵𝐸 =𝐵 𝐸 =𝐸𝐶 𝐸(cid:68)𝐶 (cid:149)(cid:174)6−(cid:207)𝐵(cid:208)𝐸(cid:90)∠(cid:91)𝐴(cid:308)𝐵(cid:241)(cid:151)(cid:152)
′ ′ ′ ′ ′
𝐸(cid:147)(cid:153)∠(cid:68)𝐵(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:123)∠𝐶(cid:58)𝐸(cid:175)𝐴(cid:222)(cid:87)∠𝐵(cid:292)𝐸(cid:233)𝐴(cid:234)(cid:187)(cid:24)∠(cid:62)𝐶(cid:153)𝐴(cid:246)𝐸 (cid:21)∠(cid:27)𝐶(cid:3)𝐸(cid:188)𝐴(cid:71) 𝐶 𝐸 𝐴𝐶 6−𝐵𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
(cid:68) ∵= =𝐴9𝐵0𝐶°(cid:68)𝐷
∴(cid:174)𝐴(cid:40)𝐷∥(cid:41)𝐵(cid:27)𝐶 (cid:28)∠(cid:29)𝐵(cid:152)(cid:147)∠𝐶(cid:10) = =3(cid:68) = (cid:68) = = (cid:68) = =90°(cid:68) = (cid:68)
′ ′ ′ ′ ′
=90°(cid:68) 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐸 𝐵 𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐶 6−𝐵𝐸 ∠𝐴𝐵 𝐸 ∠𝐵 ∠𝐶 𝐸𝐴 ∠𝐵𝐸𝐴
′ ′
∴∠𝐴𝐵 𝐶(cid:68)
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶= (cid:68)
′
∴∠𝐶 𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴 (cid:68)
′ ′
∴∠𝐶 𝐴=𝐸 ∠=𝐶 𝐸𝐴 (cid:68)
′ ′
∴𝐶 𝐸 +𝐴𝐶 6=−𝐵𝐸 (cid:68)
′2 ′ ′2 ′2
∵𝐴3𝐵+( 𝐵 𝐶 𝐴)𝐶=( ) (cid:68)
2 2 2
∴(cid:153)(cid:147)(cid:10)6−𝐵=𝐸1−(cid:314)𝐵𝐸 =3(cid:68)6−𝐵𝐸
(cid:251)(cid:58)(cid:212)𝐵(cid:76)𝐸(cid:68) (cid:27)𝐵(cid:35)𝐸(cid:94)1(cid:314)3(cid:68)
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)𝐵1(cid:314)𝐸3(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)5-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:315)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:278)(cid:203)(cid:316)(cid:317)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:145)(cid:146)(cid:318)(cid:319)(cid:44)(cid:320)(cid:68)A(cid:201)(cid:321)(cid:301)(cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:221)(cid:51) (cid:301)(cid:27)(cid:36)(cid:37)(cid:94)
1m (cid:71)(cid:218) (cid:301)(cid:219)(cid:35)(cid:57)(cid:83)(cid:40)(cid:126)(cid:322)(cid:323)(cid:68)(cid:324)(cid:325) (cid:301)(cid:130)(cid:218) (cid:301)(cid:219)(cid:35)(cid:57)(cid:83)(cid:40)(cid:126)(cid:322)(cid:323)(cid:68)(cid:324)(cid:325) (cid:301)(cid:130)(cid:218) 𝐴(cid:301)𝑂(cid:219)(cid:35)(cid:57)(cid:83)(cid:40)(cid:126)
2
(cid:322)(cid:323)(cid:68)(cid:324)𝐴(cid:325)𝑂 (cid:301)(cid:130)(cid:218) (cid:301)(cid:219)(cid:35)(cid:57)(cid:83)(cid:40)(cid:126)𝐴(cid:322)1(cid:323)(cid:68)(cid:324)𝐴(cid:325)1 (cid:301)…(cid:68)(cid:218) (cid:301)(cid:117)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)𝐴(cid:27)2(cid:326)(cid:158)(cid:40)𝐴(cid:41)2(cid:71)
𝐴3 𝐴3 𝐴4 𝐴4
(cid:327)(cid:328)(cid:78)1(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:181)(cid:329)(cid:68)(cid:152)(cid:175) (cid:301)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:35)(cid:42)(cid:330)(cid:27)(cid:269)(cid:53)(cid:94) (cid:71)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20) 2:1/ 2 𝐴4(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:265)(cid:326)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91).
(cid:145)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:175)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:265)(cid:326)(cid:26)(cid:68) = (cid:68)(cid:149)(cid:198)(cid:199)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:148) = = 2 (cid:68)(cid:151)
′
(cid:301)(cid:27)(cid:35)(cid:330)(cid:267)(cid:269)(cid:94) 2:1(cid:130) 𝐴𝐵𝐸𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐴4
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:174)(cid:21)(cid:183)(cid:152)(cid:175)(cid:10)(cid:303)(cid:60)(cid:307)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:26)(cid:325)(cid:60)(cid:61)(cid:265)(cid:326)(cid:26)(cid:68)(cid:151)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:265)(cid:326)(cid:26)(cid:68)
′
= + = 2 (cid:71) 𝐴𝐵𝐸𝐵
2 2
(cid:303)∴𝐴(cid:306)𝐸(cid:307)(cid:40)𝐴(cid:41)𝐵(cid:68)(cid:147)𝐵(cid:148)𝐸 = 𝐴𝐵= 2 (cid:68)
= 2 = 2(cid:68) 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐴𝐵
(cid:151) ∴𝐴𝐵 (cid:301)(cid:27)𝐴𝐵(cid:35)(cid:62)(cid:330)(cid:27) 2:1(cid:331)(cid:71)
(cid:155)𝐴(cid:135)4(cid:136)(cid:94)(cid:10) 2:1
【题型6 矩形与坐标】
(cid:15)(cid:101)6(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:202)(cid:203)(cid:202)(cid:238)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:284)(cid:25)(cid:26) (cid:332)(cid:333)(cid:63)(cid:36)(cid:54)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:201)(cid:51)(cid:68)(cid:168) (cid:68) (cid:47)(cid:131)(cid:288)
(cid:79) (cid:257)(cid:126) (cid:257)(cid:58)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:218)(cid:25)(cid:26) (cid:219) (cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:168)(cid:87) (cid:288)𝑂𝐴(cid:79)𝐵(cid:87)𝐶 (cid:27)(cid:334)(cid:335)(cid:68) (cid:42) (cid:257)(cid:82)(cid:86)(cid:92)(cid:87)𝑂𝐴(cid:68)𝑂(cid:80)𝐶 (cid:68)
(cid:81)𝑥(cid:87) (cid:27)𝑦(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:102) (cid:110)𝐴𝐶 𝑂𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵 𝐷 𝐴𝐷 𝑦 𝐸 𝐵(2,4)
𝐸
3 5
A(cid:71)(0,1) B(cid:71)(0,2) C(cid:71) 0, D(cid:71) 0,
2 2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:123)(cid:227)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:78)(cid:26)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) = (cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)
(cid:91)(cid:321)(cid:148)(cid:45)(cid:158)(cid:197)(cid:64)(cid:30)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:71)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:38)(cid:39) = (cid:68)(cid:211) = (cid:68)𝐸(cid:81)𝐶 𝐸=𝐴 = (cid:68)(cid:23)
(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:147) +2 =( ) (cid:197)(cid:64)(cid:30)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:71) 𝐸𝐶 𝐸𝐴 𝑂𝐸 𝑥 𝐴𝐸 𝐸𝐶 4−𝑥
2 2 2
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:65)𝑥(cid:57)(cid:26) 4(cid:62)−(cid:25)𝑥(cid:26)(cid:68)
(cid:68) ∵ = 𝑂𝐴𝐵(cid:68)𝐶
∴𝐴𝐵∥𝑂𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐸(cid:218)(cid:301)(cid:302)(cid:25)(cid:26) (cid:219) (cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:168)(cid:87)B(cid:288)(cid:79)(cid:87)D(cid:27)(cid:334)(cid:335)(cid:68)
∵ = 𝑂𝐴𝐵,𝐶 𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐶 =∠𝐷𝐴𝐶,
∴∠𝐷𝐴=𝐶 (cid:68)∠𝐴𝐶𝐸
∴(cid:87)𝐸𝐶B(cid:27)𝐸(cid:43)𝐴(cid:44)(cid:94)(2,4)(cid:68)
∵ = =4(cid:68) = =2(cid:68)
(cid:211)∴𝐴𝐵=𝑂(cid:68)𝐶(cid:81) =𝑂𝐴 =𝐵𝐶 (cid:68)
(cid:79)𝑂Rt𝐸 𝑥 (cid:51)𝐴(cid:68)𝐸 +𝐸𝐶2 =4(−𝑥 ) (cid:68)
2 2 2
△𝐴3𝑂𝐸 𝑥 4−𝑥
(cid:153)(cid:147) = (cid:68)
2
𝑥
(cid:87)E(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) 0, 3 (cid:68)
2
∴(cid:155)(cid:156)(cid:10)C(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)6-1(cid:20)(cid:102)23-24(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:336)(cid:180)(cid:337)(cid:338)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:63)(cid:36)(cid:54)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:201)(cid:51)(cid:68)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:65)(cid:61)(cid:339)(cid:87)(cid:43)(cid:44)(cid:340)(cid:283)
(cid:44)(cid:148)(cid:68)(cid:99)(cid:100) (cid:27)(cid:53)(cid:94)(cid:102) (cid:110)
𝑎−𝑏
A(cid:71) B(cid:71) C(cid:71)3 D(cid:71)1
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)−3D −1
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:341)(cid:72)(cid:158)(cid:30)(cid:53)(cid:68)(cid:226)(cid:227)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:51)(cid:87)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:158)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:25)(cid:26)(cid:28)(cid:29)(cid:227)(cid:51)(cid:87)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:158)
