文档文本内容
专题 2.4 二次根式的乘除（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:20)....................................................................................................................2
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:20)........................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:25)(cid:9)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:26)(cid:40)(cid:41)(cid:20)........................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:20)............................................................................................................................................7
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:20)............................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:20)..........................................................................................................................13
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:20)..........................................................................................................................16
(cid:15)(cid:21)(cid:22)9 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:31)(cid:52)(cid:53)(cid:20)..........................................................................................................................19
知识点1 二次根式的乘法
1. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:54)(cid:55)
(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:31)(cid:61)(cid:31)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:62)(cid:70) = 0， 0)(cid:71)
(cid:72)(cid:73)(cid:10) 2 32= 2×32= 64=8(cid:71) 𝑎∙ 𝑏 𝑎𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)∙ (cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:74)(cid:75)
(cid:76)1(cid:77)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:7)(cid:26)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:27)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:70) = 0， 0， 0)(cid:71)
(cid:76)2(cid:77)(cid:84)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:85)(cid:86)(cid:44)(cid:87)(cid:69)(cid:88)(cid:62)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:26)(cid:27)(cid:54)(cid:62)(cid:93)(cid:25)(cid:9)(cid:85)(cid:31)(cid:87)(cid:69)𝑎(cid:83)∙ (cid:27)𝑏(cid:62)∙ (cid:94)𝑐(cid:95)(cid:61)𝑎(cid:31)𝑏(cid:87)𝑐(𝑎(cid:69)≥(cid:62)(cid:70) 𝑏≥ 𝑐≥=
0， 0)(cid:71) 𝑚 𝑎∙𝑛 𝑏 𝑚𝑛
知
𝑎
识
𝑏(
点
𝑎≥2
积
𝑏
的
≥
算术平方根
1. (cid:61)(cid:31)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:61)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:39)(cid:26)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:31)(cid:61)(cid:62)(cid:70) = 0， 0)(cid:71)
(cid:48)(cid:53)(cid:98)(cid:7)(cid:26)(cid:88)(cid:62)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:102)(cid:29)(cid:27)(cid:61)(cid:31)(cid:103)(cid:26)(cid:71) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
2. (cid:104)(cid:54)(cid:55)(cid:78)(cid:105)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:57)(cid:106)(cid:107)(cid:69)(cid:31)(cid:61)(cid:31)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:70) = 0， 0， 0)(cid:71)
3. (cid:52)(cid:53)(cid:10)(cid:46)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:108)(cid:93)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:109)(cid:110)(cid:39)(cid:69)
科
(cid:42)
A
(cid:111)A(cid:112)+(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)𝑎(cid:62)𝑏𝑐(cid:113)(cid:114)(cid:53)𝑎∙ 𝑏∙=𝑐(𝑎≥ 𝑏≥0， 𝑐≥0)(cid:115)
全
号★
众
= 0)(cid:62)(cid:93)(cid:101)(cid:68)(cid:116) 关 (cid:117)(cid:60)注(cid:31)公(cid:39)(cid:69)(cid:112)(cid:39)(cid:26)(cid:68)(cid:81)(cid:25)(cid:9)(cid:38)(cid:71) 𝑎𝑏 𝑎∙ 𝑏(𝑎≥ 𝑏≥
，
源
资
2 教 辅
知
𝑎
识点
𝑎3( 𝑎
二
≥
次根式的除法
1. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:28)(cid:54)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:31)(cid:118)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:31)(cid:118)(cid:31)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:62)(cid:70) = 0， >0)(cid:71)
𝑎 𝑎
2. (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:28)(cid:54)(cid:7)(cid:26)(cid:78)(cid:105)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:57)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:83)(cid:28)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:70) 𝑏 ÷ 𝑏(𝑎 ÷ ≥ = 𝑏 ÷ ÷ 0， >0
， >0)(cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐(𝑎≥ 𝑏
3. 𝑐(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:85)(cid:86)(cid:44)(cid:87)(cid:69)(cid:88)(cid:62)(cid:78)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:26)(cid:119)(cid:91)(cid:92)(cid:26)(cid:83)(cid:28)(cid:31)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:120)(cid:87)(cid:69)(cid:115)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:42)(cid:121)(cid:83)(cid:28)(cid:94)(cid:95)(cid:61)(cid:31)(cid:39)(cid:26)(cid:62)
(cid:70) ÷ = ÷ ÷ (cid:71)
知
𝑚
识点
𝑎4 𝑛
商
𝑏
的算
(𝑚
术平
𝑛
方
)
根
∙ 𝑎 𝑏
(cid:118)(cid:31)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:118)(cid:96)(cid:97)(cid:57)(cid:39)(cid:26)(cid:49)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:25)(cid:31)(cid:118)(cid:62)(cid:70) = 0， >0)(cid:71)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏(𝑎≥ 𝑏
知识点5 最简二次根式
1. (cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:122)(cid:123)(cid:42)(cid:43)(cid:62)(cid:124)(cid:125)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:101)(cid:68)(cid:116)(cid:117)(cid:60)(cid:31)(cid:39)(cid:69)(cid:76)(cid:112)(cid:39)(cid:26)(cid:77)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:25)(cid:9)(cid:62)(cid:126)(cid:127)(cid:31)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:26)(cid:128)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:71)
2. (cid:46)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:129)(cid:130)
(cid:76)1(cid:77)(cid:120)(cid:25)(cid:9)(cid:131)(cid:31)(cid:132)(cid:42)(cid:69)(cid:46)(cid:95)(cid:133)(cid:42)(cid:69)(cid:62)(cid:120)(cid:134)(cid:135)(cid:51)(cid:136)(cid:64)1(cid:31)(cid:136)(cid:69)(cid:46)(cid:95)(cid:42)(cid:69)(cid:62)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:137)(cid:82)(cid:92)(cid:26)(cid:88)(cid:62)(cid:108)(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:138)
(cid:76)2(cid:77)(cid:93)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:96)(cid:101)(cid:68)(cid:117)(cid:31)(cid:39)(cid:69)((cid:112)(cid:39)(cid:26)(cid:77)(cid:109)(cid:110)(cid:68)(cid:60)(cid:138)
(cid:76)3(cid:77)(cid:114)(cid:53) = 0， >0)(cid:62)(cid:139)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:96)(cid:122)(cid:123)(cid:42)(cid:43)(cid:138)
𝑎 𝑎
(cid:76)4(cid:77)(cid:42)(cid:43)(cid:44)𝑏(cid:45)(cid:46)𝑏(cid:62)(𝑎(cid:46)≥(cid:140)(cid:42)(cid:43)𝑏(cid:96)(cid:31)(cid:25)(cid:9)(cid:138)
(cid:76)5(cid:77)(cid:141)(cid:42)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:142)(cid:45)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:71)
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
(cid:15)(cid:72)1(cid:20)(cid:76)2023·(cid:143)(cid:144)·(cid:96)(cid:145)(cid:146)(cid:21)(cid:77)(cid:135)(cid:64)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:62)(cid:44) = (cid:71)(cid:104)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:30)(cid:31)
(cid:32)(cid:33)(cid:137)(cid:76) (cid:77) 𝑎⋅ 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:71) > >0 B(cid:71) < <0 C(cid:71) 0 D(cid:71) 0
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)𝑎 D 0,𝑏 𝑎 0,𝑏 𝑎≤0,𝑏≤ 𝑎≥0,𝑏≥
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:156)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:62)(cid:113)(cid:111)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:156)(cid:158)(cid:159)(cid:71)
0
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:116) 0 (cid:62)
科
𝑎≥ AA 0 +
号★
全𝑏≥
0(cid:62)
注
公 众 𝑎𝑏≥
关
，
源
资
辅
(cid:161)∴(cid:162)𝑎≥(cid:10)0D,𝑏(cid:71)≥教
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:165)(cid:111)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:62)(cid:166)(cid:167)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:137)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:95)(cid:106)(cid:107)(cid:69)(cid:137)(cid:168)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)1-1(cid:20)(cid:76)22-23(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)·(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:101)(cid:139)(cid:63)(cid:26) = (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:137)(cid:76) (cid:77)
𝑥 𝑥
A(cid:71) 0 B(cid:71) 3 C(cid:71) >3 𝑥−3 𝑥−D3(cid:71) >3(cid:112) <0
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)𝑥≥C 𝑥≥ 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:116)(cid:156) 0(cid:62) >0(cid:62)(cid:109)(cid:182)(cid:50)(cid:156)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
𝑥≥ 𝑥−3
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) = (cid:29)(cid:30)(cid:62)
𝑥 𝑥
0(cid:62) ∵ >0(cid:62)𝑥−3 𝑥−3
(cid:111)∴(cid:116)𝑥≥(cid:10) >𝑥3−(cid:71)3
(cid:161)(cid:162)(cid:10)𝑥C(cid:71)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:98)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:187)(cid:188)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:50)(cid:156)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)1-2(cid:20)(cid:63)(cid:26) = · +3(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:137)
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) 3. 𝑏 −9 𝑏−3 𝑏
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)𝑏(cid:25)≥(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:54)(cid:55)(cid:115)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:156)(cid:3)(cid:64)b(cid:31)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:62)(cid:111)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:156)
(cid:150)(cid:151).
0
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:62)(cid:116)(cid:10) +3 0 (cid:62)(cid:111)(cid:116)(cid:10) 3.
𝑏−3≥
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95) 3. 𝑏 ≥ 𝑏≥
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)𝑏(cid:168)≥(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:31)(cid:137)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:62)(cid:189)(cid:190)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:106)(cid:107)(cid:137)(cid:111)(cid:98)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169).
