2016年中考数学复习专题1：实数的有关概念及运算_1、初中学习资料_4-2、数学_北师大版_北师大版初中数学8上_复习资料

专题 01 实数的有关概念及运算 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 1.有理数 会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数 实数的 分类 2.无理数 会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 1.相反数、倒数、绝对值 会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 实数的 有关概 2.科学计数法、近似数 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 念 3.实数的非负性 利用实数的非负性解决一些实际问题 1.实数的估算 求一个无理数的范围 实数的 运算和 2.实数的大小比较 理解实数的大小比较的方法 大小比 较 3.实数的运算 掌握实数的混合运算 ☞2年中考 【2015年题组】 51 1．（2015南京）估计 2 介于（ ） A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间 【答案】C． 考点：估算无理数的大小． 2 3 5 2．（2015常州）已知a= 2 ，b= 3 ，c= 5 ，则下列大小关系正确的是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A．考点：实数大小比较． 22  0 3 3．（2015泰州）下列4个数： 9 ， 7 ，  ， ，其中无理数是（ ） 22  0 3 A． 9 B． 7 C．  D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：π是无理数，故选C． 考点：1．无理数；2．零指数幂． 3 5 4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数 的 点P应落在线段（ ） A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上 【答案】B． 【解析】 5 3 5 3 5 试题分析：∵2＜ ＜3，∴0＜ ＜1，故表示数 的点P应落在线段OB上．故选 B． 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴． 1 5．（2015广元）当 0 x1 时， x 、 x 、 x2 的大小顺序是（ ） 1 1 1 1  x x2 x x2  x2  x  x2  x A． x B． x C． x D． x 【答案】C． 【解析】 1 1 1 1 x x2  4 x2  x 试题分析：∵ 0 x1 ，令 2 ，那么 4 ， x ，∴ x ．故选C． 考点：实数大小比较． ab5 2ab1 0 ba2015 6．（2015绵阳）若 ，则 =（ ）52015 52015 A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】A． 【解析】 ab50 a2   ab5 2ab1 0 2ab10 b3 试题分析：∵ ，∴ ，解得： ，则 ba2015 （32）2015 1 ．故选A． 考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质． 7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ） A．﹣3 B．0 C．5 D．3 【答案】A． 考点：实数大小比较． 8．（2015荆门）64的立方根是（ ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A． 考点：立方根． 9．（2015北京市）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最 大的是（ ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A． 【解析】 试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对 值最大的是a．故选A． 考点：实数大小比较． 8 10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（ ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴． 7 11．（2015六盘水）如图，表示 的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（ ） A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C 【答案】A． 【解析】 7 7 试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜ ＜3，则表示 的点在数轴上表示时，所在C和D两 个字母之间．故选A． 考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴． 3 1    12．（2015通辽）实数tan45°， 3 8 ，0， 5 ， 9 ， 3，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3 之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D． 【解析】 3 1    试题分析：在实数tan45°， 3 8 ，0， 5 ， 9 ， 3，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间 3   依次多一个1）中，无理数有： 5 ，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个 1），共3个，故选D． 考点：无理数． x2 mxny 8   y 1 nxmy 1 2mn 13．（2015淄博）已知 是二元一次方程组 的解，则 的平方根为（ ） 2  2 A．±2 B． C． D．2 【答案】A．考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题． 51 5 14．（2015成都）比较大小： 2 ____ 8（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【解析】 51 5 0.625 试题分析： 2 为黄金数，约等于0.618，8 ，显然前者小于后者．或者作差法： 51 5 4 59 80 81    0 2 8 8 8 ，所以，前者小于后者．故答案为：＜． 考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小． (a6)2  b2 2b3 0 2b2 4ba 15．（2015资阳）已知： ，则 的值为 ． 【答案】12． 【解析】 (a6)2  b2 2b3 0 a60 b2 2b30 a 6 试题分析：∵ ，∴ ， ，解得， ， b2 2b3 2b2 4b6 2b2 4ba 6(6) ，可得 ，则 = =12，故答案为：12． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方． x  5 1 y 16．（2015自贡）若两个连续整数x、y满足 ，则x+y的值是 ． 【答案】7． 【解析】 5 51 试题分析：∵2＜ ＜3，∴3＜ ＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7． 考点：估算无理数的大小． 1 2 3 (2015)0 2sin60 ( )1 17．（2015巴中）计算： 3 ． 【答案】4． 【解析】 试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可． 3 2 312 3 试题解析：原式= 2 =1+3=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 1  2 20150 2 2sin30  3 89 18．（2015龙岩）计算： 3． 【答案】0． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值． ( 3 21)( 3 21) 19．