文档文本内容
专题 13.1 三角形的概念、三角形的边（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
题型归纳
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:3)(cid:27)(cid:28)(cid:19)................................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:19)........................................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:19)....................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:19)....................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:46)(cid:47)(cid:19)................................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:41)(cid:48)(cid:49)(cid:19)............................................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:19)............................................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:25)(cid:56)(cid:57)(cid:3)(cid:34)(cid:19)....................................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)9 (cid:22)(cid:33)(cid:3)(cid:34)(cid:25)(cid:58)(cid:32)(cid:19)....................................................................................................................................8
举一反三
知识点1 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三要素
3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形 ABC用符号表示为△ABC.
知识点2 三角形的分类
1.等腰三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹
角叫做底角.
2.三角形的分类(1) 按边分类
三边都不相等的三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角
等边三角形
（2）按角分类 形
直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
知识点3 三角形的三边关系
1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三
角形；反之，则不能组成三角形.
【题型1 三角形的有关概念】
(cid:15)(cid:59)1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:73)(cid:70)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:75)(cid:26)(cid:60) (cid:71)(cid:76)(cid:77)
A(cid:77)3 B(cid:77)4 C(cid:77)5 D(cid:77)6
(cid:15)(cid:78)(cid:79)1-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:66)(cid:82)(cid:82)(cid:83)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:11)(cid:32)(cid:22)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:40)(cid:72)(cid:81)(cid:73)(cid:24)(cid:74)(cid:94)(cid:95)(cid:70)(cid:96)(cid:97)(cid:22)
(cid:23)(cid:24)(cid:27)(cid:28)(cid:25)(cid:98)(cid:60)(cid:99)(cid:99)(cid:71)
A(cid:77) B(cid:77)
C(cid:77) D(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)1-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:100)(cid:101)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:102)(cid:103)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:81)(cid:107)(cid:108)(cid:20)(cid:10)(cid:60)1(cid:71)(cid:73)(cid:70)(cid:26)_______(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:95)(cid:70)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:98)______(cid:77)
(cid:60)2(cid:71)(cid:110)(cid:54)(cid:55)AC(cid:111)(cid:7)(cid:75)(cid:33)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:98)___________(cid:77)
(cid:60)3(cid:71)(cid:54)(cid:55)CD(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:98)_______(cid:74)BD(cid:33)(cid:112)(cid:114)(cid:25)(cid:23)(cid:98)________(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)1-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:110)(cid:120)A(cid:121)B(cid:121)C(cid:121)D(cid:121)E(cid:70)(cid:25)(cid:122)(cid:123)3(cid:120)(cid:111)(cid:124)(cid:120)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:75)(cid:26)(cid:125)(cid:76)(cid:74)(cid:126)(cid:113)(cid:73)(cid:70)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:22)(cid:23)(cid:24).
【题型2 三角形的分类】
(cid:15)(cid:59)2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:131)(cid:101)(cid:132)(cid:133)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:3)(cid:137)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:29)(cid:30)(cid:74)(cid:26)(cid:72)(cid:73)(cid:112)(cid:138)(cid:25)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:90)(cid:141)(cid:29)(cid:142)(cid:74)(cid:94)