(cid:15)(cid:170)(cid:26)1-3(cid:20)(cid:76)22-23(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:174)(cid:175)(cid:192)(cid:193)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:136)(cid:194)(cid:195)(cid:11)(cid:196)(cid:186) = (cid:197)(cid:62) (cid:198)(cid:95) = (cid:199)(cid:29)(cid:30)(cid:62)(cid:39)(cid:98)(cid:200)(cid:198)
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:95)(cid:147)(cid:57)(cid:46)(cid:35)(cid:201)(cid:202)(cid:10) = = ×4= 4= 4=2(cid:137)(cid:187)(cid:188)(cid:31)(cid:71)
−20 −20 −5 −5⋅
(1)(cid:203)(cid:198)(cid:95)(cid:200)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:135)(cid:204)−5(cid:205) (cid:73)(cid:159)−5(cid:122)(cid:135)(cid:62)−(cid:206)5 (cid:102)(cid:156)(cid:187)−5(cid:188)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:201)(cid:202)(cid:138)
(2)(cid:207)(cid:208) = (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:71)
𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)𝑏 (1)(cid:122)𝑏(cid:135)(cid:62)(cid:209)(cid:111)(cid:152)
(2) 0(cid:125) >0
(cid:15)(cid:42)𝑎(cid:152)≥(cid:20)(cid:168)𝑏(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)
科
(cid:23)
A
(cid:24)
A
(cid:25)+(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
全
号★
众
(cid:76)1(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)
注
(cid:31)公(cid:106)(cid:107)(cid:180)(cid:78)(cid:116)(cid:200)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:122)(cid:135)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:138)
关
，
源
资
辅
(cid:76)2(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:23)教(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:31)(cid:106)(cid:107)(cid:180)(cid:37)(cid:42)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:122)(cid:101)(cid:63)(cid:64)0(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:76)1(cid:77)(cid:111)(cid:10)(cid:39)(cid:95)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:122)(cid:101)(cid:136)(cid:64)0(cid:62)(cid:211)(cid:105)(cid:200)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:122)(cid:135)(cid:71)(cid:187)(cid:188)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:201)(cid:202)(cid:73)(cid:131)(cid:10)
20
=
5
−20
−250
=
5
5×4
=
5
5× 4
=
5
= 4
=2(cid:71)
(cid:76)2(cid:77)(cid:111)(cid:10)(cid:39)(cid:95)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:122)(cid:101)(cid:136)(cid:64)0(cid:37)(cid:42)(cid:26)(cid:31)(cid:42)(cid:43)(cid:122)(cid:101)(cid:63)(cid:64)0(cid:62)
(cid:211)(cid:105) = (cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:137) 0(cid:125) >0(cid:71)
𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑎≥ 𝑏
【题型2 最简二次根式】
7
(cid:15)(cid:72)2(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:143)(cid:16)(cid:212)(cid:213)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:131)(cid:214)(cid:97)(cid:26) 8(cid:138) 0.3(cid:138) (cid:138) 3(cid:138) +1(cid:76)a(cid:95)(cid:187)(cid:142)
2
2
(cid:69)(cid:77)(cid:62)(cid:215)(cid:96)(cid:147)(cid:216)(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:44)(cid:76) (cid:77) ① ② ③ ④ ⑤ 𝑎
A(cid:71)4 (cid:57) B(cid:71)3 (cid:57) C(cid:71)2(cid:57) D(cid:71)1(cid:57)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)C
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)(cid:25)(cid:153)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:216)(cid:155)(cid:109)
(cid:110)(cid:217)(cid:216)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) 8=2 2(cid:62)(cid:122)(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)
30
0.3= (cid:62)(cid:122)(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)
10
7 = 14 (cid:62)(cid:122)(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)
2 2
3(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)
+1(cid:76)a(cid:95)(cid:187)(cid:142)(cid:69)(cid:77)(cid:137)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:138)
2
(cid:161)𝑎(cid:162)C(cid:71)
科AA+
全
号★ 2
(cid:15)(cid:170)(cid:26)2-1(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:174)公(cid:218)(cid:48)众(cid:219)·(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:120) (cid:46)(cid:29)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:158)(cid:159)(cid:95) .
关 注 5
，
源
资
辅
教
10
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)
5
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:109)(cid:110)(cid:46)(cid:35)(cid:70)(cid:78)(cid:71)2 10
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) = (cid:62)
5 5
10
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:71)
5
(cid:15)(cid:170)(cid:26)2-2(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)(cid:46)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:226)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) +1(cid:119)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:83)
𝑛−1
(cid:63)(cid:62)(cid:55) = (cid:71) = (cid:71) 2𝑛 4𝑛−𝑚
(cid:15)(cid:150)(cid:151)𝑛(cid:20) 3 𝑚 5
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:216)(cid:155)(cid:62)(cid:227)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:228)(cid:229)(cid:62)(cid:227)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:137)(cid:46)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:197)(cid:62)(cid:67)
(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:83)(cid:227)(cid:31)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:128)(cid:95)(cid:227)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:71)
(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:78)(cid:190)(cid:62)(cid:227)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:83)(cid:227)(cid:62)(cid:25)(cid:230)(cid:69)(cid:83)(cid:227)(cid:62)(cid:78)(cid:116)(cid:150)(cid:151)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) +1(cid:119)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:83)(cid:63)(cid:62)
𝑛−1
=2(cid:62) +1= 2𝑛 4𝑛−𝑚
∴(cid:111)𝑛(cid:116)−1(cid:10) =32(cid:62)𝑛 =5(cid:71)4𝑛−𝑚
(cid:161)(cid:150)(cid:151)𝑛(cid:95)(cid:10)3(cid:62)𝑚5(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)2-3(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:231)(cid:232)(cid:231)(cid:233)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:234)(cid:190) (cid:137)(cid:147)(cid:57)(cid:187)(cid:142)(cid:69)(cid:62) (cid:199)(cid:137)(cid:187)(cid:142)(cid:69)(cid:62)(cid:55) (cid:31)(cid:34)(cid:136)(cid:51)(cid:95)(cid:76) (cid:77)
A(cid:71)4 B(cid:71)5 C(cid:71)10𝑎 D2(cid:71)0𝑎20 𝑎
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)B
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:46)(cid:35)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)(cid:235) (cid:137)(cid:187)(cid:142)(cid:69)(cid:125)
=2 (cid:62)(cid:116)(cid:81) (cid:137)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:69)(cid:62)(cid:70)(cid:78)(cid:50)(cid:156) (cid:31)(cid:34)(cid:136)(cid:51)(cid:71) 20𝑎
(cid:15)2(cid:160)0𝑎(cid:111)(cid:20)(cid:111)5(cid:10)𝑎 5(cid:137)𝑎(cid:187)(cid:142)(cid:69)(cid:62) =2 (cid:62)𝑎
(cid:137)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)∵ (cid:69)2(cid:62)0𝑎 20𝑎 5𝑎
∴5 𝑎(cid:31)(cid:34)(cid:136)(cid:51)(cid:95)5(cid:71)
(cid:161)∴(cid:162)𝑎(cid:10)B(cid:71)
【题型3 根号内、外的因式互移】
1
(cid:15)(cid:72)3(cid:20)(cid:76)2023(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:237)(cid:238)·(cid:239)(cid:21)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:120)( ) (cid:25)(cid:9)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:26)(cid:41)(cid:81)(cid:25)(cid:9)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:95) (cid:71)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)−(cid:25)(cid:153)𝑏−(cid:23)𝑎(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:109)(cid:110)(cid:46)(cid:35)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
全
科AA+
号★
众
公
注
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) 1 资>源0 ，(cid:62) 关
