文档文本内容
专题 2.5 二次根式的加减（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)2024(cid:20)
(cid:15)(cid:21)(cid:22)1 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:20)........................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)2 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................................................1
(cid:15)(cid:21)(cid:22)3 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:38)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:20)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)4 (cid:39)(cid:40)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:20)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:21)(cid:22)5 (cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:41)(cid:43)(cid:20)....................................................................................................................................4
(cid:15)(cid:21)(cid:22)6 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:20)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)7 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:20)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:21)(cid:22)8 (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:55)(cid:56)(cid:20)....................................................................................................................................6
知识点1 二次根式的加减运算 教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:33)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:31)(cid:32)(cid:61)(cid:62)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:10)
知识点2 二次根式的混合运算
1. (cid:36)(cid:37)(cid:57)(cid:73)
(cid:74)(cid:42)(cid:28)(cid:33)(cid:38)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:75)(cid:76)(cid:64)(cid:77)(cid:63)(cid:78)(cid:37)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:80)(cid:63)(cid:83)(cid:37)(cid:79)(cid:84)(cid:63)(cid:85)(cid:86)(cid:37)(cid:34)(cid:35)(cid:63)(cid:87)(cid:88)(cid:9)(cid:33)(cid:78)(cid:37)(cid:88)(cid:9)(cid:89)(cid:90)(cid:33)(cid:91)
2. (cid:58)(cid:43)(cid:36)(cid:37)(cid:92)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:52)(cid:93)(cid:7)(cid:28)(cid:61)(cid:77)(cid:94)(cid:56)(cid:95)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:91)
3. (cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:38)(cid:31)(cid:36)(cid:37)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:55)(cid:98)(cid:99)(cid:85)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:100)(cid:42)(cid:28)(cid:33)(cid:101)(cid:28)(cid:91)
【题型1 判断二次根式能否合并】
(cid:15)(cid:102)1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:85)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) +6(cid:74) + (cid:60)(cid:29)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:118)(cid:119)
3𝑎−𝑏
2𝑎−𝑏 4𝑎 3𝑏
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:103) (cid:116)
A(cid:91) =2(cid:63) =1 B(cid:91) =1(cid:63) = C(cid:91) =1(cid:63) =0 D(cid:91) =1(cid:63) =1
