文档文本内容
专题 1.1 菱形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:20)........................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:20)........................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:21)(cid:20)................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:20)........................................................................................................................................8
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:48)60°(cid:36)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:20)......................................................................................................................................9
知识点1 菱形的定义
1. (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:26)(cid:65)
2. (cid:66)(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73) ABCD(cid:42)(cid:61)(cid:74)AB=AD(cid:61)(cid:75) ABCD(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:65)
▱ ▱
知识点2 菱形的性质
图示 性质 数学语言描述
对边(cid:56)(cid:57) AB CD，AD BC
边
四条边都(cid:54)(cid:55) = ∥ = ∥ =
角 对角(cid:54)(cid:55) 𝐴 = 𝐵 𝐵𝐶(cid:61)𝐶𝐷 𝐷 = 𝐴
(cid:80) 对角线(cid:76)(cid:54)(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠(cid:61)𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐶(cid:61)𝐷 ∠ = 𝐷𝐴𝐵
(cid:36)
𝐴𝐶⊥𝐵=𝐷 𝑂𝐴=𝑂𝐶 𝑂=𝐵 𝑂𝐷,
每条对角线平分一组对角
(cid:33)
= = =
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐴
对
轴对称图形，对称轴是∠𝐴(cid:80)𝐵(cid:36)𝐷(cid:33)所∠𝐶在𝐵的𝐷直线∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵
称
中心对称图形，对称中心是(cid:81)(cid:82)(cid:80)(cid:36)(cid:33)的交点
性
知识点3 菱形面积的计算计算方法 符号表示 主要依据
菱形的面积=
=AB 菱形是特殊的平行四边形
底×高
𝑆 ⋅𝐷𝐸
1
菱形的面积= =4 =4×
菱形
1 2
两条对角线 =
2 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵
1
乘积的一半 =
𝑆 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷 2
𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
【题型1 利用菱形的性质求坐标】
(cid:15)(cid:83)1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:56)(cid:38)(cid:78)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:42)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)13(cid:61)(cid:97)B(cid:27)
(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,12)(cid:61)(cid:97)D(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,2)(cid:61)(cid:75)(cid:97)A(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:65)(3,6) B(cid:65)( ) C(cid:65)( ) D(cid:65)( )
(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)−(cid:88)4·,(cid:89)5 (cid:90)(cid:91)(cid:92)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:53)(cid:35)−(cid:96)4,65(cid:27)(cid:25)(cid:26) (cid:73)(cid:56)−(cid:38)4(cid:78),7(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:42)(cid:27)(cid:100)(cid:101)(cid:71)(cid:72)(cid:102)(cid:103)(cid:61)
(cid:97) (cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,0)(cid:61)(cid:75)(cid:97) (cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝑂𝐵𝐶
𝐶 𝐵
A(cid:65)(3,5) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65)(4,3)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:104)(cid:105)(cid:106)((cid:107)3,−·(cid:108)5)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(4,−3(cid:27)) (cid:110)(cid:97)A(cid:111)D(cid:73)(cid:78)(cid:33) = (cid:112)(cid:61)(cid:97)A(cid:73)x(cid:113)(cid:112)(cid:61)
(cid:97)C(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(2(cid:61)4)(cid:61)(cid:75)(cid:97)B(cid:27)(cid:31)(cid:96)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑦 −3𝑥−6
3 9 5 9
A(cid:65) 4(cid:61) B(cid:65) 4(cid:61) C(cid:65) (cid:61) D(cid:65) (cid:61)
2 2 2 2
− −2 − −2(cid:15)(cid:98)(cid:99)1-3(cid:20)(cid:84)24-25(cid:114)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:110)(cid:97)O(cid:119)(cid:120)(cid:97)(cid:121)(cid:122)(cid:61)(cid:97)B(cid:73)y(cid:113)(cid:123)(cid:124)(cid:113)(cid:112)(cid:61)