辅
教
<0(cid:62)
∵−𝑎−𝑏
∴𝑎−𝑏1 1
( ) = ( )
∴ 𝑎−𝑏 −𝑎−𝑏 − 𝑏−𝑎 −𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− 𝑏−𝑎 ⋅ −
𝑎−𝑏
1
= ( )
2
− ⋅ 𝑏−𝑎
𝑎−𝑏
= (cid:71)
(cid:161)(cid:150)−(cid:151)𝑏(cid:95)−𝑎(cid:10) (cid:71)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)−(cid:21)(cid:183)𝑏−(cid:184)𝑎(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:137)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:116)(cid:156) <0(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)3-1(cid:20)(cid:226)(cid:120) 3(cid:25)(cid:9)(cid:38)(cid:31)(cid:39)(cid:26)(cid:41)(cid:81)(cid:25)(cid:9)(cid:36)(cid:62)(cid:116)(cid:76) (cid:77) 𝑎−𝑏
A(cid:71) 12 −4 B(cid:71) 12 C(cid:71) 48 D(cid:71) 48
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)C − −
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:120)4(cid:102)(cid:29) 16(cid:31)(cid:103)(cid:26)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:54)(cid:55)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:81)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) 3= 16× 3= 48(cid:71)
(cid:161)(cid:162)(cid:10)C(cid:71) −4 − −
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:105)(cid:165)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:137)(cid:240)(cid:241)(cid:156)(cid:242)(cid:243)(cid:9)(cid:244)(cid:245)(cid:31)(cid:246)(cid:21)(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)3-2(cid:20)(cid:93) (cid:96)(cid:31)a(cid:41)(cid:81)(cid:25)(cid:9)(cid:36)(cid:62)(cid:158)(cid:159)(cid:137)(cid:76)(cid:247)(cid:247)(cid:77)
A(cid:71) −𝑎 −𝑎B(cid:71) C(cid:71) D(cid:71)
3 3 3 3
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)−𝑎B −𝑎 −𝑎 − 𝑎 𝑎
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:71)(cid:108)(cid:217)(cid:248)(cid:156) 0(cid:62)(cid:113)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:70)(cid:78)(cid:50)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20) 0(cid:62) 𝑎≤
0(cid:62)∵−𝑎≥
∴𝑎≤ =| | = = (cid:71)
2 3
(cid:161)∴−(cid:162)𝑎(cid:10)−B𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋅ −𝑎 −𝑎
1
(cid:15)(cid:170)(cid:26)3-3(cid:20)(cid:76)24-25(cid:249)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:174)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:120)( ) (cid:25)(cid:9)(cid:38)(cid:86)(cid:31)(cid:39)(cid:26)(cid:41)(cid:81)(cid:25)(cid:9)(cid:253)(cid:86)(cid:46)(cid:35)(cid:31)(cid:158)(cid:159)
(cid:137) (cid:71) 1−𝑥 𝑥−1
科AA+
全
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) / + 号★
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)−(cid:168)(cid:21)𝑥−(cid:183)辅1(cid:184)−资(cid:145)−(cid:185)1(cid:186)(cid:46)𝑥(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:165)(cid:42)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:78)(cid:116)
教
>0(cid:62)(cid:153)(cid:98)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
𝑥−1(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) >0(cid:62)
<0(cid:62) ∵𝑥−1
∴1 ( −𝑥 ) 1 = 1 ( ) = (cid:62)
2
(cid:161) ∴ (cid:150) 1 (cid:151) − (cid:95) 𝑥 (cid:10)𝑥−1 − (cid:71)𝑥−1⋅ 𝑥−1 − 𝑥−1
【题型4 分 − 母 𝑥 有 −1 理化】
(cid:15)(cid:72)4(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)(cid:193)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:135)(cid:64)(cid:44)(cid:45)(cid:69) (cid:115) (cid:62)(cid:216)(cid:155)(cid:186)(cid:147)(cid:258)(cid:259)(cid:48)(cid:49)(cid:10) ※ = (cid:62)(cid:72)
𝑎+𝑏
(cid:73)6※3= 6 3 = 9 = 9× 3 =3 3(cid:62)(cid:55)3※ 1 (cid:95) 𝑎 (cid:71) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
+ 3 3× 3 2
−
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)
56−
1
3
4/ 5 14
14 14
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:25)(cid:153)(cid:259)(cid:216)(cid:155)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:235)(cid:21)(cid:154)(cid:116)(cid:10)3※ 1 = 3 1 2 = 5 2 = 5 14(cid:62)
2 + − 1 7 14
2 2
−
3− −
5
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) 14(cid:71)
14
(cid:15)(cid:170)(cid:26)4-1(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:191)(cid:265)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:102)(cid:156) (cid:31)(cid:147)(cid:57)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:26) (cid:71)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) 2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)2(cid:21)𝑎−(cid:183)𝑏(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:31)(cid:60)(cid:54)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:266)(cid:266)(cid:137)(cid:27)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:168)(cid:267)(cid:76)(cid:42)(cid:43)(cid:268)(cid:44)(cid:147)(cid:92)(cid:77)(cid:112)(cid:119)(cid:269)(cid:42)
(cid:43)(cid:157)(cid:29)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:71)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:50)(cid:111)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) × = (cid:62)
(cid:31)(cid:147)(cid:57)∵(cid:44)(cid:45)2𝑎(cid:46)−𝑏(cid:39)(cid:26)(cid:95)2𝑎−𝑏 (cid:62)2𝑎−𝑏
∴(cid:161)(cid:150)2𝑎(cid:151)−(cid:95)𝑏 (cid:10) (cid:76)(cid:150)(cid:151)(cid:122)(cid:271)(cid:147)2𝑎(cid:77)−𝑏
(cid:15)(cid:170)(cid:26)4-2(cid:20)(cid:76)2𝑎2−4𝑏-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:174)(cid:175)(cid:272)(cid:213)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:234)(cid:190) = + +5(cid:62)(cid:55) = (cid:71)
𝑦
𝑦 𝑥−3 3−𝑥 𝑥
5 3
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)
3
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:111)(cid:122)(cid:63)(cid:26)(cid:157)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:71)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:108)(cid:214)(cid:156)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:88)(cid:31)x
(cid:273)(cid:51)(cid:274)(cid:275)(cid:62)(cid:276)(cid:182)(cid:50)(cid:116)y(cid:51)(cid:62)(cid:113)(cid:262)(cid:263)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:70)(cid:78)(cid:50)(cid:156)(cid:168)(cid:21)(cid:150)(cid:151)(cid:71)
科AA+
全
0 号★
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:235)(cid:21)(cid:154)(cid:116)(cid:62)
注
公0 (cid:62)众
关
，
资 源 𝑥−3≥
辅
3 教 3−𝑥≥
(cid:62)
3
𝑥≥
∴ 𝑥=≤ =5(cid:62)
∴𝑥 3,𝑦= 5 = 5 3 (cid:62)
3 3
𝑦
∴ 𝑥
5 3
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:71)
3
(cid:15)(cid:170)(cid:26)4-3(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:231)(cid:232)(cid:261)(cid:277)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:135)(cid:64)(cid:278)(cid:154)(cid:122)(cid:83)(cid:63)(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:187)(cid:279)(cid:69)a(cid:62)b(cid:62)(cid:216)(cid:155)(cid:147)(cid:258)(cid:48)(cid:49)
“※”(cid:73)(cid:131)(cid:10) ※ = (cid:62)(cid:72)(cid:73)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:71)
𝑎+𝑏 +
(cid:76)1(cid:77)3※6= 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 (cid:138) 5−4
(cid:76)2(cid:77)( 3)※ 7※5 = (cid:71)
2−
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) 2 6
4
+
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)−(cid:185)1(cid:216)(cid:155)(cid:259)−(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:62)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:63)(cid:71)
(cid:76)1(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:114)(cid:53)(cid:21)(cid:96)(cid:72)(cid:47)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
(cid:76)2(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:108)(cid:93) 7※5 (cid:75)(cid:68)(cid:264)(cid:49)(cid:62)(cid:113)(cid:264)(cid:49)( 3)※ 3(cid:62)(cid:34)(cid:197)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
2−
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:76)1(cid:77)(cid:235)(cid:216)(cid:155)(cid:259)(cid:48)(cid:49)(cid:190)3※6= 3 6= (cid:62)
+
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:138) 3−6 −1
−1
(cid:76)2(cid:77)( 3)※ 7※5
2− 7+5
= ( 3)※
