文档文本内容
专题 1.3 三角形的内角（举一反三讲义）
(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)2024(cid:19)
(cid:15)(cid:20)(cid:21)1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:25)(cid:19)................................................................................................................2
(cid:15)(cid:20)(cid:21)2 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:19)............................................................................................................................3
(cid:15)(cid:20)(cid:21)3 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:19)............................................................................................................4
(cid:15)(cid:20)(cid:21)4 (cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:35)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:32)(cid:39)(cid:40)(cid:19)........................................................................................................5
(cid:15)(cid:20)(cid:21)5 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:19)........................................................................................6
(cid:15)(cid:20)(cid:21)6 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:46)(cid:32)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:19)....................................................................................7
(cid:15)(cid:20)(cid:21)7 (cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:19)................................................................................................................................9
(cid:15)(cid:20)(cid:21)8 (cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:53)(cid:54)(cid:19)................................................................................................................................9
知识点1 三角形内角和定理 +
A
A
科
全
★
定义：三角形三个内角的和等于 180°. 众 号
公
注
关
，
如图所示，在 ABC 中， A+ B+源C=180°(cid:55)
资
辅
教
△ ∠ ∠ ∠
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得 1+ 2= 3+ 4(cid:55)
∠ ∠ ∠ ∠
由三角形的内角和定理易得 A+ B= C+ D(cid:55)
∠ ∠ ∠ ∠知识点2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余(cid:55)
在 ABC 中， C=90°, A+ B=90°(cid:55)
2.直角△三角形的判∵定∠：有两∴个∠角互∠余的三角形是直角三角形(cid:55)
在 ABC中， A+ B=90°, C=90°，即 ABC是直角三角形 (cid:55)
△ ∵∠ ∠ ∴∠ △
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
+
A
A
科
(cid:15)(cid:56)1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:54)(cid:71)(cid:10)(cid:72)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
★
(cid:46)(cid:73)全(cid:46)(cid:74)(cid:75)(cid:27)(cid:25)(cid:76)(cid:77)(cid:74)(cid:75)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)
号
众
公
注
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:86)“(cid:79)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:55)(cid:87)(cid:74)(cid:75)“(cid:79)关(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)”(cid:32)(cid:73)(cid:46)(cid:74)(cid:75)(cid:27)(cid:25)(cid:86)48°(cid:81)(cid:88)(cid:89)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:46)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:27)(cid:25)