(cid:62)(cid:153)(cid:235)(cid:115)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:86)(cid:92)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:84)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:82)(cid:85)(cid:63)(cid:47)(cid:68)(cid:230)(cid:176)(cid:174)(cid:51)(cid:87)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:158)(cid:30)(cid:148)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:86)(cid:87)
(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:68)(cid:321)(cid:326)(cid:329)(cid:30)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:196) (cid:27)(cid:53)(cid:68)(cid:341)(cid:333)(cid:341)(cid:72)(cid:158)(cid:30)(cid:153)(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:71) 𝑂
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:10) 𝑎,𝑏9 13 2 9 15
(cid:174)(cid:51)(cid:87)(cid:43)(cid:44)(cid:7)(cid:158)(cid:152)(cid:175) (cid:51)(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) , (cid:68)(cid:151) , (cid:130)
2 2 2 2
+𝑎 + +𝑎
𝐴𝐶 𝑂 𝑂
15 5 5 20 15
(cid:51)(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) , (cid:68)(cid:151) , (cid:130)
2 2 2 2
+ +𝑏
𝐵𝐷 +9𝑂=20 𝑂
(cid:68)
5+ =15
𝑎
∴ 𝑏=11
(cid:153)(cid:147) (cid:68)
=10
𝑎
𝑏 = =1(cid:68)
(cid:155)∴(cid:156)𝑎(cid:10)−𝑏D(cid:71)11−10
(cid:15)(cid:157)(cid:158)6-2(cid:20)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68)(cid:87) (cid:42)(cid:342)(cid:87)(cid:240)(cid:199)(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:257)(cid:58)(cid:68)(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:47)(cid:131)(cid:94)(2,1)(cid:68)( )(cid:68)(cid:218)
(cid:25)(cid:26)(cid:343)(cid:344)(cid:63)(cid:345)2(cid:61)(cid:346)(cid:334)(cid:35)(cid:32)𝑂(cid:147)𝐴𝐵(cid:196)𝐶(cid:25)(cid:26) 𝑂 (cid:68)(cid:81)(cid:87) (cid:27)(cid:83)𝐵(cid:313)𝑦(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)𝐴(cid:94),𝐶 (cid:71) −2,4
′ ′ ′ ′ ′
𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵 𝐵
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(2,5)
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:47)(cid:131)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:148)AO(cid:68)CO(cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:174)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:148)BC=AO(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:148)BO(cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:149)(cid:174)
(cid:63)(cid:345)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:148)(cid:87)B(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) A(cid:102)2(cid:68)1(cid:110)
AO= 2 +1∵= 5
2 2
∴C(cid:102)-2(cid:68)4(cid:110)
∵ = 2 +4 =2 5
2 2
∴(cid:65)𝐶𝑂(cid:57)(cid:26)ABCO(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = = 5
∴(cid:79)𝐵𝐶Rt B𝐴O𝑂C(cid:51)(cid:68) =2 5(cid:68) = 5(cid:68)
△ 𝐶𝑂 𝐵𝐶
(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:68)BO= + = ( 5) +(2 5) =5
2 2
2 2
(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)𝐵𝐶 𝐶𝑂
′ ′
𝐶𝐶 𝐵𝐵(cid:174)(cid:63)(cid:345)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:68) = =2(cid:68)
′ ′
(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94)(cid:102)2𝐵(cid:68)𝐵5(cid:110)(cid:71)𝐶𝐶
′
(cid:155)∴ (cid:135)𝐵(cid:136)(cid:94)(cid:10)(cid:102)2(cid:68)5(cid:110)(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:246)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:123)(cid:227)(cid:63)(cid:345)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:187)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:148)BO=5(cid:62)(cid:153)(cid:135)(cid:246)(cid:21)(cid:27)
(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)6-3(cid:20)(cid:102)22-23(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:223)(cid:224)(cid:347)(cid:278)·(cid:166)(cid:348)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:221)(cid:51)(cid:87) (cid:142)(cid:87) (cid:47)(cid:131)(cid:79) (cid:257)(cid:142) (cid:257)
𝐴𝐵𝐶𝑂 𝐴 𝐶 𝑥 𝑦
(cid:58)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) 12(cid:68)5 (cid:68) (cid:27)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:42) (cid:257)(cid:82)(cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:81) (cid:87)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) (cid:71)
𝐴𝐶 𝐵 ∠𝐶𝐴𝑂 𝑦 𝐷 𝐷
12
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20) 0,
5
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:148) =13(cid:68)(cid:122) (cid:92)(cid:87)E(cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147) = (cid:68)(cid:38)(cid:39)
Rt Rt (HL)(cid:68)𝐴(cid:195)𝐶(cid:148) = 𝐷𝐸=⊥12𝐴(cid:68)𝐶(cid:147)(cid:196) =1(cid:68)(cid:211) = = (cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)𝐷(cid:90)𝐸(cid:91)(cid:244)𝐷𝑂(cid:179)(cid:326)(cid:329)(cid:30)
(cid:153)(cid:151)△(cid:152)𝐴𝐷(cid:71)𝑂≌ △𝐴𝐷𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝑂 𝐶𝐸 𝑂𝐷 𝐷𝐸 𝑚
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:87) (cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) 12(cid:68)5 (cid:68)
= ∵= 𝐴𝐵=𝐶𝑂90°(cid:68) 𝐵
∴𝑂𝐴= 125,𝑂+𝐶125,∠=𝐴1𝑂3𝐶(cid:68)
2 2
∴(cid:122)𝐴𝐶 (cid:92)(cid:87)E(cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)
𝐷𝐸(cid:62)⊥𝐴𝐶 (cid:27)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:68)
∵𝐷𝐴=∠𝐶𝐴(cid:68)𝑂
∴𝐷𝐸 =𝐷𝑂(cid:68)
∵𝐴Rt𝐷 𝐴𝐷 Rt (HL)(cid:68)
∴ △𝐴𝐷𝑂≌ △𝐴𝐷𝐸= =12(cid:68)
∴𝐴𝐸= 𝐴𝑂 =1(cid:68)
∴(cid:211)𝐶𝐸 =13−1=2 (cid:68)(cid:81) = (cid:68)
(cid:79)𝑂(cid:54)𝐷(cid:31)(cid:55)𝐷(cid:31)𝐸(cid:26) 𝑚 (cid:51)(cid:68)𝐶𝐷(cid:145)(cid:146)5(cid:207)−(cid:208)𝑚(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:147)(cid:10) + = (cid:68)
2 2 2
𝐶𝐷𝐸 12 𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷
(cid:151)1+ =( ) (cid:68)(cid:153)(cid:147) = (cid:68)
5
2 2
𝑚 5−𝑚 𝑚
12
(cid:87)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:94) 0, (cid:130)
5
∴𝐷
12
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10) 0, (cid:71)
5
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:31)(cid:63)(cid:47)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:123)(cid:227)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:185)(cid:186)
(cid:209)(cid:210)(cid:82)(cid:3)(cid:78)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:90)(cid:91)(cid:126)(cid:244)(cid:179)(cid:326)(cid:329)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
【题型7 矩形与等腰】
(cid:15)(cid:101)7(cid:20)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =6(cid:68) =8(cid:68)E(cid:62)(cid:57) (cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:123)(cid:87)E(cid:94)(cid:54)(cid:31)(cid:339)(cid:87)(cid:68)(cid:79) (cid:27)(cid:344)(cid:349)(cid:122)(cid:45)(cid:46)(cid:54)
(cid:31) (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸
△𝐴𝐸𝐹
(1)(cid:77)(cid:78)1(cid:68)(cid:247)(cid:87)F(cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:248)(cid:68)(cid:30) (cid:27)(cid:35)(cid:71)
(2)(cid:77)(cid:78)2(cid:68)(cid:80) 𝐶(cid:68)𝐷(cid:30) (cid:27)(cid:35)(cid:71)𝐵𝐸
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)(1)2𝐸𝐹⊥𝐷𝐹 𝐵𝐸
(2)2 3
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:102)1(cid:110)(cid:77)(cid:78)1(cid:51)(cid:68)(cid:38)(cid:39) (AAS)(cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:235)(cid:115)(cid:21)(cid:71)
(cid:102)2(cid:110)(cid:77)(cid:78)2(cid:51)(cid:68)(cid:133)(cid:35) (cid:68) (cid:86)△(cid:92)𝐴(cid:87)𝐵𝐸N≌(cid:68)△(cid:181)𝐸(cid:87)𝐶𝐹F(cid:122) (cid:92)(cid:87)M(cid:71)(cid:38)(cid:39) (ASA)(cid:68)(cid:211)
= = (cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:207)𝐷(cid:208)𝐹(cid:90)𝐵(cid:91)𝐶(cid:244)(cid:179)(cid:326)(cid:329)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:235)(cid:115)(cid:21)𝐹𝑀(cid:71)⊥𝐵𝐶 △𝐸𝐹𝑀≌△𝐷𝑁𝐶
(cid:15)𝑁𝐶(cid:154)(cid:153)𝐹(cid:20)𝑀(cid:102)1𝑥(cid:110)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)1(cid:51)(cid:68)(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷90°(cid:68) = =8(cid:68)