(cid:15)(cid:120)(cid:28)𝑎1-1(cid:20)(cid:103)𝑏24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)𝑎(cid:68)·(cid:122)(cid:123)𝑏(cid:124)(cid:125)−·1(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)𝑎(cid:116)(cid:67)(cid:97)(cid:85)𝑏 (cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) 𝑎 (cid:74)2𝑏7(cid:126)(cid:127)(cid:71)(cid:72)(cid:31)(cid:32)(cid:63)(cid:73) (cid:33)
2
(cid:50)(cid:128)(cid:103) (cid:116) 𝑎−2 𝑎
A(cid:91)7 B(cid:91)16 C(cid:91)25 D(cid:91)81
(cid:15)(cid:120)(cid:28)1-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:129)(cid:130)(cid:130)(cid:131)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:117) (cid:74) 12(cid:60)(cid:126)(cid:127)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:63)(cid:133)(cid:98)(cid:134)(cid:64)(cid:135)(cid:136)(cid:31)(cid:137)(cid:138)(cid:33)
(cid:85)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) (cid:128) (cid:91) 𝑎
(cid:15)(cid:120)(cid:28)1-3(cid:20)(cid:103)𝑎24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:111)(cid:139)(cid:140)(cid:141)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:68)(cid:142)(cid:143)(cid:28)(cid:144)(cid:145)(cid:47)(cid:48)(cid:86)(cid:74) (cid:33)(cid:146)(cid:82)(cid:80)(cid:43)(cid:147)(cid:148)(cid:61)(cid:33)
3
(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:60)(cid:103) (cid:116) − −27𝑥
1
A(cid:91) B(cid:91) C(cid:91) D(cid:91) 27
3 273 9
−𝑥 −𝑥
3 3
−3𝑥 𝑥
【题型2 二次根式的加减运算】
(cid:15)(cid:102)2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:131)(cid:149)(cid:150)(cid:151)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:47)(cid:48)(cid:10) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
8 11 11 14 14 17 17 20 20 23
1 + 1 + 1 (cid:96)(cid:97)(cid:60)(cid:103) (cid:116) + + + + +
23 26 26 29 29 32
+ + +
2 2
A(cid:91)1 B(cid:91) C(cid:91)2 2 D(cid:91)4 2
3
(cid:15)(cid:120)(cid:28)2-1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:131)(cid:149)(cid:152)(cid:153)(cid:111)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:68)(cid:142)(cid:154)(cid:28)(cid:155)(cid:156)(cid:33)(cid:60)(cid:103) (cid:116)
A(cid:91)2 3+3 2=5 5 B(cid:91) 9 1 =3 1
4 2
C(cid:91) ( = D(cid:91) 3+ 5 3+ 5 =2
2
(cid:15)(cid:120)(cid:28) 2-2 π (cid:20) −3 (cid:103) .14 23 ) -24 (cid:121)3.1(cid:105)4−(cid:106)π(cid:68)·(cid:157)(cid:151)(cid:158)(cid:123)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:159)(cid:160)(cid:51)(cid:161)(cid:36)−(cid:37)(cid:136)(cid:9)“ ”(cid:33)(cid:162)(cid:163)(cid:60)(cid:10)(cid:164) > (cid:165)(cid:63)a
𝑎 𝑏
= + (cid:166) (cid:164) (cid:165)(cid:63) a = (cid:63)(cid:167)(cid:168)(cid:36)(cid:37)(cid:136)(cid:9)(cid:33)(cid:162)(cid:163)(cid:147)(cid:120)(cid:63)(cid:169)(cid:37)(cid:10)( 2 3) (2 2 3)=
𝑏(cid:15)(cid:120)𝑎(cid:28)2𝑏-3(cid:20)(cid:103)𝑎24≤-2𝑏5(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:122)𝑏 (cid:123)𝑎(cid:170)−(cid:171)𝑏·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:41)(cid:172)(cid:46)(cid:41)(cid:173)(cid:61)(cid:11)(cid:174)(cid:64)(cid:135)(cid:175)(cid:176)(cid:169)(cid:37)(cid:177)(cid:178)−(cid:63)(cid:179)(cid:64)(cid:135)(cid:147)(cid:180)(cid:181)(cid:33)
