专题1.1菱形的性质(讲义)(解析版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(北师大)

专题 1.1 菱形的性质（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:20)....................................................................................................................6
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:36)(cid:37)(cid:20)......................................................................................................................10
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:20)......................................................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:40)(cid:41)(cid:20)......................................................................................................................16
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:21)(cid:20)..............................................................................................................................21
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:27)(cid:46)(cid:47)(cid:20)......................................................................................................................................26
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:48)60°(cid:36)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:20)....................................................................................................................................32
知识点1 菱形的定义
1. (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:26)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:26)(cid:65)
2. (cid:66)(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73) ABCD(cid:42)(cid:61)(cid:74)AB=AD(cid:61)(cid:75) ABCD(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:65)
▱ ▱
知识点2 菱形的性质
图示 性质 数学语言描述
对边(cid:56)(cid:57) AB CD，AD BC
边
四条边都(cid:54)(cid:55) = ∥ = ∥ =
角 对角(cid:54)(cid:55) 𝐴 = 𝐵 𝐵𝐶(cid:61)𝐶𝐷 𝐷 = 𝐴
(cid:80) 对角线(cid:76)(cid:54)(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠(cid:61)𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐶(cid:61)𝐷 ∠ = 𝐷𝐴𝐵
(cid:36)
𝐴𝐶⊥𝐵=𝐷 𝑂𝐴=𝑂𝐶 𝑂=𝐵 𝑂𝐷,
每条对角线平分一组对角
(cid:33)
= = =
∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐴
对
轴对称图形，对称轴是∠𝐴(cid:80)𝐵(cid:36)𝐷(cid:33)所∠𝐶在𝐵的𝐷直线∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐶𝐷𝐵
称
中心对称图形，对称中心是(cid:81)(cid:82)(cid:80)(cid:36)(cid:33)的交点
性
知识点3 菱形面积的计算计算方法 符号表示 主要依据
菱形的面积=
=AB 菱形是特殊的平行四边形
底×高
𝑆 ⋅𝐷𝐸
1
菱形的面积= =4 =4×
菱形
1 2
两条对角线 =
2 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝑂𝐵 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵
1
乘积的一半 =
𝑆 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷 2
𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
【题型1 利用菱形的性质求坐标】
(cid:15)(cid:83)1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:56)(cid:38)(cid:78)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:42)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)13(cid:61)(cid:97)B(cid:27)
(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,12)(cid:61)(cid:97)D(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,2)(cid:61)(cid:75)(cid:97)A(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷
A(cid:65)(3,6) B(cid:65)( ) C(cid:65)( ) D(cid:65)( )
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)D −4,5 −4,6 −4,7
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:72)(cid:26)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:115)(cid:116)
(cid:61)(cid:117)(cid:118)(cid:10) (cid:104) (cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79)(cid:61) (cid:119)(cid:61)(cid:118)(cid:120) (cid:119)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121) =12(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:121)(cid:123)(cid:124)(cid:65)
𝐵(cid:15)𝐷(cid:125),𝐴(cid:113)𝐶(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:115)𝐵(cid:116)𝐷BD𝐴,A𝐶C(cid:61)(cid:126)(cid:127)(cid:97)E(cid:61)𝐵𝐷(cid:75)∥(cid:10)𝑦BD(cid:104)AC(cid:77)𝐴(cid:78)𝐶⊥(cid:56)𝑦(cid:79)(cid:61) 𝐴𝐸
(cid:97)B(8,12)(cid:61)D(8,2)(cid:61)
∵BD y(cid:119)(cid:61)E(8,7)(cid:61)
∴ ∥ (cid:119)(cid:61) = = 1 ×( )=5(cid:61)
2
∴𝐴𝐶⊥𝑦 𝐵𝐸 𝐷𝐸 12−2
(8,7)(cid:61)
∴(cid:25)𝐸 (cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)13(cid:61)(cid:122) =13(cid:61)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =12(cid:61) 𝐴𝐵
2 2
∴𝐴𝐸( 𝐴𝐵)(cid:61)−(cid:122)𝐵𝐸( )(cid:61)
∴𝐴 8−12,7 𝐴 −4,7(cid:128)(cid:129)(cid:10)D(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:53)(cid:35)(cid:96)5(cid:27)(cid:25)(cid:26) (cid:73)(cid:56)(cid:38)(cid:78)(cid:36)(cid:31)(cid:32)(cid:95)(cid:42)(cid:27)(cid:132)(cid:133)(cid:71)(cid:72)(cid:134)(cid:135)(cid:61)
(cid:97) (cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(8,0)(cid:61)(cid:75)(cid:97) (cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝑂𝐵𝐶
𝐶 𝐵
A(cid:65)(3,5) B(cid:65) C(cid:65) D(cid:65)(4,3)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C (3,−5) (4,−3)
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:136)(cid:115)(cid:116)(cid:80)(cid:36)(cid:33)(cid:61)(cid:123)(cid:137)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121)(cid:54)(cid:3)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:37)(cid:61)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:107)(cid:97) (cid:31)(cid:32)(cid:65)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)
(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:27)(cid:143)(cid:24)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:112)(cid:25)(cid:26)(cid:80)(cid:36)(cid:33)(cid:76)(cid:54)(cid:77)(cid:78)(cid:144)(cid:56)(cid:79)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:62)(cid:113)(cid:21)𝐵(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:115)(cid:116) (cid:126) (cid:127)(cid:97) (cid:61)
𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝐷
(cid:25)(cid:26) (cid:61)
∵ 𝐴𝑂𝐵 (cid:61) 𝐶 = 1 (cid:61) = 1 (cid:65)
2 2
∴𝐴𝐵⟂𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵
=8(cid:61)
∵𝑂𝐶 =4 (cid:65)
∴(cid:25)𝑂𝐷(cid:26)(cid:53)(cid:35) =5(cid:61)
∵(cid:73)Rt 𝑂𝐴(cid:42)(cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:118) = = 5 4 =3 (cid:61)
2 2 2 2
∴ =△3 𝐴(cid:61)𝑂𝐷 𝐴𝐷 𝑂𝐴 −𝑂𝐷 −
∴(cid:97)𝐵𝐷 (cid:73)(cid:147)(cid:58)(cid:148)(cid:149)(cid:61)
∵(cid:97)𝐵(cid:31)(cid:32)(cid:96) ,
(cid:128)∴ (cid:129)𝐵C(cid:65) (4,−3)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153)·(cid:154)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:156)(cid:97)A(cid:145)D(cid:73)(cid:78)(cid:33) = (cid:157)(cid:61)(cid:97)A(cid:73)x(cid:119)(cid:157)(cid:61)
(cid:97)C(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:96)(2(cid:61)4)(cid:61)(cid:75)(cid:97)B(cid:27)(cid:31)(cid:96)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑦 −3𝑥−63 9 5 9
A(cid:65) 4(cid:61) B(cid:65) 4(cid:61) C(cid:65) (cid:61) D(cid:65) (cid:61)
2 2 2 2
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B − −2 − −2
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:27)(cid:62)(cid:50)(cid:158)(cid:159)(cid:66)(cid:72)(cid:148)(cid:157)(cid:97)(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:160)(cid:161)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)
(cid:162)(cid:163)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:117)(cid:164) (cid:61)(cid:128)(cid:117)(cid:165)(cid:78)(cid:33) (cid:27)(cid:113)(cid:100)(cid:131)(cid:96) = + (cid:61)(cid:166)(cid:167)(cid:97)C(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 2(cid:61)4
(cid:168)(cid:169)(cid:30)(cid:121)b𝐴(cid:27)𝐵(cid:41)𝐶𝐷(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:121)(cid:170)(cid:113)𝐴(cid:100)𝐷(cid:131)∥𝐵(cid:61)𝐶(cid:165)(cid:121)B(cid:97)(cid:31)(cid:32)𝐵(cid:61)𝐶(cid:166)(cid:146) = 𝑦(cid:122)(cid:117)−3(cid:118)𝑥(cid:121)(cid:3)𝑏(cid:127)a(cid:27)(cid:171)(cid:172)(cid:61)(cid:30)(cid:121)a(cid:27)(cid:41)(cid:122)
(cid:117)(cid:65) 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10) (cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
(cid:61) ∵= (cid:61)𝐴𝐵𝐶𝐷
∴(cid:78)𝐴𝐷(cid:33)∥𝐵𝐶(cid:27)(cid:113)𝐴𝐵(cid:100)(cid:131)𝐵(cid:96)𝐶 = (cid:61)
∵ 𝐴𝐷 𝑦 −3𝑥−6
(cid:61)0 (cid:61)
∴(cid:165)𝐴(cid:78)−(cid:33)2 (cid:27)(cid:113)(cid:100)(cid:131)(cid:96) = + (cid:61)
𝐵𝐶 𝑦 −3𝑥 𝑏
(cid:97) 2(cid:61)4 (cid:61)
∵ 𝐶×2+ =4(cid:61)
∴(cid:113)−(cid:118)3 =10𝑏(cid:61)
(cid:78)(cid:33)𝑏 (cid:27)(cid:113)(cid:100)(cid:131)(cid:96) = +10(cid:61)
∴(cid:165) ( 𝐵𝐶 +10)(cid:61) 𝑦 −3𝑥
𝐵 𝑎,−3𝑎
(cid:61)0 2(cid:61)4 = (cid:61)
∵𝐴 ( − + 2 2) + ,𝐵 ( +1 ,𝐴 0 𝐵 ) = 𝐵 ( 𝐶 ) +(4+ ) (cid:61)
2 2 2 2
(cid:113)∴ 𝑎(cid:118) =4(cid:61) −3𝑎 2−𝑎 3𝑎−10
𝑎+10= +10= (cid:61)
∴−3𝑎 −12 −2
4(cid:61) (cid:65)
∴(cid:128)𝐵(cid:129)(cid:10)B −(cid:65)2(cid:15)(cid:130)(cid:131)1-3(cid:20)(cid:84)24-25(cid:173)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:156)(cid:97)O(cid:104)(cid:178)(cid:97)(cid:179)(cid:137)(cid:61)(cid:97)B(cid:73)y(cid:119)(cid:180)(cid:181)(cid:119)(cid:157)(cid:61)
=6(cid:61) =60°(cid:65)(cid:182)(cid:183)(cid:25)(cid:26) (cid:184)(cid:97)O(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:50)𝑂𝐴(cid:107)𝐵(cid:36)𝐶(cid:37)(cid:61)(cid:190)(cid:97)C(cid:191)(cid:192)(cid:120)(cid:97)A(cid:178)(cid:193)(cid:132)(cid:133)(cid:61)(cid:118)(cid:120)(cid:25)
(cid:26)𝑂𝐴 (cid:61)∠(cid:75)𝐴𝑂(cid:97)𝐶D(cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:96) 𝑂(cid:65)𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐴𝑂𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(9,3 3)
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:194) (cid:195) (cid:119)(cid:127) (cid:61)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:196)(cid:121) = 1 = 1 ×60°=30°(cid:61)(cid:30)(cid:121) =60°(cid:61)(cid:196)(cid:121)
2 2
𝐷 𝐷𝐻⊥𝑥 𝐻 ∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶 ∠𝐴𝑂𝐸
(cid:188)(cid:189)(cid:197)(cid:104) (cid:119)(cid:179)(cid:137)(cid:61) (cid:198)(cid:120) (cid:199)(cid:61)(cid:146)(cid:48) 30 (cid:37)(cid:36)(cid:27)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120) = 1 =3(cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121)
2
𝑂𝐴 𝑥 𝐴 𝐸 𝐸𝐻 𝐷𝐸
=3 3(cid:61)(cid:30)(cid:121) =9(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:120)(cid:97) (cid:27)(cid:31)(cid:32)(cid:65)
𝐷(cid:15)𝐻(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:194) 𝑂(cid:195)𝐻 (cid:119)(cid:127) (cid:61) 𝐷
𝐷 𝐷𝐻⊥𝑥 𝐻
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ 𝑂 = 𝐴𝐵1𝐶 = 1 ×60°=30°(cid:61)
2 2
∴∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐶
= =60°(cid:61)
∴(cid:25)∠(cid:26)𝐴𝑂𝐸 9(cid:184)0°(cid:97)−30(cid:185)°(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:61)(cid:97)C(cid:191)(cid:192)(cid:120)(cid:97) (cid:61)
∵(cid:25)(cid:26)𝑂𝐴𝐵𝐶(cid:184)(cid:97)𝑂(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)60°(cid:61) 𝐴
∴ (cid:188)𝑂(cid:189)𝐴(cid:197)𝐵𝐶(cid:104) (cid:119)𝑂(cid:179)(cid:137)(cid:61) (cid:198)(cid:120) (cid:199)(cid:61)
∴𝑂𝐴 = =𝑥6(cid:61) 𝐴 𝐸
∴(cid:58)𝑂(cid:53)𝐸(cid:26)𝑂𝐴 (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ =𝐴𝐷𝐸=𝑂 (cid:61)
∴𝐷𝐸 𝑂=𝐸 6,𝐷=𝐸6∥𝐴0°𝑂(cid:61)
∴∠𝐷𝐸𝐻 𝐴𝑂𝐸= =30°(cid:61)
∴∠𝐸𝐷
=
𝐻1 90
=
°−
3
6
(cid:61)
0°
2
∴𝐸𝐻 𝐷𝐸
= =3 3(cid:61)
2 2
∴𝐷𝐻= 𝐸𝐷+−𝐸𝐻=6+3=9(cid:61)
∵(cid:97)𝑂𝐻(cid:27)(cid:31)𝑂(cid:32)𝐸(cid:96)𝐸(9𝐻,3 3)(cid:65)
∴(cid:128)(cid:98)𝐷(cid:99)(cid:96)(cid:10)(9,3 3)(cid:65)
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:31)(cid:32)(cid:104)(cid:72)(cid:26)(cid:130)(cid:201)-(cid:188)(cid:189)(cid:61)(cid:48) 30 (cid:37)(cid:36)(cid:27)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:3)(cid:114)(cid:62)(cid:48) 30