，
源
资
辅
(cid:47)(cid:92)(cid:86) (cid:55) 教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:95)(cid:96)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:98) (cid:46)(cid:81)(cid:87) = 1 = 1 (cid:81)(cid:88)(cid:85)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:99)(cid:25)(cid:41)(cid:100)(cid:76)
2 2
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:55)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:106)(cid:107)(cid:55) (cid:36)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111) (cid:81) =55°(cid:81) =50°(cid:81)
(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:76) (cid:55) △𝐴𝐵𝐶 △𝐷𝐸𝐹 ∠𝐴 ∠𝐵
∠𝐷𝐹𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)1-3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:63)(cid:112)(cid:62)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:74)(cid:75)(cid:65)(cid:113)(cid:23)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:107) (cid:118)(cid:119)(cid:81)(cid:85)(cid:115)(cid:116)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:86)(cid:107) (cid:46)
(cid:32)(cid:124)(cid:125)(cid:107)(cid:26)(cid:81)(cid:73)(cid:46) (cid:81) (cid:81)(cid:126)E(cid:81)F(cid:98)(cid:38)(cid:67) (cid:95)(cid:55)(cid:87) =13°①(cid:81) = =50°(cid:81)(cid:88) (cid:32)②(cid:47)(cid:92)
(cid:86) (cid:55) 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 𝐸𝐷∥𝐵𝐹 𝐴𝐶 ∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐷 ∠𝐴𝐸𝐷【题型2 三角形内角和的证明】
(cid:15)(cid:56)2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:102)(cid:103)(cid:127)(cid:65)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:98)(cid:128)(cid:129)(cid:33)(cid:34)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:76)180°”(cid:80)(cid:81)(cid:39)(cid:40)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:32)(cid:134)(cid:11)(cid:135)
(cid:136)(cid:117)(cid:61)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:81)(cid:73)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:33)(cid:34)“(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:76)180°”(cid:32)(cid:76)(cid:57) (cid:70)
A(cid:55)(cid:117)(cid:107) (cid:118)(cid:119)(cid:81)(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:74)(cid:144)(cid:95)(cid:126)D(cid:135)
A
+
A
科
全
★
B(cid:55)(cid:117)(cid:107)①(cid:118)(cid:119)(cid:81)(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:145)(cid:74)(cid:126)P(cid:135)𝐸𝐷∥𝐶𝐵, 𝐷众𝐹∥号𝐴𝐶
公
注
关
C(cid:55)(cid:117)(cid:107)②(cid:118)(cid:119)(cid:81)(cid:143)(cid:126)C(cid:135)
源
，(cid:146)(cid:126)D𝑄𝑅∥𝐵𝐶,𝑆𝑇∥𝐴𝐶,𝑀𝑁∥𝐴𝐵
资
辅
教
D(cid:55)(cid:117)(cid:107)③(cid:118)(cid:119)(cid:81)(cid:143)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:147)𝐶𝐷(cid:145)⊥(cid:74)𝐴(cid:126)𝐵 P(cid:135)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-1(cid:19)④(cid:117)(cid:107),(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:98)(cid:24)(cid:25)(cid:26) ABC 𝑄(cid:32)𝑅(cid:144)∥ 𝐵A𝐶B,𝑆 (cid:95)𝑇∥(cid:81)𝐴(cid:150)𝐶,(cid:153)𝑀𝑁(cid:154)∥(cid:155)𝐴(cid:86)𝐵(cid:126) A (cid:156)(cid:126) B (cid:32)(cid:154)(cid:155)(cid:81)(cid:157)(cid:149)(cid:150)(cid:158)(cid:159)(cid:160)