(cid:182)(cid:183)(cid:92)(cid:184)(cid:185)(cid:108)(cid:135)(cid:41)(cid:176)(cid:63)(cid:41)(cid:176)(cid:107)(cid:45)(cid:186)(cid:187)(cid:87)(cid:64)(cid:135)(cid:43)(cid:91)(cid:188)(cid:189)(cid:182)(cid:183)(cid:92)(cid:175)(cid:190)(cid:41)(cid:176)(cid:63)(cid:117)(cid:175)(cid:191)(cid:192)(cid:193)(cid:176)(cid:63)(cid:194)(cid:35)(cid:195)(cid:176)(cid:107)(cid:33)(cid:43)(cid:166)
(cid:117)(cid:175)(cid:191)(cid:196)(cid:193)(cid:176)(cid:63)(cid:194)(cid:34)(cid:107)(cid:176)(cid:107)(cid:33)(cid:43)(cid:91)教辅资源,关注公众号•全科AA+
(1)(cid:67)(cid:197)1(cid:63)(cid:117)(cid:41)(cid:172)(cid:175)(cid:191)(cid:197)(cid:198)(cid:199)(cid:135)(cid:41)(cid:176)(cid:63)(cid:133)(cid:169)(cid:37)(cid:134)(cid:96)(cid:97)(cid:166)
(2)(cid:67)(cid:197)2(cid:63)(cid:117)(cid:41)(cid:173)(cid:175)(cid:191)(cid:197)(cid:198)(cid:108)(cid:135)(cid:41)(cid:176)(cid:63)(cid:85)(cid:86)(cid:33)(cid:169)(cid:37)(cid:96)(cid:97)(cid:29)(cid:46) 48(cid:31)(cid:32)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:181)(cid:203)(cid:204)(cid:91)
教辅资源，关注公众号★全科AA+【题型3 二次根式的混合运算】
(cid:15)(cid:102)3(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:131)(cid:149)(cid:31)(cid:205)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:206)(cid:95)(cid:207)(cid:162)(cid:147)(cid:148)(cid:154)(cid:33)(cid:199)(cid:135)(cid:155)(cid:58)(cid:43)a(cid:63)b(cid:63)(cid:161)(cid:163)(cid:64)(cid:208)(cid:36)(cid:37)“※”(cid:67)
(cid:68)(cid:10) ※ = (cid:63)(cid:102)(cid:67)(cid:10)5※4= 5 4=3(cid:91)
𝑎+𝑏 +
(cid:103)1(cid:116)𝑎 3※ 𝑏 6= 𝑎 − 𝑏 (cid:166) 5−4
(cid:103)2(cid:116)( 3)※ 7※5 = (cid:91)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)2 3 − -1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:209)(cid:123)(cid:210)(cid:181)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:67)(cid:197)(cid:63)(cid:211)(cid:60)(cid:64)(cid:135)(cid:43)(cid:50)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:63)(cid:117)(cid:215)(cid:185)(cid:33)a(cid:50)(cid:128) 2(cid:63)(cid:73)(cid:215)(cid:134)
(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:55)(cid:128) (cid:91)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)3-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:209)(cid:123)(cid:210)(cid:181)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:169)(cid:37)(cid:10)
1
(1) 27÷ 3 × 18+ 24
3
−
(2)(2 3+3 2)(2 3 2) 5
2
(cid:15)(cid:120)(cid:28)3-3(cid:20)(cid:103)24-25−(cid:121)3(cid:105)(cid:106)−(cid:68)·(cid:216)−(cid:16)1(cid:217)(cid:218)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:219)(cid:220) = 3
1 𝑥 2−
(1)(cid:169)(cid:37)(cid:10) =________(cid:63) =________(cid:166)
2
(2)(cid:49)(cid:221)(cid:43)𝑥(cid:28)(7+4 3) + 𝑥 (2+ 3) + 3 (cid:33)(cid:50)(cid:91)
2
【题型4 比较二次根 𝑥 式的大小】 𝑥 −1
1