2− 12
= ( 3)※ 7−5
2
= (2− 3)※ 3
2−
3+ 3
=
3 3
2−
2−2 −
=
3
2×(2+2 3)
= 2−2
( 3)(2+2 3)
2 2+2 6
= 2−2
2 2+2 6
科AA+
= 4−12 号★ 全
众
公
注
关
，
源
= 2 −8 6 (cid:62)教 辅 资
4
+
−
2 6
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:71)
4
+
−【题型5 分子有理化】
(cid:15)(cid:72)5(cid:20)(cid:76)23-24(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:280)(cid:16)(cid:281)(cid:282)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:15)(cid:60)(cid:54)(cid:283)(cid:158)(cid:20)(cid:73)(cid:284)(cid:90)(cid:285)(cid:56)(cid:57)(cid:69)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:286)(cid:66)(cid:266)(cid:287)(cid:53)(cid:94)(cid:270)(cid:112)
(cid:94)(cid:118)(cid:31)(cid:60)(cid:54)(cid:62)(cid:215)(cid:279)(cid:44)(cid:88)(cid:288)(cid:53)“(cid:59)(cid:60)(cid:54)”(cid:289)(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:199)(cid:290)(cid:273)(cid:116)(cid:291)(cid:292)(cid:31)(cid:293)(cid:159)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:62)(cid:90)(cid:285) =2 3(cid:115) =3 2(cid:31)(cid:18)
(cid:136)(cid:62)(cid:286)(cid:66)(cid:78)(cid:105)(cid:120)a(cid:115)b(cid:42)(cid:121)(cid:59)(cid:60)(cid:71) =12, =18(cid:62)(cid:55) < , < (cid:71) 𝑎 𝑏
2 2 2 2
(cid:206)(cid:114)(cid:53)“(cid:59)(cid:60)(cid:54)”(cid:111)(cid:294)(cid:131)(cid:86)(cid:246)(cid:21)(cid:10) ∴𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∴𝑎 𝑏
(cid:76)1(cid:77)(cid:90)(cid:285) =4 2 =2 7(cid:18)(cid:136)(cid:62)c______d(cid:76)(cid:295)(cid:102)“>”“<”(cid:112)“=”(cid:77)(cid:71)
(cid:76)2(cid:77)(cid:296)(cid:297)𝑐 =2 5,𝑑+ 6 =2 3+ 14(cid:298)(cid:299)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:124)(cid:207)(cid:208)(cid:45)(cid:235)(cid:71)
(cid:15)(cid:74)(cid:75)(cid:300)(cid:301)𝑚(cid:20)(cid:84)(cid:302)(cid:28)(cid:186)“(cid:59),𝑛(cid:60)(cid:54)”(cid:38)(cid:62)(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:78)(cid:105)(cid:53)(cid:289)(cid:90)(cid:285)(cid:303)(cid:304)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:62)
1 1
(cid:90)(cid:285) 7 6(cid:115) 6 5(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:78)(cid:105)(cid:108)(cid:93)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:131)(cid:10) 7 6= (cid:62) 6 5= (cid:71) 7+ 6
7 6 6 5
> 6+ − 5(cid:62) − 7 6< 6 5(cid:71) − + − + ∵
(cid:76)3(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:305)(cid:306)∴(cid:62)(cid:206)−(cid:162)(cid:307)(cid:261)(cid:308)(cid:31)−(cid:60)(cid:54)(cid:90)(cid:285) 2025 2024(cid:119) 2024 2023(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:102)(cid:156)(cid:309)(cid:310)(cid:90)(cid:285)(cid:201)(cid:202)(cid:71)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:76)1(cid:77) > (cid:76)2(cid:77) > (cid:76)3(cid:77) 2025− 2024< 202−4 2023
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)𝑐(cid:185)(cid:186)𝑑(cid:59)(cid:60)(cid:54)𝑛(cid:37)(cid:42)𝑚(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:311)(cid:69)−(cid:90)(cid:285)(cid:279)(cid:69)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)−(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:137)(cid:50)(cid:156) 1
>
2025 2024
1 −
(cid:71)
2024 2023
(cid:76)1(cid:77)−(cid:312)(cid:313)(cid:21)(cid:314)(cid:96)(cid:31)“(cid:59)(cid:60)(cid:54)”(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
(cid:76)2(cid:77)(cid:312)(cid:313)(cid:21)(cid:314)(cid:96)(cid:31)“(cid:59)(cid:60)(cid:54)”(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
(cid:76)3(cid:77)(cid:78)(cid:114)(cid:53)(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:76)1(cid:77) =(4 2) =32, =(2 7) =28,32>28(cid:62)
2 2
2 2
> ∵𝑐 𝑑
2 2
∴𝑐 > 𝑑(cid:138)
∴𝑐 𝑑
(cid:76)2(cid:77) = 2 5+ 6 =26+4 30, =(2 3+ 14) =26+4 42,26+4 42>26+4 30(cid:62)
2 2
2 2
>∵𝑚 (cid:62) 𝑛
2 2
∴𝑛> 𝑚(cid:138)
(cid:76)∴ 3 𝑛(cid:77) 𝑚 1 = 2025+ 2024, 1 科A=A+2024+ 2023(cid:62)(cid:315) 2025+ 2024
2025 2024
号
20★24全2023
众
公
∵ − 关 注 − −
( 2024+ 2023)= 源20，25 2023>0
资
辅
教
1 > 1 −(cid:62)
2025 2024 2024 2023
∴ − −2025 2024< 2024 2023(cid:71)
(cid:15) ∴ (cid:170)(cid:26)5- − 1(cid:20)(cid:76)2025(cid:171)(cid:172)(cid:173) − (cid:131)·(cid:237)(cid:238)·(cid:239)(cid:21)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:93)(cid:42)(cid:47)(cid:316)(cid:46)(cid:95)(cid:44)(cid:45)(cid:69)(cid:62)(cid:317)(cid:128)(cid:95)“(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)”(cid:62)(cid:72)(cid:73)(cid:10) 2= 2
1
=( 2) = 2 (cid:138)
2 2 2
3 =( 3 )×( 3 1)= ( 3) 1 = = 2 (cid:71)(cid:25)(cid:153)(cid:191)(cid:318)(cid:190)(cid:319)(cid:62)(cid:206)(cid:203)(cid:236)(cid:29)(cid:131)(cid:214)(cid:246)(cid:21)(cid:10)
3 3×( 3 1) ( 3) 2 32 3 3 3 3
−1 −1 + − 3−1
2
+1 1+ + +
(1)(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:10) _______ (cid:76)(cid:295)“>”(cid:62)“<”(cid:112)“=”(cid:77)(cid:138)
7 11
(2)(cid:264)(cid:49)(cid:10) 1 3 + − 1 + 1−3 + + 1 (cid:138)
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+2 + + ⋯ +
(3)(cid:226) = (cid:62)(cid:50)5 +15(cid:31)(cid:51)(cid:71)
3
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151) 𝑎 (cid:20)(1) − < 1 𝑎 −10𝑎
(2)44
(3)25
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:166)(cid:167)(cid:215)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
1 3 7 1 11 3
(cid:76)1(cid:77)(cid:108)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:116)(cid:81) = (cid:62) = (cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:90)(cid:285)(cid:18)(cid:136)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
7 2 11 2
+ +
(cid:76)2(cid:77)(cid:108)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:62)(cid:302)3(cid:197)−(cid:261)(cid:124)(cid:227)(cid:89)(cid:23)(cid:24)(cid:25)−3(cid:26)(cid:138)
(cid:76)3(cid:77)(cid:108)(cid:114)(cid:53)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:116)(cid:81) = 3+1(cid:62)(cid:55)(cid:41)(cid:92)(cid:116)(cid:81) = 3(cid:62)(cid:113)(cid:56)(cid:320)(cid:59)(cid:60)(cid:78)(cid:116)(cid:81) =2(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:120)5
2 2
+15(cid:170)(cid:103)(cid:321)5( )+𝑎15(cid:62)(cid:34)(cid:197)(cid:114)(cid:53)(cid:142)(cid:310)(cid:262)(cid:263)𝑎(cid:31)−(cid:60)1(cid:54)(cid:264)(cid:49)(cid:71) 𝑎 −2𝑎 𝑎
2
(cid:15) −1 (cid:160) 0𝑎 (cid:111)(cid:20)(cid:76)1(cid:77)(cid:111)(cid:10) 𝑎1−2 = 𝑎 3 7 =3 7= 3 7 (cid:62) 1 = 11 3 = 11 3= 11 3 (cid:62)
7 ( 7)(3 7) 2 11 ( 11 )( 11 3) 2
+ + + + + +
3− 3− + 9−7 −3 −3 + 11−9
3 7< 11 3 (cid:62)
2 2
+ +
∵ 1 < 1 (cid:138)
7 11
∴ (cid:161)3−(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10)−
<
3(cid:138)
(cid:76)2(cid:77)(cid:111)(cid:10) 1 + 1 + 1 + + 1
1 2 2 3 3 4 2024 2025
+ + + ⋯ +
= 2 + 3 2+ 4 3+ + 2025 2024
= 2−0215 − − ⋯⋯ −
科AA+
全
= −1 号★
众
公
注
关
，
源
=4454−(cid:138)1 辅 资
教
(cid:76)3(cid:77)(cid:111)(cid:10) = 2 = 2( 3 1) = 3+1(cid:62)
3 ( 3 )( 3 1)
+
∵𝑎 −1 −1 += 3(cid:62)
∴𝑎(−1 ) =3(cid:62)
2
∴ 𝑎−1 +1=3(cid:62)
2
∴𝑎 −2𝑎=2(cid:62)
2
∴𝑎5 −2𝑎 +15=5( )+15=5×2+15=25(cid:71)
2 2
∴(cid:15)(cid:170)𝑎 (cid:26)−150-𝑎2(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)𝑎 (cid:172)−2(cid:173)𝑎(cid:191)·(cid:16)(cid:322)(cid:323)(cid:155)·(cid:178)(cid:179)(cid:77)(cid:206)(cid:111)(cid:294)(cid:131)(cid:214)(cid:246)(cid:21)(cid:10)
(1)(cid:120)(cid:131)(cid:214)(cid:97)(cid:26)(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:10)
3 2=_________(cid:138) 5 3=_________(cid:138)
(①2)(cid:90)(cid:285)− 13 11(cid:115) 11② (cid:31)−(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:124)(cid:207)(cid:208)(cid:45)(cid:235)(cid:138)
(3)(cid:93)(cid:26)(cid:47) −+1 −(cid:42)3(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:95)__________(cid:62)(cid:104)(cid:26)(cid:47)(cid:31)(cid:34)(cid:18)(cid:51)(cid:95)__________(cid:71)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(1 𝑥 ) −1 𝑥(cid:138)− 1 2
3 2 5 3
(2) 13 11 ① < + 11 (cid:62) ② (cid:45)(cid:235)+(cid:209)(cid:111)(cid:152)