=6(cid:61) =60°(cid:65)(cid:125)(cid:126)(cid:25)(cid:26) (cid:127)(cid:97)O(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:50)𝑂𝐴(cid:133)𝐵(cid:36)𝐶(cid:37)(cid:61)(cid:134)(cid:97)C(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:97)A(cid:120)(cid:138)(cid:100)(cid:101)(cid:61)(cid:139)(cid:137)(cid:25)
(cid:26)𝑂𝐴 (cid:61)∠(cid:75)𝐴𝑂(cid:97)𝐶D(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 𝑂(cid:65)𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐴𝑂𝐸
【题型2 利用菱形的性质求线段长】
(cid:15)(cid:83)2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)·(cid:108)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61) =6(cid:61) (cid:96)(cid:53) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145)
(cid:119) (cid:54)(cid:146)(cid:147)(cid:97) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐹
(cid:84)1(cid:94)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:148)
(cid:84)2(cid:94)(cid:74) (cid:96)𝐷𝐸 (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:75)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)2𝐺-1(cid:20)𝐴(cid:84)𝐵24-25(cid:114)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·𝐹(cid:112)𝐺(cid:149)·(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:153)(cid:97)C(cid:154) (cid:61)(cid:146) (cid:27)(cid:155)
(cid:35)(cid:33)(cid:147)(cid:97)B(cid:61)(cid:74) = 5(cid:61) =4(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐵⊥𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)2-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =10(cid:61) =16(cid:61) (cid:146) (cid:147)(cid:97) (cid:61)
(cid:147)(cid:97) (cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
𝐸 𝑂𝐸 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)2-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:161)(cid:90)(cid:162)(cid:92)·(cid:50)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:163)(cid:136)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:108)(cid:168)(cid:25)(cid:26)(cid:51)(cid:169)(cid:61)(cid:170)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:72) (cid:27)(cid:174)(cid:99) =90°(cid:175)
① ∠𝛼(cid:73)(cid:176)(cid:112)(cid:61)A(cid:111)B(cid:96)(cid:177)(cid:178)(cid:102)(cid:73)(cid:100)(cid:101)(cid:61)(cid:179) =72cm(cid:148)(cid:96)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:185)(cid:186)(cid:61)(cid:187)(cid:188)(cid:96)(cid:72) (cid:27)(cid:174)(cid:99)
=60°(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:35) = 𝐴𝐵cm(cid:61)(cid:81)(cid:189)(cid:177)(cid:178)A(cid:111)B(cid:184)(cid:27)(cid:190)(cid:191)(cid:181)(cid:182)(cid:180) cm②(cid:65)(cid:84)(cid:24)(cid:48)(cid:192)(cid:9)(cid:27)(cid:99)
∠(cid:178)𝛽(cid:193)(cid:103)(cid:94) 𝐴𝐸
【题型3 利用菱形的性质求角度】
(cid:15)(cid:83)3(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:156)(cid:157)(cid:194)(cid:105)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)M(cid:61)N(cid:79)(cid:195)(cid:73) (cid:61) (cid:112)(cid:61)(cid:179) = (cid:61)
(cid:119) (cid:146)(cid:147)(cid:97)O(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:74) =36°(cid:61)(cid:75) (cid:27)𝐴(cid:37)𝐵(cid:66)𝐶𝐷(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐶𝑁
𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝑂 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:6)(cid:92)·(cid:93)(cid:196)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) (cid:147)(cid:97)E(cid:61) (cid:147)(cid:97)F(cid:61)
(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:74) =55°(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷
𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐴𝐸𝐹
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:197)(cid:118)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:126)(cid:50)(cid:168)(cid:25)(cid:26)(cid:198)(cid:199)(cid:50)(cid:168)(cid:53)(cid:35)(cid:96)(cid:120)(cid:138)(cid:50)(cid:124)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:139)(cid:137)(cid:72) (cid:61)(cid:24)(cid:108)(cid:168)(cid:72)