(cid:15)(cid:102)4(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:179)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:21)“(cid:219)(cid:220) = (cid:63)(cid:49)2 +1(cid:33)(cid:50)”(cid:165)(cid:63)(cid:41)(cid:181)(cid:60)(cid:229)(cid:77)
2 3
2
(cid:45)(cid:230)(cid:74)(cid:226)(cid:231)(cid:33)(cid:10) 𝑎 + 𝑎 −8𝑎
= 1 = 3 = 3(cid:63)
2 3 (2 3)( 3)
2−
∵ 𝑎 = + 3(cid:63)+ ( 2− ) = 2− 3(cid:63) +4=3(cid:63)
2 2
∴ 𝑎−2 −= (cid:63)∴ 𝑎2−2 +1=𝑎 2−(4𝑎 )+1=2×( )+1= (cid:91)
2 2 2
(cid:133)∴(cid:232)𝑎(cid:27)−(cid:233)4𝑎(cid:41)(cid:181)−(cid:33)1(cid:45)(cid:230)∴(cid:145)(cid:234)𝑎 (cid:63)−8(cid:226)𝑎(cid:227)(cid:67)(cid:68)(cid:228)(cid:21)𝑎 (cid:10)−4𝑎 −1 −1
2 2
(1)(cid:39)(cid:40)(cid:18)(cid:41)(cid:10) (cid:74) (cid:166)
13 11 15 13
(2)(cid:117) = 1 (cid:63)(cid:235) − ( + ) − =9(cid:63)(cid:49)a(cid:33)(cid:50)(cid:166)
2 2
2
𝑏 + 𝑎 2𝑏
教辅资源，关注公众号★全科AA+1 1
(3)(cid:117) = (cid:63) = (cid:63)(cid:49)5 + +2 + +10(cid:33)(cid:50)(cid:91)
1 2 3 2 2
2 2
(cid:15)(cid:120)(cid:28) 𝑐 4-1 +(cid:20)(cid:103)2 𝑑 4-25 +(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:107) 𝑐 (cid:236) 4 (cid:237) 𝑐𝑑 (cid:238)·(cid:112) 𝑑 (cid:113)(cid:114)(cid:115) 2𝑐 (cid:116) −6 (cid:39) 𝑑 (cid:40)(cid:18)(cid:41)(cid:10)
1 1
(cid:103)1(cid:116) (cid:166)
5 5 6
(cid:103)2(cid:116)2− 3 − 5 2(cid:91)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)2−4-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)−(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:111)(cid:139)(cid:140)(cid:141)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:56)(cid:199)(cid:208)(cid:80)(cid:57)(cid:39)(cid:40) 5+1(cid:74) 10(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:91)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)4-3(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:122)(cid:123)(cid:131)(cid:239)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:240)(cid:241)(cid:28)(cid:11)(cid:115)(cid:10)
(cid:242)(cid:21)(cid:243)(cid:244) (cid:245)(cid:80)(cid:57)(cid:39)(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:33)(cid:18)(cid:41)
(cid:246)(cid:74)(cid:247)(cid:248) (cid:121)(cid:68)(cid:249)(cid:103)3(cid:116)(cid:41)(cid:250) (cid:251)(cid:132)(cid:10)2025(cid:105)××(cid:252)××(cid:251)
(cid:253)(cid:203)(cid:226)(cid:254) (cid:206)(cid:95)(cid:207)(cid:162)(cid:199)(cid:135)(cid:155)(cid:43)a(cid:63)b(cid:63)(cid:117) > (cid:63)(cid:73) > (cid:91)
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(cid:39)(cid:40)2 3(cid:46)3 2(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:91)(cid:226)(cid:10)(2 3) =12(cid:63)(3 2) =18(cid:63) 12<18(cid:63)
(cid:255)(cid:102)(cid:256)(cid:198) 2 2
2 3<3 2(cid:91) ∵
∴
(cid:103)1(cid:116)(cid:39)(cid:40)3 5(cid:46)5 3(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:166)
(cid:207)(cid:257)(cid:226)(cid:231)
(cid:103)2(cid:116)(cid:39)(cid:40) 6 2(cid:46) 5 3(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:91)
− −