(3) −2 (cid:62) 2 −3
1
(cid:15)(cid:160) 𝑥 (cid:111) + (cid:20) + (cid:76) 𝑥− 1 1 (cid:77)(cid:111)(cid:10) 3 2=( 3 2)( 3 2)=( 3) ( 2) = 1 (cid:62)
3 2 3 2 2 2 3 2
+ − −
5 3= 5 3 ① 5 − 3 = 5 ( 3) + = 2 (cid:62) + +
5 3 5 2 3 2 5 3
+ − −
② − 1 +2 + +
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:62) (cid:138)
3 2 5 3
(cid:76)2(cid:77)(cid:111)(cid:10)(cid:235) + 13 11 + =( 13 11)( 13 11)= 2 (cid:62) 11 =( 11 9)( 11 9)= 2 (cid:62)
13 11 13 11 11 9 11 9
− + − +
(cid:315) 13+ 11> − 11+ 9(cid:62) + + −3 + +
∵ 2 < 2 (cid:71)
13 11 11 9
∴ 13 + 11< + 11 (cid:62)
(cid:76)∴ 3(cid:77)−(cid:111)(cid:10) +1 −3 =( 1 )( 1 )
1
𝑥+ + 𝑥−1 𝑥+ − 𝑥−1
( +1) 𝑥 ( − 𝑥)−1 𝑥+ + 𝑥−1
=
2 2
+1+
𝑥 − 𝑥−1
+ +1
=
𝑥 𝑥−1
科AA+
𝑥
+
1
1
−
+
𝑥 众
号★ 全
公
注
= 𝑥 2 (cid:62)𝑥−1资 源 ， 关
1 教 辅
+𝑥+1+ 𝑥0−1
(cid:62)
0
𝑥 ≥
∵ 𝑥−1≥1(cid:62)
∴𝑥≥ 2 2
(cid:84) =1(cid:88)(cid:62) (cid:44)(cid:34)(cid:18)(cid:51) = 2(cid:62)(cid:70) +1 (cid:44)(cid:34)(cid:18)(cid:51) 2(cid:62)
1 2
∴ 𝑥 𝑥+2 + 𝑥−1 𝑥 − 𝑥−1
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:62) 2(cid:71)
1
(cid:15)(cid:170)(cid:26)5-3(cid:20)𝑥(cid:76)+
2
+
4-
𝑥
2
−
5
1(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:16)(cid:322)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:324)(cid:325)(cid:131)(cid:318)(cid:305)(cid:306)(cid:10)
(cid:286)(cid:66)(cid:195)(cid:11)(cid:196)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:88)(cid:62)(cid:11)(cid:196)(cid:186)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:105)(cid:165)(cid:52)(cid:53)(cid:71)(cid:215)(cid:279)(cid:62)(cid:44)(cid:147)(cid:57)(cid:89)(cid:326)(cid:31)(cid:60)(cid:54)(cid:327)(cid:328)“(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)”(cid:138)(cid:119)(cid:42)(cid:43)
(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:89)(cid:326)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:115)(cid:42)(cid:47)(cid:329)(cid:27)(cid:105)(cid:42)(cid:47)(cid:31)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:330)(cid:182)(cid:331)(cid:332)(cid:42)(cid:47)(cid:96)(cid:31)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:90)(cid:73)(cid:10) 7 6=( 7 6)( 7 6)
7 6
− +
1 − +
= (cid:62)
7 6
(cid:42)(cid:47)(cid:44)+(cid:45)(cid:46)(cid:78)(cid:105)(cid:53)(cid:289)(cid:90)(cid:285)(cid:303)(cid:304)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:62)(cid:199)(cid:78)(cid:105)(cid:53)(cid:289)(cid:333)(cid:45)(cid:147)(cid:304)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:34)(cid:51)(cid:246)(cid:21)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:10)
(cid:90)(cid:285) 7 6(cid:115) 6 5(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:71)(cid:78)(cid:105)(cid:108)(cid:93)(cid:65)(cid:66)(cid:42)(cid:47)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:73)(cid:131)(cid:10)
7 6 − = 1 (cid:62)− 6 5= 1 (cid:62)
7 6 6 5
(cid:39)(cid:95) − 7+ 6 + > 6+ − 5(cid:62) 7 + 6< 6 5(cid:71)
(cid:113)(cid:72)(cid:73)(cid:10)(cid:50) = +2 −(cid:31)(cid:34)(cid:18)(cid:51)(cid:71)−(cid:328)(cid:54)(cid:73)(cid:131)(cid:10)
(cid:111)(cid:10)(cid:235) +2 𝑦 0(cid:62)𝑥 − 𝑥 0 −(cid:78)2(cid:190) 2(cid:62)(cid:182) = +2 = 4 (cid:62)
2
(cid:84) =2 𝑥 (cid:88)(cid:62)(cid:42) ≥ (cid:43) 𝑥− + 2 2 ≥ + 𝑥 (cid:44) ≥ (cid:34)(cid:136)(cid:51)2 𝑦 (cid:62)(cid:211)(cid:105) 𝑥 (cid:31) − (cid:34)(cid:18) 𝑥− (cid:51) 2 (cid:137)2(cid:71)𝑥+ + 𝑥−2
(cid:111)(cid:294)𝑥 (cid:131)(cid:318)(cid:246)(cid:21)(cid:10) 𝑥 𝑥−2 𝑦
(1)3 2 =(3 2 )( )=________(cid:138)
( )
−4
−4
(2)(cid:90)(cid:285) (cid:115) +1 (cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:138)
(3)(cid:50) =𝑎− 𝑎+−41 𝑎 +1−(cid:31)(cid:34)𝑎(cid:18)(cid:51)(cid:71)
𝑦 2𝑥 − 2𝑥 2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)(1)3 2+4(cid:62)3 2+4(cid:62)
3 2 4
+
(2) +1 <
(3) 𝑎3 − 𝑎 𝑎− 𝑎−1
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:137)(cid:230)(cid:120)(cid:42)(cid:43)(cid:96)(cid:31)(cid:25)(cid:9)(cid:46)(cid:140)(cid:71)(cid:199)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:71)
(3 2 )(3 2 4)
(cid:76)1(cid:77)(cid:114)(cid:53)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:116)(cid:81)3 2 = (cid:62)(cid:70)(cid:78)(cid:111)(cid:150)(cid:138)
−
3
4
2
全
4
+科AA+
号★
(cid:76)2(cid:77)(cid:93) (cid:170)(cid:103)(cid:95) ( 关 注 −4 )公( 众 ) (cid:62) + +1 (cid:170)(cid:103)(cid:95) ( 1 )( 1 ) (cid:62)(cid:114)(cid:53) +1+ > +
，
辅 资 源 𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1 𝑎+ − 𝑎 1 𝑎+ + 𝑎
教
> 𝑎 0 − (cid:70)(cid:334) 𝑎− (cid:217) 1 (cid:248)(cid:138) 𝑎+ 𝑎−1 𝑎 − 𝑎 𝑎+ + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎−11
(cid:76)3(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:116)(cid:81)(cid:235) +4 +1 0(cid:62)(cid:55) (cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:116)(cid:81) =
2
3 1 2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥ 𝑥≥− 𝑦
(cid:62)(cid:235)(cid:64) = (cid:88)(cid:62) +4+ +1(cid:44)(cid:34)(cid:136)(cid:51)3(cid:62)(cid:330)(cid:182)(cid:116)(cid:81)y(cid:31)(cid:34)(cid:18)(cid:51)(cid:71)
4 1 2
(cid:15) 2𝑥 (cid:160) + (cid:111) + (cid:20) 2𝑥 (cid:76) + 1(cid:77)(cid:111)(cid:10) 𝑥 3 2 − =(3 2 2 𝑥 4)(3 2 2𝑥 = 2 (cid:138)
3 2 4 3 2 4
+ −4)
(cid:76)2(cid:77)(cid:111)(cid:10) =
−
(
4
)(
+
)=
1+
(cid:62)
𝑎− 𝑎−1 𝑎+ 𝑎−1
+1 𝑎 = − ( 𝑎− 1 1 )( 1 𝑎+ )= 𝑎−1 1 (cid:62) 𝑎+ 𝑎−1
1 1
𝑎+ − 𝑎 𝑎+ + 𝑎
𝑎 + − 1+ 𝑎 > + 𝑎+ + 𝑎 >0(cid:62) 𝑎+ + 𝑎
∵ 𝑎1
<
𝑎 1 𝑎(cid:138) 𝑎−1
1
∴ 𝑎+ + + 1 𝑎 𝑎 < + 𝑎−1 (cid:138)
∴(cid:76)3𝑎(cid:77)(cid:111)(cid:10)− 𝑎 +4𝑎− 𝑎−1+1 0(cid:62)
1 ∵2𝑥 ≥0,2𝑥 ≥
(cid:62)
2
∴𝑥≥ = − +4 +1=( 4 1)( 4 1)= 3 (cid:62)
4 1 4 1
2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ − 2𝑥+
∵𝑦 2 1 𝑥 − 2𝑥 2𝑥+ + 2𝑥+ 2𝑥+ + 2𝑥+
= (cid:88)(cid:62) +4+ +1(cid:44)(cid:34)(cid:136)(cid:51) 3(cid:62)
2
∴𝑥 − 2𝑥 2𝑥 3
= +4 +1(cid:31)(cid:34)(cid:18)(cid:51)(cid:95) = 3(cid:71)
3
∴𝑦 2𝑥 − 2𝑥
【题型6 二次根式的乘除运算】
(cid:15)(cid:72)6(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:16)(cid:322)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:131)(cid:214)(cid:264)(cid:49)(cid:187)(cid:188)(cid:31)(cid:137)(cid:76) (cid:77)
A(cid:71)6÷ 2 × 3=3 B(cid:71) ( )×( )= ×
3
−9 −4 −9 −4
C(cid:71) + = + D(cid:71) ( ) =( 1.7)
2
2 2 2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)𝑎D 𝑏 𝑎 𝑏 −1.7
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:166)(cid:167)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:42)(cid:121)(cid:217)(cid:248)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)A(cid:37)6÷ 2 × 3=6× 3× 3=9(cid:62)(cid:269)(cid:162)(cid:92)(cid:244)(cid:245)(cid:62)(cid:122)(cid:243)(cid:261)(cid:21)(cid:154)(cid:138)
3 2
科AA+
全
号★
B(cid:37) ( )×( ) × (cid:62)公(cid:235)众(cid:64)(cid:63)(cid:9)(cid:335)(cid:320)(cid:67)(cid:68)(cid:60)(cid:69)(cid:137)(cid:107)(cid:69)(cid:62)(cid:122)(cid:243)(cid:261)(cid:21)(cid:154)(cid:138)
注
关
，
源
资
C(cid:37) −9 + 教−辅4 + ≠ (cid:62)−(cid:122)9 (cid:243)(cid:261)−(cid:21)4(cid:154)(cid:138)
2 2
𝑎 𝑏 ≠𝑎 𝑏
D(cid:37) ( ) =( 1.7) =1.7(cid:62)(cid:243)(cid:261)(cid:21)(cid:154)(cid:138)
2
2
−1.7(cid:161)(cid:162)(cid:10)D(cid:71)
6
(cid:15)(cid:170)(cid:26)6-1(cid:20)(cid:76)23-24(cid:171)(cid:172)(cid:173)·(cid:237)(cid:238)·(cid:133)(cid:178)(cid:94)(cid:336)(cid:77)(cid:264)(cid:49) 15÷4 3× (cid:31)(cid:158)(cid:159)(cid:137)(cid:76)(cid:247)(cid:247)(cid:77)
5
A(cid:71)1 B(cid:71)3 5 C(cid:71) 1 6 D(cid:71)3
4 4
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)C
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:323)(cid:337)(cid:115)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:109)(cid:110)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:269)(cid:26)= 5× 6
4 5
= 1 6(cid:71)
4
(cid:161)(cid:162)(cid:10)C(cid:71)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:119)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:137)(cid:166)(cid:167)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:115)