(cid:37)(cid:36)(cid:27)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120) = 1 (cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
2
𝐸𝐻 𝐷𝐸 𝐷𝐻
【题型2 利用菱形的性质求线段长】
(cid:15)(cid:83)2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:205)·(cid:154)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61) =6(cid:61) (cid:96)(cid:53) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116)
(cid:104) (cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:97) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐸 𝐵𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐹
(cid:84)1(cid:94)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:206)
(cid:84)2(cid:94)(cid:74) (cid:96)𝐷𝐸 (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:75)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)𝐺 𝐴𝐵3 3 21 𝐹𝐺
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:113)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:55)(cid:55)(cid:61)(cid:109)(cid:164)(cid:25)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:84)1(cid:94)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:196)(cid:121) = = =6(cid:61) = =60°(cid:61)(cid:75)(cid:117)(cid:46)(cid:47) (cid:62)(cid:55)(cid:53)
(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:118)𝐵(cid:120)𝐷 (cid:61)(cid:163)(cid:170)(cid:113)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)𝐶𝐷(cid:26)(cid:122)𝐴(cid:117)𝐵(cid:118)(cid:120)𝐵(cid:98)𝐶 (cid:99)(cid:206) ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐷
(cid:84)2(cid:94)(cid:115)(cid:116) (cid:61) 𝐷𝐸 (cid:117) ⊥ (cid:46) 𝐵 (cid:47) 𝐶 = (cid:61)(cid:118)(cid:120) = = 1 =30°(cid:61)(cid:113)Rt (cid:118)(cid:120) = =2 3(cid:61)
2
𝐵𝐸 𝐹𝐵 𝐹𝐶 ∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐹𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝐷 △𝐶𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐶𝐹
(cid:166)(cid:46)(cid:47) =90°(cid:61)(cid:30)(cid:121) = 1 =3(cid:61)(cid:75) = + = 21(cid:65)
2
2 2
∠𝐹𝐵𝐺 𝐵𝐺 𝐴𝐵 𝐹𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:84)1(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:134)(cid:135)(cid:61)(cid:115)(cid:116)
𝐵𝐷(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ 𝐴(cid:61)𝐵𝐶𝐷 (cid:61) = = =6(cid:61)
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷+ 𝐴𝐷=∥𝐵𝐶 𝐶+𝐷 𝐴=𝐵180𝐵°𝐶(cid:61)
∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐵 ∠=𝐵𝐶6𝐷0°(cid:61)∠𝐵
∴∠𝐵𝐶𝐷 (cid:62)∠(cid:55)𝐷(cid:53)𝐴𝐵(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴△(cid:96)𝐵(cid:53)𝐶𝐷 (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
∵𝐸 𝐵𝐶(cid:61)
∴𝐷𝐸⊥ = 𝐵 6 𝐶 × 3=3 3(cid:61)
2
∴𝐷𝐸
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)3 3(cid:206)
(cid:84)2(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:134)(cid:135)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)
𝐵𝐸
(cid:146)(cid:84)1(cid:94)(cid:117)(cid:118) (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61) (cid:61)
= (cid:61) △𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
∴𝐹𝐵 𝐹 = 𝐶 = 1 =30°(cid:61)
2
∴∠𝐹𝐵𝐶 ∠𝐹𝐶𝐵 ∠𝐵𝐶𝐷
(cid:73)Rt (cid:42)(cid:61) = = 3 =2 3(cid:61)
cos cos30°
𝐶𝐸
△𝐶𝐸𝐹 𝐶𝐹 ∠𝐸𝐶𝐹
=2 3(cid:61)
∴𝐵𝐹 (cid:61)
∵𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 =120°(cid:61)
∴∠𝐴𝐵𝐶 =180°−∠𝐷𝐴𝐵 =90°(cid:61)
∴∠(cid:96)𝐹𝐵𝐺 (cid:27)∠(cid:42)𝐴(cid:97)𝐵𝐶(cid:61)−∠𝐹𝐵𝐶
∵𝐺
=
𝐴𝐵1
=3(cid:61)
2
∴𝐵𝐺 𝐴𝐵
= + = 21(cid:61)
2 2
∴𝐹𝐺 𝐵𝐺 𝐵𝐹(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) 21(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:173)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:157)(cid:209)·(cid:210)(cid:34)(cid:110)(cid:211)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:194)(cid:97)C(cid:195) (cid:61)(cid:126) (cid:27)(cid:212)
(cid:35)(cid:33)(cid:127)(cid:97)B(cid:61)(cid:74) = 5(cid:61) =4(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐵⊥𝐴𝐶 𝐴𝐷
𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)2
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:27)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:27)(cid:143)(cid:24)(cid:61)(cid:214)(cid:158)(cid:162)(cid:131)(cid:27)(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:61)
(cid:136)(cid:46)(cid:47) = = = = 5(cid:61)(cid:166)(cid:46)(cid:47) = = = 5(cid:61)(cid:138)(cid:50)(cid:219)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:220)(cid:218)(cid:122)(cid:117)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)𝐴(cid:20)𝐷(cid:113)(cid:10)𝐶𝐷(cid:58)(cid:53)𝐶(cid:26)𝐸 𝐴𝐸(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) 𝐵𝐷 𝐶𝐷 𝐴𝐷
= = ∵ = 𝐴=𝐷𝐶𝐸5(cid:61)
∴𝐴𝐷 𝐶=𝐷 𝐶𝐸(cid:61) 𝐴𝐸
∴∠𝐷𝐴𝐶 (cid:61)∠𝐷𝐶𝐴
∵𝐶𝐵⊥+𝐴𝐶 =90°= + (cid:61)
∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶(cid:61) ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐷𝐶𝐴
∴∠𝐵 =∠𝐵𝐶=𝐷 = 5(cid:61)
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷=2 5,
∴𝐴𝐵=4𝐴(cid:61)𝐷 𝐵𝐷
∵𝐵𝐶= =2(cid:61)
2 2
∴(cid:128)𝐴(cid:98)𝐶(cid:99)(cid:96)𝐴(cid:10)𝐵2−𝐵𝐶
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =10(cid:61) =16(cid:61) (cid:126) (cid:127)(cid:97) (cid:61)
(cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐷𝐸⊥𝐵𝐶
𝐸 𝑂𝐸 𝑂𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)6
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:111)(cid:112)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:225)(cid:53)(cid:157)(cid:27)(cid:42)(cid:33)(cid:55)(cid:127)
(cid:225)(cid:53)(cid:27)(cid:50)(cid:181)(cid:226)(cid:96)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:118) = 1 =8(cid:61) = (cid:61)(cid:166)(cid:217)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:117)(cid:118) (cid:35)(cid:61)(cid:227)(cid:197)(cid:162)(cid:163)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:225)(cid:53)(cid:157)(cid:27)
2
𝐴𝑂 𝐴𝐶 𝐵𝐷 2𝑂𝐵 𝑂𝐵
(cid:42)(cid:33)(cid:55)(cid:127)(cid:225)(cid:53)(cid:27)(cid:50)(cid:181)(cid:122)(cid:117)(cid:113)(cid:98)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
= 1 = ∵ 8 𝐴 (cid:61) 𝐵𝐶𝐷 = (cid:61) =90°(cid:61)
2
∴𝐴𝑂 𝐴𝐶 𝐵𝐷 2𝑂𝐵 ∠𝐴𝑂𝐵
= = 10 8 =6(cid:61)
2 2 2 2
∴𝑂𝐵 =12𝐴(cid:61)𝐵 −𝑂𝐴 −
∴𝐵𝐷 (cid:61)
∵𝐷𝐸⊥
=
𝐵1𝐶
=6(cid:61)
2
∴𝑂𝐸 𝐵𝐷
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)6(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)2-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:228)(cid:90)(cid:229)(cid:92)·(cid:50)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:230)(cid:192)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:146)(cid:154)(cid:234)(cid:25)(cid:26)(cid:51)(cid:226)(cid:61)(cid:235)(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:72) (cid:27)(cid:171)(cid:131) =90°(cid:239)
(cid:73)(cid:240)(cid:157)(cid:61)A(cid:145)B(cid:96)(cid:241)(cid:242)(cid:134)(cid:73)(cid:132)(cid:133)(cid:61)(cid:144) =72cm(cid:206)(cid:96)(cid:207)(cid:243)(cid:244)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:247)(cid:248)(cid:61)(cid:249)(cid:250)(cid:96)①(cid:72) (cid:27)(cid:171)∠(cid:131)𝛼
=60°(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:35) = 𝐴𝐵cm(cid:61)(cid:81)(cid:251)(cid:241)(cid:242)A(cid:145)B(cid:246)(cid:27)(cid:252)(cid:253)(cid:243)(cid:244)(cid:207) cm②(cid:65)(cid:84)(cid:24)(cid:48)(cid:162)(cid:9)(cid:27)(cid:131)
∠(cid:242)𝛽(cid:254)(cid:135)(cid:94) 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) 12 2 (36 6 )/( +36 6)
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)−7(cid:180)2(cid:171)(cid:26)−7(cid:27)2(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:113)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:143)(cid:24)(cid:61)(cid:256)(cid:230)(cid:217)(cid:24)(cid:257)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:159)(cid:66)(cid:62)
(cid:113)(cid:21)(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:146)(cid:72) (cid:27)(cid:171)(cid:131)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:257)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:159)(cid:66)(cid:30)(cid:121)(cid:180)(cid:171)(cid:26)(cid:27)(cid:53)(cid:35) (cid:61)(cid:166)(cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:130)(cid:258)(cid:53)(cid:35) (cid:259)(cid:130)(cid:61)(cid:123)(cid:137)(cid:25)(cid:26)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:257)(cid:36)(cid:154)①(cid:36)(cid:159)(cid:66)(cid:30)(cid:113)(cid:122)(cid:117)(cid:65) 𝐴𝐸 𝐴𝐸
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:32)(cid:260)(cid:261)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)①(cid:26)(cid:61) =90°(cid:61) 𝐴𝐵
∵(cid:58)(cid:53)(cid:26)𝐴𝐸𝐶𝐷(cid:62)(cid:180)(cid:171)(cid:26)∠(cid:61)𝛼
∴ =𝐴𝐸4𝐶5𝐷°(cid:61) =90°(cid:61)
∴∠𝐶𝐴=𝐸72cm(cid:61) ∠𝐸
∵𝐴𝐵 = 1 =24cm(cid:61)
3
∴𝐴𝐶 𝐴𝐵
(cid:73)Rt (cid:42)(cid:61) =24×cos45°=12 2cm(cid:206)
△𝐴𝐸𝐶 𝐴𝐸(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:32)(cid:260)(cid:261)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:145) (cid:61)
(cid:58)②(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) 𝐴𝐵=6𝐷0𝐸°(cid:61)
∵ 𝐴𝐸 (cid:61) 𝐶𝐷 = 1 ∠𝛽 =30°(cid:61)
2
∴𝐴𝐶⊥𝐷𝐸 ∠𝐶𝐴𝐸 ∠𝛽
=12 2cm(cid:61)
∵𝐴𝐸 =12 2×cos30°=6 6cm(cid:61)
∴𝑂𝐴=12 6cm(cid:61)
∴𝐴𝐶 = =36 6cm(cid:61)
∴𝐴(cid:81)𝐵(cid:251)(cid:241)3(cid:242)𝐴𝐶A(cid:145)B(cid:246)(cid:27)(cid:252)(cid:253)(cid:243)(cid:244)(cid:207)(36 6 )cm(cid:61)
(cid:128)∴(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)12 2(cid:61)(36 6 )(cid:65) −72
−72
【题型3 利用菱形的性质求角度】
(cid:15)(cid:83)3(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:221)(cid:222)(cid:262)(cid:151)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)M(cid:61)N(cid:79)(cid:263)(cid:73) (cid:61) (cid:157)(cid:61)(cid:144) = (cid:61)
(cid:104) (cid:126)(cid:127)(cid:97)O(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:74) =36°(cid:61)(cid:75) (cid:27)𝐴(cid:37)𝐵(cid:66)𝐶𝐷(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝑀 𝐶𝑁
𝑀𝑁 𝐴𝐶 𝐵𝑂 ∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝑂𝐵𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)54°/54(cid:37)
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:21)(cid:265)(cid:118)(cid:120) (cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)
(cid:3)(cid:114)(cid:65) △𝐴𝑂𝑀≌△𝐶𝑂𝑁
(cid:136)(cid:46)(cid:47) (cid:61)(cid:117)(cid:118) = (cid:61)(cid:266)(cid:139)(cid:118)(cid:120) =90°(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:30)(cid:113)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)△𝐴(cid:58)𝑂(cid:53)𝑀≌(cid:26)△𝐶𝑂𝑁(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)𝑂𝐴 𝑂𝐶 ∠𝐵𝑂𝐶
(cid:61)∵ 𝐴(cid:61)𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷=𝐴𝐷∥𝐵𝐶 = (cid:61)
∴∠𝑂𝐴=𝑀 (cid:61)∠𝑂𝐶𝑁,∠𝐴𝑀𝑂 ∠𝐶𝑁𝑂
∵𝐴𝑀 𝐶𝑁 (cid:61)
∴△𝐴𝑂𝑀≌△𝐶𝑂𝑁= (cid:61)
(cid:122)∴𝑂(cid:97)𝐴 O𝑂(cid:96)𝐶(cid:25)(cid:26) (cid:80)(cid:36)(cid:33)(cid:27)(cid:126)(cid:97)(cid:61)
(cid:61)(cid:122)𝐴𝐵𝐶𝐷 =90°(cid:61)
∴𝑂𝐵⊥𝐴=𝐶36°(cid:61)∠𝐵𝑂𝐶 (cid:61)
∵∠𝐷𝐴𝐶 = 𝐴=𝐷∥3𝐵6𝐶°(cid:61)
∴∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐶 = =54°(cid:65)
∴(cid:128)∠(cid:98)𝑂𝐵(cid:99)𝐶(cid:96)(cid:10)9504°−°∠𝑂𝐶𝐵 90°−36°
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-1(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:89)(cid:90)(cid:6)(cid:92)·(cid:93)(cid:267)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) (cid:127)(cid:97)E(cid:61) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)
(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:74) =55°(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:96) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷
𝐸𝐹 ∠𝐵 ∠𝐴𝐸𝐹
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)62.5°
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:39)(cid:216)(cid:118)(cid:120) = (cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:80)
(cid:55)(cid:36)(cid:61)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:122)(cid:117)(cid:65) 𝐴𝐸 𝐴𝐹
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)∠(cid:10)𝐴𝐸(cid:25)𝐹(cid:26) (cid:42)(cid:61) (cid:127)(cid:97)E(cid:61) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)
= ∵ (cid:61)𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴=𝐸5⊥5°𝐵(cid:61)𝐶 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷
∴𝐵𝐶 𝐶=𝐷,𝐴𝐷∥𝐵𝐶 =∠𝐷125°∠(cid:61)𝐵 = = =35°(cid:61)
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180°−55×°35°=55°∠(cid:61)𝐵𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐹 90°−55°
∴∠𝐸𝐴𝐹 1 = 251°−2 = 1 (cid:61)
菱形
2 2
∵𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶⋅𝐴𝐸 𝐶𝐷⋅𝐴𝐹
= (cid:61)
∴𝐴𝐸 𝐴
=
𝐹1
×( )=62.5°(cid:206)
2
∴∠𝐴𝐸𝐹 180°−55°
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)62.5°(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:268)(cid:177)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:183)(cid:50)(cid:234)(cid:25)(cid:26)(cid:269)(cid:270)(cid:50)(cid:234)(cid:53)(cid:35)(cid:96)(cid:178)(cid:193)(cid:50)(cid:181)(cid:27)(cid:25)(cid:26)(cid:118)(cid:120)(cid:72) (cid:61)(cid:24)(cid:154)(cid:234)(cid:72)
(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:121)(cid:50)(cid:234)(cid:71)(cid:72) (cid:134)(cid:135)(cid:27)(cid:56)(cid:38)(cid:72)①(cid:26)(cid:61)(cid:75)(cid:72) (cid:42) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:62)(cid:84) (cid:94) ②
② ③ ③ ∠𝐴𝐵𝐶A(cid:65)30° B(cid:65)45° C(cid:65)60° D(cid:65)90°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)C
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:11)(cid:274)(cid:275)(cid:21)(cid:276)(cid:21)(cid:27)(cid:277)(cid:278)(cid:61)(cid:108)(cid:113)(cid:21)(cid:265)(cid:61)(cid:279)(cid:140)(cid:280)(cid:72)(cid:61)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:62)(cid:113)
(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65) ∠𝐵𝐴𝐷
(cid:136)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:61)(cid:166)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:80)(cid:53)(cid:56)(cid:57)(cid:61)(cid:56)(cid:57)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:122)(cid:117)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)∠(cid:20)𝐵(cid:113)𝐴𝐷(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61) ∠𝐴𝐵𝐶
= = (cid:61) + + =360°(cid:61)
=360∵°∠÷𝐷3𝐴𝐸=12∠0𝐵°(cid:61)
𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐷𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐷 (cid:61)
∵𝐴𝐷∥𝐵=𝐶 =60°(cid:61)
(cid:128)∴(cid:129)∠𝐴(cid:10)𝐵𝐶C(cid:65)180°−∠𝐵𝐴𝐷
1
(cid:15)(cid:130)(cid:131)3-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:209)(cid:90)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)(cid:79)(cid:263)(cid:284)(cid:97)C(cid:61)D(cid:96)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:18)(cid:127) (cid:35)(cid:96)(cid:181)(cid:287)(cid:288)
2
(cid:289)(cid:61)(cid:81)(cid:289)(cid:79)(cid:263)(cid:126)(cid:127)(cid:97)M(cid:61)N(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:74)(cid:78)(cid:33) (cid:290)𝐴(cid:272)𝐵𝐶(cid:194)𝐷(cid:97)A(cid:144)(cid:126)CD(cid:127)(cid:97)E(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:75)𝐶𝐷 =(cid:84) (cid:94)
𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝐵𝐸 ∠𝐵𝐶𝐷
A(cid:65)105° B(cid:65)100° C(cid:65)115° D(cid:65)120°
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)D
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:56)(cid:57)(cid:33)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)
(cid:146)(cid:195)(cid:216)(cid:118) (cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79) (cid:61) = (cid:61)(cid:146)(cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:118)(cid:120) = (cid:61)(cid:118)(cid:120) (cid:96)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:146)(cid:56)(cid:57)(cid:33)
(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)𝑀(cid:122)𝑁(cid:117)(cid:30)(cid:113)(cid:61) 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 △𝐴𝐶𝐷
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:134)(cid:135)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)
𝐴𝐶(cid:146)(cid:195)(cid:216)(cid:118) (cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79) (cid:61)
= 𝑀(cid:61)𝑁 𝐶𝐷
∴(cid:58)𝐴𝐷(cid:53)(cid:26)𝐴𝐶 (cid:96)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵(cid:61)𝐶𝐷 (cid:61)
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐴𝐷(cid:61)∥𝐵𝐶
∴𝐴𝐷 𝐴(cid:96)𝐶 (cid:55)𝐶(cid:53)𝐷(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴△𝐴𝐶𝐷=60°(cid:61)
∴∠𝐴𝐷𝐶+ =180°(cid:61)
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶 = =120°(cid:61)
∴(cid:128)∠(cid:129)𝐵𝐶(cid:10)𝐷D(cid:65)180°−∠𝐴𝐷𝐶 180°−60°
【题型4 利用菱形的性质求面积】
(cid:15)(cid:83)4(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:224)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:291)(cid:35)(cid:96)16(cid:61) (cid:62)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:79)(cid:263)(cid:195)
(cid:97)(cid:120)(cid:78)(cid:33) (cid:145) (cid:27)(cid:77)(cid:33)(cid:34) (cid:145) (cid:61)(cid:74) + =3(cid:61)(cid:75)𝐴(cid:25)𝐵𝐶(cid:26)𝐷 (cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:96)𝑃 (cid:65)𝐵𝐷 𝑃
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)12
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:220)(cid:218)(cid:61)(cid:180)(cid:140)(cid:27)(cid:195)(cid:121)(cid:292)(cid:293)(cid:33)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120) = =16÷4=4(cid:61)(cid:166)(cid:162)(cid:163)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:131)(cid:118)(cid:120) = + = 1
2
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃
+ 1 = 1 ×4( + )=2×3=6(cid:61)(cid:30)(cid:121) =2 =2×6=12(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:120)(cid:98)(cid:99)(cid:65)
菱形
2 2
𝐴𝐵⋅𝑃𝐸 𝐴𝐷⋅𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)
𝐴𝑃(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:291)(cid:35)(cid:96)16(cid:61)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷=16÷4=4(cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐷 (cid:61) = + = 1 + 1 = 1 ×4( + )=2×3=6(cid:61)
2 2 2
∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐵,𝑃𝐹⊥𝐴𝐷 ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆△𝐴𝐵𝑃 𝑆△𝐴𝐷𝑃 𝐴𝐵⋅𝑃𝐸 𝐴𝐷⋅𝑃𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹
=2 =2×6=12(cid:61)
菱形
(cid:128)∴(cid:98)𝑆 (cid:99)𝐴(cid:96)𝐵𝐶(cid:10)𝐷12(cid:65)𝑆△𝐴𝐵𝐷
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:174)(cid:294)(cid:90)(cid:295)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:97) (cid:62)(cid:25)(cid:26) (cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61) =5(cid:61) =8(cid:65)(cid:74)
= (cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:96) (cid:65) 𝐸 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐷
𝐷𝐸 𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐸
15
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)
2
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:284)(cid:157)(cid:164)(cid:280)(cid:97)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:115)(cid:116)
(cid:126) (cid:127)O(cid:61)(cid:75) = 1 =4(cid:61) (cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:35)(cid:61)(cid:166)(cid:146)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:38)(cid:39)(cid:220)(cid:218)(cid:7)(cid:131)(cid:30)(cid:113)(cid:122)(cid:117) 𝐴 (cid:65) 𝐶
2
𝐵𝐷 𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝑂𝐴
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:134)(cid:135)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:126) (cid:127)O(cid:61)
𝐴𝐶 𝐵𝐷
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =8(cid:61)
∵
=
1𝐴𝐵𝐶
=
𝐷
4(cid:61)
𝐵𝐷
(cid:61)
2
∴𝑂𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷
= =3(cid:61)
2 2
∴𝑂𝐴 = 𝐴𝐷=−5(cid:61)𝑂𝐷
∵𝐷𝐸 𝐴 = 𝐷1 = 1 ×5×3= 15 (cid:61)
2 2 2
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸 𝐷𝐸⋅𝑂𝐴15
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) (cid:65)
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:296)(cid:297)(cid:35)(cid:298)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:104) (cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:237)(cid:71)(cid:88)(cid:219)(cid:299)(cid:195)(cid:72)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 1
(cid:284)(cid:97) (cid:96)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:300)(cid:301)(cid:35)(cid:96)(cid:181)(cid:287)(cid:195)(cid:289)(cid:61)(cid:79)(cid:263)(cid:126) (cid:127)(cid:97) (cid:145) (cid:61)(cid:166)(cid:79)(cid:263)(cid:284)(cid:97) (cid:145) (cid:96)(cid:285)(cid:286)(cid:61)(cid:18)(cid:127) (cid:27)(cid:35)(cid:96)(cid:181)(cid:287)(cid:195)
2
(cid:289)(cid:61)(cid:81)𝐶 (cid:289)(cid:126)(cid:97)(cid:96) (cid:61)(cid:195)(cid:302)(cid:33) (cid:61) (cid:126) (cid:127)(cid:97)𝐴𝐵(cid:61)(cid:115)(cid:116)𝐸 𝐹(cid:61)(cid:74) =2(cid:61)𝐸 = 𝐹 5(cid:61)(cid:75)(cid:25)(cid:26) 𝐸𝐹(cid:38)(cid:39)(cid:96) (cid:65)
𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺 𝐴𝐵 𝐻 𝐻𝑂 𝐻𝑂 𝐵𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)20
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:303)(cid:304)(cid:195)(cid:77)(cid:33)(cid:145)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:42)(cid:33)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:195)(cid:72)(cid:194)(cid:172)(cid:118)(cid:120) (cid:62)(cid:113)(cid:98)(cid:118)
(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:136)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) = (cid:61) = =5(cid:61)(cid:166)(cid:146)(cid:195)(cid:72)(cid:194)(cid:172)(cid:118) =90°(cid:61)(cid:227)(cid:197)(cid:23)𝐶(cid:24)𝐻(cid:78)⊥𝐴(cid:36)𝐵(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)
(cid:42)(cid:33)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120) = =𝑂𝐴 =𝑂2𝐶(cid:61)(cid:138)𝑂(cid:139)𝐷(cid:23)(cid:24)𝐵𝑂(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:131)(cid:30)(cid:113)(cid:122)(cid:117)∠𝐴(cid:65)𝐻𝐶
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)𝑂(cid:58)𝐴(cid:53)(cid:26)𝑂𝐶 𝑂𝐻(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
= (cid:61) ∵ = 𝐴=𝐵5𝐶(cid:61)𝐷
∴(cid:146)𝑂(cid:195)𝐴(cid:72)(cid:194)𝑂𝐶(cid:172)(cid:118)𝑂𝐷 𝐵𝑂(cid:61)
=90°(cid:61)𝐶𝐻⊥𝐴𝐵
∴∠𝐴𝐻=𝐶 = =2(cid:61)
∴𝑂𝐴=4𝑂(cid:61)𝐶(cid:305)𝑂𝐻= =10(cid:61)
∴ (cid:25) 𝐴𝐶 (cid:26) (cid:38) 𝐵 (cid:39) 𝐷 (cid:96) 2𝐵𝑂 = 4×10 =20(cid:65)
2 2
𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
∴(cid:128)(cid:98)(cid:99)𝐴(cid:96)𝐵𝐶(cid:10)𝐷 20(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)4-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:89)(cid:90)(cid:291)(cid:306)·(cid:154)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =10(cid:61)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:104) (cid:54)(cid:126)(cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:194)(cid:97) (cid:195)
(cid:61)(cid:126)(cid:53) (cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:74) = 10(cid:61)𝐴𝐵(cid:75)𝐶𝐷(cid:25)(cid:26)(cid:27)𝐵(cid:38)𝐶(cid:39)(cid:96) (cid:65)𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝑂 𝐴
𝐴𝐸⊥𝐵𝐶 𝐵𝐶 𝐸 𝐸𝑂 𝐸𝑂
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)60