【题型5 整数部分和小数】 教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:102)5(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:122)(cid:16)(cid:258)(cid:161)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116) 11 (cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)( 11+ )( +1)(cid:33)
(cid:50)(cid:128)(cid:103) (cid:116) −1 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:91) 11+2 B(cid:91)2 C(cid:91)7 D(cid:91)5+2 11
(cid:15)(cid:120)(cid:28)5-1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:263)(cid:169)(2 2 3) (cid:33)(cid:50)(cid:55)(cid:179)(cid:103) (cid:116)
2
A(cid:91)1(cid:191)2(cid:264)(cid:265) B(cid:91)2(cid:191)3(cid:264)(cid:265) C(cid:91)5(cid:191)6(cid:264)−(cid:265) D(cid:91)10(cid:191)11(cid:264)(cid:265)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)5-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:266)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:267)(cid:268)·(cid:132)(cid:269)(cid:116)(cid:58)(cid:43) 19 (cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)(cid:73) + =(cid:103) (cid:116)
A(cid:91)2 19+5 B(cid:91)2 19+1 C(cid:91)2 −191 D𝑎(cid:91)2 19 𝑏 3𝑎 2𝑏
−1 1 −5
(cid:15)(cid:120)(cid:28)5-3(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:108)(cid:109)(cid:270)(cid:239)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:219)(cid:220) (cid:33)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)(cid:41)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:128) (cid:63)(cid:73) +2( 3
3
2
+ = (cid:91) 2− 𝑎 𝑏 𝑎
1)𝑏−2
教辅资源，关注公众号★全科AA+【题型6 二次根式的化简求值】
(cid:15)(cid:102)6(cid:20)(cid:103)23-24(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:111)(cid:139)(cid:271)(cid:173)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:219)(cid:220) = 5 3 (cid:63) = 5 3 (cid:63)(cid:73)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28) + +19(cid:33)(cid:50)
5 3 5 3
− + 3 3
(cid:60)(cid:103) (cid:116) 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:91)6 B(cid:91)7 C(cid:91)8 D(cid:91)9
(cid:15)(cid:120)(cid:28)6-1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:272)(cid:273)(cid:192)(cid:274)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:78)(cid:47)(cid:48)(cid:63)(cid:83)(cid:49)(cid:50)(cid:10)5 5 + 45 (cid:63)(cid:167)(cid:92) =4(cid:91)
5 4 5
𝑥 4𝑥
− 𝑥 𝑥 𝑥
(cid:15)(cid:120)(cid:28)6-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:275)(cid:238)(cid:276)(cid:277)(cid:278)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:67)(cid:97) + +25=0(cid:63)(cid:279)(cid:49) + +2 +
2 2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 −8𝑥−6𝑦 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑥−2
(cid:33)(cid:50)(cid:91)
5
(cid:15)(cid:120)(cid:28)6-3(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:260)(cid:280)(cid:123)(cid:281)·(cid:132)(cid:269)(cid:116)(cid:117) + (cid:63)(cid:235) = (cid:63)(cid:73)81
2 2 +𝑛 5
+1= (cid:91) −𝑚 −𝑛 ≥10−6𝑚 2𝑛 𝑥 𝑚 𝑥
− 【 8 题 0𝑥 型7 二次根式的规律探索】 教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:102)7(cid:20)(cid:282)(cid:283)(cid:68)(cid:142)(cid:143)(cid:28)(cid:10)