(cid:48)(cid:49)(cid:323)(cid:337)(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)6-2(cid:20)(cid:76)24-25(cid:249)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:174)(cid:175)(cid:338)(cid:265)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:264)(cid:49)(cid:10)
1
(1) 3 20+ 45 × 5(cid:138)
5
−
(2) 3 5 ÷ 4 (cid:138)
5 6 15 2
𝑏
2 3
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
(3)(cid:234)(cid:190) =5 +1(cid:62) =3 +3(cid:62) = + (cid:62)A(cid:37)B(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)(cid:125) + = (cid:62)(cid:50) (cid:71)
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)𝐴(1)442𝑥 𝐵 𝑥 𝐶 10𝑥 3𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 2𝑦−𝑥
(2) 15
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(3)14
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:37)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:119)(cid:46)(cid:35)(cid:37)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:63)(cid:190)(cid:319)(cid:163)(cid:62)(cid:339)
(cid:340)(cid:48)(cid:53)(cid:83)(cid:3)(cid:180)(cid:181)(cid:115)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:76)1(cid:77)(cid:108)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
(cid:76)2(cid:77)(cid:108)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:180)(cid:181)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:28)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:138)
(cid:76)3(cid:77)(cid:25)(cid:153)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:216)(cid:155)(cid:78)(cid:116) +1= +3(cid:62)(cid:78)(cid:116)(cid:10) =2(cid:62)(cid:109)(cid:182)(cid:78)(cid:116) =5 5(cid:37) =3 5(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:50)(cid:156)
2𝑥 𝑥 𝑥 𝐴 𝐵
=8 5= 320(cid:62)(cid:330)(cid:182)(cid:78)(cid:116) + =320(cid:62)(cid:109)(cid:182)(cid:78)(cid:116) =100(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:120)x(cid:62)y(cid:31)(cid:51)(cid:262)(cid:263) (cid:96)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
科AA+
号★ 全 2
𝐶
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:76)1(cid:77)(cid:111)(cid:10) 3 2 ， 0+关
10
注4
𝑥
5
公3𝑦众
1 × 5
𝑦 2𝑦−𝑥
资 源 5
辅
教
5 −
= 6 5+3 5 × 5
5
−44 5
= × 5
5
=44(cid:71)
(cid:76)2(cid:77)= 3 5 ÷ 4
5 6 15 2
2 3 𝑏
𝑎𝑏 ⋅ − 𝑎 𝑏 𝑎
3 5 4
= × ÷
5 6 15 2
2 3 𝑏
− 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
𝑎
1 4
= ÷ ÷
2 15 2
4 3 𝑏
− 𝑎 𝑏
1 15 𝑎
= × ×
2 4
4 3 𝑎
−15 𝑎 𝑏 2
= 𝑏
8
5
− 𝑎 𝑏
= 15 (cid:71)
82
𝑎
− 𝑎𝑏
(cid:76)3(cid:77)(cid:111)(cid:10) A(cid:37)B(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:62)
+1=∵ +3(cid:62)(cid:78)(cid:116)(cid:10) =2(cid:62)
∴2𝑥=5 5(cid:37)𝑥 =3 5(cid:62) 𝑥
∴𝐴+ = (cid:62)𝐵
∵𝐴=𝐵8 5𝐶= 320(cid:62)
∴𝐶
= + (cid:62)
∵𝐶 + 10𝑥 =3 3 2 𝑦 0(cid:62)
∴1200𝑥+ 3𝑦=320(cid:62)
∴(cid:111)(cid:116)(cid:10)3𝑦=100(cid:62)
𝑦
= 2× 2 196=14(cid:62)
2 2
∴ 2𝑦−𝑥 100− −
(cid:31)(cid:51)(cid:95)14(cid:71)
2
科AA+
∴(cid:15)(cid:170) 2𝑦 (cid:26) −𝑥 6-3(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:280)(cid:16)(cid:341)(cid:342)号·(cid:224)★(cid:225) 全 (cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:343)(cid:60)(cid:137)(cid:147)(cid:258)(cid:344)(cid:345)(cid:346)(cid:347)(cid:62)(cid:89)(cid:90)(cid:343)(cid:60)(cid:62)(cid:286)(cid:66)(cid:348)(cid:156)(cid:73)(cid:349)(cid:211)(cid:350)(cid:31)
众
公
注
关
，
源
(cid:60)(cid:351)(cid:62)(cid:184)(cid:139)(cid:60)(cid:351)辅(cid:96)(cid:352)资(cid:353)(cid:37)(cid:354)(cid:353)(cid:165)(cid:135)(cid:355)(cid:356)(cid:60)(cid:353)(cid:191)(cid:31)(cid:279)(cid:69)(cid:83)(cid:27)(cid:31)(cid:158)(cid:159)(cid:329)(cid:83)(cid:63)(cid:62)(cid:55)( + ) + (cid:31)(cid:51)(cid:95) (cid:71)
教
𝐴 𝐵 ⋅𝐷 𝐶
5 2
𝐴 𝐵5 10
𝐶
2 10
𝐷
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)12+ 5/ 5+12
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:108)(cid:25)(cid:153)(cid:343)(cid:60)(cid:357)(cid:55)(cid:115)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:260)(cid:261)(cid:48)(cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:50)(cid:116)A(cid:37)B(cid:37)C(cid:37)D(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:262)
(cid:51)(cid:50)(cid:111)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) (cid:60)(cid:351)(cid:96)(cid:352)(cid:353)(cid:37)(cid:354)(cid:353)(cid:165)(cid:135)(cid:355)(cid:356)(cid:60)(cid:353)(cid:191)(cid:31)(cid:279)(cid:69)(cid:83)(cid:27)(cid:31)(cid:158)(cid:159)(cid:329)(cid:83)(cid:63)(cid:62)
= 2× 10×5∵2=2 5(cid:62)
5× 2
∴𝐴
= 2× 10×5 2=1(cid:62)
10× 10
𝐵
= 2× 10×5 2=2(cid:62)
5× 10
𝐶
= 2× 10×5 2= 5(cid:62)
10× 2
𝐷
( + ) +
=∴ 𝐴2 5𝐵+⋅1𝐷 ×𝐶5+2
=10+ 5+2
=12+ 5(cid:71)
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10)12+ 5(cid:71)
【题型7 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:72)7(cid:20)(cid:234)(cid:190) 4+ 9+ = (cid:62)(cid:55) 4+ + 9+ (cid:31)(cid:51)(cid:95) (cid:71)
2 2 2 2
5 𝑥 − 𝑥 −4 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)
4
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:25)(cid:153) 4+ 9+ (cid:119) 4+ + 9+ (cid:40)(cid:95)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:50)(cid:116)
2 2 2 2
𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥 5
4+ + 9+ 4+ 9+ = (cid:62)(cid:70)(cid:78)(cid:50)(cid:116) 4+ + 9+ = (cid:71)
4
2 2 2 2 2 2
(cid:15)(cid:160)(cid:111)𝑥(cid:20)(cid:111)(cid:10) 𝑥 4+ + 𝑥 9 − + 𝑥 4+ −5 9+ =(4+ 𝑥 ) (9+ 𝑥 )=4+ = (cid:62)
2 2 2 2 2 2 2 2
4+ 9+∵ = 𝑥(cid:62) 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 −9−𝑥 −5
2 2
4𝑥+− + 9𝑥+ −4×( )= (cid:62) 科AA+
全
2 2 众
号★
∴ 𝑥 𝑥 5 −4 注−公5
4+ + 9+ = (cid:62)， 关
资
源4
辅
2 教 2
∴ 𝑥 𝑥
5
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10) (cid:71)
4(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:165)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)7-1(cid:20)(cid:76)23-24(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:174)(cid:175)(cid:358)(cid:213)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:234)(cid:190) 1 =2(cid:62)(cid:55) + 1 (cid:51)(cid:95)(cid:76) (cid:77)
A(cid:71)2 2 B(cid:71)±2 2 C(cid:71)2 3 𝑎− 𝑎 D(cid:71)± 𝑎 2 3 𝑎
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)A
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:25)(cid:153) 1 =2(cid:79)(cid:156) + 1 >0(cid:62)(cid:113)(cid:93) + 1 (cid:46)(cid:95)
𝑎− 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1
+4(cid:62)(cid:34)(cid:197)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:71)(cid:166)(cid:167)(cid:83)(cid:52)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:180)(cid:181)(cid:165)(cid:7)(cid:26)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
2
(cid:15)(cid:160) 𝑎 (cid:111) − (cid:20) 𝑎 (cid:111)(cid:10) 1 =2(cid:62)
0(cid:125) 0 ∵ (cid:62) 𝑎− 𝑎
∴𝑎≥>0(cid:62)𝑎≠
∴𝑎 >0(cid:62)
∴ 𝑎 + 1 >0(cid:62)
∴ 𝑎 𝑎
+ 1 = + 1 = 1 +4= 2 +4=2 2(cid:62)
2 2
2
∴ 𝑎 1𝑎 𝑎 𝑎 𝑎− 𝑎
+ (cid:51)(cid:95)2 2(cid:71)
∴ (cid:161)(cid:162) 𝑎 (cid:10)A 𝑎(cid:71)
(cid:15)(cid:170)(cid:26)7-2(cid:20)(cid:108)(cid:46)(cid:35)(cid:62)(cid:113)(cid:50)(cid:51)(cid:10) ( ÷ 1 )(cid:62)(cid:215)(cid:96)(cid:279)(cid:69)x(cid:37)y(cid:359)(cid:360) = + +2(cid:71)
𝑥 𝑦
2𝑥⋅ 𝑦⋅ 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥−3 6−2𝑥
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) (cid:62)2 3
2𝑥𝑦
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:108)(cid:25)(cid:153)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:50)(cid:156)x(cid:62)y(cid:31)(cid:51)(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:120)(cid:211)(cid:348)(cid:262)(cid:69)(cid:26)(cid:46)(cid:35)(cid:197)(cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:49)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:235)(cid:21)(cid:154)(cid:116) (cid:62)(cid:111)(cid:116) =3(cid:62)(cid:64)(cid:137) =2(cid:62)
𝑥−3⩾0
(cid:269)(cid:26)= 2 6−2𝑥⩾0 𝑥 𝑦
2 2
𝑥 𝑦
∴ 𝑦 ⋅ 𝑥
2
= = .