(cid:60) (cid:71)
A(cid:77)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:90)(cid:141)(cid:29)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145) B(cid:77)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:90)(cid:141)(cid:29)(cid:142)(cid:143)(cid:146)(cid:147)
C(cid:77)(cid:139)(cid:25)(cid:29)(cid:142)(cid:146)(cid:147)(cid:74)(cid:140)(cid:25)(cid:29)(cid:142)(cid:144)(cid:145) D(cid:77)(cid:139)(cid:25)(cid:29)(cid:142)(cid:144)(cid:145)(cid:74)(cid:140)(cid:25)(cid:29)(cid:142)(cid:146)(cid:147)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)2-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:148)(cid:83)(cid:149)(cid:150)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:151)(cid:88)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:84)(cid:156)(cid:29)(cid:74)(cid:157)(cid:158)(cid:128) (cid:74)(cid:94) (cid:159)
(cid:160)(cid:37)(cid:98)(cid:60) (cid:71) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶A(cid:77)(cid:84)(cid:76)(cid:109)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:76)(cid:161)(cid:23) B(cid:77)(cid:90)(cid:76)(cid:162)(cid:23)
C(cid:77)(cid:84)(cid:76)(cid:162)(cid:23)(cid:74)(cid:84)(cid:76)(cid:161)(cid:23) D(cid:77)(cid:90)(cid:76)(cid:161)(cid:23)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)2-2(cid:19)(cid:60)23-24(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:65)(cid:66)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:113)Rt (cid:70)(cid:74) =90°(cid:74) =30°(cid:77)(cid:163)(cid:120)P(cid:164)(cid:120)C(cid:128)
(cid:165)(cid:74)(cid:166)(cid:33) (cid:74) (cid:167)(cid:120)A(cid:168)(cid:163)(cid:77)(cid:113)(cid:120)P(cid:168)(cid:163)(cid:169)(cid:170)(cid:70)(cid:74) △𝐴𝐵(cid:160)𝐶(cid:37)(cid:40)∠(cid:111)𝐴(cid:25)(cid:171)(cid:172)(cid:22)∠(cid:23)𝐵(cid:24)(cid:173)(cid:174)(cid:98)(cid:60) (cid:71)
𝐶𝐵 𝐵𝐴 △𝑃𝐴𝐶
A(cid:77)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
B(cid:77)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:175)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
C(cid:77)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:175)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
D(cid:77)(cid:57)(cid:175)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:57)(cid:175)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)→(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)2-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:176)(cid:177)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:178)M(cid:179)(cid:138)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)N(cid:179)(cid:138)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)P(cid:179)(cid:138)(cid:57)(cid:33)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)
Q(cid:179)(cid:138)(cid:57)(cid:175)(cid:109)(cid:23)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:77)(cid:81)(cid:107)(cid:180)(cid:76)(cid:73)(cid:70)(cid:74)(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:179)(cid:138)(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:3)(cid:34)(cid:25)(cid:98)(cid:60)(cid:99)(cid:99)(cid:71)
A(cid:77) B(cid:77)
C(cid:77) D(cid:77)
【题型3 利用三边关系判断能否组成三角形】
(cid:15)(cid:59)3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:100)(cid:185)(cid:186)(cid:187)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:188)(cid:26)(cid:189)(cid:190)(cid:29)(cid:191)(cid:111)2cm(cid:74)3cm(cid:74)4cm(cid:74)5cm(cid:74)6cm(cid:25)(cid:192)(cid:152)(cid:54)(cid:55)(cid:74)
