文档文本内容
专题 1.2 菱形的判定（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:20)....................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:20)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:20)........................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:47)(cid:48)(cid:20)............................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:20)............................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:35)(cid:36)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:51)(cid:52)(cid:20)............................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:53)(cid:54)(cid:30)(cid:55)(cid:32)(cid:30)(cid:20)........................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:40)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:60)(cid:61)(cid:20)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)(cid:21)(cid:20)..............................................................................................................................11
知识点 菱形的判定
(cid:65)(cid:66)(cid:10)(cid:67)1(cid:68)(cid:69)(cid:47)(cid:44)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:77)
(cid:67)2(cid:68)(cid:69)(cid:47)(cid:44)(cid:74)(cid:75)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:47)(cid:37)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:77)
【题型1 添加条件使四边形为菱形】
(cid:15)(cid:82)1(cid:20)(cid:67)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:92)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:93) (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54)O(cid:92)(cid:63)
(cid:25)(cid:26)(cid:10) = (cid:96) = (cid:96) (cid:96) 𝐴(cid:74)𝐵𝐶(cid:75)𝐷 (cid:97)(cid:92)(cid:98)(cid:99)(cid:78)(cid:100)(cid:25)(cid:26)𝐴(cid:92)𝐶(cid:27)𝐵(cid:101)𝐷(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)
(cid:30)(cid:92)(cid:102)①(cid:98)(cid:99)𝐴𝐵(cid:37)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐷(cid:76)(cid:67)② 𝐴 𝐶 (cid:68) 𝐵𝐷 ③𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ④𝐴𝐶 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)①1-1②(cid:20)③(cid:67)24-25(cid:105)(cid:84)(cid:85)①(cid:106)②·(cid:107)④(cid:108)(cid:109)(cid:110)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:111)①(cid:112)③(cid:92)(cid:28)④(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:74)②(cid:81)(cid:28)③(cid:29)④(cid:30)(cid:92)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:92) (cid:94)(cid:95)(cid:54)
(cid:77)(cid:113)(cid:114)(cid:24)(cid:78)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:92)(cid:115)(cid:116)(cid:29)(cid:37)(cid:57)(cid:117)(cid:3)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:92)(cid:102)(cid:27) 𝐴(cid:92)𝐵𝐶(cid:122)𝐷(cid:114)(cid:24)(cid:37)(cid:78)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:102)(cid:123)(cid:76) 𝐴 𝐶 𝐵(cid:77)𝐷(cid:67)(cid:124)(cid:125)(cid:78)
𝑂(cid:100)(cid:126)(cid:102)(cid:68) 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)1-2(cid:20)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)ABCD(cid:97)(cid:92)(cid:54)F(cid:76)AB(cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:92)(cid:127)(cid:128)DF(cid:129)(cid:130)(cid:46)(cid:92)(cid:94)CB(cid:37)(cid:130)(cid:46)(cid:44)(cid:95)(cid:54)E(cid:92)
(cid:127)(cid:128)AE(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:78)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:92)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)AEBD(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:131)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:76)(cid:67) (cid:68)
A(cid:77) = B(cid:77) =
C(cid:77)∠𝐵𝐴=𝐷 ∠𝐵𝐷𝐴 D(cid:77)𝐴D𝐵E(cid:74)𝐷(cid:75)𝐸
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐷1-𝐹3(cid:20)(cid:67)𝐸𝐹22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:107)(cid:132)(cid:133)(cid:134)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:54)E∠(cid:92)𝐴𝐷F𝐵(cid:75)(cid:135)(cid:63) (cid:37)(cid:29) (cid:92) (cid:106)(cid:92) = (cid:92)
(cid:114)(cid:24)(cid:86)(cid:136)(cid:137)(cid:97)(cid:78)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:10) = (cid:96) 3= 4(cid:96) = (cid:96)(cid:138)(cid:27)(cid:28)▱(cid:29)𝐴𝐵(cid:30)𝐶𝐷 (cid:76)𝐴𝐵(cid:32)(cid:30)𝐵(cid:37)𝐶 (cid:25)(cid:26)𝐴(cid:100)𝐸(cid:57)(cid:31)𝐶𝐹
(cid:67) (cid:68) ①∠1 ∠2 ②∠ ∠ ③𝐷𝐸 𝐷𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:77)0(cid:100) B(cid:77)1(cid:100) C(cid:77)2(cid:100) D(cid:77)3(cid:100)
【题型2 证明四边形为菱形】
(cid:15)(cid:82)2(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:142)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92)(cid:54)E(cid:93)F(cid:75)(cid:135)(cid:63) (cid:93) (cid:106)(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:93)
(cid:92)(cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54)O(cid:77)(cid:86)(cid:136)(cid:143)(cid:100)(cid:25)(cid:26)(cid:10) (cid:96) (cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75) (cid:96) (cid:74)(cid:75) (cid:92)(cid:144)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:145)(cid:100)(cid:146)(cid:31)(cid:25)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐶 ．． 𝐸𝐹
𝐴(cid:26)𝐶(cid:92)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:129)(cid:124)(cid:125)①(cid:147)𝐴(cid:37)𝐷(cid:33)∥𝐵(cid:34)𝐶(cid:148)②(cid:149)(cid:77)𝐸𝐹(cid:147)(cid:98)(cid:99)(cid:37)(cid:25)𝐴(cid:26)𝐶 (cid:31)③ __ 𝐴 _ 𝐶 ______ ∠ _ 𝐷(cid:67)𝐴(cid:150)𝐹 (cid:151)(cid:9)(cid:68)(cid:77)
(cid:33)(cid:34)(cid:10) 𝐴𝐹𝐶𝐸(cid:15)(cid:103)(cid:104)2-1(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:152)(cid:153)(cid:46)(cid:154)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:155)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:91)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:32)(cid:30)(cid:159)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92)
