2016年中考数学复习专题2：二次根式_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学8上_复习资料

专题 05 二次根式 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 二次根式有意义的条件是被开方数大于或 a(a 0) 1.二次根式：式子 叫做二次根式． 等于0. 二次根 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式 式的有 2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式 （分母中不应含有根号）； 关概念 是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根 （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或 式，叫做最简二次根式． 因式，即被开方数的因数或因式的指数都 为1. 先把所有的二次根式化成最简二次根式； 3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 再根据被开方数是否相同来加以判断．要 相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 注意同类二次根式与根号外的因式无关． a a （1） ≥ 0（ ≥0）； ( a)2  a(a 0) （2） a (a0) 二次根 a2  a  式的性 a (a0) 要熟练掌握被开方数是非负数 （3） 质 ab  a b(a0,b0) （4） a a  (a0,b0) b b （5） （1）．二次根式的加减法 （2）．二次根式的乘除法 二次根式 ab 二次根式的加减法就是把同类二次根式进 的运算 二次根式的乘法：·＝ （a≥0，b≥0）． 行合并； a 二次根式的乘除法要注意运算的准确性. b 二次根式的除法：＝ （a≥0，b＞0） ☞2年中考 【2015年题组】 3 5 1．（2015贵港）计算 的结果是（ ）8 15 3 5 5 3 A． B． C． D． 【答案】B． 考点：二次根式的乘除法． x1 2．（2015徐州）使 有意义的x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0 【答案】B． 【解析】 x1 试题分析：∵ 有意义，∴x﹣1≥0，即x≥1．故选B． 考点：二次根式有意义的条件． 3．（2015扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ） 1 30 12 8 2 A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】 试题分析：A．符合最简二次根式的定义，故本选项正确； B． 12 2 3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； C． 82 2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； 1 2  D． 2 2 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选A． 考点：最简二次根式． 3 4．（2015凉山州）下列根式中，不能与 合并的是（ ） 1 1 2 3 3 3 12 A． B． C． D． 【答案】C．考点：同类二次根式． 5．（2015宜昌）下列式子没有意义的是（ ） 3 0 2 (1)2 A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】 3 试题分析：A． 没有意义，故A符合题意； 0 B． 有意义，故B不符合题意； 2 C． 有意义，故C不符合题意； (1)2 D． 有意义，故D不符合题意； 故选A． 考点：二次根式有意义的条件． 6．（2015潜江）下列各式计算正确的是（ ） 2 3 5 4 33 31 2 33 3  6 3 27  33 A． B． C． D． 【答案】D． 考点：1．二次根式的乘除法；2．二次根式的加减法． 7．（2015滨州）如果式子 2x6 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：由题意得，2x+6≥0，解得，x≥﹣3，故选C． 考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．二次根式有意义的条件．   m n (mn)   m n (mn) 8．（2015钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n= ，计算 （3※2）×（8※12）的结果为（ ） 24 6 2 5 A． B．2 C． D．20 【答案】B． 【解析】 3 2 8 12 2( 2 3) 试题分析：∵3＞2，∴3※2= ，∵8＜12，∴8※12= = ，∴ 3 2 2( 2 3) （3※2）×（8※12）=（ ）× =2．故选B． 考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义． x2 3 (74 3)x2 (2 3)x 3 9．（2015孝感）已知 ，则代数式 的值是（ ） 3 2 3 2 3 A．0 B． C． D． 【答案】C． 【解析】 x2 3 (74 3)x2 (2 3)x 3 试 题 分 析 ： 把 代 入 代 数 式 得 ： (74 3)(2 3)2 (2 3)(2 3) 3 (74 3)(74 3)43 3 = = 49481 3 2 3 = ．故选C． 考点：二次根式的化简求值． 1a2 (a2)2 1a 0 10．（2015荆门）当 时，代数式 的值是（ ） A．1 B．1 C．2a3 D．32a 【答案】B．考点：二次根式的性质与化简． 1  x 11．（2015随州）若代数式 x1 有意义，则实数x的取值范围是（ ） x1 x0 x0 x0 x1 A． B． C． D． 且 【答案】D． 【解析】 x10 1  x  试题分析：∵代数式 x1 有意义，∴ x0 ，解得 x0 且 x1 ．故选D． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． 