(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:50)(cid:168)(cid:71)(cid:72) (cid:102)(cid:103)(cid:27)(cid:56)(cid:38)(cid:72)①(cid:26)(cid:61)(cid:75)(cid:72) (cid:42) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:62)(cid:84) (cid:94) ②
② ③ ③ ∠𝐴𝐵𝐶
A(cid:65)30° B(cid:65)45° C(cid:65)60° D(cid:65)90°
1
(cid:15)(cid:98)(cid:99)3-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:149)(cid:90)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)(cid:79)(cid:195)(cid:207)(cid:97)C(cid:61)D(cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:61)(cid:18)(cid:147) (cid:35)(cid:96)(cid:124)(cid:210)(cid:211)
2
(cid:212)(cid:61)(cid:81)(cid:212)(cid:79)(cid:195)(cid:146)(cid:147)(cid:97)M(cid:61)N(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:74)(cid:78)(cid:33) (cid:213)𝐴(cid:201)𝐵𝐶(cid:153)𝐷(cid:97)A(cid:179)(cid:146)CD(cid:147)(cid:97)E(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:75)𝐶𝐷 =(cid:84) (cid:94)
𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷A(cid:65)105° B(cid:65)100° C(cid:65)115° D(cid:65)120°
【题型4 利用菱形的性质求面积】
(cid:15)(cid:83)4(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:214)(cid:35)(cid:96)16(cid:61) (cid:62)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:79)(cid:195)(cid:154)
(cid:97)(cid:137)(cid:78)(cid:33) (cid:111) (cid:27)(cid:77)(cid:33)(cid:34) (cid:111) (cid:61)(cid:74) + =3(cid:61)(cid:75)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)𝐷 (cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:96)𝑃 (cid:65)𝐵𝐷 𝑃
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:115)(cid:215)(cid:90)(cid:216)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:97) (cid:62)(cid:25)(cid:26) (cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61) =5(cid:61) =8(cid:65)(cid:74)
= (cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:96) (cid:65) 𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:217)(cid:218)(cid:35)(cid:219)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:119) (cid:54)(cid:146)(cid:147)(cid:97) (cid:61)(cid:172)(cid:71)(cid:88)(cid:220)(cid:221)(cid:154)(cid:72)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 1
(cid:207)(cid:97) (cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:61)(cid:222)(cid:223)(cid:35)(cid:96)(cid:124)(cid:210)(cid:154)(cid:212)(cid:61)(cid:79)(cid:195)(cid:146) (cid:147)(cid:97) (cid:111) (cid:61)(cid:224)(cid:79)(cid:195)(cid:207)(cid:97) (cid:111) (cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:61)(cid:18)(cid:147) (cid:27)(cid:35)(cid:96)(cid:124)(cid:210)(cid:154)
2
(cid:212)(cid:61)(cid:81)𝐶 (cid:212)(cid:146)(cid:97)(cid:96) (cid:61)(cid:154)(cid:225)(cid:33) (cid:61) (cid:146) (cid:147)(cid:97)𝐴𝐵(cid:61)(cid:144)(cid:145)𝐸 𝐹(cid:61)(cid:74) =2(cid:61)𝐸 = 𝐹 5(cid:61)(cid:75)(cid:25)(cid:26) 𝐸𝐹(cid:38)(cid:39)(cid:96) (cid:65)
𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐻 𝐻𝑂 𝐻𝑂 𝐵𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)4-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:89)(cid:90)(cid:214)(cid:226)·(cid:108)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =10(cid:61)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:119) (cid:54)(cid:146)(cid:147)(cid:97) (cid:61)(cid:153)(cid:97) (cid:154)
(cid:61)(cid:146)(cid:53) (cid:147)(cid:97) (cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61)(cid:74) = 10(cid:61)𝐴𝐵(cid:75)𝐶𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:38)𝐶(cid:39)(cid:96) (cid:65)𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐴
𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐸 𝐸𝑂 𝐸𝑂【题型5 利用菱形的性质求最值】
(cid:15)(cid:83)5(cid:20)(cid:84)2025·(cid:227)(cid:228)(cid:115)(cid:229)(cid:230)(cid:231)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61) =120°(cid:61)(cid:97) (cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