(cid:74)(cid:75) (cid:92)(cid:160)(cid:160)(cid:37)(cid:161)(cid:162)(cid:76)(cid:10)(cid:148)(cid:54) (cid:146) (cid:37)(cid:72)(cid:44) (cid:92)(cid:72)(cid:163)(cid:31) (cid:92)(cid:94)(cid:44)(cid:45) (cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:164)(cid:165)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:29)(cid:71)𝐴(cid:166)𝐵𝐶(cid:37)𝐷(cid:28)(cid:29)𝐵𝐸
(cid:30)(cid:76)∠(cid:32)𝐴(cid:30)𝐵𝐶(cid:126)(cid:102)(cid:167)(cid:55)(cid:157)(cid:158)(cid:92)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:123)𝐴(cid:106)(cid:161)𝐵𝐸(cid:162)(cid:167)(cid:55)(cid:146)𝐴(cid:58)𝐺(cid:171)(cid:150)(cid:172)(cid:77)𝐺 𝐵𝐶 𝐹
(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:36)(cid:73)(cid:173)(cid:171)(cid:174)(cid:175)(cid:148)(cid:54) (cid:146) (cid:37)(cid:72)(cid:44) (cid:94) (cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:94) (cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:67)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:146)(cid:58)(cid:179)(cid:180)(cid:68)
(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)𝐴(cid:30)(cid:92)𝐵𝐸 𝐴𝐺 𝐵𝐸 𝐺 𝐵𝐶 𝐹 𝐸𝐹
∵ ____𝐴_𝐵__𝐶_𝐷__
∴① =
∴∠𝐴𝐸(cid:74)𝐵(cid:75) ∠𝐶𝐵𝐸(cid:92)
∵𝐵𝐸 =∠𝐴𝐵𝐶 (cid:92)
∴∠𝐴_𝐵_𝐸____∠_𝐶_𝐵__𝐸
∴② = (cid:92)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐸(cid:92)
∵𝐴𝐹⊥𝐵=𝐸 =90°(cid:92)
(cid:63)∴∠𝐴𝐺𝐵 (cid:171)∠𝐹𝐺𝐵 (cid:97)
△𝐴𝐵=𝐺 △𝐹𝐵𝐺
= (cid:92)
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸
𝐵𝐺 𝐵𝐺
∠𝐴𝐺𝐵 ∠𝐹𝐺𝐵 (cid:67) __________(cid:68)
∴△𝐴_𝐵_𝐺__≌__△__𝐹_𝐵_𝐺(cid:92) ③
∴④ = (cid:92) (cid:92)
∵𝐴𝐵(cid:72)(cid:73)𝐴𝐸(cid:74)(cid:75)𝐴(cid:44)𝐹(cid:45)⊥𝐵𝐸(cid:92)
∴𝐴𝐹__________(cid:92)𝐵𝐸
∴⑤ = = = (cid:92)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐵𝐹 𝐸𝐹(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:77)
(cid:15)∴(cid:103)(cid:104)2-𝐴2(cid:20)𝐵𝐹(cid:67)𝐸24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:87)(cid:88)(cid:181)(cid:34)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92) (cid:37)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:93) (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54)O(cid:92) = (cid:77)
▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐹
(1)(cid:43)(cid:33)(cid:10) (cid:96)
(2)(cid:127)(cid:128) △(cid:93)𝐵𝑂(cid:92)𝐸≌(cid:113)△𝐷𝑂𝐹 (cid:92)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:37)(cid:30)(cid:185)(cid:92)(cid:129)(cid:69)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:33)(cid:34)(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐷2-𝐸3(cid:20)𝐵(cid:67)𝐹21-22𝐵(cid:83)𝐷(cid:84)⊥(cid:85)𝐸𝐹(cid:86)·(cid:190)(cid:142)(cid:191)(cid:192)·(cid:89)(cid:90)𝐸(cid:68)𝐵𝐹(cid:91)𝐷(cid:58)(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:40) (cid:71)(cid:94)(cid:95)
(cid:54)O(cid:92)(cid:195) =10(cid:92) =6(cid:92) =4(cid:77) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵
(1)(cid:43)(cid:33)(cid:10) (cid:96)
(2)E(cid:92)F(cid:75)𝐴(cid:135)𝐵(cid:76)⊥𝐵𝐷(cid:171) (cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:92) (cid:92)(cid:43)(cid:33)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:77)
【题型3 利用 𝐴 菱 𝐷 形的 𝐵𝐶 性质与判定求线 𝐵 段 𝐸 长 𝐷 】 𝐹 𝐵𝐸𝐷𝐹
(cid:15)(cid:82)3(cid:20)(cid:67)2024·(cid:196)(cid:88)(cid:46)(cid:197)·(cid:198)(cid:199)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63) (cid:97)(cid:92)(cid:123)(cid:54) (cid:31)(cid:174)(cid:200)(cid:92) (cid:46)(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:146)(cid:203)(cid:92)(cid:94) (cid:95)(cid:54) (cid:96)(cid:75)(cid:135)
1 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐹
(cid:123) (cid:31)(cid:174)(cid:200)(cid:92)(cid:18)(cid:95) (cid:46)(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:146)(cid:203)(cid:92)(cid:145)(cid:203)(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:129)(cid:130)(cid:46)(cid:92)(cid:94) (cid:95)(cid:54) (cid:77)(cid:113) =6(cid:92) =4(cid:92)
2
(cid:122)𝐵,𝐹(cid:37)(cid:46)(cid:31) (cid:77)𝐵𝐹 𝐺 𝐴𝐺 𝐵𝐶 𝐸 𝐴𝐸 𝐵𝐹
𝐴𝐵
(cid:15)(cid:103)(cid:104)3-1(cid:20)(cid:67)24-25(cid:105)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:204)(cid:205)(cid:97)(cid:206)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:207)(cid:90)(cid:92)(cid:208)(cid:209)(cid:171)(cid:210)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:78)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:37)(cid:220)(cid:221)(cid:92)(cid:137)(cid:222)(cid:49)(cid:91)
(cid:58)(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:78)(cid:100)(cid:32)(cid:30)(cid:80)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:137)(cid:225)(cid:226)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:195)(cid:54) (cid:93) (cid:93) (cid:93) (cid:63)(cid:227)(cid:78)(cid:73)(cid:44)(cid:106)(cid:92)
= (cid:77) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸𝐶𝐹 𝐸 𝐵 𝐷 𝐹
𝐵𝐸 𝐷𝐹(1)(cid:43)(cid:33)(cid:10)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:225)(cid:223) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:96)
(2)(cid:113)(cid:225)(cid:223) (cid:37)(cid:207)(cid:46)𝐴(cid:31)𝐸𝐶1𝐹60cm(cid:92) =64cm(cid:92) =14cm(cid:92)(cid:43) (cid:37)(cid:46)(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)3-2𝐴(cid:20)𝐸𝐶(cid:67)𝐹23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:196)(cid:16)𝐸𝐹(cid:228)(cid:229)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)𝐵(cid:91)𝐸(cid:58)(cid:92)(cid:145)(cid:100)(cid:230)(cid:166)𝐴(cid:37)𝐵(cid:231)(cid:30)(cid:232)(cid:233)(cid:152)(cid:234)(cid:63)(cid:78)(cid:235)(cid:92)(cid:231)(cid:30)(cid:37)(cid:46)(cid:171)(cid:236)(cid:75)(cid:135)
(cid:76)8(cid:171)6(cid:92)(cid:122)(cid:152)(cid:234)(cid:226)(cid:75)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:37)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:37)(cid:46)(cid:76) .