51 51 12．（2015淄博）已知x= 2 ，y= 2 ，则 x2 xy y2 的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B． 【解析】 51 51 51 51 (  )2   试题分析：原式= (x y)2 xy = 2 2 2 2 = ( 5)2 1 = 51 =4． 故选B． 考点：二次根式的化简求值． 1 8  18 2 13．（2015朝阳）估计 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】B． 【解析】 1 1 8 3 2 8  18 2 23 2 23 2 2 试题分析：原式= = ，∵6＜ ＜7，∴ 的运算结 果在6和7两个连续自然数之间，故选B． 考点：1．估算无理数的大小；2．二次根式的乘除法． 5 15 3 14．（2015南京）计算 的结果是 ． 【答案】5． 考点：二次根式的乘除法．1 182 2 15．（2015泰州）计算： 等于 ． 2 2 【答案】 ． 【解析】 2 3 22 2 3 2 2 2 2 2 2 试题分析：原式= = ．故答案为： ． 考点：二次根式的加减法． (x3)2 3x 16．（2015日照）若 ，则x的取值范围是 ． 【答案】x≤3． 【解析】 (x3)2 3x 试题分析：∵ ，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3． 考点：二次根式的性质与化简． y  x3 3x 2 xy 17．（2015攀枝花）若 ，则 = ． 【答案】9． 【解析】 y  x3 3x 2 x30 3x0 试题分析： 有意义，必须 ， ，解得：x=3，代入得： xy 32 y=0+0+2=2，∴ = =9．故答案为：9． 考点：二次根式有意义的条件． a2  ab 18．（2015毕节）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 = ． b 【答案】 ． 考点：1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简． x 19．（2015葫芦岛）若代数式 x1 有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x≥0且x≠1． 【解析】x x1 试题分析：∵ 有意义，∴x≥0，x﹣1≠0，∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠1．故答案为： x≥0且x≠1． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． 3   1 3  6  2 2   2 20．（2015陕西省）计算： ． 8 2 【答案】 ． 【解析】 试题分析：根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可．  362 28 3 22 28 8 2 试题解析：原式= = = ． 考点：1．二次根式的混合运算；2．负整数指数幂． 1 ( 31)( 31) 24( )0 21．（2015大连）计算： 2 ． 12 6 【答案】 ． 考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂． 22．（2015山西省）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务． 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 【答案】1，1． 【解析】 试题分析：分别把1、2代入式子化简即可． 1 1 5 1 5 1 (  )  5 5 2 2 5 试题解析：第1个数，当n=1时，原式= = =1． 1 1 5 1 5 1 62 5 62 5 [( )2 ( )2] [  ] 5 2 2 5 4 4 第 2 个数，当 n=2 时，原式= = =1  5 5 =1． 考点：1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题． 【2014年题组】 1．（2014年四川甘孜中考）使代数式 有意义的x的取值范围是（ ） A．x≥0B． ﹣5≤x＜5 C． x≥5 D．x≥﹣5 【答案】D． 【解析】 试题分析：由题意得，x+5≥0，解得x≥﹣5．故选D． 考点：二次根式有意义的条件． x1 (x3)2 2.（2014年潍坊中考）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ） A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3 【答案】D． 考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件． 2x12y12 0 xy 3.（2014年镇江中考） 若x、y满足 ，则 的值等于（ ） 3 5 A.1 B.2 C.2 D.2 【答案】B． 【解析】  1  2x10 x   2 1 3 试题分析：∵ 2x12y12 0 ，∴  2y12 0  y1 ∴ xy 2 1 2． 故选B． 考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值． 4.（2014年甘肃白银中考）下列计算错误的是（ ） A. • = B. + = C. ÷ =2 D. =2 【答案】B． 【解析】 2 3  6 2 3 试题分析：A、  ，计算正确；B、 ，不能合并，原题计算错误；C、12 3  4 2 8 2 2 ，计算正确；D、 ，计算正确． 故选B． 考点：二次根式的混合运算． 5.（2014年山东省聊城市中考）下列计算正确的是（ ） A．2 ×3 =6 B. + = C. 5 ﹣2 =3 D . ÷ = 【答案】D． 【解析】 2 33 3 23318 试题分析：A、 ，故A错误；B、不是同类二次根式，不能相加，故B 2 6 2 3   3 3 错误；C、不是同类二次根式，不能相减，故C错误；D、 ，故D正确；故 选D． 考点：二次根式的加减法、乘除法． 3 6.（2014年湖南常德中考）下列各式与 是同类二次根式的是（ ） 8 24 125 12 A． B． C． D． 