1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
1 2 1×2 2
2 2 1−
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
2 3 2×3 2 3
2 2 −
1 1 1 1 1
1+ + =1+ =1+
3 4 3×4 3 4
2 2 −
…
(cid:133)(cid:284)(cid:56)(cid:232)(cid:285)(cid:188)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:63)(cid:169)(cid:37)(cid:10) 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + + 1+ 1 + 1 (cid:167)(cid:96)(cid:97)(cid:128) (cid:91)
1 2 2 3 3 4 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ⋯ 1 1
(cid:15)(cid:120)(cid:28)7-1(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:108)(cid:109)(cid:286)(cid:287)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:282)(cid:283)(cid:68)(cid:142)(cid:143)(cid:28)(cid:10) = 2 (cid:63) = 3 2(cid:63) =
2 1 3 2 2 3
+ −1 + − + 2−
1 1 1 1
3(cid:63)…(cid:284)(cid:56)(cid:232)(cid:285)(cid:188)(cid:33)(cid:51)(cid:52)(cid:226)(cid:227)(cid:10) + + + + × 2025+ 2 = (cid:91)
3 2 2 3 5 2 2025 2024
(cid:15)(cid:120)(cid:28)7-2(cid:20)(cid:103)23-24(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:16)(cid:288)·+(cid:132)(cid:92)(cid:116)+(cid:289)(cid:64)(cid:290)(cid:237)+(cid:74)(cid:291) ⋯ (cid:264)(cid:39)(cid:128) 2+(cid:33)(cid:292)(cid:101)(cid:293)(cid:294) (cid:71)(cid:72)(cid:67)(cid:68)(cid:295)(cid:125)(cid:10)(cid:206)(cid:296)(cid:32)
(cid:297)(cid:296)(cid:298)(cid:299)(cid:82)(cid:63)(cid:285)(cid:188)(cid:300)(cid:64)(cid:26)(cid:301)(cid:302)(cid:191)(cid:33)(cid:199)(cid:135)(cid:292)(cid:101)(cid:293)(cid:294)(cid:237)(cid:74)(cid:291)(cid:264)(cid:39)(cid:303)(cid:60) 2(cid:103)(cid:300)(cid:64)(cid:26)(cid:33)𝐴(cid:296)𝐵(cid:298)𝐶𝐷(cid:67)(cid:197)(cid:92)(cid:33)(cid:304)(cid:305)(cid:301)(cid:198)(cid:116)(cid:63)
(cid:73)(cid:249)3(cid:26)(cid:295)(cid:125)(cid:86)(cid:301)(cid:302)(cid:191)(cid:33)(cid:167)(cid:92)(cid:64)(cid:135)(cid:292)(cid:101)(cid:293)(cid:294)(cid:33)(cid:306)(cid:237)(cid:60) (cid:166)(cid:249)2024(cid:26)(cid:295)(cid:125)(cid:86)(cid:301)(cid:302)(cid:191)(cid:33)(cid:167)(cid:92)
(cid:64)(cid:135)(cid:292)(cid:101)(cid:293)(cid:294)(cid:33)(cid:306)(cid:237)(cid:60) (cid:91)
教辅资源，关注公众号★全科AA+(cid:15)(cid:120)(cid:28)7-3(cid:20)(cid:103)23-24(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:107)·(cid:260)(cid:130)(cid:307)(cid:151)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:47)(cid:48)(cid:64)(cid:135)(cid:45)(cid:308)(cid:309)(cid:87)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:33)(cid:28)(cid:310)(cid:165)(cid:63)(cid:311)(cid:56)(cid:45)(cid:310)(cid:81)(cid:45)(cid:308)
(cid:61)(cid:79)(cid:127)(cid:45)(cid:308)(cid:33)(cid:87)(cid:203)(cid:47)(cid:312)(cid:28)(cid:33)(cid:80)(cid:57)(cid:194)(cid:126)(cid:127)(cid:313)(cid:63)(cid:102)(cid:67)(cid:10) 1 = 2 = 2 = 2 = 2 (cid:63) 2 = 2× 3
2 1 ( 2 1)( 2 ) ( 2) 1 3 3× 3
−1 −1 −1
2
+ + −1 −1 −1
6
= (cid:63)
3
1
(1)(cid:117) = (cid:63)(cid:49)3 (cid:33)(cid:50)(cid:166)
5
2
(2)(cid:39)(cid:40) 𝑎 202 − 5 2 20 𝑎 24 − (cid:74) 12 2 𝑎 0 − 2 1 4 2023(cid:33)(cid:18)(cid:41)(cid:63)(cid:32)(cid:202)(cid:181)(cid:203)(cid:204)(cid:91)