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)3-3(cid:20)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:54) (cid:31)(cid:166)(cid:29)(cid:143)(cid:47)(cid:30) (cid:225)(cid:78)(cid:54)(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:93) (cid:195) = (cid:92)(cid:148)(cid:54) (cid:146) (cid:75)(cid:135)(cid:94) (cid:93)
(cid:95)(cid:54) (cid:93) (cid:92)(cid:113) = 𝐴 (cid:92) =5(cid:92)𝐵(cid:122)𝐶(cid:44)𝐷(cid:45) (cid:37)(cid:46) (cid:77)𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴 𝐴𝐸∥𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵𝐷
𝐸 𝐹 3𝐵𝐷 4𝐴𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐸
【题型4 利用菱形的性质与判定求角度】
(cid:15)(cid:82)4(cid:20)(cid:67)23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:196)(cid:88)(cid:237)(cid:142)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:193)(cid:194)(cid:92)E(cid:92)F(cid:75)(cid:135)(cid:63) (cid:171) (cid:106)(cid:92)
= = = = = = (cid:92)(cid:122) = °(cid:77) 𝐵𝐶 𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐸𝐹 ∠𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)4-1(cid:20)(cid:111)(cid:112)(cid:10)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:92) (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:130)(cid:46) (cid:238) (cid:92)(cid:27) = (cid:92)(cid:127)
(cid:128) (cid:94) (cid:95)(cid:54) (cid:77) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐶𝐷 𝐹 𝐷𝐹 𝐶𝐷
𝐵𝐹 𝐴𝐷 𝐸(1)(cid:43)(cid:33)(cid:10) = (cid:96)
(2)(cid:113) =𝐴𝐸 (cid:92)𝐸(cid:43)𝐷 (cid:37)(cid:48)(cid:57)(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝐴𝐵4-2(cid:20)𝐵𝐶(cid:91)(cid:58)(cid:92)∠𝐶𝐴𝐹(cid:76) (cid:37)(cid:47)(cid:74)(cid:75)(cid:44)(cid:92) (cid:94) (cid:95)E(cid:92) (cid:94) (cid:95)F(cid:92)(cid:195) (cid:94) (cid:95)O(cid:92)(cid:122)
(cid:48)(cid:77) 𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐹∥𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐸𝐹
∠𝐴𝑂𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:104)4-3(cid:20)(cid:67)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:196)(cid:16)(cid:239)(cid:240)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)4×4(cid:37)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:243)(cid:244)(cid:97)(cid:92)(cid:245)(cid:78)(cid:100)(cid:208)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:37)(cid:29)(cid:46)(cid:31)
1(cid:92)(cid:137)(cid:246)(cid:54)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:31)(cid:244)(cid:54)(cid:92) (cid:92) (cid:31)(cid:244)(cid:54)(cid:143)(cid:47)(cid:30)(cid:77)
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐷
(1)(cid:168)(cid:147)(cid:250)(cid:36)(cid:251)(cid:252)(cid:48)(cid:37)(cid:73)(cid:173)(cid:92)(cid:63)(cid:131)(cid:100)4×4(cid:37)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:243)(cid:244)(cid:97)(cid:92)(cid:253)(cid:125)(cid:100)(cid:123) (cid:31)(cid:29)(cid:37)(cid:254)(cid:76)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:37)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:129)(cid:215)(cid:216)(cid:255)
(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:96) 𝐴𝐷
(2)(cid:43) + (cid:37)(cid:18)(cid:208)(cid:77)
【题型
∠𝐴5𝐷 𝐵
利用
∠𝐴
菱
𝐶
形
𝐵
的性质与判定求面积】
(cid:15)(cid:82)5(cid:20)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63) (cid:97)(cid:92)(cid:36)(cid:73)(cid:173)(cid:171)(cid:174)(cid:175)(cid:146) (cid:37)(cid:74)(cid:75)(cid:44) (cid:94) (cid:95)(cid:54)E(cid:92)(cid:123)A(cid:31)(cid:174)(cid:200)(cid:92) (cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:37)(cid:203)
(cid:94) (cid:95)(cid:54)F(cid:92)(cid:127)(cid:128)▱𝐴𝐵(cid:77)𝐶(cid:113)𝐷 =12(cid:92) =10(cid:92)∠(cid:122)𝐵𝐴(cid:28)𝐷(cid:29)(cid:30) 𝐴(cid:49)𝐺(cid:50)𝐵(cid:76)𝐶 (cid:77) 𝐴𝐵
𝐴𝐷 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐸𝐹(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-1(cid:20)(cid:67)2023·(cid:257)(cid:258)·(cid:78)(cid:199)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:111)(cid:112)(cid:44)(cid:45) =8cm(cid:92)(cid:75)(cid:135)(cid:123)(cid:54)A(cid:92)B(cid:31)(cid:174)(cid:200)(cid:92)(cid:123)5cm(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:253)(cid:203)(cid:92)