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:118) = = 1 (cid:61)
2
𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝐴𝐶(cid:61) = (cid:61)(cid:146)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:118) = = 10(cid:61) =2 10(cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121) =3
𝐴𝐶10⊥(cid:61)𝐵(cid:122)𝐷(cid:117)𝐵(cid:118)𝐷(cid:121) 2𝐵=𝑂6 10(cid:61)(cid:40)(cid:197)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:220)𝑂(cid:218)𝐶(cid:122)(cid:117)𝐸𝑂(cid:118)(cid:113)(cid:61)(cid:109)(cid:110)𝐴(cid:111)𝐶 (cid:112)(cid:284)(cid:157)(cid:164)(cid:280)(cid:97)(cid:307)(cid:256)(cid:230)(cid:217)(cid:24)(cid:62)𝐵𝑂(cid:113)(cid:170)(cid:21)(cid:27)
(cid:3)(cid:114)(cid:65) 𝐵𝐷
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10) (cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:96)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
= =
1∵
(cid:61)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:61) = (cid:61)
2
∴𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝐴𝐶 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐵𝐷 2𝐵𝑂
(cid:61) = 10(cid:61)
∵𝐴𝐸⊥=𝐵𝐶 =𝐸𝑂10(cid:61) =2 10(cid:61)
∴𝑂𝐶 =𝐸𝑂 =𝐴𝐶3 10(cid:61)
2 2
∴𝐵𝑂 = 𝐵𝐶=−𝑂6𝐶10(cid:61)
∴ (cid:25) 𝐵𝐷 (cid:26)(cid:27) 2 (cid:38) 𝐵𝑂 (cid:39)(cid:96) 1 × = 1 ×6 10×2 10=60(cid:61)
2 2
∴(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10)60(cid:65)𝐵𝐷 𝐴𝐶
【题型5 利用菱形的性质求最值】
(cid:15)(cid:83)5(cid:20)(cid:84)2025·(cid:308)(cid:309)(cid:174)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61) =120°(cid:61)(cid:97) (cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
(cid:97) (cid:62) (cid:157)(cid:27)(cid:50)(cid:192)(cid:97)(cid:61)(cid:75) + (cid:27)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:62)(cid:84) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐵
𝐹 𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐹
A(cid:65)4 B(cid:65)2 7 C(cid:65)2 3 D(cid:65)3 3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)B
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:170)(cid:21)(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:119)(cid:80)(cid:314)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:164)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:186)(cid:318)(cid:319)(cid:190) + (cid:226)(cid:96)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:62)(cid:113)(cid:101)
(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65) 𝐸𝐹 𝐵𝐹
(cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:61)(cid:165) (cid:126) (cid:127) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:61)(cid:212)(cid:35) (cid:61)(cid:195) (cid:127) (cid:61)(cid:46)(cid:47)(cid:320)(cid:49)(cid:97) (cid:217)(cid:192)(cid:120)(cid:97) (cid:186)(cid:61) +
(cid:321)(cid:40)𝐷(cid:313)𝐵(cid:41)(cid:61)𝐷(cid:166)𝐸 (cid:162)(cid:163)𝐷(cid:25)𝐸(cid:26)𝐴(cid:27)𝐶(cid:28)(cid:29)𝑀(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)𝑀𝐵(cid:108)(cid:30)𝐷(cid:118)𝐹(cid:40)(cid:313)(cid:41)𝐵(cid:65)𝐴 𝐷𝐻⊥𝐵𝐴 𝐻 𝐹 𝑀 𝐸𝐹 𝐵𝐹
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:61)(cid:165) (cid:126) (cid:127) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:61)(cid:212)(cid:35) (cid:61)(cid:195) (cid:127) (cid:61)
𝐷𝐵 𝐷𝐸 𝐷𝐸 𝐴𝐶 𝑀 𝑀𝐵 𝐷𝐹 𝐵𝐴 𝐷𝐻⊥𝐵𝐴 𝐻(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ (cid:61) 𝐴(cid:76)𝐵𝐶(cid:54)𝐷(cid:77)(cid:78)(cid:56)(cid:79)(cid:61)
∴(cid:97)𝐴𝐶 (cid:3)𝐵(cid:127)𝐷 (cid:27)(cid:80)(cid:314)(cid:97)(cid:96) (cid:61)
∴ 𝐵= 𝐴(cid:61)𝐶 𝐷
∴𝐹𝐷+ 𝐹𝐵= + (cid:61)
(cid:320)∴𝐹(cid:49)𝐸(cid:301)𝐹(cid:97)𝐵 (cid:217)𝐹(cid:192)𝐸(cid:120)(cid:97)𝐹𝐷(cid:186)≥(cid:61)𝐷𝐸(cid:321)(cid:55)(cid:9)(cid:84)(cid:81)(cid:97)(cid:245)(cid:246)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:322)(cid:94)(cid:61)
(cid:73) 𝐹(cid:42)(cid:61) =𝑀 (cid:61) =120°(cid:61)
△𝐴𝐵=𝐷 60°(cid:65)𝐴𝐷 𝐴𝐵 ∠𝐷𝐴𝐵
∴∠𝐻𝐴𝐷 (cid:61)
∵𝐷𝐻⊥ = 𝐴1𝐵 (cid:61) = 3 (cid:65)
2 2
∴(cid:25)𝐴𝐻(cid:26) 𝐴𝐷(cid:27)𝐷(cid:53)𝐻(cid:35)(cid:96)4 𝐴(cid:61)𝐷 (cid:96) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
∵ =𝐴2𝐵(cid:61)𝐶𝐷 =2(cid:61) 𝐸 𝐴𝐵
∴𝐴𝐸 =4(cid:61)𝐴𝐻 =2 3(cid:61)
(cid:73)∴𝐸R𝐻t 𝐷(cid:42)𝐻(cid:61) = + =2 7(cid:61)
2 2
△+𝐸𝐻𝐷(cid:27)(cid:40)(cid:313)𝐷(cid:41)𝐸(cid:96)2 𝐸7𝐻(cid:65) 𝐷𝐻
∴(cid:128)𝐸(cid:129)𝐹(cid:10)𝐵B𝐹(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:323)(cid:294)(cid:294)(cid:91)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =2(cid:61)(cid:97) (cid:96) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:144) =105°(cid:61)
=60°(cid:61)(cid:97) (cid:96) (cid:134)(cid:73)(cid:78)(cid:33)(cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116)𝐴𝐵𝐶(cid:145)𝐷 (cid:61)(cid:301)𝐴𝐷| |(cid:321)𝐸(cid:118)(cid:40)𝐴𝐷(cid:18)(cid:41)(cid:186)(cid:61) ∠𝐴(cid:27)𝐸𝐵(cid:35)(cid:96) (cid:65)
∠𝐵𝐶𝐷 𝑃 𝐵𝐸 𝐴𝑃 𝐶𝑃 𝐶𝑃−𝐴𝑃 𝐵𝑃
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) 2(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:145)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:154)(cid:53)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:301)(cid:97) (cid:145) (cid:145) (cid:73)(cid:324)(cid:50)(cid:82)(cid:78)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)
′
| |(cid:40)(cid:18)(cid:61)(cid:162)(cid:163) =105°(cid:117)(cid:118) =45°(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:117)(cid:284)(cid:30)(cid:121)𝐴 (cid:27)𝑃(cid:40)(cid:18)𝐶(cid:35)(cid:37)(cid:65)
(cid:15)𝑃𝐶(cid:125)−(cid:113)𝐴𝑃(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:88)(cid:72)∠(cid:134)𝐴(cid:135)𝐸𝐵(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:126)∠𝐷𝐵(cid:127)𝐸(cid:97) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61) 𝐵𝑃
′
(cid:73) (cid:42)(cid:61)| |< (cid:61) 𝐴𝐶 𝐵𝐸 𝑃 𝐵𝐷
(cid:301)(cid:97)△𝐴(cid:145)𝑃𝐶 (cid:145) (cid:73)𝑃𝐶(cid:324)−(cid:50)𝐴𝑃(cid:82)(cid:78)(cid:33)𝐴𝐶(cid:157)(cid:186)(cid:61)| |(cid:40)(cid:18)(cid:61)
′
(cid:58)𝐴(cid:53)(cid:26)𝑃 𝐶 (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =2(cid:61) 𝑃𝐶−𝐴𝑃
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 = =𝐴𝐷2(cid:61) (cid:61) = (cid:61) = (cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶60°𝐶(cid:61)𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝐴𝑂 𝐶𝑂 𝐵𝑂 𝐷𝑂
∵∠𝐵𝐶𝐷(cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61) = =120°(cid:61)
∴△𝐵𝐶=𝐷2(cid:61) =60°(cid:61)∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵
∴𝐵𝐷 =6∠0𝐴°(cid:61)𝐵𝐷 =105°(cid:61)
∵∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐸𝐵 = =15°(cid:61)
∴∠𝐴𝐵𝐸 =180°−∠𝐵𝐴𝐸−∠=𝐴𝐸𝐵 180=°−4150°(cid:61)5°−60°
∴∠𝐷𝐵=𝐸 ∠=𝐴𝐵1(cid:61)𝐷−∠𝐴𝐵𝐸=4650°°(cid:61)−15°
′
∴𝐵𝑂 =𝐷𝑂 =1(cid:61)∠𝐵𝑃 𝑂
′
∴𝑂𝑃 = 𝐵1𝑂 +1 = 2(cid:65)
′ 2 2
∴𝐵𝑃
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) 2(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-2(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:174)(cid:175)(cid:325)(cid:326)·(cid:93)(cid:42)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73) (cid:42)(cid:61) =120°(cid:61) = =6(cid:61)(cid:97)N(cid:73)
(cid:78)(cid:33) (cid:157)(cid:217)(cid:192)(cid:61)(cid:284) (cid:96)(cid:53)(cid:327) (cid:27)(cid:328)(cid:329)(cid:195)(cid:25)(cid:26) (cid:61)(cid:144) △𝐴𝐵𝐶=120∠°(cid:61)𝐶𝐴M𝐵(cid:96) (cid:42)(cid:97)𝐶(cid:61)𝐴(cid:115)(cid:116)𝐴𝐵 (cid:61)(cid:75)(cid:97)N(cid:73)
(cid:217)(cid:192)𝐵(cid:194)𝐶(cid:172)(cid:42)(cid:61) (cid:27)𝐴(cid:40)𝑁(cid:313)(cid:41)(cid:96) 𝐴 𝑁 (cid:65) 𝐴𝑁𝐸𝐹 ∠𝑁𝐴𝐹 𝐴𝐶 𝑀𝐹
𝑀𝐹3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) /1.5
2
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:284)(cid:161)
(cid:77)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:322)(cid:45)(cid:21)(cid:65)(cid:165)Q(cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:136)(cid:46)(cid:118) (cid:61)(cid:118)(cid:121) = (cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:97)(cid:120)(cid:78)(cid:33)(cid:27)
(cid:252)(cid:253)(cid:117)(cid:164)(cid:301) (cid:186)(cid:61) 𝐴𝐵(cid:40)(cid:313)(cid:61)(cid:227)(cid:197)(cid:162)(cid:163)𝑁(cid:78)𝑄(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)△(cid:27)(cid:28)𝐴𝑄(cid:29)𝑁(cid:30)≌(cid:113)△(cid:122)𝐴𝑀(cid:117)𝐹(cid:65) 𝑄𝑁 𝑀𝐹
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)𝑄(cid:10)𝑁(cid:165)⊥Q𝐵𝐶(cid:62) (cid:27)𝑄𝑁(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)
𝐴𝐵 𝑁𝑄
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:144) =120°(cid:61)
∵ = 𝐴𝑁(cid:61)𝐸𝐹 ∠𝑁𝐴𝐹
∴𝐴𝑁 𝐴=𝐹 =120°(cid:61)
∴∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝑁𝐴𝐹= (cid:61)(cid:122) = (cid:61)
∴∠𝐵𝐴=𝐶−∠𝑁=𝐴6𝐶(cid:61)M∠(cid:96)𝑁𝐴𝐹−(cid:42)∠(cid:97)𝑁𝐴(cid:61)𝐶Q(cid:62)∠𝐵(cid:27)𝐴𝑁(cid:42)(cid:97)∠(cid:61)𝐶𝐴𝐹
∵𝐴𝐵 =𝐴𝐶 = = 𝐴𝐶=3(cid:61) 𝐴𝐵
∴𝐴𝑄 𝐵𝑄 𝐴𝑀 𝑀𝐶 =
(cid:73) (cid:255) (cid:42)(cid:61) = (cid:61)
𝐴𝑄 =𝐴𝑀
△𝐴𝑄𝑁 △𝐴𝑀𝐹 ∠𝑄𝐴𝑁 ∠𝑀𝐴𝐹
(SAS)(cid:61) 𝐴𝑁 𝐴𝐹
∴△𝐴=𝑄𝑁≌(cid:61)△𝐴𝑀𝐹
∴(cid:97)𝑄𝑁N(cid:73)𝑀(cid:78)𝐹(cid:33) (cid:157)(cid:217)(cid:192)(cid:61)
∵(cid:301) (cid:186)𝐵(cid:61)𝐶 (cid:40)(cid:313)(cid:61)
∴ 𝑄𝑁⊥𝐵𝐶 𝑄𝑁
(cid:62)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61) =120°(cid:61)
∵△𝐴=𝐵𝐶30°(cid:61) ∠𝐶𝐴𝐵
∴∠𝐵 (cid:61)
∵𝑄𝑁⊥𝐵𝐶= 1 = 3 (cid:61)
2 2
∴𝑄𝑁 𝐵𝑄
3
(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:62)(cid:96) (cid:65)
2
∴ 𝑀𝐹
3
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) (cid:65)
2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)5-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:174)(cid:175)(cid:175)(cid:177)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61) =120°(cid:61)E(cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)F(cid:62)(cid:80)(cid:36)
(cid:33) (cid:157)(cid:27)(cid:192)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:65)(cid:183)(cid:33)(cid:34) (cid:184)(cid:97)F(cid:237)(cid:330)(cid:186)𝐴(cid:187)𝐵𝐶(cid:188)𝐷(cid:189)30°(cid:61)G(cid:96)(cid:97)∠𝐵E(cid:80)(cid:143)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116)𝐵𝐶(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:96)
(cid:84)𝐴 𝐶(cid:94) 𝐸𝐹 𝐸𝐹 𝐶𝐺 𝐶𝐺
A(cid:65) 2 B(cid:65) 3 C(cid:65) 2 D(cid:65) 3
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)A −1 −1
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:188)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:55)(cid:53)(cid:80)(cid:55)(cid:36)(cid:145)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:104)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:54)(cid:3)(cid:164)
(cid:280)(cid:97)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)(cid:183)(cid:33)(cid:34) (cid:184)(cid:97)F(cid:237)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)30°(cid:61)(cid:118)(cid:120) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:145) (cid:61)(cid:146)(cid:188)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120)(cid:61)
= (cid:61) = (cid:61) 𝐶=𝐹 =30°(cid:61)(cid:331)(cid:194)(cid:46)(cid:47) 𝐻𝐹 (cid:118)𝐶(cid:120)𝐻 𝐸𝐻= (cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:55)
𝐸(cid:53)𝐹(cid:80)(cid:55)𝐺(cid:36)𝐹(cid:118)𝐻(cid:120)𝐹 𝐶𝐹 =∠3𝐸0𝐹°𝐺(cid:61) ∠𝐻𝐹=𝐶 75°(cid:61)(cid:75)(cid:49) =△𝐸𝐹𝐻≌△𝐺𝐹𝐶=45𝐸°𝐻(cid:61)(cid:79)(cid:100)𝐶𝐺(cid:117)(cid:118)(cid:97) (cid:73)(cid:194)(cid:97) (cid:144)(cid:104)
(cid:332)(cid:36)(cid:96)45°(cid:27)(cid:78)∠(cid:33)𝐴𝐶(cid:157)𝐵(cid:217)(cid:192)(cid:61)(cid:301)∠𝐹𝐶𝐻 (cid:186)(cid:61) (cid:49)(cid:40)∠𝐸(cid:313)𝐶𝐻(cid:41)(cid:61)(cid:166)∠𝐹(cid:23)𝐶𝐻(cid:24)−(cid:55)∠(cid:213)𝐴𝐶(cid:78)𝐵(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:122)(cid:117)𝐻(cid:118)(cid:121)(cid:98)(cid:99)𝐶(cid:65) 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:183)(cid:33)(cid:34) (cid:184)(cid:97)F𝐸𝐻(cid:237)⊥(cid:185)𝐶(cid:186)𝐻(cid:187)(cid:188)𝐸(cid:189)𝐻30°(cid:61)(cid:118)(cid:120) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:145) (cid:61)