(cid:126) A(cid:161)(cid:126) C(cid:161)(cid:126) B (cid:99)(cid:162)(cid:80)(cid:163)(cid:154)(cid:155)(cid:164)(cid:165) A(cid:161) C(cid:161) B (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:81)(cid:166)(cid:167)(cid:150)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:32)(cid:93)(cid:168)(cid:81)(cid:169)(cid:170)(cid:135)(cid:171)(cid:34)(cid:136) (cid:55)
∠ ∠ ∠
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-2(cid:19)(cid:57)23-24(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:27)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:28)(cid:175)(cid:176)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:98)(cid:132)(cid:11)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:182)(cid:146)180(cid:47)(cid:81)
(cid:76)(cid:183)(cid:143)(cid:47)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:110)(cid:188)(cid:89)(cid:74)(cid:189)(cid:190)(cid:32)(cid:81)(cid:191)(cid:76)(cid:81)(cid:192)(cid:146)(cid:193)(cid:184)(cid:28)(cid:186)(cid:187)(cid:194)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)(cid:81)(cid:89)(cid:138)(cid:198)(cid:33)(cid:141)(cid:76)(cid:92)(cid:11)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:141)(cid:142)(cid:199)
(cid:113)(cid:200)(cid:201)(cid:6)(cid:202)(cid:55)(cid:118)(cid:121)(cid:81)(cid:203)(cid:204)(cid:183)(cid:143)(cid:205)(cid:206)(cid:32)(cid:154)(cid:207)(cid:208)(cid:33)(cid:34)(cid:10)(cid:209)(cid:210)(cid:74)(cid:75)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:74)(cid:54)(cid:182)(cid:146)180°(cid:55)(cid:211)(cid:199)(cid:212)(cid:61)(cid:213)(cid:33)
(cid:34)(cid:143)(cid:214)(cid:55)
(cid:178)(cid:180)(cid:10)(cid:117)(cid:107)(cid:209)(cid:210)(cid:215)(cid:74)(cid:75) (cid:55)
△𝐴𝐵𝐶(cid:31)(cid:33)(cid:10) + + =180°(cid:55)
(cid:33)(cid:34)(cid:10)∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)2-3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:216)(cid:217)(cid:218)(cid:219)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:132)(cid:34)(cid:220)(cid:128)(cid:129)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:28)(cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:81)(cid:61)(cid:213)(cid:76)(cid:221)(cid:32)(cid:128)(cid:129)(cid:143)(cid:214)(cid:81)
(cid:211)(cid:222)(cid:223)(cid:221)(cid:157)(cid:128)(cid:129)(cid:143)(cid:214)(cid:224)(cid:225)(cid:199)(cid:226)(cid:55)
(cid:98) (cid:144) (cid:95)(cid:209)(cid:227)(cid:74)(cid:126)E(cid:81)(cid:135) (cid:228) (cid:146)(cid:126)D(cid:81)(cid:135) (cid:228) (cid:146)(cid:126)F(cid:55)
△𝐴 𝐵𝐶 𝐵(cid:81)𝐶 𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐵 𝐴𝐶
∵𝐷𝐸=∥__𝐴_𝐶___𝐴_(cid:81)𝐵 ∥3=𝐸𝐹_______(cid:55)
∴∠1 (cid:81) ∠
∵𝐴𝐵=∥𝐸_𝐹______(cid:55)
∴∠4 (cid:81)
∵𝐷𝐸=∥𝐴_𝐶______(cid:81)
A
+
A
科
全
★
∴∠42=_______(cid:55)
众
号
公
注
关
∴∠ + + =180°(cid:81) 源 ，
资
辅
教
∵∠1 +∠2 +∠3 =_______(cid:55)