(cid:145)(cid:203)(cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54)C(cid:92)D(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:92) (cid:92) (cid:92) (cid:92)(cid:122)𝐴(cid:28)𝐵(cid:29)(cid:30) (cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31) (cid:77)
𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶𝐵𝐷
(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-2(cid:20)(cid:67)24-25(cid:105)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:259)(cid:139)(cid:260)(cid:142)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63) (cid:97)(cid:92) =90°(cid:92) =30°(cid:92) =6(cid:92)
(cid:115) (cid:261)(cid:54) (cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)120°(cid:101)(cid:268) (cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:92)△(cid:122)𝐴(cid:58)𝐵(cid:97)𝐶(cid:269)(cid:270)∠(cid:226)𝐴(cid:75)𝐶𝐵(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31) ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 (cid:77) 𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐶 𝐶 △𝐸𝐷𝐶 𝐵𝐸
(cid:15)(cid:103)(cid:104)5-3(cid:20)(cid:67)22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:259)(cid:139)(cid:260)(cid:142)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:271)(cid:78)(cid:272)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:273)(cid:274)(cid:92)(cid:116)(cid:37)(cid:58)(cid:275)(cid:76)(cid:155)(cid:28)(cid:100)(cid:230)(cid:166)(cid:37)(cid:143)(cid:47)(cid:30)
(cid:171)(cid:78)(cid:100)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:157)(cid:55)(cid:92)(cid:276)(cid:277)(cid:117)(cid:92)(cid:97)(cid:278)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:279)(cid:208)(cid:37)(cid:280)(cid:47)(cid:31)60°(cid:77)(cid:281)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:49)(cid:50)(cid:31) (cid:92)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31) (cid:92)(cid:122)
: = (cid:77) 𝑆1 𝑆2
𝑆1 𝑆2
【题型6 利用菱形的性质与判定求坐标】
(cid:15)(cid:82)6(cid:20)(cid:67)2023·(cid:282)(cid:88)(cid:283)(cid:284)(cid:285)·(cid:143)(cid:199)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:97)(cid:92)(cid:54) (cid:92) (cid:92)(cid:54) (cid:31)(cid:44)(cid:45) (cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:92)
(cid:31) (cid:106)(cid:78)(cid:54)(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:92)(cid:115) (cid:286) (cid:287)(cid:234)(cid:101)(cid:268) (cid:77)(cid:288) 𝐴(cid:264)(0(cid:92),6(cid:54)) 𝐵(cid:37)(8(cid:51),0(cid:52)) (cid:31)(cid:67)𝐶 (cid:68) 𝐴𝐵 𝐷
𝑂𝐴 𝐶𝐷 △𝐴𝐶𝐷 𝐶𝐷 △𝐸𝐶𝐷 𝐷𝐸∥𝐴𝐵 𝐸A(cid:77) B(cid:77) C(cid:77) D(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)(62-1,−(cid:20)4(cid:67)) 22-23(cid:83)(cid:84)(cid:85)(4(cid:86),−·(cid:289)2)(cid:108)(cid:290)(cid:142)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)((cid:58)4,(cid:92)−3(cid:63))(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)((cid:97)3,(cid:92)−(cid:241)4)(cid:242)(cid:30) (cid:37)(cid:29) (cid:63)x(cid:291)(cid:106)(cid:92)
=2(cid:92)(cid:195) (cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:76)(cid:51)(cid:52)(cid:110)(cid:54)O(cid:77)(cid:292)(cid:42)(cid:54) (cid:92) (cid:92)(cid:293)(cid:241)(cid:242)(cid:30)(cid:286)(cid:294)(cid:295)(cid:242)(cid:296)(cid:297)(cid:92)(cid:27)(cid:54)D𝐴(cid:298)𝐵(cid:63)𝐶𝐷y(cid:291)(cid:241)𝐴(cid:201)𝐵(cid:291)(cid:106)(cid:54)
′
𝐴(cid:299)𝐵(cid:92)(cid:122)(cid:54)C𝐴(cid:37)𝐵(cid:69)(cid:300)(cid:54) (cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:31) (cid:77)𝐴 𝐵 𝐷
′
𝐶
(cid:15)(cid:103)(cid:104)6-2(cid:20)(cid:67)24-25(cid:105)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:301)(cid:204)(cid:302)(cid:303)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92)(cid:54)B(cid:40)(cid:110)(cid:54)O(cid:152)(cid:61)(cid:92)(cid:54)C(cid:298)(cid:63)
𝐴𝐵1𝐶𝐷
x(cid:291)(cid:241)(cid:201)(cid:291)(cid:106)(cid:92)(cid:63) (cid:106)(cid:222)(cid:304) = (cid:92)(cid:75)(cid:135)(cid:123)(cid:54)B(cid:92)F(cid:31)(cid:174)(cid:200)(cid:92)(cid:18)(cid:95) (cid:37)(cid:46)(cid:31)(cid:201)(cid:202)(cid:253)(cid:203)(cid:92)(cid:145)(cid:203)(cid:94)(cid:95)(cid:54)P(cid:92)
2
(cid:305)(cid:44) (cid:94) (cid:95)E(cid:92)𝐴𝐷(cid:113) =5 𝐴 (cid:92) 𝐹 𝐴 = 𝐵 6(cid:92)(cid:122)(cid:54)F(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:31) 𝐵𝐹