(cid:110)(cid:95)(cid:70)(cid:25)(cid:22)(cid:152)(cid:54)(cid:55)(cid:111)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:48)(cid:193)(cid:160)(cid:110)(cid:39)(cid:40) (cid:76)(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)3-1(cid:19)(cid:60)2025·(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)·(cid:198)(cid:199)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:26)(cid:139)(cid:121)(cid:140)(cid:90)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:74)(cid:188)(cid:32)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:95)(cid:70)(cid:84)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:201)(cid:204)(cid:74)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:25)
(cid:90)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:159)(cid:208)(cid:84)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:94)(cid:201)(cid:204)(cid:25)(cid:200)(cid:89)(cid:98)( )
A(cid:77)(cid:139) B(cid:77)(cid:140) C(cid:77)(cid:139)(cid:209)(cid:140) D(cid:77)(cid:139)(cid:209)(cid:140)(cid:143)(cid:56)(cid:160)(cid:110)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)3-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:65)(cid:66)(cid:210)(cid:83)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:32)13(cid:87)(cid:57)(cid:189)(cid:211)(cid:212)(cid:89)(cid:93)(cid:40)(cid:84)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:211)(cid:212)(cid:89)(cid:56)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:121)
(cid:176)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:36)(cid:74)(cid:94)(cid:37)(cid:220)(cid:128)(cid:56)(cid:86)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:76)(cid:43)(cid:98)(cid:60) (cid:71)
A(cid:77)3(cid:76) B(cid:77)4(cid:76) C(cid:77)5(cid:76) D(cid:77)6(cid:76)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)3-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:194)(cid:195)(cid:221)(cid:83)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:222)(cid:86)(cid:11)(cid:32)5cm(cid:121)7cm(cid:121)9cm(cid:121)13cm(cid:25)(cid:180)(cid:87)(cid:200)(cid:88)(cid:89)(cid:220)(cid:128)(cid:56)(cid:86)(cid:24)(cid:223)(cid:25)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:76)(cid:43)(cid:111)(cid:60) (cid:71)
A(cid:77)1 B(cid:77)2 C(cid:77)3 D(cid:77)4
【题型4 利用三边关系求参数范围】
(cid:15)(cid:59)4(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:66)(cid:82)(cid:224)(cid:225)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:102)(cid:103)(cid:84)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:70)(cid:90)(cid:152)(cid:33)(cid:25)(cid:189)(cid:29)(cid:191)(cid:98) a、b(cid:74)(cid:226) a＞b(cid:74)(cid:227)(cid:228)(cid:129)(cid:76)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:229)(cid:189) L(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:98)(cid:60) ）
A(cid:77)3b＜L＜3a B(cid:77)2a＜L＜2（a+b）
C(cid:77)a+2b＜L＜2a+b D(cid:77)3a﹣b＜L＜3a+b
(cid:15)(cid:78)(cid:79)4-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:148)(cid:83)(cid:149)(cid:150)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:189)(cid:29)(cid:191)(cid:111)2(cid:74)5(cid:74) (cid:74)(cid:94)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:98) (cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)4-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:230)(cid:195)(cid:231)(cid:232)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:229)(cid:189)(cid:98)20cm(cid:74)3(cid:175)−2(cid:189)𝑥(cid:111) cm(cid:74)(cid:94)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)
(cid:45)(cid:111) (cid:77) 𝑥
(cid:15)(cid:78)(cid:79)4-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:66)(cid:82)(cid:224)(cid:225)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:84)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)3(cid:33)(cid:189)(cid:29)(cid:191)(cid:98) cm(cid:121)( )cm(cid:74)( +2)cm(cid:74)
(cid:181)(cid:25)(cid:229)(cid:189)(cid:56)(cid:233)(cid:169)39cm(cid:77)(cid:94)x(cid:25)(cid:50)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:98)(cid:60) (cid:71) 𝑥 3𝑥−3 𝑥
5 5
A(cid:77) < <5 B(cid:77)5< 8 C(cid:77) < 8 D(cid:77)1< <5
3 3
𝑥 𝑥≤ 𝑥≤ 𝑥
【题型5 利用三边关系化简】