（2015临沂）计算： ． 【答案】2 2． 【解析】 试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可． 3( 21) 3( 21) ( 3)2 ( 21)2 试题解析：解：原式=[ ][ ]= 3(22 21) 322 212 2 ． 考点：实数的运算． 【2014年题组】 1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计 数法表示为（ ） A．11104 B．1.1105 C．1.1104 D．0.11106 【答案】B． 考点：科学计数法． 1  2．（2014年福建三明中考） 3的相反数是（ ）1 1  A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】A． 试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的 1 1  相反数还是0. 因此， 3的相反数是3. 故选A． 考点：相反数． 3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（ ） A. ﹣|﹣5|＞4 B. ﹣3＜|﹣3| C. ﹣|﹣4|=4 D. |﹣5.5|＜5 【答案】B． 【解析】 试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可： A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误； B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确； C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误； D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误． 故选B． 考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较． 4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成 立的是（ ） A. m+n＜0 B. m＜n C. m||n|＞0 D. 2+m＜2+n 【答案】D． 考点：1．数轴；2．不等式的性质． 12 20  3 5．（2014年贵州黔南中考）计算 的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 5 【答案】A． 【解析】 试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的 运算法则求得计算结果： ；2．故选A． 考点：实数的运算．6．（2014年黑龙江大庆中考）若 xy  y2 0 ，则xy3 的值为 ． 1 【答案】2． 【解析】 xy0 x2 1   xy3 223 21  试题分析：∵ xy  y2 0 ，∴y20 y2 ．∴ 2． 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂． 13 7．（2014年吉林省中考）若a＜ ＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= ． 【答案】7． 【解析】 13 试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜ ＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7． 考点：无理数的估算． 8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．  31  131     ，按此规定， =_____________ 【答案】2． 【解析】 13 试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜ ＜4．  131 131   ∴2＜ ＜3，∴ =2． 考点：1．新定义；2．无理数的估算． 9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100， 则 2S=2+22+23+24+…+2101，因此 2S﹣S=2101﹣1，所以 S=2101﹣1，即 1+2+22+23+… +2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是 ． 32015 1 【答案】 2 ． 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题． 1  0 1  3  328sin450    4 10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算： 【答案】-3． 【解析】试 题 分 析 ： 1  0 1 2  3  328sin450  14 28 434 24 2 3   4 2 ． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． ☞考点归纳 归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳： 基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判 断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数． 注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： 7,3 2 （1）开方开不尽的数，如 等； π 3 （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 1 3, ,,38,0,tan45 3 【例1】在实数 中，其中无理数的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A． 考点：无理数． 归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从 数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数 的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1． 基本方法归纳：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立；零的绝对值是它本身， 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数 x2  2x y7  0 yx 【例2】若实数x，y满足 ，则 = ． 1 【答案】9． 考点：非负数． 归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳： 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． ab 0  a b, ab 0  a b, 基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数， ab0 ab a a a 1 a b; 1 a b; 1 a b; （2）求商比较法：设a、b是两正实数，b b b a2 b2  a b （3）平方法：设a、b是两负实数，则 ． 注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较． 1 ( )1 【例3】用“＜”号，将 6 、 (2)0 、 (3)2 、22 连接起来______ 1 22 (2)0 ( )1 (3)2 【答案】 6 ． 【解析】 试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则 比较． 1 ( )1 6 ∵ 6 ， (2)0 1 ， (3)2 9 ，22  4 1 22 (2)0 ( )1 (3)2 ∴ 6 ． 考点：实数的大小比较． 归纳 4：科学计数法与近似数 基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小 于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效 数字前0的个数（含小数点前的1个0） 注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化． 