(cid:97) (cid:62) (cid:112)(cid:27)(cid:50)(cid:136)(cid:97)(cid:61)(cid:75) + (cid:27)(cid:40)(cid:232)(cid:41)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵
𝐹 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐹
A(cid:65)4 B(cid:65)2 7 C(cid:65)2 3 D(cid:65)3 3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:233)(cid:215)(cid:215)(cid:91)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =2(cid:61)(cid:97) (cid:96) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:179) =105°(cid:61)
=60°(cid:61)(cid:97) (cid:96) (cid:102)(cid:73)(cid:78)(cid:33)(cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145)𝐴𝐵𝐶(cid:111)𝐷 (cid:61)(cid:223)𝐴𝐷| |(cid:234)𝐸(cid:139)(cid:40)𝐴𝐷(cid:18)(cid:41)(cid:129)(cid:61) ∠𝐴(cid:27)𝐸𝐵(cid:35)(cid:96) (cid:65)
∠𝐵𝐶𝐷 𝑃 𝐵𝐸 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐶𝑃−𝐴𝑃 𝐵𝑃
(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-2(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:115)(cid:116)(cid:235)(cid:236)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73) (cid:42)(cid:61) =120°(cid:61) = =6(cid:61)(cid:97)N(cid:73)
(cid:78)(cid:33) (cid:112)(cid:237)(cid:136)(cid:61)(cid:207) (cid:96)(cid:53)(cid:238) (cid:27)(cid:239)(cid:240)(cid:154)(cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:179) △𝐴𝐵𝐶=120∠°(cid:61)𝐶𝐴M𝐵(cid:96) (cid:42)(cid:97)𝐶(cid:61)𝐴(cid:144)(cid:145)𝐴𝐵 (cid:61)(cid:75)(cid:97)N(cid:73)
(cid:237)(cid:136)𝐵(cid:153)𝐶(cid:241)(cid:42)(cid:61) (cid:27)𝐴(cid:40)𝑁(cid:232)(cid:41)(cid:96) 𝐴 𝑁 (cid:65) 𝐴𝑁𝐸𝐹 ∠𝑁𝐴𝐹 𝐴𝐶 𝑀𝐹
𝑀𝐹
(cid:15)(cid:98)(cid:99)5-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:115)(cid:116)(cid:116)(cid:118)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61) =120°(cid:61)E(cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)F(cid:62)(cid:80)(cid:36)
(cid:33) (cid:112)(cid:27)(cid:136)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:65)(cid:126)(cid:33)(cid:34) (cid:127)(cid:97)F(cid:172)(cid:242)(cid:129)𝐴(cid:130)𝐵𝐶(cid:131)𝐷(cid:132)30°(cid:61)G(cid:96)(cid:97)∠𝐵E(cid:80)(cid:243)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145)𝐵𝐶(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:40)(cid:232)(cid:41)(cid:96)
(cid:84)𝐴 𝐶(cid:94) 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐺 𝐶𝐺A(cid:65) 2 B(cid:65) 3 C(cid:65) 2 D(cid:65) 3
【题型6 菱形中的翻折问题】 −1 −1
(cid:15)(cid:83)6(cid:20)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61) =4(cid:61)M(cid:96) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)N(cid:96) (cid:112)(cid:50)(cid:136)(cid:97)(cid:84)(cid:244)(cid:119)(cid:97)B(cid:121)(cid:122)(cid:94)(cid:61)(cid:126)
(cid:245)(cid:78)(cid:33) (cid:44)(cid:246)(cid:61)𝐴𝐵(cid:134)𝐶(cid:97)𝐷 B(cid:247)∠(cid:73)𝐵(cid:97)E(cid:248)(cid:61)𝐵(cid:144)𝐶(cid:145) (cid:61) (cid:61)𝐴𝐵(cid:223) (cid:96)(cid:55)(cid:249)𝐵𝐶(cid:108)(cid:36)(cid:26)(cid:129)(cid:61)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65)△𝐵𝑀𝑁
𝑀𝑁 𝐷𝐸 𝐶𝐸 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝑁
(cid:15)(cid:98)(cid:99)6-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:89)(cid:90)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) = =6(cid:61)E(cid:62) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:65)(cid:126)
(cid:245) (cid:44)(cid:246)(cid:250)(cid:139)(cid:137) (cid:61)(cid:74) (cid:61)(cid:75)(cid:44)(cid:251) (cid:27)(cid:35)𝐴𝐵(cid:96)𝐶𝐷 ∠(cid:65)𝐴 60°,𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐸 △𝐹𝐶𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)6-2(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:156)(cid:157)(cid:252)(cid:173)·(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =120°(cid:61)(cid:97)M(cid:253)N(cid:79)(cid:195)
(cid:62) (cid:253) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:245) (cid:126) (cid:44)(cid:246)(cid:61)(cid:97)A(cid:213)(cid:201)(cid:247)(cid:73)(cid:53) (cid:27)(cid:42)𝐴(cid:97)𝐵𝐶E𝐷(cid:112).(cid:74)∠𝐴𝐵=𝐶4(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) .