(cid:15)(cid:59)5(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:234)(cid:185)(cid:235)(cid:236)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:178)a(cid:74)b(cid:74)c(cid:98) (cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:74)
(1)(cid:46)(cid:47) + △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:205)b(cid:74)|𝑎c−(cid:237)𝑏(cid:238)𝑐|−2|𝑏−+𝑐−𝑎| =0(cid:74)(cid:226)a(cid:111)(cid:239)(cid:170)| |=2(cid:25)(cid:240)(cid:74)(cid:35)(cid:36) (cid:25)(cid:24)(cid:223)(cid:241)(cid:242)(cid:53)(cid:243)(cid:244)(cid:77)
2
(cid:15)(cid:78)(cid:79)5-1(cid:19)(cid:60)2(𝑏4-−235)(cid:61)(cid:62)|𝑐(cid:63)−(cid:64)5|·(cid:245)(cid:246)(cid:245)(cid:177)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:205)𝑥(cid:84)−3(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:189)△(cid:29)𝐴(cid:191)𝐵(cid:111)𝐶 2(cid:74)x(cid:74)7(cid:74)(cid:46)(cid:47)| | | |
(cid:25)(cid:247)(cid:248)(cid:98)(cid:60)(cid:99)(cid:99)(cid:71) 𝑥−5 −2 𝑥−12
A(cid:77) +19 B(cid:77) C(cid:77) +7 D(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)−5-𝑥2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)3(cid:64)𝑥−·2(cid:249)9(cid:133)(cid:250)(cid:251)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:102)−(cid:103)𝑥(cid:84)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:189)−(cid:29)𝑥−(cid:191)2(cid:111)9 2(cid:74)4(cid:74)m(cid:77)(cid:46)(cid:47)(cid:10)| | | |
+| |(cid:77) 𝑚−2 − 𝑚−1
(cid:15)(cid:78)𝑚(cid:79)−65-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:180)(cid:252)(cid:253)(cid:234)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:102)(cid:103) (cid:74) (cid:74) (cid:111)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:189)(cid:74)(cid:46)(cid:47)(cid:10)| |+| |
| + |=(cid:60) (cid:71) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏−𝑐 𝑏−𝑎−𝑐
− 𝑏A(cid:77)𝑐−+𝑎 B(cid:77) C(cid:77) + + D(cid:77)
【题型
𝑎6
利
𝑐−
用
𝑏
三边关系求
𝑎
最
−
值
𝑏−
】
3𝑐
教辅资源，关注
𝑎
公众
𝑏
号
𝑐
全科AA+
2𝑎−𝑏
(cid:15)(cid:59)6(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:230)(cid:195)(cid:254)(cid:255)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:113) (cid:70)(cid:74) =90°(cid:74) =12(cid:74) =9(cid:74)P(cid:98)
(cid:64)(cid:25)(cid:84)(cid:76)(cid:163)(cid:120)(cid:60)(cid:56)(cid:159)(cid:120)B(cid:176)(cid:97)(cid:71).(cid:120)B(cid:159)(cid:120) (cid:3)(cid:137)(cid:109)(cid:54)△𝐴(cid:114)𝐵𝐶(cid:256)(cid:74)(cid:257)∠(cid:258)𝐴𝐶𝐵 (cid:74) (cid:74)𝐴𝐶 (cid:74)(cid:94)(cid:54)𝐵(cid:55)𝐶 (cid:25)(cid:48)(cid:200)𝐴(cid:49)𝐵
′ ′ ′ ′ ′
𝐵 𝑃𝐶 𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝑃𝐵 𝐴𝐵(cid:98) .
(cid:15)(cid:78)(cid:79)6-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:66)(cid:82)(cid:259)(cid:66)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:113) (cid:70)(cid:74) =3(cid:74)(cid:260) (cid:261)(cid:262)5(cid:76)(cid:263)(cid:85)(cid:207)
(cid:74)(cid:94) (cid:25)(cid:48)(cid:264)(cid:49)(cid:57)(cid:137) (cid:77) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
′ ′ ′ ′
△𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐶
(cid:15)(cid:78)(cid:79)6-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:100)(cid:185)(cid:265)(cid:66)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:113) (cid:70)(cid:74) =3(cid:74) =4(cid:74) =5(cid:74)D(cid:111)
(cid:33)(cid:64)(cid:84)(cid:163)(cid:120)(cid:74)(cid:260) (cid:166) (cid:266)(cid:219)(cid:206)(cid:207) (cid:74)(cid:120)B(cid:25)(cid:114)(cid:58)(cid:120)(cid:111)△(cid:120)𝐴𝐵P𝐶(cid:74)(cid:257)(cid:258)𝐴𝐵 (cid:74)(cid:94) 𝐵𝐶(cid:25)(cid:48)(cid:200)(cid:49)𝐴𝐶(cid:111) (cid:77)𝐵𝐶
△𝐴𝐵𝐷 𝐴𝐷 △𝐴𝑃𝐷 𝐶𝑃 𝐶𝑃
(cid:15)(cid:78)(cid:79)6-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:66)(cid:82)(cid:267)(cid:268)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74) =6(cid:74) =8(cid:74) =10(cid:74)(cid:120)D(cid:98)(cid:261)(cid:269)(cid:270)(cid:84)