【答案】D． 考点：同类二次根式． x  3+ 2，x  3- 2 7.（2014年凉山中考）已知 1 2 ，则x12+x22= ． 【答案】10． 【解析】 x  3+ 2，x  3- 2 试 题 分 析 ： ∵ 1 2 ， ∴ x12+x22= （ x1+x2 ） 2﹣2x1x2=  2    3+ 2 3- 2 2 3+ 2 3+ 2 12210 ． 考点：二次根式的混合运算．8.（2014年哈尔滨中考）计算： = ． 3 【答案】 ． 【解析】 12 3 3 3 3 试题分析： =2 ﹣ = ． 考点：二次根式的加减法．   2 8 2  9.（2014年湖南衡阳中考）化简： ． 【答案】2． 考点：二次根式的乘除法． 1 10.（2014年辽宁大连中考） 3 （1- 3 ）+ 12 +（3）-1． 3 【答案】3 ． 【解析】 试题分析：分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并 即可求出答案． 3 3 3 试题解析：原式= -3+2 +3=3 ． 考点：1.二次根式的混合运算；2.负整数指数幂． ☞考点归纳 归纳 1：二次根式的意义及性质 基础知识归纳： 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0． 注意问题归纳： 1.首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等 式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0． 2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内 对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把 隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． x y x20 【例1】函数 x3 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥0且x≠2且x≠3．考点：二次根式有意义的条件． 归纳 2：最简二次根式与同类二次根式 基础知识归纳： 1.最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最 简二次根式． 2. 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 注意问题归纳： 最简二次根式的判断方法： 1.最简二次根式必须同时满足如下条件： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1． 2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来 加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 3 【例2】下列二次根式中，能与 合并的是（ ） 1 18 3 8 24 A． ; B． ; C．－ ; D． 【答案】B． 考点：同类二次根式． 归纳 3：二次根式的运算 基础知识归纳： （1）．二次根式的加减法:实质就是合并同类二次根式． 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有 同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法 a  b  ab 二次根式的乘法： （a≥0，b≥0）． a a  b b 二次根式的除法： （a≥0，b＞0）． 注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键a a a b  1  b b b a 【例 3】如果 ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：① ，② ，③ a ab  b b 其中正确的是（ ） ①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B． 【解析】∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0， b＜0 a a a b  1  b b b a ① ，被开方数应≥0a，b不能做被开方数，（故①错误），② （故②正 a ab  b b 确），③ （故③正确）． 故选B． 考点：二次根式的运算． 归纳 4：二次根式混合运算 基础知识归纳:先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序． 1 1 24 4 (1 2)0 3 8 【例4】计算： 2 【答案】 ． 考点：二次根式的运算． 归纳5：二次根式运算中的技巧 基础知识归纳：1.二次根式的被开方数是非负数；2.非负数的性质． 注意问题归纳： x4 4x 2 【例5】若y= -2，则（x+y）y= 1 【答案】4 ． 1 【解析】由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=-2，∴x+y）y=（4-2）-2= 4 ． 考点：二次根式的运算．☞1年模拟 1 3x  2x1 1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使 有意义，则x应 满足（ ） 1 1 1 1 A．2 ≤x≤3 B．x≤3且x≠ 2 C．2 ＜x＜3 D．2 ＜x≤3 【答案】D． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． ab b 2．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知0＜a＜b，x= ，y= b ba ，则x，y的大小关系是（ ） A．x＞y B．x=y C．x＜y D．与a、b的取值有关 【答案】C． 【解析】 ab  b  b  ba  ab  ba 试 题 分 析 ： x-y= ， ∵ 0 ＜ a ＜ b ， ∴ ( ab  ba)2 2b2 b2 a2 ab  ba 2 b ＜4b，∴ ＜0，∴x-y＜0．故选 C． 