𝐴𝑃 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:104)6-3(cid:20)(cid:67)2025·(cid:289)(cid:132)(cid:306)(cid:295)·(cid:78)(cid:199)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92) ( 3,0)(cid:93) (0,3)(cid:3)(cid:95)(cid:110)(cid:54)O(cid:69)(cid:249)(cid:37)(cid:54)(cid:75)(cid:135)(cid:31)C(cid:93)D(cid:92)(cid:54)M
(cid:144)(cid:54)B(cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:242)(cid:296)(cid:261)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:37)𝐴(cid:29)−(cid:308)3(cid:53)(cid:92)(cid:54)N𝐵(cid:144)(cid:54)A(cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:262)(cid:309)(cid:264)(cid:265)(cid:242)(cid:296)(cid:261)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:37)(cid:29)
(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:113)(cid:54)M(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:76)(cid:54)N(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:37)𝐴𝐵2𝐶(cid:311)𝐷(cid:92)(cid:122)(cid:54)M(cid:171)(cid:54)N(cid:312)2025(cid:313)(cid:71)(cid:314)(cid:264)(cid:92)(cid:54)M(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:31) 𝐴 𝐵𝐶(cid:77)𝐷【题型7 动点形成菱形】
(cid:15)(cid:82)7(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:315)(cid:316)(cid:139)(cid:18)(cid:153)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:231)(cid:30) (cid:97)(cid:92) =32(cid:317)(cid:318)(cid:92) =24(cid:317)(cid:318)(cid:92)(cid:54)P(cid:76)(cid:44)(cid:45)
(cid:106)(cid:78)(cid:53)(cid:54)(cid:92)O(cid:31) (cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:92) (cid:37)(cid:130)(cid:46)(cid:44)(cid:94) (cid:95)Q(cid:77)𝐴𝐵(cid:113)𝐶𝐷P(cid:144)(cid:54)𝐴A𝐷(cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:123)1(cid:317)𝐴𝐵(cid:318)/(cid:319)(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:296)D(cid:308)(cid:53)((cid:254)(cid:40)𝐴𝐷D
(cid:152)(cid:61))(cid:77)(cid:281)(cid:54)P(cid:308)𝐵(cid:53)𝐷(cid:264)(cid:278)(cid:31)t(cid:319)𝑃𝑂(cid:92)(cid:113)(cid:54)P(cid:171)Q𝐵(cid:40)𝐶 (cid:54) (cid:93) (cid:93)(cid:93) (cid:97)(cid:37)(cid:145)(cid:100)(cid:54)(cid:31)(cid:246)(cid:54)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:122)t(cid:37)(cid:320)
(cid:31)((cid:321)(cid:321)) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
A(cid:77)7 B(cid:77)20 C(cid:77)7(cid:322)25 D(cid:77)7(cid:322)20
(cid:15)(cid:103)(cid:104)7-1(cid:20)(cid:67)24-25(cid:105)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:323)(cid:324)(cid:325)(cid:142)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)(cid:231)(cid:30) (cid:97)(cid:92) =4cm(cid:92) =8cm(cid:92)(cid:54)P(cid:144)(cid:54)D
(cid:125)(cid:307)(cid:296)(cid:54)A(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:308)(cid:53)(cid:268)(cid:54)A(cid:326)(cid:126)(cid:327)(cid:328)(cid:96)(cid:227)(cid:264)(cid:54)Q(cid:144)(cid:54)B (cid:125)𝐴(cid:307)𝐵(cid:296)𝐶𝐷(cid:54)C(cid:308)𝐴𝐵(cid:53)(cid:92)(cid:308)(cid:53)(cid:268)𝐵(cid:54)𝐶 C(cid:326)(cid:126)(cid:327)(cid:328)(cid:92)(cid:54)P(cid:92)
Q(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:329)(cid:76)1cm/s(cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:92) (cid:92) (cid:92)(cid:281)(cid:54)P(cid:92)Q(cid:308)(cid:53)(cid:37)(cid:264)(cid:278)(cid:31) s(cid:77)
𝑃𝑄 𝐴𝑄 𝐶𝑃 𝑡
(1)(cid:288)t(cid:31)(cid:156)(cid:320)(cid:264)(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:159)
(2)(cid:43)(cid:67)1(cid:68)(cid:97)(cid:32)(cid:30) (cid:37)𝐴(cid:207)𝑄(cid:46)𝐶𝑃(cid:171)(cid:49)(cid:50)(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)7-2(cid:20)(cid:67)22-𝐴2𝑄3𝐶(cid:105)𝑃(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:107)(cid:132)(cid:133)(cid:134)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92) (cid:37)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:92) (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92) =12cm(cid:92)
=6cm(cid:92)(cid:54) (cid:63)(cid:44)(cid:45) (cid:106)(cid:144)(cid:54) (cid:125)(cid:307)(cid:123)1cm/s(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:296)▱(cid:54)𝐴𝐵𝐶(cid:308)𝐷(cid:53)(cid:92)(cid:54) (cid:63)𝐴(cid:44)𝐶(cid:45)𝐵𝐷(cid:106)(cid:144)(cid:54) (cid:125)𝑂(cid:307)𝐵(cid:123)𝐷2cm/s(cid:37)(cid:310)
𝐴(cid:48)𝐶(cid:296)(cid:54) (cid:308)(cid:53)(cid:77)𝐸 𝐵𝑂 𝐵 𝑂 𝐹 𝑂𝐷 𝑂
𝐷