∴∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】
(cid:15)(cid:56)3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:64)(cid:229)(cid:230)(cid:231)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:98)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:46)(cid:81) =90°(cid:81) (cid:36)(cid:41) (cid:228) (cid:146)(cid:126) (cid:81)
(cid:36)(cid:41) (cid:228) (cid:146)(cid:126) (cid:81) (cid:161) (cid:232)(cid:228)(cid:146)(cid:126) (cid:81)(cid:143)(cid:126) (cid:135) (cid:36)𝐴(cid:37)𝐵𝐶 (cid:81)(cid:143)∠𝐶(cid:126) (cid:135) 𝐴𝐷 (cid:228)∠𝐵𝐴(cid:146)𝐶(cid:126)𝐵𝐶(cid:55)(cid:61)(cid:111)𝐷(cid:189)(cid:190)𝐵𝐸(cid:10)
∠(cid:36)𝐴𝐵(cid:41)𝐶 𝐴𝐶(cid:233) 𝐸 𝐴𝐷 =𝐵𝐸 (cid:233) 𝐹 =𝐷13𝐷5𝐺°(cid:233) 𝐴𝐵 = 𝐵 𝐵(cid:55)𝐺⊥(cid:234)𝐷(cid:235)𝐺(cid:189)(cid:190)𝐷𝐺(cid:32)(cid:236)(cid:9)𝐺(cid:195) (cid:55)
①𝐵𝐶 ∠𝐴𝐵𝐺 ②∠𝐵𝐷𝐺 2∠𝐶𝐵𝐸 ③∠𝐴𝐹𝐵 ④∠𝐵𝐸𝐶 ∠𝐹𝐵𝐺
(cid:15)(cid:93)(cid:94)3-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:16)(cid:62)(cid:237)(cid:238)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81) (cid:46)(cid:81) (cid:41)(cid:239)(cid:76) (cid:95)(cid:32)(cid:126)(cid:81)(cid:240)(cid:241)
△𝐴𝐵𝐶 𝐷, 𝐸 𝐵𝐴, 𝐵𝐶+ + =180°(cid:55)
∠𝐴𝐶𝐵 ∠𝐵 ∠𝐵𝐷𝐸
(1) (cid:81) (cid:76)(cid:242)(cid:36)(cid:37)(cid:243)(cid:171)(cid:34)(cid:206)(cid:192)(cid:55)
(2)(cid:87)𝐴𝐶 𝐷(cid:36)𝐸(cid:41) (cid:81) =35°(cid:81)(cid:31) (cid:47)(cid:92)(cid:55)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)𝐶𝐷3-2(cid:19)∠(cid:57)𝐴2𝐶4𝐵-25∠(cid:58)1(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:102)(cid:103)∠(cid:104)2(cid:105)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:137)(cid:144)(cid:26) (cid:46)(cid:81)(cid:126) (cid:76) (cid:95)(cid:74)(cid:126)(cid:81)(cid:143)(cid:126) (cid:135)
(cid:81)(cid:87) + =123°(cid:81)(cid:88) = °𝐴(cid:55)𝐵𝐶𝐷 𝐺 𝐵𝐶 𝐺
𝐺𝐸∥𝐴𝐵,𝐺𝐹∥𝐶𝐷 ∠𝐴 ∠𝐷 ∠𝐸𝐺𝐹
+
A
(cid:15)(cid:93)(cid:94)3-3(cid:19)(cid:57)23-24(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:137)(cid:244)(cid:245)(cid:246)·(cid:97)(cid:247)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81) (cid:81) 全 科= 1A (cid:81) = 1 (cid:81)(cid:88)
号 ★ 4 4
众
公
注 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ∠𝐸𝐴𝐹 ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐸𝐶𝐹 ∠𝐸𝐶𝐷
= (cid:55) 关
，
源
资
辅
∠𝐴𝐹𝐶 ∠𝐴𝐸𝐶 教
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
(cid:15)(cid:56)4(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:248)(cid:103)(cid:248)(cid:238)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81) (cid:161) (cid:41)(cid:239)(cid:36)(cid:41) (cid:28) (cid:81)(cid:249)
(cid:30) (cid:81)(cid:178)(cid:180) =25°(cid:81) =30°(cid:81)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)△(cid:86)𝐴(cid:57)𝐵 𝐶 (cid:70) 𝐵𝑀 𝐶𝑀 ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵
𝐴𝑀 ∠𝑀𝐵𝐶 ∠𝑀𝐶𝐴 ∠𝑀𝐴𝐵
A(cid:55)25° B(cid:55)30° C(cid:55)35° D(cid:55)40°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:250)(cid:105)(cid:251)(cid:252)(cid:253)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81) (cid:76) (cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:81)F(cid:76) (cid:95)
△𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸 △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸(cid:74)(cid:254)(cid:126)(cid:81) (cid:146)(cid:126)D(cid:81) =60°(cid:81) =70°(cid:81)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:86)(cid:57) (cid:70)
𝐹𝐷⊥𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 ∠𝐶 ∠𝐷𝐹𝐸
A(cid:55)15° B(cid:55)8° C(cid:55)10° D(cid:55)12°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:217)(cid:255)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81) (cid:81)(cid:126) (cid:76)(cid:36)(cid:213)(cid:27)(cid:74)(cid:126)(cid:81)(cid:249)(cid:30) (cid:81) (cid:81) (cid:32)(cid:36)
(cid:41)(cid:38)(cid:35) (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:228)(cid:146)(cid:126) (cid:55)(cid:87) = (cid:81)(cid:88) 𝐴𝐵∥=𝐶 𝐷 𝐸°(cid:57)(cid:23)(cid:256) (cid:32)(cid:257)(cid:92)(cid:94)(cid:258)(cid:119)𝐸𝐵(cid:70)(cid:55)𝐸𝐶 ∠𝐷𝐶𝐸
∠𝐴𝐵𝐸 𝑃 ∠𝐸 𝛼° ∠𝐵𝑃𝐶 𝛼
(cid:15)(cid:93)(cid:94)4-3(cid:19)(cid:57)22-23(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:259)(cid:259)(cid:238)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81)(cid:126) (cid:98) (cid:95)(cid:81)(cid:143)(cid:126) (cid:135) (cid:81)(cid:228)
+
A
(cid:146)(cid:126) (cid:81) (cid:36)(cid:41) (cid:81)(cid:228) (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:146)(cid:126) (cid:81) (cid:35) (cid:232)(cid:228)△(cid:146)𝐴𝐵(cid:126)𝐶 (cid:81)科 A𝐷(cid:32)𝐴(cid:36)𝐵(cid:41)(cid:38) (cid:35)𝐷 (cid:232)𝐷(cid:228)𝐸∥(cid:146)𝐵𝐶(cid:126) (cid:55)
全
★
号
众
𝐴𝐶 𝐸 𝐷𝑃 ∠𝐴𝐷𝐸 ∠𝐴𝐶𝐵 𝑃 公𝐶𝑃 𝐷𝐸 𝐺 ∠𝐴𝐶𝐹 𝐶𝑄 𝐷𝑃 𝑄
注
关
，
源
资
辅
教
(1)(cid:87) =50°(cid:81) =60°(cid:81)(cid:88) =______°(cid:81) ______°(cid:233)
(2)(cid:87)∠𝐴=50°(cid:81)∠(cid:72)𝐵 (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:260)∠(cid:261)𝐷(cid:93)𝑃𝐶(cid:168)(cid:80)(cid:81) (cid:161)∠𝑄 (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:76)(cid:242)(cid:260)(cid:261)(cid:93)(cid:168)(cid:243)(cid:262)(cid:171)(cid:34)(cid:206)(cid:192)(cid:233)
(3)(cid:87)∠𝐴 (cid:46)(cid:263)(cid:98)∠(cid:74)𝐵(cid:75)(cid:27)(cid:25)(cid:182)(cid:146)(cid:77)(cid:74)(cid:75)(cid:27)(cid:25)∠𝐷(cid:32)𝑃(cid:24)𝐶(cid:79)∠(cid:81)𝑄(cid:211)(cid:29)(cid:30)(cid:264)(cid:188)(cid:118)(cid:195)(cid:265)(cid:40)(cid:266)(cid:267)(cid:32) (cid:32)(cid:47)(cid:92)______(cid:55)
【题型
△5𝑃 𝐶𝑄
利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
∠𝐴
(cid:15)(cid:56)5(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:64)(cid:229)(cid:230)(cid:231)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81) (cid:161) (cid:32)(cid:25)(cid:36)(cid:41)(cid:38)(cid:228)(cid:146)(cid:126) (cid:81)(cid:148)
(cid:268) (cid:44)(cid:45)(cid:269)(cid:110)(cid:126) (cid:35)(cid:126) (cid:270)(cid:40)(cid:81)(cid:87) + =80°(cid:81)(cid:88)△𝐴𝐵𝐶(cid:32)(cid:47)(cid:92)∠(cid:76)𝐴𝐵(cid:57)𝐶 ∠(cid:70)𝐴𝐶𝐵 𝑃 △𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐸 𝐴 𝑃 ∠1 ∠2 ∠𝐵𝑃𝐶A(cid:55)100° B(cid:55)110° C(cid:55)120° D(cid:55)130°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)5-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:62)(cid:259)(cid:105)(cid:255)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:148)(cid:74)(cid:266)(cid:78)(cid:144)(cid:268)(cid:271)(cid:232)(cid:36)(cid:37)(cid:32)(cid:272)(cid:273)(cid:44)(cid:45)(cid:81)(cid:87) (cid:274) (cid:91)