考点：二次根式的化简． (x2)2 3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如果 ＝2−x，那么x取值范）围是（ ） A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】A． 【解析】 (x2)2 试题分析：∵ ＝2−x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A． 考点：二次根式的性质与化简． 4．（2015届山东省聊城市中考模拟）下列运算正确的是（ ） 2 3  5 A．2a2+3a2=6a2 B． 6 1b 1b 2 3   C． 2 D． a1 1a【答案】D． 【解析】 试题分析：A．2a2+3a2=5a2，故本选项错误； 2 3 B． 无法计算，故本选项错误； 6 2 3  C． 3 ，故本选项错误； 1b 1b  a1 1a D． ，正确．故选D． 考点：1．二次根式的加减法；2．合并同类项；3．分式的基本性质；4．二次根式的乘除法． (x2)2 5．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如果 ＝2−x，那么x取值范）围是（ A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2 【答案】A． 【解析】 (x2)2 试题分析：∵ ＝2−x，∴x-2≤0，解得：x≤2．故选A． 考点：二次根式的性质与化简． y x1 6．（2015届北京市门头沟区中考二模）在函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥1． 考点：1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件． (x3)2 7．（2015届山东省日照市中考一模）若 =3-x，则x的取值范围是 ． 【答案】x≤3． 【解析】 (x3)2 试题分析：∵ =3-x，∴3-x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3． 考点：二次根式的性质与化简． x1 x－1 8．（2015届山东省聊城市中考模拟）若 与（x+1）0都有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】x＞-1且x≠1． 【解析】 x10  x10  x10  试题分析：根据题意得：解得：x＞-1且x≠1．故答案为：x＞-1且x≠1． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂． 9．（2015届河北省沙河市二十冶第三中学九年级上学期第二次模拟数学）若∣b-1∣+ a4 kx2 axb0 =0，且一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】k≤4且k≠0． 考点：1．根的判别式；2．绝对值；3．二次根式的性质． 10．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）已知 、 是实数， 并且 ，则 的值是_______ 【答案】1． 【解析】 试题分析：先将式子变形，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x和y的值，再代入到所求 式子中即可 3x1 y2 6y90 3x1(y3)2 0 3x10且y30 因为 ,即 ,所以 ,解得 1 1 x   ,y 3 (xy)2014 ( 3)2014 (1)2014 1 3 3 ,所以 考点：1．二次根式的性质；2．偶次幂的性质；3．完全平方公式． 11．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）若3，m, 5为三角形三边， (2m)2  (m8)2 则 ＝ ． 【答案】2m－10． 【解析】 试题分析：因为 3，m, 5 为三角形三边，所以 5-3＜m＜5+3，即 2＜m＜8，所以 (2m)2  (m8)2 =m-2-（8-m）=m-2-8+m=2m－10． 考点：1．三角形的三边关系；2．二次根式的性质． 1 1 1 2 3 3 12．（2015届四川省雅安中学九年级一诊数学试卷）观察下列各式： ， 1 1 1 1 2 3 3 4  4 4 5 5 n(n1) ， 请你将发现的规律用含自然数 的等式表示出来 ． 1 1 n (n1) 【答案】 n2 n2 （n1）．【解析】 1 1 1 1 1 (11) 2 (21) 12 12 22 22 试 题 分 析 ： ∵ ； ； ∴ 1 1 n (n1) n2 n2 （n1）． 1 1 n (n1) 故答案为： n2 n2 （n1）． 考点：规律型． 13．（2015 届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）（1）计算： 1 ( )1 2tan60  27 1 3 2 【答案】3． 考点：1．负整数次方；2．特殊教的三角函数值；3．二次根式；4．绝对值． 14．（2015 届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）计算： 【答案】1． 【解析】 试题分析：根据二次根式的性质及运算法则进行计算 2 2 212 2 1 试题解析：原式= ． 考点：二次根式的混合运算． 1 603tan60( )1 27 15．（2015届北京市门头沟区中考二模）计算： 3 ． 【答案】4． 【解析】 试题分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简4个考点．在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 试题解析：解：原式=13 333 3=4． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂和负整数指数幂；3．特殊角的三角函数值和二次根式的化 简．1 12 3 6 16．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算：（2 - ）× 11 2 【答案】 ． 考点：二次根式的混合运算．