(cid:146)(cid:188)(cid:189)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:120)(cid:61)𝐶𝐹 = (cid:61) = (cid:61) = 𝐻𝐹=30°(cid:61)𝐶𝐻 𝐸𝐻
= 𝐸𝐹 𝐺𝐹 𝐻(cid:61)𝐹(cid:122)𝐶𝐹 ∠=𝐸𝐹𝐺 ∠(cid:61)𝐻𝐹𝐶
∴∠𝐸𝐹𝐺−∠𝐻𝐹𝐺 (S∠A𝐻S𝐹)(cid:61)𝐶−∠𝐻𝐹𝐺 ∠𝐸𝐹𝐻 ∠𝐺𝐹𝐶
∴△𝐸𝐹=𝐻≌△(cid:61)𝐺𝐹𝐶
∴𝐸(cid:25)𝐻(cid:26) 𝐶𝐺 (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷=4(cid:61)
∴𝐴𝐵 =𝐵12𝐶0°(cid:61)
∵∠𝐵
= =30°(cid:61)
2
180°−∠𝐵
∴∠𝐴𝐶𝐵
E(cid:62) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
∵ 𝐵𝐶= 1 =2(cid:61)
2
∴𝐶𝐸 𝐵𝐶
= (cid:61) =30°(cid:61)
∵𝐻𝐹 𝐶𝐹 ∠𝐻𝐹𝐶
= =75°(cid:61)
2
180°−∠𝐻𝐹𝐶
∴∠𝐹𝐶𝐻
= = =45°(cid:61)
∴∠(cid:97)𝐸𝐶(cid:73)𝐻(cid:194)(cid:97)∠𝐹𝐶(cid:144)𝐻(cid:104)−∠𝐴𝐶(cid:332)𝐵(cid:36)(cid:96)7455°−°(cid:27)30(cid:78)°(cid:33)(cid:157)(cid:217)(cid:192)(cid:61)
∴(cid:301)𝐻 𝐶(cid:186)(cid:61) 𝐵𝐶(cid:49)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:61)(cid:170)(cid:186) (cid:96)(cid:55)(cid:213)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:75) = = 2 = 2(cid:61)
2 2
𝐶𝐸
∴ 𝐸𝐻⊥𝐶𝐻 𝐸𝐻 △𝐶𝐸𝐻 𝐸𝐻
(cid:27)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:96) 2(cid:61)(cid:122) (cid:27)(cid:40)(cid:313)(cid:41)(cid:96) 2(cid:65)
(cid:128)∴(cid:129)𝐸𝐻(cid:10)A(cid:65) 𝐶𝐺
【题型6 菱形中的翻折问题】
(cid:15)(cid:83)6(cid:20)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61) =4(cid:61)M(cid:96) (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)N(cid:96) (cid:157)(cid:50)(cid:192)(cid:97)(cid:84)(cid:259)(cid:104)(cid:97)B(cid:179)(cid:137)(cid:94)(cid:61)(cid:183)
(cid:333)(cid:78)(cid:33) (cid:44)(cid:334)(cid:61)𝐴𝐵(cid:190)𝐶(cid:97)𝐷 B(cid:198)∠(cid:73)𝐵(cid:97)E(cid:199)(cid:61)𝐵(cid:115)𝐶(cid:116) (cid:61) (cid:61)𝐴𝐵(cid:301) (cid:96)(cid:55)(cid:213)𝐵𝐶(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:186)(cid:61)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:65)△𝐵𝑀𝑁
𝑀𝑁 𝐷𝐸 𝐶𝐸 △𝐶𝐷𝐸 𝐵𝑁
8
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)4(cid:335)
5
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:79)(cid:81)(cid:336)(cid:337)(cid:338) (cid:301) = (cid:186)(cid:61) (cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:195) (cid:127) (cid:61)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)(cid:121)
= = = ① 𝐷𝐸 𝐷𝐶 (cid:61)(cid:30)(cid:121) 𝐷=𝑀 3 𝐷=𝐺2⊥𝐵3𝐶(cid:61) 𝐺 = + =6(cid:61) (cid:46)(cid:47)
𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐵𝐶 (cid:61)4,𝐴(cid:118)𝐷(cid:121)∥𝐵𝐶,𝐴=𝐵∥𝐶𝐷 =120𝐷°𝐺(cid:61) (cid:46)(cid:121)𝐶𝐺(cid:145) (cid:145) (cid:154)𝐵(cid:97)𝐺(cid:339)(cid:33)𝐵(cid:61)𝐶 (cid:165)𝐶𝐺 = = (cid:61) (cid:73)Rt
(cid:42)△(cid:61)𝐴 𝐷(cid:146)𝑀(cid:105)≌(cid:106)△(cid:107)𝐸𝐷(cid:108)𝑀(cid:118)(cid:121)(cid:171)(cid:172)∠𝐴(cid:61)(cid:113)(cid:171)∠𝐷(cid:172)𝐸(cid:122)𝑀(cid:117)(cid:206) (cid:301) = 𝐷 (cid:186)𝐸(cid:61) 𝑁 = = (cid:61)𝐵 𝑁(cid:118)(cid:120)𝐸 𝑁 𝑥 (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)△(cid:36)𝐷𝐺(cid:26)𝑁(cid:61)
(cid:122)(cid:117)(cid:113)(cid:21)(cid:65) ② 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐷 △𝐶𝐷𝐸
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:79)(cid:81)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:10)(cid:301) = (cid:186)(cid:61) (cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:195) (cid:127) (cid:61)(cid:71)(cid:72)1(cid:134)(cid:135)(cid:10)
① 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐷𝑀 𝐷𝐺⊥𝐵𝐶 𝐺
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =4(cid:61) (cid:61) (cid:61) = =60°(cid:61) =120°,
∴𝐴𝐵 =𝐶𝐷 =𝐵4(cid:61)𝐶 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∴∠𝐷𝐶𝐺 ∠𝐵 ∠𝐴
∴𝐷𝐸 𝐴𝐷(cid:61)
∵𝐷𝐺⊥𝐵=𝐶 =30°(cid:61)
∴∠𝐶𝐷𝐺 = 1 90 = °− 2 6 (cid:61) 0°
2
∴𝐶𝐺 𝐶𝐷
= 3 =2 3 = + =6(cid:61)
∴𝐷(cid:96)𝐺 (cid:27)(cid:42)𝐶𝐺(cid:97)(cid:61) ,𝐵𝐺 𝐵𝐶 𝐶𝐺
∵𝑀 =𝐴𝐵 =2(cid:61)
(cid:146)∴𝐴(cid:44)𝑀(cid:334)(cid:27)𝐵(cid:28)𝑀(cid:29)(cid:118)(cid:10) = (cid:61) = = (cid:61) = =60°(cid:61)
(cid:73) (cid:255) 𝐸(cid:42)𝑁(cid:61)𝐵𝑁 𝐸𝑀 𝐵𝑀 𝐴𝑀 ∠𝑀𝐸𝑁 ∠𝐵
△𝐴=𝐷𝑀 △𝐸𝐷𝑀
= (cid:61)
𝐴𝐷=𝐸𝐷
𝐴𝑀 𝐸𝑀
𝐷𝑀 𝐷𝑀 SSS)(cid:61)
∴△𝐴𝐷=𝑀≌△𝐸𝐷=𝑀1(20 (cid:61)
∘
∴∠𝐴 ∠+𝐷𝐸𝑀 =180 (cid:61)
∘
∴∠(cid:145)𝑀𝐸(cid:145)𝑁 (cid:154)∠(cid:97)𝐷𝐸(cid:339)𝑀(cid:33)(cid:61)
∴(cid:165)𝐷 𝐸= 𝑁 = (cid:75) = = +4(cid:61)
(cid:73)𝐵Rt𝑁 𝐸𝑁(cid:42)(cid:61)𝑥, (cid:146)𝐺𝑁(cid:105)(cid:106)6(cid:107)−(cid:108)𝑥,(cid:118)𝐷𝑁(cid:10)( 𝑥 ) +2 =( +4) (cid:61)
2 2 2
△𝐷𝐺𝑁8 8 6−𝑥 𝑥
(cid:113)(cid:118)(cid:10) = (cid:61)(cid:122) = (cid:206)
5 5
(cid:301) 𝑥 = (cid:186)(cid:61)𝐵𝑁 = = (cid:61)(cid:170)(cid:186)(cid:97) (cid:104) (cid:179)(cid:137)(cid:61) (cid:104)(cid:97) (cid:179)(cid:137)(cid:61)(cid:71)(cid:72)2(cid:134)(cid:135)(cid:10)
② 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐸 𝐴 𝑁 𝐶(cid:75) = = = (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61) = =4((cid:48) = (cid:340)(cid:336)(cid:337)(cid:338))(cid:206)
𝐶𝐸 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐷𝐴,△𝐶𝐷𝐸 𝐵𝑁 𝐵8𝐶 𝐶𝐸 𝐷𝐸
(cid:341)(cid:157)(cid:134)(cid:70)(cid:61)(cid:301) (cid:96)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:186)(cid:61)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) (cid:335)4(cid:61)
5
△𝐶𝐷𝐸 𝐵𝑁
8
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) (cid:335)4(cid:65)
5
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:43)(cid:44)(cid:130)(cid:342)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:154)(cid:97)(cid:339)(cid:33)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:145)(cid:55)
(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:164)(cid:280)(cid:206)(cid:101)(cid:21)(cid:341)(cid:137)(cid:28)(cid:343)(cid:61)(cid:46)(cid:47)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:264)(cid:55)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:61)(cid:4)(cid:265)(cid:79)(cid:344)(cid:345)(cid:346)(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:89)(cid:90)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) = =6(cid:61)E(cid:62) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:65)(cid:183)
(cid:333) (cid:44)(cid:334)(cid:197)(cid:118)(cid:120) (cid:61)(cid:74) (cid:61)(cid:75)(cid:44)(cid:347) (cid:27)(cid:35)𝐴𝐵(cid:96)𝐶𝐷 ∠(cid:65)𝐴 60°,𝐴𝐵 𝐴𝐵 △𝐵𝐶𝐸
𝐶𝐸 △𝐹𝐶𝐸 𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 𝐸𝐶
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)3 6
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:130)(cid:342)(cid:61)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:62)(cid:111)(cid:112)(cid:43)(cid:44)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:161)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:65)(cid:194)(cid:97)C(cid:195) (cid:126)
AB(cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:127)(cid:97)G(cid:61)(cid:146) (cid:61)(cid:144)(cid:162)(cid:163)(cid:44)(cid:334)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:164) = (cid:61)(cid:117)(cid:118) =45°(cid:65)(cid:166)𝐶(cid:73)𝐺⊥(cid:25)𝐴(cid:26)𝐵ABCD
(cid:42)(cid:61) = =
𝐸𝐹⊥
(cid:61)
𝐴𝐵
(cid:117)(cid:118)(cid:121) = =
∠𝐹𝐸
=
𝐶 ∠
=
𝐵
6
𝐸
(cid:61)
𝐶
(cid:117)(cid:118)
∠𝐵
=
𝐸𝐶3
=3 3(cid:61)(cid:166)(cid:30)(cid:113)(cid:122)
2
(cid:117)(cid:65)∠𝐴 60°,𝐴𝐵 6,𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐺 60°,𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐺 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:194)(cid:97)C(cid:195) (cid:126) (cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:127)(cid:97)G(cid:61)
𝐶𝐺⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵
(cid:61)(cid:144)(cid:162)(cid:163)(cid:44)(cid:334)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:164) = (cid:61)
∵𝐸𝐹⊥𝐴=𝐵45°(cid:65) ∠𝐹𝐸𝐶 ∠𝐵𝐸𝐶
∴∠𝐵𝐸𝐶(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) = = (cid:61)
∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 =∠𝐴 =60°,𝐴=𝐵6(cid:61)6,𝐴𝐷∥𝐵𝐶
∴∠𝐶𝐵 = 𝐺 3 60° = ,𝐵 3 𝐶 3(cid:61) 𝐴𝐷 𝐴𝐵
2
∴𝐶𝐺 𝐵𝐶
(cid:73)Rt (cid:42)(cid:61) = 2 =3 6(cid:65)
(cid:128)(cid:98)(cid:99)△(cid:96)𝐶𝐸(cid:10)𝐺3 6(cid:65)𝐸𝐶 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-2(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:221)(cid:222)(cid:348)(cid:238)·(cid:210)(cid:34)(cid:110)(cid:211)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =120°(cid:61)(cid:97)M(cid:255)N(cid:79)(cid:263)
(cid:62) (cid:255) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:333) (cid:183) (cid:44)(cid:334)(cid:61)(cid:97)A(cid:290)(cid:272)(cid:198)(cid:73)(cid:53) (cid:27)(cid:42)𝐴(cid:97)𝐵𝐶E𝐷(cid:157).(cid:74)∠𝐴𝐵=𝐶4(cid:61)(cid:75) (cid:27)(cid:35)(cid:96) .
𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑀𝑁 △𝐴𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝑀
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)2.8
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:170)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:145)30°(cid:36)(cid:27)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:44)(cid:334)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:164)(cid:280)(cid:65)(cid:194)(cid:97)M(cid:195)
(cid:127)(cid:97)F(cid:65)(cid:30)(cid:121) =30°(cid:65)(cid:75) = (cid:61) = 3 (cid:65)(cid:165) = (cid:61)(cid:75) = (cid:61) 𝑀𝐹⊥𝐶𝐵
= = ∠𝐵𝑀𝐹 = (cid:61)𝐵𝑀 =2𝐵3𝐹(cid:61)𝑀𝐹= 𝐵+𝐹 =𝐵𝐹+2𝑥(cid:65)(cid:162)(cid:163)𝐵(cid:105)𝑀(cid:106)(cid:107)2𝑥(cid:108)(cid:61)(cid:118) = + (cid:61)
2 2 2
𝐸𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝐵−𝐵𝑀 4−2𝑥 𝐹𝑀 𝑥 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝑥 𝐸𝑀 𝐹𝑀 𝐸𝐹
(cid:122)( ) =( 3 ) +( +2) (cid:61)(cid:113)(cid:118) =0.6(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
2
2 2
(cid:15)(cid:125)4−(cid:113)2(cid:20)𝑥(cid:113)(cid:10)(cid:71)(cid:72)𝑥(cid:61)(cid:194)(cid:97)𝑥M(cid:195) 𝑥(cid:127)(cid:97)F(cid:65) 𝐴𝑀
𝑀𝐹⊥𝐶𝐵
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷4(cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐵=𝐶120°(cid:61)
∵∠𝐴𝐵𝐶 =60°(cid:65)
∴∠𝐹𝐵𝑀=30°(cid:65)
∴∠𝐵𝑀=𝐹 (cid:61) = 3 (cid:65)
∴𝐵𝑀 2𝐵𝐹 𝑀𝐹 𝐵𝐹(cid:165) = (cid:61)(cid:75) = (cid:61) = = = (cid:61) = 3 (cid:61) = + = +2(cid:65)
𝐵𝐹 𝑥 𝐵𝑀 2𝑥 𝐸𝑀 𝐴𝑀 𝐴𝐵−𝐵𝑀 4−2𝑥 𝐹𝑀 𝑥 𝐸𝐹 𝐵𝐹 𝐵𝐸 𝑥
(cid:162)(cid:163)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:118) = + (cid:61)(cid:122)( ) =( 3 ) +( +2) (cid:61)
2
2 2 2 2 2
(cid:113)(cid:118) =0.6(cid:61) 𝐸𝑀 𝐹𝑀 𝐸𝐹 4−2𝑥 𝑥 𝑥
𝑥= = ×0.6=2.8(cid:65)
∴(cid:128)𝐴(cid:98)𝑀(cid:99)(cid:96)4−(cid:10)22𝑥.8(cid:65)4−2
(cid:15)(cid:130)(cid:131)6-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:349)(cid:222)(cid:350)(cid:351)·(cid:154)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) = = (cid:62) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:183)(cid:25)(cid:26)
(cid:333) (cid:43)(cid:44)(cid:190)(cid:97) (cid:27)(cid:80)(cid:143)(cid:97) (cid:271)(cid:272)(cid:198)(cid:73) (cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:157)𝐴(cid:61)𝐵(cid:75)𝐶𝐷(cid:44)(cid:347) ∠𝐶(cid:27)(cid:35)1(cid:96)20 ° , 𝐴 𝐷 2,𝐸(cid:65) 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷
′
𝐷𝐸 𝐵 𝐵 𝐷𝐴 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) 6
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:194)(cid:97) (cid:195) (cid:127)(cid:97)G(cid:61)(cid:194)(cid:97) (cid:195) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:44)(cid:334)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)
′ ′
(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐶 (cid:29)𝐶(cid:61)𝐺(cid:55)⊥(cid:213)𝐴(cid:154)𝐷(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:154)(cid:33)(cid:137)𝐴(cid:50)(cid:28)𝐴(cid:29)𝐹(cid:61)⊥𝐸(cid:113)𝐷(cid:98)(cid:122)(cid:117)(cid:65)