12°(cid:81)(cid:88) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:86) (cid:55) ∠1 ∠2
∠1
(cid:15)(cid:93)(cid:94)5-2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:275)(cid:105)(cid:276)(cid:183)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:148)(cid:230)(cid:154)(cid:26) (cid:268) (cid:44)(cid:45)(cid:81)(cid:269)(cid:126) (cid:277)(cid:98) (cid:144)(cid:95)(cid:32)(cid:126) (cid:81)
(cid:87) =38°(cid:55)(cid:88) = (cid:47)(cid:55) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐸 𝐷 𝐵𝐶 𝐹
+
A
∠𝐵𝐹𝐴 ∠𝐷𝐸𝐴 科 A
全
★
号
众
公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)5-3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:259)(cid:278)(cid:279)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81) = =30°(cid:55)(cid:280)(cid:74)(cid:281)(cid:81)(cid:148)(cid:272)
(cid:282)(cid:44)(cid:45)(cid:81)(cid:269)(cid:126)A(cid:35)(cid:126)B(cid:270)(cid:40)(cid:81)(cid:44)(cid:283)(cid:35)(cid:144) (cid:32)(cid:228)(cid:126)(cid:86)(cid:126)D(cid:233)△(cid:280)𝐴(cid:284)𝐵𝐶(cid:281)(cid:81)(cid:98)∠𝐴𝐵(cid:144)𝐶(cid:95)(cid:285)90(cid:74)°,∠(cid:126)𝐴E(cid:81)(cid:148)(cid:272)(cid:282)(cid:268) (cid:44)(cid:45)(cid:81)
(cid:126)A(cid:277)(cid:98) (cid:286)(cid:233)(cid:280)(cid:24)(cid:281)(cid:81)(cid:148)(cid:272)(cid:282)(cid:268) (cid:44)𝐴(cid:45)𝐵(cid:81)(cid:126)E(cid:277)(cid:98) (cid:286)(cid:81)(cid:72)(cid:126) (cid:287)𝐴(cid:288)𝐶(cid:98)(cid:289)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:272)(cid:282)(cid:32)(cid:144)𝐸(cid:95)𝐷(cid:80)(cid:81)
′ ′ ′ ′
(cid:32)(cid:47)𝐴(cid:92)(cid:86) °(cid:55) 𝐷𝐴 𝐸 𝐸
′
∠𝐴𝐷𝐴
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
(cid:15)(cid:56)6(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:62)(cid:259)(cid:249)(cid:275)(cid:290)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:157)(cid:74)(cid:291)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:117)(cid:107)(cid:292)(cid:151)(cid:81)(cid:126)E(cid:98)(cid:144) (cid:95)(cid:81)(cid:148)(cid:107)(cid:46)(cid:32)
(cid:160)(cid:126)A(cid:99)(cid:293)(cid:294)5°(cid:295)(cid:47)(cid:268)(cid:296)(cid:80)(cid:163)(cid:154)(cid:155)(cid:164)(cid:165)(cid:74)(cid:297)(cid:81)(cid:98)(cid:164)(cid:165)(cid:32)(cid:143)(cid:214)(cid:46)(cid:81)(cid:98)(cid:280) (cid:294)(cid:80)(cid:81)(cid:144) 𝐴𝐶(cid:287)(cid:288)(cid:35)(cid:144) (cid:36)△(cid:37)𝐴(cid:55)𝐵𝐶
𝐵𝐶 𝐷𝐸(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:248)(cid:103)(cid:103)(cid:298)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:74)(cid:291)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:81)(cid:99)(cid:117)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:45)(cid:151)(cid:98)(cid:74)(cid:299)(cid:81)(cid:88)(cid:107)(cid:46) (cid:32)(cid:47)(cid:92)(cid:76)