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑀𝑁 △𝐴𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)6-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:254)(cid:157)(cid:255)(cid:256)·(cid:108)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) = = (cid:62) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:126)(cid:25)(cid:26)
(cid:245) (cid:43)(cid:44)(cid:134)(cid:97) (cid:27)(cid:80)(cid:243)(cid:97) (cid:200)(cid:201)(cid:247)(cid:73) (cid:27)(cid:155)(cid:35)(cid:33)(cid:112)𝐴(cid:61)𝐵(cid:75)𝐶𝐷(cid:44)(cid:251) ∠𝐶(cid:27)(cid:35)1(cid:96)20 ° , 𝐴 𝐷 2,𝐸(cid:65) 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷
′
𝐷𝐸 𝐵 𝐵 𝐷𝐴 𝐷𝐸【题型7 菱形中的证明】
(cid:15)(cid:83)7(cid:20)(cid:84)2025·(cid:115)(cid:116)(cid:90)(cid:257)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)E(cid:96)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61) (cid:65)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐸
(1)(cid:30)(cid:46)(cid:10) = (cid:148)
(2)(cid:74) =𝐴𝐸 (cid:61)𝐶𝐸 =75°(cid:61)(cid:30) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐴𝐸7-1(cid:20)𝐷𝐸(cid:84)2∠02𝐵5𝐶·(cid:258)𝐸 (cid:90)(cid:259)(cid:257)·(cid:160)(cid:109)∠𝐴(cid:94)𝐵(cid:71)𝐶 (cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) (cid:61)(cid:77)(cid:260)(cid:96) (cid:61) (cid:61)(cid:77)(cid:260)(cid:96) (cid:65)(cid:30)
(cid:46)(cid:10) = (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐶𝐷 𝐸 𝐶𝐹⊥𝐴𝐷 𝐹
𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)7-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:227)(cid:228)(cid:115)(cid:229)(cid:230)(cid:231)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61)(cid:97) (cid:73) (cid:112)(cid:61)(cid:97) (cid:78)(cid:33) (cid:112)(cid:61)(cid:144)(cid:145)
(cid:111) (cid:111) (cid:61) =60°(cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐶𝐷
𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹
(1)(cid:71)(cid:72)1(cid:61)(cid:30)(cid:46)(cid:10) = + (cid:148)
(2) (cid:71)(cid:72)2(cid:61)(cid:97) (cid:73)𝐵𝐶 (cid:155)𝐶(cid:35)𝐸 (cid:33)𝐶(cid:112)𝐹(cid:129)(cid:61) (cid:108)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:66)(cid:261)(cid:3)(cid:95)(cid:96)(cid:10)_________(cid:148)
①(cid:71)(cid:72)3(cid:61)(cid:97) (cid:73)𝐸 𝐶(cid:155)𝐵(cid:35)(cid:33)(cid:112)(cid:129)(cid:61) 𝐵𝐶, 𝐶𝐸, 𝐶(cid:108)𝐹(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:66)(cid:261)(cid:3)(cid:95)(cid:96)(cid:10)_________(cid:65)
② 𝐸 𝐵𝐶 𝐵𝐶, 𝐶𝐸, 𝐶𝐹(cid:15)(cid:98)(cid:99)7-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:156)(cid:215)(cid:262)(cid:120)·(cid:160)(cid:109)(cid:94)(cid:263)(cid:122)(cid:119)(cid:264)(cid:265)
(cid:45)(cid:21)(cid:266)(cid:267)(cid:10)(cid:263)(cid:122)(cid:264)(cid:265)(cid:163)(cid:136)(cid:42)(cid:61)(cid:268)(cid:17)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:96)(cid:269)(cid:270)(cid:72)(cid:26)(cid:61)(cid:271)(cid:182)(cid:74)(cid:272)(cid:82)(cid:273)(cid:250)(cid:61)(cid:274)(cid:275)(cid:11)(cid:276)(cid:277)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:3)(cid:95)