(1)(cid:113)(cid:54) (cid:92) (cid:227)(cid:264)(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:281)(cid:308)(cid:53)(cid:264)(cid:278)(cid:31)t(cid:319)(cid:92)(cid:288) (cid:31)(cid:156)(cid:320)(cid:264)(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:159)
(2)(cid:63)(cid:67)𝐸1(cid:68)(cid:37)𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:92)(cid:288) (cid:31)(cid:156)(cid:320)(cid:264)(cid:92) 𝑡(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:159) 𝐴𝐸𝐶𝐹
(cid:15)(cid:103)(cid:104)7-3(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)𝐴(cid:85)𝐵(cid:86)·(cid:257)(cid:258)(cid:28)(cid:74)▱·(cid:330)𝐴𝐸(cid:45)𝐶𝐹(cid:331)(cid:332)(cid:68)(cid:91)(cid:58) (cid:92)(cid:63)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92) =90°(cid:92)
① 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐵= = =24(cid:92)(cid:53)(cid:54)P(cid:63) (cid:29)(cid:106)(cid:123)(cid:245)(cid:319)1(cid:100)(cid:216)(cid:333)(cid:46)(cid:48)(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:155)(cid:54)A(cid:296)(cid:54)D(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:53)(cid:54)Q(cid:144)(cid:54)C
(cid:227)𝐴𝐵(cid:264)(cid:125)8(cid:307),𝐵(cid:92)𝐶 (cid:123)2(cid:245)6(cid:319),𝐴𝐷3(cid:100)(cid:216)(cid:333)(cid:46)(cid:48)(cid:37)(cid:310)𝐴(cid:48)𝐷(cid:296)(cid:54)B(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:281)(cid:53)(cid:54)P(cid:37)(cid:308)(cid:53)(cid:264)(cid:278)(cid:31)t(cid:319)(cid:77)
(1)(cid:36)(cid:334)t(cid:37)(cid:335)(cid:57)(cid:104)(cid:336)(cid:194) (cid:37)(cid:46)(cid:77)
(2)(cid:43)(cid:288)t(cid:31)(cid:156)(cid:320)(cid:264)(cid:92) 𝑃(cid:75)𝐷(cid:135),𝐶𝑄(cid:337)(cid:163)(cid:86)(cid:49)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:10)
(cid:96) 𝑃𝑄
①𝑃𝑄∥=𝐶𝐷 (cid:77)
②(3)(cid:91)𝑃𝑄(cid:58) 𝐴(cid:92)𝐵(cid:113)H(cid:76)(cid:44)(cid:45) (cid:106)(cid:78)(cid:54)(cid:92)(cid:195) =10(cid:92)(cid:338)(cid:339)(cid:63)(cid:44)(cid:45) (cid:106)(cid:76)(cid:340)(cid:62)(cid:63)(cid:78)(cid:54)R(cid:92)(cid:27)(cid:101)(cid:123)(cid:54)B(cid:93)H(cid:93)R(cid:93)P
(cid:31)(cid:246)(cid:54)(cid:37)②(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:159)𝐵(cid:113)𝐶(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:73)𝐵(cid:128)𝐻(cid:124)(cid:125)t(cid:37)(cid:320)(cid:96)(cid:113)(cid:254)(cid:62)𝐴(cid:63)𝐷(cid:92)(cid:168)(cid:255)(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:77)
【题型8 函数图象与菱形的综合】
(cid:15)(cid:82)8(cid:20)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:69)(cid:47)(cid:44) (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54)O(cid:92)P(cid:92)Q(cid:145)(cid:54)(cid:227)(cid:264)(cid:144)(cid:54)O(cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:123)1(cid:317)(cid:318)/(cid:319)
(cid:37)(cid:310)(cid:48)(cid:63)(cid:32)(cid:30)(cid:37)(cid:69)(cid:47)(cid:44)(cid:341)𝐴𝐵(cid:29)𝐶(cid:106)𝐷(cid:308)(cid:53)(cid:77)P(cid:92)Q(cid:37)(cid:308)𝐴𝐶(cid:53),𝐵(cid:162)𝐷(cid:44)(cid:10)(cid:54)P(cid:31) (cid:92)(cid:54)Q(cid:31) (cid:77)(cid:281)(cid:308)(cid:53)(cid:37)
(cid:264)(cid:278)(cid:31)x(cid:319)(cid:92)P(cid:92)Q(cid:278)(cid:37)(cid:342)(cid:343)(cid:31)y(cid:317)(cid:318)(cid:92)y(cid:40)x(cid:37)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:118)(cid:37)(cid:58)(cid:59)𝑂(cid:18)−𝐴(cid:219)−(cid:91)𝐷−(cid:58)𝑂2(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:122)𝑂(cid:32)−𝐶(cid:30)−𝐵−𝑂(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31)
(cid:67) (cid:68) 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:77)2 3cm B(cid:77)2cm C(cid:77) 3cm D(cid:77) 2cm
2 2 2 2
(cid:15)(cid:103)(cid:104)8-1(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:107)(cid:132)(cid:344)(cid:345)·(cid:330)(cid:45)(cid:331)(cid:332)(cid:68)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:81)(cid:28)(cid:29)(cid:30) (cid:97)(cid:92) =60°(cid:92) = (cid:92)
(cid:53)(cid:54) (cid:144)(cid:54) (cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:286)(cid:287)(cid:44) (cid:242)(cid:296)(cid:346)(cid:310)(cid:308)(cid:53)(cid:92)(cid:308)(cid:53)(cid:268)(cid:54) (cid:327)(cid:328)(cid:77)(cid:281)(cid:54)𝐴𝐵𝐶(cid:37)𝐷(cid:308)(cid:53)(cid:162)∠𝐴(cid:149)(cid:31) (cid:92) 𝐴𝐷 (cid:37)𝐷𝐶(cid:49)