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:194)(cid:97) (cid:195) (cid:127)(cid:97)G(cid:61)(cid:194)(cid:97) (cid:195) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)
′ ′
(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) 𝐶= 𝐶 𝐺⊥𝐴𝐷= (cid:62) (cid:157)(cid:50)𝐴(cid:97)(cid:61)𝐴𝐹(cid:183)⊥(cid:25)𝐸(cid:26)𝐷 (cid:333) (cid:43)(cid:44)(cid:190)(cid:97) (cid:27)(cid:80)(cid:143)(cid:97) (cid:271)(cid:272)(cid:198)(cid:73) (cid:27)
′
∵(cid:212)(cid:35)(cid:33)𝐴(cid:157)𝐵𝐶(cid:61)𝐷 ∠𝐶 120°,𝐴𝐷 2,𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐵 𝐵 𝐷𝐴
= = = = = =2(cid:61) = = =120°(cid:61) = = =60°(cid:61)
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶
=
𝐶𝐷 𝐴
=
𝐷 𝐶 𝐵 𝐶
=
𝐷
60°(cid:61)
∠𝐶
=
∠𝐵
=
𝐶1𝐷 ∠
(cid:61)
𝐵𝐴𝐷
=30°(cid:61)
∠𝐵 ∠𝐶 𝐵 𝐸 ∠𝐴𝐷𝐶
2
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∴∠𝐶 𝐵 𝐷 ∠𝐶 𝐷𝐵 30°,∠𝐵 𝐴𝐵 𝐵 𝐺 𝐺𝐷 𝐵 𝐷 ∠𝐴𝐵 𝐸
= 1 =1(cid:61) =90°(cid:61)
2
′ ′ ′ ′
∴𝐶 𝐺 𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐸𝐵
=2 =2 =2 3(cid:61)
′ ′ ′ ′2 ′ 2
∴𝐵 𝐷= 𝐵 𝐺 =𝐵2𝐶3 −𝐶(cid:61)𝐺
′ ′
∴𝐵 𝐴 𝐵=𝐷3−0°𝐴(cid:61)𝐷 −2
′
∵∠𝐴𝐵
=
𝐸1
= 3 (cid:61)
2
′
∴𝐴𝐸 𝐵 𝐴 −1
= (cid:61)
′
∵∠30𝐶°𝐷+𝐸 ∠𝐶𝐷=𝐸 (cid:61)
∴ ∠=𝐴1𝐷5𝐸°(cid:61)60°−∠𝐴𝐷𝐸
∴∠𝐴𝐷𝐸= =45°(cid:61)
′
∴∠𝐴𝐸=𝐹 ∠𝐵+𝐴𝐸−∠𝐴=𝐷𝐸2 = 2 (cid:61)
2 2
∴𝐴𝐸
=
𝐴𝐹
=
6𝐸𝐹2 𝐸𝐹 𝐴𝐹
2
−
∴𝐸𝐹 𝐴𝐹
6 2
= = (cid:61)
2
+
2 2
∴𝐷𝐹 𝐴𝐷 −𝐴𝐹
= + = 6 2+ 6 2= 6(cid:61)
2 2
+ −
∴𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐷𝐹
(cid:128)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:10) 6(cid:65)
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:44)(cid:334)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:78)(cid:36)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:213)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:154)(cid:33)(cid:137)(cid:50)(cid:28)
(cid:29)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:28)(cid:29)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
【题型7 菱形中的证明】
(cid:15)(cid:83)7(cid:20)(cid:84)2025·(cid:174)(cid:175)(cid:90)(cid:331)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)E(cid:96)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:80)(cid:36)(cid:33) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61) (cid:65)
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐷 𝐴𝐸 𝐶𝐸
(1)(cid:30)(cid:46)(cid:10) = (cid:206)
(2)(cid:74) =𝐴𝐸 (cid:61)𝐶𝐸 =75°(cid:61)(cid:30) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐴𝐸(cid:20)(1𝐷)(cid:352)𝐸(cid:113)∠(cid:100)𝐵𝐶𝐸 ∠𝐴𝐵𝐶
(2)70°
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:80)(cid:55)(cid:36)(cid:206)
(cid:84)1(cid:94)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:23)(cid:24)SAS(cid:46)(cid:47)(cid:81)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:264)(cid:55)(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:120)(cid:123)(cid:346)(cid:206)
(cid:84)2(cid:94)(cid:162)(cid:163)(cid:264)(cid:55)(cid:117)(cid:118) = =75°(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:55)(cid:53)(cid:80)(cid:55)(cid:36)(cid:118)(cid:120) = (cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:120)
= = ∠𝐵𝐴𝐸 (cid:61)∠(cid:162)𝐵(cid:163)𝐷𝐸(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:353)(cid:36)(cid:255)(cid:30)(cid:121) (cid:27)(cid:37)∠(cid:66)𝐸𝐴(cid:113)𝐷(cid:21)(cid:122)∠(cid:117)𝐸𝐷(cid:65)𝐴
∠(cid:15)𝐴(cid:125)𝐸𝐵(cid:113)(cid:20)2(cid:84)∠1𝐴(cid:94)𝐷𝐵(cid:46)(cid:47)2(cid:10)∠𝐴(cid:58)𝐵𝐷(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) ∠𝐴𝐵𝐷
= (cid:61) = ∵ =𝐴𝐵𝐶𝐷 = (cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐶𝐷𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷 ∠𝐶𝐵𝐷(cid:305) = (cid:61)
∵𝐵𝐸 𝐵𝐸 (SAS)(cid:61)
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:206)△𝐶𝐵𝐸
∴(cid:84)𝐴2𝐸(cid:94)(cid:113)𝐶(cid:10)𝐸 (cid:61)
= ∵△𝐴𝐵=𝐸≌75△°(cid:61)𝐶𝐵𝐸
∴∠𝐵𝐴=𝐸 ∠(cid:61)𝐵𝐶𝐸
∵𝐴𝐸 𝐷=𝐸 (cid:61)
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐴 = (cid:61)
∴∠𝐴𝐸𝐵 +2∠𝐴𝐷𝐵+ 2∠𝐴𝐵=𝐷 +75°+ =180°(cid:61)
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠3𝐴5°𝐸(cid:61)𝐵 ∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐴𝐵𝐷 2∠𝐴𝐵𝐷
∴∠𝐴𝐵𝐷= =70°(cid:65)
(cid:15)∴∠(cid:130)AB(cid:131)C7-12(cid:20)∠A(cid:84)B2D025·(cid:354)(cid:90)(cid:355)(cid:331)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) (cid:61)(cid:77)(cid:356)(cid:96) (cid:61) (cid:61)(cid:77)(cid:356)(cid:96) (cid:65)(cid:30)
(cid:46)(cid:10) = (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸⊥𝐶𝐷 𝐸 𝐶𝐹⊥𝐴𝐷 𝐹
𝐷𝐹 𝐷𝐸
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:352)(cid:113)(cid:100)
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:118) = (cid:61)(cid:166)(cid:46)(cid:47)
(AAS)(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:284)(cid:157)(cid:164)(cid:280)(cid:97)(cid:307)(cid:256)(cid:230)(cid:217)(cid:24)(cid:62)(cid:113)(cid:170)(cid:21)(cid:27)(cid:3)𝐴𝐷(cid:114)(cid:65)𝐶𝐷
(cid:15)△(cid:125)𝐴𝐸(cid:113)𝐷(cid:20)≌(cid:46)△(cid:47)𝐶𝐹(cid:10)𝐷 (cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
= (cid:61) ∵ 𝐴𝐵𝐶𝐷
∴𝐴𝐷 𝐶𝐷(cid:61) (cid:61)
∵𝐴𝐸⊥𝐶=𝐷 𝐶𝐹⊥=𝐴𝐷90°(cid:65)
∴∠𝐴𝐸=𝐷 ∠(cid:61)𝐶𝐹𝐷
∵∠𝐷 ∠𝐷 (AAS)(cid:61)
∴△DE𝐴𝐸=𝐷D≌F(cid:65)△𝐶𝐹𝐷
(cid:15)∴(cid:130)(cid:131)7-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:308)(cid:309)(cid:174)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61)(cid:97) (cid:73) (cid:157)(cid:61)(cid:97) (cid:78)(cid:33) (cid:157)(cid:61)(cid:115)(cid:116)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐸 𝐵𝐶 𝐹 𝐶𝐷(cid:145) (cid:145) (cid:61) =60°(cid:65)
𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐸𝐹 ∠𝐸𝐴𝐹
(1)(cid:71)(cid:72)1(cid:61)(cid:30)(cid:46)(cid:10) = + (cid:206)
(2) (cid:71)(cid:72)2(cid:61)(cid:97) (cid:73)𝐵𝐶 (cid:212)𝐶(cid:35)𝐸 (cid:33)𝐶(cid:157)𝐹(cid:186)(cid:61) (cid:154)(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:66)(cid:357)(cid:3)(cid:95)(cid:96)(cid:10)_________(cid:206)
①(cid:71)(cid:72)3(cid:61)(cid:97) (cid:73)𝐸 𝐶(cid:212)𝐵(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61) 𝐵𝐶, 𝐶𝐸, 𝐶(cid:154)𝐹(cid:82)(cid:33)(cid:34)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:66)(cid:357)(cid:3)(cid:95)(cid:96)(cid:10)_________(cid:65)
(cid:15)②(cid:98)(cid:99)(cid:20)(1)(cid:352)𝐸(cid:113)(cid:100)𝐵𝐶 𝐵𝐶, 𝐶𝐸, 𝐶𝐹
(2) = (cid:61) =
(cid:15)(cid:79)①(cid:100)𝐵(cid:20)𝐶 (cid:101)𝐶(cid:21)𝐸(cid:102)−𝐶(cid:103)𝐹(cid:207)(cid:25)②(cid:26)𝐵𝐶(cid:27)(cid:28)𝐶(cid:29)𝐹(cid:61)−𝐶(cid:55)𝐸(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:208)(cid:107)(cid:27)(cid:164)(cid:280)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)
(cid:284)(cid:157)(cid:164)(cid:280)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:84)1(cid:94)(cid:136)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:196)(cid:121) = (cid:61) = (cid:61)
= =60°(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:46)(cid:47) (ASA)(cid:61)(cid:138)𝐴(cid:139)𝐵(cid:30)(cid:121)𝐴𝐶 ∠=𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶(cid:65)𝐴𝐹
∠(cid:84)𝐴2𝐵(cid:94)𝐶 (cid:97)∠𝐴𝐶(cid:73)𝐷 (cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)(cid:136)△(cid:162)𝐴(cid:163)𝐵(cid:25)𝐸≌(cid:26)△(cid:27)𝐴(cid:28)𝐶(cid:29)𝐹 (cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐵𝐶(cid:29)(cid:255)𝐶(cid:208)𝐸(cid:107)(cid:61)𝐶𝐹(cid:196)(cid:121) = (cid:61)
①= 𝐸 𝐶(cid:61)𝐵 = (cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:46)(cid:47) (ASA)(cid:61)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:121) = 𝐴𝐵 (cid:65)𝐴𝐶
∠𝐴(cid:97)𝐵𝐸(cid:73)∠𝐴(cid:212)𝐶𝐹(cid:35)(cid:33)∠𝐶(cid:157)𝐴(cid:186)𝐸(cid:61)(cid:136)∠𝐷(cid:162)𝐴(cid:163)𝐹(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)△(cid:61)𝐴(cid:55)𝐵(cid:53)𝐸≌(cid:154)△(cid:36)𝐴(cid:26)𝐶(cid:27)𝐹(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:208)(cid:107)(cid:61)(cid:196)(cid:121)𝐵𝐶 =𝐶𝐸−𝐶=𝐹 (cid:61)
② 𝐸=𝐵𝐶 (cid:61) = (cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:46)(cid:47) (ASA)(cid:61)(cid:138)(cid:139)(cid:30)(cid:121) 𝐴𝐵= 𝐴𝐶 (cid:65)𝐴𝐷
∠(cid:15)𝐴(cid:125)𝐶𝐸(cid:113)(cid:20)∠(cid:84)𝐴1𝐷(cid:94)𝐹(cid:113)∠(cid:10)𝐵𝐴(cid:58)𝐸(cid:53)(cid:26)∠𝐶𝐴𝐹 (cid:96)(cid:25)(cid:26)(cid:61) △𝐴𝐶𝐸≌△𝐴𝐷𝐹 𝐵𝐶 𝐶𝐹−𝐶𝐸
= =∵60°(cid:61) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐵(cid:96)𝐶, (cid:55)∠𝐴(cid:53)𝐵(cid:154)𝐶 (cid:36)(cid:26)(cid:61) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∴△𝐴=𝐵𝐶 (cid:61) = = =60°(cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐴𝐶(cid:61) ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
∵𝐴𝐵∥𝐶+𝐷 =180°(cid:61)
∴∠𝐴𝐵𝐶 =∠1𝐵20𝐶°𝐷(cid:61)
∴∠𝐵𝐶𝐷= = = =60°(cid:61)
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐷=60°(cid:61)
∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶(cid:61)∠𝐸𝐴𝐶 ∠𝐶𝐴𝐹
∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹(cid:305) = (cid:61) = =60°(cid:61)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴(𝐵A𝐶SA)(cid:61)∠𝐴𝐶𝐷
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:61)△𝐴𝐶𝐹
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹+ (cid:65)
∴(cid:84)𝐵2𝐶(cid:94)(cid:113)𝐶(cid:10)𝐸 𝐶(cid:97)𝐹 (cid:73) (cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)
(cid:146)(cid:157)(cid:117)(cid:118)(cid:10)① 𝐸 =𝐶𝐵 = = = =60°(cid:61)
= ∠𝐵𝐴𝐶=12∠0𝐴°𝐶(cid:61)𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷 ∠𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹
∴∠𝐴𝐵𝐸 ∠𝐴𝐶𝐹= (cid:61)
∵∠𝐸𝐴𝐹−=∠𝐵𝐴𝐹 (cid:61)∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐹
∴(cid:305)∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶(cid:61)𝐴𝐹 = (cid:61)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 ∠𝐴(𝐵A𝐸SA)(cid:61)∠𝐴𝐶𝐹
∴△𝐴=𝐵𝐸≌(cid:61)△𝐴𝐶𝐹
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹 (cid:65)
∴𝐵(cid:97)𝐶 (cid:73)𝐶𝐸−(cid:212)𝐶𝐹(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)
②(cid:146)(cid:157)(cid:117)𝐸(cid:118)𝐵(cid:10)𝐶 = = = = =60°(cid:61)
= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴(cid:61)𝐹
∴∠𝐴𝐶𝐸 ∠𝐵 =∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐴𝐶𝐷 (cid:61)∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐴𝐷𝐹
∵∠𝐷𝐴𝐶−=∠𝐷𝐴𝐸 (cid:61)∠𝐸𝐴𝐹−∠𝐷𝐴𝐸
(cid:305)∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷=𝐴𝐹 (cid:61) = (cid:61)
∵𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷(AS∠A𝐴)(cid:61)𝐶𝐸 ∠𝐴𝐷𝐹
∴△𝐴=𝐶𝐸≌(cid:61)△𝐴𝐷𝐹
∴𝐶B𝐸C=C𝐷D𝐹= (cid:65)
∴(cid:15)(cid:130)(cid:131)7-3(cid:20)(cid:84)CF2−0C2E5·(cid:221)(cid:294)(cid:358)(cid:178)·(cid:214)(cid:155)(cid:94)(cid:341)(cid:137)(cid:104)(cid:359)(cid:360)
(cid:45)(cid:21)(cid:337)(cid:361)(cid:10)(cid:341)(cid:137)(cid:359)(cid:360)(cid:230)(cid:192)(cid:42)(cid:61)(cid:362)(cid:17)(cid:284)(cid:25)(cid:26)(cid:96)(cid:363)(cid:101)(cid:72)(cid:26)(cid:61)(cid:364)(cid:244)(cid:74)(cid:365)(cid:82)(cid:366)(cid:197)(cid:61)(cid:367)(cid:324)(cid:11)(cid:368)(cid:369)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:3)(cid:95)
(cid:374)(cid:121)(cid:45)(cid:21)(cid:307)(cid:113)(cid:375)(cid:45)(cid:21).(cid:71)(cid:72)1(cid:61)(cid:376)(cid:164)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =120°(cid:61) =6(cid:61)(cid:97) (cid:62)(cid:302)(cid:33) (cid:157)(cid:27)(cid:50)(cid:234)(cid:192)
(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:284) (cid:96)(cid:53)(cid:195)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26) 𝐴(cid:84)𝐵(cid:97)𝐶𝐷 (cid:73) (cid:27)(cid:328)∠(cid:329)𝐴𝐵(cid:94)𝐶(cid:61)(cid:115)(cid:116) 𝐴(cid:65)𝐵 𝐸 𝐵𝐴
𝐶𝐸 𝐶𝐸 𝐶𝐸𝐹 𝐹 𝐴𝐷 𝐷𝐹(cid:66)(cid:11)(cid:377)(cid:102)(cid:10)