(cid:57) (cid:70) ∠𝛼
A(cid:55)75° B(cid:55)65° C(cid:55)60° D(cid:55)55°
(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:16)(cid:62)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:148)(cid:74)(cid:291)(cid:24)(cid:25)(cid:50)(cid:117)(cid:107)(cid:151)(cid:152)(cid:81)(cid:144) (cid:35)(cid:144) (cid:98)(cid:134)(cid:74)(cid:266)(cid:29)(cid:38)(cid:95)(cid:81)
= = =60°(cid:81) =45°(cid:55)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:300)(cid:301)(cid:141)(cid:254)(cid:81)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:50)𝐵𝐶 (cid:160)𝐸(cid:126)𝐹 (cid:162)(cid:80)(cid:163)(cid:164)(cid:165)
+
A
∠(0𝐶°<∠𝐷<𝐹𝐸180°9)0(cid:55)°,(cid:72)∠𝐴𝐵=𝐶 (cid:80)(cid:81)∠𝐸 (cid:55) 𝐷𝐸𝐹 科 A𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝛼
全
★
号
众
𝛼 𝛼 𝐴𝐵⊥𝐷𝐸 公
注
关
，
源
资
辅
教
(cid:15)(cid:93)(cid:94)6-3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:302)(cid:303)(cid:304)(cid:238)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:178)(cid:180)(cid:74)(cid:305)(cid:24)(cid:25)(cid:50) = = =
(0°< <90°)(cid:81)(cid:148)(cid:24)(cid:25)(cid:50) (cid:117)(cid:107)(cid:118)(cid:119)(cid:151)(cid:152)(cid:81)(cid:269)(cid:306)(cid:126) (cid:277)(cid:98) (cid:144)𝐶(cid:95)𝐷𝐸(cid:81),∠(cid:179)𝐶𝐸(cid:143)𝐷(cid:126) 9(cid:135)0°(cid:29),∠(cid:38)𝐶𝐷𝐸 30°(cid:228),∠𝐴𝑂𝐵(cid:144)(cid:146)𝛼(cid:126)
(cid:81)(cid:307)𝛼(cid:126) (cid:98)(cid:126) (cid:32)(cid:308)(cid:309)(cid:55)(cid:87)𝐶𝐷𝐸 (cid:32)(cid:36)(cid:41)(cid:38) (cid:228) (cid:144)𝐶(cid:146)(cid:126)𝑂(cid:81)𝐵(cid:121)(cid:61)(cid:189)(cid:190)(cid:46) 𝐷 𝑀𝑁∥𝑂𝐵 𝑂𝐴
𝑀 (cid:72) =𝑀60°(cid:307)𝐷 (cid:80)(cid:81) ∠𝑀𝐷𝐶 (cid:233) 𝐷𝐹 𝑂𝐵 𝐹
①
(cid:72)
𝛼
(cid:80)
𝐷
(cid:81)
𝐹∥𝑂𝐴
+
1𝐶𝐸
=
∥
1
𝑂
50
𝐴
°(cid:233)
2
② 𝐶𝐸∥𝑂𝐴 ∠𝑂𝐹𝐷 𝛼
(cid:72) + =150°(cid:80)(cid:81) (cid:55)(cid:234)(cid:235)(cid:32)(cid:195)(cid:57) (cid:70)
③ ∠𝑂𝐹𝐷 𝛼 𝐷𝐸⊥𝑂𝐴A(cid:55) B(cid:55) C(cid:55) D(cid:55)
【题型
②7
直角三角形的性
①
质】
② ①③ ①②③
(cid:15)(cid:56)7(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:65)(cid:310)(cid:311)(cid:217)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:46)(cid:81) =90°(cid:81) (cid:76)(cid:312)(cid:144) (cid:95)(cid:32)(cid:313)(cid:81)
=35°(cid:81)(cid:211)(cid:31)(cid:188)(cid:107)(cid:46)(cid:118)(cid:195)(cid:314)(cid:25)(cid:32)(cid:315)(cid:81)(cid:262)(cid:285)(cid:188)(cid:73)(cid:46)(cid:118)(cid:195)𝐴(cid:232)𝐵(cid:182)𝐶(cid:32)(cid:314)∠(cid:25)𝐴(cid:316)𝐵𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶
∠𝐴
(cid:15)(cid:93)(cid:94)7-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:250)(cid:217)(cid:317)(cid:318)(cid:319)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:148)(cid:29)(cid:320)(cid:35)30°(cid:25)(cid:32)(cid:24)(cid:25)(cid:320)(cid:45)(cid:151)(cid:98)(cid:74)(cid:299)(cid:81)(cid:87)
=65°(cid:81)(cid:88) (cid:32)(cid:91)(cid:132)(cid:76) °(cid:55)
∠1 ∠2
+
A
A
科
全
★
(cid:15)(cid:93)(cid:94)7-2(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:113)(cid:321)·(cid:97)(cid:247)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)