(cid:50)(cid:31)𝑃(cid:92) (cid:40)𝐴 (cid:37)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:91)𝐴(cid:58)𝐷→2𝐷(cid:193)𝐶→(cid:194)𝐶(cid:92)𝐵(cid:122) (cid:37)(cid:46)(cid:31) (cid:77) 𝐵 𝑃 𝑥 △𝐴𝑃𝐵
𝑦 𝑦 𝑥 𝐴𝐵(cid:15)(cid:103)(cid:104)8-2(cid:20)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:63) ABC(cid:97)(cid:92)AB(cid:347)AC(cid:92) BAC(cid:347)120°(cid:92)(cid:54)E(cid:76)(cid:29)AB(cid:37)(cid:97)(cid:54)(cid:92)(cid:54)P(cid:76)(cid:29)BC(cid:106)(cid:78)(cid:53)(cid:54)(cid:92)
(cid:281)PC(cid:347)x(cid:92)PA+PE(cid:347)y(cid:77)△(cid:58)2(cid:76)y(cid:3)(cid:95)x(cid:37)(cid:56)(cid:57)∠(cid:58)(cid:59)(cid:92)(cid:137)(cid:97)H(cid:76)(cid:58)(cid:59)(cid:106)(cid:37)(cid:348)(cid:349)(cid:54)(cid:77)(cid:338)(cid:339)a(cid:37)(cid:320)(cid:31)(cid:67)(cid:321)(cid:321)(cid:68)
A(cid:77)6 B(cid:77)7 C(cid:77)4 3 D(cid:77)14
(cid:15)(cid:103)(cid:104)8-3(cid:20)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:63)(cid:32)(cid:30)ABCD(cid:97)(cid:92)(cid:53)(cid:54)P(cid:144)(cid:54)C(cid:125)(cid:307)(cid:92)(cid:286)C→A→D(cid:308)(cid:53)(cid:238)(cid:350)(cid:54)D(cid:77)(cid:281)(cid:54)P(cid:37)(cid:308)(cid:53)(cid:162)
(cid:149)(cid:31)x(cid:92) BCP(cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31)y(cid:92)(cid:113)y(cid:40)x(cid:37)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:91)(cid:58)2(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:122)(cid:58)(cid:97)a(cid:37)(cid:320)(cid:31) (cid:77)
△
【题型9 菱形的存在性问题】
(cid:15)(cid:82)9(cid:20)(cid:67)24-25(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:139)(cid:140)(cid:140)(cid:142)·(cid:330)(cid:45)(cid:331)(cid:332)(cid:68)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:97)(cid:92)(cid:73)(cid:44) = 1 +6(cid:40) =
2
𝐿2:𝑦 − 𝑥 𝐿1:𝑦
1 (cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:75)(cid:135)(cid:40) (cid:291)(cid:93) (cid:291)(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:93) (cid:77)
2
𝑥 𝐴 𝑥 𝑦 𝐵 𝐶(1)(cid:75)(cid:135)(cid:43)(cid:125)(cid:54) (cid:93) (cid:93) (cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:96)
(2)(cid:113) (cid:76)(cid:44)(cid:45) 𝐴 (cid:106)𝐵(cid:37)(cid:54)𝐶(cid:92)(cid:195) (cid:37)(cid:49)(cid:50)(cid:31)12(cid:92)(cid:43)(cid:73)(cid:44) (cid:37)(cid:56)(cid:57)(cid:336)(cid:351)(cid:104)(cid:96)
(3)(cid:63)(cid:67)𝐷2(cid:68)(cid:37)(cid:25)𝑂𝐴(cid:26)(cid:86)(cid:92)(cid:281) (cid:76)(cid:73)△(cid:44)𝐶𝑂𝐷(cid:106)(cid:37)(cid:54)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:80)(cid:76)(cid:340)𝐶𝐷(cid:62)(cid:63)(cid:137)(cid:116)(cid:54) (cid:92)(cid:27)(cid:123) (cid:93) (cid:93) (cid:93) (cid:31)(cid:246)(cid:54)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30)
(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:159)(cid:113)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:43)(cid:125)(cid:54)𝑃 (cid:37)(cid:51)(cid:52)𝐶(cid:96)𝐷(cid:113)(cid:254)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:255)(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:77) 𝑄 𝑂 𝐶 𝑃 𝑄
(cid:15)(cid:103)(cid:104)9-1(cid:20)(cid:67)22-23(cid:83)(cid:84) 𝑄 (cid:85)(cid:86)·(cid:301)(cid:204)(cid:352)(cid:353)(cid:345)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:91)(cid:58)(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:97)(cid:92)(cid:73)(cid:44) (cid:10) = 4 +4(cid:40) (cid:291)
3
𝑙1 𝑦 − 𝑥 𝑥
1 3
(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:40) (cid:291)(cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:92)(cid:73)(cid:44) (cid:40) (cid:291)(cid:94)(cid:95)(cid:54) ,0 (cid:92)(cid:40)(cid:73)(cid:44) (cid:94)(cid:95)(cid:54) (cid:77)
2 2
𝐴 𝑦 𝐵 𝑙2 𝑥 𝐷 − 𝑙1 𝐶 ,𝑚
(1)(cid:73)(cid:128)(cid:124)(cid:125)(cid:54) (cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:341) (cid:37)(cid:320)(cid:96)
(2)(cid:43)(cid:73)(cid:44) (cid:37)(cid:354)𝐴(cid:355)(cid:104)(cid:96) 𝑚
(3)(cid:113)(cid:54) (cid:63)𝑙2 (cid:291)(cid:106)(cid:92)(cid:54) (cid:63)(cid:51)(cid:52)(cid:74)(cid:49)(cid:80)(cid:92)(cid:76)(cid:340)(cid:62)(cid:63)(cid:123) (cid:92) (cid:92) (cid:92) (cid:31)(cid:246)(cid:54)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:113)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:73)(cid:128)