∴∠𝐵 ∠𝐶(cid:68) =𝐴𝐷90°(cid:68)𝐵𝐶
∵𝐸𝐹⊥𝐴+𝐸 ∠𝐴𝐸𝐹=90°= + (cid:68)
∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐶(cid:68) ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐸𝐹𝐶
∴∠𝐴𝐸𝐵 (cid:62)∠(cid:45)𝐸(cid:46)𝐹𝐶(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
∵△𝐴=𝐸𝐹 (cid:68)
∴𝐸𝐹 𝐴𝐸 (AAS)(cid:68)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:68)△ 𝐸𝐶𝐹
∴𝐶𝐸 =𝐴6(cid:68)𝐵
∵𝐴𝐵=6(cid:68)
∴𝐶𝐸 = =2(cid:71)
∴(cid:102)𝐵2𝐸(cid:110)(cid:77)𝐵(cid:78)𝐶−2𝐶(cid:51)𝐸(cid:68)(cid:133)(cid:35) (cid:68) (cid:86)(cid:92)(cid:87)N(cid:68)(cid:181)(cid:87)F(cid:122) (cid:92)(cid:87)M(cid:68)
𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐹𝑀⊥𝐵𝑁
(cid:112)(cid:91)(cid:152)(cid:38) (cid:68)
= △=𝐴𝐵6(cid:68)𝐸≌△=𝐸𝑀𝐹(cid:68)
∴(cid:211)𝐴𝐵 =𝐸𝑀(cid:68)(cid:81) 𝐵=𝐸 𝐹=𝑀 (cid:68) = (cid:68)
𝐵𝐸 𝑥(cid:68) 𝐹𝑀 𝐵𝐸 𝑥 𝐸𝐶 8−𝑥
∵𝐸𝐹⊥𝐷=𝐹 =90°(cid:68)
∴∠𝑁𝐹𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐵=90°= + (cid:68)
∴∠𝐶𝐷𝐹=∠𝐶𝑁𝐷(cid:68) ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐶𝑁𝐷
(cid:79)∴∠(cid:25)𝐹𝐸(cid:26)𝐶 ∠𝐶(cid:51)𝐷𝐹(cid:68) = (cid:68)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐷𝐶= = (cid:68) (cid:176) = =90°(cid:68)
∴𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝑀 (ASA∠)𝐸(cid:68)𝑀 𝐹 ∠𝐷𝐶𝑁
∴△𝐸=𝐹𝑀≌△=𝐷(cid:68)𝑁𝐶 = + = + =8(cid:68) = =2(cid:68)
∴(cid:151)𝑁(cid:79)𝐶Rt𝐹𝑀 𝑥(cid:51)(cid:68)𝐸𝑁 𝐸=𝐶 𝐶𝑁+ 𝐸𝐶 =𝐵𝐸 +2 (cid:68)𝑁 𝑀 𝐸𝑁−𝐸𝑀
2 2 2 2 2
(cid:79)Rt △𝐹𝑀(cid:51)𝑁(cid:68) 𝐹𝑁= 𝐹𝑀+ 𝑁𝑀= +𝑥 6 (cid:68)
2 2 2 2 2
(cid:79)Rt△𝐸𝐹𝑀(cid:51)(cid:68)𝐸𝐹 + 𝐹𝑀= 𝐸𝑀(cid:68) 𝑥
2 2 2
(cid:151) △+4𝐸+𝐹𝑁 +3𝐹6𝑁=64𝐸(cid:68)𝐹(cid:153)(cid:147)𝐸𝑁=2 3(cid:102)(cid:350)(cid:145)(cid:351)(cid:352)(cid:110)(cid:68)
2 2
(cid:151)𝑥 =2 𝑥3(cid:71) 𝑥
(cid:15)𝐵(cid:87)𝐸(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:353)(cid:94)(cid:52)(cid:354)(cid:306)(cid:307)(cid:145)(cid:158)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:153)(cid:21)
(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:62)(cid:265)(cid:229)(cid:355)(cid:356)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:153)(cid:235)(cid:115)(cid:21)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)7-1(cid:20)(cid:102)2023·(cid:236)(cid:162)(cid:357)(cid:358)·(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:218)(cid:60)(cid:61)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:143) (cid:332)(cid:335)(cid:79)(cid:60)(cid:300)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302)(cid:58)(cid:68)(cid:168)(cid:87)
G(cid:68)E(cid:68)F(cid:47)(cid:131)(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:57) (cid:68) (cid:68) (cid:58)(cid:68)(cid:80) =70°(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:32)𝐺𝐸(cid:72)𝐹(cid:94)(cid:102)(cid:359)(cid:359)(cid:110)
𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐸𝐹𝐶 ∠𝐴𝐺𝐸
A(cid:71)130° B(cid:71)120° C(cid:71)110° D(cid:71)100°
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)C
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:63)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:88)(cid:360)(cid:31)(cid:85)(cid:361)(cid:62)
(cid:171)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:228)(cid:145)(cid:146)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:88)(cid:360)(cid:31)(cid:85)(cid:361)(cid:152)(cid:147) =20°(cid:68)(cid:52)(cid:362)(cid:174)(cid:63)(cid:64)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:198)(cid:50)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) ∠𝐶𝐸𝐹
= 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴∠𝐶 9=0°7,𝐴0𝐷°,∥𝐵𝐶,
∵∠𝐸𝐹𝐶=20°,
∴∠𝐶𝐸𝐹 =90°,
∵∠𝐺𝐸𝐹=90°+20°=110°,
∴∠𝐶𝐸𝐺
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶=, =110°.
∴∠𝐴𝐺𝐸 ∠𝐶𝐸𝐺(cid:155)(cid:156)(cid:10)C(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)7-2(cid:20)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:33)(cid:34) (cid:94)(cid:45)(cid:46) (cid:27)(cid:270)(cid:57)(cid:68)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:42) (cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:80) =2(cid:68)
(cid:81) = (cid:71) 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐵𝐸 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝑂 𝑂𝐷
𝐴𝐶
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)4
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:228)(cid:30)(cid:148)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:83)(cid:31)(cid:33)(cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:147)(cid:196)AB(cid:27)(cid:363)(cid:53)(cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:364)(cid:365)(cid:54)(cid:170)(cid:147)(cid:196)AC(cid:27)(cid:53)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:25)(cid:26) ADBE (cid:27)(cid:83)(cid:31)(cid:33) AB (cid:42) DE (cid:86)(cid:92)(cid:87) O (cid:68)
AB=DE(cid:68)OE∵=OD(cid:68)
∴AB=DE=2OD=4(cid:68)
∴(cid:33)(cid:34) BC (cid:94)(cid:45)(cid:46) ABC (cid:27)(cid:270)(cid:57)(cid:68)
∵AC=AB=4(cid:68) △
∴(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)4(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:83)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:364)(cid:365)(cid:27)(cid:91)(cid:153)(cid:68)(cid:153)(cid:235)(cid:171)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:62)(cid:91)(cid:153)(cid:82)(cid:3)(cid:364)(cid:365)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:366)
(cid:233)(cid:234)(cid:187)(cid:24)(cid:21)(cid:367)(cid:6)(cid:368)(cid:68)(cid:218)(cid:369)(cid:370)(cid:24)(cid:72)(cid:11)(cid:371)(cid:9)(cid:197)(cid:64)(cid:372)(cid:213)(cid:68)(cid:171)(cid:21)(cid:373)(cid:374)(cid:375)(cid:68)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:11)(cid:376)(cid:27)(cid:231)(cid:232)(cid:73)(cid:74)(cid:372)(cid:76)(cid:27)(cid:366)(cid:377)(cid:123)(cid:227)(cid:374)
(cid:171)(cid:378)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)7-3(cid:20)(cid:102)22-23(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:58)·(cid:236)(cid:162)(cid:379)(cid:380)·(cid:166)(cid:348)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68)(cid:283)(cid:175) =6(cid:68) =8(cid:68)(cid:87) (cid:62)(cid:57) (cid:58)
(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:123) (cid:94)(cid:54)(cid:31)(cid:57)(cid:79)(cid:42)(cid:87) (cid:27)(cid:112)(cid:349)(cid:122)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31) (cid:68)(cid:169)𝐴(cid:170)𝐵𝐶𝐷(cid:68)(cid:247)(cid:87) (cid:79)𝐴(cid:57)𝐵 (cid:58)(cid:187)𝐵𝐶(cid:381)(cid:248)(cid:68)(cid:33)(cid:34)𝐸 (cid:35)𝐴(cid:32)𝐷(cid:27)
(cid:52)(cid:134)(cid:53)(cid:62)𝐶((cid:359)𝐸(cid:359)) 𝐷 △𝐶𝐸𝐺 𝐵𝐺 𝐸 𝐴𝐷 𝐵𝐺
A(cid:71)2 29 B(cid:71)10 2 C(cid:71)10 3 D(cid:71)14(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)B
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:77)(cid:78)(cid:122) (cid:86) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:92) (cid:68) (cid:92) (cid:68)(cid:86) (cid:92) (cid:71)(cid:81) (cid:71)(cid:211) = (cid:174)
𝐺𝐻AA⊥S𝐵)(cid:68)𝐴(cid:195)𝐵(cid:148)𝐴 = =𝐻 𝐸=𝑀⊥𝐻𝐺 𝑀= 𝐵=𝐶 𝑁=6(cid:68)𝑀(cid:79)𝑁R⊥t 𝐵𝐶 (cid:51)𝐴𝐸(cid:68)(cid:207)𝑚(cid:208).(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:147)
△𝑀(cid:68)𝐸(cid:23)𝐺(cid:24)≌(cid:306)△(cid:307)𝑁𝐶(cid:382)𝐸(cid:72)( (cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:151)(cid:152)𝐸(cid:30)𝑀(cid:153)(cid:71)𝐶𝑁 𝐴𝐻 8−𝑚,𝑀𝐺 𝐸𝑁 𝐴𝐵 △𝐵𝐻𝐺
𝐵(cid:15)𝐺(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:122) (cid:86) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:92) (cid:68) (cid:92) (cid:68)(cid:86) (cid:92) (cid:71)(cid:81) (cid:71)(cid:211) =
𝐺𝐻⊥𝐵𝐴 𝐵𝐴 𝐻 𝐸𝑀⊥𝐻𝐺 𝑀 𝐵𝐶 𝑁 𝑀𝑁⊥𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝑚.