(cid:120)(cid:74)(cid:226)(cid:237)(cid:238) = (cid:74)(cid:94) + (cid:25)(cid:48)(cid:200)(cid:49)(cid:98) (cid:77) 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐷 2𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝐴𝐷【题型7 利用三边关系取舍值】
(cid:15)(cid:59)7(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:274)(cid:88)(cid:275)·(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:32)(cid:84)(cid:152)(cid:189)41cm(cid:25)(cid:276)(cid:277)(cid:45)(cid:40)(cid:84)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:102)(cid:103)(cid:278)(cid:22)(cid:23)(cid:24)
(cid:25)(cid:279)(cid:84)(cid:152)(cid:33)(cid:111)xcm(cid:74)(cid:279)(cid:198)(cid:152)(cid:33)(cid:98)(cid:279)(cid:84)(cid:152)(cid:33)(cid:25)3(cid:280)(cid:281)4cm(cid:77)
(1)(cid:126)(cid:32)(cid:282)x(cid:25)(cid:79)(cid:283)(cid:179)(cid:138)(cid:279)(cid:22)(cid:152)(cid:33)(cid:25)(cid:189)(cid:190)(cid:77)
(2)(cid:205)(cid:278)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:284)(cid:285)(cid:98)(cid:84)(cid:76)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:41)(cid:129)(cid:76)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:22)(cid:33)(cid:189)(cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)7-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:194)(cid:195)(cid:286)(cid:287)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:90)(cid:33) (cid:121)(cid:237)(cid:238)( ) +| |=0(cid:74)(cid:94)(cid:288)(cid:57)(cid:175)
2
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:229)(cid:189)(cid:98)(cid:60) (cid:71) 𝑎 𝑏 𝑎−3 𝑏−8
A(cid:77)9 B(cid:77)14 C(cid:77)19 D(cid:77)14(cid:209)19
(cid:15)(cid:78)(cid:79)7-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:234)(cid:185)(cid:289)(cid:83)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:32)(cid:84)(cid:152)(cid:189)(cid:111)20cm(cid:25)(cid:276)(cid:277)(cid:45)(cid:40)(cid:84)(cid:76)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:290)(cid:95)(cid:84)(cid:33)(cid:25)
(cid:189)(cid:190)(cid:111)5cm(cid:74)(cid:208)(cid:291)(cid:90)(cid:33)(cid:25)(cid:189)(cid:111) (cid:77)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)7-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:292)(cid:293)(cid:294)(cid:83)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:295)(cid:33)(cid:189)(cid:111)5cm(cid:74)(cid:84)(cid:175)(cid:64)(cid:25)(cid:70)(cid:54)(cid:203)(cid:129)(cid:76)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:229)
(cid:189)(cid:29)(cid:111)(cid:90)(cid:156)(cid:29)(cid:74)(cid:95)(cid:296)(cid:111)4cm(cid:74)(cid:94)(cid:288)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:175)(cid:189)(cid:111)(cid:60)(cid:99)(cid:99)(cid:71)
A(cid:77)1cm B(cid:77)5cm C(cid:77)9cm D(cid:77)5cm(cid:209)9cm
【题型8 利用三边关系证明线段的不等关系】
(cid:15)(cid:59)8(cid:19)(cid:60)2025(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:66)(cid:82)(cid:82)(cid:83)·(cid:297)(cid:20)(cid:135)(cid:136)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:113) (cid:70)(cid:74)(cid:120) (cid:113) (cid:64)(cid:74)(cid:120) (cid:113) (cid:64)(cid:77)(cid:41)(cid:52)(cid:10)
+ > + (cid:77) △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝑂 𝐶𝐷
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶
(cid:15)(cid:78)(cid:79)8-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:245)(cid:246)(cid:97)(cid:298)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)D(cid:111) (cid:25)(cid:33) (cid:64)(cid:84)(cid:120)(cid:74)(cid:104)(cid:35)(cid:36) (cid:159) (cid:25)
(cid:229)(cid:189)(cid:183)(cid:184)(cid:25)(cid:264)(cid:200)(cid:3)(cid:34)(cid:74)(cid:241)(cid:299)(cid:110)(cid:52)(cid:53)(cid:77) △𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶 2𝐴𝐷 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:78)(cid:79)8-2(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:66)(cid:82)(cid:82)(cid:83)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:74) (cid:98)(cid:180)(cid:33)(cid:24) (cid:25)(cid:114)(cid:23)(cid:54)(cid:74)(cid:226) (cid:74) (cid:91)(cid:92)(cid:137)