(cid:282)(cid:203)(cid:45)(cid:21)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:45)(cid:21).(cid:71)(cid:72)1(cid:61)(cid:286)(cid:287)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =120°(cid:61) =6(cid:61)(cid:97) (cid:62)(cid:225)(cid:33) (cid:112)(cid:27)(cid:50)(cid:168)(cid:136)
(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61)(cid:207) (cid:96)(cid:53)(cid:154)(cid:55)(cid:53)(cid:108)(cid:36)(cid:26) 𝐴(cid:84)𝐵(cid:97)𝐶𝐷 (cid:73) (cid:27)(cid:239)∠(cid:240)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:61)(cid:144)(cid:145) 𝐴(cid:65)𝐵 𝐸 𝐵𝐴
𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹 𝐹 𝐴𝐷 𝐷𝐹
(cid:66)(cid:11)(cid:288)(cid:289)(cid:10)
(cid:84)1(cid:94)“(cid:290)(cid:11)(cid:232)(cid:51)”(cid:282)(cid:203)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:291)(cid:292)(cid:72)1(cid:42) (cid:119) (cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:66)(cid:261)(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:283)(cid:293)(cid:47)(cid:294)(cid:167)(cid:65)(cid:274)(cid:295)(cid:284)(cid:296)(cid:148)
(cid:255)(cid:297)(cid:264)(cid:265)(cid:10) 𝐵𝐸 𝐷𝐹
(cid:84)2(cid:94)(cid:268)(cid:17)(cid:73)(cid:72)1(cid:27)(cid:269)(cid:298)(cid:112)(cid:153)(cid:97) (cid:154) (cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:33)(cid:119) (cid:27)(cid:155)(cid:35)(cid:33)(cid:146)(cid:147)(cid:97) (cid:65)(cid:274)(cid:295)(cid:284)(cid:285)(cid:275)(cid:11)(cid:276)(cid:282)(cid:203)(cid:27)(cid:299)(cid:45)(cid:21)(cid:10)
“(cid:300)(cid:288)(cid:232)(cid:51)”(cid:282)(cid:203)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:71)(cid:72)2𝐹(cid:61)(cid:74)𝐴𝐵(cid:97) (cid:73)(cid:33)(cid:34) 𝐴(cid:112)𝐷(cid:61)(cid:301)(cid:302)(cid:33)(cid:34) (cid:61)𝐺 (cid:119) (cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:66)(cid:261)(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:283)(cid:46)(cid:47)(cid:295)(cid:27)
①(cid:303)(cid:304)(cid:148) 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐹𝐺
“(cid:305)(cid:299)(cid:232)(cid:51)”(cid:282)(cid:203)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:74)(cid:97) (cid:73)(cid:225)(cid:33) (cid:112)(cid:237)(cid:136)(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61)(cid:223) = (cid:129)(cid:61)(cid:274)(cid:78)(cid:145)(cid:306)(cid:203)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
② 【题型8 含60°角的菱形】 𝐸 𝐵𝐴 𝐶𝐺 𝐶𝐺 2𝐴𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:83)8(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:307)(cid:115)(cid:308)(cid:118)·(cid:150)(cid:34)(cid:151)(cid:152)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =30°, =6(cid:61)(cid:30)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐷
(1) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:65)
(2)∠(cid:74)𝐵𝐴𝐷 (cid:61)(cid:30)(cid:33)(cid:34) (cid:253) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐷𝐻8-⊥1(cid:20)𝐵𝐶(cid:84)2025·(cid:227)(cid:228)𝐴𝐶(cid:115)(cid:229)𝐷𝐻(cid:230)(cid:231)·(cid:108)(cid:109)(cid:94)(cid:286)(cid:287)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96) =120°(cid:61)(cid:97)E(cid:96) (cid:27)