= = =90°(cid:68)
+ =90°(cid:68)∵∠𝐸𝑀𝐺+ ∠𝐸𝑁𝐶=9∠0𝐶°(cid:68)𝐸𝐺
∴∠𝑀𝐸𝐺=∠𝐶𝐸𝑁(cid:68) ∠𝐶𝐸𝑁 ∠𝐸𝐶𝑁
∴∠𝑀𝐸=𝐺 (cid:68)∠𝐸𝐶𝑁
∵𝐸𝐺 𝐸𝐶 AAS)(cid:68)
∴△𝑀𝐸=𝐺≌△=𝑁𝐶𝐸(= = = =6(cid:68)
(cid:79)∴R𝐸t𝑀 𝐶𝑁(cid:51)(cid:68)𝐴𝐻 8−𝑚,𝑀𝐺 𝐸𝑁 𝐴𝐵
△𝐵𝐻𝐺
= + = (6+ +
2 2 2 2
𝐵𝐺 𝐺𝐻 𝐵𝐻 𝑚) (14−𝑚)
= 2 +200,
2
(𝑚−4)
=4(cid:248)(cid:68) (cid:59)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:68)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:94)10 2(cid:68)
(cid:155)∴(cid:156)𝑚(cid:10)B(cid:71) 𝐵𝐺
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:286)(cid:287)(cid:157)(cid:250)(cid:68)(cid:265)(cid:326)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:142)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:306)(cid:307)(cid:382)(cid:72)(cid:27)(cid:313)(cid:24)(cid:45)(cid:175)
(cid:222)(cid:68)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:62)(cid:11)(cid:383)(cid:295)(cid:296)(cid:254)(cid:24)(cid:275)(cid:276)(cid:33)(cid:244)(cid:245)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:153)(cid:235)(cid:115)(cid:21)(cid:68)(cid:11)(cid:383)(cid:244)(cid:179)(cid:306)(cid:307)(cid:382)(cid:72)(cid:153)(cid:235)(cid:52)(cid:53)(cid:115)(cid:21)(cid:71)
【题型8 矩形与分类讨论】
(cid:15)(cid:101)8(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:162)(cid:384)(cid:385)(cid:238)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) = =10(cid:68)(cid:87)E(cid:62)(cid:57) (cid:58)(cid:60)(cid:381)
(cid:87)(cid:68)(cid:87)F(cid:62) (cid:58)(cid:60)(cid:381)(cid:87)(cid:68)(cid:84) = (cid:68)(cid:87)G(cid:62)(cid:57) (cid:58)(cid:60)𝐴(cid:381)𝐵(cid:87)𝐶𝐷(cid:68)(cid:169)(cid:170)𝐴𝐷 (cid:68)4,𝐴𝐵(cid:68) (cid:68)(cid:247) (cid:62)𝐴(cid:45)𝐷(cid:46)(cid:54)(cid:31)
(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:248)(cid:68)𝐴𝐵(cid:27)(cid:35)(cid:62) 𝐴𝐹(cid:71)2𝐴𝐸 𝐶𝐷 𝐺𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝐺 △𝐸𝐹𝐺
𝐴𝐸4 8
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20) (cid:314)2(cid:314)
3 3
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:246)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:27)(cid:62)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:227)(cid:28)(cid:29)(cid:71)
(cid:211) = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:45)(cid:46)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:46)(cid:27)(cid:386)(cid:387)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:68)(cid:47)(cid:131)(cid:128)(cid:148)(cid:83)(cid:313)(cid:27)(cid:78)(cid:26)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:206)(cid:45)
(cid:55)𝐴(cid:31)𝐸(cid:26)(cid:27)𝑥(cid:194)(cid:90)(cid:227)𝐴𝐹(cid:28)(cid:29)2(cid:47)𝑥(cid:131)(cid:321)(cid:148)(cid:326)(cid:329)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:148)(cid:198)(cid:50)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:211) = (cid:68)(cid:81) = (cid:68)
(cid:80) (cid:51)(cid:68)𝐴𝐸 =𝑥 (cid:68)𝐴𝐹 2=𝑥90°(cid:248)(cid:68)(cid:77)(cid:118)(cid:78)(cid:212)(cid:213)
① △𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐺 𝐸𝐹 ∠𝐺𝐸𝐹
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:94)(cid:25)(cid:26)(cid:68) = =10
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =9𝐴0°𝐷 4,𝐴𝐵
∴∠𝐷 ∠+𝐴 ∠𝐺𝐸=𝐹90°(cid:68) + =90°
∴∠𝐷𝐸𝐺=∠𝐴𝐸𝐹 ∠𝐴𝐹𝐸 ∠𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐷𝐸𝐺 ∠𝐴𝐹𝐸
∴△𝐷=𝐸𝐺≌=△𝐴𝐹𝐸
∴𝐷𝐸+ 𝐴𝐹= 2𝑥
∵𝐴𝐸+ 𝐷=𝐸 4 𝐴𝐷
∴ (cid:153) 𝑥 (cid:147)(cid:10) 2𝑥 = 4
3
𝑥
4
(cid:151) = (cid:130)
3
𝐴(cid:80)𝐸 (cid:51)(cid:68) = (cid:68) =90°(cid:248)(cid:68)(cid:77)(cid:118)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:181)(cid:87)G(cid:122) (cid:92)M
② △𝐸𝐹𝐺 𝐸𝐹 𝐹𝐺 ∠𝐺𝐹𝐸 𝐺𝑀⊥𝐴𝐵(cid:81) = =4(cid:68) = = =90°(cid:68)
𝐺𝑀 +𝐴𝐷 =∠9𝐴0°(cid:68)∠𝐹𝑀𝐺 +∠𝐺𝐹𝐸 =90°
∴∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐺𝐹𝑀 ∠𝐹𝐺𝑀 ∠𝐺𝐹𝑀
∴∠𝐸𝐹𝐴 ∠𝐹𝐺𝑀
∴△𝐸=𝐹𝐴≌△𝐹𝐺𝑀
∴𝐴𝐹=4𝐺𝑀
∴(cid:153)2(cid:147)𝑥 (cid:10) =2
(cid:151) =𝑥2(cid:130)
𝐴(cid:80)𝐸 (cid:51)(cid:68) = (cid:68) =90°(cid:248)(cid:68)(cid:77)(cid:118)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:181)(cid:87)F(cid:122) (cid:92)H
③ △𝐸𝐹𝐺 𝐺𝐸 𝐹𝐺 ∠𝐸𝐺𝐹 𝐹𝐻⊥𝐶𝐷
(cid:388)(cid:175)(cid:10) = =4(cid:68) = = (cid:68) = = (cid:68) = = =90°
𝐻+𝐹 𝐴𝐷 =90°(cid:68)𝐷𝐻 𝐴𝐹+ 2𝑥 𝐷=𝐸90°𝐴𝐷−𝐴𝐸 4−𝑥 ∠𝐷 ∠𝐺𝐻𝐹 ∠𝐸𝐺𝐹
∴∠𝐷𝐺𝐸=∠𝐻𝐺𝐹 ∠𝐻𝐹𝐺 ∠𝐻𝐺𝐹
∴∠𝐷𝐺𝐸 ∠𝐻𝐹𝐺
∴△𝐷=𝐺𝐸≌△=𝐻𝐹𝐺(cid:68) = =4
∴𝐺𝐻+ 𝐷𝐸= 4−𝑥 𝐷𝐺 𝐻𝐹
∵𝐷4𝐺+( 𝐺𝐻)=𝐷𝐻
∴
(cid:153)(cid:147)(cid:10)
4−
=
𝑥8 2𝑥
3
𝑥
8
(cid:151) = (cid:130)
3
𝐴𝐸
4 8
(cid:251)(cid:58)(cid:10) (cid:27)(cid:35)(cid:94) (cid:314)2(cid:314)
3 3
𝐴𝐸
4 8
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10) (cid:314)2(cid:314) (cid:71)
3 3
(cid:15)(cid:157)(cid:158)8-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:389)(cid:390)(cid:162)(cid:391)(cid:392)(cid:393)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:68) =5(cid:68) =13(cid:68)(cid:87) (cid:94)(cid:54)(cid:33)
(cid:58)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:80) = (cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:35)(cid:94) (cid:71) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐸 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20) 2𝐴6𝐷(cid:314)5 𝐴2𝐸6 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:62)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:148)(cid:394)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:27)(cid:35)(cid:71)(cid:228)(cid:145)(cid:146)(cid:21)(cid:183)(cid:128)(cid:148)(cid:213)(cid:183)(cid:78)(cid:68)(cid:47)“(cid:87) (cid:79) (cid:57)(cid:58)”(cid:126)“(cid:87) (cid:79) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:58)”(cid:88)(cid:395)(cid:386)(cid:387)(cid:68)(cid:47)(cid:131)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:153)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:247)(cid:87) (cid:79) (cid:57)(cid:58)(cid:248)𝐸(cid:68)(cid:77)𝐵𝐶(cid:78)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)𝐸 𝐶𝐵
𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸
(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:68) =5(cid:68) =13(cid:68) = =90°(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 𝐴𝐵= =𝐴𝐷5(cid:68) ∠𝐵 ∠𝐶
∴𝐵𝐶 =𝐴𝐷(cid:68) 13,𝐶𝐷 𝐴𝐵
∵𝐴𝐷= 𝐴𝐸=13(cid:68)
∴𝐴𝐸 =𝐴𝐷 =12(cid:68)
2 2
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸 −𝐴=𝐵1(cid:68)
∴𝐶𝐸 =𝐵𝐶−𝐵𝐸+ = 26(cid:130)
2 2
(cid:247)∴𝐷(cid:87)𝐸 (cid:79)𝐶𝐷(cid:27)(cid:133)𝐶(cid:35)𝐸(cid:33)(cid:58)(cid:248)(cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68)
𝐸 𝐶𝐵 𝐷𝐸
=13(cid:68) =5(cid:68) = =90°(cid:68)