(3)(cid:284)(cid:56)(cid:229)(cid:64)(cid:51)−(cid:52)(cid:169)(cid:37)(cid:10) 1 + − 1 + 1 + + 1 (cid:91)
2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2024 2023 2023 2024
+ + + ⋯ +
【题型8 二次根式的应用】 教辅资源,关注公众号•全科AA+
(cid:15)(cid:102)8(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:260)(cid:130)(cid:314)(cid:151)·(cid:132)(cid:92)(cid:116)(cid:67)(cid:197)(cid:63)(cid:290)(cid:18)(cid:315)(cid:316)(cid:87)(cid:64)(cid:317)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:318)(cid:319) (cid:63)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:318)(cid:319)(cid:33) (cid:128)
72m(cid:63)(cid:291) (cid:128) 32m(cid:63)(cid:188)(cid:320)(cid:179)(cid:318)(cid:319)(cid:92)(cid:321)(cid:134)(cid:64)(cid:317)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:319)(cid:322)(cid:323)(cid:103)(cid:324)(cid:197)(cid:92)(cid:325)(cid:326)(cid:44)(cid:45)𝐴(cid:116)𝐵𝐶(cid:63)𝐷(cid:167)(cid:327)(cid:44)(cid:45)(cid:208)(cid:328)(cid:329)(cid:330)𝐵𝐶(cid:63)(cid:237)
(cid:80)(cid:101)(cid:322)(cid:323)(cid:331)𝐴(cid:33)𝐵(cid:237)(cid:128)( 13+1)m(cid:63)(cid:291)(cid:128)( 13 )m(cid:91)
−1
(1)(cid:237)(cid:80)(cid:101) (cid:33)(cid:306)(cid:237)(cid:60)(cid:332)(cid:333)(cid:201)(cid:103)(cid:96)(cid:97)(cid:47)(cid:128)(cid:85)(cid:48)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:116)
(2)(cid:117)(cid:334)(cid:331)𝐴(cid:107)𝐵(cid:335)𝐶𝐷(cid:208)(cid:329)(cid:330)10(cid:336)/(cid:337)(cid:338)(cid:63)(cid:290)(cid:18)(cid:315)(cid:208)(cid:328)(cid:339)(cid:208)(cid:329)(cid:330)(cid:63)(cid:300)(cid:245)(cid:80)(cid:340)(cid:126)(cid:127)(cid:341)20(cid:337)(cid:338)(cid:33)(cid:329)(cid:330)(cid:63)(cid:290)(cid:18)(cid:315)(cid:67)(cid:97)(cid:289)(cid:301)
(cid:208)(cid:329)(cid:330)(cid:267)(cid:44)(cid:342)(cid:343)(cid:344)(cid:63)(cid:342)(cid:343)(cid:345)(cid:185)(cid:128)(cid:332)(cid:333)(cid:336)(cid:201)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)8-1(cid:20)(cid:103)22-23(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:122)(cid:123)(cid:346)(cid:347)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:335)(cid:41)(cid:348)(cid:87)(cid:64)(cid:317)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:33)(cid:349)(cid:319)(cid:63)(cid:229)(cid:317)(cid:349)(cid:319)(cid:33)(cid:291)(cid:128)
( 6 2)m(cid:63)(cid:128)(cid:350)(cid:47)(cid:41)(cid:348)(cid:351)(cid:352)(cid:63)(cid:353)(cid:229)(cid:317)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:349)(cid:319)(cid:354)(cid:107)(cid:192)(cid:193)(cid:33)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:358)(cid:63)(cid:301)(cid:359)(cid:33)(cid:357)(cid:358)(cid:33)(cid:237)(cid:360)(cid:128)
(10−6 2)m(cid:63)(cid:118)(cid:119)(cid:229)(cid:317)(cid:349)(cid:319)(cid:33)(cid:90)(cid:361)(cid:128) m (cid:91)
2