(cid:120)O(cid:77)(cid:41)(cid:52)(cid:10) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐶 𝐵𝐷(1) + < + (cid:300)
(2)
𝐴𝐵
+
𝐶𝐷
>
𝐴1
(
𝐶
+
𝐵𝐷
+ + )(cid:77)
2
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
(cid:15)(cid:78)(cid:79)8-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:245)(cid:246)(cid:245)(cid:177)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:102)(cid:103)(cid:10)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:120)D(cid:98) ABC(cid:270)(cid:84)(cid:120)(cid:77)(cid:41)(cid:52)(cid:10)
△
(1)BD(cid:301)CD(cid:302)AB(cid:301)AC(cid:300)
(2)AD(cid:301)BD(cid:301)CD(cid:302)AB(cid:301)BC(cid:301)AC(cid:77)
【题型9 三边关系的应用】
教辅资源，关注公众号 全科AA+
(cid:15)(cid:59)9(cid:19)(cid:60)2025·(cid:66)(cid:82)(cid:224)(cid:225)·(cid:22)(cid:199)(cid:71)(cid:200)(cid:303)(cid:113)(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:166)(cid:307)(cid:56)(cid:86)(cid:308)(cid:309)(cid:304)(cid:310)(cid:77)(cid:72)(cid:73)(cid:70)(cid:25)(cid:311)(cid:312)(cid:54)(cid:152)(cid:179)(cid:138)4(cid:152)(cid:56)(cid:86)(cid:308)(cid:309)(cid:74)
(cid:29)(cid:191)(cid:313)(cid:314)(cid:111)P(cid:121)Q(cid:121)R(cid:121)S(cid:77)(cid:126)(cid:108)(cid:129)4(cid:152)(cid:308)(cid:309)(cid:164)(cid:48)(cid:315)(cid:207)(cid:48)(cid:189)(cid:25)(cid:144)(cid:145)(cid:316)(cid:107)(cid:317)(cid:318)(cid:98)(cid:60) (cid:71)
A(cid:77)P(cid:74)Q(cid:74)R(cid:74)S B(cid:77)P(cid:74)R(cid:74)S(cid:74)Q C(cid:77)Q(cid:74)S(cid:74)P(cid:74)R D(cid:77)R(cid:74)P(cid:74)S(cid:74)Q
(cid:15)(cid:78)(cid:79)9-1(cid:19)(cid:60)24-25(cid:80)(cid:62)(cid:63)(cid:81)·(cid:100)(cid:185)(cid:319)(cid:320)·(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74) (cid:121) (cid:111)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:33)(cid:90)(cid:120)(cid:74)(cid:200)(cid:53)(cid:113)(cid:321)(cid:322)(cid:25)(cid:84)(cid:324)(cid:50)(cid:84)(cid:120) (cid:74)
(cid:325)(cid:206) =16(cid:326)(cid:74) =12(cid:326)(cid:74) (cid:121) (cid:184)(cid:25)(cid:327)(cid:328)(cid:160)(cid:37)(cid:98)(cid:60) 𝐴 (cid:71)𝐵 𝑂
𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝐴 𝐵
A(cid:77)25(cid:326) B(cid:77)30(cid:326) C(cid:77)35(cid:326) D(cid:77)40(cid:326)
(cid:15)(cid:78)(cid:79)9-2(cid:19)(cid:60)2025·(cid:194)(cid:195)(cid:329)(cid:234)·(cid:198)(cid:199)(cid:71)(cid:22)(cid:87)(cid:295)(cid:330)(cid:114)(cid:275)(cid:25)(cid:200)(cid:89)(cid:70)(cid:26)(cid:84)(cid:87)(cid:151)(cid:331)(cid:332)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:74)(cid:181)(cid:182)(cid:25)(cid:189)(cid:190)(cid:72)(cid:73)(cid:112)(cid:138)(cid:77)(cid:205)(cid:22)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:160)(cid:110)(cid:45)(cid:40)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:94)(cid:279)(cid:22)(cid:87)(cid:200)(cid:89)(cid:25)(cid:189)(cid:190)(cid:160)(cid:110)(cid:98)(cid:60) (cid:71)
A(cid:77)2 B(cid:77)3 C(cid:77)4(cid:209)5 D(cid:77)6
(cid:15)(cid:78)(cid:79)9-3(cid:19)(cid:60)24-25(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)·(cid:234)(cid:101)(cid:189)(cid:333)·(cid:69)(cid:119)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:43)(cid:11)(cid:334)(cid:163)(cid:335)(cid:64)(cid:74)(cid:84)(cid:43)(cid:11)(cid:200)(cid:39)(cid:25)(cid:86)(cid:11)(cid:203)(cid:336)(cid:152)(cid:57)(cid:29)(cid:40)14
(cid:337)(cid:74)(cid:72)(cid:248)(cid:279)(cid:84)(cid:174)(cid:113)(cid:201)(cid:202)(cid:338)(cid:201)(cid:36)(cid:74)(cid:339)(cid:340)(cid:201)(cid:84)(cid:202)(cid:74)(cid:290)(cid:22)(cid:55)(cid:37)(cid:341)(cid:40)(cid:57)(cid:175)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:74)(cid:227)(cid:228)(cid:279)(cid:198)(cid:174)(cid:160)(cid:110)(cid:113) (cid:338)(cid:201)
(cid:36)(cid:77)(cid:60)(cid:193)(cid:342)(cid:74)(cid:343)(cid:344)(cid:318)(cid:9)(cid:71)