∵𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 =∠12𝐴(cid:68)𝐵𝐸 180°−∠𝐴𝐵𝐶
2 2
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐸+−𝐴𝐵=25(cid:68)
∴𝐸𝐶 =𝐵𝐶 𝐵+𝐸 = 5 +25 =5 26(cid:71)
2 2 2 2
∴(cid:251)𝐷(cid:58)𝐸(cid:212)(cid:76)𝐷(cid:68)𝐶 (cid:27)𝐸(cid:35)𝐶(cid:94) 26(cid:314)5 26(cid:71)
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)𝐷2𝐸6(cid:314)5 26(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)8-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:389)(cid:390)(cid:162)(cid:396)(cid:353)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =4(cid:68) =6(cid:68)(cid:87) (cid:94)(cid:132)(cid:33) (cid:58)(cid:60)(cid:381)
(cid:87)(cid:68)(cid:218) (cid:219) (cid:40)(cid:41)(cid:168)(cid:87) (cid:288)(cid:79)(cid:87) (cid:311)(cid:68)(cid:169)(cid:170) .(cid:247) (cid:126)𝐴𝐵(cid:126)𝐶𝐷(cid:55)(cid:87)(cid:249)𝐴𝐵(cid:33)(cid:248)(cid:68) 𝐵𝐶(cid:35)(cid:94) 𝐸 (cid:71) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)△𝐴𝐵𝐸 5(cid:314)𝐴𝐸6+2 5 𝐵 𝐹 𝐷𝐹 𝐷 𝐸 𝐹 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)6(cid:171)−(cid:21)2(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:21)(cid:183)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:68)(cid:198)(cid:199)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:321)(cid:148)(cid:326)(cid:329)(cid:62)
(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)(cid:47)(cid:94)(cid:87) (cid:79)(cid:33)(cid:34) (cid:58)(cid:142)(cid:87) (cid:79)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:58)(cid:88)(cid:395)(cid:386)(cid:387)(cid:197)(cid:64)(cid:47)(cid:137)(cid:68)(cid:198)(cid:199)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:147)(cid:148) = (cid:68)𝐸 = 𝐵=𝐶4(cid:68) 𝐸=90°(cid:68)𝐵𝐶 = =4(cid:68) = =6(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:47)(cid:131)(cid:321)(cid:148)(cid:326)(cid:329)(cid:68)
𝐵𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐹 𝐴𝐵 ∠𝐵 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷(cid:153)(cid:326)(cid:329)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:10)(cid:247)(cid:87) (cid:79)(cid:33)(cid:34) (cid:58)(cid:68) (cid:126) (cid:126) (cid:55)(cid:87)(cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68)
𝐸 𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ =9𝐴0𝐵°(cid:68)𝐶𝐷 = =4(cid:68) = =6(cid:68)
∴(cid:218)∠𝐵 (cid:219)𝐴𝐵(cid:40)(cid:41)𝐶𝐷(cid:147)(cid:196) 𝐵𝐶 (cid:68)𝐴𝐷
∵ △=𝐴𝐵𝐸(cid:68) 𝐴𝐸= =4(cid:68)△𝐴𝐹𝐸
∴(cid:79)𝐵R𝐸t 𝐸𝐹 (cid:51)𝐴𝐹(cid:68) 𝐴𝐵= = 6 4 =2 5(cid:68)
2 2 2 2
(cid:211) △=𝐴𝐷𝐹= (cid:68)𝐷(cid:81)𝐹 =𝐴𝐷 −𝐴𝐹 = (cid:68)−
(cid:79)𝐵Rt𝐸 𝐸𝐹 (cid:51)𝑎(cid:68) 𝐸=𝐶 𝐵𝐶+−𝐵𝐸 =64−𝑎+( ) (cid:68)
2 2 2 2 2
△𝐷𝐶𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 6−𝑎
(cid:151) +2 5 =4 +( ) (cid:68)
2
2 2
(cid:153)(cid:147)𝑎(cid:10) = 5(cid:68) 6−𝑎
=𝑎 6−52(cid:130)
∴(cid:77)𝐵(cid:78)𝐸(cid:10)(cid:247)6−(cid:87)2 (cid:79)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:58)(cid:68) (cid:126) (cid:126) (cid:55)(cid:87)(cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68)
𝐸 𝐵𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
(cid:211) = (cid:68)(cid:81) = + =6+ (cid:68)
(cid:79)𝐸Rt𝐶 𝑏 (cid:51)𝐵(cid:68)𝐸 𝐵=𝐶 𝐶𝐸+ 𝑏= 4 + (cid:68)
2 2 2 2
(cid:79)Rt△𝐷𝐶𝐸(cid:51)(cid:68)𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 𝐶𝐸 = 6 4𝑏=2 5(cid:68)
2 2 2 2
(cid:151) 4△+𝐴𝐷𝐹+2 5𝐷𝐹=6+𝐴𝐷(cid:68)−𝐴𝐹 −
2 2
(cid:153)(cid:147)(cid:10) =𝑏 2 5(cid:68) 𝑏
=𝑏6+2 5(cid:130)
(cid:151)∴𝐵(cid:247)𝐸 (cid:27)(cid:53)(cid:94) 5(cid:314)6+2 5(cid:248)(cid:68) (cid:126) (cid:126) (cid:55)(cid:87)(cid:249)(cid:33)(cid:71)
(cid:155)(cid:135)𝐵(cid:136)𝐸(cid:94)(cid:10) 6−52(cid:314)6+2 5(cid:71) 𝐷 𝐸 𝐹
6−2(cid:15)(cid:157)(cid:158)8-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:389)(cid:390)(cid:162)(cid:391)(cid:392)(cid:393)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:283)(cid:175)(cid:25)(cid:26)(cid:301)(cid:302) (cid:68) =4cm(cid:68) =8cm(cid:68)(cid:218)(cid:25)(cid:26)
(cid:301)(cid:302)(cid:40)(cid:41)(cid:68)(cid:168)B(cid:68)D(cid:88)(cid:87)(cid:240)(cid:199)(cid:68)(cid:40)(cid:304)(cid:42)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:60)(cid:57)(cid:86)(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:81)A(cid:68)𝐴P𝐵𝐶(cid:88)𝐷(cid:87)(cid:290)𝐴𝐵(cid:27)(cid:397)(cid:398)(cid:94) 𝐴 𝐷 cm(cid:71)
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)3(cid:314) 41 𝑃
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:126)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:71)(cid:211)(cid:40)(cid:304)(cid:94) (cid:68)(cid:247)(cid:87) (cid:79) (cid:58)(cid:142)(cid:87) (cid:79) (cid:58)
(cid:248)(cid:68)(cid:88)(cid:395)(cid:386)(cid:387)(cid:49)(cid:50)(cid:68)(cid:122) (cid:86) (cid:92) (cid:68)(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:10) = (cid:68)𝑃𝑄 = 𝑃(cid:68) 𝐴𝐷= =𝑃4cm𝐵(cid:68)𝐶
= =90°(cid:68)(cid:174)(cid:207)(cid:208)𝑃𝐻(cid:90)⊥(cid:91)𝐶(cid:47)𝐷(cid:131)(cid:30)𝐶𝐷(cid:151)(cid:152)𝐻(cid:147)(cid:196)(cid:135)(cid:136)(cid:71) 𝐵𝐸 𝐷𝐸 𝐺𝐹 𝐶𝐹 𝐵𝐺 𝐶𝐷
∠(cid:15)𝐺(cid:154)(cid:153)∠(cid:20)𝐶(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:211)(cid:40)(cid:304)(cid:94) (cid:68)(cid:247)(cid:87) (cid:79) (cid:58)(cid:248)(cid:68)(cid:122) (cid:86) (cid:92) (cid:68)
𝑃𝑄 𝑃 𝐴𝐷 𝑃𝐻⊥𝐶𝐷 𝐶𝐷 𝐻
(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷= =90°(cid:68)
∴∠(cid:65)𝐴(cid:57)(cid:26)∠𝐴𝐷𝐺 (cid:62)∠(cid:25)𝐵(cid:26)𝐻𝐸(cid:68)
∴ = 𝐴𝐵=𝐻𝑃4cm(cid:68) = (cid:68)
(cid:174)∴(cid:40)𝐴𝐵(cid:41)(cid:27)𝐸(cid:28)𝐻(cid:29)(cid:152)(cid:147)(cid:10)𝐴𝑃= 𝐵𝐻(cid:68) = (cid:68) = =4cm(cid:68) = =90°(cid:68)
(cid:211) = cm(cid:68)(cid:81) =𝐵𝐸 =𝐷𝐸( 𝐺𝐹)cm𝐶(cid:68)𝐹 𝐵𝐺 𝐶𝐷 ∠𝐺 ∠𝐶
(cid:79)𝐴Rt𝑃 𝑥 (cid:51)(cid:68)𝐵𝑃 +𝐷𝑃 =8−𝑥(cid:68)
2 2 2
(cid:151)4 △+𝐴𝐵𝑃=( 𝐴𝐵) (cid:68)𝐴𝑃 𝐵𝑃
2 2 2
(cid:153)(cid:147)(cid:10)𝑥=3(cid:68)8−𝑥
=𝑥3cm(cid:130)
(cid:247)∴𝐴(cid:87)𝑃 (cid:79) (cid:58)(cid:248)(cid:68)
𝑃 𝐵𝐶
(cid:112)(cid:91) =3cm
𝐴=𝑄 =3cm(cid:68)
∴𝐴𝑄 𝐵𝐻(cid:211) = cm(cid:68)(cid:81) = =( )cm(cid:68)
(cid:79)𝐵Rt𝑃 𝑦 (cid:51)(cid:68)𝐺𝑃 +𝐶𝑃 =9−𝑦(cid:68)
2 2 2
(cid:151)4 △+𝐵(𝐺𝑃 ) =𝐵𝐺 (cid:68)𝑃𝐺 𝐵𝑃
2 2 2
(cid:153)(cid:147)(cid:10) 8=−5𝑦(cid:68) 𝑦
=𝑦5cm(cid:68)
∴𝐵𝑃= + = 4 +5 = 41cm(cid:68)
2 2 2 2
(cid:251)∴(cid:58)𝐴𝑃(cid:68)A(cid:68)𝐴P𝐵(cid:88)(cid:87)𝐵(cid:290)𝑃(cid:27)(cid:397)(cid:398)(cid:94)3cm(cid:314) 41cm(cid:71)
(cid:155)(cid:135)(cid:136)(cid:94)(cid:10)3(cid:314) 41(cid:71)