(cid:124)(cid:125)(cid:54)𝑀(cid:37)(cid:51)𝑥(cid:52)(cid:92)(cid:113)(cid:254)𝑁(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:255)(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:77) 𝐴 𝐵 𝑀 𝑁
(cid:15)(cid:103)(cid:104)𝑁9-2(cid:20)(cid:67)23-24(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)·(cid:196)(cid:88)(cid:356)(cid:303)·(cid:89)(cid:90)(cid:68)(cid:247)(cid:248)(cid:357)(cid:42)(cid:10)(cid:113)(cid:3)(cid:95)x(cid:37)(cid:78)(cid:313)(cid:56)(cid:57) = + (cid:171) = +
𝑦1 𝑘1𝑥 𝑏1 𝑦2 𝑘2𝑥
(cid:227)(cid:264)(cid:337)(cid:163) + +( + ) =0(cid:92)( + ) 0(cid:92)(cid:122)(cid:249)(cid:56)(cid:57) (cid:171) (cid:70)(cid:31)“(cid:358)(cid:359)(cid:56)(cid:57)”(cid:77)(cid:169)(cid:170)(cid:360)(cid:357)(cid:42)(cid:92)
2 2024
𝑏(cid:354) 2 (cid:361)(cid:86)(cid:136)(cid:64)(cid:21) 𝑘 (cid:10) 1 𝑏2 𝑘2 𝑏1 𝑘1 𝑏1 ≠ 𝑦1 𝑦2
(1)(cid:113)(cid:3)(cid:95)x(cid:37)(cid:78)(cid:313)(cid:56)(cid:57) = + (cid:171) = + (cid:70)(cid:31)“(cid:358)(cid:359)(cid:56)(cid:57)”(cid:92)(cid:43)m(cid:92)n(cid:37)(cid:320)(cid:96)
(2)(cid:113)(cid:3)(cid:95)x(cid:37)(cid:78)(cid:313)(cid:56)(cid:57)𝑦1= 3𝑥+ 𝑚(cid:37)“(cid:358)𝑦2(cid:359)(cid:56)−(cid:57)𝑥”(cid:276)𝑛(cid:148)(cid:54) (cid:92)(cid:195)(cid:40) = + (cid:37)(cid:94)(cid:54)P(cid:63)(cid:312)(cid:143)(cid:59)(cid:362)(cid:92)(cid:43)k
(cid:37)(cid:304)(cid:320)(cid:363)(cid:364)(cid:96) 𝑦 𝑘𝑥 𝑏 (−5,2) 𝑦 𝑘𝑥 𝑏
(3)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:97)(cid:92)(cid:54) (cid:92)(cid:54) (cid:92)(cid:113)(cid:3)(cid:95)x(cid:37)(cid:78)(cid:313)(cid:56)(cid:57) = + (cid:40)(cid:116)(cid:37)“(cid:358)(cid:359)(cid:56)(cid:57)”(cid:94)(cid:95)(cid:54)
N(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:80)(cid:76)(cid:340)(cid:62)(cid:63)(cid:54)M(cid:92)𝐴(cid:27)(−(cid:101)1,(cid:123)3)A(cid:93)B𝐵(cid:93)(3M,0(cid:93)) N(cid:31)(cid:246)(cid:54)(cid:92)(cid:195) (cid:31)(cid:78)(cid:29)𝑦(cid:37)(cid:28)𝑘𝑥(cid:29)(cid:30)𝑏(cid:31)(cid:32)(cid:30)(cid:77)(cid:113)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:43)(cid:125)M
𝐴𝐵(cid:54)(cid:51)(cid:52)(cid:96)(cid:113)(cid:254)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:255)(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:77)
(cid:15)(cid:103)(cid:104)9-3(cid:20)(cid:67)22-23(cid:105)(cid:84)(cid:85)(cid:106)·(cid:28)(cid:365)(cid:55)(cid:329)·(cid:89)(cid:97)(cid:68)(cid:91)(cid:58)1(cid:92)(cid:63)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118) (cid:97)(cid:92)(cid:111)(cid:112)(cid:73)(cid:44) = 1 +3
2
𝑥𝑂𝑦 𝐴𝐵:𝑦 − 𝑥
(cid:40)(cid:73)(cid:44) = (cid:71)(cid:94)(cid:95)(cid:54) ( )(cid:92)(cid:75)(cid:135)(cid:94)(cid:51)(cid:52)(cid:291)(cid:95)(cid:54)A(cid:93)B(cid:93)C(cid:93)D(cid:92)(cid:54)P(cid:76)(cid:44)(cid:45) (cid:130)(cid:46)(cid:44)(cid:106)(cid:37)(cid:78)(cid:100)(cid:54)(cid:92)
𝐶(cid:37)𝐷:(cid:49)𝑦 (cid:50)(cid:31)𝑘𝑥−152(cid:77) 𝑀 4,𝑎 𝐶𝐷
△𝑃𝐵𝑀
(1)(cid:43)(cid:73)(cid:44) (cid:354)(cid:355)(cid:104)(cid:171)(cid:54)P(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:96)
(2)(cid:91)(cid:58)2(cid:92)𝐶𝐷(cid:288)(cid:54)P(cid:31)(cid:44)(cid:45) (cid:106)(cid:37)(cid:78)(cid:100)(cid:53)(cid:54)(cid:264)(cid:92)(cid:115) (cid:261)(cid:54)B(cid:309)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:267)90(cid:48)(cid:101)(cid:268) (cid:92)(cid:127)(cid:128) (cid:40) (cid:77)(cid:54)Q
(cid:366)(cid:367)(cid:54)P(cid:37)(cid:308)(cid:53)(cid:217)(cid:308)(cid:53)(cid:92)𝐶(cid:168)𝐷(cid:43)(cid:125)(cid:54)Q(cid:308)(cid:53)(cid:193)(cid:30)(cid:55)𝐵(cid:37)𝑃(cid:44)(cid:45)(cid:193)(cid:63)(cid:73)(cid:44)(cid:37)(cid:354)(cid:355)(cid:104)(cid:77) 𝐵𝑄 𝑃𝑄 𝑂𝑄
(3)(cid:63)(cid:67)1(cid:68)(cid:37)(cid:25)(cid:26)(cid:86)(cid:92)(cid:73)(cid:44) (cid:106)(cid:271)(cid:368)(cid:369)(cid:78)(cid:54)F(cid:92)(cid:74)(cid:49)(cid:73)(cid:47)(cid:51)(cid:52)(cid:118)(cid:80)(cid:76)(cid:340)(cid:62)(cid:63)(cid:54)N(cid:92)(cid:27)(cid:101)(cid:123)(cid:54)B(cid:93)D(cid:93)F(cid:93)N(cid:31)
(cid:246)(cid:54)(cid:37)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:76)(cid:32)(cid:30)(cid:92)(cid:91)(cid:370)𝐴(cid:62)𝐵(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:73)(cid:128)(cid:43)(cid:125)(cid:54)N(cid:37)(cid:51)(cid:52)(cid:96)(cid:91)(cid:370)(cid:254)(cid:62)(cid:63)(cid:92)(cid:168)(cid:255)(cid:34)(cid:256)(cid:155)(cid:77)