(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:144)(cid:145) (cid:61)(cid:207)(cid:97)E(cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:309)(cid:310)(cid:35)(cid:96)(cid:124)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:61)(cid:146) (cid:111) 𝐴(cid:147)𝐵𝐶(cid:97)𝐷 (cid:111) (cid:61)(cid:79)1(cid:195)2,∠(cid:207)𝐵𝐴(cid:111)𝐶 (cid:96)(cid:208)(cid:209)(cid:18)(cid:147)(cid:33)(cid:34)𝐴𝐵 (cid:50)
(cid:124)(cid:35)(cid:96)(cid:124)(cid:210)𝐶(cid:211)𝐸(cid:212)(cid:61)(cid:81)(cid:212)(cid:146)(cid:147)(cid:97)P(cid:61)(cid:225)(cid:33) (cid:146) (cid:147)(cid:97)F(cid:61)𝐸𝐶(cid:75) 𝐸𝐴(cid:27)(cid:35)(cid:96)𝐺 𝐻 (cid:65) 𝐺 𝐻 𝐺𝐻
𝐸𝑃 𝐶𝐷 𝐸𝐹(cid:15)(cid:98)(cid:99)8-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:115)(cid:116)·(cid:50)(cid:109)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) = =60°(cid:61)(cid:97)E(cid:62)(cid:53) (cid:112)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:179)
=2(cid:61)(cid:97)F(cid:62)(cid:53) (cid:112)(cid:50)(cid:168)(cid:136)(cid:97)(cid:61)(cid:207) (cid:96)(cid:53)(cid:154)𝐴(cid:55)𝐵𝐶(cid:53)𝐷 (cid:61)𝐴(cid:144)𝐵(cid:145) 8,(cid:65)∠𝐵(cid:74) (cid:27)(cid:35)(cid:37)(cid:96)d(cid:61)(cid:75)𝐴𝐷d(cid:27)(cid:234)(cid:41)(cid:311)(cid:312)
𝐴(cid:62)𝐸 (cid:65) 𝐶𝐷 𝐸𝐹 △𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:98)(cid:99)8-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:197)(cid:118)·(cid:109)(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:94)(cid:263)(cid:122)(cid:119)(cid:264)(cid:265)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61)E(cid:62)(cid:225)(cid:33) (cid:112)(cid:50)(cid:136)(cid:97)(cid:61)
(cid:154)(cid:225)(cid:33) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐸
(cid:84)1(cid:94)(cid:15)(cid:313)(cid:154)(cid:301)(cid:302)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61) (cid:61)(cid:126)(cid:225)(cid:33) (cid:127)(cid:97)A(cid:242)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)60°(cid:146) (cid:147)(cid:97)F(cid:61)(cid:192)(cid:314)(cid:21)(cid:310)(cid:73)(cid:72) (cid:42)(cid:211)(cid:203)(cid:225)(cid:33) (cid:61)(cid:72)(cid:42)
(cid:27)(cid:37)①(cid:66)(cid:96)𝐴_𝐸__⊥__𝐵_𝐶(cid:37)(cid:148) 𝐴𝐸 𝐶𝐷 ① 𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷
(cid:84)2(cid:94)(cid:15)(cid:45)(cid:21)(cid:264)(cid:265)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:97)E(cid:73)(cid:33)(cid:34) (cid:112)(cid:84)(cid:244)(cid:119)(cid:97)B(cid:61)C(cid:121)(cid:122)(cid:94)(cid:61)(cid:126)(cid:225)(cid:33) (cid:127)(cid:97)A(cid:242)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)60°(cid:146) (cid:147)(cid:97)F(cid:61)(cid:264)(cid:265)(cid:33)(cid:34)
(cid:61)② (cid:61) (cid:183)(cid:184)(cid:27)(cid:66)𝐵(cid:261)𝐶(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:283)(cid:293)(cid:47)(cid:294)(cid:167)(cid:10) 𝐴𝐸 𝐶𝐷
(cid:84)𝐴𝐵3(cid:94)𝐶(cid:15)𝐸(cid:315)(cid:316)𝐶𝐹(cid:155)(cid:317)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:97)E(cid:73)(cid:225)(cid:33) (cid:112)(cid:61)(cid:126)(cid:225)(cid:33) (cid:127)(cid:97)A(cid:242)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)60°(cid:146)(cid:225)(cid:33) (cid:147)(cid:97)F(cid:65)(cid:74)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61)
=③1(cid:65)(cid:30) (cid:27)(cid:35)(cid:65)𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐸 𝐴𝐹