【题型9 矩形中的最值】
(cid:15)(cid:101)9(cid:20)(cid:102)2025·(cid:223)(cid:224)(cid:399)(cid:400)(cid:278)·(cid:60)(cid:106)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =3(cid:68) =2(cid:68) (cid:94) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68) (cid:94) (cid:58)(cid:60)
(cid:381)(cid:87)(cid:68)(cid:87) (cid:126) (cid:47)(cid:131)(cid:62)(cid:87) (cid:126) (cid:3)(cid:92)(cid:54)(cid:33) (cid:27)(cid:83)(cid:309)𝐴(cid:87)𝐵𝐶(cid:68)𝐷(cid:169)(cid:170)𝐴𝐵(cid:126) (cid:86)𝐴𝐷(cid:92)(cid:87) (cid:68)𝑀(cid:81)𝐴𝐷(cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)(cid:94)𝑁(cid:102)𝐵 𝐶 (cid:110)
′ ′ ′ ′
𝐵 𝐷 𝐵 𝐷 𝑀𝑁 𝐵 𝐷 𝑀𝑁 𝐸 𝐶𝐸
6 13 13
A(cid:71) B(cid:71) 13 C(cid:71) D(cid:71) 13
13 2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)A −2 −3
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68)(cid:228)(cid:145)(cid:146)(cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:196)(cid:87) (cid:79) (cid:58)(cid:68)(cid:151)(cid:247) (cid:248)(cid:68) (cid:52)(cid:134)(cid:68)(cid:401)(cid:362)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:196)
(cid:35)(cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:36)𝐵(cid:37)𝐸(cid:402)(cid:30)𝐷𝐸(cid:148) (cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)(cid:151)(cid:152)(cid:71) 𝐸 𝐵𝐷 𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:169)(cid:170) (cid:68)𝐶𝐸 (cid:68)
(cid:174)(cid:40)(cid:41)(cid:147) =𝐵𝐸 𝐷𝐸= = (cid:68)
′ ′
(cid:87) (cid:126) (cid:126)∠𝐷𝐸(cid:249)𝑀(cid:33)(cid:68)∠(cid:151)𝐷(cid:87)𝐸𝑀(cid:79) ∠𝐵(cid:58)𝐸(cid:68)𝑁 ∠𝐵𝐸𝑁
∴ 𝐵 𝐸 𝐷 𝐸 𝐵𝐷
(cid:247) (cid:248)(cid:68)(cid:98)(cid:248) (cid:52)(cid:134)(cid:68)
∴ 𝐶𝐸⊥𝐵𝐷 𝐶𝐸(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:68)
∴∠𝐵𝐴=𝐷 + = 3 +2 = 13(cid:68)
2 2 2 2
(cid:177)∴𝐵𝐷 𝐴 = 𝐵 1 𝐴 × 𝐷 = 1 × (cid:68)
2 2
∵𝑆△𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐸
= × = 3×2 = 6 13 (cid:68)
13 13
𝐵𝐶 𝐶𝐷
∴𝐶𝐸 𝐵𝐷
6 13
(cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)(cid:94) (cid:68)
13
∴(cid:155)𝐶(cid:156)𝐸(cid:10)A(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:182)(cid:33)(cid:34)(cid:52)(cid:403)(cid:68)(cid:257)(cid:83)(cid:309)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:185)(cid:186)(cid:209)(cid:210)(cid:82)(cid:3)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:199)(cid:91)(cid:67)(cid:148)(cid:275)
(cid:276)(cid:33)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)9-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:202)(cid:203)(cid:404)(cid:405)·(cid:192)(cid:34)(cid:186)(cid:193)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =6(cid:68) =8(cid:68)(cid:87) (cid:94)(cid:54)(cid:33)
(cid:118)(cid:326)(cid:60)(cid:87)(cid:68)(cid:84)(cid:123) (cid:94)(cid:56)(cid:57)(cid:79)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:242)(cid:261)(cid:122)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26) (cid:68)(cid:87) (cid:62)𝐴𝐵(cid:27)𝐶𝐷(cid:51)(cid:87)(cid:68)𝐴𝐵(cid:81) (cid:27)(cid:52)𝐴𝐷(cid:18)(cid:53)(cid:94)(cid:102) 𝐸 (cid:110) 𝐵𝐶
𝐵𝐶 𝐵𝐸𝐶 𝐹 𝐶𝐷 𝐸𝐹
A(cid:71)8 B(cid:71)9 C(cid:71)10 D(cid:71) 15
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)B
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:363) (cid:51)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)
(cid:28)(cid:29)(cid:152)(cid:30) (cid:68) (cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:152)(cid:30) (cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:145)(cid:146)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)𝐵𝐶(cid:28)(cid:29)(cid:152)𝑂(cid:30) (cid:27)𝑂(cid:35)𝐸(cid:68)(cid:145)𝑂𝐹(cid:146)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:55)(cid:57)
(cid:3)(cid:201)(cid:152)(cid:30)𝑂(cid:147)𝐶(cid:247)(cid:87)𝐶𝐹(cid:68)(cid:87) (cid:68)(cid:87) (cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68) (cid:59)𝑂(cid:52)𝐹 (cid:18)(cid:53)(cid:68)(cid:151) = + (cid:71) 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)𝑂(cid:78)(cid:68)(cid:363)𝐸 (cid:51)(cid:87)𝐹 (cid:68)(cid:169)(cid:170)𝐸𝐹(cid:68) (cid:68) 𝐸𝐹 𝑂𝐸 𝑂𝐹
𝐵𝐶 𝑂 𝑂𝐸 𝑂𝐹(cid:65)(cid:57)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)
∵ =𝐴𝐵𝐶=𝐷6(cid:68) = =8(cid:68) =90°(cid:68)
∴(cid:87)𝐴𝐵(cid:62) 𝐶𝐷(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:87)𝐴𝐷(cid:62) 𝐵𝐶(cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)∠𝐵𝐶𝐷
∵ 𝐹 =𝐶3𝐷(cid:68) =4(cid:68)𝑂 𝐵𝐶
∴ 𝐶𝐹 = 𝐶𝑂+ =5(cid:68)
2 2
∴(cid:87)𝑂𝐹(cid:62)Rt𝐶𝐹 𝐶(cid:27)𝑂(cid:56)(cid:57) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)
∵ 𝑂 = △=𝐵𝐶4𝐸(cid:68) 𝐵𝐶
∴(cid:145)𝑂(cid:146)𝐸(cid:55)(cid:31)𝑂𝐶(cid:26)(cid:55)(cid:57)(cid:3)(cid:201)(cid:152)(cid:147)(cid:10) + > (cid:68)
∵(cid:247)(cid:87) (cid:68)(cid:87) (cid:68)(cid:87) (cid:249)(cid:33)(cid:248)(cid:68)𝑂𝐸(cid:52)(cid:18)𝑂(cid:68)𝐹 𝐸(cid:52)𝐹(cid:18)(cid:53)(cid:94) + =4+5=9(cid:71)
(cid:155)∴(cid:156)(cid:10)B𝑂(cid:71) 𝐸 𝐹 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝑂𝐸 𝑂𝐹
(cid:15)(cid:157)(cid:158)9-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:281)(cid:160)(cid:161)(cid:58)·(cid:236)(cid:162)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =2(cid:68) =4(cid:68)(cid:87) (cid:62)(cid:33)(cid:34) (cid:58)(cid:27)(cid:381)
(cid:87)(cid:68)(cid:169)(cid:198) (cid:68)(cid:218)(cid:33)(cid:34) (cid:285)(cid:87) (cid:406)(cid:248)(cid:407)(cid:286)(cid:287)90°(cid:147)(cid:196)(cid:33)(cid:34) 𝐴(cid:68)𝐵(cid:169)𝐶𝐷(cid:198) (cid:71)𝐴𝐵(cid:87) (cid:230)(cid:87)𝐵𝐶(cid:343)(cid:87) (cid:187)(cid:381)𝑃(cid:27)(cid:181)(cid:329)(cid:51)𝐵𝐶(cid:68)(cid:33)(cid:34)
(cid:27)(cid:52)(cid:134)(cid:53)𝑃(cid:94)𝐴(cid:102) (cid:110) 𝑃𝐴 𝑃 𝑃𝐸 𝐶𝐸 𝑃 𝐵 𝐶 𝐶𝐸
A(cid:71)1 B(cid:71) 2 C(cid:71) 3 D(cid:71)2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)B
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:228)(cid:293)(cid:39)(cid:247) (cid:94) (cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:58)(cid:187)(cid:381)(cid:68) (cid:248)(cid:68) (cid:59)(cid:52)(cid:134)(cid:53)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)
(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:153)(cid:71) 𝑀 𝐵𝐶 𝐸 𝐷𝑀 𝐶𝐸⊥𝐷𝑀 𝐶𝐸
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:363) (cid:27)(cid:51)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170)
𝐵𝐶 𝑀 𝐷𝑀
(cid:218)(cid:33)(cid:34) (cid:285)(cid:87) (cid:406)(cid:248)(cid:407)(cid:286)(cid:287)90°(cid:147)(cid:196)(cid:33)(cid:34) (cid:68)