2 2
𝑥 𝑦
(cid:269)(cid:26)𝑦
=
⋅
2
𝑥
×3×
2
2
𝑥 𝑦
=2 3.
∴(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:44)(cid:154)(cid:155)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:62)(cid:105)
科
(cid:165)
A
(cid:23)
A
(cid:24)+(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:46)(cid:35)(cid:50)(cid:51)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:48)(cid:49)(cid:54)(cid:55)(cid:137)
全
号★
众
(cid:111)(cid:150)(cid:168)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71) 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:170)(cid:26)7-3(cid:20)(cid:226)(cid:361)(cid:57)(cid:187)(cid:69)a(cid:62)b(cid:62)c(cid:359)(cid:360)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:362)0(cid:62)(cid:55) (cid:31)(cid:51)(cid:137) (cid:71)
𝑎+ 𝑏
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)1 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:25)(cid:153)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:7)(cid:26)(cid:109)(cid:110)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:92)(cid:93)(cid:269)(cid:26)(cid:366)(cid:29)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:7)(cid:26)(cid:62)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:156)(cid:150)(cid:151)(cid:187)(cid:69)(cid:71)
(cid:15)(cid:111)(cid:150)(cid:20)(cid:111)(cid:10)a+4 +3b﹣2 ﹣c(cid:362)0(cid:62)
+4 + ( 𝑎+𝑏2 + 𝑏)𝑐=0(cid:62)
𝑎 𝑎𝑏 4𝑏− 𝑏 𝑏𝑐 𝑐
+2 = + (cid:62)
2 2
a(cid:62)𝑎 b(cid:62)c𝑏(cid:137)(cid:187)(cid:69)(cid:62)𝑏 𝑐
∵ +2 = + (cid:62)
∴ 𝑎+ 𝑏= 𝑏(cid:62) 𝑐
∴ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 1(cid:71)
𝑎+ 𝑏 𝑐
∴ (cid:161)(cid:150)𝑐(cid:151)(cid:95)(cid:10)𝑐1(cid:71)
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:7)(cid:26)(cid:31)(cid:52)(cid:53)(cid:62)(cid:166)(cid:167)(cid:367)(cid:60)(cid:54)(cid:62)(cid:115)(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:7)(cid:26)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
【题型8 实数范围内分解因式】
(cid:15)(cid:72)8(cid:20)(cid:195)(cid:279)(cid:69)(cid:274)(cid:275)(cid:36)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:10) (cid:71)
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)( +2 3)( 3)𝑥 −6𝑥−3
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:25)𝑥−(cid:153)3(cid:236)(cid:237)(cid:59)(cid:60)(cid:7)𝑥−(cid:26)3−(cid:115)2(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:50)(cid:111)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)
2
= + 𝑥 −6𝑥−3
2
=𝑥 −6𝑥 9−9−3
2
(𝑥−3) −12
= (2 3)
2
2
=((𝑥−3)+−2 3)( 3)(cid:71)
𝑥−3 𝑥−3−2
(cid:15)(cid:163)(cid:164)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:195)(cid:279)(cid:69)(cid:274)(cid:275)(cid:36)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:189)(cid:368)(cid:7)(cid:26)(cid:62)(cid:101)(cid:93)12(cid:102)(cid:29)(2 3) (cid:137)(cid:114)(cid:53)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
2
(cid:15)(cid:170)(cid:26)8-1(cid:20)(cid:76)2025·(cid:222)(cid:369)(cid:370)(cid:213)·(cid:361)(cid:312)(cid:77)(cid:195)(cid:279)(cid:69)(cid:274)(cid:275)(cid:36)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:10)2 = (cid:71)
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)2( +2 2)( 2) 𝑎 −16
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)𝑎(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:39)𝑎−(cid:26)2(cid:42)(cid:111)(cid:62)(cid:371)(cid:261)(cid:48)(cid:53)(cid:372)(cid:7)(cid:39)(cid:26)(cid:54)(cid:119)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:62)(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:31)(cid:129)(cid:130)(cid:147)(cid:148)(cid:137)(cid:10)(cid:108)(cid:145)(cid:373)(cid:372)(cid:7)
(cid:39)(cid:26)(cid:54)(cid:62)(cid:215)(cid:24)(cid:145)(cid:373)(cid:7)(cid:26)(cid:54)(cid:62)(cid:126)(cid:137)(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:31)(cid:56)(cid:258)(cid:374)(cid:168)(cid:31)(cid:60)(cid:54)(cid:71)
科AA+
全
(cid:108)(cid:372)(cid:7)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:113)(cid:114)(cid:53)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:109)号(cid:110)(cid:42)★(cid:111)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
众
公
注
关
，
源
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)2辅 资 =2( )=2( +2 2)( 2)
教
2 2
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10)2( 𝑎+−2126)( 𝑎 2−)8(cid:71) 𝑎 𝑎−2
𝑎 𝑎−2(cid:15)(cid:170)(cid:26)8-2(cid:20)(cid:76)2025·(cid:222)(cid:369)(cid:375)(cid:376)·(cid:147)(cid:312)(cid:77)(cid:195)(cid:279)(cid:69)(cid:274)(cid:275)(cid:36)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:10)4 = (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)4 + 6 6 𝑥 −6𝑦
2 2
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)𝑥 (cid:145)(cid:185)𝑦(cid:186)(cid:39)𝑥−(cid:26)(cid:42)𝑦(cid:111)(cid:31)(cid:60)(cid:54)(cid:62)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)(cid:372)(cid:7)(cid:39)(cid:26)(cid:54)(cid:115)(cid:7)(cid:26)(cid:54)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:137)(cid:168)(cid:21)(cid:31)(cid:111)(cid:21)
(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:108)(cid:372)(cid:377)(cid:7)(cid:39)(cid:26)(cid:62)(cid:302)(cid:197)(cid:53)(cid:59)(cid:60)(cid:270)(cid:7)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)4 =4 3 =4 + 6 6 (cid:62)
2 2 2
2 2 2 2
𝑥 −6𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥− 𝑦
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10)4 + 6 6 (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:170)(cid:26)8-3(cid:20)(cid:76)𝑥 2024· 𝑦(cid:191)(cid:265) 𝑥 (cid:378) − (cid:379)· 𝑦 (cid:361)(cid:312)(cid:77)(cid:195)(cid:279)(cid:69)(cid:274)(cid:275)(cid:36)(cid:42)(cid:111)(cid:39)(cid:26)(cid:62) +1= (cid:71)
2 2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20) 3 5 5 𝑥 𝑦 −3𝑥𝑦
2 2
+ 3−
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168) 𝑥 (cid:21) 𝑦− (cid:145)(cid:185)(cid:39)(cid:26)𝑥𝑦(cid:42)−(cid:111)(cid:62)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:62)(cid:189)(cid:210)(cid:166)(cid:167)(cid:7)(cid:26)(cid:54)(cid:109)(cid:110)(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:137)(cid:111)(cid:294)(cid:168)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)(cid:25)(cid:153)(cid:21)
(cid:154)(cid:62)(cid:114)(cid:53)(cid:380)(cid:381)(cid:83)(cid:27)(cid:39)(cid:26)(cid:42)(cid:111)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10) +1
2 2
𝑥 𝑦3−+3𝑥5𝑦 5
=( ) + ×
2 2
2 3−
𝑥𝑦 −3𝑥𝑦
= 3 5 5 (cid:71)
2 2
+ 3−
𝑥𝑦− 𝑥𝑦−
【题型9 二次根式乘除的应用】
(cid:15)(cid:72)9(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:80)(cid:175)(cid:80)(cid:213)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:73)(cid:349)(cid:62)(cid:44)(cid:147)(cid:382)(cid:320)(cid:383)(cid:95) 6 3cm (cid:31)(cid:187)(cid:60)(cid:103)(cid:384)(cid:385)(cid:62)(cid:242)(cid:93)(cid:104)(cid:384)(cid:385)(cid:31)(cid:250)
(cid:57)(cid:355)(cid:386)(cid:332)(cid:62)(cid:387)(cid:94)(cid:147)(cid:57)(cid:44)(cid:388)(cid:375)(cid:389)(cid:31)(cid:383)(cid:60)(cid:310)(cid:390)(cid:47)(cid:62)(cid:386)(cid:332)(cid:31)(cid:250)(cid:57)(cid:355)(cid:137)(cid:86)(cid:61)(cid:83)(cid:63)(cid:31)(cid:136)(cid:187)(cid:60)(cid:103)(cid:62)(cid:391)(cid:57)(cid:136)(cid:187)(cid:60)(cid:103)(cid:31)(cid:320)(cid:383)
(cid:95) 3cm(cid:71)(cid:50)(cid:386)(cid:332)(cid:250)(cid:57)(cid:355)(cid:197)(cid:62)(cid:387)(cid:94)(cid:383)(cid:60)(cid:310)(cid:390)(cid:47)(cid:31)(cid:384)(cid:385)(cid:31)(cid:86)(cid:61)(cid:71)