(cid:15)(cid:120)(cid:28)−82-2(cid:20)(cid:103)24-25(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:68)·(cid:362)(cid:130)(cid:363)(cid:273)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:335)(cid:364)(cid:365)(cid:256)(cid:348)(cid:87)(cid:64)(cid:317)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:366)(cid:367)(cid:348)(cid:368) (cid:103)(cid:67)(cid:197)(cid:116)(cid:63)(cid:339)
(cid:348)(cid:368)(cid:33)(cid:237) (cid:128)8 3(cid:340)(cid:63)(cid:291) (cid:128) 98(cid:340)(cid:63)(cid:188)(cid:169)(cid:321)(cid:179)(cid:348)(cid:368)(cid:92)(cid:265)(cid:184)(cid:367)(cid:64)(cid:135)(cid:155)(cid:80)(cid:101)(cid:256)(cid:369)(cid:103)(cid:325)(cid:326)(cid:44)𝐴(cid:45)𝐵(cid:116)𝐶𝐷(cid:63)(cid:256)(cid:369)(cid:33)(cid:370)(cid:237)
(cid:128)( 6 𝐵(cid:340)𝐶(cid:91) 𝐴𝐵
−1)
教辅资源，关注公众号★全科AA+(1)(cid:49)(cid:339)(cid:237)(cid:80)(cid:101)(cid:366)(cid:367)(cid:348)(cid:368) (cid:33)(cid:306)(cid:237)(cid:166)
(2)(cid:84)(cid:195)(cid:184)(cid:367)(cid:256)(cid:369)(cid:33)(cid:319)(cid:80)𝐴(cid:63)𝐵(cid:167)𝐶𝐷(cid:327)(cid:348)(cid:368)(cid:267)(cid:44)(cid:359)(cid:320)(cid:371)(cid:107)(cid:372)(cid:373)(cid:63)(cid:117)(cid:301)(cid:371)(cid:372)(cid:373)(cid:33)(cid:343)(cid:374)(cid:128)10(cid:336)/(cid:245)(cid:80)(cid:340)(cid:63)(cid:73)(cid:375)(cid:376)(cid:372)(cid:373)(cid:18)
(cid:377)(cid:359)(cid:320)(cid:378)(cid:379)(cid:332)(cid:333)(cid:336)(cid:201)(cid:103) 6 2.4495(cid:63)(cid:96)(cid:97)(cid:258)(cid:380)(cid:191)(cid:41)(cid:43)(cid:381)(cid:86)(cid:199)(cid:382)(cid:116)
(cid:15)(cid:120)(cid:28)8-3(cid:20)(cid:103)24-25(cid:104)(cid:105)(cid:106)≈(cid:107)·(cid:122)(cid:123)(cid:383)(cid:239)·(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:87)(cid:64)(cid:317)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:385) (cid:63)(cid:384)(cid:386)(cid:387)(cid:311)(cid:56)(cid:67)(cid:197)(cid:33)(cid:80)(cid:28)(cid:63)(cid:289)(cid:384)
(cid:385)(cid:33)(cid:237) (cid:388)(cid:34)2 3cm(cid:63)(cid:291) (cid:388)(cid:34)7 3cm(cid:63)(cid:302)(cid:191)(cid:64)(cid:135)(cid:90)(cid:361)(cid:128)192cm (cid:33)𝐴(cid:155)𝐵(cid:80)𝐶𝐷(cid:101) (cid:91)
2
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹𝐺
(1)(cid:49)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:385) (cid:33)(cid:90)(cid:361)(cid:166)
𝐴𝐵𝐶𝐷 6
(2)(cid:384)(cid:386)(cid:389)(cid:390)(cid:189)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:385) (cid:92)(cid:391)(cid:134)(cid:64)(cid:135)(cid:90)(cid:361)(cid:128)12cm (cid:63)(cid:291)(cid:128) cm(cid:33)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:392)(cid:63)(cid:73)(cid:339)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:392)(cid:33)(cid:237)(cid:128)_______
2
2
cm(cid:166) 𝐴𝐵𝐶𝐷
(3)(cid:384)(cid:386)(cid:393)(cid:390)(cid:189)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:385) (cid:92)(cid:394)(cid:134)(cid:237)(cid:128)2.0cm(cid:81)(cid:291)(cid:128)1.5cm(cid:33)(cid:292)(cid:101)(cid:384)(cid:137)(cid:63)(cid:85)(cid:332)(cid:29)(cid:394)(cid:134)_________(cid:27)(cid:229)(cid:77)(cid:33)(cid:384)
(cid:137)(cid:91) 𝐴𝐵𝐶𝐷
教辅资源，关注公众号★全科AA+