∵ = 𝑃𝐴 𝑃 𝑃𝐸
∴(cid:177)𝐴𝑃 𝑃=𝐸2(cid:68) =4(cid:68)
∵𝐴𝐵 𝐵𝐶1
= =
2
∴𝐵𝑀 𝐵𝐶 𝐴𝐵
(cid:247)(cid:87) (cid:334)(cid:92)(cid:87) (cid:311)(cid:248)(cid:68)(cid:87) (cid:334)(cid:92)(cid:87) (cid:311)(cid:68)
∴(cid:247)(cid:87) 𝑃(cid:79) (cid:58)(cid:248)𝐵(cid:68)(cid:77)(cid:78)(cid:212)𝐸(cid:213)(cid:68)(cid:181)(cid:87)𝑀 (cid:122) (cid:92)(cid:87) (cid:68)
(cid:145)(cid:146)𝑃(cid:286)(cid:287)𝐵(cid:152)𝑀(cid:147) = (cid:68) =9𝐸0° 𝐸𝐹⊥𝐵𝐶 𝐹
+ 𝑃𝐴= 𝐸𝑃 ∠+𝐴𝑃𝐸 =90°(cid:68)
∵∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐵𝐴𝑃(cid:68)∠𝐴𝑃𝐵 ∠𝐹𝑃𝐸
(cid:177)∴∠𝐵𝐴𝑃 =∠𝐹𝑃𝐸 =90°
∠𝐴𝐵𝑃 ∠𝑃𝐹𝐸
∴△𝐴=𝐵𝑃≌=△2𝑃(cid:68)𝐹𝐸 =
∴𝑃𝐹 𝐴𝐵= 𝐵𝑃 𝐸𝐹
∴𝐵𝑀−=𝑃𝑀 𝑃𝐹−𝑃𝑀
∴𝐵𝑃 =𝑀𝐹(cid:68)
∴𝑀𝐹 𝐸(cid:62)𝐹 (cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
∴△𝐸𝐹𝑀=45°
∴(cid:177)∠𝐸𝑀𝐹= =2(cid:68) =90°
∵𝐶𝐷 =𝐶4𝑀5°(cid:68) ∠=𝑀𝐶2𝐷2
∴∠(cid:79)𝐶𝑀(cid:33)𝐷(cid:34) (cid:58)(cid:187)𝐷(cid:381)𝑀(cid:68)
∴(cid:247)𝐸 𝐷𝑀(cid:248)(cid:68) (cid:52)(cid:134)(cid:68)
∴ 𝐶𝐸⊥1 𝑀𝐷 𝐶𝐸
= = 2
2
∴𝐶𝐸 𝐷𝑀
(cid:155)(cid:156)(cid:10)B(cid:71)
(cid:15)(cid:87)(cid:243)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:286)(cid:287)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:45)(cid:175)(cid:222)(cid:68)(cid:91)(cid:153)(cid:82)(cid:3)
(cid:175)(cid:222)(cid:62)(cid:153)(cid:135)(cid:3)(cid:188)(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)9-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:58)·(cid:162)(cid:384)(cid:408)(cid:409)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79) (cid:51)(cid:68) =4(cid:68) =3 2(cid:68) (cid:62) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)
(cid:54)(cid:33)l(cid:410)(cid:181)(cid:87) (cid:84)(cid:152)(cid:285)(cid:87) (cid:287)(cid:381)(cid:68) (cid:68) (cid:68)(cid:182)(cid:277)(cid:47)(cid:131)△(cid:94)𝐴𝐵(cid:68)𝐶 (cid:68)(cid:81)𝐴𝐵 + 𝐴(cid:27)𝐶(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:94)𝐷(cid:102) 𝐵 (cid:110)𝐶
𝐷 𝐷 𝐴𝐸⊥𝑙 𝐵𝐹⊥𝑙 𝐸 𝐹 𝐴𝐸 𝐵𝐹A(cid:71)4 B(cid:71)2 6 C(cid:71)4 3 D(cid:71)3 2
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)D
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:206)(cid:45)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:194)(cid:90)(cid:42)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:122) (cid:92) (cid:68) (cid:86) (cid:27)(cid:133)(cid:35)(cid:33)(cid:92) (cid:68)(cid:81)(cid:65)(cid:57)(cid:26)
(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:68)(cid:147)(cid:196) = (cid:68)(cid:38)(cid:39) (AAS𝐶)𝐺(cid:68)⊥(cid:147)𝑙(cid:148)𝐺 =𝐶𝐻⊥(cid:68)𝐴𝐸(cid:195)(cid:148)𝐴𝐸 = (cid:68)(cid:81)𝐻 𝐶𝐺𝐸𝐻
+ = 𝐶+𝐺 𝐸=𝐻 (cid:68)(cid:230)△(cid:176)𝐵(cid:147)𝐷(cid:148)𝐹≌(cid:247)△(cid:54)𝐶(cid:33)𝐷𝐺 (cid:248)(cid:68) +𝐵𝐹 (cid:27)𝐶𝐺(cid:53)(cid:52)(cid:18)(cid:68)𝐵(cid:94)𝐹 𝐸(cid:68)𝐻(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:153)(cid:71)
𝐴(cid:15)𝐸(cid:154)(cid:153)𝐵(cid:20)𝐹 (cid:153)(cid:10)𝐴𝐸(cid:77)(cid:78)𝐸(cid:68)𝐻(cid:122)𝐴𝐻 (cid:92) (cid:68) (cid:86)𝑙⊥𝐴(cid:27)𝐶(cid:133)(cid:35)𝐴(cid:33)𝐸(cid:92) 𝐵(cid:68)𝐹 𝐴𝐶
𝐶𝐺⊥𝑙 𝐺 𝐶𝐻⊥𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐻
(cid:68)
(cid:81) = = = = =90°(cid:68)
(cid:65)∠(cid:57)𝐵𝐹(cid:26)𝐷 ∠𝐶(cid:62)𝐺𝐷(cid:25)(cid:26)∠(cid:68)𝐶𝐺𝐸 ∠𝐻 ∠𝐺𝐸𝐻
∴ = 𝐶𝐺(cid:68)𝐸𝐻
∴𝐶𝐺(cid:62) 𝐸(cid:27)𝐻(cid:51)(cid:87)(cid:68)
∵𝐷 =𝐵𝐶 (cid:68)
∴𝐵𝐷 𝐶=𝐷 (cid:68)
∵∠𝐵𝐷𝐹 ∠𝐺𝐷𝐶 (AAS)(cid:68)
∴△𝐵=𝐷𝐹≌(cid:68)△𝐶𝐷𝐺
∴𝐵𝐹=𝐶𝐺(cid:68)
∴𝐵𝐹+ 𝐸𝐻= + = (cid:68)
(cid:79)∴𝐴R𝐸t 𝐵𝐹 (cid:51)𝐴(cid:68)𝐸 𝐸𝐻< 𝐴(cid:68)𝐻
(cid:247)(cid:54)△(cid:33)𝐴𝐶𝐻 (cid:248)𝐴(cid:68)𝐻 +𝐴𝐶 (cid:27)(cid:53)(cid:52)(cid:18)(cid:68)(cid:94) (cid:68)(cid:151)3 2(cid:68)
∴(cid:155)(cid:156)(cid:10)D𝑙(cid:71)⊥𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐴𝐶
【题型10 直角三角形斜边上的中线】
(cid:15)(cid:101)10(cid:20)(cid:102)2025·(cid:336)(cid:180)(cid:6)(cid:411)·(cid:55)(cid:106)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:412)(cid:31) (cid:51)(cid:68) >90°(cid:68)D(cid:94)(cid:57) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:80) =3(cid:68)
=4(cid:68)(cid:81) (cid:27)(cid:35)(cid:152)(cid:366)(cid:94)(cid:102) (cid:110) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐶𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐴𝐷A(cid:71)2 B(cid:71)3 C(cid:71)4 D(cid:71)5
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)A
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:21)(cid:413)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:55)(cid:57)(cid:3)(cid:201)(cid:68)(cid:54)(cid:170)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:51)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:91)(cid:153)(cid:21)(cid:183)(cid:62)(cid:153)(cid:21)(cid:3)(cid:188)
(cid:228)(cid:139)(cid:414)(cid:247) =90°(cid:248)(cid:68) =5(cid:68)(cid:147)(cid:148) = = =2.5(cid:68)(cid:149)(cid:174)(cid:21)(cid:367)(cid:89)(cid:415)(cid:151)(cid:152)(cid:147)(cid:148) <2.5(cid:68)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:153)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)∠(cid:153)𝐶(cid:10)𝐴𝐵 =3(cid:68) 𝐵𝐶=4(cid:68) 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(cid:247) =90°∵(cid:248)𝐴𝐵(cid:68) =𝐴5𝐶(cid:68)
D∠(cid:94)𝐶𝐴(cid:57)𝐵 (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)𝐵𝐶
∵(cid:246)(cid:248) 𝐵𝐶= =2.5(cid:68)
∴D(cid:94)(cid:57)𝐵𝐷 (cid:27)𝐶(cid:51)𝐷(cid:87)(cid:68)
∵ = 𝐵𝐶= =2.5(cid:68)
∴𝐴𝐷 𝐵>𝐷90°𝐶(cid:68)𝐷
∵∠𝐶𝐴<𝐵2.5(cid:68)
∴(cid:416)𝐴(cid:59)𝐷(cid:156)(cid:417)A(cid:371)(cid:199)(cid:21)(cid:183)(cid:68)
(cid:155)(cid:156)(cid:10)A
(cid:15)(cid:157)(cid:158)10-1(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:418)(cid:419)(cid:336)(cid:16)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79) (cid:51)(cid:68) = (cid:68) =4(cid:68) (cid:92)(cid:87) (cid:68)
(cid:92)(cid:87) (cid:68)(cid:292)(cid:84)(cid:87) (cid:62) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68) (cid:27)(cid:420)(cid:35)(cid:62)△10𝐴𝐵+𝐶2(cid:68)(cid:81)𝐴𝐵(cid:27)(cid:35)𝐴𝐶(cid:62)(cid:102)𝐵 𝐶 (cid:110) 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶 𝐻
𝐵𝑀⊥𝐴𝐶 𝑀 𝑁 𝐴𝐵 △𝐻𝑀𝑁 𝐴𝐻
A(cid:71)2 5 B(cid:71)2 10 C(cid:71)4 D(cid:71) 6
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)D
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:51)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:68)(cid:55)(cid:33)(cid:199)(cid:60)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:228)(cid:174)(cid:55)