众
(cid:46)号(cid:81) (cid:76) (cid:95)(cid:32)(cid:313)(cid:81) (cid:36)(cid:41) (cid:81)
公
注
关
= =40°(cid:81)(cid:88) = 源 ，(cid:47)(cid:55) △𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 ∠𝐵𝐴𝐶
资
辅
教
∠𝐵 60°,∠𝐶 ∠𝐷𝐴𝐸
(cid:15)(cid:93)(cid:94)7-3(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:250)(cid:105)(cid:36)(cid:306)(cid:102)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:180) (cid:81) (cid:81) =90°(cid:81) (cid:55)(cid:88)
(cid:61)(cid:111)(cid:189)(cid:190)(cid:10) (cid:233) (cid:36)(cid:41) (cid:233) = (cid:233)𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 +𝐹𝐺⊥𝐵𝐶=∠9𝐵0𝐴°(cid:55)𝐶(cid:234)(cid:235)(cid:189)(cid:190)𝐷(cid:32)𝐸(cid:75)∥𝐴(cid:92)𝐶(cid:76)
(cid:57) (cid:70) ①𝐹𝐺∥𝐴𝐷 ②𝐷𝐸 ∠𝐴𝐷𝐵 ③∠𝐵 ∠𝐶𝐴𝐷 ④∠𝐶𝐹𝐺 ∠𝐵𝐷𝐸
A(cid:55)4(cid:75) B(cid:55)3(cid:75) C(cid:55)2(cid:75) D(cid:55)1(cid:75)
【题型8 直角三角形的判定】
(cid:15)(cid:56)8(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:102)(cid:63)(cid:322)(cid:289)·(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:98)(cid:61)(cid:111)(cid:266)(cid:267)(cid:233) + = (cid:233) =1:2:3(cid:233)
①∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ②∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶= = (cid:233) = 1 = 1 (cid:233) = = (cid:46)(cid:81)(cid:142)(cid:235)(cid:54) (cid:86)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:32)(cid:266)(cid:267)(cid:195)
2 3
③∠𝐴 ∠𝐵 2∠𝐶 ④∠𝐴 ∠𝐵 ∠𝐶 ⑤∠𝐴 2∠𝐵 3∠𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:57) (cid:70)
A(cid:55)5(cid:75) B(cid:55)4(cid:75) C(cid:55)3(cid:75) D(cid:55)2(cid:75)
(cid:15)(cid:93)(cid:94)8-1(cid:19)(cid:57)24-25(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)·(cid:95)(cid:96)·(cid:97)(cid:46)(cid:70)(cid:87) (cid:32)(cid:24)(cid:75)(cid:27)(cid:25)(cid:32)(cid:274)(cid:86)2:5:3(cid:81)(cid:88) (cid:32)(cid:26)(cid:323)(cid:76) (cid:24)(cid:25)
(cid:26)(cid:55)(cid:57)(cid:324)(cid:314)(cid:25)(cid:161)(cid:29)(cid:25)(cid:161)(cid:325)(cid:25)(cid:46)(cid:32)(cid:74)(cid:75)(cid:70) △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)8-2(cid:19)(cid:57)22-23(cid:101)(cid:59)(cid:60)(cid:95)·(cid:113)(cid:321)·(cid:326)(cid:109)(cid:135)(cid:327)(cid:70)(cid:178)(cid:180)(cid:10)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81)D(cid:76)AB(cid:95)(cid:74)(cid:126)(cid:81) = (cid:81)
= (cid:55)(cid:31)(cid:33)(cid:10) (cid:76)(cid:29)(cid:25)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:55) △𝐴𝐵𝐶 ∠1 ∠𝐵
∠𝐴 ∠2 △𝐴𝐵𝐶
(cid:15)(cid:93)(cid:94)8-3(cid:19)(cid:57)22-23(cid:101)(cid:59)(cid:60)·(cid:113)(cid:321)·(cid:326)(cid:328)(cid:56)(cid:20)(cid:70)(cid:117)(cid:107)(cid:81)(cid:98) (cid:46)(cid:81) (cid:76) (cid:144)(cid:95)(cid:32)(cid:313)(cid:81)E(cid:76) (cid:144)(cid:95)(cid:74)(cid:126)(cid:81)
+
A
(cid:228) (cid:146)(cid:126)M(cid:81)(cid:307) = (cid:55)(cid:31)(cid:33)(cid:10) (cid:76)(cid:29)(cid:25)△(cid:24)𝐴𝐵(cid:25)𝐶(cid:26)(cid:55)𝐴𝐷 科𝐵𝐶 A 𝐴𝐵 𝐶𝐸
全
★
号
众
𝐴𝐷 ∠𝐷𝐶𝑀 ∠𝑀𝐴𝐸 △𝐴𝐸𝑀 公
注
关
，
源
资
辅
教