【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为 54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A．5.475×1011 B．5.475×1010 C．0.5475×1011 D．5475×108 【答案】B． 考点：科学计数法． 归纳 5：实数的混合运算 基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方 为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而 后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行 基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、 绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识． 注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比 较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序． 1 1  0   4sin45 1 2  8 【例5】计算：2 【答案】1． 【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ： 1 1  0 2   4sin45 1 2  8 24 12 2 1 2 2 考点：实数的运算． ☞1年模拟 4 1．（2015届山东省日照市中考一模） 的算术平方根是（ ） 2 2 A．2 B．±2 C． D．± 【答案】C． 4 2 4 2 【解析】试题分析：∵ =2，而2的算术平方根是 ，∴ 的算术平方根是 ，故选C． 考点：算术平方根． 1 2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、3、 2 、tan60°中，无理数的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解析】 1 试题分析：∵tan60°= 3 ，∴在实数π、3、 2 、tan60°中，无理数有：  ， 2 和tan60°．故选 C． 考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值． 1 3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）4 的算术平方根是（ ） 1 1 1 1 A．- 2 B．2 C．± 2 D． 16 【答案】B． 考点：算术平方根． 4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ） 3 A．3-2 B．3×（-2） C．3-2 D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：A：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可． B：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可． 1 C：3-2= 9，计算结果是正数，据此判断即可． 3 D： 是一个正数，据此判断即可． 试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A不正确； ∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B正确； 1 ∵3-2= 9，计算结果是正数，∴选项C不正确； 3 ∵ 是一个正数，∴选项D不正确．故选B． 考点：实数的运算． 5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ） A．2m与3m之间 B．3m与4m之间 C．4m与5m之间 D．5m与6m之间 【答案】B．【解析】 10 9 10 16 10 试题分析：正方形的边长为 ，∵ ＜ ＜ ，∴3＜ ＜4，∴其边长在3m与 4m之间．故选B． 考点：估算无理数的大小． 6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（ ） 5 5 3 3 A．- B． C．- D． 【答案】B． 考点：估算无理数的大小． 7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（ ）． 1 1 A．5 B．- 5 C．﹣5 D．5 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C． 考点：实数的性质． 8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（ ）． 8 A．tan45° B． 3 C．π D．3 【答案】A． 【解析】 8 试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜ 3 ＜3＜π，所以tan45°＜ 3 ＜ 8 3＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A． 考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值． 9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2- y2 5y6 4|+ =0，则第三边长为 ． 2 2 13 5 【答案】 、 或 ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论． 3 10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+ ）0= ． 1 【答案】- 2 ． 【解析】 1 3 1 1 2  31 试题分析：原式= 2 2 =- 2 ．故答案为：- 2 ． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 11．（2015 届山西省晋中市平遥县九年级下学期 4 月中考模拟） 的算术平方根为 ． 2 【答案】 ． 【解析】 4 2 4 2 2 试题分析：∵ =2，2的算术平方根是 ，∴ 的算术平方根为 ．故答案为： ． 考点：算术平方根． 1  1  2sin60 3130    3 12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算： ． 【答案】-3． 【解析】 试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照 实数的运算法则计算即可． 3 32  311 试题解析：原式= 2 = 3 3 3 = 3 ． 考点：实数的运算． 13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+ ．【答案】-9． 考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值． 1 14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（- 2 ）-1+（π- 2015 ）0-3tan30°+|- 3 | 【答案】-1． 【解析】 试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用 特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 3 3 3 试题解析：原式=-2+1-3× + =-1． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值． 15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算： 1 ﹣2sin30°﹣（﹣3）﹣2+（ 2 ﹣π）0﹣ 3 8 +（﹣1）2012． 【答案】-6． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．