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)96cm 科AA+
全
2 号★
众
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:183)(cid:184)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:48)公(cid:49)(cid:31)(cid:52)(cid:53)(cid:62)(cid:392)(cid:188)(cid:31)(cid:264)(cid:49)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)(cid:114)(cid:53)(cid:18)(cid:187)(cid:60)(cid:103)(cid:31)(cid:86)(cid:61)(cid:365)(cid:140)(cid:250)(cid:57)(cid:136)
注
关
，
源
资
辅
(cid:187)(cid:60)(cid:103)(cid:31)(cid:86)(cid:61)教(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:156)(cid:150)(cid:151)(cid:138)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:235)(cid:21)(cid:154)(cid:62)(cid:116) (6 3) ×( 3) =96(cm )
2 2
2
−4(cid:161)(cid:386)(cid:332)(cid:250)(cid:57)(cid:355)(cid:197)(cid:62)(cid:387)(cid:94)(cid:383)(cid:60)(cid:310)(cid:390)(cid:47)(cid:31)(cid:384)(cid:385)(cid:31)(cid:86)(cid:61)(cid:95)96cm
2
(cid:15)(cid:170)(cid:26)9-1(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:191)·(cid:393)(cid:213)(cid:394)(cid:395)·(cid:178)(cid:179)(cid:77)“(cid:265)(cid:396)(cid:397)(cid:222)(cid:398)(cid:62)(cid:399)(cid:400)(cid:18)(cid:401)(cid:212)(cid:71)”(cid:265)(cid:401)(cid:31)(cid:18)(cid:136)(cid:119)(cid:399)(cid:402)(cid:115)(cid:399)(cid:403)(cid:44)(cid:291)
(cid:18)(cid:31)(cid:3)(cid:87)(cid:62)(cid:53)(cid:399)(cid:402)(cid:404)(cid:264)(cid:399)(cid:403)(cid:31)(cid:405)(cid:53)(cid:7)(cid:26)(cid:95) = (cid:62)(cid:215)(cid:96) (cid:95)(cid:399)(cid:403)(kN m )(cid:62)v(cid:95)(cid:399)(cid:402)(m/s)(cid:62)(cid:84)(cid:399)(cid:403)(cid:95)
16020
𝑣
2
𝑤𝑝 𝑤𝑝
0.25kN/m (cid:88)(cid:62)(cid:404)(cid:264)(cid:399)(cid:402)(cid:95) m s(cid:71)
2
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)20
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:186)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:27)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:62)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:96)(cid:31)(cid:405)(cid:53)(cid:7)(cid:26)(cid:406)(cid:350)(cid:156)(cid:399)(cid:402)(cid:31)(cid:406)(cid:407)(cid:26)(cid:62)(cid:50)(cid:111)(cid:70)(cid:78)(cid:116)(cid:156)(cid:150)(cid:151)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111)(cid:10)(cid:235)(cid:21)(cid:96)(cid:348)(cid:156)(cid:31)(cid:7)(cid:26)(cid:78)(cid:190)(cid:62)
(cid:84)(cid:399)(cid:403)(cid:95)0.25kN/m (cid:88)(cid:62)(cid:399)(cid:402)(cid:95) = 1600×0.25=20(m/s)(cid:62)
2
(cid:161)(cid:150)(cid:151)(cid:95)(cid:10)20(cid:71) 𝑣
(cid:15)(cid:170)(cid:26)9-2(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:408)(cid:409)(cid:410)(cid:411)·(cid:178)(cid:96)(cid:77)(cid:412)(cid:413)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:137)(cid:230)(cid:412)(cid:413)(cid:330)(cid:68)(cid:417)(cid:414)(cid:413)(cid:81)(cid:236)(cid:237)(cid:418)(cid:419)(cid:211)(cid:110)(cid:420)(cid:31)(cid:415)(cid:416)(cid:62)
(cid:65)(cid:421)(cid:52)(cid:186)(cid:412)(cid:413)(cid:31)(cid:387)(cid:422)(cid:180)(cid:101)(cid:115)(cid:110)(cid:420)(cid:231)(cid:237)(cid:180)(cid:62)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:423)(cid:424)(cid:62)(cid:207)(cid:208)(cid:412)(cid:413)(cid:31)(cid:387)(cid:422)(cid:180)(cid:101)(cid:423)(cid:292)(cid:62)(cid:110)(cid:420)(cid:423)(cid:231)(cid:237)(cid:62)(cid:414)(cid:413)(cid:415)
(cid:416)(cid:119)(cid:110)(cid:420)(cid:402)(cid:425)(cid:298)(cid:299)(cid:31)(cid:3)(cid:87)(cid:78)(cid:105)(cid:406)(cid:350)(cid:95)(cid:7)(cid:26) =16 (cid:62)(cid:215)(cid:96)v(cid:406)(cid:350)(cid:413)(cid:426)(cid:110)(cid:420)(cid:402)(cid:425)(cid:76)(cid:91)(cid:321)km/h(cid:77)(cid:62) (cid:406)(cid:350)(cid:414)(cid:413)
(cid:197)(cid:413)(cid:427)(cid:428)(cid:201)(cid:31)(cid:415)(cid:416)(cid:76)(cid:91)(cid:321)m(cid:77)f(cid:406)(cid:350)(cid:422)(cid:429)(cid:430)𝑣(cid:39)(cid:69)(cid:62)(cid:25) 𝑑 (cid:153) 𝑓 (cid:286)(cid:238)(cid:238)(cid:431)(cid:432)(cid:392)(cid:62)100(cid:7)(cid:253)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:195)42(cid:433)(cid:105)𝑑(cid:36)(cid:137)(cid:90)(cid:285)
(cid:434)(cid:435)(cid:31)(cid:62)(cid:76)100(cid:7)(cid:253)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:406)(cid:350)(cid:412)(cid:413)(cid:110)(cid:420)(cid:402)(cid:425)100km/h(cid:31)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:77)(cid:62)(cid:153)(cid:436)(cid:437)(cid:62)(cid:303)(cid:412)(cid:413)(cid:31)(cid:422)(cid:429)(cid:430)(cid:39)(cid:69)
=1.25(cid:62)(cid:438)(cid:217)(cid:248)(cid:104)(cid:412)(cid:413)(cid:31)100(cid:7)(cid:253)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:137)(cid:439)(cid:243)(cid:261)(cid:286)(cid:238)(cid:31)(cid:434)(cid:435)(cid:432)(cid:392)(cid:71)
(cid:15)𝑓 (cid:150)(cid:151)(cid:20)(cid:104)(cid:412)(cid:413)(cid:31)100(cid:7)(cid:253)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:243)(cid:261)(cid:286)(cid:238)(cid:31)(cid:434)(cid:435)(cid:432)(cid:392)
(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)(cid:168)(cid:21)(cid:145)(cid:185)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:31)(cid:279)(cid:440)(cid:52)(cid:53)(cid:62)(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:50)(cid:156)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:137)(cid:111)(cid:21)(cid:31)(cid:3)(cid:169)(cid:71)
(cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:62)(cid:262)(cid:263)(cid:69)(cid:153)(cid:264)(cid:49)(cid:70)(cid:78)(cid:71)
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)(cid:111) (cid:25)(cid:153)(cid:21)(cid:154)(cid:116)100=16 (cid:62)
125∶ 1.25𝑑
(cid:111)(cid:116) = (cid:62)
4
𝑑
125 <42(cid:62)
4
∵
(cid:104)(cid:412)(cid:413)(cid:31)100(cid:7)(cid:253)(cid:414)(cid:413)(cid:415)(cid:416)(cid:243)(cid:261)(cid:286)(cid:238)(cid:31)(cid:434)(cid:435)(cid:432)(cid:392)(cid:71)
(cid:15)∴(cid:170)(cid:26)9-3(cid:20)(cid:76)24-25(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:131)·(cid:254)(cid:255)(cid:18)(cid:441)·(cid:224)(cid:225)(cid:210)(cid:196)(cid:77)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:446)(cid:215)(cid:447)(cid:448)(cid:62)(cid:137)(cid:286)(cid:66)(cid:99)(cid:100)(cid:449)(cid:134)(cid:31)(cid:110)(cid:95)(cid:71)(cid:153)(cid:450)(cid:451)(cid:62)
(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:131)(cid:452)(cid:31)(cid:88)(cid:299)t(cid:76)(cid:91)(cid:321)(cid:10)s(cid:77)(cid:115)(cid:442)(cid:425)h(cid:76)(cid:91)(cid:321)(cid:10)m(cid:77)(cid:453)(cid:326)(cid:359)(cid:360)(cid:7)(cid:26) = (cid:76)(cid:122)(cid:145)(cid:373)(cid:399)(cid:402)(cid:31)(cid:454)(cid:455)(cid:77)(cid:71)(cid:456)(cid:330)
5
科AA+ ℎ
m)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:81)(cid:452)(cid:149)(cid:211)(cid:457)(cid:88)(cid:299)(cid:95)
(cid:62)众(cid:330)号★
m
全
)(cid:442)(cid:443)(cid:444)(cid:445)(cid:81)(cid:452)(cid:149)(cid:211)(cid:457)(cid:88)(cid:299)
𝑡
(cid:95) (cid:62)(cid:55) (cid:31)(cid:51)(cid:95)(cid:76) (cid:77)
公
注
， 关 𝑡2
源
𝑎( 教 辅 资 𝑡1 2𝑎( 𝑡2 𝑡1
2 2 5
A(cid:71) 2 B(cid:71) 5 C(cid:71) D(cid:71)
2 5
(cid:15)(cid:150)(cid:151)(cid:20)A(cid:15)(cid:42)(cid:152)(cid:20)本题考查了二次根式的应用，根据题意求出 、 ，再计算 与 的比值即可得解．正确进行计算
是解此题的关键． 𝑡1 𝑡2 𝑡2 𝑡1
(cid:15)(cid:160)(cid:111)(cid:20)解：由题意得： = ÷ = 5 = 2，
𝑡2 2 5 𝑎 𝑎 5 2 5 𝑎
故选：A．
𝑡1 ⋅𝑎
科AA+
全
号★
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