(cid:84)1(cid:94)“(cid:378)(cid:11)(cid:313)(cid:51)”(cid:374)(cid:121)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:379)(cid:380)(cid:72)1(cid:42) (cid:104) (cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:66)(cid:357)(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:307)(cid:381)(cid:47)(cid:108)(cid:146)(cid:65)(cid:367)(cid:382)(cid:113)(cid:98)(cid:206)
(cid:350)(cid:169)(cid:359)(cid:360)(cid:10) 𝐵𝐸 𝐷𝐹
(cid:84)2(cid:94)(cid:362)(cid:17)(cid:73)(cid:72)1(cid:27)(cid:363)(cid:383)(cid:157)(cid:194)(cid:97) (cid:195) (cid:27)(cid:56)(cid:57)(cid:33)(cid:104) (cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:126)(cid:127)(cid:97) (cid:65)(cid:367)(cid:382)(cid:113)(cid:375)(cid:324)(cid:11)(cid:368)(cid:374)(cid:121)(cid:27)(cid:384)(cid:45)(cid:21)(cid:10)
“(cid:385)(cid:377)(cid:313)(cid:51)”(cid:374)(cid:121)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:71)(cid:72)2𝐹(cid:61)(cid:74)𝐴𝐵(cid:97) (cid:73)(cid:33)(cid:34) 𝐴(cid:157)𝐷(cid:61)(cid:208)(cid:386)(cid:33)(cid:34) (cid:61)𝐺 (cid:104) (cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:66)(cid:357)(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:307)(cid:46)(cid:47)(cid:382)(cid:27)
①(cid:123)(cid:346)(cid:206) 𝐸 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐹𝐺
“(cid:387)(cid:384)(cid:313)(cid:51)”(cid:374)(cid:121)(cid:45)(cid:21)(cid:10)(cid:74)(cid:97) (cid:73)(cid:302)(cid:33) (cid:157)(cid:217)(cid:192)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:301) = (cid:186)(cid:61)(cid:367)(cid:78)(cid:116)(cid:388)(cid:121)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
②(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:84)1(cid:94) = (cid:61)(cid:108)(cid:146)𝐸(cid:352)(cid:113)(cid:100)(cid:206)𝐵(cid:84)𝐴 2(cid:94) =𝐶𝐺 + 𝐶(cid:61)𝐺 (cid:46)2 (cid:47)𝐴𝐸 (cid:352) (cid:113) (cid:100)(cid:206) (cid:33)(cid:34) 𝐴𝐸(cid:27)(cid:35)(cid:96) 13
(cid:335) 13+1 𝐵𝐸 𝐷𝐹 ① 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐹𝐺 ② 𝐴𝐸 −1
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:84)1(cid:94)(cid:162)(cid:163)(cid:28)(cid:29)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:196)(cid:121) = (cid:61)(cid:46)(cid:47) (cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:264)(cid:55)
(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:122)(cid:117)(cid:118)(cid:46)(cid:206) ∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐹 △𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹
(cid:84)2(cid:94)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:118) = =60°(cid:61)(cid:146)(cid:84)1(cid:94)(cid:164) (cid:61)(cid:118)(cid:120)
= =120°(cid:61)(cid:117)∠(cid:196)𝐶(cid:121)𝐷𝐺 180=°−∠𝐴𝐷𝐶 =60°(cid:61)(cid:146) △𝐵𝐶𝐸(cid:61)≌(cid:117)△(cid:118)𝐷𝐶𝐹= =60°(cid:61)(cid:118)(cid:120)
∠(cid:62)𝐶(cid:55)𝐷𝐹(cid:53)(cid:154)∠(cid:36)𝐴(cid:26)𝐵𝐶(cid:61)(cid:196)(cid:121) = (cid:61)∠(cid:118)𝐹(cid:120)𝐷𝐺 =∠𝐶𝐷𝐹(cid:61)−(cid:123)∠𝐶(cid:137)𝐷𝐺 = + 𝐴𝐵(cid:61)∥(cid:122)𝐹(cid:117)𝐺(cid:30)(cid:113)(cid:206)∠𝐺(cid:194)(cid:97)∠𝐴(cid:195) (cid:127)(cid:97)△𝐷𝐹𝐺
(cid:61)(cid:30)(cid:121) =3(cid:61) 𝐹𝐺=3𝐷3𝐹(cid:61)(cid:79)(cid:81)(cid:336)𝐵𝐸(cid:337)(cid:338)𝐹(cid:10)𝐺(cid:301)(cid:97) (cid:73)𝐴𝐵(cid:33)(cid:34)𝐴𝐸(cid:157)(cid:186)𝐵𝐸(cid:61)(cid:301)(cid:97) (cid:73)(cid:33)(cid:34)② (cid:27)(cid:212)𝐶(cid:35)(cid:33)𝐶𝑀(cid:157)⊥(cid:186)𝐴(cid:61)𝐺(cid:73)Rt
𝑀(cid:42)(cid:61)(cid:146)(cid:105)𝐷(cid:106)𝑀(cid:107)(cid:108)(cid:389)(cid:171)𝐶𝑀(cid:172)(cid:30)(cid:113)(cid:122)(cid:117)(cid:65) 𝐸 𝐴𝐵 𝐸 𝐴𝐵 △𝐶𝑀𝐺
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:84)1(cid:94) = (cid:61)(cid:108)(cid:146)(cid:71)(cid:88)(cid:10)
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)𝐵(cid:26)𝐸(cid:61) 𝐷𝐹
∵ =𝐴𝐵𝐶(cid:61)𝐷 (cid:61)
∴ 𝐵𝐶 𝐶+𝐷 𝐴𝐵∥=𝐶𝐷180°(cid:61)
∴ ∠𝐴𝐵𝐶=∠1𝐵20𝐶°𝐷(cid:61)
∵ ∠𝐴𝐵𝐶 = = =60°(cid:61)
(cid:122)∴ ∠𝐵𝐶𝐷+ 180°−=∠6𝐴0𝐵°(cid:61)𝐶 180°−120°
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐸𝐶𝐷(cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∵ △𝐶=𝐸𝐹 (cid:61) =60°(cid:61)(cid:122) + =60°(cid:61)
∴ 𝐶𝐸 𝐶=𝐹 ∠𝐸𝐶(cid:61)𝐹 ∠𝐷𝐶𝐹 ∠𝐸𝐶𝐷
(cid:73)∴ ∠𝐵𝐶𝐸(cid:255)∠𝐷𝐶𝐹 (cid:42)(cid:61)
△𝐵𝐶=𝐸 △𝐷𝐶𝐹
= (cid:61)
𝐵𝐶 =𝐶𝐷
∠𝐵𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐹
𝐶𝐸 𝐶𝐹 (SAS)(cid:61)
∴ △𝐵=𝐶𝐸≌(cid:206)△𝐷𝐶𝐹
(cid:84)∴2(cid:94)𝐵𝐸 𝐷𝐹= + (cid:61)(cid:46)(cid:47) (cid:71) (cid:88) (cid:10)
(cid:58)(cid:53)①(cid:26)𝐴𝐷 𝐴(cid:62)𝐸(cid:25)(cid:26)𝐹𝐺(cid:61)
∵ =𝐴𝐵𝐶(cid:61)𝐷 = =120°(cid:61) = =60°(cid:61)
∴ 𝐴𝐵 𝐴=𝐷 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴=𝐷𝐶 =∠𝐴60°(cid:61)∠𝐵𝐶𝐷
(cid:146)∴(cid:84)∠1𝐶(cid:94)𝐷𝐺(cid:164) 180°−∠𝐴𝐷𝐶 (cid:61)180°−120°
=△𝐵𝐶𝐸≌=△1𝐷20𝐶°𝐹(cid:61)
∴ ∠𝐶𝐷𝐹 =∠𝐴𝐵𝐶 = =60°(cid:61)
∴ ∠𝐹𝐷𝐺 (cid:61)∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐶𝐷𝐺 120°−60°
∵ 𝐴𝐵∥=𝐹𝐺 =60°(cid:61)
∴ ∠𝐺 ∠(cid:62)𝐴 (cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴ △𝐷=𝐹𝐺 (cid:61)
(cid:146)∴(cid:84)𝐹1𝐺(cid:94)(cid:164)𝐷𝐹 = (cid:61)
= 𝐵𝐸(cid:61) 𝐷𝐹
∴ 𝐵𝐸 =𝐹𝐺+ (cid:61)
∵ 𝐴𝐵 =𝐴𝐸+𝐵𝐸(cid:206)
∴ (cid:194)𝐴𝐷(cid:97) (cid:195)𝐴𝐸 𝐹𝐺 (cid:127)(cid:97) (cid:61)
② =𝐶 𝐶𝑀=⊥6(cid:61)𝐴𝐺 𝑀=60°(cid:61)
∵ 𝐶𝐷 = 𝐴 6 𝐵 × 1 =3 ∠ (cid:61) 𝐶𝐷𝑀 =6× 3=3 3(cid:61)
2 2
(cid:71)∴(cid:72)𝐷𝑀 2(cid:61)(cid:301)(cid:97) (cid:73)(cid:33)(cid:34)𝐶𝑀(cid:157)(cid:186)(cid:61)
(cid:165) = (cid:61)(cid:75)𝐸 = 𝐴𝐵= = = (cid:61) = = (cid:61)
𝐴 𝐸 =𝑥 𝐵𝐸 =𝐷𝐹 𝐷𝐺= 𝐴𝐵−(cid:61)𝐴𝐸 6−𝑥 𝐶𝐺 2𝐴𝐸 2𝑥
∴ 𝑀𝐺 𝐷𝐺−𝐷𝑀 6−𝑥−3 3−𝑥(cid:73)Rt (cid:42)(cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:118)(cid:10) + = (cid:61)(cid:122)(3 3) +( ) =( ) (cid:61)
2
2 2 2 2 2
(cid:113)(cid:118)(cid:10)△𝐶 = 𝑀𝐺 13 (cid:61) 𝐶𝑀 𝑀𝐺 𝐶𝐺 3−𝑥 2𝑥
(cid:122) =𝑥 13 −(cid:206)1
𝐴𝐸 −1
(cid:71)(cid:72)3(cid:61)(cid:301)(cid:97) (cid:73)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)
(cid:165) = (cid:61)(cid:75)𝐸 = 𝐴𝐵= = + =6+ (cid:61) = = (cid:61)
𝐴 𝐸 =𝑥 𝐵𝐸 =𝐷6𝐹+ 𝐷𝐺 =𝐴3𝐵+ (cid:61)𝐴𝐸 𝑥 𝐶𝐺 2𝐴𝐸 2𝑥
∴ 𝑀𝐺 𝐷𝐺−𝐷𝑀 𝑥−3 𝑥
(cid:73) (cid:42)(cid:61)(cid:146)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:118)(cid:10) + = (cid:61)(cid:122)(3 3) +(3+ ) =( ) (cid:61)
2
2 2 2 2 2
(cid:113)𝑅(cid:118)𝑡(cid:10)△𝐶 = 𝑀𝐺 13+1(cid:61) 𝐶𝑀 𝑀𝐺 𝐶𝐺 𝑥 2𝑥
(cid:122) =𝑥 13+1(cid:206)
𝐴𝐸
(cid:341)(cid:157)(cid:134)(cid:70)(cid:61)(cid:33)(cid:34) (cid:27)(cid:35)(cid:96) 13 (cid:335) 13+1(cid:65)
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)𝐴(cid:103)𝐸(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)−1(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:62)(cid:111)
(cid:112)(cid:54)(cid:3)(cid:164)(cid:280)(cid:65)
【题型8 含60°角的菱形】
(cid:15)(cid:83)8(cid:20)(cid:84)24-25(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)·(cid:390)(cid:174)(cid:391)(cid:177)·(cid:210)(cid:34)(cid:110)(cid:211)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) =30°, =6(cid:61)(cid:30)(cid:10)
𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐴𝐶𝐷 𝐵𝐷(1) (cid:27)(cid:37)(cid:66)(cid:65)
(2)∠(cid:74)𝐵𝐴𝐷 (cid:61)(cid:30)(cid:33)(cid:34) (cid:255) (cid:27)(cid:35)(cid:65)
(cid:15)(cid:98)(cid:99)𝐷𝐻(cid:20)⊥(1𝐵)6𝐶0° 𝐴𝐶 𝐷𝐻
(2) =6 3(cid:61) =3 3
(cid:15)(cid:79)𝐴𝐶(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)𝐷(cid:103)𝐻(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:180)(cid:140)(cid:111)(cid:112)(cid:54)(cid:3)(cid:28)(cid:29)(cid:353)(cid:392)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:84)1(cid:94)(cid:136)(cid:162)(cid:163)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:118) = (cid:61) = (cid:61)(cid:75) =2×30°=60°(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:195)
(cid:98)(cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐷𝐶𝐴 ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷
(cid:84)2(cid:94)(cid:136)(cid:162)(cid:163)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)(cid:118) (cid:61) = 1 =3(cid:61) = = (cid:61) = (cid:61)(cid:217)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)
2
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝑂𝐵 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 2𝐴𝑂
(cid:218)(cid:121) = =3 3(cid:61)(cid:227)(cid:197)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:131)(cid:138)(cid:57)(cid:389)(cid:131)(cid:220)(cid:218)(cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:195)(cid:98)(cid:65)
2 2
(cid:15)(cid:125)𝐴(cid:113)𝑂(cid:20)(cid:84)1𝐴(cid:94)𝐵(cid:113)−(cid:10)𝑂𝐵(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
= (cid:61) ∵ = 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:61)
∴∠𝐷𝐶𝐴=∠30𝐵°𝐶(cid:61)𝐴 ∠𝐷𝐶𝐵 ∠𝐵𝐴𝐷
∵∠𝐴𝐶𝐷 =2×30°=60°(cid:61)
∴∠𝐵𝐶𝐷 =60°(cid:206)
∴(cid:84)∠2𝐵(cid:94)𝐴(cid:113)𝐷 (cid:10) (cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
(cid:61)
∵
=
1𝐴𝐵𝐶
=
𝐷
3(cid:61) = = (cid:61) = (cid:61)
2
∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 𝑂𝐵 𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 2𝐴𝑂
=30°(cid:61)
∵∠𝐴𝐶𝐷 1
= = =6
2
∴𝐴𝐵 𝐷𝐶 𝐷𝑂
= = 6 3 =3 3(cid:61)
2 2 2 2
∴𝐴𝑂= 𝐴𝐵=−6𝑂𝐵3(cid:206) −
∴𝐴𝐶 =26𝐴(cid:61)𝑂
∵ (cid:25) 𝐵𝐷 (cid:26) (cid:27)(cid:38)(cid:39)= 1 = 1 ×6 3×6=18 3(cid:61)
2 2
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
(cid:61)(cid:144) = =6(cid:61)
∵(cid:25)𝐷𝐻(cid:26)⊥𝐵𝐶 (cid:27)(cid:38)𝐵𝐶(cid:39)=𝐴𝐵 = (cid:61)
∴ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶⋅𝐷𝐻 6𝐷𝐻=18 3(cid:61)
∴6𝐷𝐻=3 3(cid:65)
∴(cid:15)𝐷(cid:130)𝐻(cid:131)8-1(cid:20)(cid:84)2025·(cid:308)(cid:309)(cid:174)(cid:310)(cid:311)(cid:312)·(cid:154)(cid:155)(cid:94)(cid:376)(cid:164)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96) =120°(cid:61)(cid:97)E(cid:96) (cid:27)
(cid:42)(cid:97)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:284)(cid:97)E(cid:96)(cid:285)(cid:286)(cid:393)(cid:265)(cid:35)(cid:96)(cid:181)(cid:287)(cid:288)(cid:289)(cid:61)(cid:126) (cid:145) 𝐴(cid:127)𝐵𝐶(cid:97)𝐷 (cid:145) (cid:61)(cid:79)1(cid:263)2,∠(cid:284)𝐵𝐴(cid:145)𝐶 (cid:96)(cid:285)(cid:286)(cid:18)(cid:127)(cid:33)(cid:34)𝐴𝐵 (cid:50)
(cid:181)(cid:35)(cid:96)(cid:181)(cid:287)𝐶(cid:288)𝐸(cid:289)(cid:61)(cid:81)(cid:289)(cid:126)(cid:127)(cid:97)P(cid:61)(cid:302)(cid:33) (cid:126) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)𝐸𝐶(cid:75) 𝐸𝐴(cid:27)(cid:35)(cid:96)𝐺 𝐻 (cid:65) 𝐺 𝐻 𝐺𝐻
𝐸𝑃 𝐶𝐷 𝐸𝐹
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20)6 6
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)(cid:103)(cid:207)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:145)(cid:36)(cid:56)(cid:79)(cid:33)(cid:27)(cid:303)(cid:304)(cid:195)(cid:72)(cid:145)(cid:113)(cid:78)(cid:36)(cid:154)
(cid:36)(cid:26)(cid:55)(cid:164)(cid:280)(cid:61)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:54)(cid:3)(cid:72)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:107)(cid:108)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:117)(cid:46) (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:138)(cid:139)(cid:118)(cid:120) = = (cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121)
(cid:61)𝐴(cid:162)𝐶(cid:163)(cid:21)(cid:265)(cid:117)(cid:118)(cid:10) (cid:62) (cid:27)(cid:56)(cid:79)△(cid:33)𝐴(cid:61)𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐴𝐸 6,𝐶𝐸⊥𝐴𝐵
𝐶 (cid:118) 𝐸 (cid:121) = 1 = 𝐸𝐹 45° ∠ (cid:61) 𝐶 (cid:122) 𝐸𝐴 (cid:117)(cid:30)(cid:113)(cid:65)
2
∠𝐶𝐸𝐹 ∠𝐶𝐸𝐴
(cid:15)(cid:125)(cid:113)(cid:20)(cid:113)(cid:10)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:61)
𝐴𝐶
(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96) =120°(cid:61)
∵ 𝐴𝐵𝐶(cid:61)𝐷 = (cid:61)12,∠𝐵𝐴𝐶= =120°(cid:61)
∴𝐴𝐷∥=𝐵6𝐶0°(cid:61)𝐴𝐵 𝐵𝐶 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐷
∴∠𝐵 (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴△𝐴=𝐵𝐶 (cid:61)
∴(cid:97)𝐶𝐵E(cid:96)𝐶𝐴 (cid:27)(cid:42)(cid:97)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵= (cid:61)
∴𝐵𝐸 𝐴=𝐸30°6(cid:61),𝐶𝐸⊥=𝐴𝐵12 6 =6 3(cid:61)
2 2
∴∠𝐵𝐶𝐸=90°(cid:61)𝐶𝐸 −
∴∠𝐸𝐶𝐹(cid:146)(cid:21)(cid:265)(cid:117)(cid:118)(cid:10) (cid:62) (cid:27)(cid:56)(cid:79)(cid:33)(cid:61)
= 1 𝐸𝐹 = ∠ 4 𝐶 5 𝐸 °(cid:61) 𝐴
2
∴∠𝐶𝐸𝐹 ∠𝐶𝐸𝐴
= 2 =6 6
∴(cid:128)𝐸(cid:98)𝐹(cid:99)(cid:96)(cid:10)𝐶𝐸6 6(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-2(cid:20)(cid:84)2025·(cid:174)(cid:175)·(cid:50)(cid:155)(cid:94)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61) = =60°(cid:61)(cid:97)E(cid:62)(cid:53) (cid:157)(cid:50)(cid:97)(cid:61)(cid:144)
=2(cid:61)(cid:97)F(cid:62)(cid:53) (cid:157)(cid:50)(cid:234)(cid:192)(cid:97)(cid:61)(cid:284) (cid:96)(cid:53)(cid:195)𝐴(cid:55)𝐵𝐶(cid:53)𝐷 (cid:61)𝐴(cid:115)𝐵(cid:116) 8,(cid:65)∠𝐵(cid:74) (cid:27)(cid:35)(cid:37)(cid:96)d(cid:61)(cid:75)𝐴𝐷d(cid:27)(cid:321)(cid:41)(cid:394)(cid:395)
𝐴(cid:62)𝐸 (cid:65) 𝐶𝐷 𝐸𝐹 △𝐸𝐹𝐺 𝐶𝐺 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:20) 3 2 13
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:73) ≤(cid:157)𝑑(cid:269)≤(cid:321) = (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:307)(cid:212)(cid:35)(cid:126) (cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)C(cid:195) (cid:127)(cid:97)
(cid:61)(cid:46)(cid:47) 𝐷𝐶 (cid:96)(cid:55)(cid:53)𝐷𝑄(cid:154)(cid:36)𝐷(cid:26)𝐸(cid:61)(cid:166)(cid:46)(cid:47)𝑄𝐸 𝑄𝐺 (SAS)(cid:61)𝐴𝐵(cid:75) 𝑁 = 𝐶=𝑁60°(cid:61)(cid:396)(cid:139)(cid:140)𝐶(cid:107)𝑀(cid:97)⊥𝑁G𝑄(cid:27)(cid:397)
(cid:398)𝑀(cid:62)(cid:33)(cid:34)△𝐷(cid:61)𝐸(cid:227)𝑄 (cid:197)(cid:113)Rt (cid:30)(cid:121) △𝐷(cid:61)𝐸𝐹(cid:166)≌(cid:146)△(cid:105)𝑄(cid:106)𝐸𝐺(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:121) ∠(cid:61)𝐸𝑄(cid:117)𝐺(cid:118)(cid:301)∠𝐷(cid:97) (cid:104)(cid:97) (cid:179)(cid:137)(cid:186)(cid:61) (cid:40)(cid:313)(cid:61)
(cid:301)(cid:97) (cid:104)(cid:97)𝑁𝑄(cid:179)(cid:137)(cid:186)(cid:61) △(cid:40)(cid:18)𝐶𝑀(cid:61)𝑄(cid:122)(cid:117)(cid:30)𝐶𝑀(cid:113),𝑀(cid:65)𝑄 𝐶𝑁 𝐺 𝑀 𝐶𝐺
(cid:15)(cid:125)𝐺(cid:113)(cid:20)(cid:113)𝑁(cid:10)(cid:73) (cid:157)(cid:269)𝐶𝐺(cid:321) = (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:307)(cid:212)(cid:35)(cid:126) (cid:127)(cid:97) (cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)C(cid:195)
(cid:127)(cid:97) (cid:61) 𝐷𝐶 𝐷𝑄 𝐷𝐸 𝑄𝐸 𝑄𝐺 𝐴𝐵 𝑁 𝐶𝑁 𝐶𝑀⊥𝑁𝑄
𝑀
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵=𝐶𝐷 =8(cid:61) = =60°(cid:61) (cid:61) (cid:61)
∴𝐷𝐴=2𝐷(cid:61)𝐶 𝐵𝐶 ∠𝐵 ∠𝐷 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∵𝐴𝐸 = = =6(cid:61)
∴𝐷𝐸= 𝐷𝑄 8−=2 =2(cid:61)
∴𝐶𝑄 𝐷(cid:96)𝐶−(cid:55)𝐷(cid:53)𝑄(cid:154)(cid:36)8−(cid:26)6(cid:61)
∴△𝐷𝐸𝑄= =60°(cid:61)
∴(cid:55)𝐸𝐷(cid:53) 𝐸𝑄,∠𝐷(cid:61)𝐸𝑄
∵ =△𝐸(cid:61)𝐺𝐹 =60°(cid:61)
∴𝐸𝐺 𝐸=𝐹 ∠𝐺𝐸(cid:61)𝐹
∴∠𝐺𝐸𝐹 =∠𝐷𝐸𝑄(cid:61)
∴∠𝐷𝐸𝐹 ∠𝑄𝐸𝐺 (SAS)(cid:61)
∴△𝐷𝐸𝐹=≌△𝑄=𝐸𝐺60°(cid:61)
∴∠𝐸𝑄𝐺=∠𝐷 =60°(cid:61)
∴∠𝐸𝑄𝐺 (cid:61)∠𝐷𝐸𝑄
∴𝑁𝑄∥𝐴=𝐷 =60°(cid:61)
∴∠𝑁𝑄𝐶 (cid:61)∠ 𝐷
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶(cid:61)
∴𝑁𝑄∥𝐵𝐶(cid:61)
∵(cid:58)𝐴𝐵(cid:53)∥(cid:26)𝐶𝐷 (cid:62)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:53)(cid:26)(cid:61)
∴ = 𝐵𝑁=𝑄𝐶8(cid:61)
∴(cid:73)𝑁𝑄Rt 𝐵𝐶 (cid:42)(cid:61) = 3 =1(cid:61)
∴ =△𝐶𝑀𝑄=7(cid:61)𝐶𝑀 ,𝑀𝑄
∴𝑁𝑀 8−1
Rt (cid:42)(cid:61) = + = ( 3) +7 =2 13(cid:61)
2
2 2 2
∴ △𝐶𝑁=𝑀60°(cid:61)𝐶𝑁 𝐶𝑀 𝑀𝑁
∵(cid:97)∠𝑁𝑄(cid:73)𝐶(cid:33)(cid:34) (cid:157)(cid:217)(cid:192)(cid:61)
∴(cid:301)(cid:97)𝐺 (cid:104)(cid:97)𝑁𝑄(cid:179)(cid:137)(cid:186)(cid:61) (cid:40)(cid:313)(cid:96) 3(cid:61)(cid:301)(cid:97) (cid:104)(cid:97) (cid:179)(cid:137)(cid:186)(cid:61) (cid:40)(cid:18)(cid:96)2 13(cid:61)
∴ 3 𝐺 2𝑀13(cid:61) 𝐶𝐺 𝐺 𝑁 𝐶𝐺
∴(cid:128)(cid:98)(cid:99)≤(cid:96)𝑑≤(cid:10) 3 2 13(cid:65)
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)(cid:21)(cid:102)≤(cid:103)𝑑(cid:207)≤(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:61)(cid:264)(cid:55)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:61)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:104)(cid:28)(cid:29)(cid:55)(cid:164)(cid:280)
(cid:97)(cid:61)(cid:140)(cid:107)(cid:97)G(cid:27)(cid:397)(cid:398)(cid:62)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:65)
(cid:15)(cid:130)(cid:131)8-3(cid:20)(cid:84)2025·(cid:268)(cid:177)·(cid:155)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:94)(cid:341)(cid:137)(cid:104)(cid:359)(cid:360)(cid:10)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61)E(cid:62)(cid:302)(cid:33) (cid:157)(cid:50)(cid:192)(cid:97)(cid:61)
(cid:195)(cid:302)(cid:33) (cid:65) 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵 𝐶𝐵
𝐴𝐸(cid:84)1(cid:94)(cid:15)(cid:399)(cid:195)(cid:208)(cid:386)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61) (cid:61)(cid:183)(cid:302)(cid:33) (cid:184)(cid:97)A(cid:330)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)60°(cid:126) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)(cid:162)(cid:163)(cid:21)(cid:265)(cid:73)(cid:72) (cid:42)(cid:288)(cid:121)(cid:302)(cid:33) (cid:61)(cid:72)(cid:42)
(cid:27)(cid:37)①(cid:66)(cid:96)𝐴_𝐸__⊥__𝐵_𝐶(cid:37)(cid:206) 𝐴𝐸 𝐶𝐷 ① 𝐴𝐹 ∠𝐴𝐹𝐷
(cid:84)2(cid:94)(cid:15)(cid:45)(cid:21)(cid:359)(cid:360)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:97)E(cid:73)(cid:33)(cid:34) (cid:157)(cid:84)(cid:259)(cid:104)(cid:97)B(cid:61)C(cid:179)(cid:137)(cid:94)(cid:61)(cid:183)(cid:302)(cid:33) (cid:184)(cid:97)A(cid:330)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)60°(cid:126) (cid:127)(cid:97)F(cid:61)(cid:359)(cid:360)(cid:33)(cid:34)
(cid:61)② (cid:61) (cid:245)(cid:246)(cid:27)(cid:66)𝐵(cid:357)𝐶(cid:3)(cid:95)(cid:61)(cid:307)(cid:381)(cid:47)(cid:108)(cid:146)(cid:10) 𝐴𝐸 𝐶𝐷
(cid:84)𝐴𝐵3(cid:94)𝐶(cid:15)𝐸(cid:400)(cid:401)𝐶𝐹(cid:212)(cid:402)(cid:20)
(cid:71)(cid:72) (cid:61)(cid:97)E(cid:73)(cid:302)(cid:33) (cid:157)(cid:61)(cid:183)(cid:302)(cid:33) (cid:184)(cid:97)A(cid:330)(cid:186)(cid:187)(cid:188)(cid:189)60°(cid:126)(cid:302)(cid:33) (cid:127)(cid:97)F(cid:65)(cid:74)(cid:25)(cid:26) (cid:27)(cid:53)(cid:35)(cid:96)4(cid:61)
=③1(cid:65)(cid:30) (cid:27)(cid:35)(cid:65)𝐶𝐵 𝐴𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵(cid:15)𝐸(cid:98)(cid:99)(cid:20)(cid:84)1𝐴(cid:94)𝐹(cid:72)(cid:352)(cid:113)(cid:100)(cid:61)90(cid:206)(cid:84)2(cid:94) + = (cid:61)(cid:352)(cid:113)(cid:100)(cid:206)(cid:84)3(cid:94) (cid:27)(cid:35)(cid:96) 13(cid:335) 21
(cid:15)(cid:79)(cid:100)(cid:20)(cid:84)1(cid:94)(cid:162)(cid:163)(cid:195)(cid:50)(cid:234)(cid:36)(cid:55)(cid:127)(cid:376)(cid:164)𝐶(cid:36)𝐸(cid:288)𝐶(cid:121)𝐹(cid:78)(cid:33)𝐴𝐵 (cid:206)(cid:162)(cid:163)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)𝐴(cid:29)𝐹(cid:118) =120°(cid:61)(cid:123)(cid:137)(cid:403)(cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:118)
= (cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:30)(cid:118) 𝐴(cid:206)𝐹 ∠𝐶
∠(cid:84)𝐴2𝐹(cid:94)𝐶(cid:115)(cid:116)360°(cid:61)−∠(cid:162)𝐴(cid:163)𝐸𝐶(cid:25)−(cid:26)∠𝐸(cid:27)𝐴(cid:28)𝐹−(cid:29)∠(cid:118)𝐶 = (cid:61)∠(cid:138)𝐴(cid:50)𝐹𝐷(cid:219)(cid:118) (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:255) (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:117)(cid:46)
(cid:47) 𝐴𝐶 (cid:61)(cid:75) = (cid:61)𝐴(cid:122)𝐵(cid:49) 𝐵𝐶+ = +△𝐴𝐵=𝐶 = (cid:206) △𝐴𝐶𝐷
(cid:84)3△(cid:94)𝐵𝐴(cid:97)𝐸≌E△(cid:73)(cid:302)𝐶𝐴(cid:33)𝐹 (cid:157)𝐵(cid:61)𝐸(cid:404)(cid:79)𝐶𝐹(cid:81)(cid:336)(cid:337)(cid:338)𝐶(cid:345)𝐸 (cid:346)𝐶(cid:10)𝐹(cid:301)(cid:97)𝐶𝐸E(cid:73)𝐵(cid:33)𝐸(cid:34)𝐵𝐶(cid:157)(cid:186)𝐴(cid:61)𝐵(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)A(cid:195) (cid:127)(cid:97)H(cid:61)
(cid:146)(cid:84)2(cid:94)∵ (cid:117)(cid:164) 𝐶(cid:62)𝐵(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)(cid:23)(cid:24)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:30)(cid:118) = 𝐵𝐶 (cid:145) 𝐴𝐶= (cid:255)𝐴𝐻⊥=𝐵𝐶
2 2
+ (cid:61)△(cid:146)𝐴𝐵(cid:84)𝐶2(cid:94)(cid:117)(cid:164) (cid:61)(cid:122)(cid:117)(cid:164) 𝐴𝐻= (cid:206)𝐴𝐵(cid:301)−(cid:97)𝐵𝐻E(cid:73) 𝐸𝐻(cid:27)(cid:212)𝐵(cid:35)𝐻(cid:33)−𝐵(cid:157)𝐸(cid:186)(cid:61)𝐴𝐸(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)
2 2
A𝐴(cid:195)𝐻 𝐸𝐻 (cid:127)(cid:97)H(cid:61)(cid:324)(cid:84)3(cid:94)△𝐵𝐴(cid:117)𝐸(cid:118)≌△(cid:61) 𝐶𝐴𝐹= 𝐴𝐹 (cid:255)𝐴𝐸 = + 𝐶𝐵(cid:61) = + (cid:61)𝐴𝐶(cid:146)(cid:84)2(cid:94)
2 2 2 2
(cid:117)(cid:164)𝐴𝐻⊥𝐵𝐶 (cid:61)(cid:75) =① (cid:65) 𝐴𝐻 𝐴𝐵 −𝐵𝐻 𝐸𝐻 𝐵𝐻 𝐵𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐻 𝐸𝐻
(cid:15)(cid:125)(cid:113)△(cid:20)𝐵𝐴(cid:113)𝐸(cid:10)≌(cid:84)△1𝐶(cid:94)𝐴𝐹(cid:288)(cid:121)(cid:72)𝐴(cid:26)𝐹(cid:71)(cid:113)𝐴𝐸(cid:72)(cid:61)(cid:73)(cid:25)(cid:26) (cid:42)(cid:61) =60°(cid:61)
∵ =1𝐴2𝐵0°𝐶(cid:65)𝐷 ∠𝐵
∴∠𝐶 (cid:61) =60°(cid:61)
∵𝐴𝐸⊥𝐵=𝐶 ∠𝐸𝐴𝐹 =90°(cid:61)
∴∠𝐴𝐹𝐶 =360°−∠𝐴𝐸𝐶−=∠9𝐸0𝐴°𝐹(cid:65)−∠𝐶
∴(cid:84)∠2𝐴(cid:94)𝐹𝐷 +180°=−∠𝐴𝐹(cid:61)𝐶
(cid:108)(cid:146)(cid:10)𝐶(cid:71)𝐸(cid:72)𝐶(cid:61)𝐹(cid:115)(cid:116)𝐴𝐵 (cid:61)
𝐴𝐶
(cid:58)(cid:53)(cid:26) (cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:61)
∵ = 𝐴𝐵(cid:61)𝐶𝐷
∴𝐴𝐵=6𝐵0°𝐶(cid:61)
∵∠𝐵 (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴△𝐴𝐵𝐶(cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
∴△𝐴=𝐶𝐷 (cid:61) = = =60°(cid:61)
∴𝐴𝐵 𝐴=𝐶60∠°(cid:61)𝐴𝐶𝐷 ∠𝐵 ∠𝐵𝐴𝐶
∵∠𝐸𝐴𝐹 = (cid:61)
∴∠𝐵𝐴𝐸 ∠𝐶𝐴𝐹 (ASA)(cid:61)
∴△𝐵=𝐴𝐸≌(cid:61)△𝐶𝐴𝐹
∴𝐵𝐸+ 𝐶𝐹= + = = (cid:206)
∴(cid:84)𝐶3𝐸(cid:94) 𝐶(cid:97)𝐹E(cid:73)𝐶𝐸(cid:302)(cid:33)𝐵𝐸(cid:157)(cid:61)𝐵𝐶(cid:404)(cid:79)𝐴(cid:81)𝐵(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:345)(cid:346)(cid:10)
(cid:301)(cid:97)∵ E(cid:73)(cid:33)(cid:34) 𝐶(cid:157)𝐵(cid:186)(cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)A(cid:195) (cid:127)(cid:97)H(cid:61)
① 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶(cid:146)(cid:84)2(cid:94)(cid:117)(cid:164) (cid:62)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:61)
= =△𝐴=𝐵𝐶4(cid:61) = =2(cid:61)
∴𝐴𝐵 =𝐵𝐶 𝐴𝐶 =2𝐵𝐻3(cid:61)𝐻𝐶
2 2
∴𝐴𝐻= 𝐴𝐵 −𝐵=𝐻1(cid:61)
∵𝐸𝐻= 𝐵𝐻−𝐵+𝐸 = 13(cid:61)
2 2
∴(cid:146)𝐴(cid:84)𝐸2(cid:94)(cid:117)𝐴𝐻(cid:164) 𝐸𝐻 (cid:61)
= = △1𝐵3𝐴(cid:206)𝐸≌△𝐶𝐴𝐹
∴𝐴(cid:301)𝐹 (cid:97)𝐴E𝐸(cid:73) (cid:27)(cid:212)(cid:35)(cid:33)(cid:157)(cid:186)(cid:61)(cid:71)(cid:72)(cid:61)(cid:115)(cid:116) (cid:61)(cid:194)(cid:97)A(cid:195) (cid:127)(cid:97)H(cid:61)
② 𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶
(cid:324)(cid:84)3(cid:94) (cid:117)(cid:118)(cid:61) = =2 3(cid:61)
2 2
= ①+ =𝐴3𝐻(cid:61) 𝐴𝐵 −𝐵𝐻
∵𝐸𝐻= 𝐵𝐻 𝐵+𝐸 = 21(cid:61)
2 2
∴(cid:146)𝐴(cid:84)𝐸2(cid:94)(cid:117)𝐴𝐻(cid:164) 𝐸𝐻 (cid:61)
= = △2𝐵1𝐴𝐸≌△𝐶𝐴𝐹
∴(cid:341)𝐴(cid:157)𝐹(cid:134)(cid:70)𝐴𝐸(cid:61) (cid:27)(cid:35)(cid:96) 13(cid:335) 21(cid:65)
(cid:15)(cid:97)(cid:200)(cid:20)(cid:101)𝐴(cid:21)𝐹(cid:141)(cid:142)(cid:102)(cid:103)(cid:195)(cid:50)(cid:234)(cid:36)(cid:55)(cid:127)(cid:376)(cid:164)(cid:36)(cid:145)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:403)(cid:36)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:145)(cid:55)(cid:53)(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:208)(cid:107)(cid:145)(cid:264)(cid:55)
(cid:154)(cid:36)(cid:26)(cid:27)(cid:208)(cid:107)(cid:255)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:65)(cid:113)(cid:21)(cid:27)(cid:3)(cid:114)(cid:62)(cid:109)(cid:405)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:255)(cid:79)(cid:344)(cid:345)(cid:346)(cid:377)(cid:380)(cid:27)(cid:143)(cid:24)(cid:65)