(cid:33)(cid:199)(cid:60)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:196) = = 1 =2(cid:68)(cid:149)(cid:174)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:147)(cid:196) = = 1 (cid:68)
2 2
𝐵𝐻 𝐶𝐻 𝐵𝐶 𝐻𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝐵= 1 =2(cid:68)(cid:146)(cid:246)(cid:145)(cid:146)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:420)(cid:35)(cid:7)(cid:158)(cid:195)(cid:148) = + = 10(cid:68)(cid:149)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:151)(cid:152)(cid:30)(cid:148)(cid:135)(cid:136)(cid:71)
2
𝑀𝐻 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐻𝑁 𝑀𝑁
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) = (cid:68) =4(cid:68) (cid:68)
= =
1∵𝐴𝐵
=2
𝐴
(cid:68)
𝐶 𝐵𝐶
=90
𝐴
°(cid:68)
𝐻⊥𝐵𝐶
2
∴𝐵𝐻 𝐶𝐻 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐻𝐵
(cid:68)(cid:87) (cid:62) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)
∵𝐵𝑀⊥ = 𝐴𝐶 = 1𝑁 (cid:68) 𝐴𝐵 = 1 =2(cid:68)
2 2
∴𝐻𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝐵 𝑀𝐻 𝐵𝐶
(cid:27)(cid:420)(cid:35)(cid:62) 10+2(cid:68)
∵△𝐻+𝑀𝑁 + = 10+2(cid:68)
∴𝐻𝑁+𝑀𝑁=𝑀1𝐻0(cid:68)
∴𝐻𝑁= 𝑀𝑁 = = + = 10(cid:68)
∴𝐴𝐵 =2𝐻𝑁 2𝑀𝑁= 𝐻6𝑁(cid:68) 𝑀𝑁
2 2
∴(cid:155)𝐴(cid:156)𝐻(cid:10)D(cid:71)𝐴𝐵 −𝐵𝐻
(cid:15)(cid:157)(cid:158)10-2(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:336)(cid:180)(cid:421)(cid:422)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:79)(cid:25)(cid:26) (cid:51)(cid:68) =6(cid:68)(cid:181)(cid:83)(cid:31)(cid:33) (cid:27)(cid:51)(cid:87)O(cid:122)
(cid:68)(cid:47)(cid:131)(cid:86) (cid:126) (cid:92)E(cid:126)F(cid:68)(cid:87)G(cid:94) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)(cid:80) 𝐴𝐵=𝐶3𝐷0°(cid:68)(cid:81)𝐴𝐵 (cid:27)(cid:35)(cid:94) (cid:71)𝐴 𝐶
𝐸𝐹⊥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐴𝑂𝐺 𝑂𝐺
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)2
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)30°(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:123)(cid:227)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:27)(cid:51)(cid:33)(cid:45)(cid:92)(cid:56)(cid:57)(cid:27)(cid:60)(cid:93)(cid:68)(cid:153)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:188)(cid:79)
(cid:92)(cid:423)(cid:211) (cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:244)(cid:179)(cid:326)(cid:329)(cid:153)(cid:235)(cid:424)
(cid:145)(cid:146)30𝑥°(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:142)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:51)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:326)(cid:329)(cid:425)(cid:426)(cid:152)(cid:30)(cid:148) (cid:27)(cid:35)(cid:32)(cid:71)
(cid:15)(cid:154)(cid:153)(cid:20)(cid:153)(cid:10) (cid:68) 𝑂𝐺
=90∵°(cid:68)𝐸𝐹⊥𝐴𝐶
(cid:79)∴ ∠R𝐴t𝑂𝐸 (cid:51)(cid:68) (cid:62) (cid:27)(cid:51)(cid:87)(cid:68)
=
△1𝐴𝑂𝐸
=
𝐺
=
𝐴𝐸
(cid:68)
2
∴𝑂𝐺 𝐴𝐸 𝐴𝐺 𝐺𝐸
= =30°(cid:68)
∴∠𝑂𝐴𝐺=6∠0𝐴°𝑂(cid:68)𝐺
∴∠𝑂𝐺𝐸(cid:62)(cid:45)(cid:57)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:68)
∴△𝑂𝐺𝐸(cid:211) = = (cid:68)
𝑂𝐺= 𝑥 𝑂𝐸= 3 (cid:68)
∴𝐴(cid:62)𝐸 (cid:27)2𝑥(cid:51),𝐴(cid:87)𝑂 (cid:68) 𝑥
∵𝑂 𝐴=𝐶 =2 3 (cid:68)
(cid:79)∴ R 𝐴 t 𝐶 2𝐴𝑂(cid:51)(cid:68) 𝑥 = 1 = 3 (cid:68)
2
△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑥
(cid:174)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:147)(cid:68) + = (cid:68)
2 2 2
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶
6 +( 3 =(2 3 (cid:68)
2 2
2
(cid:153)∴(cid:147)(cid:10) =2𝑥(cid:102)) (cid:350)(cid:53)(cid:351)(cid:352)𝑥)(cid:110)(cid:71)
=𝑥2(cid:68)
(cid:155)∴(cid:135)𝑂𝐺(cid:136)(cid:94)(cid:10)2(cid:71)
(cid:15)(cid:157)(cid:158)10-3(cid:20)(cid:102)24-25(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:118)·(cid:178)(cid:179)(cid:427)(cid:428)·(cid:166)(cid:51)(cid:110)(cid:77)(cid:78)(cid:68)(cid:218)(cid:60)(cid:429)(cid:45)(cid:46)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:430) (cid:332)(cid:335)(cid:79)(cid:63)(cid:36)(cid:54)(cid:31)(cid:43)(cid:44)(cid:201)
(cid:51)(cid:68) =90°(cid:68) = =2(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:257)(cid:27)(cid:265)(cid:93)(cid:257)(cid:58)(cid:68)(cid:87) (cid:79) (cid:257)(cid:27)(cid:350)(cid:93)(cid:257)(cid:58)(cid:68)𝐴(cid:87)𝐵𝐶(cid:79)(cid:303)(cid:306)(cid:431)(cid:432)(cid:71)(cid:80)(cid:433)(cid:434)
(cid:27)(cid:35)∠(cid:239)𝐴(cid:157)𝐶𝐵(cid:68)(cid:247)(cid:87) (cid:79)𝐴𝐶(cid:257)(cid:27)𝐵(cid:265)𝐶(cid:93)(cid:257)(cid:435)(cid:381)𝐴(cid:68)(cid:87)𝑦 (cid:266)(cid:267)(cid:79) (cid:257)(cid:27)(cid:350)(cid:93)𝐶(cid:257)(cid:58)𝑥 (cid:435)(cid:381)(cid:68)(cid:81)(cid:79)(cid:435)(cid:381)(cid:181)𝐵(cid:329)(cid:51)(cid:68)(cid:87) (cid:42)(cid:342)(cid:87) (cid:27)𝐴(cid:52)𝐶
(cid:18)(cid:397)(cid:398)(cid:62)(cid:102) (cid:110)𝐴 𝑦 𝐶 𝑥 𝐵 𝑂
A(cid:71)2 2 B(cid:71) 5+1 C(cid:71) 6 D(cid:71)3
(cid:15)(cid:135)(cid:136)(cid:20)B
(cid:15)(cid:47)(cid:137)(cid:20)(cid:171)(cid:21)(cid:172)(cid:173)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:78)(cid:26)(cid:68)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:68)(cid:54)(cid:31)(cid:55)(cid:31)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:68)(cid:363) (cid:27)(cid:51)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
(cid:81) = = 1 =1(cid:68)(cid:23)(cid:24)(cid:207)(cid:208)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:148) (cid:27)(cid:35)(cid:68)(cid:174) + (cid:68)(cid:152) 𝐴 (cid:147) 𝐶 (cid:247) (cid:68) 𝐸 (cid:68) (cid:55)(cid:87) 𝐵 (cid:79) 𝐸 (cid:60) 𝑂 (cid:89) 𝐸 (cid:54)(cid:33) 𝑂𝐵 (cid:58)
2
𝑂𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝑂𝐵≤𝑂𝐸 𝐵𝐸 𝑂 𝐸 𝐵
(cid:248)(cid:68) (cid:363)(cid:147)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:68)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:94)1+ 5(cid:71)
(cid:15)(cid:154)𝑂(cid:153)𝐵(cid:20)(cid:153)(cid:10)(cid:77)(cid:78)(cid:212)(cid:213)(cid:68)(cid:363) (cid:27)(cid:51)(cid:87) (cid:68)(cid:169)(cid:170) (cid:68) (cid:68) (cid:68)
𝐴𝐶 𝐸 𝐵𝐸 𝑂𝐸 𝑂𝐵=90°(cid:68) =2(cid:68)
∵∠𝐴𝑂 = 𝐶 = 1 𝐴𝐶 =1(cid:68)
2
∴𝑂𝐸 𝐶𝐸 𝐴𝐶
(cid:68) =2(cid:68)
∵𝐵𝐶⊥=𝐴𝐶 𝐵+𝐶 = 5(cid:68)
2 2
∴𝐵𝐸 𝐵𝐶+ 𝐶(cid:68)𝐸
∵(cid:247)𝑂𝐵(cid:68)≤𝑂(cid:68)𝐸 (cid:55)𝐵(cid:87)𝐸(cid:79)(cid:60)(cid:89)(cid:54)(cid:33)(cid:58)(cid:248)(cid:68) (cid:363)(cid:147)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:68)(cid:52)(cid:18)(cid:53)(cid:94)1+ 5(cid:68)
(cid:155)𝑂(cid:156)(cid:10)𝐸B(cid:71)𝐵 𝑂𝐵